Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο: παραδείγματα εύρεσης, προβλήματα και λεπτομερείς λύσεις

Υπάρχουν αρκετά αξιόλογα όρια, αλλά τα πιο διάσημα είναι το πρώτο και το δεύτερο αξιοσημείωτα όρια. Το αξιοσημείωτο με αυτά τα όρια είναι ότι χρησιμοποιούνται ευρέως και με τη βοήθειά τους μπορεί κανείς να βρει άλλα όρια που συναντώνται σε πολλά προβλήματα. Αυτό θα κάνουμε στο πρακτικό μέρος αυτού του μαθήματος. Για να λύσουμε προβλήματα μειώνοντάς τα στο πρώτο ή το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο, δεν χρειάζεται να αποκαλύψουμε τις αβεβαιότητες που περιέχονται σε αυτά, καθώς οι τιμές αυτών των ορίων έχουν από καιρό συναχθεί από μεγάλους μαθηματικούς.

Το πρώτο υπέροχο όριοονομάζεται το όριο της αναλογίας του ημιτονοειδούς ενός απειροελάχιστου τόξου προς το ίδιο τόξο, εκφρασμένο σε ακτινικό μέτρο:

Ας προχωρήσουμε στην επίλυση προβλημάτων στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Σημείωση: εάν υπάρχει μια τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από το πρόσημο ορίου, αυτό είναι ένα σχεδόν σίγουρο σημάδι ότι αυτή η έκφραση μπορεί να μειωθεί στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο.

Παράδειγμα 1.Βρείτε το όριο.

Λύση. Αντικατάσταση ΧΤο μηδέν οδηγεί σε αβεβαιότητα:

Ο παρονομαστής είναι ημίτονο, επομένως, η έκφραση μπορεί να φτάσει στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Ας ξεκινήσουμε τη μεταμόρφωση:

Ο παρονομαστής είναι το ημίτονο των τριών Χ, αλλά ο αριθμητής έχει μόνο ένα Χ, που σημαίνει ότι πρέπει να πάρετε τρία Χ στον αριθμητή. Για τι? Εισαγωγή 3 Χ = ένακαι πάρτε την έκφραση.

Και φτάνουμε σε μια παραλλαγή του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου:

γιατί δεν έχει σημασία ποιο γράμμα (μεταβλητή) σε αυτόν τον τύπο βρίσκεται αντί του X.

Πολλαπλασιάζουμε το Χ επί τρία και αμέσως διαιρούμε:

Σύμφωνα με το πρώτο αξιοσημείωτο όριο που παρατηρήσαμε, αντικαθιστούμε την κλασματική έκφραση:

Τώρα μπορούμε επιτέλους να λύσουμε αυτό το όριο:

Παράδειγμα 2.Βρείτε το όριο.

Λύση. Η άμεση αντικατάσταση οδηγεί και πάλι στην αβεβαιότητα «μηδέν διαιρούμενο με μηδέν»:

Για να λάβετε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο, είναι απαραίτητο το x κάτω από το ημιτονικό πρόσημο στον αριθμητή και μόνο το x στον παρονομαστή να έχουν τον ίδιο συντελεστή. Έστω αυτός ο συντελεστής ίσος με 2. Για να το κάνετε αυτό, φανταστείτε τον τρέχοντα συντελεστή για το x όπως παρακάτω, εκτελώντας πράξεις με κλάσματα, λαμβάνουμε:

Παράδειγμα 3.Βρείτε το όριο.

Λύση. Κατά την αντικατάσταση, παίρνουμε και πάλι την αβεβαιότητα «μηδέν διαιρούμενο με μηδέν»:

Πιθανότατα έχετε ήδη καταλάβει ότι από την αρχική έκφραση μπορείτε να πάρετε το πρώτο υπέροχο όριο πολλαπλασιασμένο με το πρώτο υπέροχο όριο. Για να γίνει αυτό, αποσυνθέτουμε τα τετράγωνα του x στον αριθμητή και του ημιτόνου στον παρονομαστή σε πανομοιότυπους συντελεστές και για να πάρουμε τους ίδιους συντελεστές για το x και το ημίτονο, διαιρούμε το x στον αριθμητή με το 3 και αμέσως πολλαπλασιάζουμε κατά 3. Παίρνουμε:

Παράδειγμα 4.Βρείτε το όριο.

Λύση. Για άλλη μια φορά παίρνουμε την αβεβαιότητα «μηδέν διαιρούμενο με μηδέν»:

Μπορούμε να λάβουμε την αναλογία των δύο πρώτων αξιοσημείωτων ορίων. Διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το x. Έπειτα, έτσι ώστε οι συντελεστές για ημίτονο και xes να συμπίπτουν, πολλαπλασιάζουμε το ανώτερο x με 2 και αμέσως διαιρούμε με 2, και πολλαπλασιάζουμε το χαμηλότερο x με 3 και αμέσως διαιρούμε με 3. Παίρνουμε:

Παράδειγμα 5.Βρείτε το όριο.

Λύση. Και πάλι η αβεβαιότητα του «μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν»:

Θυμόμαστε από την τριγωνομετρία ότι η εφαπτομένη είναι η αναλογία του ημιτόνου προς το συνημίτονο, και το συνημίτονο του μηδενός είναι ίσο με ένα. Πραγματοποιούμε τους μετασχηματισμούς και παίρνουμε:

Παράδειγμα 6.Βρείτε το όριο.

Λύση. Η τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από το πρόσημο ενός ορίου προτείνει και πάλι τη χρήση του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου. Το παριστάνουμε ως την αναλογία ημιτόνου προς συνημίτονο.

Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο είναι η ακόλουθη ισότητα:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση)

Εφόσον για $\alpha\to(0)$ έχουμε $\sin\alpha\to(0)$, λένε ότι το πρώτο αξιοσημείωτο όριο αποκαλύπτει μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Γενικά, στον τύπο (1), αντί για τη μεταβλητή $\alpha$, οποιαδήποτε έκφραση μπορεί να τοποθετηθεί κάτω από το ημιτονικό πρόσημο και στον παρονομαστή, αρκεί να πληρούνται δύο προϋποθέσεις:

Οι εκφράσεις κάτω από το ημιτονικό πρόσημο και στον παρονομαστή τείνουν ταυτόχρονα στο μηδέν, δηλ. υπάρχει αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$.
Οι εκφράσεις κάτω από το ημιτονικό και στον παρονομαστή είναι ίδιες.

Συχνά χρησιμοποιούνται επίσης συμπεράσματα από το πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

\αρχή(εξίσωση) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση) \begin(εξίσωση) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end (εξίσωση)

Έντεκα παραδείγματα επιλύονται σε αυτήν τη σελίδα. Το Παράδειγμα Νο. 1 είναι αφιερωμένο στην απόδειξη των τύπων (2)-(4). Τα παραδείγματα Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4 και Νο. 5 περιέχουν λύσεις με λεπτομερή σχόλια. Τα Παραδείγματα Νο. 6-10 περιέχουν λύσεις χωρίς ουσιαστικά σχόλια, επειδή δόθηκαν λεπτομερείς εξηγήσεις σε προηγούμενα παραδείγματα. Η λύση χρησιμοποιεί ορισμένους τριγωνομετρικούς τύπους που μπορούν να βρεθούν.

Επιτρέψτε μου να σημειώσω ότι η παρουσία τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε συνδυασμό με την αβεβαιότητα $\frac (0) (0)$ δεν σημαίνει απαραίτητα την εφαρμογή του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου. Μερικές φορές απλοί τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοί είναι επαρκείς - για παράδειγμα, βλ.

Παράδειγμα Νο. 1

Αποδείξτε ότι $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

α) Εφόσον $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, τότε:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Εφόσον $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ και $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Οτι:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

β) Ας κάνουμε την αλλαγή $\alpha=\sin(y)$. Αφού $\sin(0)=0$, τότε από τη συνθήκη $\alpha\to(0)$ έχουμε $y\to(0)$. Επιπλέον, υπάρχει μια γειτονιά του μηδενός στην οποία $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, άρα:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Η ισότητα $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ έχει αποδειχθεί.

γ) Ας κάνουμε την αντικατάσταση $\alpha=\tg(y)$. Εφόσον $\tg(0)=0$, τότε οι συνθήκες $\alpha\to(0)$ και $y\to(0)$ είναι ισοδύναμες. Επιπλέον, υπάρχει μια γειτονιά του μηδενός στην οποία $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, επομένως, με βάση τα αποτελέσματα του σημείου α), θα έχουμε:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Η ισότητα $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ έχει αποδειχθεί.

Οι ισότητες α), β), γ) χρησιμοποιούνται συχνά μαζί με το πρώτο αξιοσημείωτο όριο.

Παράδειγμα Νο. 2

Υπολογίστε το όριο $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Αφού $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ και $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, π.χ. και ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος τείνουν ταυτόχρονα στο μηδέν, τότε εδώ έχουμε να κάνουμε με μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$, δηλ. Έγινε. Επιπλέον, είναι σαφές ότι οι εκφράσεις κάτω από το ημιτονικό πρόσημο και στον παρονομαστή συμπίπτουν (δηλαδή, και ικανοποιείται):

Επομένως, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις που αναφέρονται στην αρχή της σελίδας. Από αυτό προκύπτει ότι ο τύπος είναι εφαρμόσιμος, δηλ. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Απάντηση: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Παράδειγμα Νο. 3

Βρείτε $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Εφόσον $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ και $\lim_(x\to(0))x=0$, τότε έχουμε να κάνουμε με μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac (0 )(0)$, δηλ. Έγινε. Ωστόσο, οι εκφράσεις κάτω από το ημιτονικό πρόσημο και στον παρονομαστή δεν συμπίπτουν. Εδώ πρέπει να προσαρμόσετε την έκφραση στον παρονομαστή στην επιθυμητή μορφή. Χρειαζόμαστε η έκφραση $9x$ να είναι στον παρονομαστή, τότε θα γίνει αληθής. Ουσιαστικά, μας λείπει ένας παράγοντας 9$ στον παρονομαστή, που δεν είναι και τόσο δύσκολο να εισαχθεί—απλώς πολλαπλασιάστε την έκφραση στον παρονομαστή επί 9$. Φυσικά, για να αντισταθμίσετε τον πολλαπλασιασμό με 9$, θα πρέπει να διαιρέσετε αμέσως με 9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Τώρα οι εκφράσεις στον παρονομαστή και κάτω από το ημιτονικό σύμβολο συμπίπτουν. Και οι δύο προϋποθέσεις για το όριο $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ικανοποιούνται. Επομένως, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Και αυτό σημαίνει ότι:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Παράδειγμα αρ. 4

Βρείτε $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Επειδή $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ και $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, εδώ έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα της φόρμας $\frac(0)(0)$. Ωστόσο, η μορφή του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου παραβιάζεται. Ένας αριθμητής που περιέχει $\sin(5x)$ απαιτεί παρονομαστή $5x$. Σε αυτήν την περίπτωση, ο ευκολότερος τρόπος είναι να διαιρέσετε τον αριθμητή με $5x$ και να πολλαπλασιάσετε αμέσως με $5x$. Επιπλέον, θα εκτελέσουμε μια παρόμοια πράξη με τον παρονομαστή, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το $\tg(8x)$ με το $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Μειώνοντας κατά $x$ και λαμβάνοντας τη σταθερά $\frac(5)(8)$ εκτός του ορίου, παίρνουμε:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Σημειώστε ότι το $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ ικανοποιεί πλήρως τις απαιτήσεις για το πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Για να βρείτε $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ ισχύει ο ακόλουθος τύπος:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Παράδειγμα αρ. 5

