मॉड्यूलो पॉजिटिव पूर्णांकों की तुलना कैसे करें। संख्याओं की तुलना मॉड्यूलो

हम परिमेय संख्याओं का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस पाठ में हम सीखेंगे कि उनकी तुलना कैसे करें।

पिछले पाठों से हमने सीखा कि निर्देशांक रेखा पर कोई संख्या जितनी दाईं ओर स्थित होगी, वह उतनी ही बड़ी होगी। और तदनुसार, समन्वय रेखा पर संख्या जितनी बाईं ओर स्थित होगी, वह उतनी ही छोटी होगी।

उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 4 और 1 की तुलना करते हैं, तो आप तुरंत उत्तर दे सकते हैं कि 4, 1 से अधिक है। यह पूरी तरह से तार्किक कथन है और हर कोई इससे सहमत होगा।

प्रमाण के रूप में हम निर्देशांक रेखा का हवाला दे सकते हैं। यह दर्शाता है कि चार एक के दाईं ओर स्थित हैं

इस मामले के लिए, एक नियम भी है जिसका उपयोग चाहें तो किया जा सकता है। यह इस तरह दिख रहा है:

दो धनात्मक संख्याओं में से वह संख्या बड़ी होती है जिसका मापांक अधिक होता है।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि कौन सी संख्या बड़ी है और कौन सी कम है, आपको पहले इन संख्याओं के मॉड्यूल ढूंढने होंगे, इन मॉड्यूल की तुलना करनी होगी और फिर प्रश्न का उत्तर देना होगा।

उदाहरण के लिए, उपरोक्त नियम को लागू करते हुए समान संख्या 4 और 1 की तुलना करें

संख्याओं के मॉड्यूल ढूँढना:

|4| = 4

|1| = 1

आइए पाए गए मॉड्यूल की तुलना करें:

4 > 1

हम प्रश्न का उत्तर देते हैं:

4 > 1

के लिए नकारात्मक संख्याएँएक और नियम है, यह इस तरह दिखता है:

दो ऋणात्मक संख्याओं में से वह संख्या बड़ी होती है जिसका मापांक छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, संख्याओं -3 और -1 की तुलना करें

संख्याओं के मॉड्यूल ढूँढना

|−3| = 3

|−1| = 1

आइए पाए गए मॉड्यूल की तुलना करें:

3 > 1

हम प्रश्न का उत्तर देते हैं:

−3 < −1

किसी संख्या के मापांक को संख्या के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। सामान्य गलतीकई नौसिखिया. उदाहरण के लिए, यदि −3 का मापांक −1 के मापांक से अधिक है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि −3, −1 से अधिक है।

संख्या −3, संख्या −1 से छोटी है। यदि हम निर्देशांक रेखा का उपयोग करें तो इसे समझा जा सकता है

यह देखा जा सकता है कि संख्या −3 बाईं ओर −1 से आगे स्थित है। और हम जानते हैं कि बायीं ओर जितना आगे, उतना कम।

यदि आप किसी ऋणात्मक संख्या की तुलना किसी धनात्मक संख्या से करें, तो उत्तर स्वयं ही सुझा देगा। कोई भी ऋणात्मक संख्या किसी भी धनात्मक संख्या से कम होगी। उदाहरण के लिए, −4, 2 से कम है

यह देखा जा सकता है कि −4, 2 से बायीं ओर अधिक दूर है। और हम जानते हैं कि "जितना अधिक बायीं ओर, उतना कम।"

यहां सबसे पहले आपको संख्याओं के चिन्हों को देखना होगा। किसी संख्या के सामने ऋण चिह्न दर्शाता है कि वह संख्या ऋणात्मक है। यदि संख्या चिह्न गायब है, तो संख्या सकारात्मक है, लेकिन स्पष्टता के लिए आप इसे लिख सकते हैं। याद रखें कि यह एक धन चिह्न है

उदाहरण के तौर पर, हमने −4, −3 −1, 2 के रूप के पूर्णांकों को देखा। ऐसी संख्याओं की तुलना करना, साथ ही उन्हें एक समन्वय रेखा पर चित्रित करना मुश्किल नहीं है।

अन्य प्रकार की संख्याओं, जैसे भिन्न, की तुलना करना अधिक कठिन है। मिश्रित संख्याएँऔर दशमलव, जिनमें से कुछ नकारात्मक हैं। यहां आपको मूल रूप से नियमों को लागू करना होगा, क्योंकि समन्वय रेखा पर ऐसी संख्याओं को सटीक रूप से चित्रित करना हमेशा संभव नहीं होता है। कुछ मामलों में, तुलना करना और समझना आसान बनाने के लिए एक संख्या की आवश्यकता होगी।

उदाहरण 1।तर्कसंगत संख्याओं की तुलना करें

इसलिए, आपको एक ऋणात्मक संख्या की तुलना एक धनात्मक संख्या से करने की आवश्यकता है। कोई भी ऋणात्मक संख्या किसी भी धनात्मक संख्या से छोटी होती है। इसलिए बिना समय बर्बाद किए हम जवाब देते हैं कि ये इससे कम है

उदाहरण 2.

