Ordnen Sie im angegebenen Intervall eine Fourier-Reihe an. Die Fourierreihe. Erweiterung einer Funktion in eine Fourier-Reihe. Erweiterung einer Funktion in eine Reihe von Sinus- und Cosinuswerten

Viele Prozesse in Natur und Technik neigen dazu, sich in bestimmten Abständen zu wiederholen. Solche Prozesse werden periodisch genannt und mathematisch durch periodische Funktionen beschrieben. Zu diesen Funktionen gehören Sünde(X) , cos(X) , Sünde(wx), cos(wx) . Die Summe zweier periodischer Funktionen, zum Beispiel eine Funktion der Form , ist im Allgemeinen nicht mehr periodisch. Aber es kann bewiesen werden, dass wenn die Beziehung w 1 / w 2 eine rationale Zahl ist, dann ist diese Summe eine periodische Funktion.

Die einfachsten periodischen Prozesse – harmonische Schwingungen – werden durch periodische Funktionen beschrieben Sünde(wx) Und cos(wx). Komplexere periodische Prozesse werden durch Funktionen beschrieben, die entweder aus einer endlichen oder einer unendlichen Anzahl von Termen der Form bestehen Sünde(wx) Und cos(wx).

Betrachten wir eine Funktionsreihe der Form:

Diese Serie heißt trigonometrisch; Zahlen A 0 , B 0 , A 1 , B 1 ,A 2 , B 2 …, A N , B N ,… werden genannt Koeffizienten trigonometrische Reihe. Serie (1) wird oft wie folgt geschrieben:

. (2)

Da die Mitglieder der trigonometrischen Reihe (2) eine gemeinsame Periode haben
, dann ist die Summe der Reihe, wenn sie konvergiert, ebenfalls eine periodische Funktion mit Periode
.

Nehmen wir an, dass die Funktion F(X) ist die Summe dieser Reihe:

. (3)

In diesem Fall sagen sie, dass die Funktion F(X) wird zu einer trigonometrischen Reihe erweitert. Unter der Annahme, dass diese Reihe im Intervall gleichmäßig konvergiert
, können Sie seine Koeffizienten mithilfe der Formeln bestimmen:

,
,
. (4)

Die durch diese Formeln bestimmten Koeffizienten der Reihe werden aufgerufen Fourier-Koeffizienten.

Es werden trigonometrische Reihen (2) genannt, deren Koeffizienten durch Fourier-Formeln (4) bestimmt werden in der Nähe von Fourier, entsprechend der Funktion F(X).

Also, wenn eine periodische Funktion F(X) die Summe einer konvergenten trigonometrischen Reihe ist, dann ist diese Reihe ihre Fourier-Reihe.

Formeln (4) zeigen, dass die Fourier-Koeffizienten für jede Integrierbare im Intervall berechnet werden können

-periodische Funktion, d.h. Für eine solche Funktion kann man immer eine Fourier-Reihe konstruieren. Aber wird diese Reihe gegen die Funktion konvergieren? F(X) und unter welchen Bedingungen?

Denken Sie daran, dass die Funktion F(X), auf dem Segment definiert [ A; B] heißt stückweise glatt, wenn sie und ihre Ableitung nicht mehr als endlich viele Unstetigkeitspunkte erster Art haben.

Der folgende Satz liefert ausreichende Bedingungen für die Zerlegbarkeit einer Funktion in einer Fourier-Reihe.

Satz von Dirichlet. Lassen
-periodische Funktion F(X) ist stückweise glatt auf
. Dann konvergiert seine Fourier-Reihe gegen F(X) an jedem seiner Kontinuitätspunkte und zum Wert 0,5(F(X+0)+ F(X-0)) an der Bruchstelle.

Beispiel 1.

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe F(X)= X, angegeben im Intervall
.

Lösung. Diese Funktion erfüllt die Dirichlet-Bedingungen und kann daher in einer Fourier-Reihe entwickelt werden. Verwendung der Formeln (4) und der Methode der partiellen Integration
, finden wir die Fourier-Koeffizienten:

Somit ist die Fourier-Reihe für die Funktion F(X) schaut mal rein.

Fourierreihen sind die Darstellung einer beliebigen Funktion mit einer bestimmten Periode in Form einer Reihe. Im Allgemeinen wird diese Lösung als Zerlegung eines Elements entlang einer orthogonalen Basis bezeichnet. Die Erweiterung von Funktionen in Fourier-Reihen ist aufgrund der Eigenschaften dieser Transformation während der Integration, Differentiation sowie der Verschiebung von Ausdrücken durch Argument und Faltung ein ziemlich leistungsfähiges Werkzeug zur Lösung verschiedener Probleme.

