किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें। बड़ी संख्या का मूल निकालना

जड़ कैसे निकाले संख्या से. इस लेख में हम सीखेंगे कि चार और पांच अंकों की संख्याओं का वर्गमूल कैसे निकाला जाता है।

आइए उदाहरण के तौर पर 1936 का वर्गमूल लें।

इस तरह, .

संख्या 1936 में अंतिम अंक संख्या 6 है। संख्या 4 और संख्या 6 का वर्ग 6 पर समाप्त होता है। इसलिए, 1936 संख्या 44 या संख्या 46 का वर्ग हो सकता है। इसे गुणा करके जांचना बाकी है।

मतलब,

आइए संख्या 15129 का वर्गमूल लें।

इस तरह, .

संख्या 15129 में अंतिम अंक संख्या 9 है। संख्या 3 और संख्या 7 का वर्ग 9 पर समाप्त होता है। इसलिए, 15129 संख्या 123 या संख्या 127 का वर्ग हो सकता है। आइए गुणन का उपयोग करके जांच करें।

मतलब,

जड़ कैसे निकालें - वीडियो

और अब मेरा सुझाव है कि आप अन्ना डेनिसोवा का वीडियो देखें - "जड़ कैसे निकालें ", साइट के लेखक" सरल भौतिकी", जिसमें वह बताती हैं कि बिना कैलकुलेटर के वर्ग और घनमूल कैसे खोजें।

वीडियो में जड़ें निकालने के कई तरीकों पर चर्चा की गई है:

1. वर्गमूल निकालने का सबसे आसान तरीका.

2. योग के वर्ग का प्रयोग करके चयन करें।

3. बेबीलोनियन पद्धति.

4. किसी कॉलम का वर्गमूल निकालने की विधि.

5. घनमूल निकालने का एक त्वरित तरीका।

6. एक कॉलम में घनमूल निकालने की विधि.

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कैलकुलेटर से पहले, छात्र और शिक्षक हाथ से वर्गमूल की गणना करते थे। किसी संख्या का वर्गमूल मैन्युअल रूप से निकालने के कई तरीके हैं। उनमें से कुछ केवल अनुमानित समाधान प्रस्तुत करते हैं, अन्य सटीक उत्तर देते हैं।

कदम

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

मूलांक को उन गुणनखंडों में विभाजित करें जो वर्ग संख्याएँ हैं।मूलांक के आधार पर आपको अनुमानित या सटीक उत्तर मिलेगा। वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनसे पूरा वर्गमूल निकाला जा सकता है। गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 8 के गुणनखंड 2 और 4 हैं, चूँकि 2 x 4 = 8, संख्याएँ 25, 36, 49 वर्ग संख्याएँ हैं, चूँकि √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. वर्ग गुणनखंड कारक हैं, जो वर्ग संख्याएँ हैं। सबसे पहले, मूलांक को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें।

• उदाहरण के लिए, 400 के वर्गमूल की गणना करें (हाथ से)। सबसे पहले 400 को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें। 400, 100 का गुणज है, अर्थात 25 से विभाज्य - यह एक वर्ग संख्या है। 400 को 25 से विभाजित करने पर 16 प्राप्त होता है। संख्या 16 भी एक वर्ग संख्या है। इस प्रकार, 400 को 25 और 16 के वर्ग गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 25 x 16 = 400।
• इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: √400 = √(25 x 16).

1. कुछ पदों के गुणनफल का वर्गमूल प्रत्येक पद के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात √(a x b) = √a x √b। प्रत्येक वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लेने के लिए इस नियम का उपयोग करें और उत्तर खोजने के लिए परिणामों को गुणा करें।

   • हमारे उदाहरण में, 25 और 16 का मूल लें।
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. यदि मूल संख्या दो वर्ग गुणनखंडों में गुणनखंडित नहीं होती है (और ज्यादातर मामलों में ऐसा होता है), तो आप पूर्ण संख्या के रूप में सटीक उत्तर नहीं ढूंढ पाएंगे। लेकिन आप मूल संख्या को एक वर्ग गुणनखंड और एक साधारण गुणनखंड (एक ऐसी संख्या जिससे संपूर्ण वर्गमूल नहीं लिया जा सकता) में विघटित करके समस्या को सरल बना सकते हैं। फिर आप वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लेंगे और उभयनिष्ठ गुणनखंड का मूल लेंगे।