आपको दो ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है। दो ऋणात्मक संख्याओं में से जिसका परिमाण छोटा है वह बड़ी है।

संख्याओं के मॉड्यूल ढूँढना:

आइए पाए गए मॉड्यूल की तुलना करें:

उदाहरण 3.संख्या 2.34 और की तुलना करें

आपको एक धनात्मक संख्या की तुलना एक ऋणात्मक संख्या से करनी होगी। कोई भी धनात्मक संख्या किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है। इसलिए बिना समय बर्बाद किए हम जवाब देते हैं कि 2.34 से ज्यादा है

उदाहरण 4.तर्कसंगत संख्याओं की तुलना करें और

संख्याओं के मॉड्यूल ढूँढना:

हम पाए गए मॉड्यूल की तुलना करते हैं। लेकिन पहले, आइए उन्हें स्पष्ट रूप में लाएँ ताकि तुलना करना आसान हो जाए, अर्थात्, हम उन्हें अनुचित भिन्नों में बदल देंगे और उन्हें एक सामान्य हर में लाएँगे।

नियम के अनुसार दो ऋणात्मक संख्याओं में से जिस संख्या का मापांक छोटा होता है वह संख्या बड़ी होती है। इसका मतलब यह है कि परिमेय से बड़ा है, क्योंकि संख्या का मापांक संख्या के मापांक से कम है

उदाहरण 5.

आपको शून्य की तुलना एक ऋणात्मक संख्या से करनी होगी। शून्य किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ा है, इसलिए बिना समय बर्बाद किए हम उत्तर देते हैं कि 0 से बड़ा है

उदाहरण 6.परिमेय संख्याओं 0 और की तुलना करें

आपको शून्य की तुलना एक धनात्मक संख्या से करनी होगी। शून्य किसी भी धनात्मक संख्या से कम है, इसलिए बिना समय बर्बाद किए हम उत्तर देते हैं कि 0 से कम है

उदाहरण 7. परिमेय संख्याओं 4.53 और 4.403 की तुलना करें

आपको दो सकारात्मक संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है। दो धनात्मक संख्याओं में से वह संख्या बड़ी होती है जिसका मापांक अधिक होता है।

आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान करें। ऐसा करने के लिए, भिन्न 4.53 में हम अंत में एक शून्य जोड़ते हैं

संख्याओं के मॉड्यूल ढूँढना

आइए पाए गए मॉड्यूल की तुलना करें:

नियम के अनुसार दो धनात्मक संख्याओं में से जिस संख्या का निरपेक्ष मान अधिक होता है वह संख्या अधिक होती है। मतलब तर्कसंगत संख्या 4.53 4.403 से बड़ा है क्योंकि 4.53 का मापांक 4.403 के मापांक से बड़ा है

उदाहरण 8.तर्कसंगत संख्याओं की तुलना करें और

आपको दो ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है। दो ऋणात्मक संख्याओं में से वह संख्या बड़ी होती है जिसका मापांक छोटा होता है।

संख्याओं के मॉड्यूल ढूँढना:

हम पाए गए मॉड्यूल की तुलना करते हैं। लेकिन पहले, आइए उन्हें स्पष्ट रूप में लाएँ ताकि तुलना करना आसान हो जाए, अर्थात्, आइए मिश्रित संख्या को में परिवर्तित करें अनुचित अंश, फिर हम दोनों भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं:

नियम के अनुसार दो ऋणात्मक संख्याओं में से जिस संख्या का मापांक छोटा होता है वह संख्या बड़ी होती है। इसका मतलब यह है कि परिमेय से बड़ा है, क्योंकि संख्या का मापांक संख्या के मापांक से कम है

भिन्नों और मिश्रित संख्याओं की तुलना करने की तुलना में दशमलव की तुलना करना बहुत आसान है। कुछ मामलों में, ऐसे भिन्न के पूरे भाग को देखकर, आप तुरंत इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि कौन सा भिन्न बड़ा है और कौन सा छोटा है।

ऐसा करने के लिए, आपको संपूर्ण भागों के मॉड्यूल की तुलना करने की आवश्यकता है। इससे आप कार्य में प्रश्न का शीघ्र उत्तर दे सकेंगे। आख़िरकार, जैसा कि आप जानते हैं, संपूर्ण भाग दशमलवभिन्नात्मक की तुलना में अधिक वजन रखते हैं।

उदाहरण 9.परिमेय संख्याओं 15.4 और 2.1256 की तुलना करें

भिन्न के पूरे भाग का मापांक, भिन्न के पूरे भाग के मापांक 2.1256 से 15.4 अधिक है

इसलिए भिन्न 15.4, भिन्न 2.1256 से बड़ा है

15,4 > 2,1256

दूसरे शब्दों में, हमें भिन्न 15.4 में शून्य जोड़ने और परिणामी भिन्नों की सामान्य संख्याओं की तरह तुलना करने में समय बर्बाद नहीं करना पड़ा।

