x ग्राफ का Y घनमूल। फ़ंक्शन y = x का तीसरा मूल, इसके गुण और ग्राफ़

पावर फ़ंक्शन के मूल गुण दिए गए हैं, जिनमें जड़ों के सूत्र और गुण शामिल हैं। व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार में बिजली की श्रृंखलाऔर किसी शक्ति फलन की जटिल संख्याओं के माध्यम से प्रतिनिधित्व।

परिभाषा

परिभाषा
घातांक पी के साथ पावर फ़ंक्शनफ़ंक्शन f है (एक्स) = एक्स पी, जिसका बिंदु x पर मान बिंदु p पर आधार x के साथ घातीय फलन के मान के बराबर है।
इसके अलावा, एफ (0) = 0 पी = 0पी > के लिए 0 .

घातांक के प्राकृतिक मानों के लिए, घात फलन x के बराबर n संख्याओं का गुणनफल है:
.
इसे सभी वैध के लिए परिभाषित किया गया है।

घातांक के सकारात्मक तर्कसंगत मूल्यों के लिए, पावर फ़ंक्शन संख्या x की डिग्री m की n जड़ों का उत्पाद है:
.
विषम m के लिए, इसे सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित किया गया है। सम m के लिए, पावर फ़ंक्शन को गैर-नकारात्मक लोगों के लिए परिभाषित किया गया है।

नकारात्मक के लिए, पावर फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
इसलिए, इसे बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

घातांक पी के अपरिमेय मूल्यों के लिए, शक्ति फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
,
जहां a एक मनमाना धनात्मक संख्या है जो एक के बराबर नहीं है: .
कब, इसके लिए परिभाषित किया गया है।
जब, पावर फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है।

निरंतरता. एक शक्ति फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर रहता है।

x ≥ 0 के लिए घात फलन के गुण और सूत्र

यहां हम पावर फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करेंगे नकारात्मक मानतर्क एक्स. जैसा कि ऊपर बताया गया है, घातांक पी के कुछ मानों के लिए, पावर फ़ंक्शन को एक्स के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। इस मामले में, इसके गुणों को सम या विषम का उपयोग करके, के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। इन मामलों पर पृष्ठ "" पर विस्तार से चर्चा और चित्रण किया गया है।

एक घात फलन, y = x p, घातांक p के साथ निम्नलिखित गुण हैं:
(1.1) सेट पर परिभाषित और निरंतर
पर ,
पर ;
(1.2) के कई अर्थ हैं
पर ,
पर ;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है,
के रूप में सख्ती से घटता है;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

गुणों का प्रमाण "पावर फ़ंक्शन (निरंतरता और गुणों का प्रमाण)" पृष्ठ पर दिया गया है

जड़ें - परिभाषा, सूत्र, गुण

परिभाषा
किसी संख्या x की डिग्री n का मूलवह संख्या है जिसे घात n तक बढ़ाने पर x प्राप्त होता है:
.
यहाँ n= 2, 3, 4, ... - प्राकृतिक संख्या, एक से अधिक.

आप यह भी कह सकते हैं कि घात n वाली संख्या x का मूल समीकरण का मूल (अर्थात् समाधान) है
.
ध्यान दें कि फ़ंक्शन, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है।

x का वर्गमूलडिग्री 2 का मूल है: .

x का घनमूलडिग्री 3 का मूल है: .

यहां तक कि डिग्री भी

सम घातों के लिए n = 2 मी, मूल को x ≥ के लिए परिभाषित किया गया है 0 . अक्सर उपयोग किया जाने वाला सूत्र सकारात्मक और नकारात्मक x दोनों के लिए मान्य है:
.
वर्गमूल के लिए:
.

जिस क्रम में संचालन किया जाता है वह यहां महत्वपूर्ण है - अर्थात, पहले वर्गांकन किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-नकारात्मक संख्या होती है, और फिर उसमें से मूल निकाला जाता है (आप एक गैर-नकारात्मक संख्या से निकाल सकते हैं) वर्गमूल). यदि हमने क्रम बदल दिया:, तो ऋणात्मक x के लिए मूल अपरिभाषित होगा, और इसके साथ संपूर्ण अभिव्यक्ति अपरिभाषित होगी।

अजीब डिग्री

विषम शक्तियों के लिए, मूल को सभी x के लिए परिभाषित किया गया है:
;
.

