Уравнението на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки. Ъгълът между две прави. Условието за успоредност и перпендикулярност на две прави. Определяне на пресечната точка на две прави

1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

2. Уравнение на права, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и б(х 2 , г 2), написано така:

Ъгловият коефициент на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

3. Ъгъл между прави АИ бе ъгълът, на който трябва да се завърти първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия б. Ако две прави линии са дадени чрез уравнения с наклон

г = к 1 х + б 1 ,

В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия в равнина. Нека дадем примери за построяване на общо уравнение на права, ако са известни две точки от тази права или ако са известни една точка и нормалният вектор на тази права. Нека представим методи за трансформиране на уравнение в общ вид в канонични и параметрични форми.

Нека е дадена произволна декартова правоъгълна координатна система Окси. Помислете за първа степен или линейно уравнение:

Където А, Б, В− някои константи и поне един от елементите АИ бразличен от нула.

Ще покажем, че линейно уравнение на равнина определя права линия. Нека докажем следната теорема.

Теорема 1. В произволна декартова правоъгълна координатна система върху равнина всяка права линия може да бъде определена с линейно уравнение. Обратно, всяко линейно уравнение (1) в произволна декартова правоъгълна координатна система в равнина определя права линия.

Доказателство. Достатъчно е да се докаже, че правата линия Лсе определя от линейно уравнение за всяка една декартова правоъгълна координатна система, тъй като тогава ще се определя от линейно уравнение за всеки избор на декартова правоъгълна координатна система.

Нека на равнината е дадена права линия Л. Нека изберем координатна система, така че оста волсъвпадна с права линия Л, и оста Ойбеше перпендикулярно на него. След това уравнението на правата Лще приеме следната форма:

Всички точки на права Лще отговарят на линейно уравнение (2) и всички точки извън тази линия няма да удовлетворяват уравнение (2). Първата част на теоремата е доказана.

Нека е дадена декартова правоъгълна координатна система и е дадено линейно уравнение (1), където поне един от елементите АИ бразличен от нула. Нека намерим геометричното място на точките, чиито координати отговарят на уравнение (1). Тъй като поне един от коефициентите АИ бе различно от нула, тогава уравнение (1) има поне едно решение М(х 0 ,г 0). (Например, когато А≠0, точка М 0 (−C/A, 0) принадлежи на даденото геометрично място от точки). Замествайки тези координати в (1), получаваме идентичността

Нека извадим идентичността (3) от (1):

Очевидно уравнение (4) е еквивалентно на уравнение (1). Следователно е достатъчно да се докаже, че (4) определя определена линия.

Тъй като разглеждаме декартова правоъгълна координатна система, от равенството (4) следва, че векторът с компоненти ( x−x 0 , y−y 0 ) ортогонален на вектора нс координати ( А, Б}.

Нека разгледаме някаква права линия Л, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и перпендикулярна на вектора н(Фиг. 1). Нека точката М(х,y) принадлежи на линията Л. След това векторът с координати x−x 0 , y−y 0 перпендикулярно ни уравнение (4) е изпълнено (скаларен продукт на вектори ни равно на нула). Обратно, ако точка М(х,y) не лежи на права Л, след това вектора с координати x−x 0 , y−y 0 не е ортогонален на вектора ни уравнение (4) не е изпълнено. Теоремата е доказана.

Доказателство. Тъй като линии (5) и (6) определят една и съща линия, тогава нормалните вектори н 1 ={А 1 ,б 1) и н 2 ={А 2 ,б 2) колинеарен. Тъй като вектори н 1 ≠0, н 2 ≠0, значи има такова число λ , Какво н 2 =н 1 λ . От тук имаме: А 2 =А 1 λ , б 2 =б 1 λ . Нека докажем това ° С 2 =° С 1 λ . Очевидно съвпадащите прави имат обща точка М 0 (х 0 , г 0). Умножавайки уравнение (5) по λ и като извадим уравнение (6) от него, получаваме:

Тъй като първите две равенства от изразите (7) са изпълнени, то ° С 1 λ −° С 2 =0. Тези. ° С 2 =° С 1 λ . Забележката е доказана.

Обърнете внимание, че уравнение (4) определя уравнението на правата линия, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и има нормален вектор н={А, Б). Следователно, ако нормалният вектор на правата и точката, принадлежаща на тази права, са известни, тогава общото уравнение на правата може да бъде конструирано с помощта на уравнение (4).

Пример 1. Права линия минава през точка М=(4,−1) и има нормален вектор н=(3, 5). Съставете общото уравнение на права.

