Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα 2. Πώς να βρείτε την τετραγωνική ρίζα; Ιδιότητες, παραδείγματα εξαγωγής ριζών

Οι μαθητές πάντα ρωτούν: «Γιατί δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω αριθμομηχανή στις εξετάσεις των μαθηματικών; Πώς να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού χωρίς αριθμομηχανή; Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση.

Πώς να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής;

Δράση τετραγωνική ρίζααντίστροφη της δράσης του τετραγωνισμού.

√81= 9 9 2 =81

Εάν πάρετε την τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού και τετραγωνίσετε το αποτέλεσμα, θα έχετε τον ίδιο αριθμό.

Από μικρούς αριθμούς που είναι ακριβή τετράγωνα φυσικών αριθμών, για παράδειγμα 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, οι τετραγωνικές ρίζες μπορούν να εξαχθούν προφορικά. Συνήθως στο σχολείο διδάσκουν έναν πίνακα με τετράγωνα φυσικών αριθμών μέχρι είκοσι. Γνωρίζοντας αυτόν τον πίνακα, είναι εύκολο να εξαγάγετε τετραγωνικές ρίζες από τους αριθμούς 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Από αριθμούς μεγαλύτερους από 400 μπορείτε να τις εξαγάγετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής χρησιμοποιώντας ορισμένες συμβουλές. Ας προσπαθήσουμε να δούμε αυτή τη μέθοδο με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα: Εξάγετε τη ρίζα του αριθμού 676.

Παρατηρούμε ότι 20 2 = 400, και 30 2 = 900, που σημαίνει 20< √676 < 900.

Τα ακριβή τετράγωνα των φυσικών αριθμών τελειώνουν σε 0. 1; 4; 5; 6; 9.
Ο αριθμός 6 δίνεται από το 4 2 και το 6 2.
Αυτό σημαίνει ότι αν η ρίζα λαμβάνεται από το 676, τότε είναι είτε 24 είτε 26.

Απομένει να ελέγξετε: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Απάντηση: √676 = 26 .

Περισσότερο παράδειγμα: √6889 .

Αφού 80 2 = 6400, και 90 2 = 8100, τότε 80< √6889 < 90.
Ο αριθμός 9 δίνεται από το 3 2 και το 7 2, τότε το √6889 ισούται είτε με 83 είτε με 87.

Ας ελέγξουμε: 83 2 = 6889.

Απάντηση: √6889 = 83 .

Εάν δυσκολεύεστε να λύσετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής, μπορείτε να συνυπολογίσετε τη ριζική έκφραση.

Για παράδειγμα, βρείτε √893025.

Ας συνυπολογίσουμε τον αριθμό 893025, θυμηθείτε, το κάνατε στην έκτη δημοτικού.

Παίρνουμε: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Περισσότερο παράδειγμα: √20736. Ας συνυπολογίσουμε τον αριθμό 20736:

Παίρνουμε √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Φυσικά, η παραγοντοποίηση απαιτεί γνώση των σημείων διαιρετότητας και δεξιότητες παραγοντοποίησης.

Και τέλος, υπάρχει κανόνας για την εξαγωγή τετραγωνικών ριζών. Ας εξοικειωθούμε με αυτόν τον κανόνα με παραδείγματα.

Υπολογίστε √279841.

Για να εξαγάγουμε τη ρίζα ενός πολυψήφιου ακέραιου αριθμού, τον χωρίζουμε από τα δεξιά προς τα αριστερά σε όψεις που περιέχουν 2 ψηφία (η αριστερή άκρη μπορεί να περιέχει ένα ψηφίο). Το γράφουμε ως εξής: 27’98’41

Για να λάβουμε το πρώτο ψηφίο της ρίζας (5), παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα του μεγαλύτερου τέλειου τετραγώνου που περιέχεται στην πρώτη όψη στα αριστερά (27).
Στη συνέχεια αφαιρείται το τετράγωνο του πρώτου ψηφίου της ρίζας (25) από την πρώτη όψη και η επόμενη όψη (98) προστίθεται στη διαφορά (αφαιρείται).
Στα αριστερά του αριθμού 298 που προκύπτει, γράψτε το διψήφιο της ρίζας (10), διαιρέστε με αυτό τον αριθμό όλων των δεκάδων του προηγουμένως ληφθέντος αριθμού (29/2 ≈ 2), δοκιμάστε το πηλίκο (102 ∙ 2 = 204 δεν πρέπει να είναι περισσότερο από 298) και γράψτε το (2) μετά το πρώτο ψηφίο της ρίζας.
Στη συνέχεια, το προκύπτον πηλίκο 204 αφαιρείται από το 298 και η επόμενη ακμή (41) προστίθεται στη διαφορά (94).
Στα αριστερά του αριθμού 9441 που προκύπτει, γράψτε το διπλό γινόμενο των ψηφίων της ρίζας (52 ∙2 = 104), διαιρέστε τον αριθμό και των δεκάδων του αριθμού 9441 (944/104 ≈ 9) με αυτό το γινόμενο, δοκιμάστε το Το πηλίκο (1049 ∙9 = 9441) πρέπει να είναι 9441 και να το γράψετε (9) μετά το δεύτερο ψηφίο της ρίζας.

Λάβαμε την απάντηση √279841 = 529.

Εξαγωγή ομοίως ρίζες δεκαδικών κλασμάτων. Μόνο ο ριζικός αριθμός πρέπει να χωριστεί σε πρόσωπα, έτσι ώστε το κόμμα να βρίσκεται μεταξύ των προσώπων.

Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή √0,00956484.

Απλώς να θυμάστε ότι εάν ένα δεκαδικό κλάσμα έχει περιττό αριθμό δεκαδικών ψηφίων, η τετραγωνική ρίζα δεν μπορεί να ληφθεί από αυτό.

Τώρα λοιπόν έχετε δει τρεις τρόπους εξαγωγής της ρίζας. Επιλέξτε αυτό που σας ταιριάζει καλύτερα και εξασκηθείτε. Για να μάθεις να λύνεις προβλήματα, πρέπει να τα λύνεις. Και αν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, .

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Αρκετά συχνά, όταν λύνουμε προβλήματα, ερχόμαστε αντιμέτωποι με μεγάλους αριθμούς από τους οποίους πρέπει να εξαγάγουμε Τετραγωνική ρίζα. Πολλοί μαθητές αποφασίζουν ότι αυτό είναι λάθος και αρχίζουν να επιλύουν ξανά ολόκληρο το παράδειγμα. Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το κάνετε αυτό! Υπάρχουν δύο λόγοι για αυτό:

1. Οι ρίζες των μεγάλων αριθμών εμφανίζονται στα προβλήματα. Ειδικά σε κείμενο?
2. Υπάρχει ένας αλγόριθμος με τον οποίο αυτές οι ρίζες υπολογίζονται σχεδόν προφορικά.

Θα εξετάσουμε αυτόν τον αλγόριθμο σήμερα. Ίσως κάποια πράγματα να σας φαίνονται ακατανόητα. Αλλά αν δώσετε προσοχή σε αυτό το μάθημα, θα λάβετε ένα ισχυρό όπλο ενάντια τετραγωνικές ρίζες.

Λοιπόν, ο αλγόριθμος:

1. Περιορίστε την απαιτούμενη ρίζα πάνω και κάτω σε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 10. Έτσι, θα μειώσουμε το εύρος αναζήτησης σε 10 αριθμούς.
2. Από αυτούς τους 10 αριθμούς, αφαιρέστε αυτούς που σίγουρα δεν μπορούν να είναι ρίζες. Ως αποτέλεσμα, θα παραμείνουν 1-2 αριθμοί.
3. Τετραγωνίστε αυτούς τους 1-2 αριθμούς. Αυτός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με τον αρχικό αριθμό θα είναι η ρίζα.

Πριν εφαρμόσουμε αυτόν τον αλγόριθμο στην πράξη, ας δούμε κάθε βήμα ξεχωριστά.

Περιορισμός ρίζας

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μάθουμε ανάμεσα σε ποιους αριθμούς βρίσκεται η ρίζα μας. Είναι πολύ επιθυμητό οι αριθμοί να είναι πολλαπλάσιοι του δέκα:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Παίρνουμε μια σειρά αριθμών:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Τι μας λένε αυτοί οι αριθμοί; Είναι απλό: έχουμε όρια. Πάρτε, για παράδειγμα, τον αριθμό 1296. Βρίσκεται μεταξύ 900 και 1600. Επομένως, η ρίζα του δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 30 και μεγαλύτερη από 40:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Το ίδιο ισχύει και για κάθε άλλο αριθμό από τον οποίο μπορείτε να βρείτε την τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, 3364:

Έτσι, αντί για έναν ακατανόητο αριθμό, παίρνουμε ένα πολύ συγκεκριμένο εύρος στο οποίο βρίσκεται η αρχική ρίζα. Για να περιορίσετε περαιτέρω την περιοχή αναζήτησης, προχωρήστε στο δεύτερο βήμα.

Εξάλειψη προφανώς περιττών αριθμών

Έτσι, έχουμε 10 αριθμούς - υποψήφιους για τη ρίζα. Τα πήραμε πολύ γρήγορα, χωρίς σύνθετη σκέψη και πολλαπλασιασμό σε στήλη. Είναι καιρός να προχωρήσεις.