Wer sich mit höherer Mathematik und den Werken des französischen Wissenschaftlers Fourier nicht auskennt, wird höchstwahrscheinlich nicht verstehen, was diese „Reihen“ sind und wofür sie benötigt werden. Mittlerweile ist dieser Wandel in unser Leben integriert. Es wird nicht nur von Mathematikern, sondern auch von Physikern, Chemikern, Ärzten, Astronomen, Seismologen, Ozeanographen und vielen anderen verwendet. Werfen wir auch einen genaueren Blick auf die Werke des großen französischen Wissenschaftlers, der eine Entdeckung machte, die seiner Zeit voraus war.

Fourier-Reihen stellen (zusammen mit der Analyse und anderen) eine dieser Methoden dar. Dieser Vorgang findet jedes Mal statt, wenn eine Person einen Ton hört. Unser Ohr wandelt Elementarteilchen in einem elastischen Medium automatisch in Reihen (entlang des Spektrums) aufeinanderfolgender Lautstärkepegel für Töne unterschiedlicher Höhe um. Anschließend wandelt das Gehirn diese Daten in Geräusche um, die uns vertraut sind. All dies geschieht ohne unseren Wunsch oder unser Bewusstsein, von selbst, aber um diese Prozesse zu verstehen, wird es mehrere Jahre dauern, höhere Mathematik zu studieren.

Die Fourier-Transformation kann mit analytischen, numerischen und anderen Methoden durchgeführt werden. Fourier-Reihen beziehen sich auf die numerische Methode zur Zerlegung jeglicher Oszillationsprozesse – von Meeresgezeiten und Lichtwellen bis hin zu Zyklen der Sonnenaktivität (und anderer astronomischer Objekte). Mit diesen mathematischen Techniken können Sie Funktionen analysieren und beliebige Schwingungsprozesse als eine Reihe sinusförmiger Komponenten darstellen, die sich vom Minimum zum Maximum und zurück bewegen. Die Fourier-Transformation ist eine Funktion, die die Phase und Amplitude von Sinuskurven beschreibt, die einer bestimmten Frequenz entsprechen. Mit diesem Verfahren lassen sich sehr komplexe Gleichungen lösen, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter dem Einfluss von thermischer, Licht- oder elektrischer Energie entstehen. Darüber hinaus ermöglichen Fourier-Reihen die Isolierung konstanter Komponenten in komplexen Schwingungssignalen und ermöglichen so die korrekte Interpretation experimenteller Beobachtungen in Medizin, Chemie und Astronomie.

Der Begründer dieser Theorie ist der französische Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier. Diese Transformation wurde später nach ihm benannt. Zunächst nutzte der Wissenschaftler seine Methode, um die Mechanismen der Wärmeleitfähigkeit – der Wärmeausbreitung in Festkörpern – zu untersuchen und zu erklären. Fourier schlug vor, dass die anfängliche unregelmäßige Verteilung in einfache Sinuskurven zerlegt werden kann, von denen jede ihr eigenes Temperaturminimum und -maximum sowie ihre eigene Phase aufweist. In diesem Fall wird jede dieser Komponenten vom Minimum zum Maximum und zurück gemessen. Die mathematische Funktion, die die oberen und unteren Spitzen der Kurve sowie die Phase jeder Harmonischen beschreibt, wird Fourier-Transformation des Temperaturverteilungsausdrucks genannt. Der Autor der Theorie reduzierte die mathematisch schwer zu beschreibende allgemeine Verteilungsfunktion auf eine sehr praktische Reihe von Kosinus und Sinus, die zusammen die ursprüngliche Verteilung ergeben.

Die Zeitgenossen des Wissenschaftlers – führende Mathematiker des frühen 19. Jahrhunderts – akzeptierten diese Theorie nicht. Der Haupteinwand war Fouriers Behauptung, dass eine unstetige Funktion, die eine gerade Linie oder eine unstetige Kurve beschreibt, als Summe stetiger Sinusausdrücke dargestellt werden kann. Betrachten Sie als Beispiel den Heaviside-Schritt: Sein Wert ist links von der Diskontinuität Null und rechts von eins. Diese Funktion beschreibt die Abhängigkeit des elektrischen Stroms von einer temporären Größe bei geschlossenem Stromkreis. Zeitgenossen der Theorie hatten zu dieser Zeit noch nie eine ähnliche Situation erlebt, in der ein diskontinuierlicher Ausdruck durch eine Kombination kontinuierlicher, gewöhnlicher Funktionen wie Exponential-, Sinus-, Linear- oder Quadratfunktionen beschrieben würde.