154000 > 21256

तुलना नियम वही रहते हैं. हमारे मामले में, हमने सकारात्मक संख्याओं की तुलना की।

उदाहरण 10.परिमेय संख्याओं −15.2 और −0.152 की तुलना करें

आपको दो ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है। दो ऋणात्मक संख्याओं में से वह संख्या बड़ी होती है जिसका मापांक छोटा होता है। लेकिन हम केवल पूर्णांक भागों के मॉड्यूल की तुलना करेंगे

हम देखते हैं कि भिन्न के पूरे भाग का मापांक −15.2, भिन्न के पूरे भाग के मापांक −0.152 से अधिक है।

इसका मतलब यह है कि परिमेय −0.152, −15.2 से बड़ा है क्योंकि संख्या −0.152 के पूर्णांक भाग का मापांक संख्या −15.2 के पूर्णांक भाग के मापांक से कम है

−0,152 > −15,2

उदाहरण 11.परिमेय संख्याओं -3.4 और -3.7 की तुलना करें

आपको दो ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है। दो ऋणात्मक संख्याओं में से वह संख्या बड़ी होती है जिसका मापांक छोटा होता है। लेकिन हम केवल पूर्णांक भागों के मॉड्यूल की तुलना करेंगे। लेकिन समस्या यह है कि पूर्णांकों का मापांक बराबर है:

इस मामले में, आपको पुरानी पद्धति का उपयोग करना होगा: परिमेय संख्याओं के मॉड्यूल ढूंढें और इन मॉड्यूल की तुलना करें

आइए पाए गए मॉड्यूल की तुलना करें:

नियम के अनुसार दो ऋणात्मक संख्याओं में से जिस संख्या का मापांक छोटा होता है वह संख्या बड़ी होती है। इसका मतलब यह है कि परिमेय −3.4, −3.7 से बड़ा है क्योंकि संख्या −3.4 का मापांक संख्या −3.7 के मापांक से कम है

−3,4 > −3,7

उदाहरण 12.परिमेय संख्याओं 0,(3) और की तुलना करें

आपको दो सकारात्मक संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, एक आवर्त भिन्न की तुलना एक साधारण भिन्न से करें।

आइए आवर्त भिन्न को 0,(3) में बदलें सामान्य अंशऔर इसकी तुलना भिन्न से करें। आवर्त भिन्न 0,(3) को साधारण भिन्न में बदलने के बाद यह भिन्न बन जाता है

संख्याओं के मॉड्यूल ढूँढना:

हम पाए गए मॉड्यूल की तुलना करते हैं। लेकिन पहले, आइए उन्हें समझने योग्य रूप में लाएँ ताकि तुलना करना आसान हो जाए, अर्थात्, आइए उन्हें एक सामान्य भाजक पर लाएँ:

नियम के अनुसार दो धनात्मक संख्याओं में से जिस संख्या का निरपेक्ष मान अधिक होता है वह संख्या अधिक होती है। इसका मतलब यह है कि एक परिमेय संख्या 0,(3) से बड़ी है क्योंकि संख्या का मापांक संख्या 0,(3) के मापांक से बड़ा है

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परवुश्किन बोरिस निकोलेविच

निजी शैक्षणिक संस्थान "सेंट पीटर्सबर्ग स्कूल "टेटे-ए-टेटे"

गणित शिक्षक उच्चतम श्रेणी

संख्याओं की तुलना मॉड्यूलो

परिभाषा 1. यदि दो संख्याएँ1 ) एऔरबीजब विभाजित किया जाता हैपीवही शेषफल दीजिएआर, तो ऐसे नंबरों को इक्वायरमेन्डर या कहा जाता हैमापांक में तुलनीय पी.

कथन 1. होने देनापीकुछ सकारात्मक संख्या. फिर हर नंबरएहमेशा और, इसके अलावा, एक ही तरीके से रूप में दर्शाया जा सकता है

कहाँएस- संख्या, औरआरसंख्याओं में से एक 0,1, ...,पी−1.

1 ) इस लेख में संख्या शब्द को पूर्णांक के रूप में समझा जायेगा।

वास्तव में। अगरएस−∞ से +∞ तक का मान प्राप्त होगा, फिर संख्याएँएसपीउन सभी संख्याओं के संग्रह का प्रतिनिधित्व करता है जो गुणज हैंपी. आइए बीच की संख्याओं पर नजर डालेंएसपीऔर (एस+1) पी=एसपी+पी. क्योंकिपीएक धनात्मक पूर्णांक है, तो बीच मेंएसपीऔरएसपी+पीसंख्याएँ हैं

लेकिन ये नंबर सेटिंग करके प्राप्त किये जा सकते हैंआर0, 1, 2,... के बराबरपी−1. इस तरहएसपी+आर=एसभी संभावित पूर्णांक मान प्राप्त होंगे।

आइए हम दिखाएं कि यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है। चलिए ऐसा दिखावा करते हैंपीदो प्रकार से दर्शाया जा सकता हैए=एसपी+आरऔरए=एस1 पी+ आर1 . तब

या

क्योंकिआर1 संख्याओं में से एक को स्वीकार करता है 0,1, ...,पी−1, फिर निरपेक्ष मानआर1 − आरकमपी. परंतु (2) से यह निष्कर्ष निकलता हैआर1 − आरएकाधिकपी. इस तरहआर1 = आरऔरएस1 = एस.

