यदि क्षेत्रफल ज्ञात हो तो घन का किनारा ज्ञात करें। आंकड़ों की मात्रा. एक घन का आयतन

किसी घन के कुछ मापदंडों को जानकर आप आसानी से उसका किनारा ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, इसके आयतन, किसी फलक के क्षेत्रफल या किसी फलक या घन के विकर्ण की लंबाई के बारे में जानकारी होना ही पर्याप्त है।

आपको चाहिये होगा

• कैलकुलेटर

निर्देश

मुख्य रूप से चार प्रकार की समस्याएं होती हैं जिनमें आपको घन का किनारा खोजने की आवश्यकता होती है। यह घन फलक के क्षेत्रफल द्वारा, घन के आयतन द्वारा, घन फलक के विकर्ण द्वारा और घन के विकर्ण द्वारा घन किनारे की लंबाई का निर्धारण है। आइए ऐसी समस्याओं के सभी चार प्रकारों पर विचार करें। (शेष कार्य, एक नियम के रूप में, उपरोक्त या त्रिकोणमिति कार्यों के भिन्न रूप हैं जो अप्रत्यक्ष रूप से मौजूदा मुद्दे से संबंधित हैं)

यदि घन फलक का क्षेत्रफल ज्ञात हो तो घन का किनारा ज्ञात करना बहुत सरल है। चूँकि घन का फलक एक वर्ग होता है जिसकी भुजा घन के किनारे के बराबर होती है, इसका क्षेत्रफल घन के किनारे के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, किसी घन के किनारे की लंबाई उसके फलक के क्षेत्रफल के वर्गमूल के बराबर होती है, अर्थात:

a घन किनारे की लंबाई है,

S घन फलक का क्षेत्रफल है।

किसी घन के आयतन के आधार पर उसका फलक ढूँढना और भी आसान है। यह मानते हुए कि एक घन का आयतन घन के किनारे की लंबाई के घन (तीसरी शक्ति) के बराबर है, हम पाते हैं कि घन के किनारे की लंबाई उसके आयतन के घनमूल (तीसरी शक्ति) के बराबर है , अर्थात।:

ए=?वी ( क्युब जड़), कहाँ

a घन किनारे की लंबाई है,

V घन का आयतन है।

विकर्णों की ज्ञात लंबाई का उपयोग करके घन के किनारे की लंबाई ज्ञात करना थोड़ा अधिक कठिन है। आइए इसे निरूपित करें:

a घन के किनारे की लंबाई है-

b - घन फलक के विकर्ण की लंबाई -

c घन के विकर्ण की लंबाई है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, फलक का विकर्ण और घन के किनारे एक समकोण समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

(^ घातांक का प्रतीक है)।

यहाँ से हम पाते हैं:

(घन का किनारा ढूंढने के लिए आपको उसे निकालना होगा वर्गमूलचेहरे के विकर्ण के आधे वर्ग से)।

घन के विकर्ण के अनुदिश किनारे को खोजने के लिए, हम फिर से आकृति का उपयोग करेंगे। घन का विकर्ण (c), फलक का विकर्ण (b) और घन का किनारा (a) बनता है सही त्रिकोण. तो, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

आइए ए और बी के बीच उपरोक्त स्थापित संबंध का उपयोग करें और इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें

b^2=a^2+a^2. हम पाते हैं:

a^2+a^2+a^2=c^2, जहां से हम पाते हैं:

3*a^2=c^2, इसलिए।

नीचे प्रस्तुत समस्याएं सरल हैं, उनमें से अधिकांश को 1 चरण में हल किया जा सकता है। इस लेख में हम विचार करेंगे घनाभ(सभी फलक आयत हैं)। आपको क्या जानने और समझने की आवश्यकता है? सबसे पहले, आप एक घन और एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के आयतन और सतह क्षेत्र के साथ-साथ विकर्ण सूत्र के सूत्रों को देख सकते हैं।आइए संक्षेप में सूत्रों की सूची बनाएं:

आयताकार समान्तर चतुर्भुज

किनारों को बराबर होने दें ए,बी, साथ।

सतह क्षेत्रफल:

आयतन:

विकर्ण:

घनक्षेत्र

माना कि घन का किनारा बराबर है एक।

सतह क्षेत्रफल:

आयतन:

विकर्ण:

*यह स्पष्ट है कि घन के सूत्र आयताकार समांतर चतुर्भुज के संगत सूत्रों का परिणाम हैं। घन एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं और फलक वर्ग होते हैं।

आइए कार्यों पर विचार करें:

एक घनाभ के एक ही शीर्ष से आने वाले दो किनारे 5 और 8 हैं। इस घनाभ का सतह क्षेत्र 210 है। एक ही शीर्ष से आने वाला तीसरा किनारा ज्ञात कीजिए।

आइए हम ज्ञात किनारों को इस रूप में निरूपित करें एऔर बी, और के लिए अज्ञात सी.

फिर समांतर चतुर्भुज के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

जो कुछ बचा है वह डेटा को प्रतिस्थापित करना और समीकरण को हल करना है:

उत्तर: 5

एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 200 है। इसका विकर्ण ज्ञात कीजिए।

आइए घन का विकर्ण बनाएं:

किसी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके किनारे के रूप में व्यक्त किया जाता है एकैसे एस = 6ए 2, जिसका अर्थ है कि हम किनारा पा सकते हैं ए:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार एक घन के फलक का विकर्ण बराबर होता है:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार एक घन का विकर्ण बराबर होता है:

तब

*आप तुरंत घन विकर्ण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

उत्तर: 10

घन का आयतन 343 है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

किसी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके किनारे के रूप में व्यक्त किया जाता हैएकैसे एस = 6 ए 2 और आयतन है वी = ए 3 . तो हम घन का किनारा ढूंढ सकते हैं और फिर सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं:

इस प्रकार, घन का सतह क्षेत्र है:

उत्तर: 294

27060. एक ही शीर्ष से फैले घनाभ के दो किनारे 1 और 2 हैं। घनाभ का सतह क्षेत्र 16 है। इसका विकर्ण ज्ञात कीजिए।

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां ए, बी और सी किनारे हैं।

आइए तीसरा किनारा खोजें. हम समांतर चतुर्भुज के सतह क्षेत्र के सूत्र का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं:

हम डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं और समीकरण को हल करते हैं:

इस प्रकार, विकर्ण बराबर होगा:

उत्तर: 3

27063. एक नियमित चतुर्भुजाकार प्रिज्म का पार्श्व किनारा ज्ञात करें यदि इसके आधार की भुजा 20 है और इसकी सतह का क्षेत्रफल 1760 है।

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के आधार पर एक वर्ग होता है। यह स्पष्ट है कि यह एक समान्तर चतुर्भुज है। वही सूत्र लागू होते हैं. माना पार्श्व किनारा x के बराबर है। हम इसे सतह क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पा सकते हैं:

उत्तर: 12

0.8 के आधार पक्ष और 1 के पार्श्व किनारे के साथ एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म को एक इकाई घन से काटा जाता है। घन के शेष भाग का सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

एक इकाई घन एक ऐसा घन है जिसका किनारा 1 के बराबर होता है।

परिणामी पॉलीहेड्रॉन के सतह क्षेत्र की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: घन के सतह क्षेत्र से, आपको कट आउट प्रिज्म के आधार के दो क्षेत्रों को घटाना होगा और कट के पार्श्व चेहरे के चार क्षेत्रों को जोड़ना होगा 1 और 0.8 भुजाओं वाला आउट प्रिज्म:

उत्तर: 7.92

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के फलक का क्षेत्रफल 48 है। इस फलक का लंबवत किनारा 8 है। समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।

यह वॉल्यूम फॉर्मूला लागू करने के लिए पर्याप्त है...................

