Επίλυση δεκαδικών λογαριθμικών εξισώσεων. Μέθοδοι επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων. Προβλήματα με μεταβλητή βάση

Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. Μέρος 1.

Λογαριθμική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο περιέχεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου (ιδιαίτερα, στη βάση του λογαρίθμου).

Το πιο απλό λογαριθμική εξίσωσηέχει τη μορφή:

Επίλυση οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσηςπεριλαμβάνει μια μετάβαση από τους λογάριθμους σε εκφράσεις κάτω από το πρόσημο των λογαρίθμων. Ωστόσο, αυτή η ενέργεια επεκτείνει το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της εξίσωσης και μπορεί να οδηγήσει στην εμφάνιση ξένων ριζών. Για να αποφύγετε την εμφάνιση ξένων ριζών, μπορείτε να κάνετε έναν από τους τρεις τρόπους:

1. Κάντε μια ισοδύναμη μετάβασηαπό την αρχική εξίσωση σε ένα σύστημα που περιλαμβάνει

ανάλογα με ποια ανισότητα ή απλούστερη.

Αν η εξίσωση περιέχει έναν άγνωστο στη βάση του λογαρίθμου:

μετά πηγαίνουμε στο σύστημα:

2. Βρείτε χωριστά το εύρος των αποδεκτών τιμών της εξίσωσης, στη συνέχεια λύστε την εξίσωση και ελέγξτε αν οι λύσεις που βρέθηκαν ικανοποιούν την εξίσωση.

3. Λύστε την εξίσωση και μετά έλεγχος:Αντικαταστήστε τις λύσεις που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση και ελέγξτε αν έχουμε τη σωστή ισότητα.

Μια λογαριθμική εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας πάντα τελικά ανάγεται στην απλούστερη λογαριθμική εξίσωση.

Όλες οι λογαριθμικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τέσσερις τύπους:

1 . Εξισώσεις που περιέχουν λογάριθμους μόνο στην πρώτη δύναμη. Με τη βοήθεια μετασχηματισμών και χρήσης, φέρονται στη μορφή

Παράδειγμα. Ας λύσουμε την εξίσωση:

Ας εξισώσουμε τις εκφράσεις κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου:

Ας ελέγξουμε αν η ρίζα της εξίσωσης μας ικανοποιεί:

Ναι, ικανοποιεί.

Απάντηση: x=5

2 . Εξισώσεις που περιέχουν λογάριθμους σε δυνάμεις διαφορετικές από το 1 (ιδιαίτερα στον παρονομαστή ενός κλάσματος). Τέτοιες εξισώσεις μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας εισάγοντας μια αλλαγή μεταβλητής.

Παράδειγμα.Ας λύσουμε την εξίσωση:

Ας βρούμε την εξίσωση ODZ:

Η εξίσωση περιέχει λογάριθμους στο τετράγωνο, επομένως μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητής.

Σπουδαίος! Πριν εισαγάγετε μια αντικατάσταση, πρέπει να "χωρίσετε" τους λογάριθμους που αποτελούν μέρος της εξίσωσης σε "τούβλα", χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων.

Όταν «διαχωρίζετε» λογαρίθμους, είναι σημαντικό να χρησιμοποιείτε πολύ προσεκτικά τις ιδιότητες των λογαρίθμων:

Επιπλέον, υπάρχει ένα ακόμη λεπτό σημείο εδώ, και για να αποφύγουμε ένα κοινό λάθος, θα χρησιμοποιήσουμε μια ενδιάμεση ισότητα: θα γράψουμε τον βαθμό του λογάριθμου με αυτή τη μορφή:

Επίσης,

Ας αντικαταστήσουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν στην αρχική εξίσωση. Παίρνουμε:

Τώρα βλέπουμε ότι ο άγνωστος περιέχεται στην εξίσωση ως μέρος του . Ας παρουσιάσουμε την αντικατάσταση: . Δεδομένου ότι μπορεί να λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, δεν επιβάλλουμε περιορισμούς στη μεταβλητή.

Όλοι γνωρίζουμε τις εξισώσεις από το δημοτικό σχολείο. Εκεί μάθαμε να λύνουμε και τα πιο απλά παραδείγματα, και πρέπει να παραδεχτούμε ότι βρίσκουν την εφαρμογή τους ακόμα και στα ανώτερα μαθηματικά. Όλα είναι απλά με τις εξισώσεις, συμπεριλαμβανομένων των δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα με αυτό το θέμα, σας συνιστούμε να το αναθεωρήσετε.

Μάλλον έχετε ήδη περάσει από λογάριθμους. Ωστόσο, θεωρούμε σημαντικό να πούμε τι είναι για όσους δεν γνωρίζουν ακόμη. Ένας λογάριθμος εξισώνεται με την ισχύ στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο αριθμός στα δεξιά του λογαρίθμου. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα βάσει του οποίου όλα θα σας ξεκαθαρίσουν.

Αν σηκώσετε το 3 στην τέταρτη δύναμη, παίρνετε 81. Τώρα αντικαταστήστε τους αριθμούς με αναλογία και τελικά θα καταλάβετε πώς λύνονται οι λογάριθμοι. Τώρα το μόνο που μένει είναι να συνδυαστούν οι δύο έννοιες που συζητήθηκαν. Αρχικά, η κατάσταση φαίνεται εξαιρετικά περίπλοκη, αλλά μετά από προσεκτικότερη εξέταση το βάρος μπαίνει στη θέση του. Είμαστε σίγουροι ότι μετά από αυτό το σύντομο άρθρο δεν θα έχετε προβλήματα σε αυτό το μέρος της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Σήμερα υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης τέτοιων δομών. Θα σας πούμε για τις απλούστερες, πιο αποτελεσματικές και πιο εφαρμόσιμες στην περίπτωση των εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει να ξεκινά με το απλούστερο παράδειγμα. Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις αποτελούνται από μια συνάρτηση και μια μεταβλητή σε αυτήν.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το x βρίσκεται μέσα στο όρισμα. Τα Α και β πρέπει να είναι αριθμοί. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε απλά να εκφράσετε τη συνάρτηση με όρους αριθμού σε δύναμη. Μοιάζει με αυτό.

Φυσικά, η επίλυση μιας λογαριθμικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση. Το πρόβλημα για τη συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών σε αυτή την περίπτωση είναι ότι δεν καταλαβαίνουν τι προέρχεται από πού. Ως αποτέλεσμα, πρέπει να υπομένετε τα λάθη και να μην πάρετε τους επιθυμητούς βαθμούς. Το πιο προσβλητικό λάθος θα είναι αν μπερδέψετε τα γράμματα. Για να λύσετε την εξίσωση με αυτόν τον τρόπο, πρέπει να απομνημονεύσετε αυτόν τον τυπικό σχολικό τύπο, επειδή είναι δύσκολο να τον κατανοήσετε.

Για να το κάνετε πιο εύκολο, μπορείτε να καταφύγετε σε μια άλλη μέθοδο - την κανονική μορφή. Η ιδέα είναι εξαιρετικά απλή. Στρέψτε ξανά την προσοχή σας στο πρόβλημα. Θυμηθείτε ότι το γράμμα a είναι αριθμός, όχι συνάρτηση ή μεταβλητή. Το Α δεν είναι ίσο με ένα και μεγαλύτερο από μηδέν. Δεν υπάρχουν περιορισμοί στο β. Τώρα, από όλους τους τύπους, ας θυμηθούμε έναν. Το Β μπορεί να εκφραστεί ως εξής.

Από αυτό προκύπτει ότι όλες οι αρχικές εξισώσεις με λογάριθμους μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή:

Τώρα μπορούμε να ρίξουμε τους λογάριθμους. Το αποτέλεσμα είναι ένα απλό σχέδιο, το οποίο έχουμε ήδη δει νωρίτερα.

Η ευκολία αυτής της φόρμουλας έγκειται στο γεγονός ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων, και όχι μόνο για τα πιο απλά σχέδια.

Μην ανησυχείτε για το OOF!

Πολλοί έμπειροι μαθηματικοί θα παρατηρήσουν ότι δεν έχουμε δώσει προσοχή στον τομέα του ορισμού. Ο κανόνας συνοψίζεται στο γεγονός ότι το F(x) είναι απαραίτητα μεγαλύτερο από 0. Όχι, δεν παραλείψαμε αυτό το σημείο. Τώρα μιλάμε για ένα άλλο σοβαρό πλεονέκτημα της κανονικής μορφής.

Δεν θα υπάρχουν επιπλέον ρίζες εδώ. Εάν μια μεταβλητή εμφανίζεται μόνο σε ένα μέρος, τότε δεν είναι απαραίτητο το πεδίο εφαρμογής. Γίνεται αυτόματα. Για να επαληθεύσετε αυτήν την κρίση, δοκιμάστε να λύσετε πολλά απλά παραδείγματα.

Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις

Αυτές είναι ήδη πολύπλοκες λογαριθμικές εξισώσεις και η προσέγγιση για την επίλυσή τους πρέπει να είναι ειδική. Εδώ σπάνια είναι δυνατόν να περιοριστούμε στην περιβόητη κανονική μορφή. Ας ξεκινήσουμε τη λεπτομερή ιστορία μας. Έχουμε την παρακάτω κατασκευή.

Δώστε προσοχή στο κλάσμα. Περιέχει τον λογάριθμο. Αν το δείτε σε μια εργασία, αξίζει να θυμηθείτε ένα ενδιαφέρον κόλπο.

Τι σημαίνει? Κάθε λογάριθμος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το πηλίκο δύο λογαρίθμων με μια βολική βάση. Και αυτός ο τύπος έχει μια ειδική περίπτωση που είναι εφαρμόσιμη με αυτό το παράδειγμα (εννοούμε αν c=b).

Αυτό ακριβώς είναι το κλάσμα που βλέπουμε στο παράδειγμά μας. Ετσι.

Ουσιαστικά, γυρίσαμε το κλάσμα και πήραμε μια πιο βολική έκφραση. Θυμηθείτε αυτόν τον αλγόριθμο!

Τώρα είναι απαραίτητο η λογαριθμική εξίσωση να μην περιέχει διαφορετικές βάσεις. Ας παραστήσουμε τη βάση ως κλάσμα.

Στα μαθηματικά υπάρχει ένας κανόνας βάσει του οποίου μπορείς να βγάλεις πτυχίο από μια βάση. Τα παρακάτω αποτελέσματα κατασκευής.

Φαίνεται ότι τι μας εμποδίζει να μετατρέψουμε τώρα την έκφρασή μας στην κανονική μορφή και απλώς να τη λύσουμε; Όχι τόσο απλό. Δεν πρέπει να υπάρχουν κλάσματα πριν από τον λογάριθμο. Ας φτιάξουμε αυτή την κατάσταση! Τα κλάσματα επιτρέπεται να χρησιμοποιούνται ως μοίρες.

Αντίστοιχα.

Εάν οι βάσεις είναι ίδιες, μπορούμε να αφαιρέσουμε τους λογάριθμους και να εξισώσουμε τις ίδιες τις παραστάσεις. Έτσι η κατάσταση θα γίνει πολύ πιο απλή από ό,τι ήταν. Αυτό που θα μείνει είναι μια στοιχειώδης εξίσωση που ο καθένας μας ήξερε να λύνει στην 8η ή και στην 7η δημοτικού. Μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούς μόνοι σας.

Έχουμε λάβει τη μόνη σωστή ρίζα αυτής της λογαριθμικής εξίσωσης. Τα παραδείγματα επίλυσης μιας λογαριθμικής εξίσωσης είναι αρκετά απλά, έτσι δεν είναι; Τώρα θα είστε σε θέση να αντιμετωπίσετε ανεξάρτητα ακόμη και τις πιο σύνθετες εργασίες για την προετοιμασία και τη μετάδοση της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Ποιο είναι το αποτέλεσμα;

Στην περίπτωση οποιωνδήποτε λογαριθμικών εξισώσεων, προχωράμε από έναν πολύ σημαντικό κανόνα. Είναι απαραίτητο να ενεργήσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να περιορίσουμε την έκφραση στην απλούστερη δυνατή μορφή. Σε αυτήν την περίπτωση, θα έχετε περισσότερες πιθανότητες όχι μόνο να λύσετε σωστά την εργασία, αλλά και να την κάνετε με τον απλούστερο και πιο λογικό δυνατό τρόπο. Έτσι ακριβώς δουλεύουν πάντα οι μαθηματικοί.

Δεν συνιστούμε ανεπιφύλακτα να αναζητήσετε δύσκολα μονοπάτια, ειδικά σε αυτή την περίπτωση. Θυμηθείτε μερικούς απλούς κανόνες που θα σας επιτρέψουν να μεταμορφώσετε οποιαδήποτε έκφραση. Για παράδειγμα, μειώστε δύο ή τρεις λογάριθμους στην ίδια βάση ή αντλήστε δύναμη από τη βάση και κερδίστε σε αυτό.

Αξίζει επίσης να θυμηθούμε ότι η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων απαιτεί συνεχή εξάσκηση. Σταδιακά θα προχωρήσετε σε όλο και πιο περίπλοκες δομές και αυτό θα σας οδηγήσει στην επίλυση όλων των παραλλαγών προβλημάτων στην Ενιαία Κρατική Εξέταση με σιγουριά. Προετοιμαστείτε πολύ νωρίτερα για τις εξετάσεις σας και καλή τύχη!

1. Η λύση είναι στάνταρ - ας χρησιμοποιήσουμε κανόνας πολλαπλασιασμού με 1:

Τώρα αφαιρούμε τους λογάριθμους:

Ας πολλαπλασιάσουμε σταυρωτά:

Εξέταση

Ταιριάζει!

Εξέταση

Και χωράει εδώ! Ίσως έκανα λάθος, και οι ρίζες είναι πάντα κατάλληλες; Ας δούμε το επόμενο παράδειγμα!

Παράδειγμα Νο. 2

Ας αναπαραστήσουμε το τριπλό χρησιμοποιώντας την αγαπημένη μας μέθοδο στη φόρμα

Αριστερά και δεξιά θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα των λογαρίθμων.

Παράδειγμα Νο. 3

Η λύση είναι παρόμοια με το παράδειγμα που συζητήθηκε προηγουμένως: Ας μετατρέψουμε τη μονάδα στα δεξιά σε (επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι - έναν δεκαδικό λογάριθμο ή έναν λογάριθμο στη βάση) και να εκτελέσουμε πράξεις μεταξύ των λογαρίθμων στα αριστερά και στα δεξιά:

Τώρα ας αφαιρέσουμε τους λογάριθμους αριστερά και δεξιά:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

Εξέταση:

Και πάλι, και οι δύο λογάριθμοι στα αριστερά είναι απροσδιόριστοι, αφού προέρχονται από αρνητικούς αριθμούς. Τότε δεν είναι ρίζα.

από τότε

Απάντηση:

Ελπίζω ότι τα παραδείγματα που μόλις αναφέρθηκαν θα σας απογαλακτίσουν για πάντα από το να παραλείπετε ελέγχους κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. Είναι απαραίτητο!

Λογαριθμική εξίσωση με μεταβλητή βάση

Τώρα θα ήθελα να εξετάσω μαζί σας έναν άλλο (λίγο πιο σύνθετο) τύπο λογαριθμικών εξισώσεων. Αυτά θα είναι εξισώσεις με μεταβλητή βάση.

Πριν από αυτό, εξετάσαμε μόνο περιπτώσεις όπου οι βάσεις ήταν σταθερές: κ.λπ. Αλλά τίποτα δεν τις εμποδίζει να είναι κάποιες συναρτήσεις, για παράδειγμα, κ.λπ.

Αλλά μη φοβάσαι! Εάν, κατά την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων, μια μεταβλητή βάση προκαλεί αρκετά μεγάλη ταλαιπωρία, τότε Αυτό ουσιαστικά δεν έχει καμία επίδραση στην πολυπλοκότητα της επίλυσης της εξίσωσης!Κρίνετε μόνοι σας:

Παράδειγμα Νο. 1

Συνεχίζουμε όπως πριν: εφαρμόστε τη μέθοδο "πολλαπλασιάστε με ένα" στον αριθμό:

Στη συνέχεια, η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή:

θα κάνω αίτηση τύπος τετραγωνικής διαφοράς:

Εξέταση:

Τι συμπέρασμα βγάζουμε; Λανθασμένος! Ο αριθμός δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης γιατί η βάση του λογαρίθμου δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός ή ίση με ένα!

Απάντηση: .

Όπως μπορείτε να δείτε, στην περίπτωση των εξισώσεων δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά αν οι βάσεις μας είναι μεταβλητές ή όχι. Από αυτή την άποψη, μπορούμε να πούμε ότι αποφασίζει λογαριθμική εξίσωσησυνήθως πολύ πιο εύκολο από την επίλυση μιας λογαριθμικής ανισότητας!

Ας προσπαθήσουμε τώρα να λύσουμε ένα άλλο «περίεργο» παράδειγμα.