संख्याआरबुलायाऋण नंबरएसापेक्षपी(दूसरे शब्दों में, संख्याआरकिसी संख्या का शेषफल कहा जाता हैएपरपी).

कथन 2. यदि दो संख्याएँएऔरबीमापांक में तुलनीयपी, वहएक-बीद्वारा विभाजितपी.

वास्तव में। यदि दो संख्याएँएऔरबीमापांक में तुलनीयपी, फिर जब विभाजित किया जाता हैपीशेषफल समान हैपी. तब

कहाँएसऔरएस1 कुछ पूर्णांक.

इन संख्याओं का अंतर

द्वारा विभाजितपी, क्योंकि दाहिना भागसमीकरण (3) को विभाजित किया गया हैपी.

कथन 3. यदि दो संख्याओं का अंतर विभाज्य हैपी, तो ये संख्याएँ मापांक में तुलनीय हैंपी.

सबूत। आइए हम इसे निरूपित करेंआरऔरआर1 विभाजन अवशेषएऔरबीपरपी. तब

कहाँ

के अनुसारएक-बीद्वारा विभाजितपी. इस तरहआर− आर1 से भी विभाज्य हैपी. लेकिन क्योंकिआरऔरआर1 संख्या 0,1,...,पी−1, तो निरपेक्ष मान |आर− आर1 |< पी. फिर, करने के लिएआर− आर1 द्वारा विभाजितपीशर्त पूरी करनी होगीआर= आर1 .

कथन से यह निष्कर्ष निकलता है कि तुलनीय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका अंतर मापांक द्वारा विभाज्य है।

यदि आपको उन संख्याओं को लिखने की आवश्यकता हैएऔरबीमापांक में तुलनीयपी, तो हम संकेतन का उपयोग करते हैं (गॉस द्वारा प्रस्तुत):

उदाहरण 25≡39 (मॉड 7), −18≡14 (मॉड 4)।

पहले उदाहरण से यह पता चलता है कि 25 को 7 से विभाजित करने पर 39 के समान शेषफल प्राप्त होता है। वास्तव में, 25 = 3·7+4 (शेष 4)। 39=3·7+4 (शेष 4). दूसरे उदाहरण पर विचार करते समय, आपको यह ध्यान रखना होगा कि शेषफल मापांक (अर्थात 4) से कम एक गैर-नकारात्मक संख्या होनी चाहिए। तब हम लिख सकते हैं: −18=−5·4+2 (शेष 2), 14=3·4+2 (शेष 2)। इसलिए, −18 को 4 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है, और 14 को 4 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है।

मॉड्यूलो तुलना के गुण

संपत्ति 1. किसी के लिए भीएऔरपीहमेशा

संपत्ति 2. यदि दो संख्याएँएऔरसीकिसी संख्या से तुलनीयबीसापेक्षपी, वहएऔरसीएक ही मॉड्यूल के अनुसार एक दूसरे से तुलनीय, यानी। अगर

वह

वास्तव में। संपत्ति 2 की स्थिति से यह निम्नानुसार हैएक-बीऔरबी−सीमें विभाजित हैंपी. फिर उनका योगa−b+(b−c)=a−cमें भी विभाजित किया गया हैपी.

संपत्ति 3. अगर

वह

वास्तव में। क्योंकिएक-बीऔरएम-एनमें विभाजित हैंपी, वह

में भी विभाजित किया गया हैपी.

इस संपत्ति को समान मापांक वाली किसी भी संख्या में तुलनाओं तक बढ़ाया जा सकता है।

संपत्ति 4. अगर

वह

आगेएम-एनद्वारा विभाजितपी, इस तरहb(m−n)=bm−bnमें भी विभाजित किया गया हैपी, मतलब

तो दो नंबरपूर्वाह्नऔरअरबमापांक में समान संख्या से तुलनीयबी.एम., इसलिए वे एक दूसरे से तुलनीय हैं (संपत्ति 2)।

संपत्ति 5. अगर

वह

कहाँककुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक.

वास्तव में। हमारे पास हैए≡बीमॉड(पी). संपत्ति 4 से यह अनुसरण करता है

निम्नलिखित कथन में सभी गुण 1-5 प्रस्तुत करें:

कथन 4. होने देनाएफ( एक्स1 , एक्स2 , एक्स3 , ...) पूर्णांक गुणांक और लेट के साथ एक संपूर्ण तर्कसंगत कार्य है

तब

विभाजन के साथ सब कुछ अलग है. तुलना से

कथन 5. होने देना

कहाँλ यहमहत्तम सामान्य भाजकनंबरएमऔरपी.