Είτε το πιστεύετε είτε όχι, τώρα θα μειώσουμε τον αριθμό των υποψηφίων σε δύο - και πάλι χωρίς περίπλοκους υπολογισμούς! Αρκεί να γνωρίζουμε τον ειδικό κανόνα. Εδώ είναι:

Το τελευταίο ψηφίο του τετραγώνου εξαρτάται μόνο από το τελευταίο ψηφίο αρχικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, απλά κοιτάξτε το τελευταίο ψηφίο του τετραγώνου και θα καταλάβουμε αμέσως πού τελειώνει ο αρχικός αριθμός.

Υπάρχουν μόνο 10 ψηφία που μπορούν να έρθουν στην τελευταία θέση. Ας προσπαθήσουμε να μάθουμε σε τι μετατρέπονται όταν τετραγωνίζονται. Ρίξτε μια ματιά στον πίνακα:

Αυτός ο πίνακας είναι ένα ακόμη βήμα προς τον υπολογισμό της ρίζας. Όπως μπορείτε να δείτε, οι αριθμοί στη δεύτερη γραμμή αποδείχθηκαν συμμετρικοί σε σχέση με το πέντε. Για παράδειγμα:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Όπως μπορείτε να δείτε, το τελευταίο ψηφίο είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις. Αυτό σημαίνει ότι, για παράδειγμα, η ρίζα του 3364 πρέπει να τελειώνει σε 2 ή 8. Από την άλλη πλευρά, θυμόμαστε τον περιορισμό από την προηγούμενη παράγραφο. Παίρνουμε:

Τα κόκκινα τετράγωνα δείχνουν ότι δεν γνωρίζουμε ακόμη αυτόν τον αριθμό. Αλλά η ρίζα βρίσκεται στην περιοχή από 50 έως 60, στην οποία υπάρχουν μόνο δύο αριθμοί που τελειώνουν σε 2 και 8:

Αυτό είναι όλο! Από όλες τις πιθανές ρίζες, αφήσαμε μόνο δύο επιλογές! Και αυτό είναι στην πιο δύσκολη περίπτωση, γιατί το τελευταίο ψηφίο μπορεί να είναι 5 ή 0. Και τότε θα υπάρχει μόνο ένας υποψήφιος για τις ρίζες!

Τελικοί υπολογισμοί

Άρα, μας απομένουν 2 υποψήφιοι αριθμοί. Πώς ξέρετε ποια είναι η ρίζα; Η απάντηση είναι προφανής: τετράγωνο και τους δύο αριθμούς. Αυτό που στο τετράγωνο δίνει τον αρχικό αριθμό θα είναι η ρίζα.

Για παράδειγμα, για τον αριθμό 3364 βρήκαμε δύο υποψήφιους αριθμούς: 52 και 58. Ας τους τετραγωνίσουμε:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Αυτό είναι όλο! Αποδείχθηκε ότι η ρίζα είναι 58! Ταυτόχρονα, για να απλοποιήσω τους υπολογισμούς, χρησιμοποίησα τον τύπο για τα τετράγωνα του αθροίσματος και της διαφοράς. Χάρη σε αυτό, δεν χρειάστηκε καν να πολλαπλασιάσω τους αριθμούς σε μια στήλη! Αυτό είναι ένα άλλο επίπεδο βελτιστοποίησης υπολογισμού, αλλά, φυσικά, είναι εντελώς προαιρετικό :)

Παραδείγματα υπολογισμού ριζών

Η θεωρία είναι, φυσικά, καλή. Ας το ελέγξουμε όμως στην πράξη.

[Λεζάντα για την εικόνα]

Αρχικά, ας μάθουμε ανάμεσα σε ποιους αριθμούς βρίσκεται ο αριθμός 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ας δούμε τώρα τον τελευταίο αριθμό. Είναι ίσο με 6. Πότε συμβαίνει αυτό; Μόνο αν η ρίζα τελειώνει σε 4 ή 6. Παίρνουμε δύο αριθμούς:

Το μόνο που μένει είναι να τετραγωνίσετε κάθε αριθμό και να τον συγκρίνετε με τον αρχικό:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Εξαιρετική! Το πρώτο τετράγωνο αποδείχθηκε ίσο με τον αρχικό αριθμό. Αυτή είναι λοιπόν η ρίζα.

Εργο. Υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα:

[Λεζάντα για την εικόνα]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Ας δούμε το τελευταίο ψηφίο:

1369 → 9;
33; 37.

Τετράγωνο:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Εδώ είναι η απάντηση: 37.

Εργο. Υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Περιορίζουμε τον αριθμό:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Ας δούμε το τελευταίο ψηφίο:

2704 → 4;
52; 58.

Τετράγωνο:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Λάβαμε την απάντηση: 52. Ο δεύτερος αριθμός δεν θα χρειάζεται πλέον να τετραγωνίζεται.

Εργο. Υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Περιορίζουμε τον αριθμό:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Ας δούμε το τελευταίο ψηφίο:

4225 → 5;
65.

Όπως μπορείτε να δείτε, μετά το δεύτερο βήμα μένει μόνο μία επιλογή: 65. Αυτή είναι η επιθυμητή ρίζα. Αλλά ας το τετραγωνίσουμε και ας ελέγξουμε:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Ολα είναι σωστά. Καταγράφουμε την απάντηση.

συμπέρασμα

Αλίμονο, όχι καλύτερα. Ας δούμε τους λόγους. Υπάρχουν δύο από αυτά:

• Σε κάθε κανονική εξέταση μαθηματικών, είτε είναι η κρατική είτε η ενιαία κρατική εξέταση, η χρήση αριθμομηχανών απαγορεύεται. Και αν φέρετε μια αριθμομηχανή στην τάξη, μπορείτε εύκολα να σας διώξουν από τις εξετάσεις.
• Μην είστε σαν ηλίθιοι Αμερικανοί. Που δεν είναι σαν τις ρίζες - δεν μπορούν να προσθέσουν δύο πρώτους αριθμούς. Και όταν βλέπουν κλάσματα, γενικά γίνονται υστερικοί.

Κεφάλαιο πρώτο.

Βρίσκοντας τη μεγαλύτερη ακέραια τετραγωνική ρίζα από έναν δεδομένο ακέραιο.

170. Προκαταρκτικές παρατηρήσεις.

ΕΝΑ)Επειδή θα μιλήσουμε για εξαγωγή μόνο της τετραγωνικής ρίζας, για να συντομεύσουμε την ομιλία σε αυτό το κεφάλαιο, αντί για «τετράγωνη» ρίζα θα πούμε απλώς «ρίζα».

σι)Αν τετραγωνίσουμε τους αριθμούς της φυσικής σειράς: 1,2,3,4,5. . . , τότε παίρνουμε τον ακόλουθο πίνακα τετραγώνων: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Προφανώς, υπάρχουν πολλοί ακέραιοι αριθμοί που δεν περιλαμβάνονται σε αυτόν τον πίνακα. Φυσικά, είναι αδύνατο να εξαχθεί ολόκληρη η ρίζα από τέτοιους αριθμούς. Επομένως, εάν πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού, για παράδειγμα. απαιτείται για την εύρεση του √4082, τότε συμφωνούμε να κατανοήσουμε αυτήν την απαίτηση ως εξής: εξάγουμε ολόκληρη τη ρίζα του 4082, αν είναι δυνατόν. αν δεν είναι δυνατό, τότε πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο ακέραιο του οποίου το τετράγωνο είναι 4082 (ένας τέτοιος αριθμός είναι 63, αφού 63 2 = 3969, και 64 2 = 4090).

V)Εάν αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από 100, τότε η ρίζα του βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Έτσι, το √60 θα ήταν 7, αφού επτά 7 ίσον 49, που είναι μικρότερο από 60, και οκτώ 8 ίσον 64, που είναι μεγαλύτερο από 60.

171. Εξαγωγή της ρίζας ενός αριθμού μικρότερου από 10.000 αλλά μεγαλύτερο του 100.Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το √4082. Εφόσον αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από 10.000, η ​​ρίζα του είναι μικρότερη από √l0.000 = 100. Από την άλλη, αυτός ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από 100. Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα του είναι μεγαλύτερη από (ή ίση με 10). (Εάν, για παράδειγμα, ήταν απαραίτητο να βρεθεί το √ 120 , τότε αν και ο αριθμός 120 > 100, ωστόσο √Το 120 ισούται με 10, γιατί 11 2 = 121.) Αλλά κάθε αριθμός που είναι μεγαλύτερος από 10 αλλά μικρότερος από 100 έχει 2 ψηφία. Αυτό σημαίνει ότι η απαιτούμενη ρίζα είναι το άθροισμα:

δεκάδες + ένα,

και επομένως το τετράγωνό του πρέπει να ισούται με το άθροισμα:

Αυτό το άθροισμα πρέπει να είναι το μέγιστο τετράγωνο του 4082.

Ας πάρουμε το μεγαλύτερο από αυτά, 36, και ας υποθέσουμε ότι το τετράγωνο της ρίζας των δεκάδων θα είναι ίσο με αυτό ακριβώς το μεγαλύτερο τετράγωνο. Τότε ο αριθμός των δεκάδων στη ρίζα πρέπει να είναι 6. Ας ελέγξουμε τώρα ότι αυτό πρέπει να συμβαίνει πάντα, δηλ., ο αριθμός των δεκάδων στη ρίζα είναι πάντα ίσος με τη μεγαλύτερη ακέραια ρίζα του αριθμού των εκατοντάδων της ρίζας.