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन उसके तीन किनारों के गुणनफल या आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है। इस मामले में, आधार की भूमिका किनारे द्वारा निभाई जाती है, ऊंचाई की भूमिका किनारे द्वारा निभाई जाती है, जो इसके लंबवत है। हम पाते हैं:

उत्तर: 384

आप निम्नलिखित समस्याओं को बिना किसी कठिनाई के हल कर लेंगे।

27077. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन 64 है। इसका एक किनारा 4 है। इस किनारे पर लंबवत समांतर चतुर्भुज के फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर: 16.

27078. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन 60 है। इसके एक फलक का क्षेत्रफल 12 है। इस फलक पर लंबवत समांतर चतुर्भुज का किनारा ज्ञात कीजिए। उत्तर: 5.

27079. एक ही शीर्ष से निकलने वाले आयताकार समान्तर चतुर्भुज के दो किनारे 8 और 6 हैं। समांतर चतुर्भुज का आयतन 240 है। समान शीर्ष से निकलने वाले समांतर चतुर्भुज का तीसरा किनारा ज्ञात कीजिए। उत्तर - 4।

आपके स्वयं के समाधान के लिए और अधिक:

27054. एक घनाभ के एक ही शीर्ष से आने वाले दो किनारे 3 और 4 हैं। इस घनाभ का सतही क्षेत्रफल 94 है। एक ही शीर्ष से आने वाला तीसरा किनारा ज्ञात कीजिए।

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3 की विधि 1: घन के किनारे को घन करें

• घन के एक किनारे की लंबाई ज्ञात कीजिए। एक नियम के रूप में, घन किनारे की लंबाई समस्या कथन में दी गई है। अगर आप

किसी वास्तविक घन वस्तु के आयतन की गणना करें, उसके किनारे को रूलर या टेप माप से मापें।

चलो गौर करते हैं उदाहरण. घन का किनारा 5 सेमी है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

घन के किनारे की लंबाई का घन बनाओ। दूसरे शब्दों में, घन के किनारे की लंबाई को स्वयं से तीन गुना गुणा करें।

अगर एसतो, घन के किनारे की लंबाई है

और इस प्रकार आप गणना करेंगे घन आयतन.

यह प्रक्रिया किसी घन के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने की प्रक्रिया के समान है (लंबाई समय के गुणनफल के बराबर)

आधार पर वर्ग की चौड़ाई) और फिर आधार के क्षेत्रफल को घन की ऊंचाई से गुणा करना (अर्थात्,

दूसरे शब्दों में, आप लंबाई को चौड़ाई से ऊंचाई से गुणा करते हैं)। चूँकि एक घन में एक किनारे की लंबाई चौड़ाई के बराबर होती है

ऊंचाई के बराबर है, तो इस प्रक्रिया को घन के किनारे को तीसरी शक्ति तक बढ़ाकर प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

हमारे उदाहरण में घन आयतनके बराबर:

• अपने उत्तर में वॉल्यूम इकाइयाँ जोड़ें। चूँकि आयतन एक मात्रात्मक है

किसी पिंड द्वारा घेरे गए स्थान की विशेषता, तो आयतन माप की इकाइयाँ घन हैं

इकाइयाँ (घन सेंटीमीटर, घन मीटर, आदि)।

हमारे उदाहरण में, घन के किनारे का आकार सेंटीमीटर में दिया गया था, इसलिए आयतन घन में मापा जाएगा

सेंटीमीटर (या सेमी 3)। अतः, घन का आयतन 125 सेमी3 है।

यदि किसी घन के किनारे का आकार अन्य इकाइयों में दिया गया है, तो घन का आयतन संगत में मापा जाता है

घन इकाइयाँ.