Παράδειγμα Νο. 2

Θα ενεργήσουμε όπως πάντα - θα μετατρέψουμε τη δεξιά πλευρά σε λογάριθμο, όπως αυτό το δύσκολο:

Τότε η αρχική λογαριθμική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με αυτήν την εξίσωση (αν και πάλι λογαριθμική)

Θα λύσω ξανά αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη διαφορά των τετραγώνων:

Ας λύσουμε πρώτα το πρώτο, το δεύτερο θα λυθεί περίπου με τον ίδιο τρόπο:

Θα χρησιμοποιηθεί ξανά "πολλαπλασιάζοντας επί 1":

Ομοίως για τη δεύτερη εξίσωση:

Τώρα έρχεται το διασκεδαστικό μέρος: η επαλήθευση. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη ρίζα

Η βάση του «μεγάλου» λογάριθμου είναι ίση με

Επομένως δεν είναι ρίζα.

Ας ελέγξουμε τον δεύτερο αριθμό:

αυτός ο αριθμός είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση:

Έδωσα εσκεμμένα ένα μάλλον περίπλοκο παράδειγμα για να σας δείξω ότι δεν πρέπει να φοβάστε τους μεγάλους και τρομακτικούς λογάριθμους.

Αρκεί να γνωρίζετε μερικούς τύπους (που σας έχω ήδη δώσει παραπάνω) και μπορείς να βρεις διέξοδο από κάθε (σχεδόν) κατάσταση!

Λοιπόν, σας έδωσα τις βασικές μεθόδους για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων (μέθοδοι "χωρίς περιττές"), οι οποίες θα σας επιτρέψουν να αντιμετωπίσετε τα περισσότερα παραδείγματα (κυρίως στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους).

Τώρα είναι η ώρα σας να δείξετε τι έχετε μάθει. Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω λογαριθμικές εξισώσεις, και στη συνέχεια θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα μαζί σας.

Επτά παραδείγματα για ανεξάρτητη εργασία

Οι τεχνικές που συζητούνται σε αυτή την εργασία, φυσικά, δεν εξαντλούν όλους τους πιθανούς τρόπους επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, πρέπει να γίνουμε πραγματικά δημιουργικοί για να βρούμε έναν τρόπο να βρούμε τις ρίζες μιας δύσκολης εξίσωσης.

Ωστόσο, όσο σύνθετη κι αν είναι η αρχική εξίσωση, ως αποτέλεσμα θα αναχθεί σε μια εξίσωση του τύπου που μόλις μάθαμε να λύνουμε εσείς και εγώ!

Απαντήσεις σε παραδείγματα για ανεξάρτητη εργασία

1. Μια αρκετά απλή εργασία: ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα:

στο υπόγειο:

Τότε παίρνουμε:

Ας ελέγξουμε:

(Σας εξήγησα ήδη αυτή τη μετάβαση παραπάνω)

Απάντηση: 9

2. Επίσης τίποτα υπερφυσικό: Δεν θέλω να διαιρέσω, οπότε θα μετακινήσω τον όρο με το «μείον» προς τα δεξιά: τώρα έχω δεκαδικούς λογάριθμους στα αριστερά και στα δεξιά και τους ξεφορτώνομαι:

Ελέγχω:

η έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου δεν μπορεί να είναι αρνητική, επομένως ο αριθμός δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Εξέταση

Απάντηση:

Εδώ πρέπει να κάνουμε λίγη δουλειά: είναι σαφές ότι θα χρησιμοποιήσω ξανά τον τύπο (δεν είναι πολύ χρήσιμος;):

Τι πρέπει να κάνω πριν εφαρμόσω τον τύπο πρόσθεσης λογαρίθμου; Ναι, πρέπει να απαλλαγώ από τον πολλαπλασιαστή. Υπάρχουν δύο τρόποι: ο πρώτος είναι να τον εισάγετε απευθείας σε έναν λογάριθμο χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Κατ 'αρχήν, αυτή η μέθοδος έχει το δικαίωμα να υπάρχει, αλλά τι κακό έχει; Είναι κακό να ασχολούμαστε με μια έκφραση της φόρμας (ένας "μη ακέραιος βαθμός" είναι πάντα δυσάρεστος. Τι άλλο μπορούμε να κάνουμε; Πώς μπορούμε να απαλλαγούμε από έναν τέτοιο "μη ακέραιο βαθμό"; Ας πολλαπλασιάσουμε με την εξίσωσή μας:

Λοιπόν, τώρα ας βάλουμε και τους δύο παράγοντες σε λογάριθμους:

τότε θα αντικαταστήσω το μηδέν με

Και τελικά παίρνω:

Θυμάστε πώς λέγεται αυτή η «μη αγαπημένη» σχολική συνταγή; Αυτό διαφορά κύβου!Ίσως αυτό είναι πιο ξεκάθαρο;

Να σας υπενθυμίσω ότι η διαφορά των κύβων παραγοντοποιείται ως εξής:

και ιδού άλλο ένα για παν ενδεχόμενο:

Σε σχέση με την κατάστασή μας, αυτό θα δώσει:

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζα, αλλά η δεύτερη δεν έχει ρίζες (δείτε μόνοι σας!).

Θα το αφήσω σε εσάς να ελέγξετε μόνοι σας και να βεβαιωθείτε ότι ο αριθμός είναι στην πραγματικότητα η ρίζα της εξίσωσής μας.

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ξαναγράφουμε

Και πάλι, δεν θέλω αφαιρέσεις (και επακόλουθες διαιρέσεις) και επομένως θα μετακινήσω την έκφραση που προκύπτει στα δεξιά:

Τώρα αφαιρώ τους λογάριθμους αριστερά και δεξιά:

Έχουμε μια παράλογη εξίσωση, την οποία ελπίζω να γνωρίζετε ήδη πώς να λύσετε. Να σας υπενθυμίσω μόνο ότι τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές:

Το καθήκον σας τώρα είναι να βεβαιωθείτε ότι δεν είναι ρίζα, αλλά είναι.

Απάντηση:

Όλα είναι διαφανή: εφαρμόζουμε τον τύπο για το άθροισμα των λογαρίθμων στα αριστερά:

τότε αφαιρούμε τους λογάριθμους και από τις δύο πλευρές:

Εξέταση:

Απάντηση: ;

Όλα δεν θα μπορούσαν να είναι πιο απλά: η εξίσωση έχει ήδη μειωθεί στην απλούστερη μορφή της. Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να ισοφαρίσουμε

Ας ελέγξουμε:

Όταν όμως η βάση των λογαρίθμων είναι ίση με:

Και δεν είναι ρίζα.

Απάντηση:

Άφησα αυτό το παράδειγμα για επιδόρπιο. Αν και δεν υπάρχει τίποτα πολύ περίπλοκο σε αυτό.

Ας φανταστούμε το μηδέν ως

Τότε εσύ κι εγώ θα το πάρουμε αυτό λογαριθμική εξίσωση:

Και αφαιρούμε το πρώτο "δέρμα" - εξωτερικούς λογάριθμους.

Ας αναπαραστήσουμε τη μονάδα ως

Τότε η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή:

Τώρα αφαιρούμε το "δεύτερο δέρμα" και φτάνουμε στον πυρήνα:

Ας ελέγξουμε:

Απάντηση: .

3 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τώρα, αφού διαβάσατε το πρώτο άρθρο σχετικά με τις λογαριθμικές εξισώσεις, έχετε κατακτήσει την απαραίτητη ελάχιστη γνώση που είναι απαραίτητη για την επίλυση των απλούστερων παραδειγμάτων.

Τώρα μπορώ να προχωρήσω στην ανάλυση λίγων ακόμα τρεις μεθόδουςεπίλυση λογαριθμικών εξισώσεων:

• μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής (ή αντικατάστασης)
• λογαριθμική μέθοδος
• μέθοδος μετάβασης σε νέα βάση.

Πρώτη μέθοδος- ένα από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα στην πράξη. Επιλύει τα πιο «δύσκολα» προβλήματα που σχετίζονται με την επίλυση λογαριθμικών (και όχι μόνο) εξισώσεων.

Δεύτερη μέθοδοςχρησιμεύει για την επίλυση μικτών εκθετικών-λογαριθμικών εξισώσεων, μειώνοντας τελικά το πρόβλημα στην επιλογή μιας καλής μεταβλητής αντικατάστασης (δηλαδή στην πρώτη μέθοδο).

Τρίτη μέθοδοςκατάλληλο για την επίλυση ορισμένων εξισώσεων στις οποίες εμφανίζονται λογάριθμοι με διαφορετικές βάσεις.

Θα ξεκινήσω εξετάζοντας την πρώτη μέθοδο.

Μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής (4 παραδείγματα)

Όπως καταλάβατε ήδη από το όνομα, η ουσία αυτής της μεθόδου είναι να εισαγάγετε μια τέτοια αλλαγή μεταβλητής που η λογαριθμική σας εξίσωση θα μετατραπεί ως εκ θαύματος σε μια που μπορείτε να λύσετε εύκολα.

