Με αυτό το πρόγραμμα μαθηματικών μπορείτε επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά εμφανίζει επίσης τη διαδικασία επίλυσης με δύο τρόπους:
- χρήση διακριτικού
- χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta (αν είναι δυνατόν).

Επιπλέον, η απάντηση εμφανίζεται ως ακριβής, όχι κατά προσέγγιση.
Για παράδειγμα, για την εξίσωση \(81x^2-16x-1=0\) η απάντηση εμφανίζεται με την ακόλουθη μορφή:

Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σε σχολεία γενικής εκπαίδευσης όταν προετοιμάζονται για τεστ και εξετάσεις, όταν δοκιμάζουν γνώσεις πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση και για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να ολοκληρώσετε την εργασία σας στα μαθηματικά ή την άλγεβρα όσο το δυνατόν γρηγορότερα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.

Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους κανόνες για την εισαγωγή ενός τετραγωνικού πολυωνύμου, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτούς.

Κανόνες εισαγωγής τετραγωνικού πολυωνύμου

Οποιοδήποτε λατινικό γράμμα μπορεί να λειτουργήσει ως μεταβλητή.
Για παράδειγμα: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), κ.λπ.

Οι αριθμοί μπορούν να εισαχθούν ως ακέραιοι ή κλασματικοί αριθμοί.
Επιπλέον, οι κλασματικοί αριθμοί μπορούν να εισαχθούν όχι μόνο με τη μορφή δεκαδικού, αλλά και με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος.

Κανόνες εισαγωγής δεκαδικών κλασμάτων.
Στα δεκαδικά κλάσματα, το κλασματικό μέρος μπορεί να διαχωριστεί από ολόκληρο το μέρος είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα, μπορείτε να εισαγάγετε δεκαδικά κλάσματα ως εξής: 2,5x - 3,5x^2

Κανόνες εισαγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.

Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.

Όταν εισάγετε ένα αριθμητικό κλάσμα, ο αριθμητής διαχωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
Ολόκληρο το τμήμα χωρίζεται από το κλάσμα με το σύμβολο του συμπλεκτικού: &
Είσοδος: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Αποτέλεσμα: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Κατά την εισαγωγή μιας έκφρασης μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις. Στην περίπτωση αυτή, κατά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, η εισαγόμενη έκφραση απλοποιείται πρώτα.
Για παράδειγμα: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Η τετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες της. Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Κάθε μια από τις εξισώσεις
\(-x^2+6x+1,4=0, \τετράγωνο 8x^2-7x=0, \τετράδα x^2-\frac(4)(9)=0 \)
μοιάζει με
\(ax^2+bx+c=0, \)
όπου x είναι μια μεταβλητή, τα a, b και c είναι αριθμοί.
Στην πρώτη εξίσωση a = -1, b = 6 και c = 1,4, στη δεύτερη a = 8, b = -7 και c = 0, στην τρίτη a = 1, b = 0 και c = 4/9. Τέτοιες εξισώσεις λέγονται τετραγωνικές εξισώσεις.

Ορισμός.
Τετραγωνική εξίσωσηονομάζεται εξίσωση της μορφής ax 2 +bx+c=0, όπου x είναι μια μεταβλητή, a, b και c είναι κάποιοι αριθμοί και \(a \neq 0 \).

Οι αριθμοί α, β και γ είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Ο αριθμός a ονομάζεται πρώτος συντελεστής, ο αριθμός b είναι ο δεύτερος συντελεστής και ο αριθμός c είναι ο ελεύθερος όρος.

Σε καθεμία από τις εξισώσεις της μορφής ax 2 +bx+c=0, όπου \(a\neq 0\), η μεγαλύτερη δύναμη της μεταβλητής x είναι τετράγωνο. Εξ ου και το όνομα: τετραγωνική εξίσωση.

Σημειώστε ότι μια τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται και εξίσωση δεύτερου βαθμού, αφού η αριστερή της πλευρά είναι πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού.

Καλείται μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία ο συντελεστής x 2 είναι ίσος με 1 δεδομένη τετραγωνική εξίσωση. Για παράδειγμα, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις που δίνονται είναι οι εξισώσεις
\(x^2-11x+30=0, \τετραπλό x^2-6x=0, \τετράδα x^2-8=0 \)

Αν σε μια τετραγωνική εξίσωση ax 2 +bx+c=0 τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές b ή c είναι ίσος με μηδέν, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Έτσι, οι εξισώσεις -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 είναι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στο πρώτο από αυτά b=0, στο δεύτερο c=0, στο τρίτο b=0 και c=0.

Υπάρχουν τρεις τύποι ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:
1) ax 2 +c=0, όπου \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, όπου \(b \neq 0 \);
3) τσεκούρι 2 =0.

Ας εξετάσουμε την επίλυση εξισώσεων καθενός από αυτούς τους τύπους.

Για να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +c=0 για \(c \neq 0 \), μετακινήστε τον ελεύθερο όρο της στη δεξιά πλευρά και διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με α:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Δεξί βέλος x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Αφού \(c \neq 0 \), τότε \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Αν \(-\frac(c)(a)>0\), τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Αν \(-\frac(c)(a) Για να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +bx=0 με \(b \neq 0 \) συντελεστή της αριστερής πλευράς της και λάβετε την εξίσωση
\(x(ax+b)=0 \Δεξί βέλος \αριστερά\( \αρχή(πίνακας)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(πίνακας) \δεξιά. \Δεξί βέλος \αριστερά\( \αρχή (πίνακας)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (πίνακας) \δεξιά. \)

Αυτό σημαίνει ότι μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +bx=0 για \(b \neq 0 \) έχει πάντα δύο ρίζες.

Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 =0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 =0 και επομένως έχει μια μοναδική ρίζα 0.

Τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ας εξετάσουμε τώρα πώς να λύσουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις στις οποίες τόσο οι συντελεστές των αγνώστων όσο και ο ελεύθερος όρος είναι μη μηδενικοί.

Ας λύσουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση σε γενική μορφή και ως αποτέλεσμα παίρνουμε τον τύπο για τις ρίζες. Αυτός ο τύπος μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση ax 2 +bx+c=0

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το a, προκύπτει η ισοδύναμη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Ας μετατρέψουμε αυτήν την εξίσωση επιλέγοντας το τετράγωνο του διωνύμου:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Δεξί βέλος \)

Η ριζική έκφραση ονομάζεται διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης ax 2 +bx+c=0 («διακριτικός» στα λατινικά - διακριτικός). Υποδηλώνεται με το γράμμα D, δηλ.
\(D = b^2-4ac\)

Τώρα, χρησιμοποιώντας τον διακριτικό συμβολισμό, ξαναγράφουμε τον τύπο για τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), όπου \(D= b^2-4ac \)

Είναι προφανές ότι:
1) Αν D>0, τότε η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες.
2) Αν D=0, τότε η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μία ρίζα \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Αν D Έτσι, ανάλογα με την τιμή του διαχωριστή, μια δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να έχει δύο ρίζες (για D > 0), μία ρίζα (για D = 0) ή να μην έχει ρίζες (για D Όταν λύνουμε μια εξίσωση του τετραγώνου χρησιμοποιώντας αυτό τύπος, συνιστάται να κάνετε τον ακόλουθο τρόπο:
1) υπολογίστε τη διάκριση και συγκρίνετε τη με το μηδέν.
2) εάν ο διαχωριστής είναι θετικός ή ίσος με μηδέν, χρησιμοποιήστε τον τύπο ρίζας· εάν ο διαχωριστής είναι αρνητικός, τότε σημειώστε ότι δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση ax 2 -7x+10=0 έχει ρίζες 2 και 5. Το άθροισμα των ριζών είναι 7, και το γινόμενο είναι 10. Βλέπουμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο σημάδι, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Κάθε ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση που έχει ρίζες έχει αυτή την ιδιότητα.