उदाहरण के लिए, यदि किसी घन का किनारा 5 मीटर (5 सेमी नहीं) है, तो इसका आयतन 125 मीटर 3 है।

3 की विधि 2: सतह क्षेत्र से आयतन की गणना करें

• कुछ समस्याओं में घन के किनारे की लंबाई नहीं दी जाती है, लेकिन अन्य मात्राएँ दी जाती हैं जिनकी सहायता से आप

आप घन का किनारा और उसका आयतन ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको किसी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया गया है, तो विभाजित करें

इसे 6 से, परिणामी मान से वर्गमूल लें और आपको घन के किनारे की लंबाई मिल जाएगी। तब

घन के किनारे की लंबाई को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं और घन के आयतन की गणना करें।

एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफलके बराबर 6एस 2,

कहाँ एस - घन किनारे की लंबाई(अर्थात, आप घन के एक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करें और फिर उसे 6 से गुणा करें, इसलिए

जैसे एक घन की 6 बराबर भुजाएँ होती हैं)।

चलो गौर करते हैं उदाहरण।घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 50 सेमी2 है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

• घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल को 6 से विभाजित करें (चूँकि घन की 6 बराबर भुजाएँ हैं, आपको क्षेत्रफल प्राप्त होता है)

घन का एक फलक)। बदले में, घन के एक फलक का क्षेत्रफल बराबर होता है एस 2, कहाँ एस- घन के किनारे की लंबाई.

हमारे उदाहरण में: 50/6 = 8.33 सेमी 2 (याद रखें कि क्षेत्रफल मापा जाता है वर्ग इकाइयाँ- सेमी 2,

एम 2, आदि)।

• चूँकि घन के एक फलक का क्षेत्रफल होता है एस 2, फिर क्षेत्र मान का वर्गमूल लें

एक फलक और घन के किनारे की लंबाई प्राप्त करें।

हमारे उदाहरण में, √8.33 = 2.89 सेमी.

• घन का आयतन ज्ञात करने के लिए परिणामी मान को घन करें।

हमारे उदाहरण में: 2.89 * 2.89 * 2.89 = 2.893 = 24.14 सेमी3। अपने उत्तर में घन जोड़ना न भूलें।

इकाइयाँ।

3 की विधि 3: विकर्ण रूप से आयतन की गणना करना

• घन के किनारे की लंबाई ज्ञात करने के लिए घन के किसी एक फलक के विकर्ण को √2 से विभाजित करें। इस प्रकार,

यदि समस्या में किसी घन के फलक (किसी भी) का विकर्ण दिया गया है, तो आप घन के किनारे की लंबाई को विभाजित करके ज्ञात कर सकते हैं

√2 से विकर्ण।

चलो गौर करते हैं उदाहरण।घन के मुख का विकर्ण 7 सेमी है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए। इस मामले में, घन किनारे की लंबाई

7/√2 = 4.96 सेमी के बराबर। घन का आयतन 4.963 = 122.36 सेमी 3 है।

याद करना: d2 = 2s2,

कहाँ डी- घन फलक का विकर्ण, s - घन का किनारा। यह सूत्र इस प्रकार है पाइथागोरस प्रमेय, के अनुसार

जो कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण (हमारे मामले में, घन फलक का विकर्ण) का वर्ग बराबर होता है

पैरों के वर्गों का योग (हमारे मामले में, किनारे), अर्थात्:

डी 2 = एस 2 + एस 2 = 2एस 2।

• घन के किनारे की लंबाई ज्ञात करने के लिए घन के विकर्ण को √3 से विभाजित करें। इस प्रकार, यदि समस्या में

किसी घन का विकर्ण दिया गया है, तो आप विकर्ण को √3 से विभाजित करके घन के किनारे की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

एक घन का विकर्ण- दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड जो घन के केंद्र के सापेक्ष सममित है, के बराबर

डी2 = 3एस2

(कहाँ डी- घन का विकर्ण, एस- घन का किनारा)।

यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से अनुसरण करता है, जिसके अनुसार कर्ण का वर्ग (हमारे मामले में)

एक समकोण त्रिभुज के घन का विकर्ण पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है (हमारे मामले में, एक पैर है)

यह एक किनारा है, और दूसरा पैर घन के मुख के विकर्ण के बराबर है 2s 2), वह है

डी 2 = एस 2 + 2एस 2 = 3एस 2।

चलो गौर करते हैं उदाहरण. घन का विकर्ण 10 मीटर है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