जड़ों के गुण एवं सूत्र

x का मूल एक घात फलन है:
.
जब x ≥ 0 निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
;
;
, ;
.

ये सूत्र चरों के ऋणात्मक मानों के लिए भी लागू किये जा सकते हैं। आपको बस यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि सम शक्तियों की मौलिक अभिव्यक्ति नकारात्मक न हो।

निजी मूल्य

0 का मूल 0: है।
मूल 1, 1 के बराबर है:।
0 का वर्गमूल 0: है।
1 का वर्गमूल 1: है।

उदाहरण। जड़ की जड़

आइए जड़ों के वर्गमूल का एक उदाहरण देखें:
.
आइए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आंतरिक वर्गमूल को रूपांतरित करें:
.
आइए अब मूल रूट को रूपांतरित करें:
.
इसलिए,
.

घातांक p के विभिन्न मानों के लिए y = x p।

यहां तर्क x के गैर-नकारात्मक मानों के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिए गए हैं। x के नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ "पावर फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़" पृष्ठ पर दिए गए हैं।

उलटा काम करना

घातांक p के साथ एक घात फलन का व्युत्क्रम घातांक 1/p के साथ एक घात फलन है।

तो अगर।

एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न

nवें क्रम का व्युत्पन्न:
;

सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग

पी ≠ - 1 ;
.

शक्ति शृंखला विस्तार

पर - 1 < x < 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें:
एफ (जेड) = जेड टी.
आइए हम जटिल चर z को मापांक r और तर्क φ (r = |z|) के संदर्भ में व्यक्त करें:
z = r e i φ .
हम सम्मिश्र संख्या t को वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में निरूपित करते हैं:
टी = पी + आई क्यू .
हमारे पास है:

इसके बाद, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है:
,

आइए उस मामले पर विचार करें जब q = 0 , अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या है, t = p. तब
.

यदि p एक पूर्णांक है, तो kp एक पूर्णांक है। फिर, त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता के कारण:
.
अर्थात्, किसी दिए गए z के लिए पूर्णांक घातांक वाले घातांकीय फ़ंक्शन का केवल एक ही मान होता है और इसलिए यह स्पष्ट है।

यदि p अपरिमेय है, तो किसी भी k के लिए गुणनफल kp पूर्णांक उत्पन्न नहीं करता है। चूँकि k मानों की एक अनंत श्रृंखला से होकर गुजरता है के = 0, 1, 2, 3, ..., तो फलन z p में अपरिमित रूप से अनेक मान हैं। जब भी तर्क z बढ़ाया जाता है 2π(एक मोड़ पर), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं।

यदि p परिमेय है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
, कहाँ एम, एन- पूर्णांक जिनमें उभयनिष्ठ भाजक नहीं होते। तब
.
पहले n मान, k = k के साथ 0 = 0, 1, 2, ...एन-1, दिया गया विभिन्न अर्थकेपी:
.
हालाँकि, बाद के मान ऐसे मान देते हैं जो पिछले वाले से एक पूर्णांक से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, जब k = k 0+एनहमारे पास है:
.
त्रिकोणमितीय कार्य, जिनके तर्क उन मानों से भिन्न होते हैं जो गुणज होते हैं 2π, समान मूल्य हैं। इसलिए, k में और वृद्धि के साथ, हमें z p का वही मान प्राप्त होता है जो k = k के लिए होता है 0 = 0, 1, 2, ...एन-1.

