Λύστε εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς παραδείγματα. Επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς ως τετράγωνα σε σχέση με κάποια μεταβλητή. Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων άλλων τύπων

Εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούςείναι αλγεβρικές εξισώσεις με δύο ή περισσότερες άγνωστες μεταβλητές και ακέραιους συντελεστές. Οι λύσεις σε μια τέτοια εξίσωση είναι όλες ακέραια (μερικές φορές φυσικά ή ορθολογικά) σύνολα τιμών των άγνωστων μεταβλητών που ικανοποιούν την εξίσωση. Τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται επίσης διοφαντικός, προς τιμήν του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού που μελέτησε ορισμένους τύπους τέτοιων εξισώσεων πριν από την εποχή μας.

Στον Γάλλο μαθηματικό οφείλουμε τη σύγχρονη διατύπωση των Διοφαντικών προβλημάτων. Ήταν αυτός που έθεσε το ζήτημα της επίλυσης αόριστων εξισώσεων μόνο σε ακέραιους αριθμούς ενώπιον των Ευρωπαίων μαθηματικών. Η πιο διάσημη εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς είναι το τελευταίο θεώρημα του Fermat: η εξίσωση

δεν έχει μη μηδενικές ορθολογικές λύσεις για όλα τα φυσικά n > 2.

Το θεωρητικό ενδιαφέρον για τις εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς είναι αρκετά μεγάλο, αφού αυτές οι εξισώσεις σχετίζονται στενά με πολλά προβλήματα στη θεωρία αριθμών.

Το 1970, ο μαθηματικός του Λένινγκραντ Yuri Vladimirovich Matiyasevich απέδειξε ότι μια γενική μέθοδος που επιτρέπει την επίλυση αυθαίρετων Διοφαντινών εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων δεν υπάρχει και δεν μπορεί να υπάρξει. Επομένως, θα πρέπει να επιλέξετε τις δικές σας μεθόδους λύσης για διαφορετικούς τύπους εξισώσεων.

Κατά την επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους και φυσικούς αριθμούς, μπορούν να διακριθούν χονδρικά οι ακόλουθες μέθοδοι:

τρόπος ταξινόμησης επιλογών.

Εφαρμογή του Ευκλείδειου αλγόριθμου.

αναπαράσταση αριθμών με τη μορφή συνεχιζόμενων (συνεχιζόμενων) κλασμάτων.

παραγοντοποίηση?

επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς ως τετράγωνο (ή άλλο) σε σχέση με οποιαδήποτε μεταβλητή.

υπολειμματική μέθοδος?

μέθοδος άπειρης καθόδου.

Προβλήματα με λύσεις

1. Λύστε την εξίσωση x 2 – xy – 2y 2 = 7 σε ακέραιους αριθμούς.

Ας γράψουμε την εξίσωση με τη μορφή (x – 2y)(x + y) = 7.

Επειδή τα x, y είναι ακέραιοι, βρίσκουμε λύσεις στην αρχική εξίσωση ως λύσεις στα ακόλουθα τέσσερα συστήματα:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Έχοντας λύσει αυτά τα συστήματα, λαμβάνουμε λύσεις στην εξίσωση: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) και (–5; –2).

Απάντηση: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

α) 20x + 12y = 2013;

β) 5x + 7y = 19;

γ) 201x – 1999y = 12.

α) Εφόσον για οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές των x και y η αριστερή πλευρά της εξίσωσης διαιρείται με το δύο και η δεξιά πλευρά είναι περιττός αριθμός, η εξίσωση δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις.

β) Ας επιλέξουμε πρώτα κάποια συγκεκριμένη λύση. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απλό, για παράδειγμα,

x 0 = 1, y 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,

5(x – x 0) = –7(y – y 0).

Αφού οι αριθμοί 5 και 7 είναι σχετικά πρώτοι, λοιπόν

x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,

όπου k είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Απάντηση: (1+7k, 2–5k), όπου k είναι ακέραιος αριθμός.

γ) Η εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης με επιλογή σε αυτή την περίπτωση είναι αρκετά δύσκολη. Ας χρησιμοποιήσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για τους αριθμούς 1999 και 201:

GCD(1999, 201) = GCD(201, 190) = GCD(190, 11) = GCD(11, 3) = GCD(3, 2) = GCD(2, 1) = 1.

Ας γράψουμε αυτή τη διαδικασία με αντίστροφη σειρά:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =

121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Αυτό σημαίνει ότι το ζεύγος (1273, 128) είναι λύση της εξίσωσης 201x – 1999y = 1. Τότε το ζεύγος των αριθμών

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

είναι λύση της εξίσωσης 201x – 1999y = 12.

Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης θα γραφτεί στη μορφή

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, όπου k είναι ακέραιος,

ή, μετά τον επαναπροσδιορισμό (χρησιμοποιούμε ότι 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, όπου n είναι ακέραιος αριθμός.

Απάντηση: (1283+1999n, 129+201n), όπου n είναι ακέραιος.

3. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:

α) x 3 + y 3 = 3333333;

β) x 3 + y 3 = 4 (x 2 y + xy 2 + 1).

α) Εφόσον τα x 3 και y 3 όταν διαιρούνται με το 9 μπορούν να δώσουν μόνο υπολείμματα 0, 1 και 8 (δείτε τον πίνακα στην ενότητα), τότε το x 3 + y 3 μπορεί να δώσει μόνο τα υπόλοιπα 0, 1, 2, 7 και 8. Αλλά ο αριθμός 3333333 όταν διαιρείται με το 9 δίνει ένα υπόλοιπο 3. Επομένως, η αρχική εξίσωση δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

β) Ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση με τη μορφή (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Επειδή οι κύβοι ακεραίων όταν διαιρούνται με το 7 δίνουν τα υπόλοιπα 0, 1 και 6, αλλά όχι 4, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Απάντηση: Δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις.

α) στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;

β) σε ακέραιους αριθμούς η εξίσωση x + y = x 2 – xy + y 2.

α) Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση ως δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς τη μεταβλητή y. Παίρνουμε

y = x + 9 ή y = 16 – x.

Εφόσον για μονό x ο αριθμός x + 9 είναι άρτιος, τότε το μόνο ζεύγος πρώτων αριθμών που ικανοποιεί την πρώτη ισότητα είναι (2, 11).

Αφού τα x, y είναι απλά, τότε από την ισότητα y = 16 – x έχουμε

2 x 16,2 στο 16.

Αναζητώντας τις επιλογές, βρίσκουμε τις υπόλοιπες λύσεις: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Απάντηση: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

β) Θεωρήστε αυτή την εξίσωση ως δευτεροβάθμια εξίσωση για το x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Η διάκριση αυτής της εξίσωσης είναι –3y 2 + 6y + 1. Είναι θετική μόνο για τις ακόλουθες τιμές του y: 0, 1, 2. Για καθεμία από αυτές τις τιμές, από την αρχική εξίσωση λαμβάνουμε μια τετραγωνική εξίσωση για το x , που λύνεται εύκολα.

Απάντηση: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Υπάρχει άπειρος αριθμός τριπλών ακεραίων x, y, z έτσι ώστε x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3;

Ας προσπαθήσουμε να επιλέξουμε τριάδες όπου y = –z. Τότε το y 3 και το z 3 θα ακυρώνουν πάντα το ένα το άλλο και η εξίσωσή μας θα μοιάζει

x 2 + 2y 2 = x 3

ή αλλιώς,

x 2 (x–1) = 2y 2 .

Για να ικανοποιήσει ένα ζεύγος ακεραίων αριθμών (x; y) αυτή τη συνθήκη, αρκεί ο αριθμός x–1 να είναι διπλάσιος του τετραγώνου του ακέραιου. Υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί, δηλαδή, αυτοί είναι όλοι αριθμοί της μορφής 2n 2 +1. Αντικαθιστώντας αυτόν τον αριθμό σε x 2 (x–1) = 2y 2, μετά από απλούς μετασχηματισμούς παίρνουμε:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Όλα τα τρίδυμα που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο έχουν τη μορφή (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

Απάντηση: υπάρχει.

6. Να βρείτε ακέραιους x, y, z, u τέτοιους ώστε x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Ο αριθμός x 2 + y 2 + z 2 + u 2 είναι άρτιος, επομένως μεταξύ των αριθμών x, y, z, u υπάρχει ένας άρτιος αριθμός περιττών αριθμών.

Αν και οι τέσσερις αριθμοί x, y, z, u είναι περιττοί, τότε το x 2 + y 2 + z 2 + u 2 διαιρείται με το 4, αλλά το 2xyzu δεν διαιρείται με το 4 - μια απόκλιση.

Αν ακριβώς δύο από τους αριθμούς x, y, z, u είναι περιττοί, τότε το x 2 + y 2 + z 2 + u 2 δεν διαιρείται με το 4, αλλά το 2xyzu διαιρείται με το 4 – πάλι μια απόκλιση.

Επομένως, όλοι οι αριθμοί x, y, z, u είναι άρτιοι. Τότε μπορούμε να το γράψουμε

x = 2x 1, y = 2y 1, z = 2z 1, u = 2u 1,

και η αρχική εξίσωση θα πάρει τη μορφή

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .

Τώρα σημειώστε ότι (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 όταν διαιρείται με το 8 δίνει ένα υπόλοιπο 1. Επομένως, εάν όλοι οι αριθμοί x 1 , y 1 , z 1 , u 1 είναι περιττοί, τότε x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 δεν διαιρείται με το 8. Και αν ακριβώς δύο από αυτούς τους αριθμούς είναι περιττοί, τότε ο x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 δεν διαιρείται καν με 4. Αυτό σημαίνει

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,

και παίρνουμε την εξίσωση

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .

Επαναλαμβάνοντας ξανά τον ίδιο συλλογισμό, βρίσκουμε ότι τα x, y, z, u διαιρούνται με το 2 n για όλα τα φυσικά n, κάτι που είναι δυνατό μόνο για x = y = z = u = 0.

Απάντηση: (0; 0; 0; 0).

7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Ας χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη ταυτότητα:

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).

Τότε η αρχική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως

(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Ας συμβολίσουμε a = x – y, b = y – z, c = z – x και γράψουμε την ισότητα που προκύπτει στη μορφή

Επιπλέον, είναι προφανές ότι a + b + c = 0. Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι, μέχρι τη μετάθεση, η ισότητα abc = 10 συνεπάγεται ότι οι αριθμοί |a|, |b|, |c| ισούνται είτε με 1, 2, 5, είτε με 1, 1, 10. Αλλά σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, για οποιαδήποτε επιλογή των σημείων a, b, c, το άθροισμα a + b + c είναι μη μηδενικό. Έτσι, η αρχική εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

8. Λύστε την εξίσωση 1 σε ακέραιους αριθμούς! + 2! + . . . + x! = y 2 .

Είναι προφανές ότι

αν x = 1, τότε y 2 = 1,

αν x = 3, τότε y 2 = 9.

Αυτές οι περιπτώσεις αντιστοιχούν στα ακόλουθα ζεύγη αριθμών:

x 1 = 1, y 1 = 1;

x 2 = 1, y 2 = –1;

x 3 = 3, y 3 = 3;

x 4 = 3, y 4 = –3.

Σημειώστε ότι για x = 2 έχουμε 1! + 2! = 3, για x = 4 έχουμε 1! + 2! + 3! + 4! = 33 και ούτε το 3 ούτε το 33 είναι τετράγωνα ακεραίων. Αν x > 5, τότε, αφού

5! + 6! + . . . + x! = 10n,

μπορούμε να το γράψουμε

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . +x! = 33 + 10n.

Εφόσον το 33 + 10n είναι ένας αριθμός που τελειώνει σε 3, δεν είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού.

Απάντηση: (1; 1), (1; -1), (3; 3), (3; -3).

9. Λύστε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων σε φυσικούς αριθμούς:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, μετά a 3 > b 3 + c 3 ;

έτσι έχουμε

Προσθέτοντας αυτές τις ανισότητες, παίρνουμε ότι

Λαμβάνοντας υπόψη την τελευταία ανισότητα, από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος προκύπτει ότι

Αλλά η δεύτερη εξίσωση του συστήματος δείχνει επίσης ότι το a είναι ένας ζυγός αριθμός. Έτσι, a = 2, b = c = 1.

Απάντηση: (2; 1; 1)

10. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων x και y που ικανοποιούν την εξίσωση x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.

Παραγοντοποιώντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης, παίρνουμε:

x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),

x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)

Αυτή η ισότητα είναι δυνατή εάν η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι ίσες με μηδέν ή είναι το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων. Επομένως, εξισώνοντας ορισμένους παράγοντες με μηδέν, λαμβάνουμε 4 ζεύγη επιθυμητών τιμών μεταβλητών:

x 1 = 0, y 1 = 0;

x 2 = 0, y 2 = –1;

x 3 = –1, y 3 = 0;

x 4 = –1, y 4 = –1.

Το γινόμενο (y 2 + y)(y 2 + 1) μπορεί να θεωρηθεί ως το γινόμενο δύο διαδοχικών μη μηδενικών ακεραίων μόνο όταν y = 2. Επομένως x(x + 1) = 30, από όπου x 5 = 5, x 6 = –6. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο ακόμη ζεύγη ακεραίων που ικανοποιούν την αρχική εξίσωση:

x 5 = 5, y 5 = 2;

x 6 = –6, y 6 = 2.

Απάντηση: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Προβλήματα χωρίς λύσεις

1. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:

α) xy = x + y + 3;

β) x 2 + y 2 = x + y + 2.

2. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:

α) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;

β) 15x 2 – 7y 2 = 9.

3. Λύστε την εξίσωση σε φυσικούς αριθμούς:

α) 2 x + 1 = y 2;

β) 3 2 x + 1 = y 2.

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz σε ρητούς αριθμούς έχει μοναδική λύση

5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2 + 5 = y 3 σε ακέραιους αριθμούς δεν έχει λύσεις.

Υπάρχουν πολλά μονοπάτια που οδηγούν από την άκρη του δάσους στο αλσύλλιο. Είναι ελικοειδείς, συγκλίνουν, αποκλίνουν ξανά και διασταυρώνονται ξανά μεταξύ τους. Καθώς περπατάτε, μπορείτε μόνο να παρατηρήσετε την αφθονία αυτών των μονοπατιών, να περπατήσετε κατά μήκος ορισμένων από αυτά και να ακολουθήσετε την κατεύθυνσή τους στα βάθη του δάσους. Για να μελετήσετε σοβαρά το δάσος, πρέπει να ακολουθήσετε τα μονοπάτια μέχρι να φαίνονται καθόλου ανάμεσα στις ξερές πευκοβελόνες και θάμνους.

Ως εκ τούτου, ήθελα να γράψω ένα έργο που μπορεί να θεωρηθεί ως περιγραφή ενός από τους πιθανούς περιπάτους στην άκρη των σύγχρονων μαθηματικών.

Ο περιβάλλοντα κόσμος, οι ανάγκες της εθνικής οικονομίας και συχνά οι καθημερινές ανησυχίες θέτουν όλο και περισσότερα νέα καθήκοντα για έναν άνθρωπο, η λύση των οποίων δεν είναι πάντα προφανής. Μερικές φορές μια συγκεκριμένη ερώτηση έχει πολλές πιθανές απαντήσεις, γεγονός που καθιστά δύσκολη την επίλυση των προβλημάτων. Πώς να επιλέξετε τη σωστή και βέλτιστη επιλογή;

Η λύση των αβέβαιων εξισώσεων σχετίζεται άμεσα με αυτό το ζήτημα. Τέτοιες εξισώσεις, που περιέχουν δύο ή περισσότερες μεταβλητές, για τις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθούν όλες οι ακέραιες ή φυσικές λύσεις, έχουν εξεταστεί από την αρχαιότητα. Για παράδειγμα, ο Έλληνας μαθηματικός Πυθαγόρας (IV αιώνας π.Χ.). ο Αλεξανδρινός μαθηματικός Διόφαντος (II-III αιώνας μ.Χ.) και οι καλύτεροι μαθηματικοί μιας πιο κοντινής σε εμάς εποχής - P. Fermat (XVII αιώνας), L. Euler (XVIII αιώνας), J. L. Lagrange (XVIII αιώνας) και άλλοι.

