फलन x की 3 जड़ें। पावर फ़ंक्शन और जड़ें - परिभाषा, गुण और सूत्र

परिचय देने के बजाय

पाठों में आधुनिक तकनीकों (सीटीई) और शिक्षण सहायक सामग्री (मल्टीमीडिया बोर्ड) का उपयोग शिक्षक को प्रभावी पाठों की योजना बनाने और संचालित करने में मदद करता है, छात्रों के लिए सचेत रूप से समझने, याद रखने और कौशल का अभ्यास करने के लिए परिस्थितियाँ बनाता है।

यदि इस दौरान पाठ गतिशील और रोचक हो जाता है प्रशिक्षण सत्रप्रशिक्षण के विभिन्न रूपों को संयोजित करें।

आधुनिक उपदेशों में, प्रशिक्षण के चार सामान्य संगठनात्मक रूप हैं:

• व्यक्तिगत रूप से मध्यस्थता;
• भाप से भरा कमरा;
• समूह;

सामूहिक (शिफ्ट जोड़े में)। (डायचेंको वी.के. आधुनिक सिद्धांत। - एम.: लोक शिक्षा, 2005).

एक पारंपरिक पाठ में, एक नियम के रूप में, ऊपर सूचीबद्ध शिक्षण के केवल पहले तीन संगठनात्मक रूपों का उपयोग किया जाता है। शिक्षण का सामूहिक रूप (शिफ्ट में जोड़ियों में काम) व्यावहारिक रूप से शिक्षक द्वारा उपयोग नहीं किया जाता है। हालाँकि, प्रशिक्षण का यह संगठनात्मक रूप टीम के लिए हर किसी को प्रशिक्षित करना और दूसरों के प्रशिक्षण में सक्रिय रूप से भाग लेने के लिए संभव बनाता है। प्रशिक्षण का सामूहिक स्वरूप सीएसआर प्रौद्योगिकी में अग्रणी है।

सामूहिक शिक्षण प्रौद्योगिकी के सबसे सामान्य तरीकों में से एक "पारस्परिक प्रशिक्षण" तकनीक है।

यह "जादू" तकनीक किसी भी विषय और किसी भी पाठ में अच्छी है। उद्देश्य प्रशिक्षण है.

प्रशिक्षण आत्म-नियंत्रण का उत्तराधिकारी है; यह छात्र को अध्ययन के विषय के साथ संपर्क स्थापित करने में मदद करता है, जिससे सही कदम और कार्यों को ढूंढना आसान हो जाता है। ज्ञान के अधिग्रहण, समेकन, पुनर्समूहन, पुनरीक्षण और अनुप्रयोग में प्रशिक्षण के माध्यम से, एक व्यक्ति की संज्ञानात्मक क्षमताएं विकसित होती हैं। (यानोवित्स्काया ई.वी. कैसे पढ़ाएं और सीखें इस तरह सबकसीखना चाहते हैं. एल्बम-संदर्भ पुस्तक. - सेंट पीटर्सबर्ग: शैक्षिक परियोजनाएं, एम.: प्रकाशक ए.एम. कुशनीर, 2009.-पी.14;131)

यह आपको किसी नियम को तुरंत दोहराने, आपके द्वारा अध्ययन किए गए प्रश्नों के उत्तर याद रखने और आवश्यक कौशल को मजबूत करने में मदद करेगा। विधि का उपयोग करके काम करने का इष्टतम समय 5-10 मिनट है। एक नियम के रूप में, प्रशिक्षण कार्ड पर काम मौखिक गणना के दौरान, यानी पाठ की शुरुआत में किया जाता है, लेकिन शिक्षक के विवेक पर इसे पाठ के किसी भी चरण में उसके लक्ष्यों और संरचना के आधार पर किया जा सकता है। . एक प्रशिक्षण कार्ड में 5 से 10 सरल उदाहरण (प्रश्न, कार्य) हो सकते हैं। कक्षा के प्रत्येक छात्र को एक कार्ड मिलता है। कार्ड सभी के लिए अलग-अलग हैं या "संयुक्त दस्ते" (एक ही पंक्ति में बैठे बच्चे) में सभी के लिए अलग-अलग हैं। एक संयुक्त टुकड़ी (समूह) एक विशिष्ट शैक्षिक कार्य को करने के लिए गठित छात्रों का एक अस्थायी सहयोग है। (यालोवेट्स टी.वी. शिक्षक प्रशिक्षण में शिक्षण की सामूहिक पद्धति की तकनीक: शैक्षिक और पद्धति संबंधी मैनुअल। - नोवोकुज़नेत्स्क: आईपीके पब्लिशिंग हाउस, 2005। - पी. 122)