Πράγματι, στο παράδειγμά μας, ο αριθμός των δεκάδων της ρίζας δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από 6, αφού (7 δεκ.) 2 = 49 εκατοντάδες, που υπερβαίνει τις 4082. Δεν μπορεί όμως να είναι μικρότερος από 6, αφού 5 δεκ. (με μονάδες) είναι μικρότερο από 6 δεσ., και εν τω μεταξύ (6 δεδ.) 2 = 36 εκατοντάδες, που είναι μικρότερο από 4082. Και εφόσον αναζητούμε τη μεγαλύτερη ολόκληρη ρίζα, δεν πρέπει να πάρουμε 5 δεσ. για τη ρίζα, όταν ακόμη και 6 δεκάδες δεν είναι πολλές.

Έτσι, βρήκαμε τον αριθμό των δεκάδων της ρίζας, δηλαδή το 6. Γράφουμε αυτόν τον αριθμό στα δεξιά του σημείου =, θυμόμαστε ότι σημαίνει δεκάδες της ρίζας. Ανεβάζοντας το κατά τετράγωνο, παίρνουμε 36 εκατοντάδες. Αφαιρούμε αυτές τις 36 εκατοντάδες από τις 40 εκατοντάδες του ριζικού αριθμού και αφαιρούμε τα υπόλοιπα δύο ψηφία αυτού του αριθμού. Το υπόλοιπο 482 πρέπει να περιέχει 2 (6 δεκ.) (μονάδες) + (μονάδες)2. Το γινόμενο (6 δεκ.) (μονάδες) πρέπει να είναι δεκάδες. Επομένως, το διπλό γινόμενο των δεκάδων με ένα πρέπει να αναζητηθεί στις δεκάδες του υπολοίπου, δηλ. στο 48 (παίρνουμε τον αριθμό τους χωρίζοντας ένα ψηφίο στα δεξιά στο υπόλοιπο 48 "2). Οι διπλασιασμένες δεκάδες της ρίζας συνθέτουμε το 12. Αυτό σημαίνει ότι αν πολλαπλασιάσουμε το 12 με τις μονάδες της ρίζας (που είναι ακόμα άγνωστες), τότε θα πρέπει να πάρουμε τον αριθμό που περιέχεται στο 48. Επομένως, διαιρούμε το 48 με το 12.

Για να το κάνετε αυτό, τραβήξτε μια κάθετη γραμμή στα αριστερά του υπολοίπου και πίσω από αυτήν (κάνοντας ένα βήμα πίσω από τη γραμμή ένα σημείο προς τα αριστερά για τον σκοπό που θα εμφανιστεί τώρα) γράφουμε διπλό το πρώτο ψηφίο της ρίζας, δηλαδή 12, και διαιρούμε με αυτό το 48. Στο πηλίκο παίρνουμε 4.

Ωστόσο, δεν μπορούμε να εγγυηθούμε εκ των προτέρων ότι ο αριθμός 4 μπορεί να ληφθεί ως μονάδες της ρίζας, αφού έχουμε πλέον διαιρεθεί με το 12 ολόκληρο τον αριθμό των δεκάδων του υπολοίπου, ενώ ορισμένες από αυτές μπορεί να μην ανήκουν στο διπλό γινόμενο των δεκάδων με μονάδες, αλλά αποτελούν μέρος του τετραγώνου των μονάδων. Επομένως, ο αριθμός 4 μπορεί να είναι μεγάλος. Πρέπει να το δοκιμάσουμε. Είναι προφανώς κατάλληλο εάν το άθροισμα 2 (6 δεκ.) 4 + 4 2 δεν είναι περισσότερο από το υπόλοιπο 482.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το άθροισμα και των δύο ταυτόχρονα. Το προϊόν που προέκυψε ήταν 496, το οποίο είναι μεγαλύτερο από το υπόλοιπο 482. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 4 είναι μεγάλος. Στη συνέχεια, ας δοκιμάσουμε τον επόμενο μικρότερο αριθμό 3 με τον ίδιο τρόπο.

Παραδείγματα.

Στο παράδειγμα 4, όταν διαιρούμε τις 47 δεκάδες του υπολοίπου με το 4, παίρνουμε ως πηλίκο το 11. Επειδή όμως ο αριθμός των μονάδων της ρίζας δεν μπορεί να είναι διψήφιος αριθμός 11 ή 10, πρέπει να ελέγξουμε απευθείας τον αριθμό 9.

Στο παράδειγμα 5, αφού αφαιρέσουμε το 8 από την πρώτη όψη του τετραγώνου, το υπόλοιπο αποδεικνύεται 0 και η επόμενη όψη αποτελείται επίσης από μηδενικά. Αυτό δείχνει ότι η επιθυμητή ρίζα αποτελείται μόνο από 8 δεκάδες, και επομένως πρέπει να τοποθετηθεί ένα μηδέν στη θέση των μονάδων.

172. Εξαγωγή της ρίζας ενός αριθμού μεγαλύτερου του 10000. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το √35782. Εφόσον ο ριζικός αριθμός υπερβαίνει τις 10.000, η ​​ρίζα του είναι μεγαλύτερη από √10000 = 100 και, επομένως, αποτελείται από 3 ψηφία ή περισσότερα. Ανεξάρτητα από πόσα ψηφία αποτελείται, μπορούμε πάντα να το θεωρούμε ως το άθροισμα μόνο των δεκάδων και των μονάδων. Αν, για παράδειγμα, η ρίζα αποδειχθεί ότι είναι 482, τότε μπορούμε να τη μετρήσουμε ως το ποσό των 48 des. + 2 μονάδες Τότε το τετράγωνο της ρίζας θα αποτελείται από 3 όρους:

(αποκ.) 2 + 2 (δεκ.) (μονάδα) + (μονάδα) 2 .

Τώρα μπορούμε να συλλογιστούμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως όταν βρίσκουμε το √4082 (στην προηγούμενη παράγραφο). Η μόνη διαφορά θα είναι ότι για να βρούμε τις δεκάδες της ρίζας του 4082 έπρεπε να εξαγάγουμε τη ρίζα του 40, και αυτό θα μπορούσε να γίνει χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Τώρα, για να λάβουμε δεκάδες√35782, θα πρέπει να πάρουμε τη ρίζα του 357, κάτι που δεν μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Μπορούμε όμως να βρούμε το √357 χρησιμοποιώντας την τεχνική που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο, αφού ο αριθμός 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Στη συνέχεια, προχωράμε όπως κάναμε όταν βρίσκαμε το √4082, δηλαδή: στα αριστερά του υπολοίπου 3382 σχεδιάζουμε μια κάθετη γραμμή και πίσω από αυτήν γράφουμε (κάνουμε ένα κενό πίσω από τη γραμμή) διπλάσιο από τον αριθμό των δεκάδων της ρίζας που βρέθηκε, δηλαδή 36 (δύο φορές 18). Στο υπόλοιπο, διαχωρίζουμε ένα ψηφίο στα δεξιά και διαιρούμε τον αριθμό των δεκάδων του υπολοίπου, δηλαδή 338, με το 36. Στο πηλίκο παίρνουμε 9. Δοκιμάζουμε αυτόν τον αριθμό, για τον οποίο τον εκχωρούμε στο 36 στα δεξιά και πολλαπλασιάστε με αυτό. Το προϊόν αποδείχθηκε ότι ήταν 3321, το οποίο είναι μικρότερο από το υπόλοιπο. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 9 είναι κατάλληλος, το γράφουμε στη ρίζα.

Γενικά, για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε ακέραιου, πρέπει πρώτα να εξαγάγετε τη ρίζα των εκατοντάδων του. Εάν αυτός ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από 100, τότε θα πρέπει να αναζητήσετε τη ρίζα του αριθμού των εκατοντάδων αυτών των εκατοντάδων, δηλαδή των δεκάδων χιλιάδων αυτού του αριθμού. εάν αυτός ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από 100, θα πρέπει να πάρετε τη ρίζα από τον αριθμό των εκατοντάδων δεκάδων χιλιάδων, δηλαδή από τα εκατομμύρια ενός δεδομένου αριθμού κ.λπ.

Παραδείγματα.

Στο τελευταίο παράδειγμα, έχοντας βρει το πρώτο ψηφίο και αφαιρέσαμε το τετράγωνό του, παίρνουμε υπόλοιπο 0. Αφαιρούμε τα επόμενα 2 ψηφία 51. Διαχωρίζοντας τις δεκάδες, παίρνουμε 5 des, ενώ το διπλό ευρεθέν ψηφίο της ρίζας είναι 6. Αυτό σημαίνει ότι από τη διαίρεση του 5 με το 6 παίρνουμε 0 Βάζουμε το 0 στη δεύτερη θέση στη ρίζα και προσθέτουμε τα επόμενα 2 ψηφία στο υπόλοιπο. παίρνουμε 5110. Στη συνέχεια συνεχίζουμε ως συνήθως.

Σε αυτό το παράδειγμα, η απαιτούμενη ρίζα αποτελείται μόνο από 9 εκατοντάδες, και επομένως τα μηδενικά πρέπει να τοποθετούνται στις θέσεις των δεκάδων και στις θέσεις των μονάδων.

