Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Η γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Η συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών. Προσδιορισμός του σημείου τομής δύο ευθειών

1. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) σε μια δεδομένη κατεύθυνση, που καθορίζεται από την κλίση κ,

y - y 1 = κ(Χ - Χ 1). (1)

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα μολύβι γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1), το οποίο ονομάζεται κέντρο δέσμης.

2. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) και σι(Χ 2 , y 2), γράφεται ως εξής:

Ο γωνιακός συντελεστής μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία καθορίζεται από τον τύπο

3. Γωνία μεταξύ ευθειών ΕΝΑΚαι σιείναι η γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η πρώτη ευθεία ΕΝΑγύρω από το σημείο τομής αυτών των γραμμών αριστερόστροφα μέχρι να συμπέσει με τη δεύτερη γραμμή σι. Αν δίδονται δύο ευθείες με εξισώσεις με κλίση

y = κ 1 Χ + σι 1 ,

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Ας δώσουμε παραδείγματα κατασκευής μιας γενικής εξίσωσης μιας ευθείας εάν δύο σημεία αυτής της ευθείας είναι γνωστά ή εάν ένα σημείο και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστά. Ας παρουσιάσουμε μεθόδους για τη μετατροπή μιας εξίσωσης σε γενική μορφή σε κανονικές και παραμετρικές μορφές.

Ας δοθεί ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Εξετάστε μια εξίσωση πρώτου βαθμού ή γραμμική:

Οπου Α, Β, Γ− μερικές σταθερές και τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία ΕΝΑΚαι σιδιαφορετικό από το μηδέν.

Θα δείξουμε ότι μια γραμμική εξίσωση σε ένα επίπεδο ορίζει μια ευθεία γραμμή. Ας αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 1. Σε ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, κάθε ευθεία μπορεί να προσδιοριστεί με μια γραμμική εξίσωση. Αντίστροφα, κάθε γραμμική εξίσωση (1) σε ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ορίζει μια ευθεία γραμμή.

Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ευθεία μεγάλοκαθορίζεται από μια γραμμική εξίσωση για οποιοδήποτε καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αφού τότε θα προσδιοριστεί από μια γραμμική εξίσωση για οποιαδήποτε επιλογή καρτεσιανού ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.

Αφήστε μια ευθεία γραμμή να δοθεί στο επίπεδο μεγάλο. Ας επιλέξουμε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας Βόδισυνέπεσε με μια ευθεία γραμμή μεγάλο, και τον άξονα Oyήταν κάθετη σε αυτό. Στη συνέχεια η εξίσωση της ευθείας μεγάλοθα λάβει την εξής μορφή:

Όλα τα σημεία σε μια γραμμή μεγάλοθα ικανοποιεί τη γραμμική εξίσωση (2) και όλα τα σημεία εκτός αυτής της γραμμής δεν θα ικανοποιούν την εξίσωση (2). Το πρώτο μέρος του θεωρήματος έχει αποδειχθεί.

Έστω ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και ας δοθεί μια γραμμική εξίσωση (1), όπου τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία ΕΝΑΚαι σιδιαφορετικό από το μηδέν. Ας βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (1). Δεδομένου ότι τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές ΕΝΑΚαι σιείναι διαφορετική από το μηδέν, τότε η εξίσωση (1) έχει τουλάχιστον μία λύση Μ(Χ 0 ,y 0). (Για παράδειγμα, πότε ΕΝΑ≠0, σημείο Μ 0 (−C/A, 0) ανήκει στον δεδομένο γεωμετρικό τόπο σημείων). Αντικαθιστώντας αυτές τις συντεταγμένες σε (1) παίρνουμε την ταυτότητα

Ας αφαιρέσουμε την ταυτότητα (3) από το (1):

Προφανώς, η εξίσωση (4) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση (1). Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι το (4) ορίζει μια συγκεκριμένη γραμμή.

Εφόσον εξετάζουμε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, από την ισότητα (4) προκύπτει ότι το διάνυσμα με συνιστώσες ( x−x 0 , y−y 0 ) ορθογώνια ως προς το διάνυσμα nμε συντεταγμένες ( Α, Β}.