विषय पर पाठ परियोजना "फ़ंक्शन y=, इसके गुण और ग्राफ़"

पाठ परियोजना में, जिसका विषय है: " फ़ंक्शन y=, इसके गुण और ग्राफ़”पारंपरिक और मल्टीमीडिया शिक्षण उपकरणों के उपयोग के साथ पारस्परिक प्रशिक्षण तकनीकों का उपयोग प्रस्तुत किया गया है।

पाठ विषय: " फलन y=, इसके गुण और ग्राफ़”

लक्ष्य:

• परीक्षण की तैयारी;
• किसी फ़ंक्शन के सभी गुणों के ज्ञान का परीक्षण करना और फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाने और उनके गुणों को पढ़ने की क्षमता का परीक्षण करना।

कार्य: विषय स्तर:

अति-विषय स्तर:

• ग्राफिक जानकारी का विश्लेषण करना सीखें;
• संवाद संचालित करने की क्षमता का अभ्यास करें;
• ग्राफ़ के साथ काम करने के उदाहरण का उपयोग करके एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड के साथ काम करने की क्षमता विकसित करना।

आइए हम प्रत्येक चरण की सामग्री को अधिक विस्तार से प्रकट करें।

1. शिक्षक सूचना इनपुट (टीआईआई) शामिल है आयोजन का समय; विषय, उद्देश्य और पाठ योजना को स्पष्ट करना; पारस्परिक प्रशिक्षण पद्धति का उपयोग करके जोड़ी में काम करने का एक नमूना दिखा रहा हूँ।

पाठ के इस चरण में छात्रों द्वारा जोड़े में काम के नमूने का प्रदर्शन हमारे लिए आवश्यक कार्यप्रणाली के कार्य एल्गोरिथ्म को दोहराने के लिए उचित है, क्योंकि पाठ के अगले चरण में, इस पर सभी कार्य की योजना बनाई जाती है बढ़िया टीम. साथ ही, आप एल्गोरिथम के साथ काम करने में त्रुटियों को नाम दे सकते हैं (यदि कोई हों), साथ ही इन छात्रों के काम का मूल्यांकन भी कर सकते हैं।

2. आपसी प्रशिक्षण की पद्धति का उपयोग करके बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण शिफ्ट जोड़े में किया जाता है।

कार्यप्रणाली एल्गोरिदम में प्रशिक्षण के व्यक्तिगत, जोड़ी (स्थैतिक जोड़े) और सामूहिक (शिफ्ट जोड़े) संगठनात्मक रूप शामिल हैं।

व्यक्तिगत: कार्ड प्राप्त करने वाला प्रत्येक व्यक्ति इसकी सामग्री से परिचित हो जाता है (कार्ड के पीछे प्रश्न और उत्तर पढ़ता है)।

• पहला("प्रशिक्षु" की भूमिका में) कार्य पढ़ता है और भागीदार के कार्ड पर प्रश्नों का उत्तर देता है;
• दूसरा("कोच" की भूमिका में) - कार्ड के पीछे उत्तरों की शुद्धता की जाँच करता है;
• भूमिकाएँ बदलते हुए दूसरे कार्ड पर भी इसी तरह काम करें;
• एक व्यक्तिगत शीट और एक्सचेंज कार्ड पर एक निशान बनाएं;
• एक नए जोड़े के पास जाएँ.

सामूहिक:

• नई जोड़ी में वे पहले की तरह काम करते हैं; एक नई जोड़ी में संक्रमण, आदि।

बदलावों की संख्या पाठ के इस चरण के लिए शिक्षक द्वारा आवंटित समय, प्रत्येक छात्र की परिश्रम और समझने की गति और संयुक्त कार्य में भागीदारों पर निर्भर करती है।

जोड़ियों में काम करने के बाद, छात्र अपनी रिकॉर्ड शीट पर निशान बनाते हैं, और शिक्षक काम का मात्रात्मक और गुणात्मक विश्लेषण करते हैं।

लेखांकन पत्रक इस प्रकार दिख सकता है:

इवानोव पेट्या 7 "बी" ग्रेड

3. विषय "फ़ंक्शन y=, इसके गुण और ग्राफ़" का परिचय शिक्षक द्वारा मल्टीमीडिया शिक्षण उपकरण (परिशिष्ट 4) का उपयोग करके एक प्रस्तुति के रूप में किया जाता है। एक ओर, यह स्पष्टता का एक संस्करण है जो आधुनिक छात्रों के लिए समझ में आता है, दूसरी ओर, यह नई सामग्री को समझाने में समय बचाता है।

4. "फ़ंक्शन" विषय पर नई सीखी गई और पहले से कवर की गई सामग्री का समेकन ” पारंपरिक शिक्षण उपकरणों (ब्लैकबोर्ड, पाठ्यपुस्तक) और नवीन उपकरणों (इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड) का उपयोग करके दो संस्करणों में व्यवस्थित किया गया है।

सबसे पहले, नई सीखी गई सामग्री को समेकित करने के लिए पाठ्यपुस्तक से कई कार्य पेश किए जाते हैं। शिक्षण हेतु पाठ्यपुस्तक का प्रयोग किया जाता है। पूरी कक्षा के साथ एक साथ कार्य किया जाता है। इस मामले में, एक छात्र पारंपरिक बोर्ड पर कार्य "ए" पूरा करता है; दूसरा कार्य "बी" पर है संवादात्मक सफेद पटल, बाकी छात्र उन्हीं कार्यों के समाधानों को एक नोटबुक में लिखते हैं और अपने समाधान की तुलना बोर्ड पर प्रस्तुत समाधान से करते हैं। इसके बाद, शिक्षक बोर्ड में छात्रों के काम का मूल्यांकन करता है।

फिर, "फ़ंक्शन" विषय पर अध्ययन की गई सामग्री को और अधिक तेज़ी से समेकित करने के लिए, एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड के साथ फ्रंटल कार्य प्रस्तावित है, जिसे निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है:

• कार्य और शेड्यूल इंटरैक्टिव बोर्ड पर दिखाई देते हैं;
• एक छात्र जो उत्तर देना चाहता है वह बोर्ड के पास जाता है, आवश्यक निर्माण करता है और उत्तर देता है;
• एक नया कार्य और एक नया शेड्यूल बोर्ड पर दिखाई देता है;
• एक अन्य छात्र उत्तर देने के लिए बाहर आता है।

इस प्रकार, थोड़े समय में, बहुत सारी समस्याओं को हल करना और छात्रों के उत्तरों का मूल्यांकन करना संभव है। रुचि के कुछ कार्य (आगामी कार्यों के समान)। परीक्षण कार्य), एक नोटबुक में दर्ज किया जा सकता है।

5. आत्म-नियंत्रण चरण में, छात्रों को एक परीक्षण के बाद आत्म-परीक्षण (परिशिष्ट 3) की पेशकश की जाती है।

साहित्य

1. डायचेन्को, वी.के. आधुनिक उपदेश [पाठ] / वी.के. डायचेन्को - एम.: सार्वजनिक शिक्षा, 2005।
2. यालोवेट्स, टी.वी. शिक्षक प्रशिक्षण में शिक्षण की सामूहिक पद्धति की तकनीक: शैक्षिक और कार्यप्रणाली मैनुअल[पाठ] / टी.वी. यालोवेट्स। - नोवोकुज़नेट्सक: आईपीके पब्लिशिंग हाउस, 2005।
3. यानोवित्स्काया, ई.वी. किसी पाठ में कैसे पढ़ाएं और सीखें ताकि आप सीखना चाहें। संदर्भ एल्बम [पाठ] / ई.वी. यानोवित्स्काया। - सेंट पीटर्सबर्ग: शैक्षिक परियोजनाएं, एम.: प्रकाशक ए.एम. कुशनिर, 2009.

जो बराबर है $एक।$दूसरे शब्दों में, यह समीकरण का हल है $x^3\; =\; ए$(आमतौर पर वास्तविक समाधान का मतलब होता है)।

असली जड़

प्रदर्शनात्मक रूप

सम्मिश्र संख्याओं के मूल को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

यदि आप कल्पना करें $एक्स$कैसे

$x\; =\; r\backslash exp(i\backslash theta)$

तो घन संख्या का सूत्र है:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

इसका ज्यामितीय अर्थ यह है कि धुवीय निर्देशांकहम त्रिज्या का घनमूल लेते हैं और घनमूल निर्धारित करने के लिए ध्रुवीय कोण को तीन से विभाजित करते हैं। तो यदि $एक्स$जटिल, तो $\backslash sqrt(-8)$मतलब नहीं होगा $-2$, होगा $1\; +\; i\backslash sqrt(3).$