Βρείτε $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Επειδή $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (θυμηθείτε ότι $\cos(0)=1$) και $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, τότε έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Ωστόσο, για να εφαρμόσετε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο, θα πρέπει να απαλλαγείτε από το συνημίτονο στον αριθμητή, προχωρώντας στα ημίτονο (για να εφαρμόσετε στη συνέχεια τον τύπο) ή τις εφαπτομένες (για να εφαρμόσετε στη συνέχεια τον τύπο). Αυτό μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο μετασχηματισμό:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Ας επιστρέψουμε στο όριο:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Το κλάσμα $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ είναι ήδη κοντά στη μορφή που απαιτείται για το πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Ας δουλέψουμε λίγο με το κλάσμα $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, προσαρμόζοντάς το στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο (σημειώστε ότι οι εκφράσεις στον αριθμητή και κάτω από το ημίτονο πρέπει να ταιριάζουν):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Ας επιστρέψουμε στο επίμαχο όριο:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Παράδειγμα αρ. 6

Βρείτε το όριο $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Αφού $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ και $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, τότε έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα $\frac(0)(0)$. Ας το αποκαλύψουμε με τη βοήθεια του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου. Για να γίνει αυτό, ας περάσουμε από συνημίτονα σε ημίτονο. Αφού $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, τότε:

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Περνώντας στα ημιτόνια στο δεδομένο όριο, θα έχουμε:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\αριστερά(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Παράδειγμα Νο. 7

Υπολογίστε το όριο $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ με την επιφύλαξη $\alpha\neq \ beta$.

Λεπτομερείς εξηγήσεις δόθηκαν νωρίτερα, αλλά εδώ απλά σημειώνουμε ότι και πάλι υπάρχει αβεβαιότητα $\frac(0)(0)$. Ας περάσουμε από συνημίτονα σε ημίτονο χρησιμοποιώντας τον τύπο

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, παίρνουμε:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ άλφα^2)(2)$.

Παράδειγμα αρ. 8

Βρείτε το όριο $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Επειδή $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (θυμηθείτε ότι $\sin(0)=\tg(0)=0$) και $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, τότε εδώ έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Ας το αναλύσουμε ως εξής:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Παράδειγμα Νο. 9

Βρείτε το όριο $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Αφού $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ και $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, τότε υπάρχει αβεβαιότητα για τη μορφή $\frac(0)(0)$. Πριν προχωρήσετε στην επέκτασή της, είναι βολικό να κάνετε μια αλλαγή μεταβλητής με τέτοιο τρόπο ώστε η νέα μεταβλητή να τείνει στο μηδέν (σημειώστε ότι στους τύπους η μεταβλητή $\alpha \σε 0$). Ο ευκολότερος τρόπος είναι να εισαγάγετε τη μεταβλητή $t=x-3$. Ωστόσο, για λόγους ευκολίας περαιτέρω μετασχηματισμών (αυτό το όφελος μπορεί να φανεί στην πορεία της λύσης παρακάτω), αξίζει να κάνετε την ακόλουθη αντικατάσταση: $t=\frac(x-3)(2)$. Σημειώνω ότι και οι δύο αντικαταστάσεις ισχύουν σε αυτήν την περίπτωση, απλώς η δεύτερη αντικατάσταση θα σας επιτρέψει να εργάζεστε λιγότερο με κλάσματα. Από $x\to(3)$, τότε $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\αριστερά|\frac (0)(0)\δεξιά| =\αριστερά|\begin(ευθυγραμμισμένη)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(στοιχισμένη)\δεξιά| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ προς(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Παράδειγμα Νο. 10

Βρείτε το όριο $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Για άλλη μια φορά έχουμε να κάνουμε με την αβεβαιότητα $\frac(0)(0)$. Πριν προχωρήσετε στην επέκτασή της, είναι βολικό να κάνετε μια αλλαγή μεταβλητής με τέτοιο τρόπο ώστε η νέα μεταβλητή να τείνει στο μηδέν (σημειώστε ότι στους τύπους η μεταβλητή είναι $\alpha\to(0)$). Ο ευκολότερος τρόπος είναι να εισαγάγετε τη μεταβλητή $t=\frac(\pi)(2)-x$. Αφού $x\to\frac(\pi)(2)$, τότε $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\αριστερά|\αρχή(ευθυγραμμισμένη)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(ευθυγραμμισμένη)\δεξιά| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Παράδειγμα Νο. 11

Βρείτε τα όρια $\lim_(x\to\frac(\pi)(2)\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε το πρώτο υπέροχο όριο. Λάβετε υπόψη ότι τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο όριο περιέχουν μόνο τριγωνομετρικές συναρτήσεις και αριθμούς. Συχνά σε παραδείγματα αυτού του είδους είναι δυνατό να απλοποιηθεί η έκφραση που βρίσκεται κάτω από το σύμβολο ορίου. Επιπλέον, μετά την προαναφερθείσα απλοποίηση και μείωση κάποιων παραγόντων, η αβεβαιότητα εξαφανίζεται. Έδωσα αυτό το παράδειγμα για έναν μόνο σκοπό: να δείξω ότι η παρουσία τριγωνομετρικών συναρτήσεων κάτω από το πρόσημο ορίου δεν σημαίνει απαραίτητα τη χρήση του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου.

