Как да определим правилна или неправилна дроб. Правилна дроб

Думата „дроби“ кара много хора да настръхват. Защото помня училището и задачите, които се решаваха по математика. Това беше задължение, което трябваше да бъде изпълнено. Ами ако се отнасяте към проблемите, включващи правилни и неправилни дроби, като към пъзел? В крайна сметка много възрастни решават цифрови и японски кръстословици. Разбрахме правилата и това е. Тук е същото. Човек трябва само да се задълбочи в теорията - и всичко ще си дойде на мястото. И примерите ще се превърнат в начин да тренирате мозъка си.

Какви видове дроби има?

Да започнем с това какво представлява. Дроб е число, което има част от единица. Може да се напише в две форми. Първият се нарича обикновен. Тоест такъв, който има хоризонтална или наклонена линия. Той е еквивалентен на знака за деление.

В тази нотация числото над линията се нарича числител, а числото под него се нарича знаменател.

Сред обикновените дроби се разграничават правилни и неправилни дроби. За първото абсолютната стойност на числителя винаги е по-малка от знаменателя. Грешните се наричат така, защото при тях всичко е обратното. Стойността на правилната дроб винаги е по-малка от единица. Докато неправилното винаги е по-голямо от това число.

Има и смесени числа, тоест такива, които имат цяла и дробна част.

Вторият вид запис е десетичен знак. За нея има отделен разговор.

Как се различават неправилните дроби от смесените числа?

По същество нищо. Просто е различен входсъщото число. Неправилните дроби стават лесни след прости стъпки. смесени числа. И обратно.

Всичко зависи от конкретната ситуация. Понякога е по-удобно да използвате неправилна дроб в задачите. И понякога е необходимо да го преобразувате в смесено число и тогава примерът ще бъде решен много лесно. Следователно какво да използвате: неправилни дроби, смесени числа, зависи от наблюдателните умения на човека, който решава проблема.

Смесеното число също се сравнява със сумата от цялата и дробната част. Освен това вторият винаги е по-малък от единица.

Как да представим смесено число като неправилна дроб?

Ако трябва да извършите някакво действие с няколко числа, които са записани в различни видове, тогава трябва да ги направите еднакви. Един от методите е да представите числа като неправилни дроби.

За тази цел ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

умножете знаменателя по цялата част;
добавете стойността на числителя към резултата;
напишете отговора над реда;
оставете знаменателя същия.

Ето примери как да напишете неправилни дроби от смесени числа:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Как да напиша неправилна дроб като смесено число?

Следващата техника е противоположна на описаната по-горе. Тоест, когато всички смесени числа се заменят с неправилни дроби. Алгоритъмът на действията ще бъде както следва:

разделете числителя на знаменателя, за да получите остатъка;
напишете частното на мястото на цялата част на смесената;
остатъкът трябва да бъде поставен над линията;
делителя ще бъде знаменателят.

Примери за такава трансформация:

76/14; 76:14 = 5 с остатък 6; отговорът ще бъде 5 цяло и 6/14; дробната част в този пример трябва да се намали с 2, което води до 3/7; крайният отговор е 5 точки 3/7.

108/54; след делене се получава частното 2 без остатък; това означава, че не всички неправилни дроби могат да бъдат представени като смесено число; отговорът ще бъде цяло число - 2.

Как да превърнем цяло число в неправилна дроб?

Има ситуации, когато такова действие е необходимо. За да получите неправилни дроби с известен знаменател, ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

умножете цяло число по желания знаменател;
напишете тази стойност над линията;
поставете знаменателя под него.

Най-простият вариант е, когато знаменателят е равен на едно. Тогава не е нужно да умножавате нищо. Достатъчно е просто да напишете цялото число, дадено в примера, и да поставите едно под чертата.

Пример: Направете 5 неправилна дроб със знаменател 3. Умножаването на 5 по 3 дава 15. Това число ще бъде знаменателят. Отговорът на задачата е дроб: 15/3.

Два подхода за решаване на задачи с различни числа

Примерът изисква изчисляване на сбора и разликата, както и произведението и частното на две числа: 2 цели числа 3/5 и 14/11.

В първия подходсмесеното число ще бъде представено като неправилна дроб.

След като изпълните описаните по-горе стъпки, ще получите следната стойност: 13/5.

За да разберете сумата, трябва да намалите дробите до един и същи знаменател. 13/5 след умножаване по 11 става 143/55. И 14/11 след умножение по 5 ще изглежда като: 70/55. За да изчислите сумата, трябва само да съберете числителите: 143 и 70 и след това да запишете отговора с един знаменател. 213/55 - този неправилна дробпроблемен отговор.

При намиране на разликата се изваждат едни и същи числа: 143 - 70 = 73. Отговорът ще бъде дроб: 73/55.