Denn wenn der Mathematiker mit seinen Aussagen Recht hatte, dann kann man durch Summieren der unendlichen trigonometrischen Fourier-Reihe eine genaue Darstellung des Stufenausdrucks erhalten, selbst wenn dieser viele ähnliche Schritte hat. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts erschien eine solche Aussage absurd. Trotz aller Zweifel erweiterten viele Mathematiker den Umfang der Untersuchung dieses Phänomens und gingen über die Untersuchung der Wärmeleitfähigkeit hinaus. Die meisten Wissenschaftler quälten sich jedoch weiterhin mit der Frage: „Kann die Summe einer Sinusreihe zum exakten Wert der unstetigen Funktion konvergieren?“

Die Frage der Konvergenz stellt sich immer dann, wenn es darum geht, unendliche Zahlenreihen zu summieren. Um dieses Phänomen zu verstehen, betrachten Sie ein klassisches Beispiel. Werden Sie jemals die Wand erreichen können, wenn jede weitere Stufe halb so groß ist wie die vorherige? Nehmen wir an, Sie sind zwei Meter von Ihrem Ziel entfernt, der erste Schritt führt Sie zur Halbzeitmarke, der nächste zur Dreiviertelmarke und nach dem fünften Schritt haben Sie fast 97 Prozent des Weges zurückgelegt. Doch egal wie viele Schritte Sie unternehmen, Sie werden Ihr angestrebtes Ziel im strengen mathematischen Sinne nicht erreichen. Mithilfe numerischer Berechnungen kann nachgewiesen werden, dass es letztendlich möglich ist, bis zu einer bestimmten Entfernung heranzukommen. Dieser Beweis ist gleichbedeutend mit dem Nachweis, dass die Summe von einer Hälfte, einem Viertel usw. gegen Eins tendiert.

Diese Frage wurde Ende des 19. Jahrhunderts erneut aufgeworfen, als man versuchte, Fourier-Reihen zur Vorhersage der Intensität von Gezeiten zu verwenden. Zu dieser Zeit erfand Lord Kelvin ein Instrument, ein analoges Computergerät, das es Militär- und Handelsschiffen ermöglichte, dieses Naturphänomen zu überwachen. Dieser Mechanismus bestimmte Phasen- und Amplitudensätze aus einer Tabelle mit Gezeitenhöhen und entsprechenden Zeitpunkten, die das ganze Jahr über in einem bestimmten Hafen sorgfältig gemessen wurden. Jeder Parameter war eine sinusförmige Komponente des Gezeitenhöhenausdrucks und eine der regulären Komponenten. Die Messungen wurden in Lord Kelvins Recheninstrument eingespeist, das eine Kurve synthetisierte, die den Wasserstand als Funktion der Zeit für das folgende Jahr vorhersagte. Schon bald wurden ähnliche Kurven für alle Häfen der Welt erstellt.

Zu diesem Zeitpunkt schien es offensichtlich, dass ein Flutwellen-Prädiktor mit einer großen Anzahl von Zählelementen eine große Anzahl von Phasen und Amplituden berechnen und so genauere Vorhersagen liefern konnte. Es stellte sich jedoch heraus, dass dieses Muster nicht in Fällen beobachtet wird, in denen der zu synthetisierende Gezeitenausdruck einen scharfen Sprung enthielt, also diskontinuierlich war. Werden Daten aus einer Tabelle mit Zeitmomenten in das Gerät eingegeben, berechnet es mehrere Fourier-Koeffizienten. Dank der Sinuskomponenten (entsprechend den gefundenen Koeffizienten) wird die ursprüngliche Funktion wiederhergestellt. Die Diskrepanz zwischen dem ursprünglichen und dem rekonstruierten Ausdruck kann an jedem Punkt gemessen werden. Bei wiederholten Berechnungen und Vergleichen wird deutlich, dass der Wert des größten Fehlers nicht abnimmt. Sie sind jedoch in dem Bereich lokalisiert, der dem Diskontinuitätspunkt entspricht, und an jedem anderen Punkt tendieren sie gegen Null. Im Jahr 1899 wurde dieses Ergebnis von Joshua Willard Gibbs von der Yale University theoretisch bestätigt.

Die Fourier-Analyse ist nicht auf Ausdrücke anwendbar, die eine unendliche Anzahl von Spitzen über ein bestimmtes Intervall enthalten. Im Allgemeinen konvergieren Fourier-Reihen immer, wenn die ursprüngliche Funktion durch das Ergebnis einer realen physikalischen Messung dargestellt wird. Fragen zur Konvergenz dieses Prozesses für bestimmte Funktionsklassen führten zur Entstehung neuer Zweige der Mathematik, beispielsweise der Theorie verallgemeinerter Funktionen. Sie wird mit Namen wie L. Schwartz, J. Mikusinski und J. Temple in Verbindung gebracht. Im Rahmen dieser Theorie wurde eine klare und präzise theoretische Grundlage für Ausdrücke wie die Dirac-Delta-Funktion (sie beschreibt einen Bereich einer einzelnen Fläche, die in einer infinitesimalen Umgebung eines Punktes konzentriert ist) und den Heaviside-„Schritt“ geschaffen. Dank dieser Arbeit wurden Fourier-Reihen zur Lösung von Gleichungen und Problemen mit intuitiven Konzepten anwendbar: Punktladung, Punktmasse, magnetische Dipole und konzentrierte Last auf einen Balken.