Συμμετέχοντας στον ρωσικό διαγωνισμό αλληλογραφίας > στο Obninsk, στον Διεθνή Διαγωνισμό Παιχνιδιού > και στην Ολυμπιάδα της Ομοσπονδιακής Περιφέρειας των Ουραλίων, συναντώ συχνά τέτοιες εργασίες. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η λύση τους είναι δημιουργική. Τα προβλήματα που προκύπτουν κατά την επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς προκαλούνται τόσο από την πολυπλοκότητα όσο και από το γεγονός ότι αφιερώνεται λίγος χρόνος σε αυτές στο σχολείο.

Ο Διόφαντος παρουσιάζει ένα από τα πιο δύσκολα μυστήρια στην ιστορία της επιστήμης. Δεν γνωρίζουμε την εποχή που έζησε, ούτε τους προκατόχους του που θα εργάζονταν στον ίδιο χώρο. Τα έργα του είναι σαν μια αστραφτερή φωτιά μέσα στο αδιαπέραστο σκοτάδι.

Η χρονική περίοδος που θα μπορούσε να ζήσει ο Διόφαντος είναι μισή χιλιετία! Το κάτω όριο καθορίζεται χωρίς δυσκολία: στο βιβλίο του για τους πολυγωνικούς αριθμούς, ο Διόφαντος αναφέρει επανειλημμένα τον μαθηματικό Υψικλή της Αλεξάνδρειας, ο οποίος έζησε στα μέσα του 2ου αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι.

Από την άλλη, στα σχόλια του Θέωνα Αλεξανδρείας προς τον διάσημο αστρονόμο Πτολεμαίο υπάρχει ένα απόσπασμα από το έργο του Διόφαντου. Ο Θέων έζησε στα μέσα του 4ου αιώνα. n. μι. Αυτό καθορίζει το ανώτερο όριο αυτού του διαστήματος. 500 χρόνια λοιπόν!

Ο Γάλλος ιστορικός της επιστήμης Paul Tannry, επιμελητής του πληρέστερου κειμένου του Διόφαντου, προσπάθησε να μειώσει αυτό το χάσμα. Στη βιβλιοθήκη Escurial βρήκε αποσπάσματα από μια επιστολή του Μιχαήλ Ψελλού, βυζαντινολόγου του 11ου αιώνα. , όπου λέγεται ότι ο λόγιος Ανατόλιος, αφού συγκέντρωσε τα πιο ουσιαστικά μέρη αυτής της επιστήμης, μιλάμε για την εισαγωγή βαθμών του αγνώστου και (ονομασία) τους, τα αφιέρωσε στον φίλο του Διόφαντο. Ο Ανατόλιος Αλεξανδρείας στην πραγματικότητα συνέθεσε >, αποσπάσματα του οποίου αναφέρονται στα σωζόμενα έργα του Ιάμβλιχου και του Ευσενίου. Όμως ο Ανατόλι έζησε στην Αλεξάνδρεια στα μέσα του 111ου αιώνα π.Χ. ε και ακόμη ακριβέστερα - μέχρι το 270, όταν έγινε επίσκοπος Λαοδακίας. Αυτό σημαίνει ότι η φιλία του με τον Διόφαντο, τον οποίο όλοι αποκαλούν Αλεξάνδρεια, πρέπει να είχε γίνει πριν από αυτό. Αν λοιπόν ο διάσημος Αλεξανδρινός μαθηματικός και ο φίλος του Ανατόλι ονόματι Διόφαντος είναι ένα άτομο, τότε ο χρόνος της ζωής του Διόφαντου είναι τα μέσα του 111ου αιώνα μ.Χ.

Όμως ο τόπος διαμονής του Διόφαντου είναι γνωστός - η Αλεξάνδρεια, το κέντρο της επιστημονικής σκέψης και του ελληνιστικού κόσμου.

Ένα από τα επιγράμματα της Παλατινής Ανθολογίας σώζεται μέχρι σήμερα:

Οι στάχτες του Διόφαντου αναπαύονται στον τάφο: θαυμάστε τον - και η πέτρα

Η ηλικία του εκλιπόντος θα μιλήσει μέσα από τη σοφή τέχνη του.

Με τη θέληση των θεών, έζησε το ένα έκτο της ζωής του ως παιδί.

Και συνάντησα πεντέμισι με χνούδι στα μάγουλα.

Ήταν μόλις η έβδομη μέρα που αρραβωνιάστηκε την κοπέλα του.

Αφού πέρασε πέντε χρόνια μαζί της, ο σοφός περίμενε τον γιο του.

Ο αγαπημένος γιος του πατέρα του έζησε μόνο τη μισή του ζωή.

Τον πήραν από τον πατέρα του από τον πρώιμο τάφο του.

Δύο φορές για δύο χρόνια ο γονιός θρήνησε βαριά θλίψη.

Εδώ είδα το όριο της θλιβερής ζωής μου.

Χρησιμοποιώντας σύγχρονες μεθόδους επίλυσης εξισώσεων, είναι δυνατό να υπολογιστεί πόσα χρόνια έζησε ο Διόφαντος.

Ας ζήσει ο Διόφαντος χ χρόνια. Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:

Ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση επί 84 για να απαλλαγούμε από τα κλάσματα:

Έτσι, ο Διόφαντος έζησε 84 χρόνια.

Το πιο μυστηριώδες είναι το έργο του Διόφαντου. Έξι από τα δεκατρία βιβλία που συνδυάστηκαν σε > έχουν φτάσει σε εμάς· το ύφος και το περιεχόμενο αυτών των βιβλίων διαφέρει σημαντικά από τα κλασικά αρχαία έργα για τη θεωρία αριθμών και την άλγεβρα, παραδείγματα των οποίων γνωρίζουμε από τον Ευκλείδη, τα λήμματά του από τα έργα του Αρχιμήδη και του Απολλώνιου. > ήταν αναμφίβολα το αποτέλεσμα πολυάριθμων μελετών που παρέμεναν εντελώς άγνωστες.

Μπορούμε μόνο να μαντέψουμε τις ρίζες του και να θαυμάσουμε τον πλούτο και την ομορφιά των μεθόδων και των αποτελεσμάτων του.

> Το Diophanta είναι μια συλλογή προβλημάτων (189 συνολικά), καθένα από τα οποία έχει μια λύση. Τα προβλήματα σε αυτό επιλέγονται προσεκτικά και χρησιμεύουν για την απεικόνιση πολύ συγκεκριμένων, αυστηρά μελετημένων μεθόδων. Όπως συνηθιζόταν στην αρχαιότητα, οι μέθοδοι δεν διατυπώνονται σε γενική μορφή, αλλά επαναλαμβάνονται για την επίλυση παρόμοιων προβλημάτων.

Είναι αξιόπιστη γνωστή μια μοναδική βιογραφία του Διόφαντου, η οποία, σύμφωνα με το μύθο, ήταν σκαλισμένη στην ταφόπλακα του και παρουσίαζε ένα πρόβλημα παζλ:

Αυτό το παζλ χρησιμεύει ως παράδειγμα των προβλημάτων που έλυσε ο Διόφαντος. Ειδικεύτηκε στην επίλυση προβλημάτων σε ακέραιους αριθμούς. Τέτοια προβλήματα είναι σήμερα γνωστά ως προβλήματα Διοφαντίνης.

Η μελέτη των Διοφαντικών εξισώσεων συνήθως συνδέεται με μεγάλες δυσκολίες.

Το 1900, στο Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι, ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς του κόσμου, ο David Hilbert, εντόπισε 23 προβλήματα από διάφορους τομείς των μαθηματικών. Ένα από αυτά τα προβλήματα ήταν το πρόβλημα της επίλυσης των Διοφαντινών εξισώσεων. Το πρόβλημα ήταν το εξής: είναι δυνατόν να λυθεί μια εξίσωση με αυθαίρετο αριθμό αγνώστων και ακέραιων συντελεστών με συγκεκριμένο τρόπο - χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο. Η εργασία έχει ως εξής: για μια δεδομένη εξίσωση, πρέπει να βρείτε όλες τις ακέραιες ή φυσικές τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται στην εξίσωση, στις οποίες μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα. Ο Διόφαντος βρήκε πολλές διαφορετικές λύσεις για τέτοιες εξισώσεις. Λόγω της άπειρης ποικιλίας των Διοφαντικών εξισώσεων, δεν υπάρχει γενικός αλγόριθμος για την επίλυσή τους, και σχεδόν για κάθε εξίσωση πρέπει να εφεύρουμε μια μεμονωμένη τεχνική.

Μια Διοφαντική εξίσωση 1ου βαθμού ή μια γραμμική Διοφαντική εξίσωση με δύο αγνώστους είναι μια εξίσωση της μορφής: ax+by=c, όπου a,b,c είναι ακέραιοι, GCD(a,b)=1.

Θα δώσω τις διατυπώσεις των θεωρημάτων βάσει των οποίων μπορεί να συνταχθεί ένας αλγόριθμος για την επίλυση απροσδιόριστων εξισώσεων πρώτου βαθμού δύο μεταβλητών σε ακέραιους αριθμούς.

Θεώρημα 1. Αν σε μια εξίσωση, τότε η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση.

Απόδειξη:

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ένα >0. Έχοντας λύσει την εξίσωση του x, παίρνουμε: x = c-vua. Θα αποδείξω ότι αν σε αυτόν τον τύπο αντί για y αντικαταστήσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς μικρότερους από a και 0, δηλαδή τους αριθμούς 0;1;2;3;. ;a-1, και κάθε φορά που εκτελείτε διαίρεση, τότε όλα τα υπόλοιπα θα είναι διαφορετικά. Πράγματι, αντί για y θα αντικαταστήσω τους αριθμούς m1 και m2, μικρότερους του a. Ως αποτέλεσμα, θα πάρω δύο κλάσματα: c-bm1a και c-bm2a. Έχοντας εκτελέσει τη διαίρεση και υποδηλώσει τα ημιτελή πηλίκα με q1 και q2 και τα υπόλοιπα με r1 και r2, θα βρω с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.

Θα υποθέσω ότι τα υπόλοιπα r1 και r2 είναι ίσα. Στη συνέχεια, αφαιρώντας τη δεύτερη από την πρώτη ισότητα, παίρνω: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, ή b(m1 - m2)a = q1-q2.

Εφόσον το q1-q2 είναι ακέραιος, τότε η αριστερή πλευρά πρέπει να είναι ακέραιος. Επομένως, το bm1 - m2 πρέπει να διαιρείται με το a, δηλ. η διαφορά δύο φυσικών αριθμών, καθένας από τους οποίους είναι μικρότερος του a, πρέπει να διαιρείται με τον a, κάτι που είναι αδύνατο. Αυτό σημαίνει ότι τα υπόλοιπα r1 και r2 είναι ίσα. Δηλαδή όλα τα υπολείμματα είναι διαφορετικά.

Οτι. Έλαβα ένα από διάφορα υπόλοιπα λιγότερο από α. Αλλά οι διακριτοί α των φυσικών αριθμών που δεν υπερβαίνουν το α είναι οι αριθμοί 0;1;2;3;. ;Α'1. Κατά συνέπεια, μεταξύ των υπολοίπων θα υπάρχει σίγουρα ένα και μόνο ένα ίσο με μηδέν. Η τιμή του y, η αντικατάσταση της οποίας στην παράσταση (c-vu)a δίνει ένα υπόλοιπο 0, και μετατρέπει το x=(c-vu)a σε ακέραιο. Q.E.D.

Θεώρημα 2. Αν στην εξίσωση, και το c δεν διαιρείται με, τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Απόδειξη:

Έστω d=GCD(a;b), έτσι ώστε a=md, b=nd, όπου m και n είναι ακέραιοι. Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: mdх+ ndу=с, ή d(mх+ nу)=с.

Υποθέτοντας ότι υπάρχουν ακέραιοι x και y που ικανοποιούν την εξίσωση, βρίσκω ότι ο συντελεστής c διαιρείται με το d. Η αντίφαση που προκύπτει αποδεικνύει το θεώρημα.

Θεώρημα 3. Αν στην εξίσωση, και, τότε είναι ισοδύναμο με την εξίσωση στην οποία.

Θεώρημα 4. Εάν σε μια εξίσωση, τότε όλες οι ακέραιες λύσεις αυτής της εξίσωσης περιέχονται στους τύπους:

όπου x0, y0 είναι μια ακέραια λύση της εξίσωσης, είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός.

Τα διατυπωμένα θεωρήματα καθιστούν δυνατή την κατασκευή του παρακάτω αλγορίθμου για την επίλυση μιας εξίσωσης της μορφής σε ακέραιους αριθμούς.

1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών a και b, αν το c δεν διαιρείται με, τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις. αν και τότε

2. Διαιρέστε τον όρο της εξίσωσης με τον όρο, παίρνοντας μια εξίσωση στην οποία.

3. Βρείτε μια ακέραια λύση (x0, y0) της εξίσωσης αντιπροσωπεύοντας το 1 ως γραμμικό συνδυασμό αριθμών και;

4. Δημιουργήστε έναν γενικό τύπο για ακέραιες λύσεις αυτής της εξίσωσης, όπου x0, y0 είναι μια ακέραια λύση της εξίσωσης και είναι οποιοσδήποτε ακέραιος.

2. 1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΘΗΓΗΣΗΣ

Πολλά > βασίζονται σε μεθόδους επίλυσης αβέβαιων εξισώσεων. Για παράδειγμα, ένα κόλπο που περιλαμβάνει την εικασία της ημερομηνίας γέννησης.

Προσκαλέστε τον φίλο σας να μαντέψει τα γενέθλιά του με το άθροισμα αριθμών ίσων με το γινόμενο της ημερομηνίας γέννησής του κατά 12 και τον αριθμό του μήνα γέννησής του κατά 31.

Για να μαντέψετε τα γενέθλια του φίλου σας πρέπει να λύσετε την εξίσωση: 12x + 31y = A.

Ας σας δοθεί ο αριθμός 380, δηλ. έχουμε την εξίσωση 12x + 31y = 380. Για να βρείτε τα x και y, μπορείτε να αιτιολογήσετε ως εξής: ο αριθμός 12x + 24y διαιρείται με το 12, επομένως, σύμφωνα με τις ιδιότητες του διαιρετότητα (Θεώρημα 4.4), ο αριθμός 7y και 380 πρέπει να έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με το 12. Ο αριθμός 380 όταν διαιρείται με το 12 δίνει υπόλοιπο 8, επομένως το 7y όταν διαιρείται με το 12 πρέπει επίσης να αφήνει υπόλοιπο 8, και εφόσον y είναι ο αριθμός του μήνα και μετά 1

Η εξίσωση που λύσαμε είναι μια Διοφαντινή εξίσωση 1ου βαθμού με δύο αγνώστους. Για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η λεγόμενη μέθοδος καθόδου. Θα εξετάσω τον αλγόριθμο αυτής της μεθόδου χρησιμοποιώντας τη συγκεκριμένη εξίσωση 5x + 8y = 39.

1. Θα επιλέξω τον άγνωστο που έχει τον μικρότερο συντελεστή (στην περίπτωσή μας είναι x), και θα τον εκφράσω μέσω ενός άλλου αγνώστου:. Θα επισημάνω ολόκληρο το μέρος: Προφανώς, το x θα είναι ακέραιος εάν η παράσταση αποδειχθεί ακέραιος, κάτι που με τη σειρά του θα ισχύει όταν ο αριθμός 4 - 3y διαιρείται με το 5 χωρίς υπόλοιπο.

2. Θα εισαγάγω μια πρόσθετη ακέραια μεταβλητή z ως εξής: 4 - 3y = 5z. Ως αποτέλεσμα, θα πάρω μια εξίσωση του ίδιου τύπου με την αρχική, αλλά με μικρότερους συντελεστές. Θα το λύσω ως προς τη μεταβλητή y:. Επιλέγοντας ολόκληρο το μέρος, παίρνω:

Συλλογίζοντας παρόμοια με την προηγούμενη, εισάγω μια νέα μεταβλητή u: 3u = 1 - 2z.