Το άθροισμα των ριζών της παραπάνω τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

Εκείνοι. Το θεώρημα του Vieta δηλώνει ότι οι ρίζες x 1 και x 2 της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +px+q=0 έχουν την ιδιότητα:
\(\αριστερά\( \αρχή(πίνακας)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(πίνακας) \δεξιά. \)

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η δημοτικού, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απολύτως απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a, b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσετε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώστε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

1. Δεν έχουν ρίζες.
2. Έχουν ακριβώς μία ρίζα.
3. Έχουν δύο διαφορετικές ρίζες.

Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ των τετραγωνικών και των γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac.

Πρέπει να γνωρίζετε αυτή τη φόρμουλα από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:

1. Αν ο Δ< 0, корней нет;
2. Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
3. Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Ας γράψουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και ας βρούμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με παρόμοιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση που απομένει είναι:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Η διάκριση είναι μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι έχουν καταγραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό, αλλά δεν θα ανακατεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, αν το καταφέρετε, μετά από λίγο δεν θα χρειαστεί να σημειώσετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνεις τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σου. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι τόσο πολύ.

Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στην ίδια τη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - θα λάβετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετρήσετε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα κατά την αντικατάσταση αρνητικών συντελεστών στον τύπο. Και εδώ, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, σημειώστε κάθε βήμα - και πολύ σύντομα θα απαλλαγείτε από σφάλματα.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι μια τετραγωνική εξίσωση είναι ελαφρώς διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι από αυτές τις εξισώσεις λείπει ένας από τους όρους. Τέτοιες δευτεροβάθμιες εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν απαιτούν καν τον υπολογισμό της διάκρισης. Λοιπόν, ας εισαγάγουμε μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b = c = 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ax 2 = 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα: x = 0.

Ας εξετάσουμε τις υπόλοιπες περιπτώσεις. Έστω b = 0, τότε λαμβάνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0. Ας τη μετατρέψουμε λίγο:

Εφόσον η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο ενός μη αρνητικού αριθμού, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο για (−c /a) ≥ 0. Συμπέρασμα:

1. Αν σε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιείται η ανισότητα (−c /a) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
2. Αν (−c /a)< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν απαιτείται διάκριση - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c /a) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή x 2 και να δούμε τι βρίσκεται στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Αν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας δούμε τώρα εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο:

Το γινόμενο είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Εν κατακλείδι, ας δούμε μερικές από αυτές τις εξισώσεις:

Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί ένα τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Πρώτο επίπεδο

Τετραγωνικές εξισώσεις. The Comprehensive Guide (2019)

Στον όρο «τετραγωνική εξίσωση», η λέξη-κλειδί είναι «τετραγωνική». Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει απαραίτητα να περιέχει μια μεταβλητή (το ίδιο x) στο τετράγωνο και δεν πρέπει να υπάρχουν xes στην τρίτη (ή μεγαλύτερη) δύναμη.

Η λύση πολλών εξισώσεων καταλήγει στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση και όχι κάποια άλλη εξίσωση.

Παράδειγμα 1.

Ας απαλλαγούμε από τον παρονομαστή και ας πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της εξίσωσης με

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και ας τακτοποιήσουμε τους όρους σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του X

Τώρα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 2.

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 3.

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Τρομακτικός? Η τέταρτη και δεύτερη μοίρα... Ωστόσο, αν κάνουμε αντικατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4.

Φαίνεται να υπάρχει, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, έχει μειωθεί - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

1. τετράγωνο;
2. τετράγωνο;
3. όχι τετράγωνο?
4. όχι τετράγωνο?
5. όχι τετράγωνο?
6. τετράγωνο;
7. όχι τετράγωνο?
8. τετράγωνο.

Οι μαθηματικοί χωρίζουν συμβατικά όλες τις τετραγωνικές εξισώσεις στους ακόλουθους τύπους:

• Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, όπως και ο ελεύθερος όρος c, δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις υπάρχουν δεδομένος- αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένη!)

• Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

  Είναι ελλιπείς γιατί τους λείπει κάποιο στοιχείο. Όμως η εξίσωση πρέπει πάντα να περιέχει x τετράγωνο!!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον μια δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί σκέφτηκαν μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Αυτή η διαίρεση καθορίζεται από τις μεθόδους λύσης. Ας δούμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο απλές!

Υπάρχουν τύποι ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

1. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
2. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
3. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

1. i. Επειδή ξέρουμε πώς να παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα, ας εκφράσουμε από αυτήν την εξίσωση

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτούς τους τύπους. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει να γνωρίζετε και να θυμάστε πάντα ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την εξίσωση

Τώρα το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Μετά από όλα, θυμάστε πώς να εξαγάγετε ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την εξίσωση

Ω! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες, οι μαθηματικοί βρήκαν ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την εξίσωση

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Ετσι,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Θα παραιτηθούμε από παραδείγματα εδώ.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Υπενθυμίζουμε ότι μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο δύσκολη (λίγο) από αυτές.

Θυμάμαι, Οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό! Έστω και ημιτελής.

Οι άλλες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε γρηγορότερα, αλλά εάν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κατακτήστε τη λύση χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με χρήση διαχωριστή.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο είναι πολύ απλή· το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους.

Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα Πρέπει να δώσετε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα. Το διακριτικό () μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο ρίζα.
• Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την εξίσωση

Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3.

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση παρουσιάζεται σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση παρουσιάζεται σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα της διάκρισης. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.

Απάντηση:χωρίς ρίζες

2. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Αν θυμάστε, υπάρχει ένας τύπος εξίσωσης που ονομάζεται μειωμένος (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Άθροισμα ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta επειδή .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση στο σύστημα:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την εξίσωση

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - ο άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, και.

Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ΕΝΑ - ελεύθερο μέλος.

Γιατί; Γιατί αν η εξίσωση γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.

Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την καρέκλα η εξίσωση ονομάζεται ελλιπής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή, η εξίσωση είναι πλήρης.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

Αρχικά, ας δούμε τις μεθόδους για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούμε να διακρίνουμε τους παρακάτω τύπους εξισώσεων:

Ι., στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.

III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.