Решение. Ние имаме: х 0 =4, г 0 =−1, А=3, б=5. За да изградим общото уравнение на права линия, заместваме тези стойности в уравнение (4):

Отговор:

Векторът е успореден на правата Ли следователно перпендикулярна на нормалния вектор на правата Л. Нека построим нормален вектор Л, като се има предвид, че скаларното произведение на векторите ни равно на нула. Можем да напишем, например, н={1,−3}.

За да съставим общото уравнение на права линия, използваме формула (4). Нека заместим координатите на точката в (4) М 1 (можем също да вземем координатите на точката М 2) и нормален вектор н:

Заместване на координатите на точките М 1 и М 2 в (9) можем да се уверим, че правата, дадена от уравнение (9), минава през тези точки.

Отговор:

Извадете (10) от (1):

Получихме каноничното уравнение на правата. вектор р={−б, А) е векторът на посоката на линия (12).

Вижте обратно преобразуване.

Пример 3. Права линия в равнина се представя със следното общо уравнение:

Нека преместим втория член надясно и разделим двете страни на уравнението на 2·5.

Уравнение на права на равнина.

Както е известно, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.

Определение. Уравнение на линиятасе нарича връзката y = f(x) между координатите на точките, които образуват тази права.

Обърнете внимание, че уравнението на права може да бъде изразено параметрично, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметър T.

Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай ролята на параметър се играе от времето.

Уравнение на права на равнина.

Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2  0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на права линия.

В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A  0, B  0 – правата минава през началото

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy

B = C = 0, A  0 – правата линия съвпада с оста Oy

A = C = 0, B  0 – правата съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права от точка и нормален вектор.

Определение. В декартовата правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата линия, дадена от уравнението Ax + By + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на правата, минаваща през точката A(1, 2), перпендикулярна на вектора (3, -1).

При A = 3 и B = -1, нека съставим уравнението на правата: 3x – y + C = 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадената точка A в получения израз.

Получаваме: 3 – 2 + C = 0, следователно C = -1.

Общо: необходимото уравнение: 3x – y – 1 = 0.

Уравнение на права, минаваща през две точки.

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата, минаваща през тези точки, е:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

На равнината уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1  x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.

Фракция
=k се извиква наклонправ.

Пример.Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A(1, 2) и B(3, 4).

Прилагайки формулата, написана по-горе, получаваме:

Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 се редуцира до формата:

и посочете
, тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклонк.

Уравнение на права от точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормален вектор, можете да въведете дефиницията на права линия през точка и насочващия вектор на правата линия.

Определение. Всеки ненулев вектор ( 1,  2), чиито компоненти удовлетворяват условието A 1 + B 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата.

Ax + Wu + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на права с насочен вектор (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Ще търсим уравнението на желаната линия във формата: Ax + By + C = 0. В съответствие с дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията:

1A + (-1)B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата има формата: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при x = 1, y = 2 получаваме C/A = -3, т.е. необходимо уравнение:

Уравнение на права линия в отсечки.

Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С 0, тогава, разделяйки на –С, получаваме:
или

, Където

Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът Ае координатата на пресечната точка на правата с оста Ox, и b– координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата x – y + 1 = 0. Намерете уравнението на тази права в отсечки.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права.

Ако двете страни на уравнението Ax + By + C = 0 се разделят на числото
което се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcos + ysin - p = 0 –

нормално уравнение на права.

Знакът  на нормиращия фактор трябва да бъде избран така, че С< 0.

p е дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, а  е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата 12x – 5y – 65 = 0. Необходимо е да се напишат различни видове уравнения за тази права.

уравнение на тази линия в сегменти:

уравнение на тази права с наклон: (разделете на 5)

нормално уравнение на линия:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии, успоредни на осите или минаващи през началото на координатите.

Пример.Правата линия отрязва равни положителни отсечки по координатните оси. Напишете уравнение на права линия, ако площта на триъгълника, образуван от тези сегменти, е 8 cm 2.

Уравнението на правата линия е:
, a = b = 1; ab/2 = 8; а = 4; -4.

a = -4 не е подходящ според условията на проблема.

Обща сума:
или x + y – 4 = 0.

Пример.Напишете уравнение за права линия, минаваща през точка A(-2, -3) и началото.

Уравнението на правата линия е:
, където x 1 = y 1 = 0; х 2 = -2; y 2 = -3.

Ъгълът между прави в равнина.

Определение. Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези линии ще бъде определен като

.

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2.

Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/k 2 .

Теорема. Директни линии Ax + Wu + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A са пропорционални 1 =  А, Б 1 =  B. Ако също C 1 =  C, тогава линиите съвпадат.

Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка

перпендикулярна на тази линия.

Определение. Права линия, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, е представена от уравнението:

Разстояние от точка до права.