पदार्थ के स्थिर घनत्व पर, दो समान पिंडों के आयाम उनके द्रव्यमान के घनमूल के रूप में एक दूसरे से संबंधित होते हैं। इसलिए, यदि एक तरबूज का वजन दूसरे तरबूज से दोगुना है, तो इसका व्यास (साथ ही इसकी परिधि) पहले की तुलना में केवल एक चौथाई (26%) से थोड़ा अधिक बड़ा होगा; और देखने पर ऐसा लगेगा कि वजन में अंतर इतना महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, तराजू (आंख से बिक्री) की अनुपस्थिति में, आमतौर पर बड़ा फल खरीदना अधिक लाभदायक होता है।

गणना के तरीके

स्तंभ

शुरू करने से पहले, आपको संख्या को तीन भागों में विभाजित करना होगा (पूर्णांक भाग - दाएं से बाएं, भिन्नात्मक भाग - बाएं से दाएं)। जब आप दशमलव बिंदु पर पहुंच जाएं, तो आपको परिणाम के अंत में एक दशमलव बिंदु जोड़ना होगा।

एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसका घन अंकों के पहले समूह से छोटा है, लेकिन जब इसमें 1 की वृद्धि होती है तो यह बड़ा हो जाता है। जो संख्या आपको मिले उसे दाहिनी ओर लिखें दिया गया नंबर. इसके नीचे अंक 3 लिखें।
2. संख्याओं के पहले समूह के अंतर्गत मिलने वाली संख्या का घन लिखें और घटाएँ। घटाने के बाद परिणाम को सबट्रैंड के अंतर्गत लिखें। इसके बाद, संख्याओं के अगले समूह को हटा दें।
3. इसके बाद, हम पाए गए मध्यवर्ती उत्तर को पत्र से बदल देते हैं $ए$. सूत्र का उपयोग करके गणना करें $$इतनी संख्या $एक्स$कि इसका परिणाम निचली संख्या से कम होता है, लेकिन 1 बढ़ाने पर यह बड़ा हो जाता है। जो मिले उसे लिखो $एक्स$उत्तर के दाईं ओर. यदि आवश्यक सटीकता प्राप्त हो जाए, तो गणना रोक दें।
4. सूत्र का उपयोग करके गणना के परिणाम को नीचे की संख्या के नीचे लिखें $300\backslash times\; a^2\backslash times\; x+30\backslash times\; a\backslash times\; x^2+x^3$और घटाव करो. चरण 3 पर जाएँ.

यह सभी देखें

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साहित्य

• कोर्न जी., कोर्न टी. 1.3-3. योग, उत्पाद और भागफल का प्रतिनिधित्व। शक्तियाँ और जड़ें // गणित की पुस्तिका। - चौथा संस्करण। - एम.: नौका, 1978. - पी. 32-33.