इस प्रकार, एक तर्कसंगत घातांक वाला एक घातांकीय फलन बहुमूल्यांकित होता है और इसमें n मान (शाखाएँ) होते हैं। जब भी तर्क z बढ़ाया जाता है 2π(एक मोड़ पर), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं। ऐसी क्रांतियों के बाद हम पहली शाखा पर लौटते हैं जहाँ से उलटी गिनती शुरू हुई थी।

विशेष रूप से, डिग्री n के मूल में n मान होते हैं। उदाहरण के तौर पर, वास्तविक के nवें मूल पर विचार करें सकारात्मक संख्याजेड = एक्स. इस मामले में φ 0 = 0 , z = r = |z| = एक्स, .
.
तो, एक वर्गमूल के लिए, n = 2 ,
.
सम k के लिए, (- 1 ) के = 1. विषम k के लिए, (- 1 ) के = - 1.
अर्थात वर्गमूल के दो अर्थ होते हैं: + और -।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

दोस्तों, हम पढ़ाई जारी रखते हैं शक्ति कार्य. आज के पाठ का विषय फलन होगा - x का घनमूल। घनमूल क्या है? यदि समानता संतुष्ट हो तो संख्या y को x का घनमूल (तीसरी डिग्री का मूल) कहा जाता है। द्वारा निर्दिष्ट:, जहां x मूल संख्या है, 3 घातांक है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, घनमूल ऋणात्मक संख्याओं से भी निकाला जा सकता है। इससे पता चलता है कि हमारा मूल सभी संख्याओं के लिए मौजूद है। ऋणात्मक संख्या का तीसरा मूल है ऋणात्मक संख्या. जब एक विषम घात पर उठाया जाता है, तो चिन्ह संरक्षित रहता है; तीसरी घात विषम होती है। आइए समानता की जाँच करें: चलो। आइए हम दोनों अभिव्यक्तियों को तीसरी घात तक बढ़ाएं। तब या जड़ों के अंकन में हम वांछित पहचान प्राप्त करते हैं।

दोस्तों, आइए अब अपने फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। 1) डोमेन सेट वास्तविक संख्या. 2) फ़ंक्शन अजीब है, क्योंकि आगे हम x 0 पर अपने फ़ंक्शन पर विचार करेंगे, फिर हम मूल के सापेक्ष ग्राफ़ प्रदर्शित करेंगे। 3) फ़ंक्शन x 0 के रूप में बढ़ता है। हमारे फ़ंक्शन के लिए, तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, जिसका अर्थ है वृद्धि। 4) कार्य ऊपर से सीमित नहीं है. वास्तव में, किसी से भी बड़ी संख्या मेंहम तीसरे मूल की गणना कर सकते हैं, और हम सब कुछ खोजते हुए अनंत तक जा सकते हैं बड़े मूल्यतर्क। 5) जब x 0 सबसे छोटा मान 0 होता है। यह गुण स्पष्ट है।

आइए परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर फ़ंक्शन का अपना ग्राफ़ बनाएं। याद रखें कि हमारा कार्य अजीब है. फ़ंक्शन के गुण: 1) D(y)=(-;+) 2) विषम फ़ंक्शन। 3) (-;+) 4) असीमित वृद्धि। 5) कोई न्यूनतम या अधिकतम मूल्य नहीं है। 6) फलन संपूर्ण संख्या रेखा पर सतत है। 7)ई(वाई)= (-;+). 8) उत्तल नीचे की ओर (-;0), उत्तल ऊपर की ओर (0;+)।

उदाहरण। फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और उसे पढ़ें। समाधान। आइए, अपनी स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, एक ही समन्वय तल पर फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ बनाएं। x-1 के लिए हम घनमूल का एक ग्राफ़ बनाते हैं, x-1 के लिए हम एक ग्राफ़ बनाते हैं रैखिक प्रकार्य. 1) D(y)=(-;+) 2) फलन न तो सम है और न ही विषम। 3) (-;-1) से घटता है, (-1;+) से बढ़ता है 4) ऊपर से असीमित, नीचे से सीमित। 5) सबसे बड़ा मूल्यनहीं। सबसे कम मूल्यशून्य से एक के बराबर है. 6) फलन संपूर्ण संख्या रेखा पर सतत है। 7) E(y)= (-1;+)

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "शक्ति कार्य। घनमूल। घनमूल के गुण"

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पावर फ़ंक्शन की परिभाषा - घनमूल

