प्राकृतिक संख्याएँ (एन)। अभाज्य और भाज्य संख्याएँ। भाजक, एकाधिक. महत्तम समापवर्तक, लघुत्तम समापवर्तक। लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक गुणन। गुणक * गुणक = उत्पाद

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय = (1, 2, 3...). अर्थात् प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय होता है। जोड़, गुणा, घटाव और भाग की संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं पर परिभाषित की जाती हैं। दो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने, गुणा करने और घटाने का परिणाम एक पूर्ण संख्या है। दो प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम पूर्णांक या भिन्न हो सकता है।

उदाहरण के लिए: 20: 4 = 5 - विभाजन का परिणाम एक पूर्णांक है।
20: 3 = 6 2/3 - विभाजन का परिणाम एक भिन्न है।
एक प्राकृतिक संख्या n को एक प्राकृतिक संख्या m से विभाज्य कहा जाता है यदि विभाजन का परिणाम एक पूर्णांक है। इस स्थिति में, संख्या m को संख्या n का भाजक कहा जाता है, और संख्या n को संख्या m का गुणज कहा जाता है।

पहले उदाहरण में, संख्या 20, 4 से विभाज्य है, 4, 20 का भाजक है, और 20, 4 का गुणज है।
दूसरे उदाहरण में, संख्या 20, संख्या 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए भाजक और गुणज का कोई प्रश्न नहीं हो सकता है।

एक संख्या n को अभाज्य कहा जाता है यदि इसमें स्वयं और एक के अलावा कोई विभाजक न हो। अभाज्य संख्याओं के उदाहरण: 2, 7, 11, 97, आदि।
एक संख्या n को समग्र कहा जाता है यदि इसमें स्वयं और एक के अलावा अन्य भाजक हों।

किसी भी प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है, और यह अपघटन गुणनखंडों के क्रम तक अद्वितीय होता है। उदाहरण के लिए: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - ये सभी विस्तार केवल कारकों के क्रम में भिन्न हैं।

दो संख्याओं m और n का सबसे बड़ा सामान्य भाजक सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या है जो m और n दोनों का भाजक है। उदाहरण के लिए, संख्या 34 और 85 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड 17 है।

दो संख्याओं m और n का लघुत्तम समापवर्त्य सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो m और n दोनों का गुणज है। उदाहरण के लिए, संख्या 15 और 4 का लघुत्तम समापवर्तक 60 है।

एक प्राकृतिक संख्या, जो दो अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है, उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई संख्या 2 और 3 से विभाज्य है, तो वह 6 = 2 3 से विभाज्य है, यदि 11 और 7 से विभाज्य है, तो 77 से विभाज्य है।

उदाहरण: संख्या 6930, 11 - 6930: 11 = 630 से विभाज्य है, और 7 - 6930: 7 = 990 से विभाज्य है। हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह संख्या 77 से भी विभाज्य है। आइए जाँच करें: 6930: 77 = 90।

संख्या n को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिदम:

1. संख्या n (1 के अलावा) - a1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात कीजिए।
2. भागफल को n1 दर्शाते हुए संख्या n को a1 से विभाजित करें।
3. n=a1 n1.
4. हम n1 के साथ वही ऑपरेशन करते हैं जब तक हमें एक अभाज्य संख्या नहीं मिल जाती।

उदाहरण: संख्या 17,136 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें

1. 1 के अलावा सबसे छोटा अभाज्य भाजक, यहाँ 2 है।

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. 8568 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 2 है।

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. 4284 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 2 है।

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. 2142 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 2 है।

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. 1071 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 3 है।

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. 357 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 3 है।

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. 119 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 7 है।

20. 119: 7 = 17;

21. 17 एक अभाज्य संख्या है, जिसका अर्थ है 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

हमने संख्या 17,136 का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन प्राप्त किया है।

प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य गुणजएऔरबीएक संख्या है जो इनमें से प्रत्येक संख्या का गुणज है।

सभी सामान्य गुणजों में से सबसे छोटी संख्या एऔर बीबुलाया इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य.

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य एऔर बीआइए हम K को निरूपित करने के लिए सहमत हों( ए, बी).