Ας εξετάσουμε μια ευθεία γραμμή μεγάλο, περνώντας από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0) και κάθετα στο διάνυσμα n(Εικ.1). Αφήστε το θέμα Μ(Χ,y) ανήκει στη γραμμή μεγάλο. Στη συνέχεια το διάνυσμα με συντεταγμένες x−x 0 , y−y 0 κάθετη nκαι η εξίσωση (4) ικανοποιείται (βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων nκαι ίσο με μηδέν). Αντίθετα, αν σημείο Μ(Χ,y) δεν βρίσκεται σε μια γραμμή μεγάλο, μετά το διάνυσμα με συντεταγμένες x−x 0 , y−yΤο 0 δεν είναι ορθογώνιο στο διάνυσμα nκαι η εξίσωση (4) δεν ικανοποιείται. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη. Εφόσον οι γραμμές (5) και (6) ορίζουν την ίδια ευθεία, τότε τα κανονικά διανύσματα n 1 ={ΕΝΑ 1 ,σι 1) και n 2 ={ΕΝΑ 2 ,σι 2) συγγραμμικό. Δεδομένου ότι οι φορείς n 1 ≠0, n 2 ≠0, τότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός λ , Τι n 2 =n 1 λ . Από εδώ έχουμε: ΕΝΑ 2 =ΕΝΑ 1 λ , σι 2 =σι 1 λ . Ας το αποδείξουμε ντο 2 =ντο 1 λ . Προφανώς, οι γραμμές που συμπίπτουν έχουν ένα κοινό σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0). Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (5) επί λ και αφαιρώντας την εξίσωση (6) από αυτήν παίρνουμε:

Αφού οι δύο πρώτες ισότητες από τις εκφράσεις (7) ικανοποιούνται, τότε ντο 1 λ −ντο 2 =0. Εκείνοι. ντο 2 =ντο 1 λ . Η παρατήρηση έχει αποδειχθεί.

Σημειώστε ότι η εξίσωση (4) ορίζει την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0) και έχοντας ένα κανονικό διάνυσμα n={Α, Β). Επομένως, εάν το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας και το σημείο που ανήκει σε αυτή τη γραμμή είναι γνωστά, τότε η γενική εξίσωση της ευθείας μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4).

Παράδειγμα 1. Μια ευθεία διέρχεται από ένα σημείο Μ=(4,−1) και έχει κανονικό διάνυσμα n=(3, 5). Κατασκευάστε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας.

Λύση. Εχουμε: Χ 0 =4, y 0 =−1, ΕΝΑ=3, σι=5. Για να κατασκευάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην εξίσωση (4):

Απάντηση:

Το διάνυσμα είναι παράλληλο με την ευθεία μεγάλοκαι, επομένως, κάθετα στο κανονικό διάνυσμα της ευθείας μεγάλο. Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα κανονικής γραμμής μεγάλο, λαμβάνοντας υπόψη ότι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων nκαι ίσο με μηδέν. Μπορούμε να γράψουμε, για παράδειγμα, n={1,−3}.

Για να κατασκευάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, χρησιμοποιούμε τον τύπο (4). Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου σε (4) Μ 1 (μπορούμε να πάρουμε και τις συντεταγμένες του σημείου Μ 2) και κανονικό διάνυσμα n:

Αντικατάσταση των συντεταγμένων των σημείων Μ 1 και Μ 2 στην (9) μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι η ευθεία που δίνεται από την εξίσωση (9) διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Απάντηση:

Αφαιρέστε το (10) από το (1):

Λάβαμε την κανονική εξίσωση της γραμμής. Διάνυσμα q={−σι, ΕΝΑ) είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας (12).

Δείτε την αντίστροφη μετατροπή.

Παράδειγμα 3. Μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο αντιπροσωπεύεται από την ακόλουθη γενική εξίσωση:

Ας μετακινήσουμε τον δεύτερο όρο προς τα δεξιά και ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2,5.

Εξίσωση γραμμής σε επίπεδο.

Όπως είναι γνωστό, οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Τα συστήματα συντεταγμένων μπορεί να είναι διαφορετικά ανάλογα με την επιλογή βάσης και προέλευσης.

Ορισμός. Γραμμική εξίσωσηονομάζεται η σχέση y = f(x) μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων που απαρτίζουν αυτή την ευθεία.

