Radni list iz geometrije "Relativni položaj prave i kružnice. Relativni položaj dva kruga" (7. razred). Relativni položaj prave linije i kružnice

Neka su na ravni date kružnica i neka prava linija. Ispustimo okomicu iz središta kružnice C na ovu pravu liniju; označimo sa osnovom ove okomice. Tačka može zauzimati tri moguća položaja u odnosu na kružnicu: a) ležati izvan kruga, b) na kružnici, c) unutar kruga. Ovisno o tome, ravna linija će zauzeti jednu od tri moguća različita položaja u odnosu na krug, opisana u nastavku.

a) Neka osnova okomice ispuštena iz centra C kružnice na pravu liniju a leži izvan kružnice (Sl. 197). Tada prava linija ne siječe kružnicu, sve njene točke leže u vanjskom području. Doista, u navedenom slučaju, prema uvjetu, uklonjen je iz središta na udaljenosti većoj od radijusa). Štaviše, za bilo koju tačku M na pravoj liniji a imamo, to jest, svaka tačka na datoj pravoj leži izvan kruga.

b) Neka osnova okomice padne na kružnicu (Sl. 198). Tada prava a ima tačno jednu zajedničku tačku sa kružnicom. Zaista, ako je M bilo koja druga tačka prave, tada (kose su duže od okomice) tačka M leži u spoljnoj oblasti. Takva prava, koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom, naziva se tangenta na kružnicu u ovoj tački. Pokažimo da, obrnuto, ako prava linija ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom, tada je poluprečnik povučen do ove tačke okomit na ovu pravu liniju. Zaista, pustimo okomicu iz centra na ovu pravu. Ako bi njegova osnova ležala unutar kruga, tada bi prava linija imala dvije zajedničke tačke s njom, kao što je prikazano u c). Ako leži izvan kruga, onda na osnovu a) prava linija ne bi imala zajedničke tačke sa kružnicom.

Stoga ostaje pretpostaviti da okomica pada u zajedničku tačku prave i kružnice - na tačku njihove dodire. Dokazano je da je važno

Teorema. Prava linija koja prolazi kroz tačku na kružnici dodiruje kružnicu ako i samo ako je okomita na poluprečnik povučen do te tačke.

Imajte na umu da se ovdje data definicija tangente na kružnicu ne prenosi na druge krive. Općenitija definicija tangente prave na krivu liniju povezana je s konceptima teorije granica i detaljno je razmotrena u predmetu višu matematiku. Ovdje ćemo pričati samo o tome opšti koncept. Neka je data kružnica i tačka A na njoj (slika 199).

Uzmimo drugu tačku A na kružnici i spojimo obje tačke prave AA. Neka tačka A, koja se kreće duž kružnice, zauzima niz novih pozicija, približavajući se sve više i više tački A. Prava linija AA, koja rotira oko A, zauzima više položaja: u ovom slučaju, kako se tačka koja se kreće približava tački A , prava linija teži da se poklopi sa tangentom AT. Stoga možemo govoriti o tangenti kao graničnom položaju sekante koja prolazi kroz datu tačku i tačke na krivulji koja joj se neograničeno približava. U ovom obliku, definicija tangente je primjenjiva na krive vrlo opšti pogled(Sl. 200).

c) Konačno, neka tačka leži unutar kruga (Sl. 201). Onda . Razmotrit ćemo nagnute kružnice povučene na pravu liniju a iz centra C, sa bazama koje se udaljuju od tačke u bilo kojem od dva moguća smjera. Dužina nagiba monotono će se povećavati kako se njegova baza udaljava od tačke; ovo povećanje dužine nagiba događa se postepeno („kontinuirano“) od vrijednosti bliskih do proizvoljno velikih vrijednosti, stoga se čini jasnim da na određenom položaju nagnutih osnova njihova dužina će biti tačno jednaka odgovarajućim tačkama K i L prave će ležati na kružnici.

Međusobni dogovor prava i kružnica Hajde da saznamo koliko zajedničkih tačaka mogu imati prava i kružnica, u zavisnosti od njihovog relativnog položaja. Jasno je da ako prava linija prolazi središtem kružnice, onda ona siječe krug na dva kraja promjera koji leže. ovaj prima.

Neka bude pravo R ne prolazi kroz centar kruga radijusa r. Nacrtajmo okomicu HE na pravu liniju R i označiti slovom d dužina ove okomice, tj. udaljenost od središta ove kružnice do prave linije (Sl. 1 ). Istražujemo relativni položaj prave i kružnice ovisno o odnosu između njih d I r. Postoje tri moguća slučaja.