सबूत। होने देनाλ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजकएमऔरपी. तब

क्योंकिएम(ए−बी)द्वारा विभाजितक, वह

शून्य शेष है, अर्थातएम1 ( एक-बी) द्वारा विभाजितक1 . लेकिन संख्याएँएम1 औरक1 संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इस तरहएक-बीद्वारा विभाजितक1 = के/λऔर तब,पी,क्यू,एस.

वास्तव में। अंतरए≡बीका गुणज होना चाहिएपी,क्यू,एस.और इसलिए एक गुणज होना चाहिएएच.

विशेष मामले में, यदि मॉड्यूलपी,क्यू,एसपरस्पर प्रमुख संख्या, वह

कहाँh=pqs.

ध्यान दें कि हम नकारात्मक मॉड्यूल के आधार पर तुलना की अनुमति दे सकते हैं, यानी। तुलनाए≡बीमॉड(पी) का अर्थ इस मामले में है कि अंतरएक-बीद्वारा विभाजितपी. तुलना के सभी गुण नकारात्मक मॉड्यूल के लिए लागू रहते हैं।

दो पूर्णांकों के लिए एक्सऔर परआइए हम समता द्वारा तुलनीयता का एक संबंध प्रस्तुत करें यदि उनका अंतर एक सम संख्या है। यह जांचना आसान है कि पहले शुरू की गई सभी तीन तुल्यता शर्तें संतुष्ट हैं। इस तरह से शुरू किया गया तुल्यता संबंध पूर्णांकों के पूरे सेट को दो असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित करता है: सम संख्याओं का उपसमुच्चय और विषम संख्याओं का उपसमुच्चय।

इस मामले को सामान्यीकृत करते हुए, हम कहेंगे कि दो पूर्णांक जो किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या के गुणज से भिन्न होते हैं, समतुल्य होते हैं। यह गॉस द्वारा प्रस्तुत मॉड्यूलो तुलनीयता की अवधारणा का आधार है।

संख्या ए, के साथ तुलनीय बीसापेक्ष एम, यदि उनका अंतर किसी निश्चित से विभाज्य है प्राकृतिक संख्या एम, वह है ए - बीद्वारा विभाजित एम. प्रतीकात्मक रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

ए ≡ बी(मॉड एम),

और यह इस प्रकार पढ़ता है: एके साथ तुलनीय बीसापेक्ष एम.

इस तरह से पेश किया गया संबंध, तुलना और समानता के बीच गहरी सादृश्यता के कारण, उन गणनाओं को सरल बनाता है जिनमें संख्याएँ एक गुणज से भिन्न होती हैं एम, वास्तव में भिन्न नहीं हैं (चूँकि तुलना m के कुछ गुणकों तक समानता है)।

उदाहरण के लिए, संख्या 7 और 19 तुलनीय मॉड्यूलो 4 हैं, लेकिन तुलनीय मॉड्यूलो 5 नहीं हैं, क्योंकि 19-7=12 4 से विभाज्य है और 5 से विभाज्य नहीं है।

यह भी कहा जा सकता है कि संख्या एक्ससापेक्ष एमपूर्णांक से विभाजित करने पर शेषफल के बराबर एक्सपर एम, क्योंकि

x=km+r, r = 0, 1, 2, ..., m-1.

यह जांचना आसान है कि किसी दिए गए मॉड्यूल के अनुसार संख्याओं की तुलनीयता में तुल्यता के सभी गुण हैं। इसलिए, पूर्णांकों के समुच्चय को मापांक में तुलनीय संख्याओं के वर्गों में विभाजित किया जाता है एम. ऐसे वर्गों की संख्या बराबर है एम, और एक ही वर्ग की सभी संख्याओं को जब विभाजित किया जाता है एमवही शेषफल दीजिए. उदाहरण के लिए, यदि एम= 3, तो हमें तीन वर्ग मिलते हैं: संख्याओं का वर्ग जो 3 के गुणज हैं (3 से विभाजित होने पर शेषफल 0 देता है), संख्याओं का वर्ग जो 3 से विभाजित होने पर 1 शेष बचता है, और संख्याओं का वर्ग जो बचता है 3 से भाग देने पर 2 शेष बचता है।

तुलनाओं का उपयोग करने के उदाहरण अच्छी तरह से प्रस्तुत किए गए हैं ज्ञात संकेतविभाज्यता सामान्य संख्या प्रतिनिधित्व एनदशमलव संख्या प्रणाली में संख्याओं का रूप होता है:

एन = सी10 2 + बी10 1 + ए10 0,

कहाँ ए, बी, सी,- किसी संख्या के अंक दाएँ से बाएँ लिखे जाते हैं, अत: ए- इकाइयों की संख्या, बी- दसियों की संख्या, आदि। 10 हजार से ≡ 1(mod9) किसी भी k≥0 के लिए, तो जो लिखा गया है वह उसका अनुसरण करता है

एन ≡ सी + बी + ए(मोड9),

9 से विभाज्यता का परीक्षण कहाँ से होता है: एन 9 से विभाज्य है यदि और केवल यदि इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है। यह तर्क 9 को 3 से प्रतिस्थापित करते समय भी लागू होता है।

हमें 11 से विभाज्यता का परीक्षण प्राप्त होता है। तुलनाएँ होती हैं:

10≡- 1(मोड11), 10 2 ≡ 1(मोड11) 10 3 ≡- 1(mod11), इत्यादि। इसीलिए एन ≡ सी - बी + ए - ....(मोड11).

