Y, X के मूल के बराबर है। पावर फ़ंक्शन और जड़ें - परिभाषा, गुण और सूत्र

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "शक्ति कार्य। घनमूल। घनमूल के गुण"

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पावर फ़ंक्शन की परिभाषा - घनमूल

आइए समानता की जाँच करें: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
मान लीजिए $\sqrt((-x))=a$ और $\sqrt(x)=b$. आइए दोनों भावों को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं। $–x=a^3$ और $x=b^3$. फिर $a^3=-b^3$ या $a=-b$। जड़ों के लिए संकेतन का उपयोग करके हम वांछित पहचान प्राप्त करते हैं।

घनमूलों के गुण

आइए दूसरी संपत्ति सिद्ध करें। $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
हमने पाया कि $\sqrt(\frac(a)(b))$ को घनाकार संख्या $\frac(a)(b)$ के बराबर है और फिर $\sqrt(\frac(a)(b))$ के बराबर है , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

दोस्तों, आइए अपने फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।
1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
2) फ़ंक्शन अजीब है, क्योंकि $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. इसके बाद, $x≥0$ के लिए हमारे फ़ंक्शन पर विचार करें, फिर मूल के सापेक्ष ग्राफ़ प्रदर्शित करें।
3) $x≥0$ होने पर फ़ंक्शन बढ़ जाता है। हमारे फ़ंक्शन के लिए, बड़ा तर्क मान मेल खाता है उच्च मूल्यकार्य, जिसका अर्थ है बढ़ना।
4) कार्य ऊपर से सीमित नहीं है. वास्तव में, किसी से भी बड़ी संख्या मेंतीसरे मूल की गणना की जा सकती है, और हम तर्क के बड़े मूल्यों को खोजते हुए अनिश्चित काल तक ऊपर की ओर बढ़ सकते हैं।
5) $x≥0$ के लिए सबसे छोटा मूल्य 0 के बराबर है। यह गुण स्पष्ट है।
आइए x≥0 पर बिंदुओं के आधार पर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर फ़ंक्शन का अपना ग्राफ़ बनाएं। याद रखें कि हमारा कार्य अजीब है.

फ़ंक्शन गुण:
1)D(y)=(-∞;+∞).
2) अजीब कार्य.
3) (-∞;+∞) से वृद्धि होती है।
4)असीमित.
5) कोई न्यूनतम या अधिकतम मूल्य नहीं है।

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) नीचे की ओर उत्तल (-∞;0), ऊपर की ओर उत्तल (0;+∞).

शक्ति कार्यों को हल करने के उदाहरण

2. फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। $y=\sqrt((x-2))-3$.
समाधान। हमारा ग्राफ़ फ़ंक्शन $y=\sqrt(x)$ के ग्राफ़ से प्राप्त किया गया है, समानांतर स्थानांतरणदो इकाइयाँ दाईं ओर और तीन इकाइयाँ नीचे।

3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं और उसे पढ़ें. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
समाधान। आइए, अपनी स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, एक ही समन्वय तल पर फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ बनाएं। $x≥-1$ के लिए हम घनमूल का ग्राफ़ बनाते हैं, $x≤-1$ के लिए हम एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते हैं।
1)D(y)=(-∞;+∞).
2) फलन न तो सम है और न ही विषम।
3) (-∞;-1) से घटता है, (-1;+∞) से बढ़ता है।
4) ऊपर से असीमित, नीचे से सीमित।
5) कोई सबसे बड़ा मूल्य नहीं है। सबसे छोटा मान शून्य से एक है.
6) फलन संपूर्ण संख्या रेखा पर सतत है।
7) E(y)= (-1;+∞).

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

की नौवीं डिग्री वास्तविक संख्या, नोट किया गया कि किसी भी डिग्री (दूसरी, तीसरी, चौथी, आदि) की जड़ को किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या से निकाला जा सकता है, और किसी भी विषम डिग्री की जड़ को नकारात्मक संख्या से निकाला जा सकता है। लेकिन फिर आपको फॉर्म के एक फ़ंक्शन के बारे में, उसके ग्राफ़ के बारे में, उसके गुणों के बारे में सोचना चाहिए। इस अनुच्छेद में हम यही करेंगे। सबसे पहले गैर-नकारात्मक मानों के मामले में फ़ंक्शन के बारे में बात करते हैं तर्क.