उदाहरण के लिए, दो संख्याएँ 12 और 18 इनके सामान्य गुणज हैं: 36, 72, 108, 144, 180, आदि। संख्या 36, संख्या 12 और 18 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है। आप लिख सकते हैं: K(12, 18) = 36।

लघुत्तम समापवर्त्य के लिए निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1. संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य एऔर बी

2. संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य एऔर बीइन संख्याओं में से बड़ी संख्या से कम नहीं, अर्थात्। अगर एक >बी, फिर K( ए, बी) ≥ ए.

3. संख्याओं का कोई भी सामान्य गुणज एऔर बीउनके लघुत्तम समापवर्त्य से विभाजित किया जाता है।

महत्तम सामान्य भाजक

प्राकृत संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक a औरबीएक संख्या है जो दी गई संख्याओं में से प्रत्येक का भाजक है.

संख्याओं के सभी सामान्य विभाजकों में से सबसे बड़ी संख्या एऔर बीइन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एऔर बीआइए हम D को निरूपित करने के लिए सहमत हों( ए, बी).

उदाहरण के लिए, संख्या 12 और 18 के लिए, सामान्य भाजक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 6। संख्या 6 12 और 18 है। आप लिख सकते हैं: D(12, 18) = 6।

संख्या 1 किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य भाजक है एऔर बी. यदि इन संख्याओं में कोई अन्य सामान्य भाजक नहीं है, तो D( ए, बी) = 1, और संख्याएँ एऔर बीकहा जाता है परस्पर प्रधान.

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 14 और 15 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, क्योंकि D(14, 15) = 1।

सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1. संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर बीसदैव अस्तित्व में है और अद्वितीय है।

2. संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर बीदी गई संख्याओं में से छोटी संख्या से अधिक नहीं है, अर्थात अगर ए< बी, वह डी(ए, बी) ≤ एक।

3. संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर बीइन संख्याओं के किसी भी सामान्य भाजक से विभाज्य है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणज एऔर बीऔर उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक परस्पर संबंधित हैं: सबसे छोटे सामान्य गुणज और संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक का गुणनफल एऔर बीइन संख्याओं के गुणनफल के बराबर, अर्थात्। क( ए, बी)·डी( ए, बी) = ए· बी.

इस कथन से निम्नलिखित परिणाम निकलते हैं:

a) दो परस्पर अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात। डी( ए, बी) = 1 => के( ए, बी) = ए· बी;

उदाहरण के लिए, संख्या 14 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, उन्हें गुणा करना पर्याप्त है, क्योंकि D(14, 15) = 1।

बी) एसहअभाज्य संख्याओं के गुणनफल से विभाजित किया जाता है एमऔर एन, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह विभाज्य है एम, और पर एन.

यह कथन संख्याओं द्वारा विभाज्यता का संकेत है जिसे दो अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है।

ग) दो दी गई संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने पर प्राप्त भागफल अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं।

इस संपत्ति का उपयोग दी गई संख्याओं के पाए गए सबसे बड़े सामान्य भाजक की शुद्धता की जांच करते समय किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए देखें कि क्या संख्या 12, संख्या 24 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ऐसा करने के लिए, अंतिम कथन के अनुसार, हम 24 और 36 को 12 से विभाजित करते हैं। हमें क्रमशः संख्या 2 और 3 प्राप्त होती हैं, जो सहअभाज्य हैं. इसलिए, D(24, 36)=12।

समस्या 32. 6 से विभाज्यता का परीक्षण बनाएं और सिद्ध करें।

समाधान एक्स 6 से विभाज्य, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह 2 और 3 से विभाज्य हो।

चलो संख्या एक्स 6 से विभाज्य है। फिर इस तथ्य से कि एक्स 6 और 62, यह उसका अनुसरण करता है एक्स 2. और इस तथ्य से कि एक्स 6 और 63, यह उसका अनुसरण करता है एक्स 3. हमने सिद्ध किया कि किसी संख्या को 6 से विभाज्य होने के लिए उसे 2 और 3 से विभाज्य होना चाहिए।

आइए हम इस स्थिति की पर्याप्तता दिखाएं। क्योंकि एक्स 2 और एक्स 3, फिर एक्स- संख्या 2 और 3 का सामान्य गुणज। संख्याओं का कोई भी सामान्य गुणज उनके लघुत्तम गुणज से विभाजित होता है, जिसका अर्थ है एक्सके(2;3).