Κανόνας. Για να εξαγάγουν την τετραγωνική ρίζα ενός δεδομένου ακέραιου, τον χωρίζουν, από το δεξί χέρι προς τα αριστερά, στην άκρη, με 2 ψηφία στο καθένα, εκτός από το τελευταίο που μπορεί να έχει ένα ψηφίο.
Για να βρείτε το πρώτο ψηφίο της ρίζας, πάρτε την τετραγωνική ρίζα της πρώτης όψης.
Για να βρεθεί το δεύτερο ψηφίο, το τετράγωνο του πρώτου ψηφίου της ρίζας αφαιρείται από την πρώτη όψη, η δεύτερη όψη λαμβάνεται στο υπόλοιπο και ο αριθμός των δεκάδων του προκύπτοντος αριθμού διαιρείται με το διπλάσιο του πρώτου ψηφίου της ρίζας ; ο ακέραιος που προκύπτει ελέγχεται.
Αυτή η δοκιμή εκτελείται ως εξής: πίσω από την κάθετη γραμμή (στα αριστερά του υπολοίπου) γράψτε δύο φορές τον αριθμό της ρίζας που βρέθηκε προηγουμένως και σε αυτήν, στη δεξιά πλευρά, προσθέστε το δοκιμασμένο ψηφίο, τον αριθμό που προκύπτει, μετά από αυτήν την προσθήκη , πολλαπλασιάζεται με το δοκιμασμένο ψηφίο. Εάν μετά τον πολλαπλασιασμό το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος από το υπόλοιπο, τότε το ψηφίο που δοκιμάστηκε δεν είναι κατάλληλο και το επόμενο μικρότερο ψηφίο πρέπει να δοκιμαστεί.
Τα επόμενα ψηφία της ρίζας βρίσκονται με την ίδια τεχνική.
Εάν, μετά την αφαίρεση μιας όψης, ο αριθμός των δεκάδων του προκύπτοντος αριθμού αποδειχθεί μικρότερος από τον διαιρέτη, δηλαδή λιγότερο από το διπλάσιο του ευρεθέντος τμήματος της ρίζας, τότε βάζουν 0 στη ρίζα, αφαιρούν την επόμενη όψη και συνεχίστε τη δράση περαιτέρω.

173. Αριθμός ψηφίων της ρίζας.Από την εξέταση της διαδικασίας εύρεσης της ρίζας, προκύπτει ότι υπάρχουν τόσα ψηφία στη ρίζα όσες και οι όψεις των 2 ψηφίων η καθεμία στον ριζικό αριθμό (η αριστερή όψη μπορεί να έχει ένα ψηφίο).

Κεφάλαιο δυο.

Εξαγωγή κατά προσέγγιση τετραγωνικών ριζών ακεραίων και κλασμάτων .

Για την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας των πολυωνύμων βλέπε τις προσθήκες στο 2ο μέρος των § 399 κ.ε.

174. Σημάδια ακριβούς τετραγωνικής ρίζας.Η ακριβής τετραγωνική ρίζα ενός δεδομένου αριθμού είναι ένας αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ακριβώς ίσο με τον δεδομένο αριθμό. Ας υποδείξουμε μερικά σημάδια με τα οποία μπορεί κανείς να κρίνει εάν μια ακριβής ρίζα μπορεί να εξαχθεί από έναν δεδομένο αριθμό ή όχι:

ΕΝΑ)Εάν η ακριβής ακέραια ρίζα δεν εξαχθεί από έναν δεδομένο ακέραιο (το υπόλοιπο λαμβάνεται κατά την εξαγωγή), τότε η κλασματική ακριβής ρίζα δεν μπορεί να βρεθεί από έναν τέτοιο αριθμό, καθώς κάθε κλάσμα που δεν είναι ίσο με έναν ακέραιο αριθμό, όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του , παράγει επίσης ένα κλάσμα στο γινόμενο, όχι έναν ακέραιο.

σι)Εφόσον η ρίζα ενός κλάσματος είναι ίση με τη ρίζα του αριθμητή διαιρούμενη με τη ρίζα του παρονομαστή, η ακριβής ρίζα ενός μη αναγώγιμου κλάσματος δεν μπορεί να βρεθεί εάν δεν μπορεί να εξαχθεί από τον αριθμητή ή τον παρονομαστή. Για παράδειγμα, η ακριβής ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από τα κλάσματα 4/5, 8/9 και 11/15, αφού στο πρώτο κλάσμα δεν μπορεί να εξαχθεί από τον παρονομαστή, στο δεύτερο - από τον αριθμητή και στο τρίτο - ούτε από τον αριθμητή ούτε από τον παρονομαστή.

Από αριθμούς από τους οποίους δεν μπορεί να εξαχθεί η ακριβής ρίζα, μπορούν να εξαχθούν μόνο κατά προσέγγιση ρίζες.

175. Κατά προσέγγιση ρίζα με ακρίβεια 1. Μια κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα, με ακρίβεια εντός του 1, ενός δεδομένου αριθμού (ακέραιος ή κλασματικός, δεν έχει σημασία) είναι ένας ακέραιος αριθμός που ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο απαιτήσεις:

1) το τετράγωνο αυτού του αριθμού δεν είναι μεγαλύτερο από τον δεδομένο αριθμό. 2) αλλά το τετράγωνο αυτού του αριθμού αυξημένο κατά 1 είναι μεγαλύτερο από αυτόν τον αριθμό. Με άλλα λόγια, μια κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια 1 είναι η μεγαλύτερη ακέραια τετραγωνική ρίζα ενός δεδομένου αριθμού, δηλαδή η ρίζα που μάθαμε να βρίσκουμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Αυτή η ρίζα ονομάζεται κατά προσέγγιση με ακρίβεια 1, επειδή για να λάβουμε μια ακριβή ρίζα, θα πρέπει να προσθέσουμε ένα κλάσμα μικρότερο από 1 σε αυτήν την κατά προσέγγιση ρίζα, οπότε αν αντί για την άγνωστη ακριβή ρίζα πάρουμε αυτήν κατά προσέγγιση, θα κάνουμε σφάλμα μικρότερο από 1.

Κανόνας. Για να εξαγάγετε μια κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια εντός του 1, πρέπει να εξαγάγετε τη μεγαλύτερη ακέραια ρίζα του ακέραιου μέρους του δεδομένου αριθμού.

Ο αριθμός που βρίσκεται από αυτόν τον κανόνα είναι μια κατά προσέγγιση ρίζα με ένα μειονέκτημα , καθώς δεν έχει την ακριβή ρίζα ενός συγκεκριμένου κλάσματος (λιγότερο από 1). Αν αυξήσουμε αυτή τη ρίζα κατά 1, παίρνουμε έναν άλλο αριθμό στον οποίο υπάρχει κάποια περίσσεια σε σχέση με την ακριβή ρίζα, και αυτή η περίσσεια είναι μικρότερη από 1. Αυτή η ρίζα αυξημένη κατά 1 μπορεί επίσης να ονομαστεί κατά προσέγγιση ρίζα με ακρίβεια 1, αλλά με μια περίσσεια. (Τα ονόματα: «με έλλειμμα» ή «με περίσσεια» σε ορισμένα μαθηματικά βιβλία αντικαθίστανται από άλλα ισοδύναμα: «κατά έλλειμμα» ή «κατά περίσσεια».)

176. Κατά προσέγγιση ρίζα με ακρίβεια 1/10. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το √2.35104 με ακρίβεια 1/10. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε ένα δεκαδικό κλάσμα που θα αποτελείται από ολόκληρες μονάδες και δέκατα και που θα ικανοποιούσε τις ακόλουθες δύο απαιτήσεις:

1) το τετράγωνο αυτού του κλάσματος δεν υπερβαίνει το 2,35104, αλλά 2) αν το αυξήσουμε κατά 1/10, τότε το τετράγωνο αυτού του αυξημένου κλάσματος υπερβαίνει το 2,35104.

Για να βρούμε ένα τέτοιο κλάσμα, βρίσκουμε πρώτα μια κατά προσέγγιση ρίζα με ακρίβεια 1, δηλαδή εξάγουμε τη ρίζα μόνο από τον ακέραιο αριθμό 2. Παίρνουμε 1 (και το υπόλοιπο είναι 1). Γράφουμε τον αριθμό 1 στη ρίζα και μετά βάζουμε κόμμα. Τώρα θα αναζητήσουμε τον αριθμό των δέκατων. Για να το κάνουμε αυτό, αφαιρούμε στο υπόλοιπο 1 τα ψηφία 35 στα δεξιά της υποδιαστολής και συνεχίζουμε την εξαγωγή σαν να εξάγαμε τη ρίζα του ακέραιου αριθμού 235. Γράφουμε το ψηφίο 5 που προκύπτει στη ρίζα στο θέση των δέκατων. Δεν χρειαζόμαστε τα υπόλοιπα ψηφία του ριζικού αριθμού (104). Το ότι ο αριθμός 1,5 που προκύπτει θα είναι στην πραγματικότητα μια κατά προσέγγιση ρίζα με ακρίβεια 1/10 φαίνεται από τα παρακάτω. Αν βρίσκαμε τη μεγαλύτερη ακέραια ρίζα του 235 με ακρίβεια 1, θα παίρναμε 15. Άρα:

15 2 < 235, αλλά 16 2 >235.