Επειδή $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (θυμηθείτε ότι $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) και $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (να σας υπενθυμίσω ότι $\cos\frac(\pi)(2)=0$), τότε έχουμε που αντιμετωπίζει την αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε το πρώτο υπέροχο όριο. Για να αποκαλυφθεί η αβεβαιότητα, αρκεί να λάβουμε υπόψη ότι $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Μια παρόμοια λύση υπάρχει στο βιβλίο λύσεων του Demidovich (αρ. 475). Όσον αφορά το δεύτερο όριο, όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα αυτής της ενότητας, έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Γιατί προκύπτει; Προκύπτει επειδή $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ και $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Χρησιμοποιούμε αυτές τις τιμές για να μετατρέψουμε τις εκφράσεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Στόχος των ενεργειών μας είναι να γράψουμε το άθροισμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή ως γινόμενο. Παρεμπιπτόντως, συχνά σε έναν παρόμοιο τύπο είναι βολικό να αλλάζετε μια μεταβλητή, κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε η νέα μεταβλητή να τείνει στο μηδέν (δείτε, για παράδειγμα, παραδείγματα Νο. 9 ή Νο. 10 σε αυτήν τη σελίδα). Ωστόσο, σε αυτό το παράδειγμα δεν έχει νόημα η αντικατάσταση, αν και εάν είναι επιθυμητό, η αντικατάσταση της μεταβλητής $t=x-\frac(2\pi)(3)$ δεν είναι δύσκολη στην υλοποίηση.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Όπως καταλαβαίνετε, δεν χρειάστηκε να εφαρμόσουμε το πρώτο υπέροχο όριο. Φυσικά, μπορείτε να το κάνετε αυτό αν θέλετε (βλ. σημείωση παρακάτω), αλλά δεν είναι απαραίτητο.

Ποια είναι η λύση χρησιμοποιώντας το πρώτο αξιοσημείωτο όριο; εμφάνιση απόκρυψη

Χρησιμοποιώντας το πρώτο αξιοσημείωτο όριο παίρνουμε:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ δεξιά))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Βρείτε υπέροχα όριαΕίναι δύσκολο όχι μόνο για πολλούς πρωτοετείς και δευτεροετείς μαθητές που μελετούν τη θεωρία των ορίων, αλλά και για ορισμένους καθηγητές.

Φόρμουλα για το πρώτο αξιοσημείωτο όριο

Συνέπειες του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου ας το γράψουμε σε τύπους
1. 2. 3. 4. Αλλά οι ίδιοι οι γενικοί τύποι των αξιοσημείωτων ορίων δεν βοηθούν κανέναν σε εξετάσεις ή τεστ. Το θέμα είναι ότι οι πραγματικές εργασίες κατασκευάζονται έτσι ώστε να πρέπει ακόμα να φτάσετε στους τύπους που γράφτηκαν παραπάνω. Και η πλειοψηφία των μαθητών που χάνουν μαθήματα, μελετούν αυτό το μάθημα ερήμην ή έχουν καθηγητές που οι ίδιοι δεν καταλαβαίνουν πάντα τι εξηγούν, δεν μπορούν να υπολογίσουν τα πιο στοιχειώδη παραδείγματα σε αξιοσημείωτα όρια. Από τους τύπους του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου βλέπουμε ότι με τη βοήθειά τους είναι δυνατή η μελέτη αβεβαιοτήτων του τύπου μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν για εκφράσεις με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ας εξετάσουμε πρώτα ορισμένα παραδείγματα του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου και, στη συνέχεια, ας μελετήσουμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το όριο της συνάρτησης sin(7*x)/(5*x)
Λύση: Όπως μπορείτε να δείτε, η συνάρτηση κάτω από το όριο είναι κοντά στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο, αλλά το όριο της ίδιας της συνάρτησης σίγουρα δεν είναι ίσο με ένα. Σε αυτού του είδους τις εργασίες για τα όρια, θα πρέπει να επιλέξετε στον παρονομαστή μια μεταβλητή με τον ίδιο συντελεστή με αυτόν που περιέχεται στη μεταβλητή κάτω από το ημίτονο. Σε αυτήν την περίπτωση, διαιρέστε και πολλαπλασιάστε με το 7

Για κάποιους, τέτοιες λεπτομέρειες θα φαίνονται περιττές, αλλά για τους περισσότερους μαθητές που δυσκολεύονται με τα όρια, θα τους βοηθήσει να κατανοήσουν καλύτερα τους κανόνες και να κατακτήσουν το θεωρητικό υλικό.
Επίσης, αν υπάρχει αντίστροφη μορφή συνάρτησης, αυτό είναι και το πρώτο υπέροχο όριο. Και όλα αυτά γιατί το υπέροχο όριο ισούται με ένα

Ο ίδιος κανόνας ισχύει και για τις συνέπειες του 1ου αξιοσημείωτου ορίου. Επομένως, αν σας ρωτήσουν, «Ποιο είναι το πρώτο αξιοσημείωτο όριο;» Θα πρέπει να απαντήσετε χωρίς δισταγμό ότι είναι μονάδα.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το όριο της συνάρτησης sin(6x)/tan(11x)
Λύση: Για να κατανοήσουμε το τελικό αποτέλεσμα, ας γράψουμε τη συνάρτηση στη φόρμα

Για να εφαρμόσετε τους κανόνες του αξιοσημείωτου ορίου, πολλαπλασιάστε και διαιρέστε με συντελεστές

Στη συνέχεια, γράφουμε το όριο ενός γινομένου συναρτήσεων μέσω του γινόμενου ορίων

Χωρίς σύνθετους τύπους, βρήκαμε το όριο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για να κατακτήσετε απλούς τύπους, προσπαθήστε να βρείτε και να βρείτε το όριο στο 2 και το 4, τον τύπο για το συμπέρασμα του 1 υπέροχου ορίου. Θα εξετάσουμε πιο σύνθετα προβλήματα.