चूँकि D(2, 3)=1, तो K(2, 3)=2·3=6. इस तरह, एक्स 6.

समस्या 33. 12, 15 और 60 तक सूत्रित करें।

समाधान. एक प्राकृतिक संख्या के लिए एक्स 12 से विभाज्य, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह 3 और 4 से विभाज्य हो।

एक प्राकृतिक संख्या के लिए एक्स 15 से विभाज्य, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह 3 और 5 से विभाज्य हो।

एक प्राकृतिक संख्या के लिए एक्स 60 से विभाज्य, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह 4, 3 और 5 से विभाज्य हो।

समस्या 34.संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि के( ए, बी)=75, ए· बी=375.

समाधान।सूत्र K का उपयोग करना( ए,बी)·डी( ए,बी)=ए· बी, आवश्यक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए एऔर बी:

डी( ए, बी) === 5.

फिर आवश्यक संख्याओं को प्रपत्र में दर्शाया जा सकता है ए= 5आर, बी= 5क्यू, कहाँ पीऔर क्यू पीऔर 5 क्यूसमानता में ए बी= 275. आइए 5 प्राप्त करें पी·5 क्यू=375 या पी· क्यू=15. हम परिणामी समीकरण को दो चरों के साथ चयन द्वारा हल करते हैं: हम अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के जोड़े पाते हैं जिनका गुणनफल 15 के बराबर होता है। ऐसे दो जोड़े हैं: (3, 5) और (1, 15)। इसलिए, आवश्यक संख्याएँ एऔर बीहैं: 15 और 25 या 5 और 75।

समस्या 35.संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि D( ए, बी) = 7 और ए· बी= 1470.

समाधान. चूंकि डी( ए, बी) = 7, तो आवश्यक संख्याओं को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है ए= 7आर, बी= 7क्यू, कहाँ पीऔर क्यूपरस्पर अभाज्य संख्याएँ हैं। आइए भाव 5 को प्रतिस्थापित करें आरऔर 5 क्यूसमानता में ए बी = 1470. फिर 7 पी·7 क्यू= 1470 या पी· क्यू= 30। हम परिणामी समीकरण को दो चरों के साथ चयन द्वारा हल करते हैं: हम अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के जोड़े पाते हैं जिनका गुणनफल 30 के बराबर होता है। ऐसे चार जोड़े हैं: (1, 30), (2, 15), (3, 10) ), (5, 6). इसलिए, आवश्यक संख्याएँ एऔर बीहैं: 7 और 210, 14 और 105, 21 और 70, 35 और 42।

समस्या 36.संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि D( ए, बी) = 3 और ए:बी= 17:14.

समाधान. क्योंकि ए:बी= 17:14, फिर ए= 17आरऔर बी= 14पी, कहाँ आर- संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एऔर बी. इस तरह, ए= 17·3 = 51, बी= 14·3 = 42.

समस्या 37.संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि K( ए, बी) = 180, ए:बी= 4:5.

समाधान. क्योंकि ए: बी=4:5 फिर ए=4आरऔर बी=5आर, कहाँ आर- संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एऔर बी. तब आर·180=4 आर·5 आर. कहाँ आर=9. इस तरह, ए= 36 और बी=45.

समस्या 38.संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि D( ए,बी)=5, के( ए,बी)=105.

समाधान. चूंकि डी( ए, बी) क( ए, बी) = ए· बी, वह ए· बी= 5 105 = 525। इसके अलावा, आवश्यक संख्याओं को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है ए= 5आरऔर बी= 5क्यू, कहाँ पीऔर क्यूपरस्पर अभाज्य संख्याएँ हैं। आइए भाव 5 को प्रतिस्थापित करें आरऔर 5 क्यूसमानता में ए· बी= 525. फिर 5 पी·5 क्यू=525 या पी· क्यू=21. हमें अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के जोड़े मिलते हैं जिनका गुणनफल 21 के बराबर होता है। ऐसे दो जोड़े हैं: (1, 21) और (3, 7)। इसलिए, आवश्यक संख्याएँ एऔर बीहैं: 5 और 105, 15 और 35।

समस्या 39.उस संख्या को सिद्ध करें एन(2एन+ 1)(7एन+1) किसी भी प्राकृतिक के लिए 6 से विभाज्य है एन.