Когато умножавате 13/5 и 14/11, не е необходимо да ги привеждате до общ знаменател. Достатъчно е да умножите числителите и знаменателите по двойки. Отговорът ще бъде: 182/55.

Същото важи и за разделението. За правилното решениетрябва да замените делението с умножение и да обърнете делителя: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Във втория подходнеправилна дроб се превръща в смесено число.

След извършване на действията на алгоритъма 14/11 ще се превърне в смесено число с цяла част от 1 и дробна част от 3/11.

Когато изчислявате сбора, трябва да добавите целите и дробните части поотделно. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Крайният отговор е 3 точки 48/55. При първия подход фракцията беше 213/55. Можете да проверите правилността му, като го преобразувате в смесено число. След разделянето на 213 на 55, частното е 3, а остатъкът е 48. Лесно е да се види, че отговорът е правилен.

При изваждане знакът "+" се заменя с "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. За проверка отговорът от предишния подход трябва да се преобразува в смесено число: 73 се дели на 55 и частното е 1, а остатъкът е 18.

За да намерите произведението и частното, е неудобно да използвате смесени числа. Тук винаги се препоръчва да преминете към неправилни дроби.

Простите математически правила и техники, ако не се използват постоянно, се забравят най-бързо. Термините изчезват от паметта още по-бързо.

Едно от тези прости действия е преобразуването на неправилна дроб в правилна или, с други думи, смесена дроб.

Неправилна дроб

Неправилна дроб е тази, в която числителят (числото над чертата) е по-голямо или равно на знаменателя (числото под чертата). Тази дроб се получава чрез събиране на дроби или умножаване на дроб по цяло число. Според правилата на математиката такава дроб трябва да се преобразува в правилна.

Правилна дроб

Логично е да приемем, че всички останали дроби се наричат правилни. Строго определение е, че дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, се нарича правилна. Дроб, която има цяло число, понякога се нарича смесена дроб.

Преобразуване на неправилна дроб в правилна дроб

Първи случай: числителят и знаменателят са равни. Резултатът от преобразуването на всяка такава дроб е единица. Няма значение дали е три трети или сто двадесет и пет сто двадесет и пети. По същество такава дроб обозначава действието на деление на число на самото себе си.

Втори случай: числителят е по-голям от знаменателя. Тук трябва да запомните метода за разделяне на числа с остатък.
За да направите това, трябва да намерите числото, най-близко до стойността на числителя, което се дели на знаменателя без остатък. Например, имате частта деветнадесет трети. Най-близкото число, което може да бъде разделено на три, е осемнадесет. Това е шест. Сега извадете полученото число от числителя. Ние получаваме един. Това е остатъкът. Запишете резултата от преобразуването: шест цяло и една трета.

Но преди да намалим дробта до правилният вид, трябва да проверите дали може да се съкрати.
Можете да намалите дроб, ако числителят и знаменателят имат общ множител. Тоест число, на което и двете се делят без остатък. Ако има няколко такива делителя, трябва да намерите най-големия.
Например всички четни числа имат такъв общ делител – две. А дробта шестнадесет и дванадесети има още един общ делител - четири. Това е най-големият делител. Разделете числителя и знаменателя на четири. Резултат от намалението: четири трети. Сега, като практика, преобразувайте тази дроб в правилна дроб.

Неправилна дроб

Четвъртини

Подреденост. аИ bима правило, което позволява еднозначно да се идентифицира една и само една от три връзки между тях: „< », « >" или " = ". Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две неотрицателни числа и са свързани със същата връзка като две цели числа и ; две неположителни числа аИ bса свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж анеотрицателен, но b- тогава отрицателно а > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Събиране на дроби
Операция добавяне.За всякакви рационални числа аИ bима т.нар правило за сумиране ° С. Освен това, самият номер ° СНаречен количествочисла аИ bи се означава с , а процесът за намиране на такова число се нарича сумиране. Правилото за сумиране има следващ изглед: .
Операция умножение.За всякакви рационални числа аИ bима т.нар правило за умножение, което им приписва някакво рационално число ° С. Освен това, самият номер ° СНаречен работачисла аИ bи се означава с , а процесът на намиране на такова число също се нарича умножение. Правилото за умножение изглежда така: .
Транзитивност на отношението на поръчка.За всяка тройка рационални числа а , bИ ° САко апо-малко bИ bпо-малко ° С, Че апо-малко ° С, и ако аравно на bИ bравно на ° С, Че аравно на ° С. 6435">Комутативност на събирането. Смяната на местата на рационалните членове не променя сумата.
Асоциативност на добавянето.Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличие на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число при добавяне.
Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се добави към, дава 0.
Комутативност на умножението.Смяната на местата на рационалните фактори не променя продукта.
Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличност на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
Наличие на реципрочни числа.Всяко рационално число има обратно рационално число, което, умножено по, дава 1.
Разпределимост на умножението спрямо събирането.Операцията за умножение се координира с операцията за събиране чрез закона за разпределение:
Връзка на отношението на реда с операцията събиране.Наляво и правилната странаЗа рационално неравенство можете да добавите същото рационално число. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Аксиома на Архимед.Каквото и да е рационалното число а, можете да вземете толкова много единици, че техният сбор надвишава а. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Допълнителни имоти