3. Θα εκφράσω τον άγνωστο με τον μικρότερο συντελεστή, στην περίπτωση αυτή τη μεταβλητή z: =. Απαιτώντας να είναι ακέραιος, παίρνω: 1 - u = 2v, από όπου u = 1 - 2v. Δεν υπάρχουν άλλα κλάσματα, η κάθοδος έχει ολοκληρωθεί.

4. Τώρα χρειάζεστε >. Θα εκφράσω μέσω της μεταβλητής v πρώτα z, μετά y και μετά x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

5. Οι τύποι x = 3+8v και y = 3 - 5v, όπου v είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός, αντιπροσωπεύουν τη γενική λύση της αρχικής εξίσωσης σε ακέραιους αριθμούς.

Σχόλιο. Έτσι, η μέθοδος καθόδου περιλαμβάνει πρώτα τη διαδοχική έκφραση μιας μεταβλητής ως προς την άλλη έως ότου δεν απομένουν κλάσματα στην αναπαράσταση της μεταβλητής και στη συνέχεια διαδοχικά κατά μήκος μιας αλυσίδας ισοτήτων για να ληφθεί μια γενική λύση της εξίσωσης.

2. 2 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Τα κουνέλια και οι φασιανοί κάθονται σε ένα κλουβί, έχουν συνολικά 18 πόδια. Μάθετε πόσα από τα δύο βρίσκονται στο κελί;

Επιτρέψτε μου να δημιουργήσω μια εξίσωση με δύο αγνώστους, όπου x είναι ο αριθμός των κουνελιών και y ο αριθμός των φασιανών:

4x + 2y = 18 ή 2x + y = 9.

Απάντηση. 1) 1 κουνέλι και 7 φασιανοί. 2) 2 κουνέλια και 5 φασιανοί. 3) 3 κουνέλια και 3 φασιανοί. 4) 4 κουνέλια και 1 φασιανός.

1. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

3.1 Επίλυση γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους

1. Λύστε την εξίσωση 407x - 2816y = 33 σε ακέραιους αριθμούς.

Θα χρησιμοποιήσω τον μεταγλωττισμένο αλγόριθμο.

1. Χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, θα βρω τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 407 και 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Επομένως (407,2816) = 11, με το 33 να διαιρείται με το 11.

2. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με το 11, παίρνουμε την εξίσωση 37x - 256y = 3, και (37, 256) = 1

3. Χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, θα βρω μια γραμμική αναπαράσταση του αριθμού 1 μέσω των αριθμών 37 και 256.

256 = 37 6 + 34;

Θα εκφράσω το 1 από την τελευταία ισότητα, μετά ανεβαίνοντας διαδοχικά τις ισότητες θα εκφράσω το 3. 34 και αντικαταστήστε τις παραστάσεις που προκύπτουν στην έκφραση για το 1.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

Έτσι, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, επομένως το ζεύγος των αριθμών x0 = - 83 και y0 = - 12 είναι λύση της εξίσωσης 37x - 256y = 3.

4. Θα γράψω τον γενικό τύπο για λύσεις της αρχικής εξίσωσης όπου t είναι οποιοσδήποτε ακέραιος.

Απάντηση. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.

Σχόλιο. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν το ζεύγος (x1,y1) είναι ακέραια λύση της εξίσωσης όπου, τότε όλες οι ακέραιες λύσεις αυτής της εξίσωσης βρίσκονται χρησιμοποιώντας τους τύπους: x=x1+bty=y1-at

2. Λύστε την εξίσωση 14x - 33y=32 σε ακέραιους αριθμούς.

Λύση: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z

Αναζήτηση από 1 έως 13

Όταν y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14

Επιτρέψτε μου να αντικαταστήσω το y = 2 στην αρχική εξίσωση

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

Θα βρω όλες τις ακέραιες λύσεις από το πηλίκο που βρέθηκε:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

Επιτρέψτε μου να αντικαταστήσω την αρχική εξίσωση:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, όπου k є Z. Αυτοί οι τύποι προσδιορίζουν τη γενική λύση της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. Λύστε την εξίσωση x - 3y = 15 σε ακέραιους αριθμούς.

Θα βρω GCD(1,3)=1

Θα προσδιορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x=(15+3y):1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο απαρίθμησης, βρίσκω την τιμή y=0 και στη συνέχεια x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - ιδιωτική λύση.

Όλες οι άλλες λύσεις βρίσκονται χρησιμοποιώντας τους τύπους: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z για k=0, παίρνω μια συγκεκριμένη λύση (15;0)

Απάντηση: (3k+15; k), k є Z.

4. Λύστε την εξίσωση 7x - y = 3 σε ακέραιους αριθμούς.

Θα βρω GCD(7, -1)=1

Θα ορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x = (3+y):7

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ωμής δύναμης, βρίσκουμε την τιμή y є y = 4, x = 1

Αυτό σημαίνει ότι το (1;4) είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Βρίσκω όλες τις άλλες λύσεις χρησιμοποιώντας τους τύπους: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Απάντηση: (k+1;7k+4); k є Z.

5. Λύστε την εξίσωση 15x+11 y = 14 ακέραιοι αριθμοί.

Θα βρω GCD(15, -14)=1

Θα ορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x = (14 - 11y):15

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ωμής δύναμης, βρίσκω την τιμή y є y = 4, x = -2

Το (-2;4) είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Βρίσκω όλες τις άλλες λύσεις χρησιμοποιώντας τους τύπους: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Απάντηση: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. Λύστε την εξίσωση 3x - 2y = 12 ακέραιοι.

Θα βρω GCD(3; 2)=1

Θα ορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x = (12+2y):3

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ωμής δύναμης, βρίσκω την τιμή y є y = 0, x = 4

Το (4;0) είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Βρίσκω όλες τις άλλες λύσεις χρησιμοποιώντας τους τύπους: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Απάντηση: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Λύστε την εξίσωση xy = x + y σε ακέραιους αριθμούς.

Έχω xy - x - y + 1 = 1 ή (x - 1)(y - 1) = 1

Επομένως x - 1 = 1, y - 1 = 1, από όπου x = 2, y = 2 ή x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, από όπου x = 0, y = 0 άλλες λύσεις σε ακέραιους αριθμούς με εξίσωση δεν έχει.

Απάντηση. 0;0;(2;2).

8. Λύστε την εξίσωση 60x - 77y = 1 σε ακέραιους αριθμούς.

Επιτρέψτε μου να λύσω αυτήν την εξίσωση για x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

Έστω (17y + 1) / 60 = z, τότε y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Αν συμβολίσουμε (9z - 1) / 17 με t, τότε z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Τέλος, έστω (- t + 1) / 9 = n, μετά t = 1- 9n. Εφόσον βρίσκω μόνο ακέραιες λύσεις στην εξίσωση, τα z, t, n πρέπει να είναι ακέραιοι.

Έτσι, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, και επομένως y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Άρα, αν x και y είναι ακέραιες λύσεις μιας δεδομένης εξίσωσης, τότε υπάρχει ένας ακέραιος n τέτοιος ώστε x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Αντίστροφα, αν y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, τότε, προφανώς, τα x, y είναι ακέραιοι αριθμοί. Ο έλεγχος δείχνει ότι ικανοποιούν την αρχική εξίσωση.

Απάντηση. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. Λύστε την εξίσωση 2x+11y =24 σε ακέραιους αριθμούς.

Θα βρω GCD(2; 11)=1

Θα ορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x = (24-11y):2

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ωμής δύναμης, βρίσκω την τιμή y є y = 0, x = 12

Το (12;0) είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Βρίσκω όλες τις άλλες λύσεις χρησιμοποιώντας τους τύπους: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

Απάντηση:(-11k+12; 2k); k є Z.

10. Λύστε την εξίσωση 19x - 7y = 100 σε ακέραιους αριθμούς.

Θα βρω GCD(19, -7)=1

Θα ορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x = (100+7y):19

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ωμής δύναμης, βρίσκω την τιμή y є y = 2, x = 6

Το (6;2) είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Βρίσκω όλες τις άλλες λύσεις χρησιμοποιώντας τους τύπους: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Απάντηση:(7k+6; 19k+2); kє Z.

11. Λύστε την εξίσωση 24x - 6y = 144 σε ακέραιους αριθμούς

Θα βρω GCD(24, 6)=3.

Η εξίσωση δεν έχει λύσεις γιατί GCD(24, 6)!=1.

Απάντηση. Δεν υπάρχουν λύσεις.

12. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς.

Μετασχηματίζω την αναλογία των συντελεστών για αγνώστους.

Πρώτα απ 'όλα, θα επισημάνω ολόκληρο το μέρος του ακατάλληλου κλάσματος.

Θα αντικαταστήσω το σωστό κλάσμα με ίσο κλάσμα.

Τότε θα το πάρω.

Θα κάνω τους ίδιους μετασχηματισμούς με το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει στον παρονομαστή.

Τώρα το αρχικό κλάσμα θα πάρει τη μορφή:

Επαναλαμβάνοντας τον ίδιο συλλογισμό για το κλάσμα, παίρνω.

Απομονώνοντας ολόκληρο το μέρος του ακατάλληλου κλάσματος, καταλήγω στο τελικό αποτέλεσμα:

Πήρα μια έκφραση που ονομάζεται πεπερασμένο συνεχόμενο κλάσμα ή συνεχιζόμενο κλάσμα. Έχοντας απορρίψει τον τελευταίο σύνδεσμο αυτού του συνεχιζόμενου κλάσματος - το ένα πέμπτο, θα μετατρέψω το προκύπτον νέο συνεχιζόμενο κλάσμα σε απλό και θα το αφαιρέσω από το αρχικό κλάσμα.

Θα μειώσω την έκφραση που προκύπτει σε έναν κοινό παρονομαστή και θα την απορρίψω, τότε

Από τη σύγκριση της προκύπτουσας ισότητας με την εξίσωση προκύπτει ότι, θα είναι μια λύση αυτής της εξίσωσης και, σύμφωνα με το θεώρημα, όλες οι λύσεις της θα περιέχονται στο,.

Απάντηση. (9+52t; 22+127t), t є Z.

Το αποτέλεσμα που προέκυψε υποδηλώνει ότι στη γενική περίπτωση, για να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση, είναι απαραίτητο να επεκταθεί η αναλογία των συντελεστών των αγνώστων σε ένα συνεχές κλάσμα, να απορριφθεί ο τελευταίος σύνδεσμος και να πραγματοποιηθούν υπολογισμοί παρόμοιοι με αυτούς που πραγματοποιήθηκαν. έξω από πάνω.

13. Λύστε την εξίσωση 3xy + 2x + 3y = 0 σε ακέραιους αριθμούς.

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3y + 2) - 2,

(x + 1)(3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 ή 3y + 1 = 2 ή 3y + 1 = -1 ή 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 ή x = 0 ή x = -3 ή x = -2 y σεντ z, y = 0, y = -1, y σεντ z.

Απάντηση: (0;0);(-3;-1).

14. Λύστε την εξίσωση y - x - xy = 2 σε ακέραιους αριθμούς.

Λύση: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

y + 1 = 1 ή y + 1 = 3 ή y + 1 = -1 ή y + 1 = -3

1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 ή y = 2 ή y = -2 ή y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

Απάντηση: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Λύστε την εξίσωση y + 4x + 2xy = 0 σε ακέραιους αριθμούς.

Λύση: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1 = 1 ή 2x + 1 = 2 ή 2x + 1 = -1 ή 2x + 1 = -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 ή y = -1 ή y = -4 ή y = -3 x = 0, x σεντ Z, x = -1, x σεντ Z.

Απάντηση: (-1;-4);(0;0).

16. Λύστε την εξίσωση 5x + 10y = 21 σε ακέραιους αριθμούς.

5(x + 2y) = 21, αφού 21 != 5n, τότε δεν υπάρχουν ρίζες.

Απάντηση. Δεν υπάρχουν ρίζες.

17. Λύστε την εξίσωση 3x + 9y = 51 σε φυσικούς αριθμούς.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1 λεπτό Ν.

Απάντηση:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. Λύστε την εξίσωση 7x+5y=232 σε ακέραιους αριθμούς.

Θα λύσω αυτήν την εξίσωση ως προς τον άγνωστο στον οποίο βρίσκεται ο μικρότερος (modulo) συντελεστής, δηλαδή σε αυτή την περίπτωση ως προς το y: y = 232-7x5.

Επιτρέψτε μου να αντικαταστήσω τους αριθμούς αντί του x σε αυτήν την παράσταση: 0;1;2;3;4. Παίρνω: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43,6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8

Απάντηση. (1,45).

19. Λύστε την εξίσωση 3x + 4y + 5xy = 6 σε ακέραιους αριθμούς.

Έχω 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Διαιρέτες 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 Βρίσκω ότι με m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 οι λύσεις είναι: x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει 4 λύσεις σε ακέραιους και καμία σε φυσικούς αριθμούς.

Απάντηση. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Να λύσετε την εξίσωση 8x+65y=81 σε φυσικούς αριθμούς.

81⋮GCD(8;65)=>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

Έστω 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.

Στο t=0 x=2y=1

Απάντηση. (2;1).

21. Να βρείτε ακέραιες μη αρνητικές λύσεις της εξίσωσης 3x+7y=250.

250⋮GCD(3;7) =>η εξίσωση μπορεί να λυθεί σε ακέραιους αριθμούς.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

Έστω 1-y3=t, t Є Z.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​· x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

Απάντηση. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Λύστε την εξίσωση xy+x+y3=1988 σε ακέραιους αριθμούς.

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 3. Παίρνουμε:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 ή 5965=5965∙1 ή 5965=-1∙(-5965) ή 5965=-5965∙(-1) ή 5965=5∙1193 ή 5965=1193∙5=1193∙5 -1193) ή 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 λύσεις σε ακέραιους αριθμούς χωρίς λύσεις σε ακέραιους αριθ.

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 χωρίς λύσεις σε ακέραιους αριθμούς χωρίς λύσεις σε ακέραιους αριθμούς

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

Απάντηση. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Υπάρχουν διάφοροι τύποι προβλημάτων, τις περισσότερες φορές πρόκειται για προβλήματα ολυμπιάδας, τα οποία καταλήγουν στην επίλυση διοφαντικών εξισώσεων. Για παράδειγμα: α) Εργασίες ανταλλαγής χρηματικού ποσού συγκεκριμένης ονομαστικής αξίας.

β) Προβλήματα που αφορούν τη μετάγγιση και τη διαίρεση αντικειμένων.

1. Αγοράσαμε 390 χρωματιστά μολύβια σε κουτιά των 7 και 12 μολύβια. Πόσα από αυτά και άλλα κουτιά αγοράσατε;

Θα ορίσω: x κουτιά με 7 μολύβια, y κουτιά με 12 μολύβια.

Επιτρέψτε μου να δημιουργήσω μια εξίσωση: 7x + 12y = 390

Θα βρω GCD(7, 12)=1

Θα ορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x = (390 - 12y):7

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ωμής δύναμης, βρίσκω την τιμή y є y = 1, x = 54

Το (54;1) είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Βρίσκω όλες τις άλλες λύσεις χρησιμοποιώντας τους τύπους: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Βρήκα πολλές λύσεις στην εξίσωση. Λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες του προβλήματος, θα προσδιορίσω τον πιθανό αριθμό και των δύο πλαισίων.

Απάντηση. Μπορείτε να αγοράσετε: 54 κουτιά με 7 μολύβια και 1 κουτί με 12 μολύβια, ή 42 κουτιά με 7 μολύβια και 8 κουτιά με 12 μολύβια, ή 30 κουτιά με 7 μολύβια και 15 κουτιά με 12 μολύβια, ή 28 κουτιά με 7 μολύβια και 22 κουτιά με 12 μολύβια ή 6 κουτιά με 7 μολύβια και 29 κουτιά με 12 μολύβια.

2. Το ένα σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 7 εκ. μεγαλύτερο από το άλλο και η περίμετρος του τριγώνου είναι 30 εκ. Βρείτε όλες τις πλευρές του τριγώνου.