Διαιρώντας όλους αυτούς τους αριθμούς με το 100, παίρνουμε:

Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 1,5 είναι το δεκαδικό κλάσμα που ονομάσαμε κατά προσέγγιση ρίζα με ακρίβεια 1/10.

Χρησιμοποιώντας αυτήν την τεχνική, μπορούμε επίσης να βρούμε τις ακόλουθες κατά προσέγγιση ρίζες με ακρίβεια 0,1:

177. Κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα εντός 1/100 έως 1/1000 κ.λπ.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε ένα κατά προσέγγιση √248 με ακρίβεια 1/100. Αυτό σημαίνει: βρείτε ένα δεκαδικό κλάσμα που θα αποτελείται από ολόκληρα, δέκατα και εκατοστά μέρη και που θα ικανοποιούσε δύο προϋποθέσεις:

1) το τετράγωνό του δεν υπερβαίνει το 248, αλλά 2) αν αυξήσουμε αυτό το κλάσμα κατά 1/100, τότε το τετράγωνο αυτού του αυξημένου κλάσματος υπερβαίνει το 248.

Θα βρούμε ένα τέτοιο κλάσμα με την ακόλουθη ακολουθία: πρώτα θα βρούμε τον ακέραιο αριθμό, μετά τα δέκατα και μετά τα εκατοστά. Η ρίζα ενός ακέραιου είναι 15 ακέραιοι. Για να πάρετε τα δέκατα, όπως είδαμε, πρέπει να προσθέσετε στα υπόλοιπα 23 2 ακόμη ψηφία στα δεξιά της υποδιαστολής. Στο παράδειγμά μας, αυτοί οι αριθμοί δεν υπάρχουν καθόλου· στη θέση τους βάζουμε μηδενικά. Προσθέτοντάς τα στο υπόλοιπο και συνεχίζοντας σαν να βρίσκαμε τη ρίζα του ακέραιου αριθμού 24.800, θα βρούμε τα δέκατα το σχήμα 7. Μένει να βρούμε τον αριθμό των εκατοστών. Για να γίνει αυτό, προσθέτουμε άλλα 2 μηδενικά στο υπόλοιπο 151 και συνεχίζουμε την εξαγωγή, σαν να βρίσκαμε τη ρίζα του ακέραιου αριθμού 2.480.000. Παίρνουμε 15,74. Το ότι αυτός ο αριθμός είναι πραγματικά μια κατά προσέγγιση ρίζα του 248 με ακρίβεια 1/100 φαίνεται από τα παρακάτω. Αν βρίσκαμε τη μεγαλύτερη ακέραια τετραγωνική ρίζα του ακέραιου αριθμού 2.480.000, θα παίρναμε 1574. Που σημαίνει:

1574 2 < 2.480.000, αλλά 1575 2 > 2.480.000.

Διαιρώντας όλους τους αριθμούς με το 10.000 (= 100 2), παίρνουμε:

Αυτό σημαίνει ότι το 15,74 είναι εκείνο το δεκαδικό κλάσμα που ονομάσαμε κατά προσέγγιση ρίζα με ακρίβεια 1/100 του 248.

Εφαρμόζοντας αυτή την τεχνική για την εύρεση μιας κατά προσέγγιση ρίζας με ακρίβεια 1/1000 έως 1/10000 κ.λπ., βρίσκουμε τα εξής.

Κανόνας. Για να εξαγάγετε μια κατά προσέγγιση ρίζα από έναν δεδομένο ακέραιο ή από ένα δεδομένο δεκαδικό κλάσμα με ακρίβεια από 1/10 έως 1/100 έως 1/100 κ.λπ., βρείτε πρώτα μια κατά προσέγγιση ρίζα με ακρίβεια 1, εξάγοντας τη ρίζα του ακέραιος (αν όχι, γράφουν για τη ρίζα 0 ακεραίων).

Στη συνέχεια βρίσκουν τον αριθμό των δέκατων. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε στο υπόλοιπο τα 2 ψηφία του ριζικού αριθμού στα δεξιά της υποδιαστολής (αν δεν υπάρχουν, προσθέστε δύο μηδενικά στο υπόλοιπο) και συνεχίστε την εξαγωγή όπως γίνεται κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός ακέραιου αριθμού . Ο αριθμός που προκύπτει γράφεται στη ρίζα στη θέση των δέκατων.

Στη συνέχεια βρείτε τον αριθμό των εκατοστών. Για να γίνει αυτό, δύο αριθμοί στα δεξιά από αυτούς που μόλις αφαιρέθηκαν προστίθενται στο υπόλοιπο κ.λπ.

Έτσι, όταν εξάγετε τη ρίζα ενός ακέραιου με δεκαδικό κλάσμα, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε σε πρόσωπα 2 ψηφία το καθένα, ξεκινώντας από την υποδιαστολή, τόσο προς τα αριστερά (στο ακέραιο μέρος του αριθμού) όσο και προς τα δεξιά (στο το κλασματικό μέρος).

Παραδείγματα.

1) Βρείτε έως και 1/100 ρίζες: α) √2; β) √0,3;

Στο τελευταίο παράδειγμα, μετατρέψαμε το κλάσμα 3/7 σε δεκαδικό, υπολογίζοντας 8 δεκαδικά ψηφία για να σχηματίσουμε τις 4 όψεις που απαιτούνται για να βρούμε τα 4 δεκαδικά ψηφία της ρίζας.

178. Περιγραφή του πίνακα τετραγωνικών ριζών.Στο τέλος αυτού του βιβλίου υπάρχει ένας πίνακας με τετραγωνικές ρίζες που υπολογίζονται με τέσσερα ψηφία. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον πίνακα, μπορείτε να βρείτε γρήγορα την τετραγωνική ρίζα ενός ακέραιου αριθμού (ή δεκαδικού κλάσματος) που δεν εκφράζεται σε περισσότερα από τέσσερα ψηφία. Πριν εξηγήσουμε πώς είναι δομημένος αυτός ο πίνακας, σημειώνουμε ότι μπορούμε πάντα να βρούμε το πρώτο σημαντικό ψηφίο της επιθυμητής ρίζας χωρίς τη βοήθεια πινάκων κοιτάζοντας απλώς τον ριζικό αριθμό. μπορούμε επίσης εύκολα να προσδιορίσουμε ποιο δεκαδικό ψηφίο σημαίνει το πρώτο ψηφίο της ρίζας και, επομένως, πού στη ρίζα, όταν βρούμε τα ψηφία της, πρέπει να βάλουμε κόμμα. Να μερικά παραδείγματα:

1) √5"27,3 . Το πρώτο ψηφίο θα είναι 2, αφού η αριστερή πλευρά του ριζικού αριθμού είναι 5. και η ρίζα του 5 είναι ίση με 2. Επιπλέον, εφόσον στο ακέραιο μέρος της ρίζας υπάρχουν μόνο 2 όψεις, τότε στο ακέραιο μέρος της επιθυμητής ρίζας πρέπει να υπάρχουν 2 ψηφία και, επομένως, το πρώτο της ψηφίο 2 πρέπει σημαίνει δεκάδες.

2) √9.041. Προφανώς, σε αυτή τη ρίζα το πρώτο ψηφίο θα είναι 3 πρώτες μονάδες.

3) √0,00"83"4. Το πρώτο σημαντικό ψηφίο είναι το 9, καθώς η όψη από την οποία θα πρέπει να ληφθεί η ρίζα για να ληφθεί το πρώτο σημαντικό ψηφίο είναι το 83 και η ρίζα του 83 είναι 9. Εφόσον ο απαιτούμενος αριθμός δεν θα περιέχει ούτε ακέραιους αριθμούς ούτε δέκατα, το Το πρώτο ψηφίο 9 πρέπει να σημαίνει εκατοστά.

4) √0,73"85. Ο πρώτος σημαντικός αριθμός είναι 8 δέκατα.

5) √0,00"00"35"7. Ο πρώτος σημαντικός αριθμός θα είναι 5 χιλιοστά.

Ας κάνουμε μια ακόμη παρατήρηση. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να εξαγάγουμε τη ρίζα ενός αριθμού που, αφού απορρίψουμε την κατειλημμένη λέξη σε αυτόν, αντιπροσωπεύεται από μια σειρά αριθμών όπως αυτός: 5681. Αυτή η ρίζα μπορεί να είναι μία από τις ακόλουθες:

Αν πάρουμε τις ρίζες που υπογραμμίζουμε με μία γραμμή, τότε θα εκφραστούν όλες με την ίδια σειρά αριθμών, ακριβώς αυτούς τους αριθμούς που λαμβάνονται κατά την εξαγωγή της ρίζας από το 5681 (αυτοί θα είναι οι αριθμοί 7, 5, 3, 7 ). Ο λόγος για αυτό είναι ότι οι όψεις στις οποίες πρέπει να διαιρεθεί ο ριζικός αριθμός κατά την εύρεση των ψηφίων της ρίζας θα είναι ίδιες σε όλα αυτά τα παραδείγματα, επομένως τα ψηφία για κάθε ρίζα θα είναι τα ίδια (μόνο η θέση του δεκαδικού το σημείο, φυσικά, θα είναι διαφορετικό). Με τον ίδιο τρόπο, σε όλες τις ρίζες που υπογραμμίζονται από εμάς με δύο γραμμές, θα πρέπει να ληφθούν οι ίδιοι αριθμοί, ακριβώς αυτοί που χρησιμοποιούνται για την έκφραση √568.1 (αυτοί οι αριθμοί θα είναι 2, 3, 8, 3) και για τους ίδιους λόγος. Έτσι, τα ψηφία των ριζών των αριθμών που αντιπροσωπεύονται (με την πτώση του κόμματος) από την ίδια σειρά αριθμών 5681 θα είναι δύο (και μόνο δύο) ειδών: είτε αυτή είναι η σειρά 7, 5, 3, 7, είτε σειρά 2, 3, 8, 3. Το ίδιο, προφανώς, μπορεί να ειπωθεί για οποιαδήποτε άλλη σειρά αριθμών. Επομένως, όπως θα δούμε τώρα, στον πίνακα, κάθε σειρά ψηφίων του ριζικού αριθμού αντιστοιχεί σε 2 σειρές ψηφίων για τις ρίζες.