Τώρα ας δούμε τη λύση για κάθε έναν από αυτούς τους υποτύπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσετε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν έχουμε δύο ρίζες

Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτούς τους τύπους. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να σημειώσουμε εν συντομία ότι ένα πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το εικονίδιο κενού συνόλου.

Απάντηση:

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:

Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Ας συνυπολογίσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και ας βρούμε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό! Έστω και ημιτελής.

Προσέξατε τη ρίζα από το διακριτικό στον τύπο για τις ρίζες; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνω? Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες:
• Αν, τότε η εξίσωση έχει τις ίδιες ρίζες, και μάλιστα, μία ρίζα:

  Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.

• Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί είναι δυνατοί διαφορετικοί αριθμοί ριζών; Ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:

Σε μια ειδική περίπτωση, που είναι μια τετραγωνική εξίσωση, . Αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης (άξονα). Μια παραβολή μπορεί να μην τέμνει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και αν, τότε προς τα κάτω.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση: .

Απάντηση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: .

2. Θεώρημα Vieta

Είναι πολύ εύκολο να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Vieta: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε μειωμένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα #1:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση στο σύστημα:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα #2:

Λύση:

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών που δίνουν το γινόμενο και, στη συνέχεια, ελέγξτε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: δίνουν συνολικά.

και: δίνουν συνολικά. Για να αποκτήσετε, αρκεί απλώς να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το προϊόν.

Απάντηση:

Παράδειγμα #3:

Λύση:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Επομένως το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με διαφορές των ενοτήτων τους.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και των οποίων η διαφορά είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι ίση - δεν ταιριάζει.

και: - ακατάλληλο.

και: - ακατάλληλο.

και: - κατάλληλο. Το μόνο που μένει είναι να θυμόμαστε ότι μια από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, η ρίζα με το μικρότερο συντελεστή πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα #4:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, προσδιορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:

Προφανώς, μόνο οι ρίζες και είναι κατάλληλες για την πρώτη συνθήκη:

Απάντηση:

Παράδειγμα #5:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες έχουν πρόσημο μείον.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με:

Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό να βρίσκεις ρίζες προφορικά, αντί να μετράς αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να επωφεληθείτε από τη χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες σε αυτοματοποίηση. Και για αυτό, λύστε άλλα πέντε παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα:

Λύσεις σε εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το κομμάτι:

Ακατάλληλο γιατί το ποσό?

: το ποσό είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση: ; .

Εργασία 2.

Και πάλι το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να είναι ίσο και το γινόμενο πρέπει να είναι ίσο.

Επειδή όμως δεν πρέπει να είναι, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση: ; .

Εργασία 3.

Χμ... Πού είναι αυτό;

Πρέπει να μετακινήσετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.

Εντάξει, σταμάτα! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις. Άρα πρώτα πρέπει να δώσετε μια εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να ηγηθείτε, εγκαταλείψτε αυτήν την ιδέα και λύστε τη με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω ενός διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να δώσετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή που οδηγεί ίσος:

Εξαιρετική. Τότε το άθροισμα των ριζών ισούται με και το γινόμενο.

Εδώ είναι τόσο εύκολο όσο το ξεφλούδισμα των αχλαδιών: τελικά, είναι πρώτος αριθμός (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση: ; .

Εργασία 4.

Το δωρεάν μέλος είναι αρνητικό. Τι το ιδιαίτερο έχει αυτό; Και το γεγονός είναι ότι οι ρίζες θα έχουν διαφορετικά σημάδια. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά στις ενότητες τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά προϊόν.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες με και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Το θεώρημα του Βιέτα μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.

Απάντηση: ; .

Εργασία 5.

Τι πρέπει να κάνετε πρώτα; Σωστά, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους συντελεστές του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:

Οι ρίζες είναι ίσες με και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Οι οποίες? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι το μείον θα έχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση: ; .

Επιτρέψτε μου να συνοψίσω:

1. Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις που δίνονται.
2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
3. Εάν δεν δοθεί η εξίσωση ή δεν βρεθεί κατάλληλο ζεύγος παραγόντων του ελεύθερου όρου, τότε δεν υπάρχουν ολόκληρες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω ενός διαχωριστή).

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται με τη μορφή όρων από συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αντικατάσταση των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή μιας ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Σε γενικές γραμμές, ο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό υπονοεί: .

Δεν σου θυμίζει τίποτα; Αυτό είναι κάτι που εισάγει διακρίσεις! Έτσι ακριβώς πήραμε τον τύπο διάκρισης.

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Τετραγωνική εξίσωση- αυτή είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - ο άγνωστος, - οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης, - ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

• αν ο συντελεστής, η εξίσωση μοιάζει με:
• αν υπάρχει ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν και, η εξίσωση μοιάζει με: .

1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας εκφράσουμε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:

• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
• αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,

2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μία μόνο ρίζα: .

2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου

2.1. Λύση με χρήση διακριτικού

1) Ας φέρουμε την εξίσωση σε τυπική μορφή: ,

2) Ας υπολογίσουμε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

• αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, οι οποίες βρίσκονται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης (εξίσωση της μορφής όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ΕΝΑ.

2.3. Λύση με τη μέθοδο επιλογής πλήρους τετραγώνου

Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει? Σε όρο τετραγωνική εξίσωσηη λέξη κλειδί είναι "τετράγωνο".Αυτό σημαίνει ότι στην εξίσωση Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Επιπλέον, η εξίσωση μπορεί (ή μπορεί και όχι!) να περιέχει μόνο Χ (στην πρώτη δύναμη) και μόνο έναν αριθμό (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν Χ σε ισχύ μεγαλύτερη από δύο.

Σε μαθηματικούς όρους, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ΕΝΑ– οτιδήποτε άλλο εκτός από το μηδέν. Για παράδειγμα:

Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις...

Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις στα αριστερά υπάρχει πλήρες σετμέλη. X σε τετράγωνο με συντελεστή ΕΝΑ, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σιΚαι ελεύθερο μέλος s.

Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται γεμάτος.

Κι αν σι= 0, τι παίρνουμε; Εχουμε Το Χ θα χαθεί στην πρώτη δύναμη.Αυτό συμβαίνει όταν πολλαπλασιάζεται με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Και ούτω καθεξής. Και αν και οι δύο συντελεστές σιΚαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Τέτοιες εξισώσεις όπου κάτι λείπει ονομάζονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.

Με την ευκαιρία, γιατί ΕΝΑδεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν; Και αντικαθιστάς ΕΝΑμηδέν.) Το τετράγωνο του Χ θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση θα γίνει γραμμική. Και η λύση είναι τελείως διαφορετική...

Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.

Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς, απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση σε μια τυπική μορφή, δηλ. στη φόρμα:

Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ΕΝΑ, σιΚαι ντο.

Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το X, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από μια τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γΥπολογίζουμε σε αυτόν τον τύπο. Ας αντικαταστήσουμε με τα δικά σου σημάδια! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ το γράφουμε:

Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:

Αυτή είναι η απάντηση.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι, πιστεύεις ότι είναι αδύνατο να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τις τιμές πρόσημου α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο υπολογισμού των ριζών. Αυτό που βοηθά εδώ είναι μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Κάνε αυτό!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν περίπου 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα μειωθεί απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να γράψεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο έτσι φαίνεται. Δοκίμασε το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Τι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να γράψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Θα λειτουργήσει σωστά από μόνο του. Ειδικά αν χρησιμοποιείτε πρακτικές τεχνικές που περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα μπορεί να λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Το αναγνωρίσατε;) Ναι! Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

Μπορούν επίσης να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι ισούνται εδώ. α, β και γ.

Το έχεις καταλάβει; Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ΕΝΑ ντο? Δεν είναι καθόλου εκεί! Λοιπόν ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο ντο,και θα τα καταφέρουμε. Το ίδιο και το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο που δεν έχουμε μηδέν εδώ Με, ΕΝΑ σι !

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο απλά. Χωρίς καμία φόρμουλα. Ας εξετάσουμε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορείτε να κάνετε στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο ισούται με μηδέν αν και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες ισούται με μηδέν! Δεν με πιστεύεις; Εντάξει, τότε καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν!
Δεν δουλεύει? Αυτό είναι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x 1 = 0, x 2 = 4.

Ολα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο είναι κατάλληλα. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τη χρήση του γενικού τύπου. Επιτρέψτε μου να σημειώσω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - απολύτως αδιάφορο. Είναι βολικό να γράφεις με τη σειρά, x 1- τι είναι μικρότερο και x 2- αυτό που είναι μεγαλύτερο.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί απλά. Μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Θα αποδειχθεί:

Επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε τοποθετώντας το Χ εκτός αγκύλων, είτε απλώς μετακινώντας τον αριθμό προς τα δεξιά και στη συνέχεια εξάγοντας τη ρίζα.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις τεχνικές. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του Χ, η οποία είναι κάπως ακατανόητη, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες...

Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.

Μαγική λέξη διακριτική ! Σπάνια μαθητής Λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «λύνουμε μέσω ενός διακριτικού» εμπνέει εμπιστοσύνη και σιγουριά. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένεις κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση.) Σας υπενθυμίζω τον πιο γενικό τύπο επίλυσης όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Συνήθως η διάκριση υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:

D = b 2 - 4ac

Και τι είναι τόσο αξιοσημείωτο σε αυτή την έκφραση; Γιατί άξιζε ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι η έννοια του διακρινόμενου;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν το αποκαλούν συγκεκριμένα τίποτα... Γράμματα και γράμματα.

Εδώ είναι το θέμα. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή κακώς είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται καταρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε θα έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.

3. Η διάκριση είναι αρνητική.Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Για να είμαστε ειλικρινείς, όταν λύνουμε απλώς δευτεροβάθμιες εξισώσεις, η έννοια του διαχωριστή δεν χρειάζεται πραγματικά. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και μετράμε. Όλα γίνονται εκεί από μόνα τους, δύο ρίζες, μία και καμία. Ωστόσο, κατά την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών, χωρίς γνώση νόημα και τύπος της διάκρισηςόχι αρκετά. Ειδικά σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικές για την Κρατική Εξέταση και την Ενιαία Κρατική Εξέταση!)

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθες, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρεις πώς να προσδιορίζεις σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως? προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Καταλαβαίνετε ότι η λέξη κλειδί εδώ είναι προσεχτικά?

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Τα ίδια που οφείλονται στην απροσεξία... Για τα οποία αργότερα γίνεται επώδυνο και προσβλητικό...

Πρώτο ραντεβού . Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού και φέρτε την σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας πούμε ότι μετά από όλους τους μετασχηματισμούς παίρνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μην βιαστείτε να γράψετε τον τύπο root! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Κατασκευάστε σωστά το παράδειγμα. Πρώτα, X τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ο ελεύθερος όρος. Σαν αυτό:

Και πάλι, μην βιάζεστε! Ένα μείον μπροστά από ένα Χ στο τετράγωνο μπορεί πραγματικά να σας αναστατώσει. Ξεχνιέται εύκολα... Ξεφορτωθείτε το μείον. Πως? Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αλλά τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε την επίλυση του παραδείγματος. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει τώρα να έχετε τις ρίζες 2 και -1.

Υποδοχή δεύτερη. Ελέγξτε τις ρίζες! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μη φοβάσαι, θα σου τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτό που χρησιμοποιήσαμε για να σημειώσουμε τον τύπο της ρίζας. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ο έλεγχος των ριζών είναι εύκολος. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ελεύθερο μέλος, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Παρακαλώ σημειώστε, όχι 2, αλλά -2! Δωρεάν μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν τα καταφέρουν, σημαίνει ότι κάπου έχουν ήδη μπλέξει. Ψάξτε για το σφάλμα.

Εάν λειτουργεί, πρέπει να προσθέσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Ο συντελεστής πρέπει να είναι σιΜε απεναντι απο οικείος. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το Χ, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που αυτό είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρχουν όλο και λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με έναν κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς να λύσετε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας". Όταν εργάζεστε με κλάσματα, τα σφάλματα συνεχίζουν να εισχωρούν για κάποιο λόγο...

Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα να απλοποιήσω το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα. Σας παρακαλούμε! Να τος.

Για να μην μπερδευτούμε με τα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η επίλυση είναι απόλαυση!

Λοιπόν, ας συνοψίσουμε το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση σε τυπική μορφή και την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το τετράγωνο του Χ, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!

Τώρα μπορούμε να αποφασίσουμε.)

Λύστε εξισώσεις:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Απαντήσεις (σε αταξία):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - οποιοσδήποτε αριθμός

x 1 = -3
x 2 = 3

χωρίς λύσεις

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Ταιριάζουν όλα; Εξαιρετική! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι ο πονοκέφαλος σου. Τα τρία πρώτα λειτούργησαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι στους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.

Δεν δουλεύει αρκετά; Ή δεν βγαίνει καθόλου; Τότε θα σας βοηθήσει η Ενότητα 555. Όλα αυτά τα παραδείγματα αναλύονται εκεί. Απεικονίζεται κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά, μιλάμε και για τη χρήση πανομοιότυπων μετασχηματισμών στην επίλυση διαφόρων εξισώσεων. Βοηθάει πολύ!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Συνεχίζουμε να μελετάμε το θέμα " επίλυση εξισώσεων" Έχουμε ήδη εξοικειωθεί με τις γραμμικές εξισώσεις και προχωράμε στην εξοικείωση τετραγωνικές εξισώσεις.