Το μόνο που μένει για εσάς μετά την επίλυση αυτής της πολύ «απλοποιημένης εξίσωσης» είναι να κάνετε "αντίστροφη αντικατάσταση": δηλαδή να επιστρέψει από το αντικαταστάθηκε στο αντικαταστάθηκε.

Ας δείξουμε αυτό που μόλις είπαμε με ένα πολύ απλό παράδειγμα:

Σε αυτό το παράδειγμα, η αντικατάσταση προτείνεται από μόνη της! Εξάλλου, είναι σαφές ότι αν αντικαταστήσουμε με, τότε η λογαριθμική μας εξίσωση θα μετατραπεί σε ορθολογική:

Μπορείτε να το λύσετε εύκολα μειώνοντάς το σε τετράγωνο:

(ώστε ο παρονομαστής να μην μηδενιστεί κατά λάθος!)

Απλοποιώντας την προκύπτουσα έκφραση, τελικά παίρνουμε:

Τώρα κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση: , τότε προκύπτει από αυτό, και από παίρνουμε

Τώρα, όπως και πριν, ήρθε η ώρα να ελέγξετε:

Ας είναι στην αρχή, γιατί τότε είναι αλήθεια!

Τώρα, λοιπόν, όλα είναι σωστά!

Έτσι, οι αριθμοί είναι οι ρίζες της αρχικής μας εξίσωσης.

Απάντηση: .

Ακολουθεί ένα άλλο παράδειγμα με προφανή αντικατάσταση:

Στην πραγματικότητα, ας το αντικαταστήσουμε αμέσως

τότε η αρχική μας λογαριθμική εξίσωση θα μετατραπεί σε τετραγωνική:

Αντίστροφη αντικατάσταση:

Ελέγξτε το μόνοι σας, βεβαιωθείτε ότι σε αυτήν την περίπτωση και οι δύο αριθμοί που βρήκαμε είναι ρίζες.

Νομίζω ότι κατάλαβες την κύρια ιδέα. Δεν είναι νέο και δεν ισχύει μόνο για λογαριθμικές εξισώσεις.

Ένα άλλο πράγμα είναι ότι μερικές φορές είναι αρκετά δύσκολο να "δούμε" αμέσως την αντικατάσταση. Αυτό απαιτεί κάποια εμπειρία, η οποία θα έρθει σε εσάς μετά από κάποια προσπάθεια από μέρους σας.

Εν τω μεταξύ, εξασκηθείτε στην επίλυση των παρακάτω παραδειγμάτων:

Ετοιμος? Ας ελέγξουμε τι έχετε:

Ας λύσουμε πρώτα το δεύτερο παράδειγμα.

Απλώς σας αποδεικνύει ότι δεν είναι πάντα δυνατό να κάνετε αντικατάσταση, όπως λένε, "κατά μέτωπο".

Αρχικά, πρέπει να μεταμορφώσουμε λίγο την εξίσωσή μας: να εφαρμόσουμε τον τύπο για τη διαφορά των λογαρίθμων στον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να πάρουμε τη δύναμη στον αριθμητή του δεύτερου.

Κάνοντας αυτό, θα λάβετε:

Τώρα η αντικατάσταση έχει γίνει εμφανής, έτσι δεν είναι; Ας το φτιάξουμε: .

Τώρα ας φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και ας απλοποιήσουμε.

Τότε παίρνουμε:

Έχοντας λύσει την τελευταία εξίσωση, θα βρείτε τις ρίζες της: πού.

Κάντε τον έλεγχο μόνοι σας και βεβαιωθείτε ότι αυτές είναι όντως οι ρίζες της αρχικής μας εξίσωσης.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την τρίτη εξίσωση.

Λοιπόν, πρώτα απ 'όλα, είναι σαφές ότι δεν θα μας βλάψει να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με. Δεν υπάρχει κανένα κακό, αλλά τα οφέλη είναι προφανή.

Τώρα ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Μαντέψατε τι θα αντικαταστήσουμε, σωστά; Έτσι είναι, ας πούμε. Τότε η εξίσωσή μας θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

(μας ταιριάζουν και οι δύο ρίζες!)

Τώρα η αντίστροφη αντικατάσταση: , από, από. Η αρχική μας εξίσωση έχει τέσσερις ρίζες! Βεβαιωθείτε για αυτό, ας αντικαταστήσουμε τις λαμβανόμενες τιμές στην εξίσωση. Γράφουμε την απάντηση:

Απάντηση: .

Νομίζω ότι τώρα σας είναι απολύτως ξεκάθαρη η ιδέα της αντικατάστασης μιας μεταβλητής; Εντάξει, τότε ας μην σταματήσουμε εκεί και ας προχωρήσουμε σε μια άλλη μέθοδο επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων: μέθοδος μετάβασης σε νέα βάση.

Τρόπος μετάβασης σε νέα βάση

Ας εξετάσουμε την ακόλουθη εξίσωση:

Τι βλέπουμε; Οι δύο λογάριθμοι υποτίθεται ότι είναι «απέναντι» μεταξύ τους. Τι πρέπει να κάνουμε? Όλα είναι εύκολα: πρέπει απλώς να καταφύγουμε σε έναν από τους δύο τύπους:

Κατ 'αρχήν, τίποτα δεν με εμποδίζει να χρησιμοποιήσω κανέναν από αυτούς τους δύο τύπους, αλλά λόγω της δομής της εξίσωσης, θα είναι πιο βολικό για μένα να χρησιμοποιήσω τον πρώτο: θα απαλλαγώ από τη μεταβλητή βάση του λογάριθμου στον δεύτερο όρο αντικαθιστώντας το με. Τώρα είναι εύκολο να δει κανείς ότι η εργασία έχει μειωθεί στην προηγούμενη: επιλογή αντικαταστάτη. Αντικαθιστώντας, παίρνω την ακόλουθη εξίσωση:

Από εδώ. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να αντικαταστήσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση και να βεβαιωθείτε ότι στην πραγματικότητα είναι ρίζες.

Ακολουθεί ένα άλλο παράδειγμα όπου είναι λογικό να μεταβείτε σε ένα νέο ίδρυμα:

Ωστόσο, όπως μπορείτε εύκολα να ελέγξετε, εάν εσείς και εγώ μετακομίσουμε σε μια νέα βάση αμέσως, αυτό δεν θα δώσει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Τι πρέπει να κάνουμε σε αυτή την περίπτωση; Ας απλοποιήσουμε τα πάντα όσο το δυνατόν περισσότερο, και μετά ό,τι γίνει.
Αυτό που θέλω να κάνω λοιπόν είναι να φανταστώ πώς, πώς να αφαιρέσω αυτές τις δυνάμεις μπροστά από τους λογάριθμους και επίσης να βγάλω το τετράγωνο του Χ στον πρώτο λογάριθμο. Θα δούμε αργότερα.

Θυμηθείτε, μπορεί να είναι πολύ πιο δύσκολο να κάνετε φίλους με τη βάση παρά με την έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου!

Ακολουθώντας αυτόν τον κανόνα, θα αντικαταστήσω με και με. Τότε θα πάρω:

Λοιπόν, τα επόμενα βήματα είναι ήδη γνωστά σε εσάς. Αντικαταστήστε και ψάξτε για ρίζες!

Ως αποτέλεσμα, θα βρείτε δύο ρίζες της αρχικής εξίσωσης:

Ήρθε η ώρα να σας δείξουμε τι έχετε μάθει!

Προσπαθήστε πρώτα να λύσετε μόνοι σας τα ακόλουθα (όχι τα πιο εύκολα) παραδείγματα:

1. Όλα εδώ είναι αρκετά τυπικά: Θα προσπαθήσω να μειώσω την αρχική μου εξίσωση έτσι ώστε η αντικατάσταση να είναι βολική. Τι χρειάζομαι για αυτό; Πρώτα, μετασχηματίστε την πρώτη έκφραση στα αριστερά (αφαιρέστε την τέταρτη δύναμη του δύο πριν από τον λογάριθμο) και αφαιρέστε τη δύναμη του δύο από τη βάση του δεύτερου λογάριθμου. Τότε θα πάρω:

Το μόνο που μένει είναι να «αναποδογυρίσουμε» τον πρώτο λογάριθμο!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(για ευκολία, μετακίνησα τον δεύτερο λογάριθμο από την αριστερή στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης)

Το πρόβλημα έχει σχεδόν λυθεί: μπορείτε να κάνετε μια αντικατάσταση. Μετά την αναγωγή σε κοινό παρονομαστή, έχω την ακόλουθη εξίσωση:

Έχοντας κάνει την αντίστροφη αντικατάσταση, δεν θα σας είναι δύσκολο να υπολογίσετε ότι:

Βεβαιωθείτε ότι οι τιμές που λαμβάνονται είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

2. Εδώ θα προσπαθήσω επίσης να «ταιριάξω» την εξίσωσή μου σε μια αποδεκτή αντικατάσταση. Ποιό απ'όλα? Ίσως μου ταιριάζει.