समाधान. संख्या 6 समग्र है; इसे दो अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है: 6 = 2·3। यदि हम सिद्ध करते हैं कि कोई दी गई संख्या 2 और 3 से विभाज्य है, तो किसी भाज्य संख्या से विभाज्यता के परीक्षण के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वह 6 से विभाज्य है।

यह सिद्ध करने के लिए कि संख्या एन(2एन+ 1)(7एन+1) 2 से विभाज्य है, हमें दो संभावनाओं पर विचार करने की आवश्यकता है:

1) एन 2 से विभाज्य है, अर्थात एन= 2क. फिर उत्पाद एन(2एन+ 1)(7एन+1) ऐसा दिखेगा: 2 क(4क+ 1)(14क+1). यह उत्पाद 2 से विभाज्य है, क्योंकि पहला गुणनखंड 2 से विभाज्य है;

2) एन 2 से विभाज्य नहीं है, अर्थात एन= 2क+ 1. फिर उत्पाद एन(2एन+ 1 )(7एन+1) ऐसा दिखेगा: (2 क+ 1)(4क+ 3)(14क+8). यह उत्पाद 2 से विभाज्य है, क्योंकि अंतिम गुणनखंड 2 से विभाज्य है।

उस कार्य को सिद्ध करने के लिए एन(2एन+ 1)(7एन+1) 3 से विभाज्य है, तीन संभावनाओं पर विचार करने की आवश्यकता है:

1) एन 3 से विभाज्य है, अर्थात एन= 3क. फिर उत्पाद एन(2एन+ 1)(7एन+1) ऐसा दिखेगा: 3 क(6क+ 1)(21क+1). यह गुणनफल 3 से विभाज्य है, क्योंकि पहला गुणनखंड 3 से विभाज्य है;

2) एनजब 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होता है, अर्थात। एन= 3क+ 1. फिर उत्पाद एन(2एन+ 1)(7एन+1) ऐसा दिखेगा: (3 क+ 1)(6क+ 3)(21क+8). यह गुणनफल 3 से विभाज्य है, क्योंकि दूसरा गुणनखंड 3 से विभाज्य है;

3) एनजब 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 2 होता है, अर्थात एन= 3क+ 2. फिर उत्पाद एन(2एन+ 1)(7एन+1) ऐसा दिखेगा: (3 क+ 2)(6क+ 5)(21क+15). यह गुणनफल 3 से विभाज्य है, क्योंकि अंतिम गुणनखंड 3 से विभाज्य है.

तो, यह सिद्ध हो गया है कि उत्पाद एन(2एन+ 1)(7एन+1) 2 और 3 से विभाज्य है। इसका मतलब यह है कि यह 6 से विभाज्य है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. दो संख्याएँ दी गई हैं: 50 और 75। सेट लिखिए:

ए) संख्या 50 के विभाजक; बी) संख्या 75 के विभाजक; ग) दी गई संख्याओं के सामान्य भाजक।

50 और 75 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक क्या है?

2. क्या संख्या 375 संख्याओं का एक सामान्य गुणज है: ए) 125 और 75; बी) 85 और 15?

3. संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि K( ए, बी) = 105, ए· बी= 525.

4. संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि D( ए, बी) = 7, ए· बी= 294.

5. संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि D( ए, बी) = 5, ए:बी= 13:8.

6. संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि K( ए, बी) = 224, ए:बी= 7:8.

7. संख्याएँ खोजें एऔर बी, यदि यह ज्ञात हो कि D( ए, बी) = 3, के( ए; बी) = 915.

8. 15 से विभाज्यता का परीक्षण सिद्ध करें।

9. 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 संख्याओं के समुच्चय में से वे संख्याएँ लिखिए जो 12 से विभाज्य हैं।

10. 18, 36, 45, 75 से विभाज्यता के मानदंड बनाइये।

सारांश के मुख्य शब्द:पूर्णांक. प्राकृतिक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ। प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता. अभाज्य और भाज्य संख्याएँ। किसी प्राकृत संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करना। 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11 से विभाज्यता चिह्न। सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी), साथ ही सबसे छोटा सामान्य गुणक (एलसीडी)। शेषफल सहित विभाजन.