Θα ορίσω: x cm - ένα πόδι, (x+7) cm - το άλλο πόδι, y cm - υποτείνουσα

Θα συνθέσω και θα λύσω την Διοφαντική εξίσωση: x+(x+7)+y=30

Θα βρω GCD(2; 1)=1

Θα ορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x = (23 - y):2

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ωμής δύναμης, βρίσκω την τιμή y =1 y = 1, x = 11

Το (11;1) είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Βρίσκω όλες τις άλλες λύσεις της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τους τύπους: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Λαμβάνοντας υπόψη ότι οποιαδήποτε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν τρία τρίγωνα με πλευρές 7, 9 και 14. 6, 11 και 13. 5, 13 και 12. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι ένα τρίγωνο με πλευρές 5, 13 και 12 (ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα).

Απάντηση: Το ένα πόδι είναι 5 cm, το άλλο είναι 12 cm, η υποτείνουσα είναι 13 cm.

3. Πολλά παιδιά μάζευαν μήλα. Κάθε αγόρι μάζεψε 21 κιλά και το κορίτσι 15 κιλά. Συνολικά συγκέντρωσαν 174 κιλά. Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια μάζεψαν μήλα;

Έστω x αγόρια και y κορίτσια, με το x και το y να είναι φυσικοί αριθμοί. Επιτρέψτε μου να δημιουργήσω μια εξίσωση:

Λύνω με μέθοδο επιλογής: x

6 Μόνο στο x = 4 ο δεύτερος άγνωστος λαμβάνει θετική ακέραια τιμή (y = 6). Για οποιαδήποτε άλλη τιμή του x, το y θα είναι είτε κλάσμα είτε αρνητικό. Επομένως, το πρόβλημα έχει μια μοναδική λύση.

Απάντηση. 4 αγόρια και 6 κορίτσια.

4. Είναι δυνατόν να δημιουργήσετε ένα σετ μολυβιών αξίας 3 ρούβλια και στυλό αξίας 6 ρούβλια αξίας 20 ρούβλια;

Έστω x ο αριθμός των μολυβιών στο σετ και ο αριθμός των στυλό είναι y.

Επιτρέψτε μου να δημιουργήσω μια εξίσωση:

Για κάθε ακέραιο x και y, η αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να διαιρείται με το 3. η δεξιά πλευρά δεν διαιρείται με το 3. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι x και y που να ικανοποιούν την εξίσωσή μας. Αυτή η εξίσωση δεν μπορεί να λυθεί σε ακέραιους αριθμούς. Είναι αδύνατο να δημιουργηθεί ένα τέτοιο σύνολο.

Απάντηση. Δεν υπάρχουν λύσεις.

5. Να βρείτε έναν φυσικό αριθμό που όταν διαιρείται με το 3, αφήνει υπόλοιπο 2 και όταν διαιρείται με το 5, αφήνει υπόλοιπο 3.

Θα συμβολίσω τον απαιτούμενο αριθμό με x. Αν συμβολίσω το πηλίκο του x με 3 με το y και το πηλίκο της διαίρεσης με το 5 με το z, τότε παίρνω: x=3y+2x=5z+3

Σύμφωνα με τη σημασία του προβλήματος, τα x, y και z πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να λύσουμε ένα αόριστο σύστημα εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς.

Για κάθε ακέραιο y και z, το x θα είναι επίσης ακέραιος. Αφαιρώ την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση και παίρνω:

5z - 3y + 1 = 0.

Έχοντας βρει όλους τους θετικούς ακέραιους y και z, θα λάβω αμέσως όλες τις θετικές ακέραιες τιμές του x.

Από αυτή την εξίσωση βρίσκω:

Μια λύση είναι προφανής: για z = 1 παίρνουμε y = 2, και x και y είναι ακέραιοι. Σε αυτά αντιστοιχεί η λύση x = 8.

Θα βρω άλλες λύσεις. Για να γίνει αυτό, θα εισαγάγω ένα βοηθητικό άγνωστο u, θέτοντας z = 1 + u. Θα παραλαβω:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, δηλ. 5u = 3y - 6 ή 5u = 3(y - 2).

Η δεξιά πλευρά της τελευταίας εξίσωσης διαιρείται με το 3 για οποιονδήποτε ακέραιο y. Αυτό σημαίνει ότι η αριστερή πλευρά πρέπει επίσης να διαιρείται με το 3. Αλλά ο αριθμός 5 είναι συμπρώτος στον αριθμό 3. Επομένως το u πρέπει να διαιρείται με το 3, δηλαδή να έχει τη μορφή 3n, όπου το n είναι ακέραιος. Σε αυτή την περίπτωση, το y θα ισούται

15n/3 + 2 = 5n + 2, δηλαδή, επίσης ακέραιος αριθμός. Άρα, z = 1 + u = 1 + 3n, από όπου x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Το αποτέλεσμα δεν είναι ένα, αλλά ένα άπειρο σύνολο τιμών για x: x = 8 + 15n, όπου n είναι ένας ακέραιος αριθμός (θετικός ή μηδέν):

Απάντηση. x=8+15n; n є 0;1;2;.

6. Τα άτομα έφεραν 300 πολύτιμους λίθους ως δώρο στον Σάχη: σε μικρά κουτιά των 15 τεμαχίων το καθένα και σε μεγάλα - 40 τεμάχια. Πόσα από αυτά και άλλα κουτιά υπήρχαν, αν είναι γνωστό ότι ήταν λιγότερα τα μικρά από τα μεγάλα;

Επιτρέψτε μου να συμβολίσω με x τον αριθμό των μικρών κουτιών και με y τον αριθμό των μεγάλων.

15x+40y=300. Θα το κόψω κατά 5.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2y-2y3

Για να είναι η τιμή ενός κλάσματος ακέραιος, το 2y πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3, δηλαδή 2y = 3c.

Θα εκφράσω τη μεταβλητή y και θα επιλέξω ολόκληρο το μέρος:

Το Z πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 2, δηλαδή z=2u.

Επιτρέψτε μου να εκφράσω τις μεταβλητές x και y ως u:

X=20-2y-2y3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

Θα συνθέσω και θα λύσω ένα σύστημα ανισοτήτων:

Θα γράψω ολόκληρες τις λύσεις: 1; 2. Τώρα θα βρω τις τιμές των x και y για u=1. 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

Απάντηση. 4 μικρά κουτιά. 6 μεγάλα κουτιά.

7. Δόθηκαν δύο αυτοκίνητα Ural 5557, τα αυτοκίνητα στάλθηκαν με πτήση Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. Συνολικά, χρειάστηκαν 4 τόνοι καύσιμο ντίζελ και 2 οδηγοί για την ολοκλήρωση αυτής της πτήσης. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί το κόστος μεταφοράς, δηλαδή το κόστος 1 τόνου καυσίμου ντίζελ και οι μισθοί για τους οδηγούς που εκτελούν αυτήν την πτήση, εάν είναι γνωστό ότι δαπανήθηκαν συνολικά 76.000 ρούβλια.

Έστω x ρούβλια το κόστος 1 τόνου καυσίμου ντίζελ και x ρούβλια ο μισθός των οδηγών. Στη συνέχεια δαπανήθηκαν (4x + 2y) ρούβλια για την πτήση. Και σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, δαπανήθηκαν 76.000 ρούβλια.

Παίρνω την εξίσωση:

Για να λυθεί αυτή η εξίσωση, η μέθοδος της ωμής βίας θα είναι μια διαδικασία έντασης εργασίας. Οπότε θα χρησιμοποιήσω τη μέθοδο >.

Θα εκφράσω τη μεταβλητή y έως x: , θα επιλέξω ολόκληρο το μέρος και θα πάρω: (1).

Για να είναι η τιμή ενός κλάσματος ακέραιος, το 2x πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Δηλαδή, 2x = 4z, όπου z είναι ακέραιος. Από εδώ:

Θα αντικαταστήσω την τιμή του x στην έκφραση (1):

Επειδή x, y 0, μετά 19000 z 0, επομένως, δίνοντας z ακέραιες τιμές από 0 έως 19000, παίρνω τις ακόλουθες τιμές των x και y: z

Από πραγματικά στοιχεία για το κόστος μεταφοράς, είναι γνωστό ότι 1 τόνος καυσίμου ντίζελ (x) κοστίζει 18.000 ρούβλια. , και η πληρωμή για τους οδηγούς που εκτελούν πτήση (y) είναι 10.000 ρούβλια. (τα δεδομένα λαμβάνονται περίπου). Από τον πίνακα βρίσκουμε ότι η τιμή x ίση με 18000 και η τιμή y ίση με 10000 αντιστοιχούν σε τιμή z ίση με 9000, πράγματι: ;.

8. Με πόσους τρόπους μπορείτε να εισπράξετε το ποσό των 27 ρούβλια; , έχοντας αρκετά κέρματα δύο και πέντε ρουβλίων;

Επιτρέψτε μου να δηλώσω: x κέρματα δύο ρουβλίων και y νομίσματα πέντε ρουβλίων

Θα δημιουργήσω μια εξίσωση, λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη του προβλήματος 2x + 5y = 27.

Θα βρω GCD(2;5)=1

Θα ορίσω μια συγκεκριμένη λύση: x = (27-5y):2

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ωμής δύναμης, βρίσκω την τιμή y є y = 1, x = 11

Το (11;1) είναι μια συγκεκριμένη λύση.

Όλες οι άλλες λύσεις βρίσκονται χρησιμοποιώντας τους τύπους: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Αυτή η εξίσωση έχει πολλές λύσεις. Ας βρούμε όλους τους τρόπους με τους οποίους μπορείτε να συλλέξετε το ποσό των 27 ρούβλια με τα προσφερόμενα νομίσματα. κ

Απάντηση. Υπάρχουν τρεις τρόποι με τους οποίους μπορείτε να συλλέξετε αυτό το ποσό εάν έχετε πολλά νομίσματα των δύο και των πέντε ρουβλίων.

9. Ας πούμε ότι τα χταπόδια και οι αστερίες ζουν σε ένα ενυδρείο. Τα χταπόδια έχουν 8 πόδια και οι αστερίες 5. Υπάρχουν συνολικά 39 άκρα. Πόσα ζώα υπάρχουν στο ενυδρείο;

Έστω x ο αριθμός των αστεριών, y ο αριθμός των χταποδιών. Τότε όλα τα χταπόδια έχουν 8 πόδια και όλα τα αστέρια έχουν 5 πόδια.

Επιτρέψτε μου να δημιουργήσω μια εξίσωση: 5x + 8y = 39.

Λάβετε υπόψη ότι ο αριθμός των ζώων δεν μπορεί να εκφραστεί ως μη ακέραιοι ή αρνητικοί αριθμοί. Επομένως, εάν το x είναι μη αρνητικός ακέραιος, τότε το y = (39 - 5x)/8 πρέπει επίσης να είναι ακέραιος και μη αρνητικός και, επομένως, είναι απαραίτητο η παράσταση 39 - 5x να διαιρείται με το 8 χωρίς Μια απλή αναζήτηση επιλογών δείχνει ότι αυτό είναι δυνατό μόνο όταν x = 3, τότε y = 3.

Απάντηση: (3; 3).

10. Ένα εργοστάσιο επίπλων παράγει σκαμπό με τρία και τέσσερα πόδια. Ο κύριος έκανε 18 πόδια. Πόσα κόπρανα μπορούν να γίνουν ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλα τα πόδια;

Έστω x ο αριθμός των τρίποδων κοπράνων και y ο αριθμός των τετράποδων. Τότε, 3x + 4y = 18.

Έχω, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Παίρνω: x = 2; y = 3 ή x = 6; y = 0.

Δεν υπάρχουν άλλες λύσεις, αφού x 6.

Απάντηση. 2;3;(6;0).

11. Υπάρχει η δυνατότητα να φιλοξενηθούν 718 άτομα σε καμπίνες 4 και 8 θέσεων, ώστε να μην υπάρχουν κενές θέσεις στις καμπίνες;

Έστω οι καμπίνες 4 κρεβατιών x και οι καμπίνες 8 κλινών y, τότε:

2(x + 2y) = 309

Απάντηση. Ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ.

12. Να αποδείξετε ότι στην ευθεία 124x + 216y = 515 δεν υπάρχει ούτε ένα σημείο με ακέραιες συντεταγμένες.

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις.

Απάντηση. Δεν υπάρχουν λύσεις.

13. Το κόστος των εμπορευμάτων είναι 23 ρούβλια, ο αγοραστής έχει μόνο κέρματα 2 ρούβλια και ο ταμίας έχει κέρματα 5 ρούβλια. Είναι δυνατόν να πραγματοποιήσετε μια αγορά χωρίς πρώτα να ανταλλάξετε χρήματα;

Έστω x ο αριθμός κερμάτων των 2 ρουβλίων, y ο αριθμός κερμάτων των 5 ρουβλίων, μετά 2x - 5y = 23, όπου x,y є N.

Παίρνω: 2x = 23 + 5y, από όπου x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x θα είναι ακέραιος εάν το 1 + y2 είναι ακέραιος.

1 + y2 = t, όπου t Euro Z, τότε y = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

Προς την. x = 5t + 9, και y = 2t - 1, όπου t є z.

Το πρόβλημα έχει πολλές ακέραιες λύσεις. Το πιο απλό από αυτά είναι για t = 1, x =14, y = 1, δηλαδή ο αγοραστής θα δώσει δεκατέσσερα νομίσματα των 2 ρουβλίων και θα λάβει ένα κέρμα των 5 ρουβλίων ως ρέστα.

Απάντηση. Μπορώ.

14. Κατά τη διάρκεια ελέγχου των βιβλίων συναλλαγών του καταστήματος, μια από τις εγγραφές αποδείχθηκε ότι ήταν καλυμμένη με μελάνι και έμοιαζε με αυτό:

> Ήταν αδύνατο να προσδιοριστεί ο αριθμός των μετρητών που πουλήθηκαν, αλλά δεν υπήρχε αμφιβολία ότι ο αριθμός δεν ήταν κλάσμα. Στα έσοδα ήταν δυνατό να διακριθούν μόνο τα τρία τελευταία ψηφία και ήταν επίσης δυνατό να διαπιστωθεί ότι υπήρχαν άλλα τρία ψηφία μπροστά τους. Είναι δυνατή η επαναφορά μιας εγγραφής χρησιμοποιώντας αυτά τα δεδομένα;

Έστω ο αριθμός των μετρητών x, τότε το κόστος των αγαθών σε καπίκια είναι 4936x. Συμβολίζουμε το σύνολο των τριών συμπληρωμένων ψηφίων ως y, αυτός είναι ο αριθμός των χιλιάδων καπίκων και ολόκληρο το ποσό σε καπίκια θα εκφραστεί ως εξής (1000y + 728).

Παίρνω την εξίσωση 4936x = 1000y + 728, τη διαιρώ με το 8.

617x - 125y = 91, όπου x,y є z, x,y

125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, όπου t = 17 - 4x125, t Euro Z.

Από την εξίσωση t = (17 - 4x)/125 παίρνω x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, όπου t1 = 1 - t4, επομένως t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

Υπό όρους ξέρω ότι 100

100 = 234/617 και t1

Αυτό σημαίνει ότι 98 μέτρα πωλήθηκαν για το ποσό των 4837,28 ρούβλια. Η εγγραφή έχει αποκατασταθεί.

Απάντηση. 98 μέτρα απελευθερώθηκαν.

15. Απαιτείται να αγοράσετε 40 γραμματόσημα για ένα ρούβλι - καπίκια, 4 καπίκια και 12 καπίκια. Πόσα γραμματόσημα από κάθε ονομαστική αξία μπορείτε να αγοράσετε;

Μπορείτε να φτιάξετε δύο εξισώσεις: x + 4y + 12z = 100 και x + y + z = 40, όπου x είναι ο αριθμός των σημείων σεντ, y είναι ο αριθμός των σημείων 4 καπίκων, z είναι ο αριθμός των σημείων 12 καπίκων . Αφαιρώ τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση και παίρνω:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

Έστω z3 = t, z = 3t, όπου t Euro Z. Τότε παίρνω αν x + y + z = 40 και z = 3t, και y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.