Ας μη χάνουμε λοιπόν χρόνο και ας αρχίσουμε να μεταμορφωνόμαστε!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Λοιπόν, τώρα μπορείτε να το αντικαταστήσετε με ασφάλεια! Στη συνέχεια, σε σχέση με τη νέα μεταβλητή, παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση:

Οπου. Και πάλι, το να βεβαιωθείτε ότι και οι δύο αυτοί αριθμοί είναι στην πραγματικότητα ρίζες, αφήνεται σε εσάς ως άσκηση.

3. Εδώ δεν είναι καν αμέσως προφανές τι θα αντικαταστήσουμε. Υπάρχει ένας χρυσός κανόνας - Αν δεν ξέρεις τι να κάνεις, κάνε ό,τι μπορείς!Αυτό θα χρησιμοποιήσω!

Τώρα θα «αναποδογυρίσω» όλους τους λογάριθμους και θα εφαρμόσω τον τύπο του λογάριθμου διαφοράς στον πρώτο και τον λογάριθμο αθροίσματος στους δύο τελευταίους:

Εδώ χρησιμοποίησα επίσης το γεγονός ότι (at) και την ιδιότητα να βγάζεις δύναμη από έναν λογάριθμο. Λοιπόν, τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε μια κατάλληλη αντικατάσταση: . Είμαι βέβαιος ότι ξέρετε ήδη πώς να λύσετε ορθολογικές εξισώσεις, ακόμα και αυτού του τερατώδους τύπου. Επομένως, θα επιτρέψω στον εαυτό μου να γράψω αμέσως το αποτέλεσμα:

Μένει να λύσουμε δύο εξισώσεις: . Έχετε ήδη εξοικειωθεί με τις μεθόδους για την επίλυση τέτοιων «σχεδόν απλούστερων» εξισώσεων στην προηγούμενη ενότητα. Θα γράψω λοιπόν αμέσως τις τελικές λύσεις:

Βεβαιωθείτε ότι μόνο δύο από αυτούς τους αριθμούς είναι οι ρίζες της εξίσωσής μου! Δηλαδή, είναι και, ενώ δεν είναι ρίζα!

Αυτό το παράδειγμα είναι λίγο πιο δύσκολο, ωστόσο, θα προσπαθήσω να το λύσω χωρίς να καταφύγω σε αντικατάσταση μεταβλητών! Ας το κάνουμε ξανά, ας κάνουμε ό,τι μπορούμε: πρώτον, μπορούμε να επεκτείνουμε τον λογάριθμο στα αριστερά σύμφωνα με τον τύπο για τον λογάριθμο μιας αναλογίας και επίσης να βάλουμε τα δύο μπροστά από τον λογάριθμο σε παρένθεση. Στο τέλος θα πάρω:

Λοιπόν, τώρα η ίδια φόρμουλα που έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει! Λοιπόν, ας κοντύνουμε τη δεξιά πλευρά! Τώρα υπάρχει μόνο ένα δίδυμο εκεί! Ας μετακινήσουμε ένα σε αυτό από αριστερά και τελικά παίρνουμε:

Ξέρετε ήδη πώς να λύσετε τέτοιες εξισώσεις. Η ρίζα βρίσκεται χωρίς δυσκολία, και είναι ίση. Σας υπενθυμίζω να ελέγξετε!

Λοιπόν, τώρα, όπως ελπίζω, μάθατε να επιλύετε αρκετά περίπλοκα προβλήματα που δεν μπορείτε να ξεπεράσετε "κατά μέτωπο"! Αλλά οι λογαριθμικές εξισώσεις μπορεί να είναι ακόμα πιο ύπουλες! Να μερικά παραδείγματα:

Εδώ, δυστυχώς, η προηγούμενη λύση δεν θα δώσει απτά αποτελέσματα. Πώς νομίζεις γιατί; Ναι, δεν υπάρχει πλέον καμία «αμοιβαιότητα» λογαρίθμων εδώ. Αυτή η πιο γενική περίπτωση, φυσικά, μπορεί επίσης να λυθεί, αλλά χρησιμοποιούμε ήδη τον ακόλουθο τύπο:

Αυτή η φόρμουλα δεν ενδιαφέρεται αν έχετε το «αντίθετο» ή όχι. Ίσως ρωτήσετε, γιατί να επιλέξετε μια βάση; Η απάντησή μου είναι ότι δεν πειράζει. Η απάντηση τελικά δεν θα εξαρτηθεί από αυτό. Παραδοσιακά, χρησιμοποιείται είτε ο φυσικός είτε ο δεκαδικός λογάριθμος. Αν και αυτό δεν είναι σημαντικό. Για παράδειγμα, θα χρησιμοποιήσω δεκαδικό:

Το να αφήνεις μια απάντηση σε αυτή τη φόρμα είναι απόλυτη ντροπή! Επιτρέψτε μου πρώτα να το σημειώσω εξ ορισμού αυτό

Τώρα ήρθε η ώρα να χρησιμοποιήσετε: μέσα στις αγκύλες - την κύρια λογαριθμική ταυτότητα, και έξω (στο βαθμό) - μετατρέψτε την αναλογία σε έναν λογάριθμο: τότε επιτέλους έχουμε αυτό το "παράξενο" απάντηση: .

Περαιτέρω απλοποιήσεις, δυστυχώς, δεν είναι πλέον διαθέσιμες σε εμάς.

Ας ελέγξουμε μαζί:

Σωστά! Παρεμπιπτόντως, θυμηθείτε για άλλη μια φορά από τι προκύπτει η προτελευταία ισότητα στην αλυσίδα!

Κατ 'αρχήν, η λύση σε αυτό το παράδειγμα μπορεί επίσης να περιοριστεί στη μετάβαση σε έναν λογάριθμο που βασίζεται σε μια νέα βάση, αλλά θα πρέπει ήδη να φοβάστε τι θα συμβεί στο τέλος. Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε κάτι πιο λογικό: μεταμορφώστε την αριστερή πλευρά όσο το δυνατόν καλύτερα.

Παρεμπιπτόντως, πώς νομίζεις ότι πήρα την τελευταία αποσύνθεση; Σωστά, εφάρμοσα το θεώρημα σχετικά με την παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου, δηλαδή:

Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης, τότε:

Λοιπόν, τώρα θα ξαναγράψω την αρχική μου εξίσωση με αυτή τη μορφή:

Αλλά είμαστε αρκετά ικανοί να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα!

Λοιπόν, ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση.

Τότε η αρχική μου εξίσωση θα έχει αυτή την απλή μορφή:

Οι ρίζες του είναι ίσες με: , τότε

Από πού προέρχεται αυτή η εξίσωση; δεν έχει ρίζες.

Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να ελέγξετε!

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας την παρακάτω εξίσωση. Πάρτε το χρόνο σας και να είστε προσεκτικοί, τότε η τύχη θα είναι με το μέρος σας!

Ετοιμος? Ας δούμε τι έχουμε.

Στην πραγματικότητα, το παράδειγμα λύνεται σε δύο βήματα:

1. Μεταμόρφωση

2. τώρα στα δεξιά έχω μια έκφραση που ισούται με

Έτσι, η αρχική εξίσωση περιορίστηκε στην απλούστερη:

Η δοκιμή δείχνει ότι αυτός ο αριθμός είναι πράγματι η ρίζα της εξίσωσης.

Μέθοδος λογάριθμου

Και τέλος, θα συζητήσω πολύ σύντομα τις μεθόδους επίλυσης κάποιων μικτών εξισώσεων. Φυσικά, δεν αναλαμβάνω να καλύψω όλες τις μικτές εξισώσεις, αλλά θα δείξω μεθόδους για την επίλυση των απλούστερων.

Για παράδειγμα,

Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του λογάριθμου. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να πάρετε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών.

Είναι σαφές ότι εφόσον έχουμε ήδη έναν λογάριθμο στη βάση, θα πάρω τον λογάριθμο στην ίδια βάση:

Τώρα θα αφαιρέσω τη δύναμη από την έκφραση στα αριστερά:

και παραγοντοποιήστε την παράσταση χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:

Ο έλεγχος, όπως πάντα, είναι στη συνείδησή σας.

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας το τελευταίο παράδειγμα σε αυτό το άρθρο!