इस तरह, एन 11 से विभाज्य है यदि और केवल यदि इसके अंकों a - b + c -... का प्रत्यावर्ती योग 11 से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए, संख्या 9581 के अंकों का प्रत्यावर्ती योग 1 - 8 + 5 - 9 = -11 है, यह 11 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या 9581 11 से विभाज्य है।

यदि तुलनाएँ हैं:, तो उन्हें समानता की तरह ही पद दर पद जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है:

एक तुलना को हमेशा एक पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है:

तो अगर

हालाँकि, किसी भी कारक द्वारा तुलना को कम करना हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, लेकिन संख्या 42 और 12 के लिए सामान्य कारक 6 द्वारा इसे कम करना असंभव है; इस तरह की कमी से गलत परिणाम निकलता है, क्योंकि।

तुलनीयता मापांक की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी कारक द्वारा कमी की अनुमति तब दी जाती है जब यह कारक मापांक का सहअभाज्य हो।

यह पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया था कि कोई भी पूर्णांक तुलनीय मॉड है एमनिम्नलिखित संख्याओं में से एक के साथ: 0, 1, 2,..., एम-1।

इस श्रृंखला के अलावा, संख्याओं की अन्य श्रृंखलाएं भी हैं जिनका गुण समान है; इसलिए, उदाहरण के लिए, कोई भी संख्या मॉड 5 निम्नलिखित संख्याओं में से एक के साथ तुलनीय है: 0, 1, 2, 3, 4, लेकिन निम्नलिखित संख्याओं में से एक के साथ भी तुलनीय है: 0, -4, -3, -2, - 1, या 0, 1, -1, 2, -2. संख्याओं की ऐसी किसी भी श्रृंखला को अवशेष मॉड्यूलो 5 की एक पूर्ण प्रणाली कहा जाता है।

इस प्रकार, अवशेषों की पूरी प्रणाली मॉड एमकी कोई श्रृंखला एमसंख्याएँ, जिनमें से कोई भी दो एक दूसरे से तुलनीय नहीं हैं। आमतौर पर इस्तेमाल हुआ संपूर्ण प्रणालीअवशेष, संख्याओं से युक्त: 0, 1, 2, ..., एम-1. संख्या घटाना एनसापेक्ष एमविभाजन का शेष भाग है एनपर एम, जो प्रतिनिधित्व से निम्नानुसार है एन = किमी + आर, 0<आर<एम- 1.

संख्याओं की तुलना मॉड्यूलो

द्वारा तैयार: इरीना ज़ुटिकोवा

MAOU "लिसेयुम नंबर 6"

कक्षा: 10 "ए"

वैज्ञानिक पर्यवेक्षक: ज़ेल्टोवा ओल्गा निकोलायेवना

तांबोव

2016

• संकट
• परियोजना का उद्देश्य
• परिकल्पना
• परियोजना के उद्देश्य और उन्हें प्राप्त करने की योजना
• तुलनाएँ और उनके गुण
• समस्याओं के उदाहरण और उनके समाधान
• प्रयुक्त साइटें और साहित्य

संकट:

अधिकांश छात्र गैर-मानक और ओलंपियाड कार्यों को हल करने के लिए संख्याओं की मॉड्यूलो तुलना का उपयोग शायद ही कभी करते हैं।

परियोजना का उद्देश्य:

संख्या मॉड्यूलो की तुलना करके दिखाएं कि आप गैर-मानक और ओलंपियाड कार्यों को कैसे हल कर सकते हैं।

परिकल्पना:

"तुलना संख्या मॉड्यूलो" विषय का गहन अध्ययन छात्रों को कुछ गैर-मानक और ओलंपियाड कार्यों को हल करने में मदद करेगा।

परियोजना के उद्देश्य और उन्हें प्राप्त करने की योजना:

1. "संख्या मॉड्यूलो की तुलना" विषय का विस्तार से अध्ययन करें।

2. संख्याओं की मॉड्यूलो तुलना का उपयोग करके कई गैर-मानक और ओलंपियाड कार्यों को हल करें।

3. "संख्याओं की तुलना मॉड्यूलो" विषय पर छात्रों के लिए एक ज्ञापन बनाएं।

4. ग्रेड 10ए में "संख्याओं की तुलना मॉड्यूलो" विषय पर एक पाठ आयोजित करें।

5. कक्षा को "मॉड्यूल द्वारा तुलना" विषय पर होमवर्क दें।

6. "मॉड्यूल द्वारा तुलना" विषय का अध्ययन करने से पहले और बाद में कार्य को पूरा करने के समय की तुलना करें।

7.निष्कर्ष निकालें.