आइए उस मामले से शुरू करें जिसे आप जानते हैं, जब n = 2, यानी। चित्र में फ़ंक्शन से। 166 फ़ंक्शन का ग्राफ़ और फ़ंक्शन y = x 2, x>0 का ग्राफ़ दिखाता है। दोनों ग्राफ़ एक ही वक्र का प्रतिनिधित्व करते हैं - एक परवलय की एक शाखा, जो केवल समन्वय तल पर अलग-अलग स्थित होती है। आइए स्पष्ट करें: ये ग्राफ़ सीधी रेखा y = x के सापेक्ष सममित हैं, क्योंकि इनमें ऐसे बिंदु शामिल हैं जो निर्दिष्ट सीधी रेखा के सापेक्ष एक दूसरे के सममित हैं। देखिए: परवलय y = x 2 की मानी गई शाखा पर बिंदु (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16) हैं, और फ़ंक्शन पर ग्राफ़ में बिंदु (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4) हैं।

बिंदु (2; 4) और (4; 2), (3; 9) और (9; 3), (4; 16) और (16; 4) रेखा y = x के प्रति सममित हैं, (और बिंदु (0) ; 0 ) और (1; 1) इस रेखा पर स्थित हैं)। और सामान्य तौर पर, किसी भी बिंदु (ए; ए 2) के लिए फ़ंक्शन ग्राफ़ y = x 2 एक बिंदु (a 2 ; a) है जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सीधी रेखा y = x के संबंध में सममित है और इसके विपरीत। निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

सबूत।निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि ए और बी हैं सकारात्मक संख्या. त्रिभुज OAM और OVR पर विचार करें (चित्र 167)। वे बराबर हैं, जिसका अर्थ है ओपी = ओम और . परन्तु फिर चूँकि सीधी रेखा y = x कोण AOB का समद्विभाजक है। तो, त्रिभुज ROM समद्विबाहु है, OH इसका समद्विभाजक है, और इसलिए समरूपता की धुरी है। बिंदु एम और पी सीधी रेखा ओएच के संबंध में सममित हैं, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।
तो, फ़ंक्शन का ग्राफ़ सीधी रेखा y = x के बारे में समरूपता परिवर्तन का उपयोग करके फ़ंक्शन y = x 2, x>0 के ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है। इसी प्रकार, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ सीधी रेखा y = x के बारे में समरूपता परिवर्तन का उपयोग करके फ़ंक्शन y = x 3, x> 0 के ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है; किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ सीधी रेखा y = x, आदि के बारे में समरूपता परिवर्तन का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है। आइए हम याद करें कि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ दिखने में एक परवलय की शाखा जैसा दिखता है। n जितना बड़ा होगा, यह शाखा अंतराल में उतनी ही ऊपर की ओर बढ़ती है और बिंदु x = 0 के आसपास x अक्ष के करीब पहुंचती है (चित्र) .168).

आइए हम एक सामान्य निष्कर्ष तैयार करें: फ़ंक्शन का ग्राफ़ सीधी रेखा y = x के सापेक्ष फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सममित है (चित्र 169)।

कार्य गुण

1)
2) फलन न तो सम है और न ही विषम;
3) से बढ़ता है
4) ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित;
5) सबसे बड़ा महत्व नहीं है;
6) निरंतर;
7)

एक विचित्र परिस्थिति पर ध्यान दीजिये. आइए दो फ़ंक्शनों पर विचार करें, जिनके ग्राफ़ चित्र में दिखाए गए हैं। 169: हमने पहले फ़ंक्शन के लिए केवल सात गुण सूचीबद्ध किए हैं, लेकिन दूसरे फ़ंक्शन में बिल्कुल समान गुण हैं। दो के मौखिक "चित्र"। विभिन्न कार्यसमान हैं। लेकिन, आइए स्पष्ट करें, वे अभी भी वही हैं।

गणितज्ञ इस तरह के अन्याय को सहन नहीं कर सके जब अलग-अलग ग्राफ़ के साथ अलग-अलग कार्यों को मौखिक रूप से एक ही तरह से वर्णित किया गया, और ऊपर की ओर उत्तलता और नीचे की ओर उत्तलता की अवधारणाओं को पेश किया। फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर उत्तल है, जबकि फ़ंक्शन y = x n का ग्राफ नीचे की ओर उत्तल है।

आमतौर पर यह कहा जाता है कि एक सतत फलन नीचे की ओर उत्तल होता है, यदि उसके ग्राफ के किन्हीं दो बिंदुओं को एक सीधी रेखा खंड के साथ जोड़ने पर यह पता चलता है कि ग्राफ का संबंधित भाग खींचे गए खंड के नीचे स्थित है (चित्र 170); एक सतत फलन ऊपर की ओर उत्तल होता है यदि, उसके ग्राफ़ के किन्हीं दो बिंदुओं को एक सीधी रेखा खंड के साथ जोड़ने पर, यह पता चलता है कि ग्राफ़ का संगत भाग खींचे गए खंड के ऊपर स्थित है (चित्र 171)।