Αφού x >= 0, y >= 0, z >= 0, τότε 0

Τότε, αναλόγως, παίρνω: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

Άρα, η αγορά γραμματοσήμων μπορεί να γίνει μόνο με δύο τρόπους, και αν η προϋπόθεση είναι να αγοραστεί τουλάχιστον ένα γραμματόσημο από κάθε ονομαστική αξία, τότε μόνο με έναν τρόπο.

Απάντηση. 28 μάρκες του 1 καπίκων, 9 μάρκες των 4 καπίκων και 3 μάρκες των 12 καπίκων.

16. Σε έναν μαθητή δόθηκε μια εργασία 20 προβλημάτων. Για κάθε σωστά λυμένη ερώτηση λαμβάνει 8 βαθμούς, ενώ για κάθε άλυτη ερώτηση του αφαιρούνται 5 βαθμοί. Για ένα έργο που δεν ανέλαβε - 0 βαθμοί. Ο μαθητής συγκέντρωσε συνολικά 13 βαθμούς. Πόσα προβλήματα ανέλαβε να λύσει;

Έστω τα σωστά λυμένα προβλήματα x, τα λανθασμένα λυμένα προβλήματα είναι y και τα προβλήματα που δεν εξετάζονται είναι z.

Τότε x + y + z = 20 και 8x - 5y = 13.

y = 8x - 135 = x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, ​​όπου t = x - 15 και x = 5t + 1.

Με συνθήκη x + y

Απάντηση: ο μαθητής ανέλαβε 13 προβλήματα, έλυσε 6 και απέτυχε 7.

17. Ο Ivanushka ο ανόητος παλεύει με τον Φίδι Gorynych, ο οποίος έχει 2001 κεφάλια. Κουνώντας το σπαθί του προς τα αριστερά, ο Ιβάν κόβει 10 κεφάλια και σε αντάλλαγμα μεγαλώνουν 16. Κουνώντας το ξίφος του προς τα δεξιά, κόβει 15 και μεγαλώνουν 6. Αν κοπούν όλα τα κεφάλια, δεν αναπτύσσονται νέα. Μπορείτε να κάνετε αιώρηση με οποιαδήποτε σειρά, αλλά αν υπάρχουν λιγότερα από 15 γκολ, τότε μόνο προς τα αριστερά, και αν υπάρχουν λιγότερα από 10, τότε καθόλου. Μπορεί ο Ivanushka ο ανόητος να νικήσει το φίδι Gorynych;

Επιτρέψτε μου να επαναδιατυπώσω το πρόβλημα: είναι δυνατόν να κοπούν τα κεφάλια του 1986; Τότε ο Ιβάν θα κόψει τα υπόλοιπα 15 με ένα χτύπημα προς τα δεξιά και δεν θα αναπτυχθούν νέα.

Έστω x ο αριθμός των πινελιών προς τα δεξιά και y ο αριθμός των διαδρομών προς τα αριστερά, τότε 1986 - 9x + 6y = 0.

Διαιρώ όλη την εξίσωση με το 6, παίρνω

3x - 2y = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

Έστω x2 = t, μετά x = 2t και y = 3t - 331.

Αφού x >= 0, y >= 0, τότε t >= 111, επομένως t = 111, x = 222, y = 2.

Παίρνω: χτυπώντας 220 φορές προς τα δεξιά, ο Ιβάν κόβει 1980 κεφάλια και το Φίδι έχει 21 κεφάλια. μετά 2 χτυπήματα προς τα αριστερά και το Φίδι μεγαλώνει 12 κεφάλια, κάνοντας συνολικά 33. τα επόμενα 2 χτυπήματα προς τα δεξιά στερούν από το Snake 18 κεφάλια και ο Ivan κόβει τα υπόλοιπα 15 με το τελευταίο χτύπημα προς τα δεξιά και δεν αναπτύσσονται νέα κεφάλια.

Απάντηση: 220 χτυπήματα προς τα δεξιά, 2 χτυπήματα προς τα αριστερά και 3 ακόμη χτυπήματα προς τα δεξιά.

18. Οι πλευρές ενός ζαριού είναι αριθμημένες - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Από 5 τέτοιους κύβους, έχτισαν έναν πύργο και μέτρησαν το άθροισμα των πόντων σε όλες τις ορατές όψεις, αφού αφαιρούσαν τον επάνω κύβο, το άθροισμα μειώθηκε κατά 19, ποιος αριθμός αποδείχθηκε ότι ήταν η πάνω άκρη του επάνω κύβου;

Το άθροισμα των σημείων ενός κύβου είναι 21.

Έστω x ο αριθμός των σημείων στην κάτω άκρη του επάνω κύβου και y ο αριθμός των σημείων στην επάνω άκρη του επόμενου κύβου. Όταν αφαιρέσετε τον επάνω κύβο, τα σημεία των 5 όψεων του επάνω κύβου εξαφανίζονται, το άθροισμα των σημείων των οποίων είναι (21 - x), και η όψη στην οποία εμφανίζονται τα σημεία, που σημαίνει ότι το άθροισμα των σημείων έχει μειώθηκε κατά (21 - x) - y, και σύμφωνα με τη συνθήκη είναι 19, επομένως :

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

Άρα y = 2 - x, και από την συνθήκη 1

19. Κάποιος αγόρασε 30 πουλιά για 30 νομίσματα της ίδιας ονομαστικής αξίας. Για κάθε 3 σπουργίτια πληρώνετε 1 νόμισμα, για 2 σαράκι - 1 νόμισμα, για 1 περιστέρι - 2 νομίσματα. Πόσα πουλιά από κάθε τύπο υπήρχαν;

Ας υπάρξουν x σπουργίτια, y σαρκοφάγοι και z περιστέρια. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τη συνθήκη, x + y + z = 30 και 13x + 12y + 2z = 30.

Παίρνω x + y + z = 30 και 2x + 3y + 12z = 180, ή y + 10z = 120, y = 120 - 10z, όπου από την συνθήκη x

Εξ ου και οι ακόλουθες επιλογές (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Απάντηση: σπουργίτια - 0, bullfinches - 20, περιστέρια - 10; σπουργίτια - 9, bullfinches - 10, περιστέρια - 11; σπουργίτια - 18, ταυροκέφαλοι - 0, περιστέρια - 12.

20. Να βρείτε όλους τους διψήφιους αριθμούς, καθένας από τους οποίους, όταν μειωθεί κατά 2, ισούται με το πενταπλάσιο του γινόμενου των ψηφίων του.

Έστω xy οι απαιτούμενοι διψήφιοι αριθμοί.

Για την εξίσωση xy - 2 = 5xy, ή (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 και θα βρω όλες τις φυσικές λύσεις από το σύνολο (x; 2).

Εφόσον το x είναι το πρώτο ψηφίο των διψήφιων αριθμών, μπορεί να πάρει μόνο 9 τιμές.

Οτι. , οι απαιτούμενοι αριθμοί θα είναι: 12, 22, 32,. , 92.

Απάντηση. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. Ένα κομμάτι σύρμα μήκους 102 cm πρέπει να κοπεί σε κομμάτια μήκους 15 cm και 12 cm ώστε να χρησιμοποιηθεί όλο το σύρμα. Πως να το κάνεις?

Έστω x ο αριθμός των τμημάτων ενός σύρματος μήκους 15 cm, y ο αριθμός των τμημάτων ενός σύρματος μήκους 12 cm. Επιτρέψτε μου να δημιουργήσω μια εξίσωση:

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

Έστω 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.

Αν t=0, τότε x=6y=1

Αν t=-1, τότε x=2y=6

Απάντηση. Το πρόβλημα έχει δύο λύσεις:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Ο Petya το 1987 ήταν τόσο παλιός όσο το άθροισμα των ψηφίων του έτους γέννησής του. Σε ποια χρονιά γεννήθηκε;

Αφήστε την Petya να γεννηθεί το 1919. Στη συνέχεια, το 1987 ήταν 1987-19xy, ή (1+9+x+y) ετών. Έχουμε την εξίσωση:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.

Θεωρώντας ότι το x και το y είναι ψηφία του δεκαδικού συστήματος αριθμών, βρίσκουμε με επιλογή: x=3, y=1.

Απάντηση. Η Petya γεννήθηκε το 1970.

23. Κάποιος αγοράζει ένα αντικείμενο αξίας 19 ρούβλια σε ένα κατάστημα. Έχει μόνο χαρτονομίσματα των 15 τριών ρουβλίων, ενώ ο ταμίας έχει μόνο χαρτονομίσματα των 20 πέντε ρουβλίων. Μπορώ να πληρώσω και πώς;

Το πρόβλημα καταλήγει στην επίλυση της διοφαντικής εξίσωσης σε θετικούς ακέραιους αριθμούς: 3x - 5y = 19, όπου x

Λόγω του γεγονότος ότι x>0 και y > 0 και λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες του προβλήματος, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι το 0

Αυτό οδηγεί σε 2 πιθανές τιμές: x

Απάντηση. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. Είναι δυνατόν να ζυγίζονται 28 g μιας συγκεκριμένης ουσίας σε μια ζυγαριά κυπέλλου, έχοντας μόνο 4 βάρη βάρους 3 g και 7 βάρη βάρους 5 g;

Για να γίνει αυτό πρέπει να λύσετε την εξίσωση:

x = 9 - 2 (3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Άρα x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι στο y1 δεν μπορούν να δοθούν αρνητικές τιμές. Το επόμενο θα πρέπει να είναι y1

Απάντηση. 1 βάρος στα 3 g και 5 βάρη στα 5 g.

25. Ο αγοραστής αγόρασε στο κατάστημα για 21 ρούβλια. εμπορεύματα. Αλλά έχει μόνο τραπεζογραμμάτια των 5 ρούβλια, ενώ ο ταμίας έχει 3 ρούβλια. Θέλετε να μάθετε αν μπορείτε να πληρώσετε το ταμείο εάν έχετε χρήματα και πώς ακριβώς;

Έστω x ο αριθμός 5 - ρούβλια, y - 3 - ρούβλια.

Με συνθήκη, x > 0, y > 0, αυτό σημαίνει.

Επίσης, το t είναι άρτιο, διαφορετικά ούτε το x ούτε το y θα είναι ακέραιοι.

Στο t = 4, 6, 8,. έχουμε: τ

Απάντηση. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. Υπάρχουν 110 φύλλα χαρτιού. Απαιτείται ράψιμο τετράδια των 8 φύλλων και 10 φύλλων το καθένα. Πόσα χρειάζεστε για να ράψετε;

Έστω x ο αριθμός τετράδια 8 φύλλων, y ο αριθμός 10 τετράδια φύλλων.

Άρα t = 0 ή t = - 1

Απάντηση. 5;7;(10;3).

27. Πολλές αρχαίες μέθοδοι εικασίας αριθμών και ημερομηνιών γέννησης βασίζονται στην επίλυση των Διοφαντινών εξισώσεων. Για παράδειγμα, για να μαντέψετε την ημερομηνία γέννησης (μήνας και ημέρα) του συνομιλητή σας, αρκεί να του ζητήσετε το άθροισμα που προκύπτει από την προσθήκη δύο προϊόντων: τον αριθμό ημερομηνίας (x) κατά 12 και τον αριθμό του μήνα (y) κατά 31. .

Έστω το άθροισμα των εν λόγω γινομένων ίσο με 330. Βρείτε την ημερομηνία γέννησης.

Ας λύσουμε την απροσδιόριστη εξίσωση: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 32y +) y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Έτσι, ημερομηνία γέννησης: 12η ημέρα του 6ου μήνα.

28. Είναι δυνατή η είσπραξη του ποσού των 51 ρουβλίων με κέρματα των δύο και πέντε ρουβλίων; Αν είναι δυνατόν, πόσοι τρόποι υπάρχουν;

Έστω x κέρματα δύο ρουβλίων και κέρματα πέντε ρουβλίων.

Έστω 1+y2=z, λοιπόν

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Απάντηση: 5 τρόποι.

29. Είναι δυνατόν να βάλουμε διακόσια αυγά σε κουτιά των 10 και 12 τεμαχίων; Αν είναι δυνατόν, βρείτε όλους αυτούς τους τρόπους.

Έστω x κουτιά των 10 τεμαχίων το καθένα και ας έχουν τα κουτιά 12 τεμάχια το καθένα. Επιτρέψτε μου να δημιουργήσω μια εξίσωση: z = 1, 2, 3

Απάντηση: 14;5;8;10;(2;15)

30. Φανταστείτε τον αριθμό 257 ως το άθροισμα δύο φυσικών όρων: α) ο ένας από τους οποίους είναι πολλαπλάσιο του 3 και ο άλλος πολλαπλάσιο του 4. β) το ένα από τα οποία είναι πολλαπλάσιο του 5 και το άλλο πολλαπλάσιο του 8.

Απάντηση: 1) 249 και 8. 2) 225 και 32.

Σε προβλήματα που αφορούν αόριστες εξισώσεις, συνάντησα μια μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων: το πρόβλημα μπορεί να είναι εντελώς άλυτο (Πρόβλημα 4), μπορεί να έχει άπειρο αριθμό λύσεων (Πρόβλημα 2), μπορεί να έχει πολλές συγκεκριμένες λύσεις. Συγκεκριμένα, μπορεί να έχει μία μοναδική λύση (Πρόβλημα 1).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Ο στόχος που έβαλα στον εαυτό μου έχει επιτευχθεί. Η δουλειά στο έργο κέντρισε το ενδιαφέρον και με συνεπήρε. Αυτή η δουλειά μου απαιτούσε όχι μόνο ορισμένες μαθηματικές γνώσεις και επιμονή, αλλά μου έδωσε και την ευκαιρία να νιώσω τη μεγάλη χαρά της ανεξάρτητης ανακάλυψης.

Οι διοφαντικές εξισώσεις βρίσκονται σε εργασίες της Ολυμπιάδας, έτσι αναπτύσσουν τη λογική σκέψη, αυξάνουν το επίπεδο της μαθηματικής κουλτούρας και ενσταλάσσουν δεξιότητες σε ανεξάρτητη ερευνητική εργασία στα μαθηματικά.

Κατά την επίλυση εξισώσεων και προβλημάτων που ανάγονται σε Διοφαντικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες των πρώτων αριθμών, η μέθοδος παραγοντοποίησης ενός πολυωνύμου, η μέθοδος απαρίθμησης, η μέθοδος καθόδου και ο ευκλείδειος αλγόριθμος. Κατά τη γνώμη μου, η μέθοδος κατάβασης είναι η πιο δύσκολη. Αλλά η μέθοδος της ωμής βίας αποδείχθηκε πιο όμορφη για μένα.

Έλυσα 54 προβλήματα στην εργασία μου.

Αυτή η εργασία συνέβαλε σε μια βαθύτερη κατανόηση του σχολικού προγράμματος σπουδών και διεύρυνε τους ορίζοντές μου.

Αυτό το υλικό θα είναι χρήσιμο σε μαθητές που ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ορισμένα μαθήματα και εξωσχολικές δραστηριότητες.

Το κείμενο της εργασίας αναρτάται χωρίς εικόνες και τύπους.
Η πλήρης έκδοση του έργου είναι διαθέσιμη στην καρτέλα «Αρχεία εργασίας» σε μορφή PDF

Αντικείμενο μελέτης.

Η έρευνα αφορά μια από τις πιο ενδιαφέρουσες ενότητες της θεωρίας αριθμών - επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς.

Αντικείμενο μελέτης.

Η επίλυση σε ακέραιες αλγεβρικές εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές και περισσότερους από έναν άγνωστους είναι ένα από τα πιο δύσκολα και αρχαία μαθηματικά προβλήματα και δεν παρουσιάζεται επαρκώς στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών. Στην εργασία μου θα παρουσιάσω μια αρκετά πλήρη ανάλυση των εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς, μια ταξινόμηση αυτών των εξισώσεων με μεθόδους επίλυσής τους, μια περιγραφή αλγορίθμων για την επίλυσή τους, καθώς και πρακτικά παραδείγματα χρήσης κάθε μεθόδου για την επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς .

Στόχος.

Μάθετε πώς να λύνετε εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Καθήκοντα:

Μελέτη εκπαιδευτικής και βιβλιογραφίας αναφοράς.