Ας ελέγξουμε: πάρτε τον λογάριθμο στη βάση και των δύο πλευρών της εξίσωσης:

Βγάζω τον βαθμό στα αριστερά και τον χωρίζω χρησιμοποιώντας τον τύπο αθροίσματος στα δεξιά:

Μαντεύουμε μια από τις ρίζες: είναι ρίζα.

Στο άρθρο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, μίλησα για το πώς να διαιρέσω ένα πολυώνυμο με μια "γωνία" με ένα άλλο.

Εδώ πρέπει να διαιρέσουμε με.

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

Εάν είναι δυνατόν, κάντε τον έλεγχο μόνοι σας (αν και σε αυτή την περίπτωση, ειδικά με τις δύο τελευταίες ρίζες, δεν θα είναι εύκολο).

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΟΥΠΕΡ ΕΠΙΠΕΔΟ

Εκτός από το υλικό που έχει ήδη παρουσιαστεί, προτείνω να εξετάσουμε εσείς και εγώ έναν άλλο τρόπο επίλυσης μικτών εξισώσεων που περιέχουν λογάριθμους, αλλά εδώ θα εξετάσω εξισώσεις που δεν μπορεί να λυθεί με την προηγουμένως συζητηθείσα μέθοδο λήψης λογαρίθμων και των δύο πλευρών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται mini-max.

Μέθοδος mini-max

Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται όχι μόνο στην επίλυση μικτών εξισώσεων, αλλά αποδεικνύεται επίσης χρήσιμη κατά την επίλυση ορισμένων ανισοτήτων.

Έτσι, πρώτα εισάγουμε τους ακόλουθους βασικούς ορισμούς που είναι απαραίτητοι για την εφαρμογή της μεθόδου mini-max.

Οι απλές εικόνες απεικονίζουν αυτούς τους ορισμούς:

Η συνάρτηση στο σχήμα στα αριστερά είναι μονότονα αύξουσα και στα δεξιά μονότονα φθίνουσα. Τώρα ας στραφούμε στη λογαριθμική συνάρτηση, είναι γνωστό ότι ισχύει το εξής:

Το σχήμα δείχνει παραδείγματα μονοτονικά αυξανόμενης και μονότονα φθίνουσας λογαριθμικής συνάρτησης.

Ας το περιγράψουμε ευθέως μέθοδος mini-max. Νομίζω ότι καταλαβαίνεις από ποιες λέξεις προέρχεται αυτό το όνομα;

Σωστά, από τις λέξεις ελάχιστο και μέγιστο. Συνοπτικά, η μέθοδος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Ο πιο σημαντικός στόχος μας είναι να βρούμε αυτήν την πολύ σταθερή για να μειώσουμε περαιτέρω την εξίσωση σε δύο απλούστερες.

Για το σκοπό αυτό, οι ιδιότητες μονοτονίας της λογαριθμικής συνάρτησης που διατυπώθηκαν παραπάνω μπορούν να είναι χρήσιμες.

Ας δούμε τώρα συγκεκριμένα παραδείγματα:

1. Ας δούμε πρώτα την αριστερή πλευρά.

Υπάρχει λογάριθμος με βάση μικρότερη. Σύμφωνα με το θεώρημα που διατυπώθηκε παραπάνω, ποια είναι η συνάρτηση; Μειώνεται. Ταυτόχρονα, που σημαίνει . Από την άλλη, εξ ορισμού ρίζας: . Έτσι, η σταθερά βρίσκεται και ίση. Τότε η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες και η δεύτερη: . Έτσι, η κοινή ρίζα είναι ίση και αυτή η ρίζα θα είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Για κάθε ενδεχόμενο, κάντε έναν έλεγχο για να βεβαιωθείτε.

Απάντηση:

Ας σκεφτούμε αμέσως τι γράφεται εδώ;

Εννοώ τη γενική δομή. Εδώ λέει ότι το άθροισμα δύο τετραγώνων είναι μηδέν.

Πότε είναι δυνατόν;

Μόνο όταν και οι δύο αυτοί αριθμοί είναι ατομικά ίσοι με μηδέν. Στη συνέχεια, ας προχωρήσουμε στο ακόλουθο σύστημα:

Η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση δεν έχουν κοινές ρίζες, τότε η αρχική εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση: χωρίς λύσεις.

Ας δούμε πρώτα τη δεξιά πλευρά - είναι πιο απλό. Εξ ορισμού του ημιτονοειδούς:

Από πού, και μετά Επομένως

Τώρα ας επιστρέψουμε στην αριστερή πλευρά: εξετάστε την έκφραση κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου:

Η προσπάθεια εύρεσης των ριζών μιας εξίσωσης δεν θα οδηγήσει σε θετικό αποτέλεσμα. Ωστόσο, πρέπει να αξιολογήσω με κάποιο τρόπο αυτήν την έκφραση. Φυσικά, γνωρίζετε μια μέθοδο όπως επιλέγοντας ένα πλήρες τετράγωνο. Θα το χρησιμοποιήσω εδώ.

Δεδομένου ότι είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση, προκύπτει ότι. Ετσι,

Τότε η αρχική μας εξίσωση είναι ισοδύναμη με το ακόλουθο σύστημα:

Δεν ξέρω αν είστε εξοικειωμένοι ή όχι με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, οπότε θα κάνω το εξής: Θα λύσω την πρώτη εξίσωση (έχει το πολύ δύο ρίζες) και μετά θα αντικαταστήσω το αποτέλεσμα με το δεύτερο:

(μπορείτε να ελέγξετε και να βεβαιωθείτε ότι αυτός ο αριθμός είναι η ρίζα της πρώτης εξίσωσης του συστήματος)

Τώρα θα το αντικαταστήσω στη δεύτερη εξίσωση:

Απάντηση:

Λοιπόν, τώρα σας έγινε ξεκάθαρη η τεχνική της χρήσης της μεθόδου mini-max; Στη συνέχεια, προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας το παρακάτω παράδειγμα.

Ετοιμος? Ας ελέγξουμε:

Η αριστερή πλευρά είναι το άθροισμα δύο μη αρνητικών μεγεθών (μονάδα και συντελεστής) και επομένως η αριστερή πλευρά δεν είναι μικρότερη από μία και ισούται με ένα μόνο όταν

Ταυτόχρονα, η δεξιά πλευρά είναι ο συντελεστής (που σημαίνει μεγαλύτερο από το μηδέν) του γινομένου δύο συνημιτόνων (που σημαίνει όχι περισσότερο από ένα), τότε:

Τότε η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

Και πάλι προτείνω να λύσουμε την πρώτη εξίσωση και να αντικαταστήσουμε το αποτέλεσμα με τη δεύτερη:

Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Τότε η αρχική εξίσωση επίσης δεν έχει ρίζες.

Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις.

ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ. 6 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Λογαριθμική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι άγνωστες μεταβλητές βρίσκονται εντός λογαρίθμων.

Η απλούστερη λογαριθμική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής.

Η διαδικασία επίλυσης οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσης καταλήγει στη μείωση της λογαριθμικής εξίσωσης στη μορφή , και στη μετάβαση από μια εξίσωση με λογάριθμους σε μια εξίσωση χωρίς αυτούς: .

ODZγια μια λογαριθμική εξίσωση:

Βασικές μέθοδοι επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων:

1 μέθοδος.Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου:

Μέθοδος 2.Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογάριθμου:

Μέθοδος 3.Εισαγωγή νέας μεταβλητής (αντικατάσταση):

• η αντικατάσταση μας επιτρέπει να ανάγουμε τη λογαριθμική εξίσωση σε μια απλούστερη αλγεβρική εξίσωση για το t.

Μέθοδος 4Μετάβαση σε νέα βάση:

5 μέθοδος.Λογάριθμος:

• πάρτε τον λογάριθμο της δεξιάς και της αριστερής πλευράς της εξίσωσης.

6 μέθοδος. Mini-max:

Τώρα θέλουμε να σας ακούσουμε...

Προσπαθήσαμε να γράψουμε όσο το δυνατόν πιο απλά και διεξοδικά για τις λογαριθμικές εξισώσεις.

Τωρα ειναι η σειρα σου!

Γράψτε πώς βαθμολογείτε το άρθρο μας; Σου άρεσε;

Ίσως γνωρίζετε ήδη πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις;

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε για αυτό στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Η προετοιμασία για το τελικό τεστ στα μαθηματικά περιλαμβάνει μια σημαντική ενότητα - "Λογάριθμοι". Τα καθήκοντα από αυτό το θέμα περιέχονται απαραίτητα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Η εμπειρία από τα προηγούμενα χρόνια δείχνει ότι οι λογαριθμικές εξισώσεις προκάλεσαν δυσκολίες σε πολλούς μαθητές. Επομένως, οι μαθητές με διαφορετικά επίπεδα εκπαίδευσης πρέπει να κατανοήσουν πώς να βρουν τη σωστή απάντηση και να τις αντιμετωπίσουν γρήγορα.