   • उदाहरण के लिए, संख्या 147 के वर्गमूल की गणना करें। संख्या 147 को दो वर्ग कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: 49 और 3। समस्या को निम्नानुसार हल करें:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. यदि आवश्यक हो तो जड़ के मूल्य का अनुमान लगाएं।अब आप मूलांक के निकटतम (संख्या रेखा के दोनों ओर) वर्ग संख्याओं के मूलों के मानों से तुलना करके मूल के मान का अनुमान (अनुमानित मान ज्ञात करें) लगा सकते हैं। आपको मूल मान दशमलव अंश के रूप में प्राप्त होगा, जिसे मूल चिह्न के पीछे की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए।

   • आइए अपने उदाहरण पर वापस लौटें। मूलांक संख्या 3 है। इसके निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 1 (√1 = 1) और 4 (√4 = 2) होंगी। इस प्रकार, √3 का मान 1 और 2 के बीच स्थित है। चूँकि √3 का मान संभवतः 1 की तुलना में 2 के करीब है, हमारा अनुमान है: √3 = 1.7। हम इस मान को मूल चिन्ह की संख्या से गुणा करते हैं: 7 x 1.7 = 11.9। यदि आप कैलकुलेटर पर गणित करते हैं, तो आपको 12.13 मिलेगा, जो हमारे उत्तर के काफी करीब है।
     • यह विधि बड़ी संख्याओं के साथ भी काम करती है। उदाहरण के लिए, √35 पर विचार करें। मूलांक संख्या 35 है। इसके निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 25 (√25 = 5) और 36 (√36 = 6) होंगी। इस प्रकार, √35 का मान 5 और 6 के बीच स्थित है। चूँकि √35 का मान 5 की तुलना में 6 के बहुत करीब है (क्योंकि 35, 36 से केवल 1 कम है), हम कह सकते हैं कि √35, 6 से थोड़ा कम है .कैलकुलेटर पर जांच करने पर हमें उत्तर 5.92 मिलता है - हम सही थे।

4. दूसरा तरीका यह है कि मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाए।अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। एक श्रृंखला में अभाज्य गुणनखंड लिखें और समान गुणनखंडों के जोड़े खोजें। ऐसे कारकों को मूल चिन्ह से बाहर किया जा सकता है।

   • उदाहरण के लिए, 45 के वर्गमूल की गणना करें। हम मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं: 45 = 9 x 5, और 9 = 3 x 3. इस प्रकार, √45 = √(3 x 3 x 5)। 3 को मूल चिह्न के रूप में निकाला जा सकता है: √45 = 3√5. अब हम √5 का अनुमान लगा सकते हैं।
   • आइए एक और उदाहरण देखें: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). आपको 2 के तीन गुणक प्राप्त हुए; उनमें से कुछ लें और उन्हें मूल चिह्न से आगे ले जाएं।
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. अब आप √2 और √11 का मूल्यांकन कर सकते हैं और एक अनुमानित उत्तर पा सकते हैं।

   मैन्युअल रूप से वर्गमूल की गणना करना

   दीर्घ विभाजन का उपयोग करना

   1. इस पद्धति में लंबे विभाजन के समान एक प्रक्रिया शामिल है और एक सटीक उत्तर प्रदान करती है।सबसे पहले, शीट को दो हिस्सों में विभाजित करते हुए एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें, और फिर दाईं ओर और शीट के शीर्ष किनारे से थोड़ा नीचे, ऊर्ध्वाधर रेखा पर एक क्षैतिज रेखा खींचें। अब मूल संख्या को दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग से शुरू करते हुए, संख्याओं के जोड़े में विभाजित करें। तो, संख्या 79520789182.47897 को "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" के रूप में लिखा गया है।