Συλλέξτε θεωρητικό υλικό για τον τρόπο επίλυσης εξισώσεων.

Ανάλυση αλγορίθμων για την επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου.

Περιγράψτε λύσεις.

Εξετάστε παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους.

Υπόθεση:

Έχοντας συναντήσει εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς στις εργασίες της Ολυμπιάδας, υπέθεσα ότι οι δυσκολίες στην επίλυσή τους οφείλονταν στο γεγονός ότι δεν μου ήταν γνωστές όλες οι μέθοδοι επίλυσής τους.

Συνάφεια:

Κατά την επίλυση δειγματοληπτικών εκδόσεων εργασιών Unified State Exam, παρατήρησα ότι συχνά υπάρχουν εργασίες για την επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού σε ακέραιους αριθμούς. Επιπλέον, οι εργασίες της Ολυμπιάδας σε διάφορα επίπεδα περιέχουν επίσης εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς ή προβλήματα που επιλύονται χρησιμοποιώντας την ικανότητα επίλυσης εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς. Η σημασία του να γνωρίζω πώς να λύνω εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς καθορίζει τη συνάφεια της έρευνάς μου.

Ερευνητικές μέθοδοι

Θεωρητική ανάλυση και γενίκευση πληροφοριών επιστημονικής βιβλιογραφίας για εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Ταξινόμηση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς σύμφωνα με μεθόδους επίλυσής τους.

Ανάλυση και γενίκευση μεθόδων επίλυσης εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς.

Αποτελέσματα έρευνας

Η εργασία περιγράφει μεθόδους επίλυσης εξισώσεων, εξετάζει το θεωρητικό υλικό του θεωρήματος του Φερμά, του Πυθαγόρειου θεωρήματος και του αλγόριθμου του Ευκλείδη και παρουσιάζει παραδείγματα λύσεων σε προβλήματα και εξισώσεις διαφόρων επιπέδων πολυπλοκότητας.

2. Ιστορία των εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς

Ο Διόφαντος - επιστήμονας - αλγεβριστής της Αρχαίας Ελλάδας, σύμφωνα με κάποιες πηγές έζησε μέχρι το 364 μ.Χ. μι. Ειδικεύτηκε στην επίλυση προβλημάτων σε ακέραιους αριθμούς. Από εδώ προέρχεται το όνομα Διοφαντικές εξισώσεις. Το πιο διάσημο πρόβλημα, που λύθηκε από τον Διόφαντο, είναι το πρόβλημα «αποσύνθεσης σε δύο τετράγωνα». Το αντίστοιχο είναι το γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα. Η ζωή και το έργο του Διόφαντου διαδραματίστηκε στην Αλεξάνδρεια, συγκέντρωσε και έλυνε γνωστά προβλήματα και σκέφτηκε νέα. Αργότερα τα συνδύασε σε ένα σπουδαίο έργο που ονομάζεται Αριθμητική. Από τα δεκατρία βιβλία που συνέθεσαν την Αριθμητική, μόνο έξι επέζησαν στον Μεσαίωνα και έγιναν πηγή έμπνευσης για τους μαθηματικούς της Αναγέννησης. Η Αριθμητική του Διόφαντου είναι μια συλλογή προβλημάτων, το καθένα περιλαμβάνει μια λύση και την απαραίτητη εξήγηση. Η συλλογή περιλαμβάνει μια ποικιλία προβλημάτων και οι λύσεις τους είναι συχνά εξαιρετικά έξυπνες. Ο Διόφαντος ενδιαφέρεται μόνο για θετικούς ακέραιους αριθμούς και ορθολογικές λύσεις. Ονομάζει «αδύνατες» τις παράλογες αποφάσεις και επιλέγει προσεκτικά τους συντελεστές ώστε να προκύψουν οι επιθυμητές θετικές, ορθολογικές λύσεις.

Το θεώρημα του Fermat χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς. Η ιστορία της απόδειξης του οποίου είναι αρκετά ενδιαφέρουσα. Πολλοί επιφανείς μαθηματικοί εργάστηκαν σε μια πλήρη απόδειξη του Μεγάλου Θεωρήματος και αυτές οι προσπάθειες οδήγησαν σε πολλά από τα αποτελέσματα της σύγχρονης θεωρίας αριθμών. Πιστεύεται ότι το θεώρημα κατέχει την πρώτη θέση ως προς τον αριθμό των εσφαλμένων αποδείξεων.

Ο αξιόλογος Γάλλος μαθηματικός Pierre Fermat δήλωσε ότι η εξίσωση για τον ακέραιο n ≥ 3 δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους x, y, z (xyz = 0 αποκλείεται από τη θετικότητα των x, y, z. Για την περίπτωση n = 3, αυτό Το θεώρημα δοκιμάστηκε τον 10ο αιώνα και αποδείχθηκε από τον μαθηματικό της Κεντρικής Ασίας al-Khojandi, αλλά η απόδειξή του δεν σώθηκε.Κάπως αργότερα, ο ίδιος ο Fermat δημοσίευσε μια απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσης για το n = 4.

Ο Euler το 1770 απέδειξε το θεώρημα για την περίπτωση n = 3, οι Dirichlet και Legendre το 1825 - για n = 5, Lame - για n = 7. Ο Kummer έδειξε ότι το θεώρημα ισχύει για όλους τους πρώτους n μικρότερους από 100, με την πιθανή εξαίρεση από 37, 59, 67.

Στη δεκαετία του 1980, εμφανίστηκε μια νέα προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος. Από την εικασία του Mordell, που αποδείχθηκε από τον Faltings το 1983, προκύπτει ότι η εξίσωση

για n > 3 μπορεί να έχει μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό σχετικά απλών λύσεων.

Το τελευταίο, αλλά πιο σημαντικό, βήμα για την απόδειξη του θεωρήματος έγινε τον Σεπτέμβριο του 1994 από τον Wiles. Η απόδειξη του 130 σελίδων δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Annals of Mathematics. Η απόδειξη βασίζεται στην υπόθεση του Γερμανού μαθηματικού Gerhard Frey ότι το τελευταίο θεώρημα του Fermat είναι συνέπεια της εικασίας Taniyama-Shimura (αυτή η υπόθεση αποδείχθηκε από τον Ken Ribet με τη συμμετοχή του J.-P. Serres). Ο Wiles δημοσίευσε το πρώτο εκδοχή της απόδειξης του το 1993 (μετά από 7 χρόνια σκληρής δουλειάς), αλλά σύντομα προέκυψε ένα σοβαρό κενό. Με τη βοήθεια του Ρίτσαρντ Λόρενς Τέιλορ, το χάσμα κλείστηκε γρήγορα. Η τελική έκδοση δημοσιεύτηκε το 1995. 15 Μαρτίου 2016 Ο Andrew Wiles λαμβάνει το βραβείο Abel. Επί του παρόντος, το ασφάλιστρο είναι 6 εκατομμύρια νορβηγικές κορώνες, δηλαδή περίπου 50 εκατομμύρια ρούβλια. Σύμφωνα με τον Wiles, το βραβείο ήταν μια "πλήρη έκπληξη" γι 'αυτόν.

3. Γραμμικές εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς

Οι γραμμικές εξισώσεις είναι οι απλούστερες από όλες τις Διοφαντικές εξισώσεις.

Μια εξίσωση της μορφής ax=b, όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί και x είναι μια άγνωστη μεταβλητή, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο. Εδώ πρέπει να βρούμε μόνο ακέραιες λύσεις της εξίσωσης. Μπορεί να σημειωθεί ότι αν a ≠ 0, τότε η εξίσωση θα έχει ακέραια λύση μόνο αν το b διαιρείται πλήρως με το a και αυτή η λύση είναι x = b/ph. Αν a=0, τότε η εξίσωση θα έχει ακέραια λύση όταν b=0 και στην περίπτωση αυτή x είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

επειδή Το 12 διαιρείται με το 4, λοιπόν

Επειδή a=o και b=0, τότε το x είναι οποιοσδήποτε αριθμός

Επειδή Το 7 δεν διαιρείται πλήρως με το 10, τότε δεν υπάρχουν λύσεις.

4. Μέθοδος απαρίθμησης επιλογών.

Στη μέθοδο απαρίθμησης των επιλογών, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τα σημάδια διαιρετότητας των αριθμών και να εξεταστούν όλες οι πιθανές επιλογές για την ισότητα της τελικής απαρίθμησης. Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση αυτών των προβλημάτων:

№1 Να βρείτε το σύνολο όλων των ζευγών φυσικών αριθμών που είναι λύση της εξίσωσης 49x+69y=602

Εκφράζουμε από την εξίσωση x =,

Επειδή x και y είναι φυσικοί αριθμοί, τότε x = ≥ 1, πολλαπλασιάστε ολόκληρη την εξίσωση με 49 για να απαλλαγείτε από τον παρονομαστή:

Μετακίνηση 602 προς τα αριστερά:

51y ≤ 553, εκφράστε y, y= 10

Μια πλήρης αναζήτηση επιλογών δείχνει ότι οι φυσικές λύσεις της εξίσωσης είναι x=5, y=7.

Απάντηση: (5.7).-

№2 Λύστε το πρόβλημα

Από τους αριθμούς 2, 4, 7, θα πρέπει να δημιουργήσετε έναν τριψήφιο αριθμό στον οποίο δεν μπορεί να επαναληφθεί ούτε ένα ψηφίο περισσότερες από δύο φορές.

Ας βρούμε τον αριθμό όλων των τριψήφιων αριθμών που ξεκινούν με τον αριθμό 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - υπάρχουν 8 από αυτούς.

Ομοίως, βρίσκουμε όλους τους τριψήφιους αριθμούς που ξεκινούν με τους αριθμούς 4 και 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - υπάρχουν επίσης 8 αριθμοί ο καθένας. Είναι μόλις η 24η.

Απάντηση: 24η.

5. Συνεχιζόμενο κλάσμα και Ευκλείδειος αλγόριθμος

Ένα συνεχιζόμενο κλάσμα είναι μια έκφραση ενός συνηθισμένου κλάσματος στη μορφή

όπου q 1 είναι ακέραιος και q 2, ..., qn είναι φυσικοί αριθμοί. Αυτή η έκφραση ονομάζεται συνεχιζόμενο (πεπερασμένο συνεχιζόμενο) κλάσμα. Υπάρχουν πεπερασμένα και άπειρα συνεχόμενα κλάσματα.

Για τους ρητούς αριθμούς, το συνεχιζόμενο κλάσμα έχει πεπερασμένη μορφή. Επιπλέον, η ακολουθία a i είναι ακριβώς η ακολουθία των πηλίκων που προκύπτει με την εφαρμογή του Ευκλείδειου αλγόριθμου στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος.

Επίλυση εξισώσεων με συνεχόμενα κλάσματα, συνέταξα έναν γενικό αλγόριθμο για αυτήν τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς.

Αλγόριθμος

1) Να συνθέσετε τον λόγο των συντελεστών για τους αγνώστους με τη μορφή κλάσματος

2) Μετατρέψτε την έκφραση σε ακατάλληλο κλάσμα

3) Επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα του ακατάλληλου κλάσματος

4) Αντικαταστήστε ένα σωστό κλάσμα με ένα ίσο κλάσμα

5) Κάντε το 3.4 με το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει στον παρονομαστή

6) Επαναλάβετε 5 μέχρι το τελικό αποτέλεσμα

7) Στην παράσταση που προκύπτει, απορρίψτε τον τελευταίο σύνδεσμο του συνεχιζόμενου κλάσματος, μετατρέψτε το προκύπτον νέο συνεχιζόμενο κλάσμα σε απλό και αφαιρέστε το από το αρχικό κλάσμα.

Παράδειγμα№1 Λύστε την εξίσωση 127x- 52y+ 1 = 0 σε ακέραιους αριθμούς

Ας μετατρέψουμε τον λόγο των συντελεστών για τους αγνώστους.

Πρώτα απ 'όλα, ας επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος του ακατάλληλου κλάσματος. = 2 +

Αντικαθιστούμε το σωστό κλάσμα με ίσο κλάσμα.

Από = 2+

Ας κάνουμε τους ίδιους μετασχηματισμούς με το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει στον παρονομαστή.

Τώρα το αρχικό κλάσμα θα έχει τη μορφή: Επαναλαμβάνοντας τον ίδιο συλλογισμό για το κλάσμα που παίρνουμε Απομονώνοντας ολόκληρο το τμήμα του ακατάλληλου κλάσματος, καταλήγουμε στο τελικό αποτέλεσμα:

Λάβαμε μια έκφραση που ονομάζεται πεπερασμένο συνεχές κλάσμα. Έχοντας απορρίψει τον τελευταίο σύνδεσμο αυτού του συνεχιζόμενου κλάσματος - το ένα πέμπτο, μετατρέπουμε το νέο συνεχόμενο κλάσμα που προκύπτει σε απλό και το αφαιρούμε από το αρχικό κλάσμα:

Ας μειώσουμε την έκφραση που προκύπτει σε έναν κοινό παρονομαστή και ας την απορρίψουμε.

Από πού προέρχεται το 127∙9-52∙22+1=0. Από τη σύγκριση της προκύπτουσας ισότητας με την εξίσωση 127x- 52y+1 = 0 προκύπτει ότι τότε x= 9, y= 22 είναι η λύση της αρχικής εξίσωσης και σύμφωνα με το θεώρημα, όλες οι λύσεις της θα περιέχονται στις προόδους x = 9+ 52t, y= 22+ 127t , όπου t=(0; ±1; ±2…..) Το αποτέλεσμα που προκύπτει υποδηλώνει ότι στη γενική περίπτωση, να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση ax+by+c= 0, είναι απαραίτητο να επεκτείνουμε τον λόγο των συντελεστών των αγνώστων σε ένα συνεχές κλάσμα, να απορρίψουμε τον τελευταίο του σύνδεσμο και να εκτελέσουμε υπολογισμούς παρόμοιους με αυτούς που δίνονται παραπάνω.

Για να αποδείξουμε αυτή την υπόθεση, θα χρειαστούμε κάποιες ιδιότητες συνεχιζόμενων κλασμάτων.

Ας θεωρήσουμε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα. Ας συμβολίσουμε με q 1 το πηλίκο και με r 2 το υπόλοιπο της διαίρεσης του a με το b. Τότε παίρνουμε:

Τότε b=q 2 r 2 +r 3,

Παρόμοιος

r 2 =q 3 r 3 +r 4 , ;

r 3 =q 4 r 4 + r 5 ,;

………………………………..

Τα μεγέθη q 1, q 2,... λέγονται ημιτελή πηλίκα. Η παραπάνω διαδικασία σχηματισμού ημιτελών πηλίκων ονομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμος. Τα υπόλοιπα από τη διαίρεση r 2 , r 3 , … ικανοποιούν τις ανισότητες

εκείνοι. σχηματίζουν μια σειρά από φθίνοντες μη αρνητικούς αριθμούς.

Παράδειγμα Νο. 2 Λύστε την εξίσωση 170x+190y=3000 σε ακέραιους αριθμούς

Μετά τη μείωση κατά 10 η εξίσωση μοιάζει με αυτό:

Για να βρούμε μια συγκεκριμένη λύση, χρησιμοποιούμε την αποσύνθεση ενός κλάσματος σε ένα συνεχές κλάσμα

Συμπτύσσοντας το προτελευταίο κλάσμα που το ταιριάζει σε ένα συνηθισμένο κλάσμα

Μια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης έχει τη μορφή

X 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,

και η γενική δίνεται από τον τύπο

x=2700-19k, y= -2400+17k.

από την οποία προκύπτει η συνθήκη για την παράμετρο k

Εκείνοι. k=142, x=2, y=14. .

6. Μέθοδος παραγοντοποίησης

Η μέθοδος απαρίθμησης επιλογών είναι μια άβολη μέθοδος, αφού υπάρχουν περιπτώσεις που είναι αδύνατο να βρεθούν πλήρεις λύσεις με απαρίθμηση, αφού υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων λύσεων. Η μέθοδος της παραγοντοποίησης είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα τεχνική και συναντάται τόσο στα μαθηματικά της στοιχειώδους όσο και στα ανώτερα.