"संख्याओं की तुलना मॉड्यूलो" विषय का विस्तार से अध्ययन शुरू करने से पहले, मैंने तुलना करने का निर्णय लिया कि इसे विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में कैसे प्रस्तुत किया गया है।

• बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. अग्रवर्ती स्तर। 10वीं कक्षा (यू.एम. कोल्यागिन और अन्य)
• गणित: बीजगणित, कार्य, डेटा विश्लेषण। 7वीं कक्षा (एल.जी. पीटरसन और अन्य)
• बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. प्रोफ़ाइल स्तर. 10वीं कक्षा (ई.पी. नेलिन और अन्य)
• बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. प्रोफ़ाइल स्तर. 10वीं कक्षा (जी.के. मुराविन और अन्य)

जैसा कि मुझे पता चला, उन्नत स्तर के बावजूद, कुछ पाठ्यपुस्तकें इस विषय को छूती भी नहीं हैं। और विषय को एल.जी. पीटरसन द्वारा पाठ्यपुस्तक में सबसे स्पष्ट और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया गया है (अध्याय: विभाज्यता के सिद्धांत का परिचय), तो आइए इस पाठ्यपुस्तक के सिद्धांत पर भरोसा करते हुए, "संख्या मॉड्यूलो की तुलना" को समझने का प्रयास करें।

तुलनाएँ और उनके गुण।

परिभाषा: यदि दो पूर्णांक a और b को किसी पूर्णांक m (m>0) से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है, तो वे कहते हैं किए और बी तुलनीय मॉड्यूलो एम हैं, और लिखा:

प्रमेय: यदि और केवल यदि a और b का अंतर m से विभाज्य है।

गुण:

1. तुलनाओं की संवेदनशीलता.कोई भी संख्या a स्वयं modulo m से तुलनीय है (m>0; a,m पूर्णांक हैं)।
2. सममित तुलना.यदि संख्या a, संख्या b मॉड्यूलो m से तुलनीय है, तो संख्या b, संख्या a मॉड्यूलो से तुलनीय है (m>0; a,b,m पूर्णांक हैं)।
3. तुलनाओं की परिवर्तनशीलता.यदि संख्या a, संख्या b modulo m से तुलनीय है, और संख्या b, समान modulo संख्या c से तुलनीय है, तो संख्या a, संख्या c modulo m (m>0; a,b,c) से तुलनीय है ,एम पूर्णांक हैं)।
4. यदि संख्या a, संख्या b मॉड्यूलो m से तुलनीय है, तो संख्या aएन संख्या बी द्वारा तुलनीयएन मॉड्यूलो एम(एम>0; ए,बी,एम-पूर्णांक; एन-प्राकृतिक संख्या)।

समस्याओं के उदाहरण और उनके समाधान.

1. संख्या 3 का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए 999 .

समाधान:

क्योंकि पिछले अंकतो, संख्याएँ 10 से भाग देने का शेषफल हैं

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(मॉड 10)

(क्योंकि 34=81 1(मॉड 10);81 एन 1(mod10) (संपत्ति द्वारा))

उत्तर: 7.

2. सिद्ध करें कि 2 4n -1 बिना किसी शेषफल के 15 से विभाज्य है। (फिजटेक2012)

समाधान:

क्योंकि 16 1(मॉड 15), फिर

16एन-1 0(मॉड 15) (संपत्ति द्वारा); 16एन= (2 4)एन

2 4एन -1 0(मॉड 15)

3. सिद्ध करें कि 12 2n+1 +11 n+2 शेषफल के बिना 133 से विभाज्य।

समाधान:

12 2एन+1 =12*144 एन 12*11 एन (मॉड 133) (संपत्ति द्वारा)

12 2एन+1 +11 एन+2 =12*11 एन +11 एन *121=11 एन *(12+121) =11 एन *133

संख्या (11 एन *133)बिना शेषफल के 133 से भाग देता है। इसलिए, (12 2n+1 +11 n+2 ) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है।

4. संख्या 2 को 15 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए 2015 .

समाधान:

चूँकि 16 1(मॉड 15), तब

2 2015 8(मॉड 15)

उत्तर:8.

5.17वीं संख्या 2 से भाग का शेषफल ज्ञात कीजिए 2015. (फिजटेक2015)

समाधान:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

16 -1(मॉड 17) के बाद से

2 2015 -8(मॉड 15)

8 9(मॉड 17)

उत्तर:9.