दोस्तों, हम पावर फ़ंक्शंस का अध्ययन करना जारी रखते हैं। आज हम "x का घनमूल" फ़ंक्शन के बारे में बात करेंगे।
घनमूल क्या है?
यदि समानता $y^3=x$ कायम रहती है, तो संख्या y को x का घनमूल (तीसरी डिग्री का मूल) कहा जाता है।
$\sqrt(x)$ के रूप में दर्शाया गया है, जहां x एक मूल संख्या है, 3 एक घातांक है।
$\sqrt(27)=3$; $3^3=$27.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
जैसा कि हम देख सकते हैं, घनमूल ऋणात्मक संख्याओं से भी निकाला जा सकता है। इससे पता चलता है कि हमारा मूल सभी संख्याओं के लिए मौजूद है।
ऋणात्मक संख्या का तीसरा मूल ऋणात्मक संख्या के बराबर होता है। जब एक विषम घात पर उठाया जाता है, तो चिह्न संरक्षित रहता है; तीसरी घात विषम होती है।

आइए समानता की जाँच करें: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
मान लीजिए $\sqrt((-x))=a$ और $\sqrt(x)=b$. आइए दोनों भावों को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं। $–x=a^3$ और $x=b^3$. फिर $a^3=-b^3$ या $a=-b$। जड़ों के लिए संकेतन का उपयोग करके हम वांछित पहचान प्राप्त करते हैं।

घनमूलों के गुण

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
बी) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

आइए दूसरी संपत्ति सिद्ध करें। $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
हमने पाया कि $\sqrt(\frac(a)(b))$ को घनाकार संख्या $\frac(a)(b)$ के बराबर है और फिर $\sqrt(\frac(a)(b))$ के बराबर है , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

दोस्तों, आइए अपने फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।
1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
2) फ़ंक्शन अजीब है, क्योंकि $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. इसके बाद, $x≥0$ के लिए हमारे फ़ंक्शन पर विचार करें, फिर मूल के सापेक्ष ग्राफ़ प्रदर्शित करें।
3) $x≥0$ होने पर फ़ंक्शन बढ़ जाता है। हमारे फ़ंक्शन के लिए, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, जिसका अर्थ है वृद्धि।
4) कार्य ऊपर से सीमित नहीं है. वास्तव में, एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या से हम तीसरी जड़ की गणना कर सकते हैं, और हम तर्क के बड़े मूल्यों को ढूंढते हुए अनिश्चित काल तक ऊपर की ओर बढ़ सकते हैं।
5) $x≥0$ के लिए सबसे छोटा मान 0 है। यह गुण स्पष्ट है।
आइए x≥0 पर बिंदुओं के आधार पर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर फ़ंक्शन का अपना ग्राफ़ बनाएं। याद रखें कि हमारा कार्य अजीब है.

फ़ंक्शन गुण:
1)D(y)=(-∞;+∞).
2) अजीब कार्य.
3) (-∞;+∞) से वृद्धि होती है।
4)असीमित.
5) कोई न्यूनतम या अधिकतम मूल्य नहीं है।

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) नीचे की ओर उत्तल (-∞;0), ऊपर की ओर उत्तल (0;+∞)।

शक्ति कार्यों को हल करने के उदाहरण

उदाहरण
1. समीकरण $\sqrt(x)=x$ को हल करें।
समाधान। आइए एक ही निर्देशांक समतल $y=\sqrt(x)$ और $y=x$ पर दो ग्राफ़ बनाएं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे ग्राफ़ तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
उत्तर: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। $y=\sqrt((x-2))-3$.
समाधान। हमारा ग्राफ़ फ़ंक्शन $y=\sqrt(x)$ के ग्राफ़ से प्राप्त किया गया है, समानांतर स्थानांतरणदो इकाइयाँ दाईं ओर और तीन इकाइयाँ नीचे।

3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं और उसे पढ़ें. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
समाधान। आइए, अपनी स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, एक ही समन्वय तल पर फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ बनाएं। $x≥-1$ के लिए हम घनमूल का ग्राफ़ बनाते हैं, $x≤-1$ के लिए हम एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते हैं।
1)D(y)=(-∞;+∞).
2) फलन न तो सम है और न ही विषम।
3) (-∞;-1) से घटता है, (-1;+∞) से बढ़ता है।
4) ऊपर से असीमित, नीचे से सीमित।
5) कोई सबसे बड़ा मूल्य नहीं है। सबसे छोटा मान शून्य से एक है.
6) फलन संपूर्ण संख्या रेखा पर सतत है।
7) E(y)= (-1;+∞).