Παράδειγμα 3: Υπολογίστε το όριο (1-cos(x))/x^2
Λύση: Κατά τον έλεγχο με αντικατάσταση, έχουμε αβεβαιότητα 0/0. Πολλοί άνθρωποι δεν ξέρουν πώς να μειώσουν ένα τέτοιο παράδειγμα σε ένα αξιοσημείωτο όριο. Εδώ θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο τριγωνομετρικός τύπος

Σε αυτήν την περίπτωση, το όριο θα μετατραπεί σε σαφή μορφή

Καταφέραμε να μειώσουμε τη συνάρτηση στο τετράγωνο ενός αξιοσημείωτου ορίου.

Παράδειγμα 4. Βρείτε το όριο
Λύση: Κατά την αντικατάσταση, παίρνουμε το γνωστό χαρακτηριστικό 0/0. Ωστόσο, η μεταβλητή τείνει στο Pi και όχι στο μηδέν. Επομένως, για να εφαρμόσουμε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο, θα κάνουμε μια τέτοια αλλαγή στη μεταβλητή x έτσι ώστε η νέα μεταβλητή να πάει στο μηδέν. Για να γίνει αυτό, συμβολίζουμε τον παρονομαστή ως μια νέα μεταβλητή Pi-x=y

Έτσι, χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό τύπο που δόθηκε στην προηγούμενη εργασία, το παράδειγμα μειώνεται σε 1 αξιοσημείωτο όριο.

Παράδειγμα 5: Υπολογισμός ορίου
Λύση: Στην αρχή δεν είναι ξεκάθαρο πώς να απλοποιηθούν τα όρια. Αλλά αφού υπάρχει ένα παράδειγμα, τότε πρέπει να υπάρχει απάντηση. Το γεγονός ότι η μεταβλητή πηγαίνει στη μονάδα δίνει, κατά την αντικατάσταση, ένα χαρακτηριστικό της μορφής μηδέν πολλαπλασιασμένο με το άπειρο, επομένως η εφαπτομένη πρέπει να αντικατασταθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Μετά από αυτό παίρνουμε την απαιτούμενη αβεβαιότητα 0/0. Στη συνέχεια, πραγματοποιούμε αλλαγή μεταβλητών στο όριο και χρησιμοποιούμε την περιοδικότητα της συνεφαπτομένης

Οι τελευταίες αντικαταστάσεις μας επιτρέπουν να χρησιμοποιήσουμε το συμπέρασμα 1 του αξιοσημείωτου ορίου.

Το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο είναι ίσο με το εκθετικό

Αυτό είναι ένα κλασικό που δεν είναι πάντα εύκολο να επιτευχθεί σε πραγματικά προβλήματα ορίων.
Στους υπολογισμούς που θα χρειαστείτε Τα όρια είναι συνέπειες του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου:
1. 2. 3. 4.
Χάρη στο δεύτερο αξιοσημείωτο όριο και τις συνέπειές του, είναι δυνατό να εξερευνήσουμε αβεβαιότητες όπως το μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν, το ένα στη δύναμη του άπειρου και το άπειρο διαιρούμενο με το άπειρο, ακόμη και στον ίδιο βαθμό

Ας ξεκινήσουμε με απλά παραδείγματα.

Παράδειγμα 6. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Λύση: Η απευθείας εφαρμογή του 2ου αξιοσημείωτου ορίου δεν θα λειτουργήσει. Αρχικά, θα πρέπει να μετατρέψετε τον εκθέτη έτσι ώστε να μοιάζει με το αντίστροφο του όρου σε αγκύλες

Αυτή είναι η τεχνική της αναγωγής στο 2ο αξιοσημείωτο όριο και, στην ουσία, της εξαγωγής του 2ου τύπου για το συμπέρασμα του ορίου.

Παράδειγμα 7. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Λύση: Έχουμε εργασίες για τον τύπο 3 του συμπεράσματος 2 ενός υπέροχου ορίου. Αντικαθιστώντας το μηδέν δίνεται μια μοναδικότητα της μορφής 0/0. Για να αυξήσουμε το όριο σε έναν κανόνα, στρέφουμε τον παρονομαστή έτσι ώστε η μεταβλητή να έχει τον ίδιο συντελεστή όπως στον λογάριθμο

Είναι επίσης εύκολο να το κατανοήσετε και να το εκτελέσετε στην εξέταση. Οι δυσκολίες των μαθητών στον υπολογισμό των ορίων ξεκινούν με τα παρακάτω προβλήματα.

Παράδειγμα 8. Υπολογίστε το όριο μιας συνάρτησης[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Λύση: Έχουμε μια ιδιομορφία τύπου 1 στη δύναμη του απείρου. Εάν δεν με πιστεύετε, μπορείτε να αντικαταστήσετε το άπειρο με το "Χ" παντού και να βεβαιωθείτε για αυτό. Για να κατασκευάσουμε έναν κανόνα, διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή στην παρένθεση· για να γίνει αυτό, εκτελούμε πρώτα τους χειρισμούς

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση με το όριο και ας τη μετατρέψουμε σε 2 υπέροχο όριο

Το όριο είναι ίσο με την εκθετική ισχύ του 10. Οι σταθερές που είναι όροι με μια μεταβλητή, τόσο σε παρένθεση όσο και σε βαθμό, δεν εισάγουν κανένα «καιρό» - αυτό πρέπει να το θυμόμαστε. Και αν οι δάσκαλοί σας σας ρωτήσουν, "Γιατί δεν μετατρέπετε τον δείκτη;" (Για αυτό το παράδειγμα στο x-3), στη συνέχεια πείτε ότι "Όταν μια μεταβλητή τείνει στο άπειρο, τότε προσθέστε 100 σε αυτήν ή αφαιρέστε 1000 και το όριο θα παραμείνει το ίδιο όπως ήταν!"
Υπάρχει ένας δεύτερος τρόπος υπολογισμού ορίων αυτού του τύπου. Θα μιλήσουμε για αυτό στην επόμενη εργασία.