पूर्णांकों- ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को गिनने के लिए किया जाता है - 1, 2, 3, 4 , ... लेकिन संख्या 0 प्राकृतिक नहीं है!

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय किसके द्वारा निरूपित किया जाता है? एन. अभिलेख "3 ∈ एन"इसका मतलब है कि संख्या तीन प्राकृतिक संख्याओं के समूह और अंकन से संबंधित है "0 ∉ एन"इसका मतलब है कि संख्या शून्य इस सेट से संबंधित नहीं है।

दशमलव संख्या प्रणाली- स्थितीय मूलांक संख्या प्रणाली 10 .

प्राकृतिक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

प्राकृत संख्याओं के लिए निम्नलिखित क्रियाएँ परिभाषित हैं: जोड़, घटाव, गुणा, भाग,घातांक, जड़ निष्कर्षण. प्रथम चार क्रियाएँ हैं अंकगणित.

मान लीजिए a, b और c प्राकृतिक संख्याएँ हैं

1. अतिरिक्त. पद + पद = योग

जोड़ के गुण
1. संचारी ए + बी = बी + ए।
2. संयोजक a + (b + c) = (a + b) + c.
3. ए + 0= 0 + ए = ए.

2. घटाना. मीनूएंड - सबट्रेंड = अंतर

घटाव के गुण
1. संख्या a - (b + c) = a - b - c से योग घटाने पर।
2. योग से एक संख्या घटाना (ए + बी) - सी = ए + (बी - सी); (ए + बी) - सी = (ए - सी) + बी।
3. ए - 0 = ए.
4. ए - ए = 0.

3. गुणन. गुणक * गुणक = उत्पाद

गुणन के गुण
1. संचारी ए*बी = बी*ए।
2. संयोजक a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * ए = ए * 1 = ए।
4. 0 * ए = ए * 0 = 0.
5. वितरण (ए + बी) * सी = एसी + बीसी; (ए - बी) * सी = एसी - बीसी।

4. प्रभाग. लाभांश: भाजक = भागफल

विभाजन के गुण
1. ए: 1 = ए.
2. ए: ए = 1. आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!
3. 0: ए= 0.

प्रक्रिया

1. सबसे पहले, कोष्ठक में क्रियाएँ।
2. फिर गुणा, भाग.
3. और केवल अंत में जोड़ और घटाव।

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता. अभाज्य और भाज्य संख्याएँ।

किसी प्राकृत संख्या का भाजक एवह प्राकृतिक संख्या है जिसका एशेषफल के बिना विभाजित. संख्या 1 किसी भी प्राकृत संख्या का भाजक है।

प्राकृतिक संख्या कहलाती है सरल, अगर यह केवल है दोभाजक: एक और संख्या ही. उदाहरण के लिए, संख्याएँ 2, 3, 11, 23 अभाज्य संख्याएँ हैं।

वह संख्या जिसमें दो से अधिक भाजक हों, कहलाती है कम्पोजिट. उदाहरण के लिए, संख्याएँ 4, 8, 15, 27 भाज्य संख्याएँ हैं।

विभाज्यता परीक्षण काम करता हैकई संख्याएँ: यदि कम से कम एक कारक एक निश्चित संख्या से विभाज्य है, तो उत्पाद भी इस संख्या से विभाज्य है। काम 24 15 77 द्वारा विभाजित 12 , इस संख्या के गुणक के बाद से 24 द्वारा विभाजित 12 .

किसी राशि (अंतर) के लिए विभाज्यता परीक्षणसंख्याएँ: यदि प्रत्येक पद एक निश्चित संख्या से विभाज्य है, तो संपूर्ण योग उस संख्या से विभाजित होता है। अगर ए: बीऔर सी: बी, वह (ए + सी) : बी. और अगर ए: बी, ए सीसे विभाज्य नहीं है बी, वह ए+सीकिसी संख्या से विभाज्य नहीं बी.

अगर एसीऔर सी: बी, वह ए: बी. इस तथ्य के आधार पर कि 72:24 और 24:12, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 72:12।

किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में निरूपित करना कहलाता है किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना.