Σημειώστε ότι η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να εκφραστεί παραμετρικά, δηλαδή, κάθε συντεταγμένη κάθε σημείου εκφράζεται μέσω κάποιας ανεξάρτητης παραμέτρου t.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η τροχιά ενός κινούμενου σημείου. Σε αυτή την περίπτωση, ο ρόλος της παραμέτρου παίζει ο χρόνος.

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ax + Wu + C = 0,

Επιπλέον, οι σταθερές Α και Β δεν είναι ίσες με μηδέν ταυτόχρονα, δηλ. A 2 + B 2  0. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C = 0, A  0, B  0 – η ευθεία διέρχεται από την αρχή

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy

B = C = 0, A  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A = C = 0, B  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διαφορετικές μορφές ανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας από σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση Ax + By + C = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο A(1, 2) κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Με A = 3 και B = -1, ας συνθέσουμε την εξίσωση της ευθείας: 3x – y + C = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου Α στην παράσταση που προκύπτει.

Παίρνουμε: 3 – 2 + C = 0, άρα C = -1.

Σύνολο: η απαιτούμενη εξίσωση: 3x – y – 1 = 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία είναι:

Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν.

Στο επίπεδο, η εξίσωση της ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1  x 2 και x = x 1, αν x 1 = x 2.

Κλάσμα
=k λέγεται κλίσηευθεία.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(1, 2) και B(3, 4).

Εφαρμόζοντας τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με χρήση σημείου και κλίσης.

Αν η γενική εξίσωση της ευθείας Ax + By + C = 0 μειωθεί στη μορφή:

και ορίζουν
, τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει εξίσωση ευθείας με κλίσηκ.

Εξίσωση ευθείας από σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης.

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω ενός κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε τον ορισμό μιας ευθείας γραμμής μέσω ενός σημείου και το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα ( 1,  2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν τη συνθήκη A 1 + B 2 = 0 ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας

Ax + Wu + C = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής με τη μορφή: Ax + By + C = 0. Σύμφωνα με τον ορισμό, οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1A + (-1)B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0, ή x + y + C/A = 0.

στο x = 1, y = 2 παίρνουμε C/A = -3, δηλ. απαιτούμενη εξίσωση:

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Αх + Ву + С = 0 С 0, τότε, διαιρώντας με –С, παίρνουμε:
ή

, Οπου

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής ΕΝΑείναι η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Ox, και σι– η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Oy.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας x – y + 1 = 0. Να βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Κανονική εξίσωση μιας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + By + C = 0 διαιρεθούν με τον αριθμό
η οποία ονομάζεται παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcos + ysin - p = 0 –

κανονική εξίσωση μιας γραμμής.

Το πρόσημο  του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε С< 0.

p είναι το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στην ευθεία και  είναι η γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετο με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας 12x – 5y – 65 = 0. Απαιτείται να γραφούν διάφοροι τύποι εξισώσεων για αυτή τη γραμμή.

εξίσωση αυτής της γραμμής σε τμήματα:

εξίσωση αυτής της γραμμής με κλίση: (διαιρέστε με 5)

κανονική εξίσωση ευθείας:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες παράλληλες προς τους άξονες ή που διέρχονται από την αρχή των συντεταγμένων.

Παράδειγμα.Η ευθεία γραμμή κόβει ίσα θετικά τμήματα στους άξονες συντεταγμένων. Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή εάν το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από αυτά τα τμήματα είναι 8 cm 2.

Η εξίσωση της ευθείας είναι:
, a = b = 1; αβ/2 = 8; a = 4; -4.

Το a = -4 δεν είναι κατάλληλο σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος.

Σύνολο:
ή x + y – 4 = 0.

Παράδειγμα.Να γράψετε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(-2, -3) και την αρχή.

Η εξίσωση της ευθείας είναι:
, όπου x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Η γωνία μεταξύ ευθειών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

.

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2.

Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/k 2 .

Θεώρημα. Ευθείες γραμμές Ax + Wu + C = 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 είναι παράλληλοι όταν οι συντελεστές Α είναι ανάλογοι 1 =  Α, Β 1 =  Β. Εάν επίσης Γ 1 =  C, τότε οι γραμμές συμπίπτουν.

Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

κάθετη σε αυτή τη γραμμή.

Ορισμός. Μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y = kx + b παριστάνεται από την εξίσωση:

Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν δοθεί το σημείο Μ(x). 0 , y 0 ), τότε η απόσταση από την ευθεία Αх + Ву + С =0 ορίζεται ως

.