Αρχικά, θα δούμε τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση, πώς γράφεται σε γενική μορφή και θα δώσουμε σχετικούς ορισμούς. Μετά από αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα για να εξετάσουμε λεπτομερώς πώς λύνονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στη συνέχεια, θα προχωρήσουμε στην επίλυση πλήρων εξισώσεων, θα λάβουμε τον τύπο της ρίζας, θα εξοικειωθούμε με τη διάκριση μιας τετραγωνικής εξίσωσης και θα εξετάσουμε λύσεις σε τυπικά παραδείγματα. Τέλος, ας εντοπίσουμε τις συνδέσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Τα είδη τους

Πρώτα πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι είναι η τετραγωνική εξίσωση. Επομένως, είναι λογικό να ξεκινήσουμε μια συζήτηση για τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με τον ορισμό μιας τετραγωνικής εξίσωσης, καθώς και σχετικούς ορισμούς. Μετά από αυτό, μπορείτε να εξετάσετε τους κύριους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων: μειωμένες και μη αναγωγικές, καθώς και πλήρεις και ημιτελείς εξισώσεις.

Ορισμός και παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων

Ορισμός.

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής a x 2 +b x+c=0, όπου x είναι μια μεταβλητή, a, b και c είναι κάποιοι αριθμοί και το a είναι μη μηδενικό.

Ας πούμε αμέσως ότι οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ονομάζονται συχνά εξισώσεις δεύτερου βαθμού. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι αλγεβρική εξίσωσηδευτέρου βαθμού.

Ο αναφερόμενος ορισμός μας επιτρέπει να δώσουμε παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων. Άρα 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, κ.λπ. Αυτές είναι τετραγωνικές εξισώσεις.

Ορισμός.

Αριθμοί Τα α, β και γ λέγονται συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a·x 2 +b·x+c=0, και ο συντελεστής a λέγεται ο πρώτος, ή ο υψηλότερος, ή ο συντελεστής x 2, b είναι ο δεύτερος συντελεστής, ή ο συντελεστής x, και c είναι ο ελεύθερος όρος .

Για παράδειγμα, ας πάρουμε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής 5 x 2 −2 x −3=0, εδώ ο κύριος συντελεστής είναι 5, ο δεύτερος συντελεστής είναι ίσος με −2 και ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με −3. Λάβετε υπόψη ότι όταν οι συντελεστές b και/ή c είναι αρνητικοί, όπως στο παράδειγμα που μόλις δόθηκε, η σύντομη μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης είναι 5 x 2 −2 x−3=0, αντί 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Αξίζει να σημειωθεί ότι όταν οι συντελεστές a και/ή b είναι ίσοι με 1 ή −1, τότε συνήθως δεν υπάρχουν ρητά στην εξίσωση του δευτεροβάθμιου, κάτι που οφείλεται στις ιδιαιτερότητες της γραφής τους. Για παράδειγμα, στην τετραγωνική εξίσωση y 2 −y+3=0 ο κύριος συντελεστής είναι ένας και ο συντελεστής του y είναι ίσος με −1.

Ανηγμένες και μη αναγωγικές τετραγωνικές εξισώσεις

Ανάλογα με την τιμή του προπορευόμενου συντελεστή, διακρίνονται μειωμένες και μη ανηγμένες τετραγωνικές εξισώσεις. Ας δώσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς.

Ορισμός.

Καλείται μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία ο κύριος συντελεστής είναι 1 δεδομένη τετραγωνική εξίσωση. Διαφορετικά η τετραγωνική εξίσωση είναι άθικτος.

Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, κ.λπ. – δεδομένου, σε καθένα από αυτά ο πρώτος συντελεστής είναι ίσος με ένα. A 5 x 2 −x−1=0, κ.λπ. - Οι μη αναγωγικές τετραγωνικές εξισώσεις, οι συντελεστές τους είναι διαφορετικοί από το 1.

Από οποιαδήποτε μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, διαιρώντας και τις δύο πλευρές με τον προπορευόμενο συντελεστή, μπορείτε να πάτε στη μειωμένη. Αυτή η ενέργεια είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός, δηλαδή, η μειωμένη τετραγωνική εξίσωση που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο έχει τις ίδιες ρίζες με την αρχική μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση ή, όπως αυτή, δεν έχει ρίζες.

Ας δούμε ένα παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο εκτελείται η μετάβαση από μια μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση σε μια ανηγμένη.

Παράδειγμα.

Από την εξίσωση 3 x 2 +12 x−7=0, πηγαίνετε στην αντίστοιχη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση.

Λύση.

Απλώς πρέπει να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με τον κύριο συντελεστή 3, είναι μη μηδενικός, ώστε να μπορούμε να εκτελέσουμε αυτήν την ενέργεια. Έχουμε (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, που είναι το ίδιο, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, και μετά (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, από όπου . Έτσι αποκτήσαμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση, η οποία είναι ισοδύναμη με την αρχική.

Απάντηση:

Πλήρεις και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Ο ορισμός μιας τετραγωνικής εξίσωσης περιέχει τη συνθήκη a≠0. Αυτή η συνθήκη είναι απαραίτητη ώστε η εξίσωση a x 2 + b x + c = 0 να είναι τετραγωνική, αφού όταν a = 0 γίνεται στην πραγματικότητα μια γραμμική εξίσωση της μορφής b x + c = 0.

Όσον αφορά τους συντελεστές b και c, μπορούν να είναι ίσοι με μηδέν, τόσο μεμονωμένα όσο και μαζί. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ελλιπής.

Ορισμός.

Λέγεται η τετραγωνική εξίσωση a x 2 +b x+c=0 ατελής, αν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές b, c είναι ίσος με μηδέν.

Με τη σειρά του

Ορισμός.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία όλοι οι συντελεστές είναι διαφορετικοί από το μηδέν.

Τέτοια ονόματα δεν δόθηκαν τυχαία. Αυτό θα φανεί από τις επόμενες συζητήσεις.

Αν ο συντελεστής b είναι μηδέν, τότε η δευτεροβάθμια εξίσωση παίρνει τη μορφή a·x 2 +0·x+c=0, και είναι ισοδύναμη με την εξίσωση a·x 2 +c=0. Αν c=0, δηλαδή, η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει τη μορφή a·x 2 +b·x+0=0, τότε μπορεί να ξαναγραφτεί ως a·x 2 +b·x=0. Και με b=0 και c=0 παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση a·x 2 =0. Οι εξισώσεις που προκύπτουν διαφέρουν από την πλήρη τετραγωνική εξίσωση στο ότι οι αριστερές πλευρές τους δεν περιέχουν ούτε όρο με τη μεταβλητή x ούτε έναν ελεύθερο όρο ή και τα δύο. Εξ ου και το όνομά τους - ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Άρα οι εξισώσεις x 2 +x+1=0 και −2 x 2 −5 x+0,2=0 είναι παραδείγματα πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 είναι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Από τις πληροφορίες της προηγούμενης παραγράφου προκύπτει ότι υπάρχει τρεις τύποι ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

• a·x 2 =0, σε αυτό αντιστοιχούν οι συντελεστές b=0 και c=0.
• a x 2 +c=0 όταν b=0 ;
• και a·x 2 +b·x=0 όταν c=0.