Παράδειγμα 9. Βρείτε το όριο
Λύση: Τώρα ας βγάλουμε τη μεταβλητή στον αριθμητή και στον παρονομαστή και ας μετατρέψουμε ένα χαρακτηριστικό σε ένα άλλο. Για να λάβουμε την τελική τιμή, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Συμπεράσματος 2 του αξιοσημείωτου ορίου

Παράδειγμα 10. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Λύση: Δεν μπορούν όλοι να βρουν το δεδομένο όριο. Για να αυξήσετε το όριο στο 2, φανταστείτε ότι το sin (3x) είναι μια μεταβλητή και πρέπει να γυρίσετε τον εκθέτη

Στη συνέχεια, γράφουμε τον δείκτη ως δύναμη σε ισχύ

Τα ενδιάμεσα ορίσματα περιγράφονται σε παρένθεση. Ως αποτέλεσμα της χρήσης του πρώτου και του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου, λάβαμε την εκθετική σε κύβο.

Παράδειγμα 11. Υπολογίστε το όριο μιας συνάρτησης sin(2*x)/ln(3*x+1)
Λύση: Έχουμε αβεβαιότητα της μορφής 0/0. Επιπλέον, βλέπουμε ότι η συνάρτηση πρέπει να μετατραπεί ώστε να χρησιμοποιεί και τα δύο υπέροχα όρια. Ας κάνουμε τους προηγούμενους μαθηματικούς μετασχηματισμούς

Επιπλέον, χωρίς δυσκολία, το όριο θα πάρει την τιμή

Έτσι θα νιώθετε ελεύθεροι σε εργασίες, δοκιμές, ενότητες, αν μάθετε να γράφετε γρήγορα συναρτήσεις και να τις μειώνετε στο πρώτο ή το δεύτερο υπέροχο όριο. Εάν είναι δύσκολο για εσάς να απομνημονεύσετε τις δεδομένες μεθόδους εύρεσης ορίων, τότε μπορείτε πάντα να παραγγείλετε ένα δοκιμαστικό χαρτί για τα όρια από εμάς.
Για να το κάνετε αυτό, συμπληρώστε τη φόρμα, δώστε δεδομένα και επισυνάψτε ένα αρχείο με παραδείγματα. Έχουμε βοηθήσει πολλούς μαθητές - μπορούμε να βοηθήσουμε και εσάς!

Τώρα, με ήρεμη ψυχή, ας προχωρήσουμε στη σκέψη υπέροχα όρια.
μοιάζει με .

Αντί για τη μεταβλητή x, μπορούν να υπάρχουν διάφορες συναρτήσεις, το κύριο πράγμα είναι ότι τείνουν στο 0.

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το όριο

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το όριο μοιάζει πολύ με το πρώτο αξιοσημείωτο, αλλά αυτό δεν είναι απολύτως αληθές. Γενικά, αν παρατηρήσετε αμαρτία στο όριο, τότε θα πρέπει να σκεφτείτε αμέσως αν είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσετε το πρώτο αξιόλογο όριο.

Σύμφωνα με τον κανόνα μας Νο. 1, αντικαθιστούμε το μηδέν αντί του x:

Έχουμε αβεβαιότητα.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να οργανώσουμε μόνοι μας το πρώτο υπέροχο όριο. Για να γίνει αυτό, ας κάνουμε έναν απλό συνδυασμό:

Έτσι οργανώνουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή για να τονίσουμε το 7x. Τώρα το γνωστό αξιοσημείωτο όριο έχει ήδη εμφανιστεί. Συνιστάται να το επισημάνετε όταν αποφασίζετε:

Ας αντικαταστήσουμε τη λύση στο πρώτο αξιόλογο παράδειγμα και πάρουμε:

Απλοποίηση του κλάσματος:

Απάντηση: 7/3.

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι πολύ απλά.

Μοιάζει με , όπου e = 2,718281828... είναι ένας άρρητος αριθμός.

Μπορεί να υπάρχουν διάφορες συναρτήσεις αντί της μεταβλητής x, το κυριότερο είναι ότι τείνουν να .

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το όριο

Εδώ βλέπουμε την παρουσία ενός βαθμού κάτω από το πρόσημο ενός ορίου, που σημαίνει ότι είναι δυνατή η χρήση ενός δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου.

Όπως πάντα, θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα Νο. 1 - αντικαταστήστε το x αντί για:

Μπορεί να φανεί ότι στο x η βάση του βαθμού είναι , και ο εκθέτης είναι 4x > , δηλ. λαμβάνουμε μια αβεβαιότητα της μορφής:

Ας χρησιμοποιήσουμε το δεύτερο υπέροχο όριο για να αποκαλύψουμε την αβεβαιότητα μας, αλλά πρώτα πρέπει να την οργανώσουμε. Όπως μπορείτε να δείτε, πρέπει να επιτύχουμε παρουσία στον δείκτη, για τον οποίο ανεβάζουμε τη βάση στην ισχύ του 3x και ταυτόχρονα στην ισχύ του 1/3x, έτσι ώστε η έκφραση να μην αλλάξει:

Μην ξεχάσετε να τονίσετε το υπέροχο όριο μας:

Αυτό είναι πραγματικά υπέροχα όρια!
Εάν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις σχετικά με το πρώτο και το δεύτερο θαυμάσια όρια, τότε μη διστάσετε να τους ρωτήσετε στα σχόλια.
Θα απαντήσουμε σε όλους όσο το δυνατόν περισσότερο.