Всички останали свойства, присъщи на рационалните числа, не се отличават като основни, тъй като, най-общо казано, те вече не се основават директно на свойствата на целите числа, но могат да бъдат доказани въз основа на дадени основни свойства или директно чрез дефиницията на някакъв математически обект . Има много такива допълнителни имоти. Тук има смисъл да изброим само няколко от тях.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Изброимост на множество

Номериране на рационални числа

За да оцените броя на рационалните числа, трябва да намерите кардиналността на техния набор. Лесно се доказва, че множеството от рационални числа е изброимо. За да направите това, достатъчно е да дадете алгоритъм, който изброява рационални числа, т.е. установява биекция между наборите от рационални и естествени числа.

Най-простият от тези алгоритми изглежда така. Създава се безкрайна маса обикновени дроби, на всяка аз-ти ред във всяка йколоната, в която се намира фракцията. За категоричност се приема, че редовете и колоните на тази таблица са номерирани от едно. Клетките на таблицата са означени с , където аз- номерът на реда на таблицата, в който се намира клетката, и й- номер на колона.

Получената таблица се преминава с помощта на „змия“ съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира въз основа на първото съвпадение.

В процеса на такова обхождане всяко ново рационално число се свързва с друго естествено число. Тоест дробта 1/1 се приписва на числото 1, дробта 2/1 на числото 2 и т.н. Трябва да се отбележи, че се номерират само несъкратимите дроби. Формален признак за несъкратимост е, че най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дробта е равен на едно.

Следвайки този алгоритъм, можем да изброим всички положителни рационални числа. Това означава, че множеството от положителни рационални числа е изброимо. Лесно е да се установи биекция между наборите от положителни и отрицателни рационални числа, като просто присвоите на всяко рационално число неговата противоположност. Че. множеството от отрицателни рационални числа също е изброимо. Тяхното обединение също е изброимо по свойството на изброими множества. Множеството от рационални числа също е изброимо като обединение на изброимо множество с крайно.

Твърдението за изброимостта на множеството от рационални числа може да предизвика известно объркване, тъй като на пръв поглед изглежда, че то е много по-обширно от множеството от естествени числа. Всъщност това не е така и има достатъчно естествени числа, за да изброим всички рационални.

Липса на рационални числа

Хипотенузата на такъв триъгълник не може да бъде изразена с нищо рационално число

Рационални числа от формата 1 / нна свобода нмогат да се измерват произволно малки количества. Този факт създава подвеждащото впечатление, че рационалните числа могат да се използват за измерване на всякакви геометрични разстояния. Лесно е да се покаже, че това не е вярно.

От Питагоровата теорема знаем, че хипотенузата на правоъгълен триъгълник се изразява като корен квадратен от сбора на квадратите на неговите катети. Че. дължина на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълникс единичен крак е равно на, т.е. число, чийто квадрат е 2.

Ако приемем, че едно число може да бъде представено с някакво рационално число, тогава има такова цяло число ми такова естествено число н, че , и дробта е несъкратима, т.е. числа мИ н- взаимно прости.

Правилна дроб

Четвъртини

Подреденост. аИ bима правило, което позволява еднозначно да се идентифицира една и само една от три връзки между тях: „< », « >" или " = ". Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две неотрицателни числа и са свързани със същата връзка като две цели числа и ; две неположителни числа аИ bса свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и ; ако изведнъж анеотрицателен, но b- тогава отрицателно а > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Събиране на дроби
Операция добавяне.За всякакви рационални числа аИ bима т.нар правило за сумиране ° С. Освен това, самият номер ° СНаречен количествочисла аИ bи се означава с , а процесът за намиране на такова число се нарича сумиране. Правилото за сумиране има следната форма: .
Операция умножение.За всякакви рационални числа аИ bима т.нар правило за умножение, което им приписва някакво рационално число ° С. Освен това, самият номер ° СНаречен работачисла аИ bи се означава с , а процесът на намиране на такова число също се нарича умножение. Правилото за умножение изглежда така: .
Транзитивност на отношението на поръчка.За всяка тройка рационални числа а , bИ ° САко апо-малко bИ bпо-малко ° С, Че апо-малко ° С, и ако аравно на bИ bравно на ° С, Че аравно на ° С. 6435">Комутативност на събирането. Смяната на местата на рационалните членове не променя сумата.
Асоциативност на добавянето.Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличие на нула.Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число при добавяне.
Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се добави към, дава 0.
Комутативност на умножението.Смяната на местата на рационалните фактори не променя продукта.
Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.
Наличност на единица.Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.
Наличие на реципрочни числа.Всяко рационално число има обратно рационално число, което, умножено по, дава 1.
Разпределимост на умножението спрямо събирането.Операцията за умножение се координира с операцията за събиране чрез закона за разпределение:
Връзка на отношението на реда с операцията събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната страна на рационално неравенство. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Аксиома на Архимед.Каквото и да е рационалното число а, можете да вземете толкова много единици, че техният сбор надвишава а. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Допълнителни имоти