Απόδειξη. Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M σε μια δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Παράδειγμα.Δείξτε ότι οι ευθείες 3x – 5y + 7 = 0 και 10x + 6y – 3 = 0 είναι κάθετες.

Βρίσκουμε: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, επομένως, οι ευθείες είναι κάθετες.

Παράδειγμα.Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Βρείτε την εξίσωση του ύψους που αντλείται από την κορυφή Γ.

Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Η απαιτούμενη εξίσωση ύψους έχει τη μορφή: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b.

k = . Τότε y =
. Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση:
από όπου b = 17. Σύνολο:
.

Απάντηση: 3x + 2y – 34 = 0.

Αναλυτική γεωμετρία στο χώρο.

Εξίσωση ευθείας στο χώρο.

Εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο που δίνεται ένα σημείο και

διάνυσμα κατεύθυνσης.

Ας πάρουμε μια αυθαίρετη γραμμή και ένα διάνυσμα (m, n, p), παράλληλα με τη δεδομένη ευθεία. Διάνυσμα που ονομάζεται οδηγός διάνυσμαευθεία.

Στην ευθεία παίρνουμε δύο αυθαίρετα σημεία M 0 (x 0 , y 0 , z 0) και M (x, y, z).

z

Μ 1

Ας υποδηλώσουμε τα διανύσματα ακτίνας αυτών των σημείων ως Και , είναι προφανές ότι - =
.

Επειδή φορείς
Και είναι συγγραμμικές, τότε η σχέση είναι αληθής
= t, όπου t είναι κάποια παράμετρος.

Συνολικά μπορούμε να γράψουμε: = + t.

Επειδή αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας, τότε η εξίσωση που προκύπτει είναι παραμετρική εξίσωση μιας γραμμής.

Αυτή η διανυσματική εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή συντεταγμένων:

Μετασχηματίζοντας αυτό το σύστημα και εξισώνοντας τις τιμές της παραμέτρου t, λαμβάνουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο:

.

Ορισμός. Συνημίτονα κατεύθυνσηςάμεσες είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος , το οποίο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

;

.

Από εδώ παίρνουμε: m: n: p = cos : cos : cos.

Καλούνται οι αριθμοί m, n, p συντελεστές γωνίαςευθεία. Επειδή είναι ένα διάνυσμα μη μηδενικό, τότε τα m, n και p δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα, αλλά ένας ή δύο από αυτούς τους αριθμούς μπορεί να είναι ίσοι με μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, στην εξίσωση της ευθείας, οι αντίστοιχοι αριθμητές θα πρέπει να είναι ίσοι με το μηδέν.

Εξίσωση ευθείας σε διαστημική διέλευση

μέσα από δύο σημεία.

Εάν σε μια ευθεία γραμμή στο διάστημα σημειώσουμε δύο αυθαίρετα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), τότε οι συντεταγμένες αυτών των σημείων πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας γραμμής που ελήφθη παραπάνω:

.

Επιπλέον, για το σημείο Μ 1 μπορούμε να γράψουμε:

.

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις μαζί, παίρνουμε:

.

Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία του χώρου.

Γενικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο.

Η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να θεωρηθεί ως η εξίσωση της γραμμής τομής δύο επιπέδων.

Όπως συζητήθηκε παραπάνω, ένα επίπεδο σε διανυσματική μορφή μπορεί να προσδιοριστεί από την εξίσωση:

+ D = 0, όπου

- κανονικό αεροπλάνο. - ακτίνα είναι το διάνυσμα ενός αυθαίρετου σημείου στο επίπεδο.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία. Στο άρθρο" " Σας υποσχέθηκα να κοιτάξετε τον δεύτερο τρόπο για να λύσετε τα προβλήματα εύρεσης της παραγώγου που παρουσιάζονται, δεδομένου ενός γραφήματος μιας συνάρτησης και μιας εφαπτομένης σε αυτό το γράφημα. Θα συζητήσουμε αυτή τη μέθοδο στο , μην χάσετε! Γιατίστο επόμενο;