6.सिद्ध कीजिए कि संख्या 11 है 100 -1 बिना किसी शेषफल के 100 से विभाज्य है। (फिजटेक2015)

समाधान:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (मॉड 100) (संपत्ति द्वारा)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (मॉड 100) (संपत्ति द्वारा)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (मॉड 100) (संपत्ति द्वारा)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (मॉड 100)(संपत्ति द्वारा)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (संपत्ति द्वारा)

41*21 3 =41*21*441

441 41(मॉड 100) (संपत्ति द्वारा)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(मॉड 100) (संपत्ति द्वारा)

21*(-19)=-399

399 1(मॉड 100) (संपत्ति द्वारा)

तो 11 100 1(मॉड 100)

11 100 -1 0(मॉड 100) (संपत्ति के अनुसार)

7. तीन नंबर दिए गए हैं: 1771,1935,2222. ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे विभाजित करने पर दी गई तीन संख्याओं का शेषफल बराबर हो। (एचएसई2016)

समाधान:

मान लीजिए कि अज्ञात संख्या a के बराबर है

2222 1935(मॉड ए); 1935 1771(मॉड ए); 2222 1771(मॉड ए)

2222-1935 0(मोडा) (संपत्ति द्वारा); 1935-17710(मोडा) (संपत्ति द्वारा); 2222-17710(मोडा) (संपत्ति द्वारा)

287 0(मॉड ए); 164 0(मॉड ए); 451 0(मॉड ए)

287-164 0(मोडा) (संपत्ति द्वारा); 451-2870(मोडा)(संपत्ति द्वारा)

123 0(मॉड ए); 164 0(मॉड ए)

164-123 0(मॉड ए) (संपत्ति द्वारा)

41

परिभाषा 1. यदि दो संख्याएँ 1 हैं) एऔर बीजब विभाजित किया जाता है पीवही शेषफल दीजिए आर, तो ऐसे नंबरों को इक्वायरमेन्डर या कहा जाता है मापांक में तुलनीय पी.

कथन 1. होने देना पीकुछ सकारात्मक संख्या. फिर हर नंबर एहमेशा और, इसके अलावा, एक ही तरीके से रूप में दर्शाया जा सकता है

लेकिन ये नंबर सेटिंग करके प्राप्त किये जा सकते हैं आर 0, 1, 2,... के बराबर पी−1. इस तरह एसपी+आर=एसभी संभावित पूर्णांक मान प्राप्त होंगे।

आइए हम दिखाएं कि यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है। चलिए ऐसा दिखावा करते हैं पीदो प्रकार से दर्शाया जा सकता है ए=एसपी+आरऔर ए=एस 1 पी+आर 1 . तब

(2)

क्योंकि आर 1 0,1, ..., में से किसी एक संख्या को स्वीकार करता है पी−1, फिर निरपेक्ष मान आर 1 −आरकम पी. परंतु (2) से यह निष्कर्ष निकलता है आर 1 −आरएकाधिक पी. इस तरह आर 1 =आरऔर एस 1 =एस.

संख्या आरबुलाया ऋणनंबर एसापेक्ष पी(दूसरे शब्दों में, संख्या आरकिसी संख्या का शेषफल कहा जाता है एपर पी).

कथन 2. यदि दो संख्याएँ एऔर बीमापांक में तुलनीय पी, वह एक-बीद्वारा विभाजित पी.

वास्तव में। यदि दो संख्याएँ एऔर बीमापांक में तुलनीय पी, फिर जब विभाजित किया जाता है पीशेषफल समान है पी. तब

द्वारा विभाजित पी, क्योंकि समीकरण (3) का दाहिना भाग विभाजित है पी.

कथन 3. यदि दो संख्याओं का अंतर विभाज्य है पी, तो ये संख्याएँ मापांक में तुलनीय हैं पी.

सबूत। आइए हम इसे निरूपित करें आरऔर आर 1 डिवीजन शेष एऔर बीपर पी. तब

उदाहरण 25≡39 (मॉड 7), −18≡14 (मॉड 4)।

पहले उदाहरण से यह पता चलता है कि 25 को 7 से विभाजित करने पर 39 के समान शेषफल प्राप्त होता है। वास्तव में, 25 = 3·7+4 (शेष 4)। 39=3·7+4 (शेष 4). दूसरे उदाहरण पर विचार करते समय, आपको यह ध्यान रखना होगा कि शेषफल मापांक (अर्थात 4) से कम एक गैर-नकारात्मक संख्या होनी चाहिए। तब हम लिख सकते हैं: −18=−5·4+2 (शेष 2), 14=3·4+2 (शेष 2)। इसलिए, −18 को 4 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है, और 14 को 4 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है।

मॉड्यूलो तुलना के गुण

संपत्ति 1. किसी के लिए भी एऔर पीहमेशा

हमेशा तुलना नहीं होती

कहाँ λ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है एमऔर पी.

सबूत। होने देना λ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एमऔर पी. तब

क्योंकि एम(ए−बी)द्वारा विभाजित क, वह

इस तरह

और एमसंख्या के भाजक में से एक है पी, वह

कहाँ h=pqs.

ध्यान दें कि हम नकारात्मक मॉड्यूल के आधार पर तुलना की अनुमति दे सकते हैं, यानी। तुलना ए≡बीमॉड( पी) का अर्थ इस मामले में है कि अंतर एक-बीद्वारा विभाजित पी. तुलना के सभी गुण नकारात्मक मॉड्यूल के लिए लागू रहते हैं।