1) d R od tačke N odložite dva segmenta ON I NV, dužine koje su jednake (slika 1) Prema Pitagorinoj teoremi OA=,

0 B= Dakle, tačke A I IN leže na kružnici i stoga su zajedničke tačke prave R i dati krug.

Hajde da dokažemo da je linija R i ovaj krug nema drugih zajedničkih tačaka. Pretpostavimo da imaju još jednu zajedničku tačku C. Zatim medijana O.D. jednakokraki trougao OAS. odnesen u bazu AC, je visina ovog trougla, dakle ODstr. Segmenti O.D. I HE ne podudaraju

od sredine D segment AC ne uklapa se sa tačkom N - središnja tačka segmenta , AB. Otkrili smo da su iz tačke O povučene dvije okomice: HE I OD- na pravu liniju R,što je nemoguće. Dakle Ako razdaljina udaljenost od središta kruga do prave linije je manja od polumjera kružnice (d< р), To prava linija i krugPostoje dvije zajedničke tačke. U ovom slučaju se poziva linija secant u odnosu na krug.

2) d=r. U ovom slučaju OH=r, odnosno tačka N leži na kružnici i stoga je zajednička tačka prave i kružnice (slika 1, b). Pravo R i krug nemaju druge zajedničke tačke, jer za bilo koju tačku M ravno R. drugačije od tačke N, OM>OH= r(koso OM više okomito ON), i zbog toga , tačka M ne leži na kružnici. Sta ako raseUdaljenost od središta kruga do prave je jednaka polumjeru, tada prava linija i kružnica imaju samo jednu zajedničku tačku.

3) d>r U ovom slučaju -OH> r Zbog toga . za bilo koju tačku M ravno p 0MON.>r( pirinač . 1,A) Dakle, tačka M ne leži na kružnici. dakle, .ako je udaljenost od centra krugaAko je udaljenost do prave linije veća od polumjera kružnice, tada prava linija i kružnica nemaju zajedničkih tačaka.

Dokazali smo da prava i kružnica mogu imati jednu ili dvije zajedničke tačke, a ne moraju imati nijednu zajedničku tačku. Prava linija sa krugom samo jedan zajednička tačka se zove tangenta na kružnicu, i njihov zajednička tačka naziva se tačka dodira prave i kružnice. Na slici 2 je prava linija R- tangenta na kružnicu sa centrom O, A- tačka kontakta.

Dokažimo teoremu o svojstvu tangente.

Teorema. Tangenta na kružnicu je okomita To radijus povučen do tačke kontakta.

Dokaz. Neka R- tangenta na kružnicu sa centrom O. A- tačka kontakta (vidi sliku 2). Dokažimo to. šta je tangenta R okomito na poluprečnik OA.

Pretpostavimo da to nije slučaj. Zatim radijus: OA je nagnut prema pravoj liniji R. Budući da je okomica povučena iz tačke O na pravu liniju R, manje skloni OA, zatim udaljenosti od centra O krug do prave linije R manji od radijusa. Stoga, pravo R i krug imaju dvije zajedničke tačke. Ali ovo je u suprotnosti sa uslovom; ravno R- tangenta. Dakle, ravno R okomito na poluprečnik OA. Teorema je dokazana.

Razmotrimo dvije tangente na kružnicu sa centrom O, prolazeći kroz tačku A i dodirivanje kruga u tačkama IN i C (slika 3). Segmenti AB I AC nazovimo tangentni segmentinyh, izvučeno iz tačke A. Oni imaju sljedeću osobinu, što proizilazi iz dokazane teoreme:

Segmenti tangenti na kružnicu povučeni iz jedne tačke su jednaki i čine jednake uglove sa pravom linijom koja prolazi kroz ovu tačku i centar kružnice.

Da bismo dokazali ovu tvrdnju, okrenimo se slici 3. Prema teoremi o svojstvu tangente, uglovi 1 i 2 su pravi uglovi, dakle trouglovi ABO I ASO pravougaona. Oni su jednaki jer imaju zajedničku hipotenuzu OA i jednake noge OB I OS. dakle, AB=AC i 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Rice. 2 Fig. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Crtanje prečnika kroz tačku kontakta ME, imat će: ; Zbog toga

Rice. 1 Fig. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Zavisnost između lukova, tetiva i udaljenosti tetiva od centra.