घनमूल की विशेषता बताने वाला एक अंश

सुबह नौ बजे तक, जब सैनिक पहले ही मास्को से आगे बढ़ चुके थे, गिनती के आदेश मांगने के लिए कोई और नहीं आया। जो कोई जा सकता था, उसने अपनी इच्छा से ऐसा किया; जो बचे रहे उन्होंने स्वयं निर्णय लिया कि उन्हें क्या करना है।
काउंट ने सोकोलनिकी जाने के लिए घोड़ों को लाने का आदेश दिया, और, भौंहें चढ़ाते हुए, पीले और चुप होकर, हाथ जोड़कर, वह अपने कार्यालय में बैठ गया।
शांत, तूफानी समय में नहीं, प्रत्येक प्रशासक को ऐसा लगता है कि उसके प्रयासों से ही उसके नियंत्रण में पूरी आबादी आगे बढ़ती है, और अपनी आवश्यकता की इस चेतना में, प्रत्येक प्रशासक अपने परिश्रम और प्रयासों के लिए मुख्य पुरस्कार महसूस करता है। यह स्पष्ट है कि जब तक ऐतिहासिक समुद्र शांत है, तब तक शासक-प्रशासक, अपनी नाजुक नाव को लोगों के जहाज पर टिकाकर स्वयं आगे बढ़ रहा है, उसे यह प्रतीत होना चाहिए कि उसके प्रयासों के माध्यम से वह जिस जहाज के खिलाफ आराम कर रहा है। चलती। परन्तु जैसे ही तूफ़ान उठता है, समुद्र उद्वेलित हो उठता है और जहाज़ ही चल पड़ता है, तब भ्रम होना असंभव है। जहाज अपनी प्रचंड, स्वतंत्र गति से चलता है, खंभा चलते जहाज तक नहीं पहुंच पाता और शासक अचानक शक्ति के स्रोत, शासक की स्थिति से एक तुच्छ, बेकार और कमजोर व्यक्ति में चला जाता है।
रस्तोपचिन को यह महसूस हुआ और इससे वह चिढ़ गया। पुलिस प्रमुख, जिन्हें भीड़ ने रोक दिया था, सहायक के साथ, जो यह रिपोर्ट करने आए थे कि घोड़े तैयार हैं, गिनती में शामिल हुए। दोनों पीले पड़ गए थे, और पुलिस प्रमुख ने अपने कार्य के निष्पादन की रिपोर्ट करते हुए कहा कि काउंट के प्रांगण में लोगों की भारी भीड़ थी जो उसे देखना चाहते थे।
रस्तोपचिन, एक भी शब्द का उत्तर दिए बिना, खड़ा हुआ और तेजी से अपने शानदार, उज्ज्वल लिविंग रूम में चला गया, बालकनी के दरवाजे तक चला गया, हैंडल पकड़ा, उसे छोड़ दिया और खिड़की की ओर चला गया, जहां से पूरी भीड़ को अधिक स्पष्ट रूप से देखा जा सकता था। एक लंबा आदमी आगे की पंक्तियों में खड़ा था और कठोर चेहरे के साथ, अपना हाथ लहराते हुए, कुछ कहा। खून से लथपथ लोहार उसके बगल में उदास भाव से खड़ा था। बंद खिड़कियों से आवाज़ों की गुंजन सुनाई दे रही थी।
- क्या दल तैयार है? - रस्तोपचिन ने खिड़की से दूर हटते हुए कहा।
"तैयार, महामहिम," सहायक ने कहा।
रस्तोपचिन फिर बालकनी के दरवाजे के पास पहुंचा।
- वे क्या चाहते हैं? - उसने पुलिस प्रमुख से पूछा।
- महामहिम, वे कहते हैं कि वे आपके आदेश पर फ्रांसीसियों के खिलाफ जाने वाले थे, उन्होंने देशद्रोह के बारे में कुछ चिल्लाया। लेकिन एक हिंसक भीड़, महामहिम. मैं जबरदस्ती चला गया. महामहिम, मैं सुझाव देने का साहस करता हूं...
"अगर तुम चाहो तो जाओ, मुझे पता है कि तुम्हारे बिना क्या करना है," रोस्तोपचिन गुस्से से चिल्लाया। वह बालकनी के दरवाज़े पर खड़ा होकर भीड़ को देख रहा था। “उन्होंने रूस के साथ यही किया! उन्होंने मेरे साथ यही किया!” - रोस्तोपचिन ने सोचा, उसकी आत्मा में किसी ऐसे व्यक्ति के खिलाफ एक अनियंत्रित क्रोध बढ़ रहा है जिसे हर चीज के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। जैसा कि अक्सर गर्म स्वभाव वाले लोगों के साथ होता है, क्रोध पहले से ही उस पर हावी था, लेकिन वह इसके लिए किसी अन्य विषय की तलाश में था। "ला वोइला ला पॉपुलस, ला ले डू पीपल," उसने भीड़ को देखते हुए सोचा, "ला प्लेबे क्व"इल्स ओन्ट सोलेवी पार लेउर सॉटिस। इल लेउर फ़ौट उने विक्टिमे, ["यहाँ वह है, लोग, ये मैल जनसंख्या, जनसाधारण, जिन्हें उन्होंने अपनी मूर्खता से पाला था! उन्हें एक शिकार की जरूरत है।"] - लंबे साथी को हाथ लहराते हुए देखकर उसके मन में यह ख्याल आया। और उसी कारण से उसके दिमाग में यह आया कि उसे खुद इस शिकार की जरूरत है , यह वस्तु उसके क्रोध के लिए है।
- क्या दल तैयार है? - उसने दूसरी बार पूछा।
- तैयार, महामहिम। आप वीरशैचिन के बारे में क्या आदेश देते हैं? "वह बरामदे पर इंतज़ार कर रहा है," सहायक ने उत्तर दिया।
- ए! - रोस्तोपचिन चिल्लाया, मानो किसी अप्रत्याशित स्मृति से चकित हो गया हो।
और, तेजी से दरवाजा खोलकर, निर्णायक कदमों से वह बालकनी से बाहर निकल गया। बातचीत अचानक बंद हो गई, टोपियाँ और टोपियाँ उतार दी गईं और सभी की निगाहें उस गिनती पर उठ गईं जो बाहर आ गई थी।
- हैलो दोस्तों! - काउंट ने जल्दी और जोर से कहा। - आने के लिए धन्यवाद। मैं अब आपके पास आऊंगा, लेकिन सबसे पहले हमें खलनायक से निपटना होगा। हमें उस खलनायक को दंडित करने की जरूरत है जिसने मॉस्को को मार डाला। मेरा इंतजार करना! “और काउंट उतनी ही तेजी से दरवाजा जोर से पटकते हुए अपने कक्ष में लौट आया।
भीड़ में ख़ुशी की लहर दौड़ गई। “इसका मतलब है कि वह सभी खलनायकों को नियंत्रित करेगा! और तुम फ़्रेंच कहते हो... वह तुम्हें पूरी दूरी बता देगा!” - लोगों ने कहा, मानो विश्वास की कमी के लिए एक-दूसरे को फटकार लगा रहे हों।