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. समीकरण $\sqrt(x)=2-x$ को हल करें।
2. फ़ंक्शन $y=\sqrt((x+1))+1$ का एक ग्राफ बनाएं।
3.फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं और उसे पढ़ें। $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

मूल लक्ष्य:

1) संबंध y= से संबंधित मात्राओं के उदाहरण का उपयोग करके वास्तविक मात्राओं की निर्भरता के सामान्यीकृत अध्ययन की व्यवहार्यता का एक विचार तैयार करें

2) ग्राफ़ y= और उसके गुणों का निर्माण करने की क्षमता विकसित करना;

3) मौखिक और लिखित गणना, वर्ग निकालना, वर्गमूल निकालने की तकनीकों को दोहराना और समेकित करना।

उपकरण, प्रदर्शन सामग्री: हैंडआउट्स।

1. एल्गोरिथम:

2. समूहों में कार्य पूरा करने का नमूना:

3. स्वतंत्र कार्य के स्व-परीक्षण के लिए नमूना:

4. प्रतिबिंब चरण के लिए कार्ड:

1) मैं समझ गया कि फ़ंक्शन y= को कैसे ग्राफ़ करना है।

2) मैं एक ग्राफ़ का उपयोग करके इसके गुणों को सूचीबद्ध कर सकता हूँ।

3) मैंने स्वतंत्र कार्य में गलतियाँ नहीं कीं।

4) मैंने अपने स्वतंत्र कार्य में गलतियाँ कीं (इन गलतियों की सूची बनाएं और उनका कारण बताएं)।

कक्षाओं के दौरान

1. शैक्षिक गतिविधियों के लिए आत्मनिर्णय

मंच का उद्देश्य:

1) छात्रों को शैक्षिक गतिविधियों में शामिल करें;

2) पाठ की सामग्री निर्धारित करें: हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम करना जारी रखते हैं।

चरण 1 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

– पिछले पाठ में हमने क्या पढ़ा? (हमने वास्तविक संख्याओं के सेट का अध्ययन किया, उनके साथ संचालन किया, एक फ़ंक्शन के गुणों का वर्णन करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाया, 7 वीं कक्षा में दोहराए गए कार्यों का अध्ययन किया)।

- आज हम वास्तविक संख्याओं के एक सेट, एक फ़ंक्शन के साथ काम करना जारी रखेंगे।

2. ज्ञान को अद्यतन करना और गतिविधियों में कठिनाइयों को दर्ज करना

मंच का उद्देश्य:

1) शैक्षिक सामग्री को अद्यतन करें जो नई सामग्री की धारणा के लिए आवश्यक और पर्याप्त है: फ़ंक्शन, स्वतंत्र चर, आश्रित चर, ग्राफ़

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,

2) नई सामग्री की धारणा के लिए आवश्यक और पर्याप्त मानसिक संचालन को अद्यतन करें: तुलना, विश्लेषण, सामान्यीकरण;

3) सभी दोहराई गई अवधारणाओं और एल्गोरिदम को आरेखों और प्रतीकों के रूप में रिकॉर्ड करें;

4) व्यक्तिगत रूप से महत्वपूर्ण स्तर पर मौजूदा ज्ञान की अपर्याप्तता को प्रदर्शित करते हुए गतिविधि में व्यक्तिगत कठिनाई को रिकॉर्ड करें।

चरण 2 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

1. आइए याद रखें कि आप मात्राओं के बीच निर्भरता कैसे निर्धारित कर सकते हैं? (पाठ, सूत्र, तालिका, ग्राफ़ का उपयोग करके)

2. फ़ंक्शन किसे कहते हैं? (दो मात्राओं के बीच एक संबंध, जहां एक चर का प्रत्येक मान दूसरे चर y = f(x) के एकल मान से मेल खाता है)।

एक्स का नाम क्या है? (स्वतंत्र चर - तर्क)

वाई का नाम क्या है? (निर्भर चर)।

3. क्या हमने सातवीं कक्षा में कार्यों का अध्ययन किया था? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,)।

व्यक्तिगत कार्य:

फलन y = kx + m, y =x 2, y = का ग्राफ क्या है?