Τώρα μπορούμε να εξηγήσουμε τη δομή του πίνακα και τον τρόπο χρήσης του. Για λόγους σαφήνειας, δείξαμε την αρχή της πρώτης σελίδας του πίνακα εδώ.

Αυτός ο πίνακας βρίσκεται σε πολλές σελίδες. Σε καθένα από αυτά, στην πρώτη στήλη αριστερά, τοποθετούνται οι αριθμοί 10, 11, 12... (έως 99). Αυτοί οι αριθμοί εκφράζουν τα 2 πρώτα ψηφία του αριθμού από τον οποίο αναζητείται η τετραγωνική ρίζα. Στην επάνω οριζόντια γραμμή (καθώς και στο κάτω μέρος) βρίσκονται οι αριθμοί: 0, 1, 2, 3... 9, που αντιπροσωπεύουν το 3ο ψηφίο αυτού του αριθμού, και στη συνέχεια πιο δεξιά είναι οι αριθμοί 1, 2, 3. . . 9, που αντιπροσωπεύει το 4ο ψηφίο αυτού του αριθμού. Όλες οι άλλες οριζόντιες γραμμές περιέχουν 2 τετραψήφιους αριθμούς που εκφράζουν τις τετραγωνικές ρίζες των αντίστοιχων αριθμών.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε την τετραγωνική ρίζα κάποιου αριθμού, είτε ακέραιου είτε εκφρασμένου ως δεκαδικό κλάσμα. Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε, χωρίς τη βοήθεια πινάκων, το πρώτο ψηφίο της ρίζας και το ψηφίο της. Τότε θα απορρίψουμε το κόμμα σε αυτόν τον αριθμό, αν υπάρχει. Ας υποθέσουμε πρώτα ότι μετά την απόρριψη του κόμματος, θα παραμείνουν μόνο 3 ψηφία, για παράδειγμα. 114. Βρίσκουμε στους πίνακες στην πιο αριστερή στήλη τα 2 πρώτα ψηφία, δηλαδή το 11, και μετακινούμαστε από αυτά προς τα δεξιά κατά μήκος της οριζόντιας γραμμής μέχρι να φτάσουμε στην κατακόρυφη στήλη, στην κορυφή (και στο κάτω μέρος) της οποίας είναι το 3ο ψηφίο του αριθμού , δηλαδή 4. Σε αυτό το μέρος βρίσκουμε δύο τετραψήφιους αριθμούς: 1068 και 3376. Ποιος από αυτούς τους δύο αριθμούς πρέπει να ληφθεί και πού να τοποθετηθεί το κόμμα σε αυτό, αυτό καθορίζεται από το πρώτο ψηφίο της ρίζας και το ψηφίο του, που βρήκαμε νωρίτερα. Έτσι, εάν πρέπει να βρούμε √0,11"4, τότε το πρώτο ψηφίο της ρίζας είναι 3 δέκατα, και επομένως πρέπει να πάρουμε το 0,3376 για τη ρίζα. Εάν έπρεπε να βρούμε √1,14, τότε το πρώτο ψηφίο της ρίζας θα ήταν 1, και εμείς Τότε θα παίρναμε 1.068.

Έτσι μπορούμε εύκολα να βρούμε:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80, √0,91"6 = 0,9571, κ.λπ.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι πρέπει να βρούμε τη ρίζα ενός αριθμού που εκφράζεται (με την πτώση της υποδιαστολής) σε 4 ψηφία, για παράδειγμα, √7"45.6. Σημειώνοντας ότι το πρώτο ψηφίο της ρίζας είναι 2 δεκάδες, βρίσκουμε για το ο αριθμός 745, όπως εξηγήθηκε τώρα, τα ψηφία 2729 (παρατηρούμε αυτόν τον αριθμό μόνο με το δάχτυλό μας, αλλά δεν τον γράφουμε.) Στη συνέχεια μετακινούμαστε από αυτόν τον αριθμό πιο δεξιά μέχρι τη δεξιά πλευρά του πίνακα (πίσω η τελευταία έντονη γραμμή) συναντάμε την κατακόρυφη στήλη που σημειώνεται στο επάνω (και κάτω) 4 το ψηφίο του δεδομένου αριθμού, δηλαδή τον αριθμό 6, και βρίσκουμε τον αριθμό 1. Αυτή θα είναι μια διόρθωση που πρέπει να εφαρμοστεί (στο μυαλό) στον αριθμό 2729 που βρέθηκε προηγουμένως, παίρνουμε 2730. Γράφουμε αυτόν τον αριθμό και βάζουμε κόμμα στη σωστή θέση : 27.30.

Με αυτόν τον τρόπο βρίσκουμε, για παράδειγμα:

√44,37 = 6,661; √4.437 = 2.107; √0,04"437 =0,2107, κ.λπ.

Εάν ο ριζικός αριθμός εκφράζεται μόνο με ένα ή δύο ψηφία, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτά τα ψηφία ακολουθούνται από ένα ή δύο μηδενικά και στη συνέχεια να προχωρήσουμε όπως εξηγείται για έναν τριψήφιο αριθμό. Για παράδειγμα, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, κ.λπ.

Τέλος, αν ο ριζικός αριθμός εκφράζεται με περισσότερα από 4 ψηφία, τότε θα πάρουμε μόνο τα πρώτα 4 από αυτά και θα απορρίψουμε τα υπόλοιπα και για να μειώσουμε το σφάλμα, εάν το πρώτο από τα ψηφία που απορρίπτονται είναι 5 ή περισσότερο από 5, τότε θα αυξήσουμε κατά l το τέταρτο από τα διατηρημένα ψηφία . Ετσι:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; και ούτω καθεξής.

Σχόλιο. Οι πίνακες δείχνουν την κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα, άλλοτε με έλλειψη, άλλοτε με περίσσεια, δηλαδή αυτή από αυτές τις κατά προσέγγιση ρίζες που πλησιάζει την ακριβή ρίζα.

179. Εξαγωγή τετραγωνικών ριζών από συνηθισμένα κλάσματα.Η ακριβής τετραγωνική ρίζα ενός μη αναγώγιμου κλάσματος μπορεί να εξαχθεί μόνο όταν και οι δύο όροι του κλάσματος είναι ακριβή τετράγωνα. Σε αυτήν την περίπτωση, αρκεί να εξαγάγετε τη ρίζα του αριθμητή και του παρονομαστή ξεχωριστά, για παράδειγμα:

Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε μια κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα ενός συνηθισμένου κλάσματος με κάποια δεκαδική ακρίβεια είναι να μετατρέψετε πρώτα το συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό, υπολογίζοντας σε αυτό το κλάσμα τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων μετά την υποδιαστολή που θα ήταν διπλάσιος από τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων στην επιθυμητή ρίζα.

Ωστόσο, μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά. Ας το εξηγήσουμε αυτό με το ακόλουθο παράδειγμα:

Βρείτε κατά προσέγγιση √ 5 / 24

Ας κάνουμε τον παρονομαστή ένα ακριβές τετράγωνο. Για να γίνει αυτό, θα ήταν αρκετό να πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον παρονομαστή 24. αλλά σε αυτό το παράδειγμα μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά. Ας αποσυνθέσουμε το 24 σε πρώτους συντελεστές: 24 = 2 2 2 3. Από αυτή την αποσύνθεση είναι σαφές ότι αν το 24 πολλαπλασιαστεί με 2 και ένα άλλο 3, τότε στο γινόμενο κάθε απλός παράγοντας θα επαναληφθεί άρτιες φορές, και επομένως , ο παρονομαστής θα γίνει τετράγωνο:

Απομένει να υπολογίσουμε το √30 με κάποια ακρίβεια και να διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το 12. Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η διαίρεση με το 12 θα μειώσει επίσης το κλάσμα που δείχνει τον βαθμό ακρίβειας. Έτσι, αν βρούμε √30 με ακρίβεια 1/10 και διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το 12, θα λάβουμε κατά προσέγγιση ρίζα του κλάσματος 5/24 με ακρίβεια 1/120 (δηλαδή 54/120 και 55/120)

Κεφάλαιο τρίτο.

Γράφημα μιας συνάρτησηςx = √y .