Fourier-Reihen beginnen gemäß den Interferenzprinzipien mit der Zerlegung komplexer Formen in einfachere. Beispielsweise wird eine Änderung des Wärmeflusses durch seinen Durchgang durch verschiedene Hindernisse aus wärmeisolierendem Material unregelmäßiger Form oder durch eine Änderung der Erdoberfläche – ein Erdbeben, eine Änderung der Umlaufbahn eines Himmelskörpers – durch den Einfluss erklärt von Planeten. In der Regel lassen sich solche Gleichungen, die einfache klassische Systeme beschreiben, für jede einzelne Welle leicht lösen. Fourier zeigte, dass einfache Lösungen auch summiert werden können, um Lösungen für komplexere Probleme zu erhalten. In mathematischer Hinsicht sind Fourier-Reihen eine Technik zur Darstellung eines Ausdrucks als Summe von Harmonischen – Kosinus und Sinus. Daher wird diese Analyse auch als „harmonische Analyse“ bezeichnet.

Vor der Entwicklung der Computertechnologie war die Fourier-Technik die beste Waffe im Arsenal der Wissenschaftler, wenn es um die Wellennatur unserer Welt ging. Die Fourier-Reihe in komplexer Form ermöglicht es, nicht nur einfache Probleme zu lösen, die der direkten Anwendung der Newtonschen Gesetze der Mechanik zugänglich sind, sondern auch grundlegende Gleichungen. Die meisten Entdeckungen der Newtonschen Wissenschaft im 19. Jahrhundert wurden nur durch Fouriers Technik ermöglicht.

Mit der Entwicklung von Computern haben Fourier-Transformationen ein qualitativ neues Niveau erreicht. Diese Technik ist in fast allen Bereichen der Wissenschaft und Technik fest etabliert. Ein Beispiel ist digitales Audio und Video. Ihre Umsetzung wurde erst dank einer Theorie möglich, die ein französischer Mathematiker zu Beginn des 19. Jahrhunderts entwickelte. Somit ermöglichte die Fourier-Reihe in komplexer Form einen Durchbruch in der Erforschung des Weltraums. Darüber hinaus beeinflusste es das Studium der Physik von Halbleitermaterialien und Plasma, der Mikrowellenakustik, der Ozeanographie, des Radars und der Seismologie.

In der Mathematik ist eine Fourier-Reihe eine Möglichkeit, beliebige komplexe Funktionen als Summe einfacherer Funktionen darzustellen. Im Allgemeinen kann die Anzahl solcher Ausdrücke unendlich sein. Darüber hinaus ist das Endergebnis umso genauer, je stärker ihre Anzahl bei der Berechnung berücksichtigt wird. Am häufigsten werden trigonometrische Funktionen des Kosinus oder Sinus als einfachste verwendet. In diesem Fall werden Fourier-Reihen als trigonometrisch bezeichnet, und die Lösung solcher Ausdrücke wird als harmonische Entwicklung bezeichnet. Diese Methode spielt in der Mathematik eine wichtige Rolle. Erstens bietet die trigonometrische Reihe ein Mittel zur Darstellung und auch zum Studium von Funktionen; sie ist der Hauptapparat der Theorie. Darüber hinaus können Sie damit eine Reihe von Problemen der mathematischen Physik lösen. Schließlich trug diese Theorie zur Entwicklung einer Reihe sehr wichtiger Zweige der mathematischen Wissenschaft bei (der Integraltheorie, der Theorie der periodischen Funktionen). Darüber hinaus diente es als Ausgangspunkt für die Entwicklung der folgenden Funktionen einer reellen Variablen und legte den Grundstein für die harmonische Analyse.

Wie füge ich mathematische Formeln auf einer Website ein?

Wenn Sie jemals eine oder zwei mathematische Formeln zu einer Webseite hinzufügen müssen, können Sie dies am einfachsten wie im Artikel beschrieben tun: Mathematische Formeln können ganz einfach in Form von Bildern in die Website eingefügt werden, die von Wolfram Alpha automatisch generiert werden . Diese universelle Methode ist nicht nur einfach, sondern trägt auch dazu bei, die Sichtbarkeit der Website in Suchmaschinen zu verbessern. Es funktioniert schon seit langer Zeit (und wird meiner Meinung nach auch für immer funktionieren), ist aber moralisch bereits überholt.

Wenn Sie auf Ihrer Website regelmäßig mathematische Formeln verwenden, empfehle ich Ihnen die Verwendung von MathJax – einer speziellen JavaScript-Bibliothek, die mathematische Notation in Webbrowsern mithilfe von MathML-, LaTeX- oder ASCIIMathML-Markup anzeigt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, MathJax zu verwenden: (1) Mit einem einfachen Code können Sie schnell ein MathJax-Skript mit Ihrer Website verbinden, das zum richtigen Zeitpunkt automatisch von einem Remote-Server geladen wird (Liste der Server); (2) Laden Sie das MathJax-Skript von einem Remote-Server auf Ihren Server herunter und verbinden Sie es mit allen Seiten Ihrer Site. Die zweite Methode – komplexer und zeitaufwändiger – beschleunigt das Laden der Seiten Ihrer Site, und wenn der übergeordnete MathJax-Server aus irgendeinem Grund vorübergehend nicht verfügbar ist, hat dies keinerlei Auswirkungen auf Ihre eigene Site. Trotz dieser Vorteile habe ich mich für die erste Methode entschieden, da sie einfacher und schneller ist und keine technischen Kenntnisse erfordert. Folgen Sie meinem Beispiel und in nur 5 Minuten können Sie alle Funktionen von MathJax auf Ihrer Website nutzen.