पावर फ़ंक्शन के मूल गुण दिए गए हैं, जिनमें जड़ों के सूत्र और गुण शामिल हैं। व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार में बिजली की श्रृंखलाऔर किसी शक्ति फलन की जटिल संख्याओं के माध्यम से प्रतिनिधित्व।

परिभाषा

परिभाषा
ऊर्जा समीकरणप्रतिपादक पी के साथफ़ंक्शन f है (एक्स) = एक्सपी, जिसका बिंदु x पर मान बिंदु p पर आधार x के साथ घातीय फलन के मान के बराबर है।
इसके अलावा, एफ (0) = 0 पी = 0पी > के लिए 0 .

घातांक के प्राकृतिक मानों के लिए, घात फलन x के बराबर n संख्याओं का गुणनफल है:
.
इसे सभी वैध के लिए परिभाषित किया गया है।

घातांक के सकारात्मक तर्कसंगत मूल्यों के लिए, पावर फ़ंक्शन संख्या x की डिग्री m की n जड़ों का उत्पाद है:
.
विषम m के लिए, इसे सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित किया गया है। सम m के लिए, पावर फ़ंक्शन को गैर-नकारात्मक लोगों के लिए परिभाषित किया गया है।

नकारात्मक के लिए, पावर फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
इसलिए, इसे बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

घातांक पी के अपरिमेय मूल्यों के लिए, शक्ति फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
,
जहां a एक मनमाना धनात्मक संख्या है जो एक के बराबर नहीं है: .
कब, इसके लिए परिभाषित किया गया है।
जब, पावर फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है।

निरंतरता. एक शक्ति फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर रहता है।

x ≥ 0 के लिए घात फलन के गुण और सूत्र

यहां हम पावर फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करेंगे नकारात्मक मानतर्क एक्स. जैसा कि ऊपर बताया गया है, घातांक पी के कुछ मानों के लिए, पावर फ़ंक्शन को एक्स के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। इस मामले में, इसके गुणों को सम या विषम का उपयोग करके, के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। इन मामलों पर पृष्ठ "" पर विस्तार से चर्चा और चित्रण किया गया है।

एक घात फलन, y = x p, घातांक p के साथ निम्नलिखित गुण हैं:
(1.1) सेट पर परिभाषित और निरंतर
पर ,
पर ;
(1.2) के कई अर्थ हैं
पर ,
पर ;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है,
के रूप में सख्ती से घटता है;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

गुणों का प्रमाण "पावर फ़ंक्शन (निरंतरता और गुणों का प्रमाण)" पृष्ठ पर दिया गया है

जड़ें - परिभाषा, सूत्र, गुण

परिभाषा
किसी संख्या x की डिग्री n का मूलवह संख्या है जिसे घात n तक बढ़ाने पर x प्राप्त होता है:
.
यहाँ n= 2, 3, 4, ... - प्राकृतिक संख्या, एक से अधिक.

आप यह भी कह सकते हैं कि घात n वाली संख्या x का मूल समीकरण का मूल (अर्थात् समाधान) है
.
ध्यान दें कि फ़ंक्शन, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है।

x का वर्गमूलडिग्री 2 का मूल है: .

क्युब जड़संख्या x सेडिग्री 3 का मूल है: .

यहां तक ​​कि डिग्री भी

सम घातों के लिए n = 2 मी, मूल को x ≥ के लिए परिभाषित किया गया है 0 . अक्सर उपयोग किया जाने वाला सूत्र सकारात्मक और नकारात्मक x दोनों के लिए मान्य है:
.
वर्गमूल के लिए:
.