Ας εξετάσουμε με τη σειρά πώς λύνονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις καθενός από αυτούς τους τύπους.

a x 2 =0

Ας ξεκινήσουμε με την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων στις οποίες οι συντελεστές b και c είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή με εξισώσεις της μορφής a x 2 =0. Η εξίσωση a·x 2 =0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 =0, η οποία προκύπτει από το πρωτότυπο διαιρώντας και τα δύο μέρη με έναν μη μηδενικό αριθμό α. Προφανώς, η ρίζα της εξίσωσης x 2 =0 είναι μηδέν, αφού 0 2 =0. Αυτή η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες, κάτι που εξηγείται από το γεγονός ότι για οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό p ισχύει η ανισότητα p 2 >0, που σημαίνει ότι για p≠0 η ισότητα p 2 =0 δεν επιτυγχάνεται ποτέ.

Άρα, η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a·x 2 =0 έχει μία μόνο ρίζα x=0.

Ως παράδειγμα, δίνουμε τη λύση στην ημιτελή τετραγωνική εξίσωση −4 x 2 =0. Είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 =0, η μόνη της ρίζα είναι x=0, επομένως, η αρχική εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα μηδέν.

Μια σύντομη λύση σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Ας δούμε τώρα πώς λύνονται ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής b είναι μηδέν και c≠0, δηλαδή εξισώσεις της μορφής a x 2 +c=0. Γνωρίζουμε ότι η μετακίνηση ενός όρου από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη με το αντίθετο πρόσημο, καθώς και η διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό, δίνει μια ισοδύναμη εξίσωση. Επομένως, μπορούμε να πραγματοποιήσουμε τους ακόλουθους ισοδύναμους μετασχηματισμούς της ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης a x 2 +c=0:

• μετακινήστε το c στη δεξιά πλευρά, που δίνει την εξίσωση a x 2 =−c,
• και διαιρούμε και τις δύο πλευρές με ένα, παίρνουμε .

Η εξίσωση που προκύπτει μας επιτρέπει να βγάλουμε συμπεράσματα για τις ρίζες της. Ανάλογα με τις τιμές των a και c, η τιμή της παράστασης μπορεί να είναι αρνητική (για παράδειγμα, αν a=1 και c=2, τότε ) ή θετική (για παράδειγμα, εάν a=−2 και c=6, τότε ), δεν ισούται με μηδέν, αφού με συνθήκη c≠0. Ας δούμε τις περιπτώσεις ξεχωριστά.

Αν , τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Αυτή η δήλωση προκύπτει από το γεγονός ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Από αυτό προκύπτει ότι όταν , τότε για οποιονδήποτε αριθμό p η ισότητα δεν μπορεί να είναι αληθής.

Αν , τότε η κατάσταση με τις ρίζες της εξίσωσης είναι διαφορετική. Σε αυτήν την περίπτωση, αν θυμηθούμε περίπου , τότε η ρίζα της εξίσωσης γίνεται αμέσως προφανής· είναι ο αριθμός, αφού . Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι ο αριθμός είναι επίσης η ρίζα της εξίσωσης, πράγματι, . Αυτή η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες, οι οποίες μπορούν να φανούν, για παράδειγμα, με αντίφαση. Ας το κάνουμε.

Ας υποδηλώσουμε τις ρίζες της εξίσωσης που μόλις ανακοινώθηκε ως x 1 και −x 1 . Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση έχει μια ακόμη ρίζα x 2, διαφορετική από τις υποδεικνυόμενες ρίζες x 1 και −x 1. Είναι γνωστό ότι η αντικατάσταση των ριζών της σε εξίσωση αντί για x μετατρέπει την εξίσωση σε σωστή αριθμητική ισότητα. Για x 1 και −x 1 έχουμε , και για x 2 έχουμε . Οι ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων μας επιτρέπουν να πραγματοποιούμε αφαίρεση κατά όρο των σωστών αριθμητικών ισοτήτων, οπότε αφαιρώντας τα αντίστοιχα μέρη των ισοτήτων δίνουμε x 1 2 −x 2 2 =0. Οι ιδιότητες των πράξεων με αριθμούς μας επιτρέπουν να ξαναγράψουμε την ισότητα που προκύπτει ως (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, από την προκύπτουσα ισότητα προκύπτει ότι x 1 −x 2 =0 και/ή x 1 +x 2 =0, που είναι το ίδιο, x 2 =x 1 και/ή x 2 =−x 1. Καταλήξαμε λοιπόν σε μια αντίφαση, αφού στην αρχή είπαμε ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2 είναι διαφορετική από τα x 1 και −x 1. Αυτό αποδεικνύει ότι η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες εκτός από και .

Ας συνοψίσουμε τις πληροφορίες σε αυτήν την παράγραφο. Η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 +c=0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση που

• δεν έχει ρίζες αν,
• έχει δύο ρίζες και , αν .

Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής a·x 2 +c=0.

Ας ξεκινήσουμε με την τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 +7=0. Αφού μετακινήσετε τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, θα πάρει τη μορφή 9 x 2 =−7. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με το 9, καταλήγουμε στο . Εφόσον η δεξιά πλευρά έχει αρνητικό αριθμό, αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, επομένως, η αρχική ημιτελής τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 +7 = 0 δεν έχει ρίζες.

Ας λύσουμε μια άλλη ημιτελή τετραγωνική εξίσωση −x 2 +9=0. Μετακινούμε το εννέα στη δεξιά πλευρά: −x 2 =−9. Τώρα διαιρούμε και τις δύο πλευρές με −1, παίρνουμε x 2 =9. Στη δεξιά πλευρά υπάρχει ένας θετικός αριθμός, από τον οποίο συμπεραίνουμε ότι ή . Στη συνέχεια σημειώνουμε την τελική απάντηση: η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση −x 2 +9=0 έχει δύο ρίζες x=3 ή x=−3.

a x 2 +b x=0

Απομένει να ασχοληθούμε με τη λύση του τελευταίου τύπου ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων για c=0. Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις της μορφής a x 2 + b x = 0 σας επιτρέπουν να λύσετε μέθοδος παραγοντοποίησης. Προφανώς, μπορούμε, που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, για την οποία αρκεί να βγάλουμε τον κοινό παράγοντα x από αγκύλες. Αυτό μας επιτρέπει να μετακινηθούμε από την αρχική ημιτελή τετραγωνική εξίσωση σε μια ισοδύναμη εξίσωση της μορφής x·(a·x+b)=0. Και αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο δύο εξισώσεων x=0 και a·x+b=0, η τελευταία από τις οποίες είναι γραμμική και έχει ρίζα x=−b/a.

Άρα, η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a·x 2 +b·x=0 έχει δύο ρίζες x=0 και x=−b/a.

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα αναλύσουμε τη λύση σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Λύστε την εξίσωση.

Λύση.

Βγάζοντας x από αγκύλες δίνεται η εξίσωση . Ισοδυναμεί με δύο εξισώσεις x=0 και . Λύνουμε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει: , και διαιρώντας τον μικτό αριθμό με ένα συνηθισμένο κλάσμα, βρίσκουμε . Επομένως, οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι x=0 και .