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Изброимост на множество

Номериране на рационални числа

Най-простият от тези алгоритми изглежда така. Съставя се безкрайна таблица от обикновени дроби, върху всяка аз-ти ред във всяка йколоната, в която се намира фракцията. За категоричност се приема, че редовете и колоните на тази таблица са номерирани от едно. Клетките на таблицата са означени с , където аз- номерът на реда на таблицата, в който се намира клетката, и й- номер на колона.

Получената таблица се преминава с помощта на „змия“ съгласно следния формален алгоритъм.

Тези правила се търсят отгоре надолу и следващата позиция се избира въз основа на първото съвпадение.

Липса на рационални числа

Хипотенузата на такъв триъгълник не може да бъде изразена с никакво рационално число

От Питагоровата теорема знаем, че хипотенузата на правоъгълен триъгълник се изразява като корен квадратен от сбора на квадратите на неговите катети. Че. дължината на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник с единичен катет е равна на , т.е. числото, чийто квадрат е 2.

Ако , тогава , т.е. м 2 = 2н 2. Следователно броят м 2 е четно, но произведението от две нечетни числа е нечетно, което означава, че самото число мсъщо дори. Така че има естествено число к, така че числото ммогат да бъдат представени във формата м = 2к. Числов квадрат мВ този смисъл м 2 = 4к 2, но от друга страна м 2 = 2н 2 означава 4 к 2 = 2н 2, или н 2 = 2к 2. Както беше показано по-рано за броя м, това означава, че броят н- дори като м. Но тогава те не са относително прости, тъй като и двете са разполовени. Полученото противоречие доказва, че то не е рационално число.

Какви видове дроби има?

В тази нотация числото над линията се нарича числител, а числото под него се нарича знаменател.

Има и смесени числа, тоест такива, които имат цяла и дробна част.

Вторият вид запис е десетична дроб. За нея има отделен разговор.

Как се различават неправилните дроби от смесените числа?

По същество нищо. Това са просто различни записи на един и същи номер. Неправилните дроби лесно се превръщат в смесени числа след прости стъпки. И обратно.

Как да представим смесено число като неправилна дроб?

Ако трябва да извършите някакво действие с няколко числа, които са написани в различни форми, тогава трябва да ги направите еднакви. Един от методите е да представите числа като неправилни дроби.

За тази цел ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

умножете знаменателя по цялата част;
добавете стойността на числителя към резултата;
напишете отговора над реда;
оставете знаменателя същия.

Ето примери как да напишете неправилни дроби от смесени числа:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Как да напиша неправилна дроб като смесено число?

разделете числителя на знаменателя, за да получите остатъка;
напишете частното на мястото на цялата част на смесената;
остатъкът трябва да бъде поставен над линията;
делителя ще бъде знаменателят.

Примери за такава трансформация:

Как да превърнем цяло число в неправилна дроб?

умножете цяло число по желания знаменател;
напишете тази стойност над линията;
поставете знаменателя под него.

Два подхода за решаване на задачи с различни числа

В първия подходсмесеното число ще бъде представено като неправилна дроб.

След като изпълните описаните по-горе стъпки, ще получите следната стойност: 13/5.

За да разберете сумата, трябва да намалите дробите до един и същи знаменател. 13/5 след умножаване по 11 става 143/55. И 14/11 след умножение по 5 ще изглежда като: 70/55. За да изчислите сумата, трябва само да съберете числителите: 143 и 70 и след това да запишете отговора с един знаменател. 213/55 - тази неправилна дроб е отговорът на задачата.

При намиране на разликата се изваждат едни и същи числа: 143 - 70 = 73. Отговорът ще бъде дроб: 73/55.

Същото важи и за разделението. За да решите правилно, трябва да замените делението с умножение и да обърнете делителя: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Във втория подходнеправилна дроб се превръща в смесено число.