जिस क्रम में संचालन किया जाता है वह यहां महत्वपूर्ण है - अर्थात, पहले वर्गांकन किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-नकारात्मक संख्या होती है, और फिर उसमें से मूल निकाला जाता है (आप एक गैर-नकारात्मक संख्या से निकाल सकते हैं) वर्गमूल). यदि हमने क्रम बदल दिया:, तो ऋणात्मक x के लिए मूल अपरिभाषित होगा, और इसके साथ संपूर्ण अभिव्यक्ति अपरिभाषित होगी।

अजीब डिग्री

विषम शक्तियों के लिए, मूल को सभी x के लिए परिभाषित किया गया है:
;
.

जड़ों के गुण एवं सूत्र

x का मूल एक घात फलन है:
.
जब x ≥ 0 निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
;
;
, ;
.

ये सूत्र चरों के ऋणात्मक मानों के लिए भी लागू किये जा सकते हैं। आपको बस यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि सम शक्तियों की मौलिक अभिव्यक्ति नकारात्मक न हो।

निजी मूल्य

0 का मूल 0: है।
मूल 1, 1 के बराबर है:।
0 का वर्गमूल 0: है।
1 का वर्गमूल 1: है।

उदाहरण। जड़ की जड़

आइए जड़ों के वर्गमूल का एक उदाहरण देखें:
.
आइए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आंतरिक वर्गमूल को रूपांतरित करें:
.
आइए अब मूल रूट को रूपांतरित करें:
.
इसलिए,
.

घातांक p के विभिन्न मानों के लिए y = x p।

यहां तर्क x के गैर-नकारात्मक मानों के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिए गए हैं। x के नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ "पावर फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़" पृष्ठ पर दिए गए हैं।

उलटा काम करना

घातांक p के साथ एक घात फलन का व्युत्क्रम घातांक 1/p के साथ एक घात फलन है।

तो अगर।

एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न

nवें क्रम का व्युत्पन्न:
;

सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग

पी ≠ - 1 ;
.

शक्ति शृंखला विस्तार

पर - 1 < x < 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें:
एफ (जेड) = जेड टी.
आइए हम जटिल चर z को मापांक r और तर्क φ (r = |z|) के संदर्भ में व्यक्त करें:
z = r e i φ .
हम सम्मिश्र संख्या t को वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में निरूपित करते हैं:
टी = पी + आई क्यू .
हमारे पास है:

इसके बाद, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है:
,

आइए उस मामले पर विचार करें जब q = 0 , अर्थात प्रतिपादक - वास्तविक संख्या, टी = पी. तब
.

यदि p एक पूर्णांक है, तो kp एक पूर्णांक है। फिर, त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता के कारण:
.
अर्थात्, किसी दिए गए z के लिए पूर्णांक घातांक वाले घातांकीय फ़ंक्शन का केवल एक ही मान होता है और इसलिए यह स्पष्ट है।

यदि p अपरिमेय है, तो किसी भी k के लिए गुणनफल kp पूर्णांक उत्पन्न नहीं करता है। चूँकि k मानों की एक अनंत श्रृंखला से होकर गुजरता है के = 0, 1, 2, 3, ..., तो फलन z p में अपरिमित रूप से अनेक मान हैं। जब भी तर्क z बढ़ाया जाता है 2π(एक मोड़ पर), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं।

यदि p परिमेय है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
, कहाँ एम, एन- पूर्णांक जिनमें उभयनिष्ठ भाजक नहीं होते। तब
.
पहले n मान, k = k के साथ 0 = 0, 1, 2, ...एन-1, दिया गया विभिन्न अर्थकेपी:
.
हालाँकि, बाद के मान ऐसे मान देते हैं जो पिछले वाले से एक पूर्णांक से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, जब k = k 0+एनहमारे पास है:
.
त्रिकोणमितीय कार्य, जिनके तर्क उन मानों से भिन्न होते हैं जो गुणज होते हैं 2π, समान मूल्य हैं। इसलिए, k में और वृद्धि के साथ, हमें z p का वही मान प्राप्त होता है जो k = k के लिए होता है 0 = 0, 1, 2, ...एन-1.