Περάστε με επιτυχία το τεστ πιστοποίησης χρησιμοποιώντας την εκπαιδευτική πύλη Shkolkovo!

Κατά την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, οι απόφοιτοι λυκείου χρειάζονται μια αξιόπιστη πηγή που παρέχει τις πιο ολοκληρωμένες και ακριβείς πληροφορίες για την επιτυχή επίλυση προβλημάτων δοκιμασίας. Ωστόσο, ένα εγχειρίδιο δεν είναι πάντα διαθέσιμο και η αναζήτηση των απαραίτητων κανόνων και τύπων στο Διαδίκτυο απαιτεί συχνά χρόνο.

Η εκπαιδευτική πύλη Shkolkovo σάς επιτρέπει να προετοιμαστείτε για την Ενιαία Κρατική Εξέταση οπουδήποτε και ανά πάσα στιγμή. Ο ιστότοπός μας προσφέρει την πιο βολική προσέγγιση για την επανάληψη και την αφομοίωση μεγάλου όγκου πληροφοριών σχετικά με λογάριθμους, καθώς και με ένα και πολλά άγνωστα. Ξεκινήστε με εύκολες εξισώσεις. Εάν τα αντιμετωπίζετε χωρίς δυσκολία, προχωρήστε σε πιο σύνθετα. Εάν δυσκολεύεστε να λύσετε μια συγκεκριμένη ανισότητα, μπορείτε να την προσθέσετε στα Αγαπημένα σας για να επιστρέψετε σε αυτήν αργότερα.

Μπορείτε να βρείτε τους απαραίτητους τύπους για να ολοκληρώσετε την εργασία, να επαναλάβετε ειδικές περιπτώσεις και μεθόδους για τον υπολογισμό της ρίζας μιας τυπικής λογαριθμικής εξίσωσης κοιτάζοντας την ενότητα «Θεωρητική βοήθεια». Οι δάσκαλοι του Shkolkovo συγκέντρωσαν, συστηματοποίησαν και παρουσίασαν όλα τα απαραίτητα υλικά για επιτυχή μετάβαση στην πιο απλή και κατανοητή μορφή.

Για να αντιμετωπίσετε εύκολα εργασίες οποιασδήποτε πολυπλοκότητας, στην πύλη μας μπορείτε να εξοικειωθείτε με τη λύση ορισμένων τυπικών λογαριθμικών εξισώσεων. Για να το κάνετε αυτό, μεταβείτε στην ενότητα "Κατάλογοι". Έχουμε μεγάλο αριθμό παραδειγμάτων, συμπεριλαμβανομένων εξισώσεων με το επίπεδο προφίλ της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά.

Οι μαθητές από σχολεία σε όλη τη Ρωσία μπορούν να χρησιμοποιήσουν την πύλη μας. Για να ξεκινήσετε μαθήματα, απλώς εγγραφείτε στο σύστημα και ξεκινήστε να λύνετε εξισώσεις. Για την ενοποίηση των αποτελεσμάτων, σας συμβουλεύουμε να επιστρέφετε καθημερινά στον ιστότοπο Shkolkovo.

Όπως γνωρίζετε, κατά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων με δυνάμεις, οι εκθέτες τους αθροίζονται πάντα (a b *a c = a b+c). Αυτός ο μαθηματικός νόμος προήλθε από τον Αρχιμήδη και αργότερα, τον 8ο αιώνα, ο μαθηματικός Virasen δημιούργησε έναν πίνακα με ακέραιους εκθέτες. Ήταν αυτοί που χρησίμευσαν για την περαιτέρω ανακάλυψη των λογαρίθμων. Παραδείγματα χρήσης αυτής της συνάρτησης μπορούν να βρεθούν σχεδόν παντού όπου χρειάζεται να απλοποιήσετε τον περίπλοκο πολλαπλασιασμό με απλή πρόσθεση. Εάν αφιερώσετε 10 λεπτά για να διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα σας εξηγήσουμε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να εργαστείτε με αυτούς. Σε απλή και προσιτή γλώσσα.

Ορισμός στα μαθηματικά

Ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση της ακόλουθης μορφής: log a b=c, δηλαδή, ο λογάριθμος οποιουδήποτε μη αρνητικού αριθμού (δηλαδή οποιουδήποτε θετικού) "b" στη βάση του "a" θεωρείται ότι είναι η δύναμη "c ” στην οποία πρέπει να αυξηθεί η βάση “a” για να ληφθεί τελικά η τιμή “b”. Ας αναλύσουμε τον λογάριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας πούμε ότι υπάρχει μια έκφραση log 2 8. Πώς να βρείτε την απάντηση; Είναι πολύ απλό, πρέπει να βρείτε μια ισχύ τέτοια ώστε από το 2 στην απαιτούμενη ισχύ να παίρνετε 8. Αφού κάνετε κάποιους υπολογισμούς στο κεφάλι σας, παίρνουμε τον αριθμό 3! Και αυτό είναι αλήθεια, γιατί το 2 στη δύναμη του 3 δίνει την απάντηση ως 8.

Τύποι λογαρίθμων

Για πολλούς μαθητές και φοιτητές, αυτό το θέμα φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο, αλλά στην πραγματικότητα οι λογάριθμοι δεν είναι τόσο τρομακτικοί, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τη γενική τους σημασία και να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και ορισμένους κανόνες. Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τύποι λογαριθμικών παραστάσεων:

1. Φυσικός λογάριθμος ln a, όπου η βάση είναι ο αριθμός Euler (e = 2,7).
2. Δεκαδικό α, όπου η βάση είναι 10.
3. Λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού b στη βάση a>1.

Κάθε ένα από αυτά επιλύεται με έναν τυπικό τρόπο, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης, της αναγωγής και της επακόλουθης αναγωγής σε έναν μόνο λογάριθμο χρησιμοποιώντας λογαριθμικά θεωρήματα. Για να λάβετε τις σωστές τιμές των λογαρίθμων, θα πρέπει να θυμάστε τις ιδιότητές τους και την ακολουθία των ενεργειών κατά την επίλυσή τους.

Κανόνες και ορισμένοι περιορισμοί

Στα μαθηματικά υπάρχουν αρκετοί κανόνες-περιορισμοί που γίνονται δεκτοί ως αξίωμα, δηλαδή δεν υπόκεινται σε συζήτηση και είναι η αλήθεια. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να διαιρεθούν οι αριθμοί με το μηδέν, και είναι επίσης αδύνατο να εξαχθεί η ζυγή ρίζα των αρνητικών αριθμών. Οι λογάριθμοι έχουν επίσης τους δικούς τους κανόνες, ακολουθώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να μάθετε να εργάζεστε ακόμη και με μεγάλες και μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις:

• Η βάση "a" πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και όχι ίση με 1, διαφορετικά η έκφραση θα χάσει το νόημά της, επειδή το "1" και το "0" σε οποιοδήποτε βαθμό είναι πάντα ίσα με τις τιμές τους.
• εάν a > 0, τότε a b >0, αποδεικνύεται ότι το "c" πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Πώς να λύσετε λογάριθμους;

Για παράδειγμα, δίνεται η εργασία να βρείτε την απάντηση στην εξίσωση 10 x = 100. Αυτό είναι πολύ εύκολο, πρέπει να επιλέξετε μια δύναμη αυξάνοντας τον αριθμό δέκα στον οποίο λαμβάνουμε 100. Αυτό, φυσικά, είναι 10 2 = 100.

Τώρα ας αναπαραστήσουμε αυτήν την έκφραση σε λογαριθμική μορφή. Παίρνουμε log 10 100 = 2. Κατά την επίλυση λογαρίθμων, όλες οι ενέργειες πρακτικά συγκλίνουν για να βρούμε την ισχύ στην οποία είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε τη βάση του λογαρίθμου για να λάβουμε έναν δεδομένο αριθμό.

Για να προσδιορίσετε με ακρίβεια την τιμή ενός άγνωστου βαθμού, πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με έναν πίνακα βαθμών. Μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένοι εκθέτες μπορούν να μαντευτούν διαισθητικά εάν έχετε τεχνικό μυαλό και γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, για μεγαλύτερες τιμές θα χρειαστείτε ένα τραπέζι τροφοδοσίας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμη και από εκείνους που δεν γνωρίζουν απολύτως τίποτα για πολύπλοκα μαθηματικά θέματα. Η αριστερή στήλη περιέχει αριθμούς (βάση α), η επάνω σειρά αριθμών είναι η τιμή της δύναμης c στην οποία αυξάνεται ο αριθμός a. Στη διασταύρωση, τα κελιά περιέχουν τις αριθμητικές τιμές που είναι η απάντηση (a c =b). Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το πρώτο κελί με τον αριθμό 10 και τετράγωνο το, παίρνουμε την τιμή 100, η ​​οποία υποδεικνύεται στην τομή των δύο κελιών μας. Όλα είναι τόσο απλά και εύκολα που θα καταλάβει και ο πιο αληθινός ανθρωπιστής!