Sie können das MathJax-Bibliotheksskript von einem Remote-Server aus verbinden, indem Sie zwei Codeoptionen verwenden, die von der Haupt-MathJax-Website oder auf der Dokumentationsseite stammen:

Eine dieser Codeoptionen muss kopiert und in den Code Ihrer Webseite eingefügt werden, vorzugsweise zwischen Tags und oder unmittelbar nach dem Tag. Gemäß der ersten Option lädt MathJax schneller und verlangsamt die Seite weniger. Aber die zweite Option überwacht und lädt automatisch die neuesten Versionen von MathJax. Wenn Sie den ersten Code eingeben, muss dieser regelmäßig aktualisiert werden. Wenn Sie den zweiten Code einfügen, werden die Seiten langsamer geladen, aber Sie müssen die MathJax-Updates nicht ständig überwachen.

Der einfachste Weg, MathJax zu verbinden, ist in Blogger oder WordPress: Fügen Sie im Site-Kontrollfeld ein Widget hinzu, das zum Einfügen von JavaScript-Code von Drittanbietern entwickelt wurde, kopieren Sie die erste oder zweite Version des oben dargestellten Download-Codes hinein und platzieren Sie das Widget näher an den Anfang der Vorlage (übrigens ist dies überhaupt nicht notwendig, da das MathJax-Skript asynchron geladen wird). Das ist alles. Lernen Sie nun die Markup-Syntax von MathML, LaTeX und ASCIIMathML und Sie sind bereit, mathematische Formeln in die Webseiten Ihrer Website einzufügen.

Jedes Fraktal wird nach einer bestimmten Regel konstruiert, die konsequent und unbegrenzt oft angewendet wird. Jeder dieser Zeitpunkte wird als Iteration bezeichnet.

Der iterative Algorithmus zur Konstruktion eines Menger-Schwamms ist recht einfach: Der ursprüngliche Würfel mit der Seite 1 wird durch zu seinen Flächen parallele Ebenen in 27 gleiche Würfel unterteilt. Ein zentraler Würfel und 6 entlang der Flächen daneben liegende Würfel werden daraus entfernt. Das Ergebnis ist ein Set bestehend aus den restlichen 20 kleineren Würfeln. Wenn wir mit jedem dieser Würfel dasselbe machen, erhalten wir ein Set bestehend aus 400 kleineren Würfeln. Wenn wir diesen Prozess endlos fortsetzen, erhalten wir einen Menger-Schwamm.

Fourierreihe periodischer Funktionen mit der Periode 2π.

Die Fourier-Reihe ermöglicht es uns, periodische Funktionen zu untersuchen, indem wir sie in Komponenten zerlegen. Wechselströme und -spannungen, Verschiebungen, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Kurbeltrieben sowie akustische Wellen sind typische praktische Beispiele für die Verwendung periodischer Funktionen in technischen Berechnungen.

Die Fourier-Reihenentwicklung basiert auf der Annahme, dass alle Funktionen von praktischer Bedeutung im Intervall -π ≤x≤ π in Form einer konvergenten trigonometrischen Reihe ausgedrückt werden können (eine Reihe gilt als konvergent, wenn die Folge von Teilsummen aus ihren Gliedern besteht konvergiert):

Standard (=gewöhnliche) Notation durch die Summe von Sinx und Cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

wobei a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. reelle Konstanten sind, d.h.

Dabei werden für den Bereich von -π bis π die Koeffizienten der Fourier-Reihe anhand der Formeln berechnet:

Die Koeffizienten a o , a n und b n werden Fourier-Koeffizienten genannt, und wenn sie gefunden werden können, dann wird Reihe (1) als Fourier-Reihe bezeichnet, die der Funktion f (x) entspricht. Für die Reihe (1) wird der Term (a 1 cosx+b 1 sinx) als erste oder Grundharmonische bezeichnet,

Eine andere Möglichkeit, eine Reihe zu schreiben, besteht darin, die Beziehung acosx+bsinx=csin(x+α) zu verwenden.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Dabei ist a o eine Konstante, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 sind die Amplituden der verschiedenen Komponenten und ist gleich a n =arctg a n /b n.

Für die Reihe (1) wird der Term (a 1 cosx+b 1 sinx) oder c 1 sin(x+α 1) die erste oder Grundharmonische (a 2 cos2x+b 2 sin2x) oder c 2 sin(2x) genannt +α 2) heißt die zweite Harmonische und so weiter.