Μπορείτε επίσης να εργαστείτε με έναν δάσκαλο σε αυτό το θέμα.
Είμαστε στην ευχάριστη θέση να σας προσφέρουμε τις υπηρεσίες επιλογής ειδικευμένου δασκάλου στην πόλη σας. Οι συνεργάτες μας θα επιλέξουν γρήγορα έναν καλό δάσκαλο για εσάς με ευνοϊκούς όρους.

Δεν υπάρχουν αρκετές πληροφορίες; - Μπορείς !

Μπορείτε να γράψετε μαθηματικούς υπολογισμούς σε σημειωματάρια. Είναι πολύ πιο ευχάριστο να γράφετε μεμονωμένα σε σημειωματάρια με λογότυπο (http://www.blocnot.ru).

Απόδειξη:

Ας αποδείξουμε πρώτα το θεώρημα για την περίπτωση της ακολουθίας

Σύμφωνα με τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:

Αν υποθέσουμε ότι παίρνουμε

Από αυτή την ισότητα (1) προκύπτει ότι όσο αυξάνεται το n, αυξάνεται ο αριθμός των θετικών όρων στη δεξιά πλευρά. Επιπλέον, όσο αυξάνεται το n, ο αριθμός μειώνεται, άρα οι τιμές αυξάνονται. Επομένως η σειρά αυξάνεται, και (2)*Δείχνουμε ότι είναι οριοθετημένο. Αντικαταστήστε κάθε παρένθεση στη δεξιά πλευρά της ισότητας με μία, η δεξιά πλευρά θα αυξηθεί και θα έχουμε την ανισότητα

Ας ενισχύσουμε την προκύπτουσα ανισότητα, αντικαταστήσουμε το 3,4,5, ..., που στέκεται στους παρονομαστές των κλασμάτων, με τον αριθμό 2: Βρίσκουμε το άθροισμα σε αγκύλες χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου: Επομένως (3)*

Άρα, η ακολουθία οριοθετείται από πάνω και ικανοποιούνται οι ανισότητες (2) και (3): Επομένως, με βάση το θεώρημα Weierstrass (κριτήριο για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας), η ακολουθία μονοτονικά αυξάνεται και περιορίζεται, που σημαίνει ότι έχει ένα όριο, που συμβολίζεται με το γράμμα e. Εκείνοι.

Γνωρίζοντας ότι το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο ισχύει για φυσικές τιμές του x, αποδεικνύουμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο για το πραγματικό x, δηλαδή αποδεικνύουμε ότι . Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις:

1. Έστω Κάθε τιμή του x περικλείεται ανάμεσα σε δύο θετικούς ακέραιους αριθμούς: , πού είναι το ακέραιο μέρος του x. => =>

Αν , τότε Επομένως, σύμφωνα με το όριο Εχουμε

Με βάση το κριτήριο (περί ορίου ενδιάμεσης συνάρτησης) ύπαρξης ορίων

2. Αφήστε . Ας κάνουμε την αντικατάσταση − x = t, τότε

Από τις δύο αυτές περιπτώσεις προκύπτει ότι για πραγματικό x.

Συνέπειες:

9 .) Σύγκριση απειροελάχιστων. Το θεώρημα για την αντικατάσταση των απειρομικρών με ισοδύναμα στο όριο και το θεώρημα για το κύριο μέρος των απειροελάχιστων.

Αφήστε τις συναρτήσεις a( Χ) και β( Χ) – β.μ. στο Χ ® Χ 0 .

ΟΡΙΣΜΟΙ.

1)α( Χ) που ονομάζεται απειροελάχιστη ανώτερη τάξη από σι (Χ) Αν

Γράψε: α( Χ) = o(b( Χ)) .

2)α( Χ) Καισι( Χ)λέγονται απειροελάχιστα της ίδιας τάξης, Αν

όπου ΓÎℝ και ντο¹ 0 .

Γράψε: α( Χ) = Ο(σι( Χ)) .

3)α( Χ) Καισι( Χ) λέγονται ισοδύναμος , Αν

Γράψε: α( Χ) ~ β( Χ).

4)α( Χ) λέγεται απειροελάχιστος τάξης k σχετικός
απολύτως απειροελάχιστοσι( Χ), αν απειροελάχιστηένα( Χ)Και(σι( Χ))κ έχουν την ίδια σειρά, δηλ. Αν

όπου ΓÎℝ και ντο¹ 0 .

ΘΕΩΡΗΜΑ 6 (για την αντικατάσταση απειροελάχιστων με ισοδύναμα).

Αφήνωένα( Χ), σι( Χ), Α'1 ( Χ), β 1 ( Χ)– β.μ. στο x ® Χ 0 . Ανένα( Χ) ~ a 1 ( Χ), σι( Χ) ~ β 1 ( Χ),

Οτι

Απόδειξη: Έστω α( Χ) ~ a 1 ( Χ), σι( Χ) ~ β 1 ( Χ), Επειτα

ΘΕΩΡΗΜΑ 7 (περί το κύριο μέρος του απειροελάχιστου).

Αφήνωένα( Χ)Καισι( Χ)– β.μ. στο x ® Χ 0 , καισι( Χ)– β.μ. υψηλότερης τάξης απόένα( Χ).

= , a αφού b( Χ) – υψηλότερη τάξη από α( Χ), τότε, δηλ. από είναι σαφές ότι ένα ( Χ) + β( Χ) ~ α( Χ)

10) Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο (στη γλώσσα του έψιλον-δέλτα, γεωμετρικά όρια) Μονόπλευρη συνέχεια. Συνέχεια σε ένα διάστημα, σε ένα τμήμα. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων.