इस प्रकार, एक तर्कसंगत घातांक वाला एक घातांकीय फलन बहुमूल्यांकित होता है और इसमें n मान (शाखाएँ) होते हैं। जब भी तर्क z बढ़ाया जाता है 2π(एक मोड़ पर), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं। ऐसी क्रांतियों के बाद हम पहली शाखा पर लौटते हैं जहाँ से उलटी गिनती शुरू हुई थी।

विशेष रूप से, डिग्री n के मूल में n मान होते हैं। उदाहरण के तौर पर, वास्तविक के nवें मूल पर विचार करें सकारात्मक संख्याजेड = एक्स. इस मामले में φ 0 = 0 , z = r = |z| = एक्स, .
.
तो, एक वर्गमूल के लिए, n = 2 ,
.
सम k के लिए, (- 1 ) के = 1. विषम k के लिए, (- 1 ) के = - 1.
अर्थात वर्गमूल के दो अर्थ होते हैं: + और -।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "शक्ति कार्य। घनमूल। घनमूल के गुण"

अतिरिक्त सामग्री
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शैक्षिक परिसर 1सी: "मापदंडों के साथ बीजगणितीय समस्याएं, ग्रेड 9-11" सॉफ्टवेयर वातावरण "1सी: गणितीय कंस्ट्रक्टर 6.0"

पावर फ़ंक्शन की परिभाषा - घनमूल

आइए समानता की जाँच करें: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
मान लीजिए $\sqrt((-x))=a$ और $\sqrt(x)=b$. आइए दोनों भावों को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं। $–x=a^3$ और $x=b^3$. फिर $a^3=-b^3$ या $a=-b$। जड़ों के लिए संकेतन का उपयोग करके हम वांछित पहचान प्राप्त करते हैं।

घनमूलों के गुण

आइए दूसरी संपत्ति सिद्ध करें। $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
हमने पाया कि $\sqrt(\frac(a)(b))$ को घनाकार संख्या $\frac(a)(b)$ के बराबर है और फिर $\sqrt(\frac(a)(b))$ के बराबर है , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

दोस्तों, आइए अपने फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।
1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
2) फ़ंक्शन अजीब है, क्योंकि $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. इसके बाद, $x≥0$ के लिए हमारे फ़ंक्शन पर विचार करें, फिर मूल के सापेक्ष ग्राफ़ प्रदर्शित करें।
3) $x≥0$ होने पर फ़ंक्शन बढ़ जाता है। हमारे फ़ंक्शन के लिए, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, जिसका अर्थ है वृद्धि।
4) कार्य ऊपर से सीमित नहीं है. वास्तव में, किसी से भी बड़ी संख्या मेंहम तीसरे मूल की गणना कर सकते हैं, और हम सब कुछ खोजते हुए अनंत तक जा सकते हैं बड़े मूल्यतर्क।
5) $x≥0$ के लिए सबसे छोटा मान 0 है। यह गुण स्पष्ट है।
आइए x≥0 पर बिंदुओं के आधार पर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर फ़ंक्शन का अपना ग्राफ़ बनाएं। याद रखें कि हमारा कार्य अजीब है.

फ़ंक्शन गुण:
1)D(y)=(-∞;+∞).
2) अजीब कार्य.
3) (-∞;+∞) से वृद्धि होती है।
4)असीमित.
5) कोई न्यूनतम या अधिकतम मूल्य नहीं है।

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) नीचे की ओर उत्तल (-∞;0), ऊपर की ओर उत्तल (0;+∞)।

शक्ति कार्यों को हल करने के उदाहरण

2. फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। $y=\sqrt((x-2))-3$.
समाधान। हमारा ग्राफ़ फ़ंक्शन $y=\sqrt(x)$ के ग्राफ़ से प्राप्त किया गया है, समानांतर स्थानांतरणदो इकाइयाँ दाईं ओर और तीन इकाइयाँ नीचे।

3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं और उसे पढ़ें. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
समाधान। आइए, अपनी स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, एक ही समन्वय तल पर फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ बनाएं। $x≥-1$ के लिए हम घनमूल का ग्राफ़ बनाते हैं, $x≤-1$ के लिए हम एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते हैं।
1)D(y)=(-∞;+∞).
2) फलन न तो सम है और न ही विषम।
3) (-∞;-1) से घटता है, (-1;+∞) से बढ़ता है।
4) ऊपर से असीमित, नीचे से सीमित।
5) सबसे बड़ा मूल्यनहीं। सबसे कम मूल्यशून्य से एक के बराबर है.
6) फलन संपूर्ण संख्या रेखा पर सतत है।
7) E(y)= (-1;+∞).

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