Um ein komplexes Signal genau darzustellen, sind typischerweise unendlich viele Terme erforderlich. Bei vielen praktischen Problemen reicht es jedoch aus, nur die ersten paar Begriffe zu berücksichtigen.

Fourierreihe nichtperiodischer Funktionen mit der Periode 2π.

Erweiterung nichtperiodischer Funktionen.

Wenn die Funktion f(x) nicht periodisch ist, bedeutet dies, dass sie nicht für alle Werte von x zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden kann. Es ist jedoch möglich, eine Fourier-Reihe zu definieren, die eine Funktion über einen beliebigen Bereich der Breite 2π darstellt.

Bei einer gegebenen nichtperiodischen Funktion kann eine neue Funktion konstruiert werden, indem Werte von f(x) innerhalb eines bestimmten Bereichs ausgewählt und außerhalb dieses Bereichs in 2π-Intervallen wiederholt werden. Da die neue Funktion periodisch mit der Periode 2π ist, kann sie für alle Werte von x zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden. Beispielsweise ist die Funktion f(x)=x nicht periodisch. Wenn es jedoch notwendig ist, es im Intervall von o bis 2π zu einer Fourier-Reihe zu entwickeln, dann wird außerhalb dieses Intervalls eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π konstruiert (wie in der Abbildung unten gezeigt).

Für nichtperiodische Funktionen wie f(x)=x ist die Summe der Fourier-Reihe an allen Punkten in einem bestimmten Bereich gleich dem Wert von f(x), für Punkte jedoch nicht gleich f(x). außerhalb des Bereichs. Um die Fourier-Reihe einer nichtperiodischen Funktion im 2π-Bereich zu finden, wird dieselbe Formel für Fourier-Koeffizienten verwendet.

Gerade und ungerade Funktionen.

Sie sagen, eine Funktion y=f(x) sei gerade, wenn f(-x)=f(x) für alle Werte von x. Graphen gerader Funktionen sind immer symmetrisch zur y-Achse (d. h. sie sind Spiegelbilder). Zwei Beispiele für gerade Funktionen: y=x2 und y=cosx.

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn f(-x)=-f(x) für alle Werte von x. Graphen ungerader Funktionen sind immer symmetrisch zum Ursprung.

Viele Funktionen sind weder gerade noch ungerade.

Fourier-Reihenentwicklung in Kosinus.

Die Fourier-Reihe einer geraden periodischen Funktion f(x) mit der Periode 2π enthält nur Kosinus-Terme (d. h. keine Sinus-Terme) und kann einen konstanten Term enthalten. Somit,

wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Die Fourier-Reihe einer ungeraden periodischen Funktion f(x) mit der Periode 2π enthält nur Terme mit Sinuswerten (d. h. sie enthält keine Terme mit Kosinuswerten).

Somit,

wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Fourier-Reihe im Halbzyklus.

Wenn eine Funktion für einen Bereich definiert ist, beispielsweise von 0 bis π und nicht nur von 0 bis 2π, kann sie in einer Reihe nur in Sinuswerten oder nur in Kosinuswerten entwickelt werden. Die resultierende Fourier-Reihe wird Halbzyklus-Fourier-Reihe genannt.

Wenn Sie eine Halbzyklus-Fourier-Entwicklung der Kosinuswerte der Funktion f(x) im Bereich von 0 bis π erhalten möchten, müssen Sie eine gerade periodische Funktion konstruieren. In Abb. Unten ist die Funktion f(x)=x, aufgebaut auf dem Intervall von x=0 bis x=π. Da die gerade Funktion symmetrisch zur f(x)-Achse ist, zeichnen wir die Linie AB, wie in Abb. unten. Wenn wir davon ausgehen, dass die resultierende Dreiecksform außerhalb des betrachteten Intervalls periodisch mit einer Periode von 2π ist, dann sieht der endgültige Graph so aus: in Abb. unten. Da wir wie zuvor die Fourier-Entwicklung in Kosinuswerten erhalten müssen, berechnen wir die Fourier-Koeffizienten a o und a n

Wenn Sie eine Halbzyklus-Fourier-Entwicklung hinsichtlich der Sinuswerte der Funktion f(x) im Bereich von 0 bis π erhalten möchten, müssen Sie eine ungerade periodische Funktion konstruieren. In Abb. Unten ist die Funktion f(x)=x, aufgebaut auf dem Intervall von x=0 bis x=π. Da die ungerade Funktion symmetrisch zum Ursprung ist, konstruieren wir die Gerade CD, wie in Abb. Wenn wir davon ausgehen, dass das resultierende Sägezahnsignal außerhalb des betrachteten Intervalls periodisch mit einer Periode von 2π ist, dann hat der endgültige Graph die in Abb. Da wir wie zuvor die Fourier-Entwicklung des Halbzyklus in Form von Sinuswerten erhalten müssen, berechnen wir den Fourier-Koeffizienten. B

Fourier-Reihe für ein beliebiges Intervall.

Erweiterung einer periodischen Funktion mit Periode L.

Die periodische Funktion f(x) wiederholt sich, wenn x um L zunimmt, d. h. f(x+L)=f(x). Der Übergang von den zuvor betrachteten Funktionen mit einer Periode von 2π zu Funktionen mit einer Periode von L ist recht einfach, da er durch einen Variablenwechsel erfolgen kann.

Um die Fourier-Reihe der Funktion f(x) im Bereich -L/2≤x≤L/2 zu finden, führen wir eine neue Variable u ein, sodass die Funktion f(x) eine Periode von 2π relativ zu u hat. Wenn u=2πx/L, dann ist x=-L/2 für u=-π und x=L/2 für u=π. Sei auch f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Die Fourier-Reihe F(u) hat die Form

(Die Integrationsgrenzen können durch ein beliebiges Intervall der Länge L ersetzt werden, zum Beispiel von 0 bis L)

Fourier-Reihe auf einer Halbwelle für Funktionen, die im Intervall L≠2π angegeben sind.

Für die Substitution u=πх/L entspricht das Intervall von x=0 bis x=L dem Intervall von u=0 bis u=π. Folglich kann die Funktion nur in Kosinus- oder nur in Sinusreihen zu einer Reihe entwickelt werden, d. h. in eine Fourier-Reihe bei halbem Zyklus.

Die Kosinusentwicklung im Bereich von 0 bis L hat die Form

Fourierreihe periodischer Funktionen mit der Periode 2π.

Die Fourier-Reihe ermöglicht es uns, periodische Funktionen zu untersuchen, indem wir sie in Komponenten zerlegen. Wechselströme und -spannungen, Verschiebungen, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Kurbeltrieben sowie akustische Wellen sind typische praktische Beispiele für die Verwendung periodischer Funktionen in technischen Berechnungen.

Die Fourier-Reihenentwicklung basiert auf der Annahme, dass alle Funktionen von praktischer Bedeutung im Intervall -π ≤x≤ π in Form einer konvergenten trigonometrischen Reihe ausgedrückt werden können (eine Reihe gilt als konvergent, wenn die Folge von Teilsummen aus ihren Gliedern besteht konvergiert):

Standard (=gewöhnliche) Notation durch die Summe von Sinx und Cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

wobei a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. reelle Konstanten sind, d.h.

Dabei werden für den Bereich von -π bis π die Koeffizienten der Fourier-Reihe anhand der Formeln berechnet:

Die Koeffizienten a o , a n und b n werden Fourier-Koeffizienten genannt, und wenn sie gefunden werden können, dann wird Reihe (1) als Fourier-Reihe bezeichnet, die der Funktion f (x) entspricht. Für die Reihe (1) wird der Term (a 1 cosx+b 1 sinx) als erste oder Grundharmonische bezeichnet,

Eine andere Möglichkeit, eine Reihe zu schreiben, besteht darin, die Beziehung acosx+bsinx=csin(x+α) zu verwenden.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Dabei ist a o eine Konstante, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 sind die Amplituden der verschiedenen Komponenten und ist gleich a n =arctg a n /b n.

Für die Reihe (1) wird der Term (a 1 cosx+b 1 sinx) oder c 1 sin(x+α 1) die erste oder Grundharmonische (a 2 cos2x+b 2 sin2x) oder c 2 sin(2x) genannt +α 2) heißt die zweite Harmonische und so weiter.

Um ein komplexes Signal genau darzustellen, sind typischerweise unendlich viele Terme erforderlich. Bei vielen praktischen Problemen reicht es jedoch aus, nur die ersten paar Begriffe zu berücksichtigen.

Fourierreihe nichtperiodischer Funktionen mit der Periode 2π.

Erweiterung nichtperiodischer Funktionen.

Wenn die Funktion f(x) nicht periodisch ist, bedeutet dies, dass sie nicht für alle Werte von x zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden kann. Es ist jedoch möglich, eine Fourier-Reihe zu definieren, die eine Funktion über einen beliebigen Bereich der Breite 2π darstellt.

Bei einer gegebenen nichtperiodischen Funktion kann eine neue Funktion konstruiert werden, indem Werte von f(x) innerhalb eines bestimmten Bereichs ausgewählt und außerhalb dieses Bereichs in 2π-Intervallen wiederholt werden. Da die neue Funktion periodisch mit der Periode 2π ist, kann sie für alle Werte von x zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden. Beispielsweise ist die Funktion f(x)=x nicht periodisch. Wenn es jedoch notwendig ist, es im Intervall von o bis 2π zu einer Fourier-Reihe zu entwickeln, dann wird außerhalb dieses Intervalls eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π konstruiert (wie in der Abbildung unten gezeigt).

Für nichtperiodische Funktionen wie f(x)=x ist die Summe der Fourier-Reihe an allen Punkten in einem bestimmten Bereich gleich dem Wert von f(x), für Punkte jedoch nicht gleich f(x). außerhalb des Bereichs. Um die Fourier-Reihe einer nichtperiodischen Funktion im 2π-Bereich zu finden, wird dieselbe Formel für Fourier-Koeffizienten verwendet.

Gerade und ungerade Funktionen.

Sie sagen, eine Funktion y=f(x) sei gerade, wenn f(-x)=f(x) für alle Werte von x. Graphen gerader Funktionen sind immer symmetrisch zur y-Achse (d. h. sie sind Spiegelbilder). Zwei Beispiele für gerade Funktionen: y=x2 und y=cosx.

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn f(-x)=-f(x) für alle Werte von x. Graphen ungerader Funktionen sind immer symmetrisch zum Ursprung.

Viele Funktionen sind weder gerade noch ungerade.

Fourier-Reihenentwicklung in Kosinus.

Die Fourier-Reihe einer geraden periodischen Funktion f(x) mit der Periode 2π enthält nur Kosinus-Terme (d. h. keine Sinus-Terme) und kann einen konstanten Term enthalten. Somit,

wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Die Fourier-Reihe einer ungeraden periodischen Funktion f(x) mit der Periode 2π enthält nur Terme mit Sinuswerten (d. h. sie enthält keine Terme mit Kosinuswerten).

Somit,

wo sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe,

Fourier-Reihe im Halbzyklus.

Wenn eine Funktion für einen Bereich definiert ist, beispielsweise von 0 bis π und nicht nur von 0 bis 2π, kann sie in einer Reihe nur in Sinuswerten oder nur in Kosinuswerten entwickelt werden. Die resultierende Fourier-Reihe wird Halbzyklus-Fourier-Reihe genannt.

Wenn Sie eine Halbzyklus-Fourier-Entwicklung der Kosinuswerte der Funktion f(x) im Bereich von 0 bis π erhalten möchten, müssen Sie eine gerade periodische Funktion konstruieren. In Abb. Unten ist die Funktion f(x)=x, aufgebaut auf dem Intervall von x=0 bis x=π. Da die gerade Funktion symmetrisch zur f(x)-Achse ist, zeichnen wir die Linie AB, wie in Abb. unten. Wenn wir davon ausgehen, dass die resultierende Dreiecksform außerhalb des betrachteten Intervalls periodisch mit einer Periode von 2π ist, dann sieht der endgültige Graph so aus: in Abb. unten. Da wir wie zuvor die Fourier-Entwicklung in Kosinuswerten erhalten müssen, berechnen wir die Fourier-Koeffizienten a o und a n

Wenn Sie eine Halbzyklus-Fourier-Entwicklung hinsichtlich der Sinuswerte der Funktion f(x) im Bereich von 0 bis π erhalten möchten, müssen Sie eine ungerade periodische Funktion konstruieren. In Abb. Unten ist die Funktion f(x)=x, aufgebaut auf dem Intervall von x=0 bis x=π. Da die ungerade Funktion symmetrisch zum Ursprung ist, konstruieren wir die Gerade CD, wie in Abb. Wenn wir davon ausgehen, dass das resultierende Sägezahnsignal außerhalb des betrachteten Intervalls periodisch mit einer Periode von 2π ist, dann hat der endgültige Graph die in Abb. Da wir wie zuvor die Fourier-Entwicklung des Halbzyklus in Form von Sinuswerten erhalten müssen, berechnen wir den Fourier-Koeffizienten. B

Fourier-Reihe für ein beliebiges Intervall.

Erweiterung einer periodischen Funktion mit Periode L.

Die periodische Funktion f(x) wiederholt sich, wenn x um L zunimmt, d. h. f(x+L)=f(x). Der Übergang von den zuvor betrachteten Funktionen mit einer Periode von 2π zu Funktionen mit einer Periode von L ist recht einfach, da er durch einen Variablenwechsel erfolgen kann.

Um die Fourier-Reihe der Funktion f(x) im Bereich -L/2≤x≤L/2 zu finden, führen wir eine neue Variable u ein, sodass die Funktion f(x) eine Periode von 2π relativ zu u hat. Wenn u=2πx/L, dann ist x=-L/2 für u=-π und x=L/2 für u=π. Sei auch f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Die Fourier-Reihe F(u) hat die Form

(Die Integrationsgrenzen können durch ein beliebiges Intervall der Länge L ersetzt werden, zum Beispiel von 0 bis L)

Fourier-Reihe auf einer Halbwelle für Funktionen, die im Intervall L≠2π angegeben sind.

Für die Substitution u=πх/L entspricht das Intervall von x=0 bis x=L dem Intervall von u=0 bis u=π. Folglich kann die Funktion nur in Kosinus- oder nur in Sinusreihen zu einer Reihe entwickelt werden, d. h. in eine Fourier-Reihe bei halbem Zyklus.

Die Kosinusentwicklung im Bereich von 0 bis L hat die Form