3. कठिनाइयों के कारणों की पहचान करना और गतिविधियों के लिए लक्ष्य निर्धारित करना

मंच का उद्देश्य:

1) संचारी बातचीत का आयोजन करें, जिसके दौरान विशिष्ट संपत्तिएक कार्य जिसके कारण सीखने की गतिविधियों में कठिनाई हुई;

2) पाठ के उद्देश्य और विषय पर सहमत हों।

चरण 3 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

-इस कार्य में क्या खास है? (निर्भरता सूत्र y = द्वारा दी गई है जिसका हमने अभी तक सामना नहीं किया है।)

– पाठ का उद्देश्य क्या है? (फ़ंक्शन y =, इसके गुणों और ग्राफ़ से परिचित हों। निर्भरता के प्रकार को निर्धारित करने के लिए तालिका में फ़ंक्शन का उपयोग करें, एक सूत्र और ग्राफ़ बनाएं।)

– क्या आप पाठ का विषय तैयार कर सकते हैं? (फ़ंक्शन y=, इसके गुण और ग्राफ़)।

– विषय को अपनी नोटबुक में लिखें.

4. किसी कठिनाई से निकलने के लिए परियोजना का निर्माण

मंच का उद्देश्य:

1) कार्रवाई की एक नई विधि बनाने के लिए संचारी बातचीत को व्यवस्थित करना जो पहचानी गई कठिनाई के कारण को समाप्त कर दे;

2) ठीक करें नया रास्ताप्रतीकात्मक, मौखिक रूप में और मानक का उपयोग करते हुए क्रियाएँ।

चरण 4 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

इस स्तर पर कार्य समूहों में आयोजित किया जा सकता है, समूहों से एक ग्राफ y = बनाने के लिए कहा जा सकता है, फिर परिणामों का विश्लेषण किया जा सकता है। समूहों को एल्गोरिदम का उपयोग करके किसी दिए गए फ़ंक्शन के गुणों का वर्णन करने के लिए भी कहा जा सकता है।

5. बाह्य वाणी में प्राथमिक समेकन

मंच का उद्देश्य: अध्ययन की गई शैक्षिक सामग्री को बाहरी भाषण में रिकॉर्ड करना।

चरण 5 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

y=- का एक ग्राफ बनाएं और इसके गुणों का वर्णन करें।

गुण y= - .

1.किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन.

2. फ़ंक्शन के मानों की सीमा.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0 यदि x = 0.

य<0, если х(0;+)

4.बढ़ते, घटते कार्य।

फ़ंक्शन x के रूप में घटता है।

आइए y= का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए खंड पर इसके भाग का चयन करें। ध्यान दें कि हमारे पास है x = 1 के लिए = 1, और y अधिकतम। =3 पर x = 9.

उत्तर: हमारे नाम पर. = 1, y अधिकतम. =3

6. मानक के अनुसार स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य

मंच का उद्देश्य: स्व-परीक्षण के लिए मानक के साथ अपने समाधान की तुलना के आधार पर मानक परिस्थितियों में नई शैक्षिक सामग्री को लागू करने की आपकी क्षमता का परीक्षण करना।

चरण 6 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

छात्र स्वतंत्र रूप से कार्य पूरा करते हैं, मानक के विरुद्ध स्व-परीक्षण करते हैं, विश्लेषण करते हैं और त्रुटियों को ठीक करते हैं।

आइए y= का एक ग्राफ़ बनाएं।

ग्राफ़ का उपयोग करके, खंड पर फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें।

7. ज्ञान प्रणाली में समावेशन एवं पुनरावृत्ति

मंच का उद्देश्य: पहले से अध्ययन की गई सामग्री के साथ-साथ नई सामग्री का उपयोग करने के कौशल को प्रशिक्षित करना: 2) अगले पाठों में आवश्यक शैक्षिक सामग्री को दोहराना।

चरण 7 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें: = x – 6.