Η ουσία είναι ο μετασχηματισμός της ταυτότητας. Το νόημα οποιουδήποτε πανομοιότυπου μετασχηματισμού είναι να γράψετε μια έκφραση σε διαφορετική μορφή διατηρώντας παράλληλα την ουσία της. Ας δούμε παραδείγματα χρήσης αυτής της μεθόδου.

№1 Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς y 3 -Χ 3 = 91.

Χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού, παραγοντοποιούμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Καταγράφουμε όλους τους διαιρέτες του αριθμού 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Σημειώνουμε ότι για κάθε ακέραιο x και y ο αριθμός

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

Επομένως, και οι δύο παράγοντες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να είναι θετικοί. Τότε η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο συστημάτων εξισώσεων:

Έχοντας λύσει τα συστήματα, επιλέγουμε εκείνες τις ρίζες που είναι ακέραιοι.

Λαμβάνουμε λύσεις στην αρχική εξίσωση: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4), (-4; 3).

Απάντηση: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση x 2 -υ 2 = 69

Ας παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή

Επειδή Οι διαιρέτες του αριθμού 69 είναι οι αριθμοί 1, 3, 23 και 69, τότε το 69 μπορεί να ληφθεί με δύο τρόπους: 69=1·69 και 69=3·23. Θεωρώντας ότι x-y > 0, παίρνουμε δύο συστήματα εξισώσεων, λύνοντας τα οποία μπορούμε να βρούμε τους απαιτούμενους αριθμούς:

Εκφράζοντας μια μεταβλητή και αντικαθιστώντας τη με τη δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε τις ρίζες των εξισώσεων.Το πρώτο σύστημα έχει λύση x=35;y=34 και το δεύτερο σύστημα έχει λύση x=13, y=10.

Απάντηση: (35; 34), (13; 10).

№3 Λύστε την εξίσωση x + y = xy σε ακέραιους αριθμούς:

Ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή

Ας παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Παίρνουμε

Το γινόμενο δύο ακεραίων αριθμών μπορεί να ισούται μόνο με 1 σε δύο περιπτώσεις: αν είναι και οι δύο ίσοι με 1 ή -1. Παίρνουμε δύο συστήματα:

Το πρώτο σύστημα έχει λύση x=2, y=2 και το δεύτερο σύστημα έχει λύση x=0, y=0. Απάντηση: (2; 2), (0; 0).

№4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Ας παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3, καταλήγοντας στην ακόλουθη εξίσωση:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Οι διαιρέτες του 10 είναι οι αριθμοί ±1, ±2, ±5, ±10. Σημειώστε επίσης ότι το άθροισμα των παραγόντων στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ίσο με 0. Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών αριθμών από το σύνολο διαιρετών του αριθμού 10, δίνοντας το γινόμενο 10, δεν θα είναι ίσο 0. Κατά συνέπεια, η αρχική εξίσωση δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

7. Υπολειμματική μέθοδος

Το κύριο καθήκον της μεθόδου είναι να βρει το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με έναν ακέραιο, με βάση τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Συχνά οι πληροφορίες που λαμβάνονται μειώνουν τις δυνατότητες συνόλων λύσεων για την εξίσωση. Ας δούμε παραδείγματα:

№1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2 = 3y + 2 δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Απόδειξη.

Θεωρήστε την περίπτωση όταν x, y ∈ N. Θεωρήστε τα υπόλοιπα όταν και οι δύο πλευρές διαιρούνται με 3. Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης δίνει υπόλοιπο 2 όταν διαιρείται με 3 για οποιαδήποτε τιμή του y. Η αριστερή πλευρά, που είναι το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού, όταν διαιρείται με το 3 δίνει πάντα ένα υπόλοιπο 0 ή 1. Με βάση αυτό, διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει λύση σε αυτή την εξίσωση στους φυσικούς αριθμούς.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που ένας από τους αριθμούς είναι 0. Τότε, προφανώς, δεν υπάρχουν λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Η περίπτωση που το y είναι αρνητικός ακέραιος δεν έχει λύσεις, γιατί η δεξιά πλευρά θα είναι αρνητική και η αριστερή θα είναι θετική.

Η περίπτωση που το x είναι αρνητικός ακέραιος δεν έχει επίσης λύσεις, γιατί εμπίπτει σε μία από τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν προηγουμένως λόγω του γεγονότος ότι (-x) 2 = (x) 2.

Αποδεικνύεται ότι η υποδεικνυόμενη εξίσωση δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

№2 Να λύσετε σε ακέραιους αριθμούς 3 Χ = 1 + y 2 .

Δεν είναι δύσκολο να παρατηρήσουμε ότι το (0; 0) είναι η λύση αυτής της εξίσωσης. Μένει να αποδείξουμε ότι η εξίσωση δεν έχει άλλες ακέραιες ρίζες.

Ας δούμε τις περιπτώσεις:

1) Αν x∈N, y∈N, τότε το 3 διαιρείται με το τρία χωρίς υπόλοιπο, και το 1 + y 2 όταν διαιρείται με το 3 δίνει

το υπόλοιπο είναι είτε 1 είτε 2. Επομένως, ισότητα για φυσικό

τιμές x, y είναι αδύνατη.

2) Αν x είναι αρνητικός ακέραιος, y∈Z, τότε 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

η ισότητα είναι επίσης αδύνατη. Επομένως, το (0; 0) είναι το μόνο

Απάντηση: (0; 0).

№3 Λύστε την εξίσωση 2x 2 -2xy+9x+y=2 σε ακέραιους αριθμούς:

Ας εκφράσουμε από την εξίσωση τον άγνωστο που περιλαμβάνεται σε αυτήν μόνο στον πρώτο βαθμό, δηλαδή τη μεταβλητή y:

2x 2 +9x-2=2xy-y, από πού

Ας επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα ενός κλάσματος χρησιμοποιώντας τον κανόνα της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο με μια "γωνία". Παίρνουμε:

Προφανώς, η διαφορά 2x-1 μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές -3, -1, 1 και 3.

Μένει να περάσουμε από αυτές τις τέσσερις περιπτώσεις, με αποτέλεσμα να λάβουμε τις λύσεις: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Απάντηση: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Παράδειγμα επίλυσης εξισώσεων με δύο μεταβλητές σε ακέραιους αριθμούς ως τετράγωνο σε σχέση με μία από τις μεταβλητές

№1 Λύστε την εξίσωση 5x σε ακέραιους αριθμούς 2 +5υ 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί με παραγοντοποίηση, αλλά αυτή η μέθοδος, όταν εφαρμόζεται σε αυτήν την εξίσωση, είναι αρκετά απαιτητική. Ας εξετάσουμε έναν πιο ορθολογικό τρόπο.

Ας γράψουμε την εξίσωση σε τετραγωνική μορφή ως προς τη μεταβλητή x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Βρίσκουμε τις ρίζες του.

Αυτή η εξίσωση έχει λύση εάν και μόνο εάν η διάκριση

αυτής της εξίσωσης ισούται με μηδέν, δηλ. - 9(y+1) 2 =0, επομένως y= - 1.

Αν y= -1, τότε x= 1.

Απάντηση: (1; - 1).

9. Ένα παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων με χρήση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς.

№ 1. Λύστε την εξίσωση σε φυσικούς αριθμούς : όπου n>m

Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή n μέσω της μεταβλητής m:

Ας βρούμε τους διαιρέτες του αριθμού 625: αυτό είναι 1; 5; 25; 125; 625

1) αν m-25 =1, τότε m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, μετά m=30, n=150

3) m-25 =25, μετά m=50, n=50

4) m-25 =125, μετά m=150, n=30

5) m-25 =625, μετά m=650, n=26

Απάντηση: m=150, n=30

№ 2. Λύστε την εξίσωση σε φυσικούς αριθμούς: mn +25 = 4m

Λύση: mn +25 = 4m

1) εκφράστε τη μεταβλητή 4m ως n:

2) βρείτε τους φυσικούς διαιρέτες του αριθμού 25: αυτό είναι 1. 5; 25

αν 4-n =1, τότε n=3, m=25

4-n=5, μετά n=-1, m=5; 4-n =25, μετά n=-21, m=1 (εξωγενείς ρίζες)

Απάντηση: (25;3)

Εκτός από τις εργασίες για την επίλυση μιας εξίσωσης σε ακέραιους αριθμούς, υπάρχουν εργασίες που αποδεικνύουν το γεγονός ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να θυμάστε τις ακόλουθες ιδιότητες διαιρετότητας:

1) Αν n Z; Το n διαιρείται με το 2, τότε n = 2k, k ∈ Z.

2) Αν n ∈ Z; Το n δεν διαιρείται με το 2, τότε n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Αν n ∈ Z; Το n διαιρείται με το 3, τότε n = 3k, k ∈ Z.

4) Αν n ∈ Z; Το n δεν διαιρείται με το 3, τότε n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Αν n ∈ Z; Το n δεν διαιρείται με το 4, τότε n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Αν n ∈ Z; Το n(n+1) διαιρείται με το 2, μετά το n (n+1)(n+2) διαιρείται με το 2;3;6.

7)n; Οι n+1 είναι σχετικά πρώτοι.

№3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2 - Το 3y = 17 δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Απόδειξη:

Έστω x; y - λύσεις της εξίσωσης

x 2 = 3(y+6)-1 Επειδή y ∈ Z τότε y+6 ∈ Z, που σημαίνει ότι το 3(y+6) διαιρείται με το 3, επομένως, το 3(y+6)-1 δεν διαιρείται με το 3, επομένως, το x 2 δεν διαιρείται με το 3, επομένως , το x δεν διαιρείται με το 3, που σημαίνει x = 3k±1, k ∈ Z.

Ας το αντικαταστήσουμε στην αρχική εξίσωση.

Έχουμε μια αντίφαση. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει ολόκληρες λύσεις, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

10.Φόρμουλα Pica

Ο τύπος Pieck ανακαλύφθηκε από τον Αυστριακό μαθηματικό Georg Pieck το 1899. Ο τύπος σχετίζεται με εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς στο ότι μόνο ακέραιοι κόμβοι λαμβάνονται από πολύγωνα, όπως ακριβώς και οι ακέραιοι στις εξισώσεις.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας που έχει κατασκευαστεί σε ένα φύλλο χαρτιού σε ένα κλουβί (τρίγωνο, τετράγωνο, τραπεζοειδές, ορθογώνιο, πολύγωνο).

Σε αυτόν τον τύπο θα βρούμε ακέραια σημεία μέσα στο πολύγωνο και στο περίγραμμά του.

Στα προβλήματα που θα υπάρξουν στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους υπάρχει μια ολόκληρη ομάδα εργασιών στις οποίες δίνεται ένα πολύγωνο, κατασκευασμένο σε ένα φύλλο χαρτιού σε ένα τετράγωνο, και το ερώτημα αφορά την εύρεση της περιοχής. Η κλίμακα του κελιού είναι ένα τετραγωνικό εκατοστό.

Παράδειγμα Νο. 1

M - αριθμός κόμβων στο όριο του τριγώνου (στις πλευρές και στις κορυφές)

N είναι ο αριθμός των κόμβων μέσα στο τρίγωνο.

*Με τον όρο «κόμβοι» εννοούμε την τομή των γραμμών. Ας βρούμε το εμβαδόν του τριγώνου:

Ας σημειώσουμε τους κόμβους:

M = 15 (υποδεικνύεται με κόκκινο)

N=34 (με μπλε)

Παράδειγμα Νο. 2

Ας βρούμε το εμβαδόν του πολυγώνου: Σημειώστε τους κόμβους:

M = 14 (υποδεικνύεται με κόκκινο χρώμα)

N=43 (με μπλε)

12.Μέθοδος καθόδου

Μία από τις μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς - η μέθοδος καθόδου - βασίζεται στο θεώρημα του Fermat.

Η μέθοδος καθόδου είναι μια μέθοδος που συνίσταται στην κατασκευή μιας λύσης σε μια άπειρη ακολουθία λύσεων με απείρως φθίνουσα θετική z.

Ας εξετάσουμε τον αλγόριθμο αυτής της μεθόδου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης μιας συγκεκριμένης εξίσωσης.

Παράδειγμα 1. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς 5x + 8y = 39.

1) Ας επιλέξουμε τον άγνωστο που έχει τον μικρότερο συντελεστή (στην περίπτωσή μας είναι x) και ας τον εκφράσουμε μέσω ενός άλλου αγνώστου:

2) Ας επιλέξουμε το ακέραιο μέρος: Προφανώς, το x θα είναι ακέραιος εάν η παράσταση αποδειχθεί ακέραιος, ο οποίος, με τη σειρά του, θα συμβεί όταν ο αριθμός 4 - 3y διαιρείται με το 5 χωρίς υπόλοιπο.

3) Ας εισάγουμε μια επιπλέον ακέραια μεταβλητή z ως εξής: 4 -3y = 5z. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια εξίσωση του ίδιου τύπου με την αρχική, αλλά με μικρότερους συντελεστές.

4) Το λύνουμε ως προς τη μεταβλητή y, συλλογίζοντας ακριβώς όπως στα σημεία 1, 2: Επιλέγοντας ολόκληρο το μέρος, παίρνουμε:

5) Συλλογίζοντας παρόμοια με την προηγούμενη, εισάγουμε μια νέα μεταβλητή u: 3u = 1 - 2z.

6) Να εκφράσετε τον άγνωστο με τον μικρότερο συντελεστή, στην περίπτωση αυτή τη μεταβλητή z: . Απαιτώντας να είναι ακέραιος, παίρνουμε: 1 - u = 2v, από όπου u = 1 - 2v. Δεν υπάρχουν άλλα κλάσματα, η κάθοδος ολοκληρώθηκε (συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να μην μείνουν κλάσματα στην έκφραση για την επόμενη μεταβλητή).

7) Τώρα πρέπει να «ανεβείτε». Ας εκφράσουμε μέσω της μεταβλητής v πρώτα z, μετά y και μετά x:

8) Οι τύποι x = 3+8v και y = 3 - 5v, όπου v είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός, αντιπροσωπεύουν τη γενική λύση της αρχικής εξίσωσης σε ακέραιους αριθμούς.

Έτσι, η μέθοδος καθόδου περιλαμβάνει πρώτα τη διαδοχική έκφραση μιας μεταβλητής ως προς την άλλη μέχρι να μην απομείνουν κλάσματα στην αναπαράσταση της μεταβλητής και στη συνέχεια διαδοχικά «ανέβασμα» κατά μήκος της αλυσίδας των ισοτήτων για να ληφθεί μια γενική λύση στην εξίσωση.

12. Συμπέρασμα

Ως αποτέλεσμα της μελέτης, επιβεβαιώθηκε η υπόθεση ότι οι δυσκολίες στην επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς οφείλονται στο γεγονός ότι δεν μου ήταν γνωστές όλες οι μέθοδοι επίλυσής τους. Κατά τη διάρκεια της έρευνάς μου, μπόρεσα να βρω και να περιγράψω ελάχιστα γνωστές μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς και να τις επεξηγήσω με παραδείγματα. Τα αποτελέσματα της έρευνάς μου μπορούν να είναι χρήσιμα σε όλους τους μαθητές που ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά.

13.Βιβλιογραφία

Πηγές βιβλίων:

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algebra and mathematical analysis / 10th class, 11th class // M., “Enlightenment”, 1998;

2. A.F. Ivanov et al., Mathematics. Εκπαιδευτικό και εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία για τις εξετάσεις // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gelfond, Μαθηματικά, θεωρία αριθμών // Επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς // LIBROKOM Book House

Πηγές Διαδικτύου:

4. Εκδόσεις επίδειξης υλικών μέτρησης ελέγχου της ενιαίας κρατικής εξέτασης στα μαθηματικά http://fipi.ru/

5. Παραδείγματα λύσεων εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς http://reshuege.ru

6. Παραδείγματα λύσεων εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς http://mat-ege.ru

7. Ιστορία των Διοφαντινών εξισώσεων http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Ιστορία του Διόφαντου http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9. Ιστορία των Διοφαντικών εξισώσεων http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Ιστορία του Διόφαντου http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

Επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς.