      • उदाहरण के लिए, आइए संख्या 780.14 के वर्गमूल की गणना करें। दो रेखाएँ खींचें (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) और दी गई संख्या को ऊपर बाईं ओर "7 80, 14" के रूप में लिखें। यह सामान्य है कि बायीं ओर से पहला अंक एक अयुग्मित अंक है। आप उत्तर (इस संख्या का मूल) ऊपर दाईं ओर लिखेंगे।

   2. बाईं ओर से संख्याओं की पहली जोड़ी (या एकल संख्या) के लिए, सबसे बड़ा पूर्णांक n ढूंढें जिसका वर्ग प्रश्न में संख्याओं की जोड़ी (या एकल संख्या) से कम या उसके बराबर है। दूसरे शब्दों में, वह वर्ग संख्या ढूंढें जो बायीं ओर से संख्याओं के पहले जोड़े (या एकल संख्या) के निकटतम, लेकिन उससे छोटी हो, और उस वर्ग संख्या का वर्गमूल लें; आपको नंबर मिलेगा n. आपको ऊपर दाईं ओर जो n मिला है उसे लिखें और नीचे दाईं ओर n का वर्ग लिखें।

      • हमारे मामले में, बाईं ओर पहला नंबर 7 होगा। अगला, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. बाईं ओर संख्याओं के पहले जोड़े (या एकल संख्या) से आपको अभी मिली संख्या n का वर्ग घटाएँ।गणना के परिणाम को उपवर्ग (संख्या n का वर्ग) के अंतर्गत लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 7 में से 4 घटाएँ और 3 प्राप्त करें।

   4. संख्याओं का दूसरा जोड़ा निकालें और इसे पिछले चरण में प्राप्त मान के आगे लिखें।फिर ऊपर दाईं ओर की संख्या को दोगुना करें और परिणाम को नीचे दाईं ओर "_×_=" जोड़कर लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, संख्याओं का दूसरा जोड़ा "80" है। 3 के बाद "80" लिखें। फिर, ऊपर दाईं ओर की संख्या को दोगुना करने पर 4 मिलता है। नीचे दाईं ओर "4_×_=" लिखें।

   5. दाहिनी ओर रिक्त स्थान भरें।

      • हमारे मामले में, यदि हम डैश के स्थान पर संख्या 8 डालते हैं, तो 48 x 8 = 384, जो 380 से अधिक है। इसलिए, 8 बहुत बड़ी संख्या है, लेकिन 7 चलेगा। डैश के स्थान पर 7 लिखें और प्राप्त करें: 47 x 7 = 329। ऊपर दाईं ओर 7 लिखें - यह संख्या 780.14 के वांछित वर्गमूल में दूसरा अंक है।

   6. परिणामी संख्या को बाईं ओर की वर्तमान संख्या से घटाएं।पिछले चरण के परिणाम को बाईं ओर वर्तमान संख्या के नीचे लिखें, अंतर ढूंढें और इसे सबट्रेंड के नीचे लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 380 में से 329 घटाएँ, जो 51 के बराबर है।

   7. चरण 4 दोहराएँ.यदि स्थानांतरित की जा रही संख्याओं की जोड़ी मूल संख्या का भिन्नात्मक भाग है, तो शीर्ष दाईं ओर आवश्यक वर्गमूल में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच एक विभाजक (अल्पविराम) लगाएं। बाईं ओर, संख्याओं के अगले जोड़े को नीचे लाएँ। ऊपर दाईं ओर की संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर "_×_=" जोड़कर परिणाम लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, हटाई जाने वाली संख्याओं की अगली जोड़ी संख्या 780.14 का भिन्नात्मक भाग होगी, इसलिए पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक को ऊपरी दाएँ भाग में वांछित वर्गमूल में रखें। 14 को नीचे ले जाएं और नीचे बाईं ओर लिखें। ऊपर दाईं ओर (27) की दोगुनी संख्या 54 है, इसलिए नीचे दाईं ओर "54_×_=" लिखें।

   8. चरण 5 और 6 दोहराएँ.दाईं ओर डैश के स्थान पर सबसे बड़ी संख्या ढूंढें (डैश के बजाय आपको उसी संख्या को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है) ताकि गुणन का परिणाम बाईं ओर की वर्तमान संख्या से कम या उसके बराबर हो।