Teoreme. U jednom krugu ili V jednaki krugovi :

1) ako su lukovi jednaki, onda su tetivi koji ih savijaju jednaki i jednako udaljeni od centra;

2) ako dva luka manja od polukruga nisu jednaka, tada je veći od njih sužen većom tetivom, a od oba tetiva veći se nalazi bliže centru .

1) Neka luk AB jednak luku CD(Sl. 1), potrebno je dokazati da su tetive AB i CD jednaka i isto tako jednaka i okomita OE I OF, spušten od centra do akorda.

Rotirajmo sektor OAJB oko centra O u smjeru označenom strelicom toliko da radijus O poklopio sa OS. Zatim luk VA. ići će u luku CD i zbog njihove jednakosti, ovi lukovi će se preklapati. To znači da se akord AS poklapa sa akordom CD i okomito OEće se poklopiti sa OF(iz jedne tačke se samo jedna okomica može spustiti na pravu liniju), tj. AB=CD I OE=OF.

2) Neka luk AB(Sl. 2) manje luka CD, i, štaviše, oba luka su manja od polukruga; potrebno je dokazati da je tetiva AB manje akord CD, i okomito OE više okomito OF. Stavimo to na luk CD arc SK, jednak AB, i nacrtajte pomoćni akord SK, što je, prema onome što je dokazano, jednako akordu AB i podjednako udaljena od centra. Na trouglove C.O.D. I JUICE dvije strane jedne su jednake dvjema stranicama druge (kao radijusi), ali uglovi zatvoreni između ovih stranica nisu jednaki; u ovom slučaju, kao što znamo, protiv većeg od uglova, tj. lCOD, veća strana mora ležati, što znači CD>CK, i zato CD>AB.

Da to dokažem OE>OF, mi ćemo sprovesti OLXCK i uzeti u obzir da, prema onome što je dokazano, OE=OL; stoga nam je dovoljno da uporedimo OF With OL. U pravouglu 0 FM(na slici prekrivena crticama) hipotenuza OM više nogu OF; Ali OL>OM; to znači čak i više OL>OF. i zato OE>OF.

Teorema koju smo dokazali za jednu kružnicu ostaje tačna i za jednake krugove, jer se takve kružnice razlikuju jedna od druge samo po položaju.

Obratne teoreme. Budući da su u prethodnom paragrafu razmatrane sve vrste međusobno isključivih slučajeva u odnosu na uporednu veličinu dva luka istog polumjera, te su dobijeni međusobno isključivi zaključci u pogledu komparativne veličine tetiva i njihovih udaljenosti od centra, onda se moraju suprotne tvrdnje istina, c. upravo:

IN jedan krug ili jednaki krugovi:

1) jednake tetive su podjednako udaljene od centra i savijaju jednake lukove;

2) akordi jednako udaljeni od centra su jednaki i zatežu jednake lukove;

3) od dva nejednaka tetiva, veći je bliži centru i savija veći luk;

4) dva akorda nejednako udaljena od centra, koji je bliži centru je veći i savija veći luk.

Ove tvrdnje se lako mogu dokazati kontradikcijom. Na primjer, da bismo dokazali prvi od njih, razmišljamo na sljedeći način: ako bi ovi tetivi savijali nejednake lukove, onda, prema direktnoj teoremi, oni ne bi bili jednaki, što je u suprotnosti s uslovom; to znači da jednaki akordi moraju savijati jednake lukove; a ako su lukovi jednaki, tada su, prema direktnoj teoremi, tetivi koji ih savijaju jednako udaljeni od centra.

Teorema. Prečnik je najveći od akorda .

Ako se povežemo sa centrom O krajevi nekog akorda koji ne prolazi kroz centar, na primjer tetiva AB(Sl. 3) tada dobijamo trougao AOB, u kojem je jedna strana ova tetiva, a druge dvije polumjeri, ali u trokutu, svaka strana je manja od zbira druge dvije strane; dakle akord AB manji od zbira dva poluprečnika; dok svaki prečnik CD jednak zbiru dva poluprečnika. To znači da je prečnik veći od bilo koje tetive koja ne prolazi kroz centar. Ali pošto je prečnik takođe tetiva, možemo reći da je prečnik najveći od tetiva.

Rice. 1 Fig. 2

Teorema tangente.

Kao što je već pomenuto, tangentni segmenti povučeni u kružnicu iz jedne tačke imaju istu dužinu. Ova dužina se zove tangentna udaljenost od tačke do kruga.