180. Αντίστροφη συνάρτηση.Ας δοθεί κάποια εξίσωση που καθορίζει στο ως συνάρτηση του Χ , για παράδειγμα, όπως αυτό: y = x 2 . Μπορούμε να πούμε ότι καθορίζει όχι μόνο στο ως συνάρτηση του Χ , αλλά και, αντίστροφα, καθορίζει Χ ως συνάρτηση του στο , αν και με σιωπηρό τρόπο. Για να γίνει σαφής αυτή η συνάρτηση, πρέπει να λύσουμε αυτήν την εξίσωση για Χ , λαμβάνοντας στο για γνωστό αριθμό? Έτσι, από την εξίσωση που πήραμε βρίσκουμε: y = x 2 .

Η αλγεβρική έκφραση που προκύπτει για το x μετά την επίλυση της εξίσωσης που ορίζει το y ως συνάρτηση του x ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση αυτής που ορίζει το y.

Η συνάρτηση λοιπόν x = √y αντίστροφη συνάρτηση y = x 2 . Αν, όπως συνηθίζεται, συμβολίζουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή Χ , και το εξαρτημένο στο , τότε η αντίστροφη συνάρτηση που λαμβάνεται τώρα μπορεί να εκφραστεί ως εξής: y = √ x . Έτσι, για να ληφθεί μια συνάρτηση αντίστροφη προς μια δεδομένη (άμεση), είναι απαραίτητο να προκύψει από την εξίσωση που ορίζει αυτή τη δεδομένη συνάρτηση Χ εξαρτάται από y και στην έκφραση που προκύπτει αντικαταστήστε y επί Χ , ΕΝΑ Χ επί y .

181. Γράφημα συνάρτησης y = √ x . Αυτή η συνάρτηση δεν είναι δυνατή με αρνητική τιμή Χ , αλλά μπορεί να υπολογιστεί (με οποιαδήποτε ακρίβεια) για οποιαδήποτε θετική τιμή Χ , και για κάθε τέτοια τιμή η συνάρτηση λαμβάνει δύο διαφορετικές τιμές με την ίδια απόλυτη τιμή, αλλά με αντίθετα πρόσημα. Εάν είστε εξοικειωμένοι √ Αν υποδηλώσουμε μόνο την αριθμητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας, τότε αυτές οι δύο τιμές της συνάρτησης μπορούν να εκφραστούν ως εξής: y = ± √x Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης, πρέπει πρώτα να συντάξετε έναν πίνακα με τις τιμές της. Ο ευκολότερος τρόπος για να δημιουργήσετε αυτόν τον πίνακα είναι από τον πίνακα τιμών άμεσων συναρτήσεων:

y = x 2 .

αν οι αξίες στο λάβετε ως αξίες Χ , και αντίστροφα:

y = ± √x

Σχεδιάζοντας όλες αυτές τις τιμές στο σχέδιο, παίρνουμε το παρακάτω γράφημα.

Στο ίδιο σχέδιο απεικονίσαμε (με διακεκομμένη γραμμή) το γράφημα της άμεσης συνάρτησης y = x 2 . Ας συγκρίνουμε αυτά τα δύο γραφήματα μεταξύ τους.

182. Η σχέση μεταξύ των γραφημάτων ευθείας και αντίστροφης συνάρτησης.Για να συντάξετε έναν πίνακα τιμών της αντίστροφης συνάρτησης y = ± √x πήραμε για Χ αυτούς τους αριθμούς που βρίσκονται στον πίνακα της άμεσης συνάρτησης y = x 2 χρησίμευσαν ως τιμές για στο , και για στο πήρε αυτούς τους αριθμούς? που σε αυτόν τον πίνακα ήταν οι τιμές για Χ . Από αυτό προκύπτει ότι και τα δύο γραφήματα είναι τα ίδια, μόνο το γράφημα της άμεσης συνάρτησης βρίσκεται έτσι σε σχέση με τον άξονα στο - πώς βρίσκεται η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης σε σχέση με τον άξονα Χ - ov. Ως αποτέλεσμα, αν λυγίσουμε το σχέδιο γύρω από μια ευθεία γραμμή ΟΑ διχοτόμηση μιας ορθής γωνίας xOy , έτσι ώστε το τμήμα του σχεδίου που περιέχει τον ημιάξονα OU , έπεσε στο τμήμα που περιέχει τον άξονα του άξονα Ω , Οτι OU συμβατό με Ω , όλα τα τμήματα OU θα συμπέσει με διαιρέσεις Ω , και σημεία παραβολής y = x 2 θα ευθυγραμμιστεί με τα αντίστοιχα σημεία του γραφήματος y = ± √x . Για παράδειγμα, σημεία Μ Και Ν , του οποίου η τεταγμένη 4 , και τα τετμημένα 2 Και - 2 , θα συμπέσει με τα σημεία Μ" Και Ν" , για την οποία η τετμημένη 4 , και τα τεταγμένα 2 Και - 2 . Εάν αυτά τα σημεία συμπίπτουν, αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες γραμμές ΜΜ" Και NN" κάθετη σε ΟΑκαι χωρίστε αυτή την ευθεία γραμμή στη μέση. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για όλα τα άλλα αντίστοιχα σημεία και στα δύο γραφήματα.

Έτσι, το γράφημα της αντίστροφης συνάρτησης θα πρέπει να είναι το ίδιο με το γράφημα της άμεσης συνάρτησης, αλλά αυτά τα γραφήματα βρίσκονται διαφορετικά, δηλαδή συμμετρικά μεταξύ τους σε σχέση με τη διχοτόμο της γωνίας xOy . Μπορούμε να πούμε ότι η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης είναι μια αντανάκλαση (όπως σε έναν καθρέφτη) της γραφικής παράστασης της άμεσης συνάρτησης σε σχέση με τη διχοτόμο της γωνίας xOy .

Η εξαγωγή της ρίζας είναι η αντίστροφη λειτουργία της αύξησης μιας ισχύος. Δηλαδή, παίρνοντας τη ρίζα του αριθμού Χ, παίρνουμε έναν αριθμό που στο τετράγωνο θα δώσει τον ίδιο αριθμό Χ.

Η εξαγωγή της ρίζας είναι μια αρκετά απλή διαδικασία. Ένας πίνακας τετραγώνων μπορεί να διευκολύνει την εργασία εξαγωγής. Γιατί είναι αδύνατο να θυμηθούμε όλα τα τετράγωνα και τις ρίζες από καρδιάς, αλλά οι αριθμοί μπορεί να είναι μεγάλοι.

Εξαγωγή της ρίζας ενός αριθμού

Η λήψη της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού είναι εύκολη. Επιπλέον, αυτό μπορεί να γίνει όχι αμέσως, αλλά σταδιακά. Για παράδειγμα, πάρτε την έκφραση √256. Αρχικά, είναι δύσκολο για έναν αδαή να δώσει αμέσως μια απάντηση. Μετά θα το κάνουμε βήμα-βήμα. Αρχικά, διαιρούμε μόνο με τον αριθμό 4, από τον οποίο παίρνουμε το επιλεγμένο τετράγωνο ως ρίζα.

Ας αντιπροσωπεύσουμε: √(64 4), τότε θα είναι ισοδύναμο με 2√64. Και όπως γνωρίζετε, σύμφωνα με τον πίνακα πολλαπλασιασμού 64 = 8 8. Η απάντηση θα είναι 2*8=16.

Εγγραφείτε στο μάθημα "Επιτάχυνση νοητικής αριθμητικής, ΟΧΙ νοητικής αριθμητικής" για να μάθετε πώς να προσθέτετε, να αφαιρείτε, να πολλαπλασιάζετε, να διαιρείτε, να τετραγωνίζετε αριθμούς και ακόμη και να εξάγετε ρίζες γρήγορα και σωστά. Σε 30 ημέρες, θα μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε εύκολα κόλπα για να απλοποιήσετε τις αριθμητικές πράξεις. Κάθε μάθημα περιέχει νέες τεχνικές, ξεκάθαρα παραδείγματα και χρήσιμες εργασίες.

Εξαγωγή σύνθετης ρίζας

Η τετραγωνική ρίζα δεν μπορεί να υπολογιστεί από αρνητικούς αριθμούς, γιατί κάθε τετράγωνος αριθμός είναι θετικός αριθμός!

Μιγαδικός αριθμός είναι ο αριθμός i, του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με -1. Δηλαδή i2=-1.

Στα μαθηματικά, υπάρχει ένας αριθμός που προκύπτει παίρνοντας τη ρίζα του αριθμού -1.

Δηλαδή, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, αλλά αυτό ισχύει ήδη για τα ανώτερα μαθηματικά, όχι για τα σχολικά μαθηματικά.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα μιας τέτοιας εξαγωγής ρίζας: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Ηλεκτρονικός υπολογιστής root

Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή μας, μπορείτε να υπολογίσετε την εξαγωγή ενός αριθμού από την τετραγωνική ρίζα:

Μετατροπή παραστάσεων που περιέχουν λειτουργία ρίζας

Η ουσία του μετασχηματισμού ριζικών εκφράσεων είναι να αποσυντεθεί ο ριζικός αριθμός σε απλούστερους, από τους οποίους μπορεί να εξαχθεί η ρίζα. Όπως 4, 9, 25 και ούτω καθεξής.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα, √625. Ας διαιρέσουμε τη ριζική έκφραση με τον αριθμό 5. Παίρνουμε √(125 5), επαναλάβετε τη λειτουργία √(25 25), αλλά γνωρίζουμε ότι το 25 είναι 52. Που σημαίνει ότι η απάντηση θα είναι 5*5=25.