Το γεγονός είναι ότι εκεί θα χρησιμοποιηθεί ο τύπος για την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Φυσικά, θα μπορούσαμε απλώς να δείξουμε αυτόν τον τύπο και να σας συμβουλεύσουμε να τον μάθετε. Αλλά είναι καλύτερο να εξηγήσουμε από πού προέρχεται (πώς προέρχεται). Είναι απαραίτητο! Εάν το ξεχάσετε, μπορείτε να το επαναφέρετε γρήγοραδεν θα είναι δύσκολο. Όλα περιγράφονται παρακάτω αναλυτικά. Άρα, έχουμε δύο σημεία Α στο επίπεδο συντεταγμένων(x 1;y 1) και B(x 2;y 2), χαράσσεται μια ευθεία γραμμή στα υποδεικνυόμενα σημεία:

Εδώ είναι ο ίδιος ο άμεσος τύπος:

*Δηλαδή όταν αντικαθιστούμε συγκεκριμένες συντεταγμένες σημείων παίρνουμε εξίσωση της μορφής y=kx+b.

**Εάν απλώς «απομνημονεύσετε» αυτόν τον τύπο, τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να μπερδευτείτε με τους δείκτες όταν Χ. Επιπλέον, οι δείκτες μπορούν να οριστούν με διάφορους τρόπους, για παράδειγμα:

Γι' αυτό είναι σημαντικό να κατανοήσουμε το νόημα.

Τώρα η παραγωγή αυτού του τύπου. Όλα είναι πολύ απλά!

Τα τρίγωνα ABE και ACF είναι παρόμοια σε οξεία γωνία (το πρώτο σημάδι ομοιότητας των ορθογωνίων τριγώνων). Από αυτό προκύπτει ότι οι λόγοι των αντίστοιχων στοιχείων είναι ίσοι, δηλαδή:

Τώρα απλώς εκφράζουμε αυτά τα τμήματα μέσω της διαφοράς στις συντεταγμένες των σημείων:

Φυσικά, δεν θα υπάρξει σφάλμα εάν γράψετε τις σχέσεις των στοιχείων με διαφορετική σειρά (το κύριο πράγμα είναι να διατηρήσετε τη συνέπεια):

Το αποτέλεσμα θα είναι η ίδια εξίσωση της γραμμής. Αυτά είναι όλα!

Δηλαδή, ανεξάρτητα από το πώς ορίζονται τα ίδια τα σημεία (και οι συντεταγμένες τους), κατανοώντας αυτόν τον τύπο θα βρείτε πάντα την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Ο τύπος μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των διανυσμάτων, αλλά η αρχή της παραγωγής θα είναι η ίδια, αφού θα μιλάμε για την αναλογικότητα των συντεταγμένων τους. Σε αυτή την περίπτωση, λειτουργεί η ίδια ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων. Κατά τη γνώμη μου, το συμπέρασμα που περιγράφεται παραπάνω είναι πιο σαφές)).

Προβολή εξόδου μέσω διανυσματικών συντεταγμένων >>>

Έστω μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο συντεταγμένων που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία A(x 1;y 1) και B(x 2;y 2). Ας σημειώσουμε ένα αυθαίρετο σημείο C στην ευθεία με συντεταγμένες ( Χ; y). Δηλώνουμε επίσης δύο διανύσματα:

Είναι γνωστό ότι για διανύσματα που βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες (ή στην ίδια ευθεία), οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ανάλογες, δηλαδή:

— γράφουμε την ισότητα των λόγων των αντίστοιχων συντεταγμένων:

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες (2;5) και (7:3).

Δεν χρειάζεται καν να χτίσετε την ίδια την ευθεία. Εφαρμόζουμε τον τύπο:

Είναι σημαντικό να κατανοήσετε την αντιστοιχία κατά την κατάρτιση της αναλογίας. Δεν μπορείτε να κάνετε λάθος αν γράψετε:

Απάντηση: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Για να βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση που προκύπτει βρίσκεται σωστά, φροντίστε να ελέγξετε - να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες των δεδομένων στην κατάσταση των σημείων σε αυτήν. Οι εξισώσεις πρέπει να είναι σωστές.

Αυτό είναι όλο. Ελπίζω ότι το υλικό σας ήταν χρήσιμο.

Με εκτίμηση, Αλέξανδρος.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Οι κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο είναι εξισώσεις που ορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο συγγραμμική προς το διάνυσμα κατεύθυνσης.