Οι αβέβαιες εξισώσεις είναι εξισώσεις που περιέχουν περισσότερους από έναν άγνωστους. Με τον όρο μία λύση σε μια απροσδιόριστη εξίσωση εννοούμε ένα σύνολο τιμών των αγνώστων που μετατρέπει τη δεδομένη εξίσωση σε αληθινή ισότητα.

Να λύσετε σε ακέραιους μια εξίσωση της μορφής αχ + με = ντο , Οπου ΕΝΑ, σι , ντο - ακέραιοι εκτός από το μηδέν, παρουσιάζουμε μια σειρά από θεωρητικές διατάξεις που θα μας επιτρέψουν να καθορίσουμε έναν κανόνα απόφασης. Οι διατάξεις αυτές βασίζονται επίσης σε ήδη γνωστά δεδομένα της θεωρίας της διαιρετότητας.

Θεώρημα 1.Αν gcd (ΕΝΑ, σι ) = ρε , τότε υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι αριθμοί ΧΚαι στο, ότι ισχύει η ισότητα αχ + σι y = ρε . (Αυτή η ισότητα ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός ή γραμμική αναπαράσταση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών ως προς τους ίδιους τους αριθμούς.)

Η απόδειξη του θεωρήματος βασίζεται στη χρήση της ισότητας του Ευκλείδειου αλγόριθμου για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών (ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης εκφράζεται με όρους μερικών πηλίκων και υπολοίπων, ξεκινώντας από την τελευταία ισότητα στον ευκλείδειο αλγόριθμο).

Παράδειγμα.

Βρείτε τη γραμμική παράσταση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των αριθμών 1232 και 1672.

Λύση.

1. Ας δημιουργήσουμε τις ισότητες του Ευκλείδειου αλγόριθμου:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, δηλ. (1672.352) = 88.

2) Ας εκφράσουμε το 88 διαδοχικά μέσω ημιτελών πηλίκων και υπολοίπων, χρησιμοποιώντας τις ισότητες που λήφθηκαν παραπάνω, ξεκινώντας από το τέλος:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, δηλ. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Θεώρημα 2. Αν η εξίσωση αχ + σι y = 1 , εάν gcd (ΕΝΑ, σι ) = 1 , αρκεί να φανταστεί κανείς τον αριθμό 1 ως γραμμικός συνδυασμός αριθμών α και σι.

Η εγκυρότητα αυτού του θεωρήματος προκύπτει από το Θεώρημα 1. Έτσι, προκειμένου να βρεθεί μια ενιαία ακέραια λύση στην εξίσωση αχ + σι y = 1, αν gcd (a, b) = 1, αρκεί να αναπαραστήσουμε τον αριθμό 1 ως γραμμικό συνδυασμό αριθμών ΕΝΑ Και V .

Παράδειγμα.

Βρείτε μια ακέραια λύση της εξίσωσης 15x + 37y = 1.

Λύση.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Θεώρημα 3. Αν στην εξ. αχ + σι y = c gcd(a, σι ) = ρε >1 Και Μεδεν διαιρείται με ρε , τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Για να αποδείξουμε το θεώρημα, αρκεί να υποθέσουμε το αντίθετο.

Παράδειγμα.

Βρείτε μια ακέραια λύση της εξίσωσης 16x - 34y = 7.

Λύση.

(16,34)=2; Το 7 δεν διαιρείται με το 2, η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις

Θεώρημα 4. Αν στην εξ. αχ + σι y = c gcd(a, σι ) = ρε >1 και γ ρε , τότε είναι

Κατά την απόδειξη του θεωρήματος, θα πρέπει να αποδειχθεί ότι μια αυθαίρετη ακέραια λύση στην πρώτη εξίσωση είναι επίσης λύση στη δεύτερη εξίσωση και το αντίστροφο.

Θεώρημα 5. Αν στην εξ. αχ + σι y = c gcd(a, σι ) = 1, τότε όλες οι ακέραιες λύσεις αυτής της εξίσωσης περιέχονται στους τύπους:

t – οποιοδήποτε ακέραιο.

Κατά την απόδειξη του θεωρήματος, θα πρέπει να αποδειχθεί, πρώτον, ότι οι παραπάνω τύποι παρέχουν στην πραγματικότητα λύσεις σε αυτήν την εξίσωση και, δεύτερον, ότι μια αυθαίρετη ακέραια λύση αυτής της εξίσωσης περιέχεται στους παραπάνω τύπους.

Τα παραπάνω θεωρήματα μας επιτρέπουν να θεσπίσουμε τον ακόλουθο κανόνα για την επίλυση της εξίσωσης σε ακέραιους αριθμούς αχ+ σι y = c gcd(a, σι ) = 1:

1) Βρίσκεται μια ακέραια λύση της εξίσωσης αχ + σι y = 1 αντιπροσωπεύοντας το 1 ως γραμμικό συνδυασμό αριθμών ΕΝΑ Καισι (υπάρχουν άλλοι τρόποι για να βρείτε ολόκληρες λύσεις σε αυτήν την εξίσωση, για παράδειγμα χρησιμοποιώντας συνεχόμενα κλάσματα).

Δίνοντας t ορισμένες ακέραιες τιμές, μπορείτε να λάβετε μερικές λύσεις σε αυτήν την εξίσωση: τη μικρότερη σε απόλυτη τιμή, τη μικρότερη θετική (αν είναι δυνατόν) κ.λπ.

Παράδειγμα.

Βρείτε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 407x - 2816y = 33.

Λύση.

1. Απλοποιούμε αυτή την εξίσωση, φέρνοντάς την στη μορφή 37x - 256y = 3.

2. Λύστε την εξίσωση 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Γενική άποψη όλων των ακέραιων λύσεων αυτής της εξίσωσης:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Η μέθοδος εξαντλητικής απαρίθμησης όλων των πιθανών τιμών των μεταβλητών,

περιλαμβάνονται στην εξίσωση.

Να βρείτε το σύνολο όλων των ζευγών φυσικών αριθμών που είναι λύσεις της εξίσωσης 49x + 51y = 602.

Λύση:

Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή x από την εξίσωση μέσω y x =, αφού x και y είναι φυσικοί αριθμοί, τότε x =602 - 51у ≥ 49, 51ου≤553, 1≤у≤10.

Μια πλήρης αναζήτηση επιλογών δείχνει ότι οι φυσικές λύσεις της εξίσωσης είναι x=5, y=7.

Απάντηση: (5;7).

Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο της παραγοντοποίησης.

Ο Διόφαντος, μαζί με τις γραμμικές εξισώσεις, θεωρούσε τετραγωνικές και κυβικές αόριστες εξισώσεις. Η επίλυσή τους είναι συνήθως δύσκολη.

Ας εξετάσουμε μια περίπτωση όπου ο τύπος διαφοράς τετραγώνων ή άλλη μέθοδος παραγοντοποίησης μπορεί να εφαρμοστεί στις εξισώσεις.

Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς: x 2 + 23 = y 2

Λύση:

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Επειδή τα x και y είναι ακέραιοι και το 23 είναι πρώτος αριθμός, είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

Επιλύοντας τα συστήματα που προκύπτουν, βρίσκουμε:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Εκφράζοντας μια μεταβλητή ως προς μια άλλη και απομονώνοντας ολόκληρο το τμήμα του κλάσματος.

Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Λύση:

Ας εκφράσουμε το y έως το x από αυτήν την εξίσωση:

y(x - 1) =2 - x 2,

Η προσέγγιση του συγγραφέα σε αυτό το θέμα δεν είναι τυχαία. Εξισώσεις με δύο μεταβλητές συναντώνται για πρώτη φορά στο μάθημα της 7ης τάξης. Μια εξίσωση με δύο μεταβλητές έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης, που δίνεται ως ax + by=c. Στο σχολικό μάθημα οι μαθητές μελετούν συστήματα δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Ως αποτέλεσμα, μια ολόκληρη σειρά προβλημάτων με περιορισμένες συνθήκες στον συντελεστή της εξίσωσης, καθώς και μέθοδοι επίλυσής τους, πέφτουν από τα μάτια του δασκάλου και, επομένως, του μαθητή.

Μιλάμε για επίλυση εξίσωσης με δύο αγνώστους σε ακέραιους ή φυσικούς αριθμούς.

Στο σχολείο μελετώνται φυσικοί αριθμοί και ακέραιοι στις τάξεις 4-6. Μέχρι να αποφοιτήσουν από το σχολείο, δεν θυμούνται όλοι οι μαθητές τις διαφορές μεταξύ των συνόλων αυτών των αριθμών.

Ωστόσο, ένα πρόβλημα όπως «να λύσετε μια εξίσωση της μορφής ax + by=c σε ακέραιους αριθμούς» απαντάται ολοένα και περισσότερο στις εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια και στο υλικό των Εξετάσεων του Ενιαίου Κράτους.

Η επίλυση αβέβαιων εξισώσεων αναπτύσσει τη λογική σκέψη, την ευφυΐα και την προσοχή στην ανάλυση.

Προτείνω την ανάπτυξη πολλών μαθημάτων για αυτό το θέμα. Δεν έχω σαφείς συστάσεις για το χρονοδιάγραμμα αυτών των μαθημάτων. Μερικά στοιχεία μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν στην 7η τάξη (για μια δυνατή τάξη). Αυτά τα μαθήματα μπορούν να ληφθούν ως βάση και να αναπτυχθεί ένα μικρό μάθημα επιλογής για την προ-επαγγελματική κατάρτιση στην 9η τάξη. Και, φυσικά, αυτό το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις τάξεις 10-11 για προετοιμασία για εξετάσεις.

Σκοπός του μαθήματος:

• επανάληψη και γενίκευση γνώσεων με θέμα «Εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης»
• καλλιέργεια γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα
• ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης, γενικεύσεων, μεταφοράς γνώσης σε μια νέα κατάσταση

Ορισμός. Μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές είναι μια εξίσωση της μορφής

mx + ny = k, όπου m, n, k είναι αριθμοί, x, y είναι μεταβλητές.

Παράδειγμα: 5x+2y=10

Ορισμός. Μια λύση σε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές είναι ένα ζεύγος τιμών μεταβλητών που μετατρέπει την εξίσωση σε πραγματική ισότητα.

Οι εξισώσεις με δύο μεταβλητές που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμες.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6

Αυτή η εξίσωση μπορεί να έχει οποιοδήποτε αριθμό λύσεων. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρετε οποιαδήποτε τιμή x και να βρείτε την αντίστοιχη τιμή y.

Έστω x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Ζεύγη αριθμών (2;1); (4;-4) – λύσεις της εξίσωσης (1).

Αυτή η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.

3) Ιστορική αναδρομή

Οι αόριστες (διοφαντικές) εξισώσεις είναι εξισώσεις που περιέχουν περισσότερες από μία μεταβλητές.

Τον 3ο αιώνα. ΕΝΑ Δ – Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός έγραψε την «Αριθμητική», στην οποία επέκτεινε το σύνολο των αριθμών σε ορθολογικούς και εισήγαγε αλγεβρικό συμβολισμό.

Ο Διόφαντος εξέτασε επίσης τα προβλήματα επίλυσης αόριστων εξισώσεων και έδωσε μεθόδους για την επίλυση αόριστων εξισώσεων δεύτερου και τρίτου βαθμού.

4) Μελέτη νέου υλικού.

Ορισμός: Μια πρώτης τάξης ανομοιογενής Διοφαντική εξίσωση με δύο αγνώστους x, y είναι μια εξίσωση της μορφής mx + ny = k, όπου m, n, k, x, y Z k0

Δήλωση 1.

Αν ο ελεύθερος όρος k στην εξίσωση (1) δεν διαιρείται με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών m και n, τότε η εξίσωση (1) δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Παράδειγμα: 34x – 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, το 3 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 17, δεν υπάρχει λύση σε ακέραιους αριθμούς.

Έστω k διαιρείται με gcd (m, n). Διαιρώντας όλους τους συντελεστές, μπορούμε να διασφαλίσουμε ότι τα m και n γίνονται σχετικά πρώτοι.

Δήλωση 2.

Εάν τα m και n της εξίσωσης (1) είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί, τότε αυτή η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση.

Δήλωση 3.

Εάν οι συντελεστές m και n της εξίσωσης (1) είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε αυτή η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις:

Όπου (; ) είναι οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (1), t Z

Ορισμός. Μια ομογενής Διοφαντινή εξίσωση πρώτης τάξης με δύο αγνώστους x, y είναι μια εξίσωση της μορφής mx + ny = 0, όπου (2)

Δήλωση 4.

Αν οι m και n είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή

5) Εργασία για το σπίτι. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. Πολλά παιδιά μάζευαν μήλα. Κάθε αγόρι μάζεψε 21 κιλά και το κορίτσι 15 κιλά. Συνολικά συγκέντρωσαν 174 κιλά. Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια μάζεψαν μήλα;

Σχόλιο. Αυτό το μάθημα δεν παρέχει παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς. Επομένως, τα παιδιά λύνουν την εργασία με βάση την πρόταση 1 και την επιλογή.

Μάθημα 2.

1) 9x – 18y = 5

Το 5 δεν διαιρείται με το 9, δεν υπάρχουν λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής μπορείτε να βρείτε μια λύση

Απάντηση: (0;0), (2;2)

3) Ας κάνουμε μια εξίσωση:

Έστω τα αγόρια x, x Z και τα κορίτσια y, y Z, τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε την εξίσωση 21x + 15y = 174

Πολλοί μαθητές, έχοντας γράψει μια εξίσωση, δεν θα μπορέσουν να τη λύσουν.

Απάντηση: 4 αγόρια, 6 κορίτσια.

Έχοντας αντιμετωπίσει δυσκολίες στην ολοκλήρωση της εργασίας, οι μαθητές πείστηκαν για την ανάγκη να μάθουν τις μεθόδους τους για την επίλυση αβέβαιων εξισώσεων. Ας δούμε μερικά από αυτά.

I. Μέθοδος για την εξέταση υπολοίπων διαίρεσης.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς 3x – 4y = 1.

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης διαιρείται με το 3, επομένως η δεξιά πλευρά πρέπει να διαιρείται. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις.

Απάντηση: όπου m Z.

Η περιγραφόμενη μέθοδος είναι βολική στη χρήση εάν οι αριθμοί m και n δεν είναι μικροί, αλλά μπορούν να αποσυντεθούν σε απλούς παράγοντες.

Παράδειγμα: Λύστε εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς.

Έστω y = 4n, τότε 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) διαιρείται με το 4.

y = 4n+1, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n δεν διαιρείται με το 4.

y = 4n+2, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n δεν διαιρείται με το 4.

y = 4n+3, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n δεν διαιρείται με το 4.

Επομένως y = 4n, λοιπόν

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Απάντηση: , όπου n Z.

II. Αβέβαιες εξισώσεις 2ου βαθμού

Σήμερα στο μάθημα θα αγγίξουμε μόνο τη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων δεύτερης τάξης.

Και από όλους τους τύπους εξισώσεων, θα εξετάσουμε την περίπτωση που μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων ή άλλη μέθοδο παραγοντοποίησης.

Παράδειγμα: Λύστε μια εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς.

Το 13 είναι πρώτος αριθμός, επομένως μπορεί να παραγοντοποιηθεί μόνο με τέσσερις τρόπους: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13) (-1)

Ας εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις

Απάντηση: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

Παραδείγματα. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:

(x - y)(x + y)=4

Απάντηση: (-2;0), (2;0).

Απαντήσεις: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Απάντηση: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Αποτελέσματα. Τι σημαίνει να λύνουμε μια εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς;

Ποιες μεθόδους για την επίλυση αβέβαιων εξισώσεων γνωρίζετε;

Εφαρμογή:

Ασκήσεις για προπόνηση.

1) Λύστε σε ακέραιους αριθμούς.

2) Βρείτε ακέραιες μη αρνητικές λύσεις της εξίσωσης.