अंकगणित का मौलिक प्रमेय: कोई भी प्राकृत संख्या (सिवाय 1 ) या है सरल, या इसे केवल एक ही तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, विभाज्यता के संकेतों का उपयोग किया जाता है और "स्तंभ" अंकन का उपयोग किया जाता है, इस मामले में, भाजक ऊर्ध्वाधर रेखा के दाईं ओर स्थित होता है, और भागफल को लाभांश के नीचे लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, कार्य: किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करना 330 . समाधान:

में विभाज्यता के लक्षण 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 और 11.

में विखंडन के संकेत हैं 6, 15, 45 इत्यादि, यानी उन संख्याओं में जिनके गुणनफल को गुणनखंडित किया जा सकता है 2, 3, 5, 9 और 10 .

महत्तम सामान्य भाजक

वह सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या जिससे दी गई दो प्राकृतिक संख्याओं में से प्रत्येक विभाज्य हो, कहलाती है महत्तम सामान्य भाजकये संख्याएँ ( जीसीडी). उदाहरण के लिए, जीसीडी (10; 25) = 5; और जीसीडी (18; 24) = 6; जीसीडी (7; 21) = 1.

यदि दो प्राकृतिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक बराबर है 1 , तो इन नंबरों पर कॉल किया जाता है परस्पर प्रधान.

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए एल्गोरिदम(सिर हिलाकर सहमति देना)

जीसीडी का प्रयोग अक्सर समस्याओं में किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक कक्षा में छात्रों के बीच 155 नोटबुक और 62 पेन समान रूप से विभाजित किए गए थे। इस कक्षा में कितने छात्र हैं?

समाधान: इस कक्षा में छात्रों की संख्या ज्ञात करने से संख्या 155 और 62 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात होता है, क्योंकि नोटबुक और पेन को समान रूप से विभाजित किया गया था। 155 = 5 31; 62 = 2 31. जीसीडी (155; 62) = 31.

उत्तर: कक्षा में 31 छात्र।

न्यूनतम समापवर्तक

एक प्राकृतिक संख्या के गुणज एएक प्राकृतिक संख्या है जो विभाज्य है एएक का पता लगाए बिना। उदाहरण के लिए, संख्या 8 गुणक हैं: 8, 16, 24, 32 , ... कोई भी प्राकृत संख्या होती है अपरिमित रूप से अनेक गुणज।

न्यूनतम समापवर्तक(LCM) सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इन संख्याओं का गुणज है।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम ( अनापत्ति प्रमाण पत्र):

एलसीएम का उपयोग अक्सर समस्याओं में भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, दो साइकिल चालक एक साथ एक साइकिल ट्रैक पर एक ही दिशा में चल पड़े। एक 1 मिनट में वृत्त बनाता है, और दूसरा 45 सेकंड में। आंदोलन शुरू होने के बाद न्यूनतम कितने मिनट में वे शुरुआत में मिलेंगे?

समाधान: प्रारंभ में वे जिन मिनटों के बाद दोबारा मिलेंगे, उन्हें उससे विभाजित किया जाना चाहिए 1 मिनट, साथ ही साथ 45 एस. 1 मिनट में = 60 सेकंड. अर्थात LCM (45; 60) ज्ञात करना आवश्यक है। 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. एलसीएम (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. परिणाम यह है कि साइकिल चालक प्रारंभ में 180 सेकेंड = 3 मिनट में मिलेंगे।

उत्तर: 3 मिनट.

शेषफल सहित विभाजन

यदि एक प्राकृतिक संख्या एप्राकृतिक संख्या से विभाज्य नहीं है बी, तो आप कर सकते हैं शेषफल के साथ विभाजन. इस स्थिति में, परिणामी भागफल कहा जाता है अधूरा. समानता उचित है:

ए = बी एन + आर,

कहाँ ए- विभाज्य, बी-विभाजक, एन- अपूर्ण भागफल, आर- शेष. उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि लाभांश बराबर है 243 , विभाजक - 4 , तब 243: 4 = 60 (शेष 3). अर्थात्, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, तो 243 = 60 4 + 3 .

वे संख्याएँ जिनसे विभाज्य हैं 2 बिना शेष के, कहलाते हैं यहां तक ​​की: ए = 2एन, एन ∈ एन।

बाकी नंबरों को कॉल किया जाता है विषम: बी = 2एन + 1, एन ∈ एन।

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