Bez teoreme tangente nemoguće je riješiti više od jednog problema o upisanim kružnicama, drugim riječima, o kružnicama koje dodiruju stranice poligona.

Tangentne udaljenosti u trokutu.

Pronađite dužine segmenata za koje su stranice trougla ABC podijeljeni su tačkama dodira sa upisanim krugom (slika 1,a), na primjer, tangentna udaljenost ta od tačke A u krug. Dodajmo strane b I c, a zatim oduzmite stranu od zbira A. Uzimajući u obzir jednakost tangenti povučenih iz jednog vrha, dobijamo 2 ta. dakle,

ta=(b+c-a)/ 2=p-a,

Gdje p=(a+b+c)/ 2 je poluperimetar ovog trougla. Dužina bočnih segmenata uz vrhove IN I WITH, jednaki su redom p-b I p-c.

Slično, za kružnu kružnicu trougla tangentu na (izvan) stranu A(Sl. 1, b), tangentne udaljenosti od IN I WITH su jednake respektivno p-c I p-b, i odozgo A- Samo str.

Imajte na umu da se ove formule mogu koristiti i u suprotnom smjeru.

Neka ide u ugao TI kružnica je upisana, a tangentna udaljenost od vrha ugla do kružnice jednaka jestr ilip- a, Gdjestr– poluperimetar trougla ABC, A a=BC. Zatim krug dodiruje liniju Ned(odnosno izvan ili unutar trougla).

U stvari, neka je, na primjer, tangentna udaljenost jednaka p-a. Tada naše kružnice dodiruju stranice ugla u istim tačkama kao i upisana kružnica trokuta ABC, što znači da se poklapa s njim. Dakle, dodiruje liniju Ned.

Opisani četvorougao. Iz teoreme o jednakosti tangenti odmah slijedi (slika 2a) da

Ako se kružnica može upisati u četverokut, tada su zbroji njegovih suprotnih strana jednaki:

AD+ BC= AB+ CD

Imajte na umu da je opisani četverougao nužno konveksan. Vrijedi i obrnuto:

Ako je četverougao konveksan i sume njegovih suprotnih strana jednake, tada se u njega može upisati kružnica.

Dokažimo ovo za četverougao koji nije paralelogram. Neka, na primjer, neke dvije suprotne strane četverougla AB I DC, kada se nastave oni će se preseći u tački E(Sl. 2, b). Upišemo kružnicu u trougao ADE. Njegova tangentna udaljenost te do tačke E izraženo formulom

te=½ (AE+ED-AD).

Ali prema uslovu, sume suprotnih strana četvorougla su jednake, što znači AD+BC=AB+CD, ili AD=AB+CD-B.C.. Zamjena ove vrijednosti u izraz za te, dobijamo

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (BE+EC+prije Krista),

a ovo je poluperimetar trougla B.C.E.. Iz gore dokazanog uvjeta tangentnosti slijedi da se naš krug dodiruje B.C..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Dvije tangente povučene na kružnicu iz tačke izvan nje su jednake i tvore jednake uglove sa pravom linijom koja povezuje ovu tačku sa centrom, što proizilazi iz jednakosti pravokutnih trouglova AOB i AOB1

Sastavio nastavnik matematike

MBOU Srednja škola br. 18, Krasnojarsk

Andreeva Inga Viktorovna

Relativni položaj prave linije i kružnice

O R – radijus

WITH D – prečnika

AB- akord

• Krug sa centrom u tački O radijus r
• Prava linija koja ne prolazi kroz centar O
• Označimo slovom udaljenost od središta kruga do ravne linije s

Moguća su tri slučaja:

• 1) s

• manje poluprečnik kružnice, zatim prava linija i kružnica imaju dve zajedničke tačke .

Direktan AB se zove secant u odnosu na krug.

Moguća su tri slučaja:

• 2 ) s = r

• Ako je udaljenost od središta kruga do prave linije jednaki poluprečnik kružnice, zatim prava linija i kružnica imaju samo jedna zajednička tačka .

s = r

Moguća su tri slučaja:

• 3 ) sr

• Ako je udaljenost od središta kruga do prave linije više poluprečnik kruga, zatim prava linija i kružnica nemaju zajedničkih tačaka .