Εξισώσεις και ανισώσεις

Αποδεικνύεται ότι υπό ορισμένες συνθήκες ο εκθέτης είναι ο λογάριθμος. Επομένως, οποιεσδήποτε μαθηματικές αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως λογαριθμική ισότητα. Για παράδειγμα, το 3 4 = 81 μπορεί να γραφτεί ως ο βασικός 3 λογάριθμος του 81 ίσος με τέσσερα (log 3 81 = 4). Για τις αρνητικές δυνάμεις οι κανόνες είναι οι ίδιοι: 2 -5 = 1/32 το γράφουμε ως λογάριθμο, παίρνουμε log 2 (1/32) = -5. Ένα από τα πιο συναρπαστικά τμήματα των μαθηματικών είναι το θέμα των «λογαρίθμων». Παραδείγματα και λύσεις εξισώσεων θα δούμε παρακάτω, αμέσως μετά τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Τώρα ας δούμε πώς μοιάζουν οι ανισότητες και πώς να τις διακρίνουμε από τις εξισώσεις.

Δίνεται η ακόλουθη έκφραση: log 2 (x-1) > 3 - είναι λογαριθμική ανισότητα, αφού η άγνωστη τιμή «x» βρίσκεται κάτω από το λογαριθμικό πρόσημο. Και επίσης στην έκφραση συγκρίνονται δύο ποσότητες: ο λογάριθμος του επιθυμητού αριθμού στη βάση δύο είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό τρία.

Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι εξισώσεις με λογάριθμους (για παράδειγμα, ο λογάριθμος 2 x = √9) υποδηλώνουν μία ή περισσότερες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές στην απάντηση, ενώ κατά την επίλυση μιας ανισότητας, τόσο το εύρος των αποδεκτών οι τιμές και τα σημεία προσδιορίζονται σπάζοντας αυτή τη συνάρτηση. Κατά συνέπεια, η απάντηση δεν είναι ένα απλό σύνολο μεμονωμένων αριθμών, όπως στην απάντηση σε μια εξίσωση, αλλά μια συνεχής σειρά ή σύνολο αριθμών.

Βασικά θεωρήματα για τους λογάριθμους

Κατά την επίλυση πρωτόγονων εργασιών εύρεσης των τιμών του λογάριθμου, οι ιδιότητές του μπορεί να μην είναι γνωστές. Ωστόσο, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις ή ανισώσεις, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε με σαφήνεια και να εφαρμόσουμε στην πράξη όλες τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα δούμε παραδείγματα εξισώσεων αργότερα· ας δούμε πρώτα κάθε ιδιότητα με περισσότερες λεπτομέρειες.

1. Η κύρια ταυτότητα μοιάζει με αυτό: a logaB =B. Ισχύει μόνο όταν το α είναι μεγαλύτερο από 0, όχι ίσο με ένα και το Β είναι μεγαλύτερο από μηδέν.
2. Ο λογάριθμος του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Στην περίπτωση αυτή, η υποχρεωτική συνθήκη είναι: d, s 1 και s 2 > 0; a≠1. Μπορείτε να δώσετε μια απόδειξη για αυτόν τον λογαριθμικό τύπο, με παραδείγματα και λύση. Έστω log a s 1 = f 1 και log a s 2 = f 2, μετά a f1 = s 1, a f2 = s 2. Λαμβάνουμε ότι s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ιδιότητες του μοίρες ), και μετά εξ ορισμού: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
3. Ο λογάριθμος του πηλίκου μοιάζει με αυτό: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Το θεώρημα με τη μορφή τύπου παίρνει την ακόλουθη μορφή: log a q b n = n/q log a b.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται «ιδιότητα του βαθμού του λογάριθμου». Μοιάζει με τις ιδιότητες των συνηθισμένων βαθμών και δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί όλα τα μαθηματικά βασίζονται σε φυσικά αξιώματα. Ας δούμε την απόδειξη.

Έστω log a b = t, προκύπτει t =b. Αν υψώσουμε και τα δύο μέρη στην ισχύ m: a tn = b n ;

αλλά εφόσον a tn = (a q) nt/q = b n, επομένως log a q b n = (n*t)/t, τότε log a q b n = n/q log a b. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παραδείγματα προβλημάτων και ανισοτήτων

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι προβλημάτων στους λογάριθμους είναι παραδείγματα εξισώσεων και ανισώσεων. Βρίσκονται σχεδόν σε όλα τα προβληματικά βιβλία και αποτελούν επίσης υποχρεωτικό μέρος των εξετάσεων των μαθηματικών. Για να εισέλθετε σε ένα πανεπιστήμιο ή να περάσετε εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά, πρέπει να ξέρετε πώς να επιλύσετε σωστά τέτοιες εργασίες.

Δυστυχώς, δεν υπάρχει ένα ενιαίο σχέδιο ή σχήμα για την επίλυση και τον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής του λογαρίθμου, αλλά ορισμένοι κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μαθηματική ανισότητα ή λογαριθμική εξίσωση. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να μάθετε εάν η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί ή να περιοριστεί σε μια γενική μορφή. Μπορείτε να απλοποιήσετε μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις εάν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητές τους. Ας τους γνωρίσουμε γρήγορα.

Όταν λύνουμε λογαριθμικές εξισώσεις, πρέπει να προσδιορίσουμε τον τύπο λογάριθμου που έχουμε: ένα παράδειγμα παράστασης μπορεί να περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο ή έναν δεκαδικό.

Ακολουθούν παραδείγματα ln100, ln1026. Η λύση τους συνοψίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να καθορίσουν την ισχύ στην οποία η βάση 10 θα είναι ίση με 100 και 1026, αντίστοιχα. Για να λύσετε φυσικούς λογάριθμους, πρέπει να εφαρμόσετε λογαριθμικές ταυτότητες ή τις ιδιότητές τους. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών προβλημάτων διαφόρων τύπων.

Πώς να χρησιμοποιήσετε τους τύπους λογαρίθμων: με παραδείγματα και λύσεις

Ας δούμε λοιπόν παραδείγματα χρήσης των βασικών θεωρημάτων για τους λογαρίθμους.

1. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός προϊόντος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπου είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί μια μεγάλη τιμή του αριθμού b σε απλούστερους παράγοντες. Για παράδειγμα, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Η απάντηση είναι 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιώντας την τέταρτη ιδιότητα της λογαριθμικής ισχύος, καταφέραμε να λύσουμε μια φαινομενικά πολύπλοκη και άλυτη έκφραση. Απλά πρέπει να συνυπολογίσετε τη βάση και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τις τιμές εκθέτη από το πρόσημο του λογαρίθμου.

Εργασίες από την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Οι λογάριθμοι συναντώνται συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ειδικά πολλά λογαριθμικά προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση (κρατική εξέταση για όλους τους αποφοίτους σχολείων). Συνήθως, αυτές οι εργασίες υπάρχουν όχι μόνο στο μέρος Α (το πιο εύκολο τεστ της εξέτασης), αλλά και στο μέρος Γ (οι πιο περίπλοκες και ογκώδεις εργασίες). Η εξέταση απαιτεί ακριβή και τέλεια γνώση του θέματος «Φυσικοί λογάριθμοι».

Παραδείγματα και λύσεις προβλημάτων λαμβάνονται από τις επίσημες εκδόσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Ας δούμε πώς επιλύονται τέτοιες εργασίες.

Δίνεται log 2 (2x-1) = 4. Λύση:
ας ξαναγράψουμε την παράσταση, απλοποιώντας την λίγο log 2 (2x-1) = 2 2, με τον ορισμό του λογάριθμου παίρνουμε ότι 2x-1 = 2 4, άρα 2x = 17. x = 8,5.

• Είναι καλύτερο να μειώσετε όλους τους λογάριθμους στην ίδια βάση, έτσι ώστε η λύση να μην είναι περίπλοκη και μπερδεμένη.
• Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υποδεικνύονται ως θετικές, επομένως, όταν ο εκθέτης μιας παράστασης που βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και ως βάση της αφαιρείται ως πολλαπλασιαστής, η παράσταση που παραμένει κάτω από τον λογάριθμο πρέπει να είναι θετική.