डी2 = 3एस2

10 2 = 3एस 2

100 = 3s 2

33.33 = एस 2

5.77 मी = से

घन का आयतन 5.773 = 192.45 m3 है।

क्यूब स्टीरियोमेट्री और प्रकृति दोनों में सबसे सरल त्रि-आयामी वस्तुओं में से एक है। घन का किनारा ज्ञात करने से पहले यह स्मरण करना आवश्यक है कि घन क्या होता है। यह समान किनारों वाला एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज है। इसके अलावा, घन एक षट्भुज है जिसके फलक समान वर्ग हैं। किसी घन का किनारा खोजने के लिए, आपको उसके कुछ मापदंडों को जानना होगा - घन का आयतन, फलक का क्षेत्रफल, घन या फलक के विकर्ण की लंबाई।

1. ज्यादातर मामलों में, चार प्रकार की समस्याएं होती हैं जिनमें घन का एक किनारा शामिल होता है। इसका उद्देश्य घन के विकर्ण के अनुदिश किनारे की लंबाई, उसके फलक के विकर्ण के अनुदिश, घन के आयतन और फलक के क्षेत्रफल के आधार पर निर्धारित करना है। उनमें से सबसे सरल है चेहरे के क्षेत्र के आधार पर किनारा ढूंढना। आख़िरकार, घन का फलक एक वर्ग होता है जिसकी भुजा घन के किनारे के बराबर होती है। इसलिए, इस फलक का क्षेत्रफल वर्गाकार घन के किनारे के बराबर है। इसलिए, किनारा खोजने के लिए चेहरे के क्षेत्र का वर्गमूल निकालना आवश्यक है। a=vS a - घन किनारा (लंबाई), S - एक फलक का क्षेत्रफल।
2. किसी घन के आयतन के आधार पर उसका फलक ज्ञात करना और भी आसान है, क्योंकि घन का आयतन किनारे की लंबाई को तीसरी शक्ति तक बढ़ाने के बराबर होगा। इसलिए, यदि हम आयतन का घनमूल (थर्ड डिग्री) लेते हैं, तो हमें किनारे की लंबाई a=vV (घनमूल) मिलती है, यहां a घन का किनारा (लंबाई) है, V इसका आयतन है।
3. यदि विकर्णों की लंबाई ज्ञात हो तो घन के किनारे की लंबाई कैसे ज्ञात करें। आइए निरूपित करें: a - घन किनारा (लंबाई), b - घन फलक विकर्ण (लंबाई), c - घन फलक विकर्ण (लंबाई)। घन के विकर्ण किनारे और फलक एक समबाहु समकोण त्रिभुज बनाते हैं। हम पायथागॉरियन प्रमेय लागू करते हैं, जहां: a^2+a^2=b^2, यहां (a^ घातांक है) यह पता चलता है: a=v(b^2/2)। इसके फलक के विकर्ण के आधे वर्ग का वर्गमूल लेकर हम घन के किनारे की लंबाई ज्ञात करते हैं।
4. घन के विकर्ण के अनुदिश किनारे की लंबाई ज्ञात कीजिए, जहाँ a घन का किनारा है, b फलक का विकर्ण है, c घन का विकर्ण है। वे मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। हम पाइथागोरस प्रमेय से आगे बढ़ते हैं जहां: a^2+b^2=c^2। आइए उपरोक्त संबंध को a और b के मानों के बीच लागू करें और उन्हें अभिव्यक्ति b^2=a^2+a^2 में प्रतिस्थापित करें। प्राप्त करने के बाद: a^2+a^2+a^2=c^2, हम पाते हैं: 3*a^2=c^2, अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हुए - a=v(c^2/3)।

यदि क्यूब पैरामीटर पुरानी, ​​राष्ट्रीय और अन्य विशिष्ट इकाइयों में निर्दिष्ट हैं, तो उन्हें उपयुक्त मीट्रिक एनालॉग्स में परिवर्तित किया जाना चाहिए - घन मीटर, डेसीमीटर, सेंटीमीटर या मिलीमीटर।

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