Αλλά υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους η ρίζα δεν μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο και απλά πρέπει να γνωρίζετε την απάντηση ή να έχετε διαθέσιμο έναν πίνακα με τετράγωνα.

√289=√(17*17)=17

Συμπέρασμα

Εξετάσαμε μόνο την κορυφή του παγόβουνου, για να κατανοήσουμε καλύτερα τα μαθηματικά - εγγραφείτε στο μάθημά μας: Επιτάχυνση νοητικής αριθμητικής - ΟΧΙ νοητική αριθμητική.

Από το μάθημα όχι μόνο θα μάθετε δεκάδες τεχνικές απλοποιημένου και γρήγορου πολλαπλασιασμού, πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και υπολογισμού ποσοστών, αλλά θα τις εξασκήσετε και σε ειδικές εργασίες και εκπαιδευτικά παιχνίδια! Η νοητική αριθμητική απαιτεί επίσης πολλή προσοχή και συγκέντρωση, τα οποία εκπαιδεύονται ενεργά όταν λύνουν ενδιαφέροντα προβλήματα.

Οδηγίες

Επιλέξτε έναν πολλαπλασιαστή για τον ριζικό αριθμό, η αφαίρεση του οποίου από κάτω ρίζαείναι πραγματικά μια έκφραση - διαφορετικά η λειτουργία θα χάσει. Για παράδειγμα, αν κάτω από την πινακίδα ρίζαμε εκθέτη ίσο με τρία (κύβικη ρίζα), κοστίζει αριθμός 128, τότε από κάτω από την πινακίδα μπορείτε να βγάλετε, για παράδειγμα, αριθμός 5. Ταυτόχρονα το ριζοσπαστικό αριθμόςΤο 128 θα πρέπει να διαιρεθεί με 5 κύβους: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Αν η παρουσία κλασματικού αριθμού κάτω από το πρόσημο ρίζαδεν έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του προβλήματος, τότε είναι δυνατό σε αυτή τη μορφή. Εάν χρειάζεστε μια απλούστερη επιλογή, τότε πρώτα σπάστε τη ριζική έκφραση σε τέτοιους ακέραιους παράγοντες, η κυβική ρίζα ενός από τους οποίους θα είναι ακέραιος αριθμόςμ. Για παράδειγμα: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Χρησιμοποιήστε το για να επιλέξετε παράγοντες ενός ριζικού αριθμού εάν δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός των δυνάμεων ενός αριθμού στο κεφάλι σας. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για ρίζα m με εκθέτη μεγαλύτερο από δύο. Εάν έχετε πρόσβαση στο Διαδίκτυο, μπορείτε να εκτελέσετε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τις αριθμομηχανές που είναι ενσωματωμένες στις μηχανές αναζήτησης Google και Nigma. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο παράγοντα που μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το κυβικό πρόσημο ρίζαγια τον αριθμό 250, μεταβείτε στον ιστότοπο της Google και εισαγάγετε το ερώτημα "6^3" για να ελέγξετε εάν είναι δυνατό να το αφαιρέσετε κάτω από την πινακίδα ρίζαέξι. Η μηχανή αναζήτησης θα εμφανίσει ένα αποτέλεσμα ίσο με 216. Δυστυχώς, το 250 δεν μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με αυτό αριθμός. Στη συνέχεια, πληκτρολογήστε το ερώτημα 5^3. Το αποτέλεσμα θα είναι 125, και αυτό σας επιτρέπει να διαιρέσετε το 250 σε συντελεστές 125 και 2, που σημαίνει ότι θα το βγάλετε από το ζώδιο ρίζα αριθμός 5, φεύγοντας από εκεί αριθμός 2.

Πηγές:

• πώς να το βγάλεις κάτω από τις ρίζες
• Τετραγωνική ρίζα του προϊόντος

Βγάλτε το από κάτω ρίζαένας από τους παράγοντες είναι απαραίτητος σε καταστάσεις όπου χρειάζεται να απλοποιήσετε μια μαθηματική έκφραση. Υπάρχουν φορές που είναι αδύνατο να εκτελέσετε τους απαραίτητους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιούνται χαρακτηρισμοί γραμμάτων για μεταβλητές αντί για αριθμούς.

Οδηγίες

Αναλύστε τη ριζική έκφραση σε απλούς παράγοντες. Δείτε ποιος από τους παράγοντες επαναλαμβάνεται τον ίδιο αριθμό φορές, που υποδεικνύεται στους δείκτες ρίζα, ή περισσότερο. Για παράδειγμα, πρέπει να πάρετε την τέταρτη ρίζα του a. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Δείκτης ρίζασε αυτή την περίπτωση θα αντιστοιχεί με παράγονταςα3. Πρέπει να αφαιρεθεί από την ταμπέλα.

Εξάγετε τη ρίζα των ριζών που προκύπτουν ξεχωριστά όπου είναι δυνατόν. Εξαγωγή ρίζαείναι η αλγεβρική πράξη αντίστροφη της εκθέσεως. Εξαγωγή ρίζαμιας αυθαίρετης ισχύος, βρείτε έναν αριθμό από έναν αριθμό που, όταν αυξηθεί σε αυτήν την αυθαίρετη δύναμη, θα έχει ως αποτέλεσμα τον δεδομένο αριθμό. Εάν η εξαγωγή ρίζαδεν μπορεί να παραχθεί, αφήστε τη ριζοσπαστική έκφραση κάτω από το σημάδι ρίζαόπως ακριβώς είναι. Ως αποτέλεσμα των παραπάνω ενεργειών, θα αφαιρεθείτε από κάτω σημάδι ρίζα.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Σημείωση

Να είστε προσεκτικοί όταν γράφετε ριζικές εκφράσεις με τη μορφή παραγόντων - ένα σφάλμα σε αυτό το στάδιο θα οδηγήσει σε εσφαλμένα αποτελέσματα.

Χρήσιμες συμβουλές

Κατά την εξαγωγή ριζών, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε ειδικούς πίνακες ή πίνακες λογαριθμικών ριζών - αυτό θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που χρειάζεται για να βρεθεί η σωστή λύση.

Πηγές:

• σημάδι εξαγωγής ρίζας το 2019

Απαιτείται απλοποίηση των αλγεβρικών παραστάσεων σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της επίλυσης εξισώσεων υψηλότερης τάξης, της διαφοροποίησης και της ολοκλήρωσης. Χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι, συμπεριλαμβανομένης της παραγοντοποίησης. Για να εφαρμόσετε αυτή τη μέθοδο, πρέπει να βρείτε και να κάνετε μια γενική παράγονταςπίσω αγκύλες.

Οδηγίες

Εκτέλεση του συνολικού πολλαπλασιαστή αγκύλες- μία από τις πιο κοινές μεθόδους αποσύνθεσης. Αυτή η τεχνική χρησιμοποιείται για την απλοποίηση της δομής μακρών αλγεβρικών παραστάσεων, δηλ. πολυώνυμα. Ο γενικός αριθμός μπορεί να είναι αριθμός, μονώνυμο ή διώνυμο και για να τον βρούμε χρησιμοποιείται η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Αριθμός Κοιτάξτε προσεκτικά τους συντελεστές κάθε πολυωνύμου για να δείτε αν μπορούν να διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό. Για παράδειγμα, στην έκφραση 12 z³ + 16 z² – 4 είναι προφανές παράγοντας 4. Μετά τον μετασχηματισμό, παίρνετε 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Με άλλα λόγια, αυτός ο αριθμός είναι ο λιγότερο κοινός ακέραιος διαιρέτης όλων των συντελεστών.

Προσδιορίστε εάν η ίδια μεταβλητή βρίσκεται σε καθέναν από τους όρους του πολυωνύμου. Υποθέτοντας ότι συμβαίνει αυτό, τώρα κοιτάξτε τους συντελεστές όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Παράδειγμα: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Κάθε στοιχείο αυτού του πολυωνύμου περιέχει μια μεταβλητή z. Επιπλέον, όλοι οι συντελεστές είναι αριθμοί πολλαπλάσιοι του 3. Επομένως, ο κοινός παράγοντας θα είναι το μονώνυμο 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Διωνυμικό.Για αγκύλεςγενικός παράγονταςτου δύο, μιας μεταβλητής και ενός αριθμού, που είναι κοινό πολυώνυμο. Επομένως, εάν παράγοντας-το διώνυμο δεν είναι προφανές, τότε πρέπει να βρείτε τουλάχιστον μία ρίζα. Επιλέξτε τον ελεύθερο όρο του πολυωνύμου· αυτός είναι ένας συντελεστής χωρίς μεταβλητή. Τώρα εφαρμόστε τη μέθοδο αντικατάστασης στη γενική έκφραση όλων των ακεραίων διαιρετών του ελεύθερου όρου.

Σκεφτείτε: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Ελέγξτε αν κάποιος από τους ακέραιους παράγοντες του 4 είναι z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Με απλή αντικατάσταση, βρείτε το z1 = 1 και z2 = 2, που σημαίνει για αγκύλεςμπορούμε να αφαιρέσουμε τα διώνυμα (z - 1) και (z - 2). Για να βρείτε την υπόλοιπη έκφραση, χρησιμοποιήστε διαδοχική διαίρεση.