हम ग्राफ को पढ़ने की प्रक्रिया में उत्तलता गुण को भी शामिल करेंगे। आइए विचाराधीन फ़ंक्शन के लिए इसे नोट करें" (पहले वर्णित गुणों की संख्या को जारी रखते हुए):

8) फलन किरण पर ऊपर की ओर उत्तल होता है
पिछले अध्याय में, हम किसी फलन के एक अन्य गुण - अवकलनीयता से परिचित हुए; हमने देखा कि फलन y = x n किसी भी बिंदु पर अवकलनीय है, इसका अवकलज nx n-1 के बराबर है। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन y = x n के ग्राफ़ पर किसी भी बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में भी समान गुण होता है: किसी भी बिंदु पर ग्राफ़ पर स्पर्श रेखा खींचना संभव है। इस प्रकार, हम फ़ंक्शन की एक और संपत्ति पर ध्यान दे सकते हैं
9) फलन किसी भी बिंदु x > 0 पर अवकलनीय है।
कृपया ध्यान दें: हम बिंदु x = 0 पर फ़ंक्शन की भिन्नता के बारे में बात नहीं कर रहे हैं - इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात। x-अक्ष के लंबवत.
उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं
समाधान। 1) चलिए आगे बढ़ते हैं सहायक प्रणालीबिंदु (-1; -4) पर मूल बिंदु के साथ समन्वय करता है - चित्र में बिंदीदार रेखाएं x = -1 और y = -4। 172.
2) फ़ंक्शन को "बाइंड" करें नई प्रणाली COORDINATES यह आवश्यक शेड्यूल होगा.
उदाहरण 2.प्रश्न हल करें

समाधान। पहला तरीका. 1) आइए दो कार्यों का परिचय दें
2) आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

3) आइए रैखिक फलन y=2-x का एक ग्राफ बनाएं (चित्र 173 देखें)।

4) निर्मित ग्राफ़ एक बिंदु A पर प्रतिच्छेद करते हैं, और ग्राफ़ से हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि बिंदु A के निर्देशांक इस प्रकार हैं: (1; 1)। जाँच से पता चलता है कि वास्तव में बिंदु (1; 1) फ़ंक्शन के ग्राफ़ और फ़ंक्शन y=2-x के ग्राफ़ दोनों से संबंधित है। इसका मतलब है कि हमारे समीकरण का एक मूल है: x = 1 - बिंदु A का भुज।

दूसरा तरीका.
चित्र में प्रस्तुत ज्यामितीय मॉडल। 173, को निम्नलिखित कथन द्वारा स्पष्ट रूप से चित्रित किया गया है, जो कभी-कभी आपको समीकरण को बहुत सुंदर ढंग से हल करने की अनुमति देता है (और जिसका उपयोग हमने उदाहरण 2 को हल करते समय पहले ही § 35 में किया था):

यदि फ़ंक्शन y=f(x) बढ़ता है, और फ़ंक्शन y=g(x) घटता है, और यदि समीकरण f(x)=g(x) का एक मूल है, तो केवल एक ही है।

यहां बताया गया है कि, इस कथन के आधार पर, हम दिए गए समीकरण को कैसे हल कर सकते हैं:

1) ध्यान दें कि x = 1 के लिए समानता कायम है, जिसका अर्थ है कि x = 1 समीकरण का मूल है (हमने इस मूल का अनुमान लगाया है);
2) फलन y=2-x घटता है, और फलन बढ़ता है; इसका मतलब यह है कि दिए गए समीकरण का केवल एक ही मूल है, और यह मूल ऊपर पाया गया मान x = 1 है।

उत्तर: एक्स = 1.

अभी तक हमने केवल गैर-नकारात्मक तर्क मानों के लिए फ़ंक्शन के बारे में बात की है। लेकिन यदि n एक विषम संख्या है, तो अभिव्यक्ति x के लिए भी समझ में आती है<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

वास्तव में, सूचीबद्ध संपत्तियों में केवल एक संपत्ति जोड़ी जाएगी:

यदि n एक विषम संख्या है (n = 3.5, 7,...), तो यह एक विषम फलन है।

वास्तव में, मान लीजिए कि ऐसे परिवर्तन एक विषम घातांक n के लिए सत्य हैं। तो, f(-x) = -f(x), और इसका मतलब है कि फ़ंक्शन विषम है।

विषम घातांक n के मामले में किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है? जब जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 169, वांछित ग्राफ़ की एक शाखा है। इसमें एक शाखा जोड़कर जो निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष इसके सममित है (जो, याद रखें, किसी भी विषम फ़ंक्शन के लिए विशिष्ट है), हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ प्राप्त करते हैं (चित्र 174)। ध्यान दें कि y-अक्ष x = 0 पर ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है।
तो चलिए इसे दोबारा दोहराते हैं:
यदि n एक सम संख्या है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ का रूप चित्र में दिखाया गया है। 169;
यदि n एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ का रूप चित्र में दिखाया गया है। 174.