Tangenta na kružnicu

definicija: P prava koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom naziva se tangenta na kružnicu, a njihova zajednička tačka se naziva tangentna tačka prave i kružnice.

s = r

• prava linija - sekansa
• prava linija - sekansa
• nema zajedničkih tačaka
• prava linija - sekansa
• prava linija - tangenta

• r = 15 cm, s = 11 cm
• r = 6 cm, s = 5,2 cm
• r = 3,2 m, s = 4,7 m
• r = 7 cm, s = 0,5 dm
• r = 4 cm, s = 4 0 mm

Reši br. 633.

• OABC- kvadrat
• AB = 6 cm
• Krug sa centrom O poluprečnika 5 cm

sekante pravih OA, AB, BC, AC

Svojstvo tangente: Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke tangente.

m– tangenta na kružnicu sa centrom O

M– tačka kontakta

OM- radijus

Znak tangente: Ako prava prolazi kroz kraj poluprečnika koji leži na kružnici i okomita je na poluprečnik, onda je to asative.

krug sa centrom O

radijus OM

m- prava linija koja prolazi kroz tačku M

m – tangenta

Svojstvo tangenti koje prolaze kroz jednu tačku:

Tangentni segmenti na

nacrtani krugovi

iz iste tačke, jednaki su i

napraviti jednake uglove

sa pravom linijom koja prolazi

ovu tačku i centar kružnice.

▼ Svojstvom tangente

∆ AVO, ∆ ASO – pravougaoni

∆ ABO= ∆ ACO – duž hipotenuze i kraka:

OA - general,

Krug - geometrijska figura, koji se sastoji od svih tačaka ravnine koje se nalaze na datoj udaljenosti od date tačke.

Ova tačka (O) se zove centar kruga.
Radijus kruga- ovo je segment koji povezuje centar sa bilo kojom tačkom na kružnici. Svi radijusi imaju istu dužinu (po definiciji).
Akord- segment koji spaja dvije tačke na kružnici. Zove se tetiva koja prolazi središtem kružnice prečnika. Središte kružnice je središte bilo kojeg prečnika.
Bilo koje dvije tačke na kružnici dijele ga na dva dijela. Svaki od ovih dijelova se zove luk kružnice. Luk se zove polukrug, ako je segment koji povezuje njegove krajeve promjer.
Dužina jediničnog polukruga je označena sa π .
Zbir stepena mjera dvaju luka kružnice sa zajedničkim krajevima jednak je 360º.
Zove se dio ravni omeđen kružnicom Svuda okolo.
Kružni sektor- dio kružnice omeđen lukom i dva radijusa koji povezuju krajeve luka sa središtem kruga. Zove se luk koji ograničava sektor luk sektora.
Zovu se dva kruga koji imaju zajednički centar koncentrična.
Zovu se dva kruga koji se sijeku pod pravim uglom ortogonalno.

Relativni položaj prave linije i kružnice

1. Ako je udaljenost od središta kruga do prave linije manja od polumjera kružnice ( d), tada prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke. U ovom slučaju se poziva linija secant u odnosu na krug.
2. Ako je udaljenost od središta kruga do ravne linije jednaka polumjeru kružnice, tada prava i kružnica imaju samo jednu zajedničku tačku. Ova linija se zove tangenta na kružnicu, a njihova zajednička tačka se zove tačka dodira između prave i kružnice.
3. Ako je udaljenost od središta kružnice do ravne linije veća od polumjera kružnice, tada je ravna i kružnica nemaju zajedničkih tačaka
.

Centralni i upisani uglovi

Centralni ugao je ugao sa svojim vrhom u centru kružnice.
Upisani ugao- ugao čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku kružnicu.

Teorema upisanog ugla

Upisani ugao mjeri se polovinom luka na koji se naginje.

• Zaključak 1.
  Upisani uglovi koji savijaju isti luk su jednaki.


• Zaključak 2.
  Upisani ugao sastavljen polukrugom je pravi ugao.

Teorema o proizvodu segmenata tetiva koje se seku.

Ako se dvije tetive kružnice sijeku, onda je proizvod segmenata jedne tetive jednak proizvodu segmenata druge tetive.

Osnovne formule

• Obim:

• Dužina kružnog luka:

• Prečnik:

• Dužina kružnog luka:

• Površina kruga:

• Područje kružnog sektora:

Jednačina kružnice

• IN pravougaoni sistem koordinatna jednadžba radijusa kružnice r centriran u tački C(x o;y o) ima oblik:

• Jednačina kružnice poluprečnika r sa centrom u početku ima oblik: