Lösen dezimaler logarithmischer Gleichungen. Methoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen. Probleme mit der Variablenbasis

Logarithmische Gleichungen lösen. Teil 1.

Logarithmische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Vorzeichen des Logarithmus (insbesondere in der Basis des Logarithmus) enthalten ist.

Das einfachste logarithmische Gleichung hat die Form:

Lösen einer beliebigen logarithmischen Gleichung beinhaltet einen Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken im Vorzeichen von Logarithmen. Diese Aktion erweitert jedoch den Bereich zulässiger Werte der Gleichung und kann zum Auftreten von Fremdwurzeln führen. Um das Auftreten fremder Wurzeln zu vermeiden können Sie auf drei Arten vorgehen:

1. Machen Sie einen gleichwertigen Übergang von der ursprünglichen Gleichung zu einem System einschließlich

je nachdem welche Ungleichung oder einfacher.

Wenn die Gleichung eine Unbekannte in der Basis des Logarithmus enthält:

dann gehen wir zum System:

2. Finden Sie separat den Bereich akzeptabler Werte der Gleichung, lösen Sie dann die Gleichung und prüfen Sie, ob die gefundenen Lösungen die Gleichung erfüllen.

3. Lösen Sie die Gleichung und dann überprüfen: Setzen Sie die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfen Sie, ob wir die richtige Gleichung erhalten.

Eine logarithmische Gleichung beliebiger Komplexität lässt sich letztendlich immer auf die einfachste logarithmische Gleichung reduzieren.

Alle logarithmischen Gleichungen können in vier Typen unterteilt werden:

1 . Gleichungen, die nur Logarithmen der ersten Potenz enthalten. Mit Hilfe von Transformationen und Verwendung werden sie in die Form gebracht

Beispiel. Lösen wir die Gleichung:

Lassen Sie uns die Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen gleichsetzen:

Überprüfen wir, ob unsere Wurzel der Gleichung Folgendes erfüllt:

Ja, es befriedigt.

Antwort: x=5

2 . Gleichungen, die Logarithmen mit anderen Potenzen als 1 enthalten (insbesondere im Nenner eines Bruchs). Solche Gleichungen können mit gelöst werden Einführung einer Variablenänderung.

Beispiel. Lösen wir die Gleichung:

Finden wir die ODZ-Gleichung:

Die Gleichung enthält Logarithmen im Quadrat, sodass sie mithilfe einer Variablenänderung gelöst werden kann.

Wichtig! Bevor Sie einen Ersatz einführen, müssen Sie die Logarithmen, die Teil der Gleichung sind, unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen in „Bausteine“ „zerlegen“.

Beim „Auseinanderziehen“ von Logarithmen ist es wichtig, die Eigenschaften von Logarithmen sehr sorgfältig zu nutzen:

Darüber hinaus gibt es hier noch einen weiteren subtilen Punkt, und um einen häufigen Fehler zu vermeiden, verwenden wir eine Zwischengleichung: Wir schreiben den Grad des Logarithmus in dieser Form:

Ebenfalls,

Setzen wir die resultierenden Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir bekommen:

Jetzt sehen wir, dass das Unbekannte als Teil von in der Gleichung enthalten ist. Lassen Sie uns den Ersatz vorstellen: . Da sie jeden realen Wert annehmen kann, erlegen wir der Variablen keine Einschränkungen auf.

Wir alle kennen Gleichungen aus der Grundschule. Dort haben wir auch gelernt, die einfachsten Beispiele zu lösen, und wir müssen zugeben, dass sie sogar in der höheren Mathematik ihre Anwendung finden. Mit Gleichungen ist alles einfach, auch mit quadratischen Gleichungen. Wenn Sie Probleme mit diesem Thema haben, empfehlen wir Ihnen dringend, es zu lesen.

Wahrscheinlich haben Sie auch schon Logarithmen durchgemacht. Wir halten es jedoch für wichtig, denjenigen, die es noch nicht wissen, zu sagen, was es ist. Ein Logarithmus entspricht der Potenz, mit der die Basis erhöht werden muss, um die Zahl rechts vom Logarithmuszeichen zu erhalten. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, anhand dessen Ihnen alles klar wird.

Wenn Sie 3 in die vierte Potenz erhöhen, erhalten Sie 81. Ersetzen Sie nun die Zahlen durch Analogie und Sie werden endlich verstehen, wie Logarithmen gelöst werden. Jetzt müssen nur noch die beiden besprochenen Konzepte kombiniert werden. Zunächst scheint die Situation äußerst kompliziert zu sein, doch bei näherer Betrachtung ergibt sich ein klares Bild. Wir sind sicher, dass Sie nach diesem kurzen Artikel in diesem Teil des Einheitlichen Staatsexamens keine Probleme mehr haben werden.

Heutzutage gibt es viele Möglichkeiten, solche Strukturen zu lösen. Wir informieren Sie über die einfachsten, effektivsten und am besten anwendbaren Aufgaben im Rahmen des Einheitlichen Staatsexamens. Das Lösen logarithmischer Gleichungen sollte mit dem einfachsten Beispiel beginnen. Die einfachsten logarithmischen Gleichungen bestehen aus einer Funktion und einer darin enthaltenen Variablen.

Es ist wichtig zu beachten, dass x innerhalb des Arguments steht. A und b müssen Zahlen sein. In diesem Fall können Sie die Funktion einfach durch eine Potenz einer Zahl ausdrücken. Es sieht aus wie das.

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung mit dieser Methode lösen, erhalten Sie natürlich die richtige Antwort. Das Problem für die allermeisten Studierenden besteht dabei darin, dass sie nicht verstehen, was woher kommt. Dadurch muss man Fehler in Kauf nehmen und erhält nicht die gewünschten Punkte. Der beleidigendste Fehler wird sein, wenn Sie die Buchstaben verwechseln. Um die Gleichung auf diese Weise zu lösen, müssen Sie sich diese Standardschulformel merken, da sie schwer zu verstehen ist.

Um es einfacher zu machen, können Sie auf eine andere Methode zurückgreifen – die kanonische Form. Die Idee ist äußerst einfach. Konzentrieren Sie sich wieder auf das Problem. Denken Sie daran, dass der Buchstabe a eine Zahl ist, keine Funktion oder Variable. A ist ungleich eins und größer als null. Es gibt keine Einschränkungen für b. Erinnern wir uns nun an eine von allen Formeln. B kann wie folgt ausgedrückt werden.

Daraus folgt, dass alle Originalgleichungen mit Logarithmen in der Form dargestellt werden können:

Jetzt können wir die Logarithmen weglassen. Das Ergebnis ist ein einfaches Design, das wir bereits zuvor gesehen haben.

Der Vorteil dieser Formel liegt darin, dass sie in einer Vielzahl von Fällen und nicht nur für die einfachsten Designs verwendet werden kann.

Machen Sie sich keine Sorgen wegen OOF!

Vielen erfahrenen Mathematikern wird auffallen, dass wir dem Definitionsbereich keine Beachtung geschenkt haben. Die Regel läuft darauf hinaus, dass F(x) notwendigerweise größer als 0 ist. Nein, diesen Punkt haben wir nicht übersehen. Jetzt sprechen wir über einen weiteren gravierenden Vorteil der kanonischen Form.

Hier wird es keine zusätzlichen Wurzeln geben. Wenn eine Variable nur an einer Stelle erscheint, ist kein Gültigkeitsbereich erforderlich. Dies geschieht automatisch. Um dieses Urteil zu überprüfen, versuchen Sie, mehrere einfache Beispiele zu lösen.

So lösen Sie logarithmische Gleichungen mit unterschiedlichen Basen

Dabei handelt es sich bereits um komplexe logarithmische Gleichungen, und der Lösungsansatz muss speziell sein. Hier ist es selten möglich, sich auf die berüchtigte kanonische Form zu beschränken. Beginnen wir mit unserer ausführlichen Geschichte. Wir haben die folgende Konstruktion.

Achten Sie auf den Bruch. Es enthält den Logarithmus. Wenn Sie dies in einer Aufgabe sehen, sollten Sie sich einen interessanten Trick merken.

Was bedeutet das? Jeder Logarithmus kann als Quotient zweier Logarithmen mit einer geeigneten Basis dargestellt werden. Und diese Formel hat einen Sonderfall, der auf dieses Beispiel anwendbar ist (wir meinen, wenn c=b).

Dies ist genau der Bruch, den wir in unserem Beispiel sehen. Auf diese Weise.

Im Wesentlichen haben wir den Bruch umgedreht und einen bequemeren Ausdruck erhalten. Denken Sie an diesen Algorithmus!

Nun ist es notwendig, dass die logarithmische Gleichung keine unterschiedlichen Basen enthält. Stellen wir die Basis als Bruch dar.

In der Mathematik gibt es eine Regel, nach der man aus einer Basis einen Abschluss ableiten kann. Es ergibt sich folgende Konstruktion.

Es scheint, was hindert uns jetzt daran, unseren Ausdruck in die kanonische Form zu bringen und ihn einfach zu lösen? Nicht so einfach. Vor dem Logarithmus sollten keine Brüche stehen. Lassen Sie uns diese Situation beheben! Als Grade dürfen Brüche verwendet werden.

Jeweils.

Wenn die Basen gleich sind, können wir die Logarithmen entfernen und die Ausdrücke selbst gleichsetzen. Auf diese Weise wird die Situation viel einfacher als sie war. Was bleiben wird, ist eine elementare Gleichung, die jeder von uns schon in der 8. oder sogar 7. Klasse zu lösen wusste. Sie können die Berechnungen selbst durchführen.

Wir haben die einzig richtige Wurzel dieser logarithmischen Gleichung erhalten. Beispiele für die Lösung einer logarithmischen Gleichung sind recht einfach, nicht wahr? Jetzt sind Sie in der Lage, auch die komplexesten Aufgaben zur Vorbereitung und zum Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens selbstständig zu bewältigen.

Was ist das Ergebnis?

Bei logarithmischen Gleichungen gehen wir von einer sehr wichtigen Regel aus. Es muss so vorgegangen werden, dass der Ausdruck auf die einfachste Form reduziert wird. In diesem Fall haben Sie eine bessere Chance, die Aufgabe nicht nur richtig, sondern auch auf die einfachste und logischste Art und Weise zu lösen. Genau so arbeiten Mathematiker immer.

Wir raten dringend davon ab, schwierige Wege zu suchen, insbesondere in diesem Fall. Denken Sie an ein paar einfache Regeln, mit denen Sie jeden Ausdruck umwandeln können. Reduzieren Sie beispielsweise zwei oder drei Logarithmen auf die gleiche Basis oder leiten Sie eine Potenz von der Basis ab und gewinnen Sie dabei.

Denken Sie auch daran, dass das Lösen logarithmischer Gleichungen ständige Übung erfordert. Nach und nach werden Sie zu immer komplexeren Strukturen übergehen und so alle Problemvarianten des Einheitlichen Staatsexamens souverän lösen. Bereiten Sie sich rechtzeitig auf Ihre Prüfungen vor und wünschen Ihnen viel Erfolg!

1. Die Lösung ist Standard – verwenden wir sie Multiplikationsregel mit 1:

Jetzt entfernen wir Logarithmen:

Lasst uns kreuzweise multiplizieren:

Untersuchung

Passt!

Untersuchung

Und es passt hierher! Vielleicht habe ich mich geirrt und Wurzeln sind immer geeignet? Schauen wir uns das nächste Beispiel an!

Beispiel Nr. 2

Lassen Sie uns das Tripel mit unserer bevorzugten Methode in der Form darstellen

Links und rechts verwenden wir die Formel für die Summe der Logarithmen.

Beispiel Nr. 3

Die Lösung ähnelt dem zuvor besprochenen Beispiel: Lassen Sie uns die Einheit auf der rechten Seite in (ich möchte Sie daran erinnern – einen dezimalen Logarithmus oder einen Logarithmus zur Basis) umwandeln und Operationen zwischen den Logarithmen auf der linken und rechten Seite durchführen:

Entfernen wir nun die Logarithmen links und rechts:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

Untersuchung:

Auch hier sind beide Logarithmen links undefiniert, da sie aus negativen Zahlen abgeleitet werden. Dann ist es keine Wurzel.

seit damals

Antwort:

Ich hoffe, dass die gerade gegebenen Beispiele Sie für immer davon abhalten werden, bei der Lösung logarithmischer Gleichungen Prüfungen auszulassen. Es ist notwendig!

Logarithmische Gleichung mit variabler Basis

Nun möchte ich mit Ihnen eine andere (etwas komplexere) Art logarithmischer Gleichungen betrachten. Das wird sein Gleichungen mit variabler Basis.

Bisher haben wir nur Fälle betrachtet, in denen die Basen konstant waren: usw. Aber nichts hindert sie daran, Funktionen von beispielsweise usw. zu sein.

Aber keine Angst! Wenn bei der Lösung logarithmischer Ungleichungen eine variable Basis große Unannehmlichkeiten verursacht, dann Dies hat praktisch keinen Einfluss auf die Komplexität der Lösung der Gleichung! Urteile selbst:

Beispiel Nr. 1

Wir gehen wie zuvor vor: Wenden Sie die Methode „Multiplikation mit eins“ auf die Zahl an:

Dann wird die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt:

Ich werde mich bewerben Quadratische Differenzformel:

Untersuchung:

Welche Schlussfolgerung ziehen wir? Falsch! Die Zahl ist nicht die Wurzel der Gleichung, da die Basis des Logarithmus keine negative Zahl oder gleich eins sein darf!

Antwort: .

Wie Sie sehen, gibt es bei Gleichungen keinen grundsätzlichen Unterschied, ob unsere Grundlagen variabel sind oder nicht. In dieser Hinsicht können wir sagen, dass wir uns entscheiden logarithmische Gleichung normalerweise viel einfacher als das Lösen einer logarithmischen Ungleichung!

Versuchen wir nun, ein weiteres „seltsames“ Beispiel zu lösen.

Beispiel Nr. 2

Wir werden wie immer vorgehen – wir werden die rechte Seite in einen Logarithmus umwandeln, wie in diesem kniffligen Fall:

Dann ist die ursprüngliche logarithmische Gleichung äquivalent zu dieser Gleichung (wenn auch wieder logarithmisch).

Ich werde diese Gleichung noch einmal mithilfe der Quadratdifferenz lösen:

Lösen wir zuerst das erste Problem, das zweite Problem wird ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

Wird wieder verwendet „Mit 1 multiplizieren“:

Ähnliches gilt für die zweite Gleichung:

Jetzt kommt der spaßige Teil: die Verifizierung. Beginnen wir mit der ersten Wurzel

Die Basis des „großen“ Logarithmus ist gleich

Es handelt sich also nicht um eine Wurzel.

Schauen wir uns die zweite Zahl an:

Diese Zahl ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antwort:

Ich habe bewusst ein eher komplexes Beispiel gegeben, um Ihnen zu zeigen, dass Sie keine Angst vor großen und gruseligen Logarithmen haben sollten.

Es reicht aus, ein paar Formeln zu kennen (die ich Ihnen oben bereits gegeben habe) und Sie können aus (fast) jeder Situation einen Ausweg finden!

Nun, ich habe Ihnen die grundlegenden Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen („Methoden ohne Schnickschnack“) gegeben, mit denen Sie die meisten Beispiele (hauptsächlich beim Unified State Exam) bewältigen können.

Jetzt ist es an der Zeit, zu zeigen, was Sie gelernt haben. Versuchen Sie, Folgendes selbst zu lösen logarithmische Gleichungen, und dann vergleichen wir die Ergebnisse mit Ihnen.

Sieben Beispiele für selbstständiges Arbeiten

Die in dieser Arbeit besprochenen Techniken erschöpfen natürlich nicht alle Möglichkeiten zur Lösung logarithmischer Gleichungen.

In manchen Fällen müssen wir wirklich kreativ werden, um einen Weg zu finden, die Wurzeln einer kniffligen Gleichung zu finden.

Unabhängig davon, wie komplex die ursprüngliche Gleichung ist, wird sie dadurch auf eine Gleichung der Art reduziert, die Sie und ich gerade zu lösen gelernt haben!

Antworten auf Beispiele für selbstständiges Arbeiten

1. Eine ziemlich einfache Aufgabe: Verwenden wir die Eigenschaft:

im Subtrahend:

Dann erhalten wir:

Lass uns das Prüfen:

(Diesen Übergang habe ich Ihnen oben bereits erklärt)

Antwort: 9

2. Auch nichts Übernatürliches: Ich möchte nicht dividieren, deshalb verschiebe ich den Term mit dem „Minus“ nach rechts: Jetzt habe ich links und rechts dezimale Logarithmen und werde sie los:

Ich überprüfe:

Der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen darf nicht negativ sein, daher ist die Zahl nicht die Wurzel der Gleichung.

Untersuchung

Antwort:

Hier müssen wir noch ein wenig arbeiten: Es ist klar, dass ich wieder die (ist sie nicht sehr nützlich?) Formel verwenden werde:

Was muss ich tun, bevor ich die Logarithmus-Additionsformel anwende? Ja, ich muss den Multiplikator loswerden. Es gibt zwei Möglichkeiten: Die erste besteht darin, es direkt in einen Logarithmus einzugeben, indem man die Formel verwendet:

Im Prinzip hat diese Methode ihre Daseinsberechtigung, aber was ist daran schlecht? Es ist schlecht, mit einem Ausdruck dieser Form umzugehen (ein „nicht ganzzahliger Grad“ ist immer unangenehm. Was können wir also sonst tun? Wie können wir einen solchen „nicht ganzzahligen Grad“ loswerden? Multiplizieren wir mit unserer Gleichung:

Nun wollen wir beide Faktoren logarithmieren:

dann ersetze ich die Null durch

Und schließlich bekomme ich:

Erinnern Sie sich, wie diese „ungeliebte“ Schulformel heißt? Das Würfelunterschied! Vielleicht ist das klarer?

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Differenz der Würfel wie folgt faktorisiert wird:

und hier ist noch eines für alle Fälle:

Bezogen auf unsere Situation ergibt sich daraus:

Die erste Gleichung hat eine Wurzel, die zweite jedoch keine Wurzeln (überzeugen Sie sich selbst!).

Ich überlasse es Ihnen, selbst zu überprüfen und sicherzustellen, dass die Zahl tatsächlich die Wurzel unserer Gleichung ist.

Wie im vorherigen Beispiel schreiben wir um

Auch hier möchte ich keine Subtraktionen (und anschließende Divisionen) und deshalb werde ich den resultierenden Ausdruck nach rechts verschieben:

Jetzt entferne ich die Logarithmen links und rechts:

Wir haben eine irrationale Gleichung, von der ich hoffe, dass Sie bereits wissen, wie man sie löst. Ich möchte Sie nur daran erinnern, dass wir beide Seiten in Einklang bringen:

Ihre Aufgabe besteht nun darin, sicherzustellen, dass es sich nicht um einen Root handelt, sondern um einen.

Antwort:

Alles ist transparent: Wir wenden die Formel für die Summe der Logarithmen links an:

dann entfernen wir die Logarithmen auf beiden Seiten:

Untersuchung:

Antwort: ;

Alles könnte nicht einfacher sein: Die Gleichung wurde bereits auf ihre einfachste Form reduziert. Alles, was wir tun müssen, ist auszugleichen

Lass uns das Prüfen:

Aber wenn die Basis der Logarithmen gleich ist:

Und es ist keine Wurzel.

Antwort:

Ich habe dieses Beispiel zum Nachtisch übrig gelassen. Obwohl es auch nichts sehr Kompliziertes daran gibt.

Stellen wir uns Null vor als

Dann werden Sie und ich das bekommen logarithmische Gleichung:

Und wir entfernen die erste „Haut“ – externe Logarithmen.

Stellen wir uns die Einheit als vor

Dann wird unsere Gleichung die Form annehmen:

Jetzt entfernen wir die „zweite Haut“ und kommen zum Kern:

Lass uns das Prüfen:

Antwort: .

3 METHODEN ZUR LÖSUNG LOGARITHMISCHER GLEICHUNGEN. FORTGESCHRITTENES LEVEL

Nachdem Sie nun den ersten Artikel über logarithmische Gleichungen gelesen haben, beherrschen Sie das erforderliche Mindestwissen, um die einfachsten Beispiele zu lösen.

Jetzt kann ich mit dem Parsen weitermachen drei Methoden Logarithmische Gleichungen lösen:

Methode zur Einführung einer neuen Variablen (oder Ersetzung)
Logarithmus-Methode
Methode des Übergangs zu einer neuen Stiftung.

Erste Methode- einer der in der Praxis am häufigsten verwendeten. Es löst die meisten „schwierigsten“ Probleme im Zusammenhang mit der Lösung logarithmischer (und nicht nur) Gleichungen.

Zweite Methode dient der Lösung gemischter exponentiell-logarithmischer Gleichungen und reduziert das Problem letztendlich auf die Auswahl einer guten Ersatzvariablen (also auf die erste Methode).

Dritte Methode Geeignet zum Lösen einiger Gleichungen, in denen Logarithmen mit unterschiedlichen Basen vorkommen.

Ich beginne mit der ersten Methode.

Methode zur Einführung einer neuen Variablen (4 Beispiele)

Wie Sie bereits anhand des Namens verstanden haben, besteht der Kern dieser Methode darin, eine solche Variablenänderung einzuführen, dass sich Ihre logarithmische Gleichung auf wundersame Weise in eine Gleichung verwandelt, die Sie leicht lösen können.

Nachdem Sie diese sehr „vereinfachte Gleichung“ gelöst haben, müssen Sie nur noch etwas tun „umgekehrter Ersatz“: das heißt, vom Ersetzten zum Ersetzten zurückzukehren.

Lassen Sie uns das, was wir gerade gesagt haben, anhand eines sehr einfachen Beispiels veranschaulichen:

In diesem Beispiel liegt der Ersatz nahe! Schließlich ist klar, dass sich unsere logarithmische Gleichung in eine rationale Gleichung verwandelt, wenn wir durch ersetzen:

Sie können es leicht lösen, indem Sie es auf ein Quadrat reduzieren:

(damit der Nenner nicht versehentlich auf Null zurückgesetzt wird!)

Wenn wir den resultierenden Ausdruck vereinfachen, erhalten wir schließlich:

Jetzt machen wir die umgekehrte Substitution: , dann folgt daraus, und wir erhalten

Jetzt ist es wie zuvor an der Zeit, Folgendes zu überprüfen:

Lass es am Anfang stehen, denn dann ist es wahr!

Nun ja, alles ist richtig!

Somit sind die Zahlen die Wurzeln unserer ursprünglichen Gleichung.

Antwort: .

Hier ist ein weiteres Beispiel mit einem offensichtlichen Ersatz:

Ersetzen wir es lieber gleich

dann wird unsere ursprüngliche logarithmische Gleichung zu einer quadratischen:

Umgekehrter Ersatz:

Überprüfen Sie es selbst und stellen Sie sicher, dass in diesem Fall beide von uns gefundenen Zahlen Wurzeln sind.

Ich denke, Sie haben die Hauptidee verstanden. Es ist nicht neu und gilt nicht nur für logarithmische Gleichungen.

Eine andere Sache ist, dass es manchmal ziemlich schwierig ist, den Ersatz sofort zu „sehen“. Dafür ist eine gewisse Erfahrung erforderlich, die Sie nach einiger Anstrengung Ihrerseits erlangen werden.

Üben Sie in der Zwischenzeit das Lösen der folgenden Beispiele:

Bereit? Schauen wir uns an, was Sie haben:

Lösen wir zunächst das zweite Beispiel.

Er zeigt Ihnen nur, dass ein Ersatz, wie man sagt, „frontal“ nicht immer möglich ist.

Zuerst müssen wir unsere Gleichung ein wenig umwandeln: Wenden Sie die Formel für die Differenz der Logarithmen im Zähler des ersten Bruchs an und nehmen Sie die Potenz im Zähler des zweiten.

Dadurch erhalten Sie:

Jetzt ist der Ersatz offensichtlich, nicht wahr? Lass es uns machen: .

Jetzt bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und vereinfachen sie.

Dann erhalten wir:

Nachdem Sie die letzte Gleichung gelöst haben, finden Sie ihre Wurzeln: wo.

Führen Sie die Überprüfung selbst durch und stellen Sie sicher, dass dies tatsächlich die Wurzeln unserer ursprünglichen Gleichung sind.

Versuchen wir nun, die dritte Gleichung zu lösen.

Zunächst einmal ist klar, dass es uns nicht schaden wird, beide Seiten der Gleichung mit zu multiplizieren. Es gibt keinen Schaden, aber die Vorteile liegen auf der Hand.

Jetzt machen wir einen Ersatz. Sie haben erraten, was wir ersetzen werden, oder? Das ist richtig, sagen wir mal. Dann wird unsere Gleichung die folgende Form annehmen:

(Beide Wurzeln passen zu uns!)

Jetzt die umgekehrte Ersetzung: , von, von. Unsere ursprüngliche Gleichung hat bis zu vier Wurzeln! Stellen Sie sicher, dass wir die erhaltenen Werte in die Gleichung einsetzen. Wir schreiben die Antwort auf:

Antwort: .

Ich denke, dass Ihnen die Idee, eine Variable zu ersetzen, jetzt völlig klar ist? Okay, dann hören wir hier nicht auf und gehen zu einer anderen Methode zum Lösen logarithmischer Gleichungen über: Methode des Übergangs zu einer neuen Stiftung.

Methode des Übergangs zu einer neuen Basis

Betrachten wir die folgende Gleichung:

Was sehen wir? Die beiden Logarithmen sollen einander „entgegengesetzt“ sein. Was müssen wir machen? Alles ist ganz einfach: Wir müssen nur auf eine von zwei Formeln zurückgreifen:

Im Prinzip hindert mich nichts daran, eine dieser beiden Formeln zu verwenden, aber aufgrund der Struktur der Gleichung wird es für mich bequemer sein, die erste zu verwenden: Ich werde die variable Basis des Logarithmus im zweiten Term los durch Ersetzen durch. Jetzt ist leicht zu erkennen, dass sich die Aufgabe auf die vorherige reduziert hat: die Auswahl eines Ersatzes. Durch Einsetzen erhalte ich die folgende Gleichung:

Von hier. Alles, was Sie tun müssen, ist, die gefundenen Zahlen in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen und sicherzustellen, dass es sich tatsächlich um Wurzeln handelt.

Hier ein weiteres Beispiel, bei dem ein Umzug in eine neue Stiftung sinnvoll ist:

Wie Sie jedoch leicht überprüfen können, wird ein sofortiger Wechsel zu einer neuen Grundierung nicht den gewünschten Effekt erzielen. Was müssen wir in diesem Fall tun? Vereinfachen wir alles so weit wie möglich und was auch immer passiert.
Was ich also tun möchte, ist mir vorzustellen, wie man diese Potenzen vor den Logarithmen herausrechnet und auch das Quadrat von X im ersten Logarithmus herausrechnet. Wir werden später sehen.

Denken Sie daran, dass es viel schwieriger sein kann, sich mit der Basis anzufreunden als mit dem Ausdruck unter dem Vorzeichen des Logarithmus!

Nach dieser Regel werde ich durch und durch ersetzen. Dann bekomme ich:

Nun, die nächsten Schritte sind Ihnen bereits bekannt. Ersetzen und nach Wurzeln suchen!

Als Ergebnis finden Sie zwei Wurzeln der ursprünglichen Gleichung:

Es ist Zeit, Ihnen zu zeigen, was Sie gelernt haben!

Versuchen Sie zunächst, die folgenden (nicht die einfachsten) Beispiele selbst zu lösen:

1. Hier ist alles ganz normal: Ich werde versuchen, meine ursprüngliche Gleichung so zu reduzieren, dass die Ersetzung bequem ist. Was brauche ich dafür? Transformieren Sie zunächst den ersten Ausdruck auf der linken Seite (entfernen Sie die vierte Zweierpotenz vor dem Logarithmus) und entfernen Sie die Zweierpotenz von der Basis des zweiten Logarithmus. Dann bekomme ich:

Jetzt müssen Sie nur noch den ersten Logarithmus „umdrehen“!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(Der Einfachheit halber habe ich den zweiten Logarithmus von der linken auf die rechte Seite der Gleichung verschoben.)

Das Problem ist fast gelöst: Sie können einen Ersatz herstellen. Nach der Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner erhalte ich die folgende Gleichung:

Nachdem Sie die umgekehrte Substitution durchgeführt haben, wird es Ihnen nicht schwer fallen, Folgendes zu berechnen:

Stellen Sie sicher, dass die erhaltenen Werte die Wurzeln unserer Gleichung sind.

2. Auch hier werde ich versuchen, meine Gleichung an einen akzeptablen Ersatz „anzupassen“. Welcher? Vielleicht passt es zu mir.

Verschwenden wir also keine Zeit und beginnen wir mit der Transformation!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Nun können Sie es sicher ersetzen! Dann erhalten wir in Bezug auf die neue Variable die folgende Gleichung:

Wo. Auch hier bleibt es Ihnen als Übung überlassen, sicherzustellen, dass beide Zahlen tatsächlich Wurzeln sind.

3. Hier ist nicht einmal sofort klar, was wir ersetzen werden. Es gibt eine goldene Regel – Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können! Das werde ich verwenden!

Jetzt werde ich alle Logarithmen „umdrehen“ und auf den ersten die Differenzlogarithmusformel und auf die letzten beiden den Summenlogarithmus anwenden:

Hier habe ich auch die Tatsache verwendet, dass (at) und die Eigenschaft, aus einem Logarithmus eine Potenz zu ziehen. Nun können wir einen passenden Ersatz anwenden: . Ich bin mir sicher, dass Sie bereits wissen, wie man rationale Gleichungen löst, selbst diese monströsen Gleichungen. Deshalb erlaube ich mir, das Ergebnis gleich aufzuschreiben:

Es bleiben noch zwei Gleichungen zu lösen: . Mit den Methoden zur Lösung solcher „fast einfachsten“ Gleichungen haben Sie sich bereits im vorherigen Abschnitt vertraut gemacht. Deshalb schreibe ich gleich die endgültigen Lösungen auf:

Stellen Sie sicher, dass nur zwei dieser Zahlen die Wurzeln meiner Gleichung sind! Es ist nämlich und, obwohl es keine Wurzel ist!

Dieses Beispiel ist etwas kniffliger, ich werde jedoch versuchen, es zu lösen, ohne überhaupt auf Variablenersetzung zurückzugreifen! Machen wir es noch einmal, tun wir, was wir können: Zuerst können wir den Logarithmus auf der linken Seite nach der Formel für den Logarithmus eines Verhältnisses erweitern und zusätzlich die beiden vor den Logarithmus in Klammern setzen. Am Ende erhalte ich:

Nun, jetzt die gleiche Formel, die wir bereits verwendet haben! Also, kürzen wir die rechte Seite! Jetzt ist da nur noch eine Zwei! Bewegen wir eins von links dorthin und wir erhalten schließlich:

Sie wissen bereits, wie man solche Gleichungen löst. Die Wurzel lässt sich problemlos finden und ist gleich. Ich erinnere Sie daran, dies zu überprüfen!

Nun, wie ich hoffe, haben Sie gelernt, recht komplexe Probleme zu lösen, die Sie nicht „frontal“ lösen können! Aber logarithmische Gleichungen können noch heimtückischer sein! Hier sind einige Beispiele:

Hier wird die bisherige Lösung leider keine greifbaren Ergebnisse liefern. Wie denkst du, warum? Ja, hier gibt es keine „Reziprozität“ der Logarithmen mehr. Dieser allgemeinste Fall lässt sich natürlich auch lösen, aber wir verwenden bereits die folgende Formel:

Dieser Formel ist es egal, ob Sie das „Gegenteil“ haben oder nicht. Sie fragen sich vielleicht: Warum eine Basis wählen? Meine Antwort ist, dass es keine Rolle spielt. Die Antwort wird letztendlich nicht davon abhängen. Traditionell wird entweder der natürliche oder der dezimale Logarithmus verwendet. Obwohl dies nicht wichtig ist. Ich verwende zum Beispiel Dezimalzahl:

Eine Antwort in dieser Form zu hinterlassen ist eine völlige Schande! Lassen Sie mich das zunächst per Definition aufschreiben

Jetzt ist es an der Zeit, innerhalb der Klammern die logarithmische Hauptidentität zu verwenden und außerhalb (bis zum Grad) das Verhältnis in einen Logarithmus umzuwandeln: Dann erhalten wir endlich dieses „seltsame“ Antwort: .

Weitere Vereinfachungen stehen uns leider nicht mehr zur Verfügung.

Schauen wir gemeinsam nach:

Rechts! Denken Sie übrigens noch einmal daran, woraus die vorletzte Gleichheit in der Kette folgt!

Im Prinzip lässt sich die Lösung dieses Beispiels auch auf den Übergang zum Logarithmus auf Basis einer neuen Basis reduzieren, allerdings sollte man schon jetzt Angst davor haben, was am Ende passieren wird. Versuchen wir etwas Vernünftigeres zu tun: die linke Seite so gut wie möglich umzugestalten.

Übrigens, wie glaubst du, dass ich zur letzten Zerlegung gekommen bin? Das ist richtig, ich habe den Satz über die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms angewendet, nämlich:

Wenn die Wurzeln der Gleichung sind, dann:

Nun werde ich meine ursprüngliche Gleichung in dieser Form umschreiben:

Aber wir sind durchaus in der Lage, ein solches Problem zu lösen!

Lassen Sie uns also einen Ersatz einführen.

Dann wird meine anfängliche Gleichung diese einfache Form annehmen:

Seine Wurzeln sind gleich: , dann

Woher kommt diese Gleichung? hat keine Wurzeln.

Alles, was Sie tun müssen, ist zu überprüfen!

Versuchen Sie, die folgende Gleichung selbst zu lösen. Nehmen Sie sich Zeit und seien Sie vorsichtig, dann ist das Glück auf Ihrer Seite!

Bereit? Mal sehen, was wir haben.

Tatsächlich wird das Beispiel in zwei Schritten gelöst:

1. Transformieren

2. Jetzt habe ich rechts einen Ausdruck, der gleich ist

Somit wurde die ursprüngliche Gleichung auf das einfachste reduziert:

Der Test zeigt, dass diese Zahl tatsächlich die Wurzel der Gleichung ist.

Logarithmus-Methode

Abschließend werde ich ganz kurz auf Methoden zur Lösung einiger gemischter Gleichungen eingehen. Natürlich verpflichte ich mich nicht, alle gemischten Gleichungen abzudecken, sondern werde Methoden zur Lösung der einfachsten aufzeigen.

Zum Beispiel,

Eine solche Gleichung kann mit der Logarithmusmethode gelöst werden. Alles, was Sie tun müssen, ist, den Logarithmus beider Seiten zu bilden.

Es ist klar, dass ich, da wir bereits einen Logarithmus zur Basis haben, den Logarithmus zur gleichen Basis nehmen werde:

Jetzt entziehe ich dem Ausdruck auf der linken Seite die Kraft:

und faktorisieren Sie den Ausdruck mithilfe der Quadratdifferenzformel:

Die Überprüfung liegt wie immer auf Ihrem Gewissen.

Versuchen Sie, das letzte Beispiel in diesem Artikel selbst zu lösen!

Überprüfen wir: Logarithmus zur Basis beider Seiten der Gleichung:

Ich nehme den Grad links heraus und teile ihn mit der Summenformel rechts auf:

Wir vermuten eine der Wurzeln: Es ist eine Wurzel.

Im Artikel über das Lösen von Exponentialgleichungen habe ich darüber gesprochen, wie man ein Polynom durch eine „Ecke“ durch ein anderes dividiert.

Hier müssen wir durch dividieren.

Als Ergebnis erhalten wir:

Wenn möglich, führen Sie die Kontrolle selbst durch (obwohl es in diesem Fall, insbesondere bei den letzten beiden Wurzeln, nicht einfach sein wird).

LOGARITHMISCHE GLEICHUNGEN. SUPER-NIVEAU

Zusätzlich zu dem bereits präsentierten Material schlage ich vor, dass Sie und ich über eine andere Möglichkeit nachdenken, gemischte Gleichungen mit Logarithmen zu lösen, aber hier werde ich Gleichungen betrachten, die kann nicht mit der zuvor diskutierten Methode der Logarithmierung beider Seiten gelöst werden. Diese Methode wird Mini-Max genannt.

Mini-Max-Methode

Diese Methode ist nicht nur auf die Lösung gemischter Gleichungen anwendbar, sondern erweist sich auch bei der Lösung einiger Ungleichungen als nützlich.

Daher führen wir zunächst die folgenden grundlegenden Definitionen ein, die für die Anwendung der Mini-Max-Methode erforderlich sind.

Einfache Bilder veranschaulichen diese Definitionen:

Die Funktion in der Abbildung links ist monoton steigend und rechts monoton fallend. Wenden wir uns nun der logarithmischen Funktion zu, es ist bekannt, dass Folgendes gilt:

Die Abbildung zeigt Beispiele einer monoton steigenden und monoton fallenden logarithmischen Funktion.

Beschreiben wir es direkt Mini-Max-Methode. Ich denke, Sie verstehen, aus welchen Wörtern dieser Name stammt?

Das ist richtig, aus den Wörtern Minimum und Maximum. Kurz gesagt kann die Methode wie folgt dargestellt werden:

Unser wichtigstes Ziel ist es, genau diese Konstante zu finden, um die Gleichung weiter auf zwei einfachere zu reduzieren.

Zu diesem Zweck können die oben formulierten Monotonieeigenschaften der logarithmischen Funktion nützlich sein.

Schauen wir uns nun konkrete Beispiele an:

1. Schauen wir uns zunächst die linke Seite an.

Es gibt einen Logarithmus mit einer Basis weniger. Was ist nach dem oben formulierten Satz die Funktion? Es nimmt ab. Gleichzeitig bedeutet das . Andererseits gilt per Definition einer Wurzel: . Somit ist die Konstante gefunden und gleich. Dann entspricht die ursprüngliche Gleichung dem System:

Die erste Gleichung hat Wurzeln und die zweite: . Somit ist die gemeinsame Wurzel gleich und diese Wurzel ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung. Führen Sie für alle Fälle eine Überprüfung durch, um sicherzugehen.

Antwort:

Lassen Sie uns sofort darüber nachdenken, was hier geschrieben steht?

Ich meine die allgemeine Struktur. Hier heißt es, dass die Summe zweier Quadrate Null ist.

Wann ist es möglich?

Nur wenn beide Zahlen einzeln gleich Null sind. Dann gehen wir zum folgenden System über:

Die erste und zweite Gleichung haben keine gemeinsamen Wurzeln, dann hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.

Antwort: keine Lösungen.

Schauen wir uns zunächst die rechte Seite an – sie ist einfacher. Per Definition von Sinus:

Von wo und dann Deshalb

Kehren wir nun zur linken Seite zurück: Betrachten Sie den Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen:

Der Versuch, die Wurzeln einer Gleichung zu finden, wird zu keinem positiven Ergebnis führen. Aber trotzdem muss ich diesen Ausdruck irgendwie bewerten. Sie kennen natürlich eine Methode wie Auswahl eines vollständigen Quadrats. Ich werde es hier verwenden.

Da es sich um eine steigende Funktion handelt, folgt daraus. Auf diese Weise,

Dann entspricht unsere ursprüngliche Gleichung dem folgenden System:

Ich weiß nicht, ob Sie mit dem Lösen trigonometrischer Gleichungen vertraut sind oder nicht, also mache ich Folgendes: Ich löse die erste Gleichung (sie hat maximal zwei Wurzeln) und setze dann das Ergebnis ein der Zweite:

(Sie können überprüfen und sicherstellen, dass diese Zahl die Wurzel der ersten Gleichung des Systems ist)

Jetzt setze ich es in die zweite Gleichung ein:

Antwort:

Nun ist Ihnen die Technik der Mini-Max-Methode klar geworden? Versuchen Sie dann, das folgende Beispiel selbst zu lösen.

Bereit? Lass uns das Prüfen:

Die linke Seite ist die Summe zweier nicht negativer Größen (Eins und Modul) und daher ist die linke Seite nicht kleiner als eins und nur dann gleich eins

Gleichzeitig ist die rechte Seite der Modul (d. h. größer als Null) des Produkts zweier Kosinuswerte (d. h. nicht mehr als eins), dann:

Dann entspricht die ursprüngliche Gleichung dem System:

Ich schlage erneut vor, die erste Gleichung zu lösen und das Ergebnis in die zweite einzusetzen:

Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

Dann hat die ursprüngliche Gleichung auch keine Wurzeln.

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE. 6 METHODEN ZUR LÖSUNG LOGARITHMISCHER GLEICHUNGEN

Logarithmische Gleichung- eine Gleichung, in der die unbekannten Variablen innerhalb von Logarithmen liegen.

Die einfachste logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form.

Der Prozess der Lösung einer logarithmischen Gleichung besteht darin, die logarithmische Gleichung auf die Form zu reduzieren und von einer Gleichung mit Logarithmen zu einer Gleichung ohne Logarithmen überzugehen: .

ODZ für eine logarithmische Gleichung:

Grundlegende Methoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen:

1 Methode. Mit der Definition des Logarithmus:

Methode 2. Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus:

Methode 3. Einführung einer neuen Variablen (Ersetzung):

Durch die Substitution können wir die logarithmische Gleichung für t auf eine einfachere algebraische Gleichung reduzieren.

Methode 4Übergang zu einer neuen Basis:

5 Methode. Logarithmus:

Nehmen Sie den Logarithmus der rechten und linken Seite der Gleichung.

6 Methode. Mini-Max:

Jetzt möchten wir von Ihnen hören...

Wir haben versucht, so einfach und ausführlich wie möglich über logarithmische Gleichungen zu schreiben.

Jetzt bist du dran!

Schreiben Sie, wie Sie unseren Artikel bewerten? Mochtest du sie?

Vielleicht wissen Sie bereits, wie man logarithmische Gleichungen löst?

Vielleicht haben Sie Fragen. Oder Vorschläge.

Schreiben Sie darüber in den Kommentaren.

Und viel Glück bei deinen Prüfungen!

Zur Vorbereitung auf den Abschlusstest in Mathematik gehört ein wichtiger Abschnitt – „Logarithmen“. Aufgaben aus diesem Thema sind zwingend im Einheitlichen Staatsexamen enthalten. Erfahrungen aus den vergangenen Jahren zeigen, dass logarithmische Gleichungen vielen Schülern Schwierigkeiten bereiteten. Daher müssen Studierende mit unterschiedlichem Ausbildungsniveau verstehen, wie sie die richtige Antwort finden und diese schnell bewältigen können.

Bestehen Sie den Zertifizierungstest erfolgreich über das Bildungsportal Shkolkovo!

Bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen benötigen Abiturienten eine zuverlässige Quelle, die möglichst vollständige und genaue Informationen für die erfolgreiche Lösung von Prüfungsaufgaben liefert. Allerdings ist nicht immer ein Lehrbuch zur Hand und die Suche nach den nötigen Regeln und Formeln im Internet dauert oft lange.

Mit dem Bildungsportal Shkolkovo können Sie sich überall und jederzeit auf das Einheitliche Staatsexamen vorbereiten. Unsere Website bietet den bequemsten Ansatz zur Wiederholung und Aufnahme einer großen Menge an Informationen zu Logarithmen sowie zu einer und mehreren Unbekannten. Beginnen Sie mit einfachen Gleichungen. Wenn Sie sie problemlos bewältigen, gehen Sie zu komplexeren über. Wenn Sie Probleme beim Lösen einer bestimmten Ungleichung haben, können Sie sie zu Ihren Favoriten hinzufügen, damit Sie später darauf zurückgreifen können.

Im Abschnitt „Theoretische Hilfe“ finden Sie die notwendigen Formeln zur Lösung der Aufgabe, Wiederholungsspezialfälle und Methoden zur Berechnung der Wurzel einer logarithmischen Standardgleichung. Die Lehrer von Shkolkovo sammelten, systematisierten und präsentierten alle für ein erfolgreiches Bestehen notwendigen Materialien in der einfachsten und verständlichsten Form.

Um Aufgaben jeder Komplexität problemlos bewältigen zu können, können Sie sich auf unserem Portal mit der Lösung einiger standardmäßiger logarithmischer Gleichungen vertraut machen. Gehen Sie dazu in die Rubrik „Kataloge“. Wir verfügen über eine Vielzahl von Beispielen, darunter Gleichungen mit dem Profilniveau des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik.

Schüler aus Schulen in ganz Russland können unser Portal nutzen. Um mit dem Unterricht zu beginnen, registrieren Sie sich einfach im System und beginnen Sie mit dem Lösen von Gleichungen. Um die Ergebnisse zu festigen, empfehlen wir Ihnen, täglich zur Shkolkovo-Website zurückzukehren.

Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo Sie umständliche Multiplikationen durch einfache Addition vereinfachen müssen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.

Definition in der Mathematik

Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus einer beliebigen nicht negativen (d. h. positiven) Zahl „b“ zu ihrer Basis „a“ wird als Potenz „c“ betrachtet ” auf den die Basis „a“ angehoben werden muss, um letztlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.

Arten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Es gibt drei verschiedene Arten logarithmischer Ausdrücke:

Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die richtigen Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, die gerade Wurzel negativer Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

Die Basis „a“ muss immer größer als Null und nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, da „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun in logarithmischer Form darstellen. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Für größere Werte benötigen Sie jedoch eine Leistungstabelle. Es kann auch von Personen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von komplexen mathematischen Themen haben. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe gibt den Wert der Potenz c an, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Es ergibt sich folgender Ausdruck: log 2 (x-1) > 3 – es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem logarithmischen Vorzeichen steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während bei der Lösung einer Ungleichung beide Bereiche akzeptabel sind Werte und die Punkte werden durch Brechen dieser Funktion bestimmt. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Antwort auf eine Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.

Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall lautet die zwingende Bedingung: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Der Satz in Form einer Formel hat die folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Um an einer Universität zu studieren oder Aufnahmeprüfungen in Mathematik zu bestehen, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung des unbekannten Wertes des Logarithmus, aber bestimmte Regeln können auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder auf eine allgemeine Form reduziert werden kann. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie schnell kennen.

Beim Lösen logarithmischer Gleichungen müssen wir bestimmen, um welche Art von Logarithmus es sich handelt: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Um natürliche Logarithmen zu lösen, müssen Sie logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Art an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.

Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen es notwendig ist, einen großen Wert der Zahl b in einfachere Faktoren zu zerlegen. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.

Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen

Logarithmen kommen häufig in Aufnahmeprüfungen vor, insbesondere viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabsolventen). Typischerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Prüfungsteil der Prüfung), sondern auch in Teil C (den komplexesten und umfangreichsten Aufgaben) enthalten. Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.

Beispiele und Problemlösungen sind den offiziellen Versionen des Einheitlichen Staatsexamens entnommen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
Schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.

Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.