उदाहरण 3.फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ बनाएं और पढ़ें, जहां
समाधान।सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और उसके भाग को किरण पर हाइलाइट करें (चित्र 175)।
फिर हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएंगे और खुले बीम पर इसके भाग का चयन करेंगे (चित्र 176)। अंत में, हम दोनों "टुकड़ों" को एक ही समन्वय प्रणाली में चित्रित करेंगे - यह फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ होगा (चित्र 177)।
आइए हम फ़ंक्शन y = f(x) के गुणों को सूचीबद्ध करें (प्लॉट किए गए ग्राफ़ के आधार पर):

1)
2) न तो सम और न ही विषम;
3) किरण पर घटता है, किरण पर बढ़ता है
4) नीचे से सीमित नहीं, ऊपर से सीमित;
5) कोई न्यूनतम मान नहीं है, a (बिंदु x = 1 पर प्राप्त);
6) निरंतर;
7)
8) पर नीचे की ओर उत्तल, खंड पर ऊपर की ओर उत्तल, पर नीचे की ओर उत्तल
9) बिंदु x = 0 और x = 1 को छोड़कर फ़ंक्शन हर जगह भिन्न है।
10) फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है, जिसका अर्थ है, उसे याद रखें

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें:

समाधान,ए) सम डिग्री रूट के चिह्न के नीचे एक गैर-नकारात्मक संख्या होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि समस्या असमानता को हल करने के लिए आती है
बी) कोई भी संख्या विषम मूल के चिह्न के अंतर्गत हो सकती है, जिसका अर्थ है कि यहां x पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, अर्थात। डी(एफ) = आर.
ग) अभिव्यक्ति समझ में आती है बशर्ते कि एक अभिव्यक्ति का अर्थ है कि दो असमानताओं को एक साथ संतुष्ट किया जाना चाहिए: वे। समस्या असमानताओं की प्रणाली को हल करने के लिए आती है:

असमानता का समाधान
आइए असमानता को हल करें आइए असमानता के बाईं ओर का गुणनखंड करें: असमानता का बाईं ओर बिंदु -4 और 4 पर 0 हो जाता है। आइए इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर चिह्नित करें (चित्र 178)। संख्या रेखा को संकेतित बिंदुओं द्वारा तीन अंतरालों में विभाजित किया गया है, और प्रत्येक अंतराल पर अभिव्यक्ति p(x) = (4-x)(4 + x) एक स्थिर चिह्न बनाए रखती है (संकेत चित्र 178 में दर्शाए गए हैं)। वह अंतराल जिस पर असमानता p(x)>0 कायम है, चित्र में छायांकित है। 178. समस्या की शर्तों के अनुसार, हम उन बिंदुओं x में भी रुचि रखते हैं जिन पर समानता p(x) = 0 है। ऐसे दो बिंदु हैं: x = -4, x = 4 - वे चित्र में अंकित हैं . 178 काले घेरे. इस प्रकार, चित्र में. 178 प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करने के लिए एक ज्यामितीय मॉडल प्रस्तुत करता है।

आइए सिस्टम की पहली और दूसरी असमानताओं के पाए गए समाधानों को एक ही समन्वय रेखा पर चिह्नित करें, पहले के लिए ऊपरी हैच और दूसरे के लिए निचली हैच का उपयोग करें (चित्र 179)। असमानताओं की प्रणाली का समाधान प्रणाली की असमानताओं के समाधानों का प्रतिच्छेदन होगा, अर्थात। वह अंतराल जहां दोनों हैच मेल खाते हैं। ऐसा अंतराल खंड [-1,4] है।

उत्तर।डी(एफ) = [-1.4]।

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित 10वीं कक्षा

गणित में कैलेंडर-विषयगत योजना, वीडियोऑनलाइन गणित में, स्कूल में गणित

फ़ंक्शन y=√x पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=√x

जैसा कि आप देख सकते हैं, ग्राफ़ एक घुमाए गए परवलय, या बल्कि इसकी शाखाओं में से एक जैसा दिखता है। हमें परवलय x=y^2 की एक शाखा मिलती है। चित्र से यह देखा जा सकता है कि ग्राफ़ ओए अक्ष को केवल एक बार, निर्देशांक (0;0) वाले बिंदु पर छूता है।
अब यह इस फ़ंक्शन के मुख्य गुणों पर ध्यान देने योग्य है।

फ़ंक्शन के गुण y=√x

1. किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र एक किरण है)