Αφού αποκτήσετε την απαραίτητη πρακτική, οι λύσεις σε τέτοιες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν εν συντομία:

Απάντηση:

x=0, .

Διάκριση, τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, υπάρχει ένας τύπος ρίζας. Ας το γράψουμε τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης: , Οπου D=b 2 −4 a γ- τα λεγόμενα διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Το λήμμα ουσιαστικά σημαίνει ότι .

Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς προέκυψε ο τύπος ρίζας και πώς χρησιμοποιείται για την εύρεση των ριζών των τετραγωνικών εξισώσεων. Ας το καταλάβουμε αυτό.

Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ας χρειαστεί να λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση a·x 2 +b·x+c=0. Ας κάνουμε μερικούς ισοδύναμους μετασχηματισμούς:

• Μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό α, με αποτέλεσμα την ακόλουθη τετραγωνική εξίσωση.
• Τώρα επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνοστην αριστερή του πλευρά: . Μετά από αυτό, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή .
• Σε αυτό το στάδιο, είναι δυνατό να μεταφέρουμε τους δύο τελευταίους όρους στη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο, έχουμε .
• Και ας μεταμορφώσουμε επίσης την έκφραση στη δεξιά πλευρά: .

Ως αποτέλεσμα, καταλήγουμε σε μια εξίσωση που είναι ισοδύναμη με την αρχική τετραγωνική εξίσωση a·x 2 +b·x+c=0.

Έχουμε ήδη λύσει εξισώσεις παρόμοιες σε μορφή στις προηγούμενες παραγράφους, όταν εξετάσαμε. Αυτό μας επιτρέπει να βγάλουμε τα ακόλουθα συμπεράσματα σχετικά με τις ρίζες της εξίσωσης:

• αν , τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις.
• αν , τότε η εξίσωση έχει τη μορφή, άρα, , από την οποία φαίνεται η μόνη της ρίζα.
• αν , τότε ή , που είναι ίδιο με το ή , δηλαδή, η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Έτσι, η παρουσία ή η απουσία ριζών της εξίσωσης, και επομένως της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης, εξαρτάται από το πρόσημο της έκφρασης στη δεξιά πλευρά. Με τη σειρά του, το πρόσημο αυτής της παράστασης καθορίζεται από το πρόσημο του αριθμητή, αφού ο παρονομαστής 4·a 2 είναι πάντα θετικός, δηλαδή από το πρόσημο της παράστασης b 2 −4·a·c. Αυτή η έκφραση b 2 −4 a c ονομάστηκε διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσηςκαι ορίζεται από την επιστολή ρε. Από εδώ η ουσία της διάκρισης είναι ξεκάθαρη - με βάση την αξία και το πρόσημο της, συμπεραίνουν αν η τετραγωνική εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αν ναι, ποιος είναι ο αριθμός τους - ένα ή δύο.

Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση και ας την ξαναγράψουμε χρησιμοποιώντας τον διακριτικό συμβολισμό: . Και βγάζουμε συμπεράσματα:

• αν Δ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• αν D=0, τότε αυτή η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα.
• Τέλος, αν D>0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες ή, οι οποίες μπορούν να ξαναγραφτούν με τη μορφή ή, και αφού επεκτείνουμε και φέρουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή παίρνουμε.

Έτσι, εξάγαμε τους τύπους για τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, μοιάζουν με , όπου η διάκριση D υπολογίζεται με τον τύπο D=b 2 −4·a·c.

Με τη βοήθειά τους, με μια θετική διάκριση, μπορείτε να υπολογίσετε και τις δύο πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Όταν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, και οι δύο τύποι δίνουν την ίδια τιμή της ρίζας, που αντιστοιχεί σε μια μοναδική λύση της τετραγωνικής εξίσωσης. Και με μια αρνητική διάκριση, όταν προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού, κάτι που μας βγάζει πέρα ​​από το πεδίο εφαρμογής του σχολικού προγράμματος. Με αρνητική διάκριση, η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, αλλά έχει ένα ζεύγος σύνθετο συζυγέςρίζες, οι οποίες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους ρίζας που αποκτήσαμε.

Αλγόριθμος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση ριζικών τύπων

Στην πράξη, κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αμέσως τον τύπο ρίζας για να υπολογίσετε τις τιμές τους. Αλλά αυτό σχετίζεται περισσότερο με την εύρεση πολύπλοκων ριζών.

Ωστόσο, σε ένα σχολικό μάθημα άλγεβρας συνήθως δεν μιλάμε για σύνθετες, αλλά για πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, καλό είναι, πριν χρησιμοποιήσετε τους τύπους για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, να βρείτε πρώτα το διαχωριστικό, βεβαιωθείτε ότι είναι μη αρνητικό (διαφορετικά, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες). και μόνο τότε υπολογίστε τις τιμές των ριζών.

Ο παραπάνω συλλογισμός μας επιτρέπει να γράψουμε αλγόριθμος για την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης. Για να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση a x 2 +b x+c=0, χρειάζεται:

• Χρησιμοποιώντας τον τύπο διάκρισης D=b 2 −4·a·c, υπολογίστε την τιμή του.
• Καταλήξτε στο συμπέρασμα ότι μια τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες εάν η διάκριση είναι αρνητική.
• Υπολογίστε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο εάν D=0;
• Βρείτε δύο πραγματικές ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο της ρίζας εάν η διάκριση είναι θετική.

Εδώ απλώς σημειώνουμε ότι εάν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον τύπο· θα δώσει την ίδια τιμή με το .

Μπορείτε να προχωρήσετε σε παραδείγματα χρήσης του αλγορίθμου για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Ας εξετάσουμε λύσεις σε τρεις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με θετική, αρνητική και μηδενική διάκριση. Έχοντας ασχοληθεί με τη λύση τους, κατ' αναλογία θα είναι δυνατή η επίλυση οποιασδήποτε άλλης τετραγωνικής εξίσωσης. Ας ξεκινήσουμε.

Παράδειγμα.

Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 +2·x−6=0.

Λύση.

Στην περίπτωση αυτή, έχουμε τους παρακάτω συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a=1, b=2 και c=−6. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τη διάκριση· για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τα υποδεικνυόμενα a, b και c στον τύπο διάκρισης, έχουμε D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Εφόσον 28>0, δηλαδή, η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Ας τις βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο ρίζας, παίρνουμε , εδώ μπορείτε να απλοποιήσετε τις παραστάσεις που προκύπτουν κάνοντας μετακινώντας τον πολλαπλασιαστή πέρα ​​από το σύμβολο της ρίζαςακολουθούμενη από μείωση του κλάσματος:

Απάντηση:

Ας περάσουμε στο επόμενο χαρακτηριστικό παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση −4 x 2 +28 x−49=0 .

Λύση.

Ξεκινάμε βρίσκοντας τη διάκριση: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Επομένως, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα, την οποία βρίσκουμε ως , δηλαδή,

Απάντηση:

x=3,5.

Απομένει να εξετάσουμε το ενδεχόμενο επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων με αρνητική διάκριση.

Παράδειγμα.