Теорема. Ако точката M(x) е дадена 0 , г 0 ), тогава разстоянието до правата Ах + Ву + С =0 се определя като

.

Доказателство. Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точка M към дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

.

Теоремата е доказана.

Пример.Определете ъгъла между правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Пример.Покажете, че правите 3x – 5y + 7 = 0 и 10x + 6y – 3 = 0 са перпендикулярни.

Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно, линиите са перпендикулярни.

Пример.Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглена от върха C.

Намираме уравнението на страната AB:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Необходимото уравнение на височината има формата: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогава y =
. защото височината минава през точка С, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение:
откъдето b = 17. Общо:
.

Отговор: 3x + 2y – 34 = 0.

Аналитична геометрия в пространството.

Уравнение на права в пространството.

Уравнение на права в пространството с точка и

вектор на посоката.

Нека вземем произволна права и вектор (m, n, p), успоредна на дадената права. вектор Наречен водещ векторправ.

На правата вземаме две произволни точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и M (x, y, z).

z

М 1

Нека обозначим радиус векторите на тези точки като И , това е очевидно - =
.

защото вектори
И са колинеарни, тогава връзката е вярна
= t, където t е някакъв параметър.

Общо можем да напишем: = + T.

защото това уравнение е изпълнено от координатите на всяка точка от линията, тогава полученото уравнение е параметрично уравнение на линия.

Това векторно уравнение може да бъде представено в координатна форма:

Чрез трансформиране на тази система и приравняване на стойностите на параметъра t, получаваме каноничните уравнения на права линия в пространството:

.

Определение. Насочващи косинусидиректни са насочващите косинуси на вектора , което може да се изчисли по формулите:

;

.

От тук получаваме: m: n: p = cos : cos : cos.

Числата m, n, p се наричат ъглови коефициентиправ. защото е ненулев вектор, тогава m, n и p не могат да бъдат равни на нула едновременно, но едно или две от тези числа могат да бъдат равни на нула. В този случай в уравнението на правата съответните числители трябва да бъдат равни на нула.

Уравнение на права линия в пространството

през две точки.

Ако на една права линия в пространството маркираме две произволни точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), тогава координатите на тези точки трябва да удовлетворяват уравнението на правата линия получено по-горе:

.

Освен това за точка M 1 можем да запишем:

.

Решавайки тези уравнения заедно, получаваме:

.

Това е уравнението на права, минаваща през две точки в пространството.

Общи уравнения на права линия в пространството.

Уравнението на правата линия може да се разглежда като уравнението на пресечната линия на две равнини.

Както беше обсъдено по-горе, равнина във векторна форма може да бъде определена от уравнението:

+ D = 0, където

- равнина нормална; - радиус е векторът на произволна точка от равнината.

Уравнение на права, минаваща през две точки. В статията" " Обещах ви да разгледам втория начин за решаване на представените задачи за намиране на производната, дадена графика на функция и допирателна към тази графика. Ще обсъдим този метод в , не пропускайте! Защов следващия?

Факт е, че там ще се използва формулата за уравнението на права линия. Разбира се, можем просто да покажем тази формула и да ви посъветваме да я научите. Но е по-добре да обясните откъде идва (как се извлича). Необходимо е! Ако го забравите, можете бързо да го възстановитеняма да е трудно. Всичко е описано подробно по-долу. И така, имаме две точки А на координатната равнина(x 1;y 1) и B(x 2;y 2), през посочените точки се прекарва права линия:

Ето и самата директна формула:

*Тоест, при заместване на конкретни координати на точки, получаваме уравнение от вида y=kx+b.

**Ако просто „наизустите“ тази формула, тогава има голяма вероятност да се объркате с индексите, когато х. Освен това индексите могат да бъдат обозначени по различни начини, например:

Ето защо е важно да разберете смисъла.

Сега извеждането на тази формула. Всичко е много просто!

Триъгълниците ABE и ACF са подобни по остър ъгъл (първият признак за сходство на правоъгълните триъгълници). От това следва, че съотношенията на съответните елементи са равни, т.е.

Сега просто изразяваме тези сегменти чрез разликата в координатите на точките:

Разбира се, няма да има грешка, ако напишете връзките на елементите в различен ред (основното е да поддържате последователност):

Резултатът ще бъде същото уравнение на правата. Това е всичко!

Тоест, без значение как са обозначени самите точки (и техните координати), като разберете тази формула, винаги ще намерите уравнението на права линия.

Формулата може да бъде получена чрез свойствата на векторите, но принципът на извеждане ще бъде същият, тъй като ще говорим за пропорционалността на техните координати. В този случай работи същото сходство на правоъгълни триъгълници. Според мен заключението, описано по-горе, е по-ясно)).