एक छात्र ब्लैकबोर्ड पर है, बाकी नोटबुक में हैं।

8. गतिविधि का प्रतिबिंब

मंच का उद्देश्य:

1) पाठ में सीखी गई नई सामग्री को रिकॉर्ड करें;

2) पाठ में अपनी गतिविधियों का मूल्यांकन करें;

3) उन सहपाठियों को धन्यवाद दें जिन्होंने पाठ का परिणाम प्राप्त करने में मदद की;

4) अनसुलझे कठिनाइयों को भविष्य की शैक्षिक गतिविधियों के लिए दिशा-निर्देश के रूप में दर्ज करें;

5) चर्चा करें और अपना होमवर्क लिखें।

चरण 8 पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन:

- दोस्तों, आज हमारा लक्ष्य क्या था? (फ़ंक्शन y=, उसके गुण और ग्राफ़ का अध्ययन करें)।

– किस ज्ञान ने हमें अपना लक्ष्य हासिल करने में मदद की? (पैटर्न देखने की क्षमता, ग्राफ़ पढ़ने की क्षमता।)

– कक्षा में अपनी गतिविधियों का विश्लेषण करें. (प्रतिबिंब वाले कार्ड)

गृहकार्य

अनुच्छेद 13 (उदाहरण 2 से पहले) № 13.3, 13.4

समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें:

फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और उसके गुणों का वर्णन करें।

विषय "डिग्री का मूल" पी"इसे दो पाठों में विभाजित करने की सलाह दी जाती है। पहले पाठ में, घनमूल पर विचार करें, अंकगणित वर्गमूल के साथ इसके गुणों की तुलना करें और इस घनमूल फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें। फिर दूसरे पाठ में, छात्र बेहतर ढंग से समझ पाएंगे ताज की अवधारणा पी-वीं डिग्री. दो प्रकार की जड़ों की तुलना करने से आपको मूल चिह्न के नीचे नकारात्मक अभिव्यक्तियों के मूल्यों की उपस्थिति में "सामान्य" त्रुटियों से बचने में मदद मिलेगी।

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"घनमूल"

पाठ विषय: घनमूल

ज़िखारेव सर्गेई अलेक्सेविच, गणित शिक्षक, एमकेओयू "पॉज़िलिंस्काया सेकेंडरी स्कूल नंबर 13"

पाठ मकसद:

घनमूल की अवधारणा का परिचय दे सकेंगे;
घनमूलों की गणना करने में कौशल विकसित करना;
अंकगणितीय वर्गमूल के बारे में ज्ञान को दोहराना और उसका सामान्यीकरण करना;
राज्य परीक्षा की तैयारी जारी रखें।

D.z की जाँच कर रहा है

नीचे दी गई संख्याओं में से एक को निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु से अंकित किया गया है ए. यह नंबर दर्ज करें.

अंतिम तीन कार्य किस अवधारणा से संबंधित हैं?

किसी संख्या का वर्गमूल क्या है? ए ?

किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल क्या है? ए ?

वर्गमूल क्या मान ले सकता है?

क्या एक मूलांक अभिव्यक्ति एक ऋणात्मक संख्या हो सकती है?

इन ज्यामितीय पिंडों में से एक घन का नाम बताइए

एक घन में क्या गुण होते हैं?

घन का आयतन कैसे ज्ञात करें?

यदि किसी घन की भुजाएँ बराबर हों तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए:

आइए समस्या का समाधान करें

घन का आयतन 125 सेमी³ है। घन की भुजा ज्ञात कीजिये.

घन का किनारा हो एक्ससेमी, तो घन का आयतन है एक्स³ सेमी³. शर्त से एक्स³ = 125.

इस तरह, एक्स= 5 सेमी.

संख्या एक्स= 5 समीकरण का मूल है एक्स³ = 125. यह संख्या कहलाती है क्युब जड़या तीसरी जड़क्रमांक 125 से.

परिभाषा।

संख्या का तीसरा मूल एइस नंबर पर कॉल किया जाता है बी, जिसकी तीसरी शक्ति के बराबर है ए .

पद का नाम।

घनमूल की अवधारणा को प्रस्तुत करने का एक और तरीका

किसी दिए गए घन फ़ंक्शन मान के लिए ए, आप इस बिंदु पर क्यूबिक फ़ंक्शन के तर्क का मान पा सकते हैं। यह बराबर होगा, क्योंकि जड़ निकालना किसी घात को बढ़ाने की उलटी क्रिया है।