Λύστε την εξίσωση 5·y 2 +6·y+2=0.

Λύση.

Εδώ είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a=5, b=6 και c=2. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στον τύπο διάκρισης, έχουμε D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Η διάκριση είναι αρνητική, επομένως, αυτή η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Εάν χρειάζεται να υποδείξετε σύνθετες ρίζες, τότε εφαρμόζουμε τον γνωστό τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης και εκτελούμε πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς:

Απάντηση:

δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες, οι σύνθετες ρίζες είναι: .

Ας σημειώσουμε για άλλη μια φορά ότι εάν η διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι αρνητική, τότε στο σχολείο συνήθως γράφουν αμέσως μια απάντηση στην οποία υποδεικνύουν ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες και δεν βρίσκονται σύνθετες ρίζες.

Τύπος ρίζας για ακόμη και δεύτερους συντελεστές

Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, όπου D=b 2 −4·a·c σας επιτρέπει να αποκτήσετε έναν τύπο πιο συμπαγούς μορφής, που σας επιτρέπει να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις με άρτιο συντελεστή για x (ή απλά με συντελεστής που έχει τη μορφή 2·n, για παράδειγμα, ή 14· ln5=2·7·ln5 ). Ας τη βγάλουμε.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής a x 2 +2 n x+c=0. Ας βρούμε τις ρίζες του χρησιμοποιώντας τον τύπο που γνωρίζουμε. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τη διάκριση D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο ρίζας:

Ας υποδηλώσουμε την παράσταση n 2 −a c ως D 1 (μερικές φορές συμβολίζεται με D ").Τότε ο τύπος για τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που εξετάζουμε με τον δεύτερο συντελεστή 2 n θα πάρει τη μορφή , όπου D 1 =n 2 −a·c.

Είναι εύκολο να δούμε ότι D=4·D 1, ή D 1 =D/4. Με άλλα λόγια, το D 1 είναι το τέταρτο μέρος της διάκρισης. Είναι σαφές ότι το πρόσημο του D 1 είναι το ίδιο με το πρόσημο του D . Δηλαδή, το πρόσημο D 1 είναι επίσης δείκτης παρουσίας ή απουσίας ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Άρα, για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση με δεύτερο συντελεστή 2·n, χρειάζεστε

• Υπολογίστε D 1 =n 2 −a·c ;
• Αν Δ 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Εάν D 1 =0, τότε υπολογίστε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο.
• Αν D 1 >0, τότε βρείτε δύο πραγματικές ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Ας εξετάσουμε το ενδεχόμενο επίλυσης του παραδείγματος χρησιμοποιώντας τον τύπο ρίζας που λαμβάνεται σε αυτήν την παράγραφο.

Παράδειγμα.

Λύστε την δευτεροβάθμια εξίσωση 5 x 2 −6 x −32=0 .

Λύση.

Ο δεύτερος συντελεστής αυτής της εξίσωσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως 2·(−3) . Δηλαδή, μπορείτε να ξαναγράψετε την αρχική τετραγωνική εξίσωση με τη μορφή 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, εδώ a=5, n=−3 και c=−32, και να υπολογίσετε το τέταρτο μέρος του διακριτικός: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Εφόσον η τιμή της είναι θετική, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Ας τα βρούμε χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τύπο ρίζας:

Σημειώστε ότι ήταν δυνατό να χρησιμοποιηθεί ο συνήθης τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αλλά στην περίπτωση αυτή θα έπρεπε να εκτελεστεί περισσότερη υπολογιστική εργασία.

Απάντηση:

Απλοποίηση της μορφής των τετραγωνικών εξισώσεων

Μερικές φορές, πριν αρχίσετε να υπολογίζετε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τύπους, δεν βλάπτει να κάνετε την ερώτηση: "Είναι δυνατόν να απλοποιήσετε τη μορφή αυτής της εξίσωσης;" Συμφωνήστε ότι από πλευράς υπολογισμών θα είναι ευκολότερο να λύσετε την εξίσωση του δευτεροβάθμιου 11 x 2 −4 x−6=0 παρά 1100 x 2 −400 x−600=0.

Συνήθως, η απλοποίηση της μορφής μιας τετραγωνικής εξίσωσης επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τις δύο πλευρές με έναν ορισμένο αριθμό. Για παράδειγμα, στην προηγούμενη παράγραφο ήταν δυνατό να απλοποιηθεί η εξίσωση 1100 x 2 −400 x −600=0 διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το 100.

Παρόμοιος μετασχηματισμός πραγματοποιείται με τετραγωνικές εξισώσεις, οι συντελεστές των οποίων δεν είναι . Σε αυτή την περίπτωση, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης συνήθως διαιρούνται με τις απόλυτες τιμές των συντελεστών της. Για παράδειγμα, ας πάρουμε την τετραγωνική εξίσωση 12 x 2 −42 x+48=0. απόλυτες τιμές των συντελεστών του: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης με 6, καταλήγουμε στην ισοδύναμη τετραγωνική εξίσωση 2 x 2 −7 x+8=0.

Και ο πολλαπλασιασμός και των δύο πλευρών μιας τετραγωνικής εξίσωσης συνήθως γίνεται για να απαλλαγούμε από τους κλασματικούς συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή, ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιείται με τους παρονομαστές των συντελεστών του. Για παράδειγμα, αν και οι δύο πλευρές της τετραγωνικής εξίσωσης πολλαπλασιαστούν με LCM(6, 3, 1)=6, τότε θα πάρει την απλούστερη μορφή x 2 +4·x−18=0.

Ολοκληρώνοντας αυτό το σημείο, σημειώνουμε ότι σχεδόν πάντα ξεφορτώνονται το μείον στον υψηλότερο συντελεστή μιας τετραγωνικής εξίσωσης αλλάζοντας τα πρόσημα όλων των όρων, που αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό (ή στη διαίρεση) και των δύο πλευρών με −1. Για παράδειγμα, συνήθως κινείται κανείς από την δευτεροβάθμια εξίσωση −2 x 2 −3 x+7=0 στη λύση 2 x 2 +3 x−7=0 .

Σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης εκφράζει τις ρίζες της εξίσωσης μέσω των συντελεστών της. Με βάση τον τύπο ρίζας, μπορείτε να αποκτήσετε άλλες σχέσεις μεταξύ ριζών και συντελεστών.

Οι πιο γνωστοί και εφαρμόσιμοι τύποι από το θεώρημα του Vieta είναι της μορφής και . Ειδικότερα, για τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Για παράδειγμα, βλέποντας τη μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 3 x 2 −7 x + 22 = 0, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι ίσο με 7/3 και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με 22 /3.

Χρησιμοποιώντας τους ήδη γραμμένους τύπους, μπορείτε να αποκτήσετε έναν αριθμό άλλων συνδέσεων μεταξύ των ριζών και των συντελεστών της τετραγωνικής εξίσωσης. Για παράδειγμα, μπορείτε να εκφράσετε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μέσω των συντελεστών της: .

Βιβλιογραφία.

• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 8η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2009. - 215 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01155-2.