Вижте изхода чрез векторни координати >>>

Нека върху координатната равнина е построена права линия, минаваща през две дадени точки A(x 1;y 1) и B(x 2;y 2). Нека отбележим произволна точка C на правата с координати ( х; г). Означаваме също два вектора:

Известно е, че за вектори, лежащи на успоредни прави (или на една права), съответните им координати са пропорционални, т.е.

— записваме равенството на съотношенията на съответните координати:

Да разгледаме един пример:

Намерете уравнението на права линия, минаваща през две точки с координати (2;5) и (7:3).

Дори не е нужно да изграждате самата права линия. Прилагаме формулата:

Важно е да разберете кореспонденцията, когато съставяте съотношението. Няма да сгрешите, ако напишете:

Отговор: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

За да сте сигурни, че полученото уравнение е намерено правилно, не забравяйте да проверите - заменете координатите на данните в условието на точките в него. Уравненията трябва да са правилни.

Това е всичко. Надявам се материалът да ви е бил полезен.

С уважение, Александър.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Каноничните уравнения на права в пространството са уравнения, които определят права, минаваща през дадена точка, колинеарна на насочващия вектор.

Нека са дадени точка и насочващ вектор. Произволна точка лежи на права лсамо ако векторите и са колинеарни, т.е. за тях е изпълнено условието:

.

Горните уравнения са каноничните уравнения на правата линия.

Числа м , нИ стрса проекции на вектора на посоката върху координатните оси. Тъй като векторът е различен от нула, тогава всички числа м , нИ стрне могат едновременно да бъдат равни на нула. Но една или две от тях може да се окажат нула. В аналитичната геометрия, например, е разрешен следният запис:

,

което означава, че проекциите на вектора върху оста ОйИ Озса равни на нула. Следователно както векторът, така и правата, определени от каноничните уравнения, са перпендикулярни на осите ОйИ Оз, тоест самолети yOz .

Пример 1.Напишете уравнения за права в пространството, перпендикулярна на равнина и минаваща през пресечната точка на тази равнина с оста Оз .

Решение. Нека намерим пресечната точка на тази равнина с оста Оз. Тъй като всяка точка, лежаща на оста Оз, има координати , тогава, приемайки в даденото уравнение на равнината x = y = 0, получаваме 4 z- 8 = 0 или z= 2. Следователно точката на пресичане на тази равнина с оста Озима координати (0; 0; 2) . Тъй като желаната права е перпендикулярна на равнината, тя е успоредна на нейния нормален вектор. Следователно насочващият вектор на правата може да бъде нормалният вектор дадена равнина.

Сега нека напишем необходимите уравнения на права линия, минаваща през точка А= (0; 0; 2) по посока на вектора:

Уравнения на права, минаваща през две дадени точки

Една права линия може да бъде определена от две точки, лежащи върху нея И В този случай насочващият вектор на правата може да бъде векторът . Тогава каноничните уравнения на правата приемат формата

.

Горните уравнения определят права, минаваща през две дадени точки.

Пример 2.Напишете уравнение за права в пространството, минаваща през точките и .

Решение. Нека запишем необходимите уравнения на правата във формата, дадена по-горе в теоретичната справка:

.

Тъй като , тогава желаната права е перпендикулярна на оста Ой .

Права като линията на пресичане на равнини

Правата линия в пространството може да се дефинира като пресечна линия на две неуспоредни равнини и, т.е., като набор от точки, удовлетворяващи система от две линейни уравнения

Уравненията на системата се наричат ​​още общи уравнения на права линия в пространството.

Пример 3.Съставяне на канонични уравнения на права в пространството, дадена от общи уравнения

Решение. За да напишете каноничните уравнения на права или, което е същото, уравненията на права, минаваща през две дадени точки, трябва да намерите координатите на произволни две точки от правата. Те могат да бъдат точките на пресичане на права линия с произволни две координатни равнини, например yOzИ xOz .

Пресечна точка на права и равнина yOzима абсциса х= 0 . Следователно, приемайки в тази система от уравнения х= 0, получаваме система с две променливи:

Нейното решение г = 2 , z= 6 заедно с х= 0 дефинира точка А(0; 2; 6) желаната линия. След това приемаме в дадената система от уравнения г= 0, получаваме системата

Нейното решение х = -2 , z= 0 заедно с г= 0 дефинира точка б(-2; 0; 0) пресечна точка на права с равнина xOz .

Сега нека напишем уравненията на правата, минаваща през точките А(0; 2; 6) и б (-2; 0; 0) :

,

или след разделяне на знаменателите на -2:

,