Έστω ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης. Ένα αυθαίρετο σημείο βρίσκεται σε μια γραμμή μεγάλομόνο εάν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, δηλ. ικανοποιείται η συνθήκη για αυτά:

.

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας.

Αριθμοί Μ , nΚαι Πείναι προβολές του διανύσματος κατεύθυνσης στους άξονες συντεταγμένων. Εφόσον το διάνυσμα είναι μη μηδενικό, τότε όλοι οι αριθμοί Μ , nΚαι Πδεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι ίσο με μηδέν. Αλλά ένα ή δύο από αυτά μπορεί να αποδειχθούν μηδενικά. Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, επιτρέπεται η ακόλουθη καταχώρηση:

,

που σημαίνει ότι οι προβολές του διανύσματος στον άξονα OyΚαι Οζείναι ίσα με μηδέν. Επομένως, τόσο το διάνυσμα όσο και η ευθεία που ορίζονται από τις κανονικές εξισώσεις είναι κάθετες στους άξονες OyΚαι Οζ, δηλαδή αεροπλάνα yOz .

Παράδειγμα 1.Να γράψετε εξισώσεις για μια ευθεία στο χώρο κάθετη σε ένα επίπεδο και περνώντας από το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζ .

Λύση. Ας βρούμε το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζ. Από οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα Οζ, έχει συντεταγμένες , λοιπόν, υποθέτοντας στη δεδομένη εξίσωση του επιπέδου x = y = 0, παίρνουμε 4 z- 8 = 0 ή z= 2. Επομένως, το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζέχει συντεταγμένες (0; 0; 2) . Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο, είναι παράλληλη με το κανονικό της διάνυσμα. Επομένως, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας μπορεί να είναι το κανονικό διάνυσμα δεδομένο αεροπλάνο.

Ας γράψουμε τώρα τις απαιτούμενες εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ΕΝΑ= (0; 0; 2) προς την κατεύθυνση του διανύσματος:

Εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία

Μια ευθεία γραμμή μπορεί να οριστεί από δύο σημεία που βρίσκονται πάνω της Και Στην περίπτωση αυτή, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας μπορεί να είναι το διάνυσμα . Τότε οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας παίρνουν τη μορφή

.

Οι παραπάνω εξισώσεις καθορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Παράδειγμα 2.Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία στο χώρο που διέρχεται από τα σημεία και .

Λύση. Ας γράψουμε τις απαιτούμενες εξισώσεις της ευθείας με τη μορφή που δίνεται παραπάνω στη θεωρητική αναφορά:

.

Αφού , τότε η επιθυμητή ευθεία είναι κάθετη στον άξονα Oy .

Ευθεία όπως η γραμμή τομής των επιπέδων

Μια ευθεία γραμμή στο χώρο μπορεί να οριστεί ως η γραμμή τομής δύο μη παράλληλων επιπέδων και, δηλ., ως ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων

Οι εξισώσεις του συστήματος ονομάζονται και γενικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο.

Παράδειγμα 3.Να συνθέσετε κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που δίνονται από γενικές εξισώσεις

Λύση. Για να γράψετε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας ή, το ίδιο, τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων στη γραμμή. Μπορούν να είναι τα σημεία τομής μιας ευθείας με οποιαδήποτε δύο επίπεδα συντεταγμένων, για παράδειγμα yOzΚαι xOz .

Σημείο τομής γραμμής και επιπέδου yOzέχει τετμημένη Χ= 0 . Επομένως, υποθέτοντας σε αυτό το σύστημα εξισώσεων Χ= 0, παίρνουμε ένα σύστημα με δύο μεταβλητές:

Η απόφασή της y = 2 , z= 6 μαζί με Χ= 0 ορίζει ένα σημείο ΕΝΑ(0; 2; 6) την επιθυμητή γραμμή. Στη συνέχεια υποθέτοντας στο δεδομένο σύστημα εξισώσεων y= 0, παίρνουμε το σύστημα

Η απόφασή της Χ = -2 , z= 0 μαζί με y= 0 ορίζει ένα σημείο σι(-2; 0; 0) τομή μιας ευθείας με ένα επίπεδο xOz .

Τώρα ας γράψουμε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ΕΝΑ(0; 2; 6) και σι (-2; 0; 0) :

,

ή αφού διαιρέσουμε τους παρονομαστές με -2:

,