1. Βασικοί ορισμοί

Αφήνω φά(Χ) ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ 0 .

ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 αν ισχύει η ισότητα

Σημειώσεις.

1) Δυνάμει του Θεωρήματος 5 §3, η ισότητα (1) μπορεί να γραφεί με τη μορφή

Κατάσταση (2) – ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της γλώσσας των μονόπλευρων ορίων.

2) Η ισότητα (1) μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

Λένε: «αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο Χ 0, τότε το πρόσημο του ορίου και η συνάρτηση μπορούν να αντικατασταθούν."

ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (στη γλώσσα e-d).

Συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 Αν"e>0 $d>0 τέτοιος, Τι

αν xΟΥ( Χ 0 , δ) (δηλ. | Χ – Χ 0 | < d),

τότε στ(Χ)ÎU( φά(Χ 0), ε) (δηλ. | φά(Χ) – φά(Χ 0) | < e).

Αφήνω Χ, Χ 0 Î ρε(φά) (Χ 0 - σταθερό, Χ -αυθαίρετος)

Σημειώνουμε: Δ Χ= x – x 0 – προσαύξηση επιχειρήματος

ρε φά(Χ 0) = φά(Χ) – φά(Χ 0) – αύξηση της συνάρτησης στο σημείοx 0

ΟΡΙΣΜΟΣ 3 (γεωμετρικός).

Συνάρτηση f(Χ) επί που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 αν σε αυτό το σημείο μια απειροελάχιστη αύξηση στο όρισμα αντιστοιχεί σε μια απειροελάχιστη αύξηση στη συνάρτηση, δηλ.

Αφήστε τη λειτουργία φά(Χ) ορίζεται στο διάστημα [ Χ 0 ; Χ 0 + δ) (στο διάστημα ( Χ 0 – d; Χ 0 ]).

ΟΡΙΣΜΟΣ. Συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 στα δεξιά (αριστερά ), αν ισχύει η ισότητα

Είναι προφανές ότι φά(Χ) είναι συνεχής στο σημείο Χ 0 Û φά(Χ) είναι συνεχής στο σημείο Χ 0 δεξιά και αριστερά.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής για ένα διάστημα ε ( ένα; σι) αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος.

Συνάρτηση f(Χ) ονομάζεται συνεχής στο τμήμα [ένα; σι] αν είναι συνεχής στο διάστημα (ένα; σι) και έχει μονόδρομη συνέχεια στα οριακά σημεία(δηλαδή συνεχής στο σημείο έναστα δεξιά, στο σημείο σι- αριστερά).

11) Σημεία διακοπής, η κατάταξή τους

ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν η συνάρτηση f(Χ) ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 , αλλά δεν είναι συνεχής σε αυτό το σημείο, λοιπόν φά(Χ) ονομάζεται ασυνεχής στο σημείο x 0 , και το ίδιο το σημείο Χ 0 ονομάζεται σημείο διακοπής λειτουργίες f(Χ) .

Σημειώσεις.

1) φά(Χ) μπορεί να οριστεί σε μια ημιτελή γειτονιά του σημείου Χ 0 .

Στη συνέχεια, εξετάστε την αντίστοιχη μονόπλευρη συνέχεια της συνάρτησης.

2) Από τον ορισμό του σημείου Þ ΧΤο 0 είναι το σημείο θραύσης της συνάρτησης φά(Χ) σε δύο περιπτώσεις:

α) U( Χ 0 , δ)О ρε(φά) , αλλά φά(Χ) η ισότητα δεν ισχύει

β) U * ( Χ 0 , δ)О ρε(φά) .

Για τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, είναι δυνατή μόνο η περίπτωση β).

Αφήνω Χ 0 – σημείο διακοπής λειτουργίας φά(Χ) .

ΟΡΙΣΜΟΣ. Σημείο x 0 που ονομάζεται σημείο διακοπής Εγώ περίπου αν συνάρτηση f(Χ)έχει πεπερασμένα όρια αριστερά και δεξιά σε αυτό το σημείο.

Αν αυτά τα όρια είναι ίσα, τότε το σημείο x 0 που ονομάζεται αφαιρούμενο σημείο θραύσης , σε διαφορετική περίπτωση - σημείο άλματος .

ΟΡΙΣΜΟΣ. Σημείο x 0 που ονομάζεται σημείο διακοπής II περίπου αν τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης f(Χ)σε αυτό το σημείο είναι ίσο¥ ή δεν υπάρχει.

12) Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε διάστημα (θεωρήματα Weierstrass (χωρίς απόδειξη) και Cauchy

Θεώρημα Weierstrass

Έστω λοιπόν η συνάρτηση f(x) συνεχής στο διάστημα

1) η f(x) περιορίζεται σε

2) Η f(x) παίρνει τη μικρότερη και μεγαλύτερη τιμή του στο διάστημα

Ορισμός: Η τιμή της συνάρτησης m=f λέγεται η μικρότερη αν m≤f(x) για οποιοδήποτε x€ D(f).

Η τιμή της συνάρτησης m=f λέγεται ότι είναι μεγαλύτερη εάν m≥f(x) για οποιοδήποτε x € D(f).

Η συνάρτηση μπορεί να λάβει τη μικρότερη/μεγαλύτερη τιμή σε πολλά σημεία του τμήματος.

f(x 3)=f(x 4)=μέγ

Θεώρημα Cauchy.

Έστω η συνάρτηση f(x) συνεχής στο τμήμα και x ο αριθμός που περιέχεται μεταξύ f(a) και f(b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x 0 € τέτοιο ώστε f(x 0)= g