      • हमारे उदाहरण में, 549 x 9 = 4941, जो बाईं ओर की वर्तमान संख्या (5114) से कम है। ऊपर दाईं ओर 9 लिखें और बाईं ओर की वर्तमान संख्या से गुणा के परिणाम को घटाएं: 5114 - 4941 = 173।

   9. यदि आपको वर्गमूल के लिए अधिक दशमलव स्थान खोजने की आवश्यकता है, तो वर्तमान संख्या के बाईं ओर कुछ शून्य लिखें और चरण 4, 5, और 6 दोहराएं। चरणों को तब तक दोहराएं जब तक आपको उत्तर सटीकता (दशमलव स्थानों की संख्या) न मिल जाए। ज़रूरत।

   प्रक्रिया को समझना

   इस विधि में महारत हासिल करने के लिए, उस संख्या की कल्पना करें जिसका वर्गमूल आपको वर्ग S के क्षेत्रफल के रूप में ज्ञात करना है। इस मामले में, आप ऐसे वर्ग की भुजा L की लंबाई की तलाश करेंगे। हम L के मान की गणना इस प्रकार करते हैं कि L² = S.

   उत्तर में प्रत्येक संख्या के लिए एक अक्षर दें।आइए हम L (वांछित वर्गमूल) के मान में पहला अंक A से निरूपित करें। बी दूसरा अंक होगा, सी तीसरा और इसी तरह।

   पहले अंकों के प्रत्येक जोड़े के लिए एक अक्षर निर्दिष्ट करें।आइए हम S के मान में अंकों की पहली जोड़ी को S से निरूपित करें, अंकों की दूसरी जोड़ी को S से निरूपित करें, इत्यादि।

   इस विधि और दीर्घ विभाजन के बीच संबंध को समझें।विभाजन की तरह, जहां हम केवल उस संख्या के अगले अंक में रुचि रखते हैं जिसे हम हर बार विभाजित कर रहे हैं, वर्गमूल की गणना करते समय, हम अनुक्रम में अंकों की एक जोड़ी के माध्यम से काम करते हैं (वर्गमूल मान में अगला एक अंक प्राप्त करने के लिए) ).

   1. संख्या S (हमारे उदाहरण में Sa = 7) के अंकों की पहली जोड़ी Sa पर विचार करें और इसका वर्गमूल ज्ञात करें।इस मामले में, वांछित वर्गमूल मान का पहला अंक A वह अंक होगा जिसका वर्ग S a से कम या उसके बराबर है (अर्थात, हम A की तलाश कर रहे हैं जैसे कि असमानता A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • मान लीजिए कि हमें 88962 को 7 से विभाजित करना है; यहां पहला चरण समान होगा: हम विभाज्य संख्या 88962 (8) के पहले अंक पर विचार करते हैं और सबसे बड़ी संख्या का चयन करते हैं, जिसे 7 से गुणा करने पर 8 से कम या उसके बराबर मान मिलता है। एक संख्या d जिसके लिए असमानता सत्य है: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. मानसिक रूप से एक वर्ग की कल्पना करें जिसके क्षेत्रफल की आपको गणना करनी है।आप L की तलाश कर रहे हैं, यानी, एक वर्ग की भुजा की लंबाई जिसका क्षेत्रफल S के बराबर है। A, B, C संख्या L में संख्याएँ हैं। आप इसे अलग तरीके से लिख सकते हैं: 10A + B = L (के लिए) दो अंकों की संख्या) या 100A + 10B + C = L (तीन अंकों की संख्या के लिए) इत्यादि।

      • होने देना (10ए+बी)² = एल² = एस = 100ए² + 2×10ए×बी + बी². याद रखें कि 10A+B एक संख्या है जिसमें अंक B इकाई को दर्शाता है और अंक A दहाई को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि A=1 और B=2, तो 10A+B संख्या 12 के बराबर है। (10ए+बी)²संपूर्ण वर्ग का क्षेत्रफल है, 100A²- बड़े भीतरी वर्ग का क्षेत्रफल, बी²- छोटे भीतरी वर्ग का क्षेत्रफल, 10ए×बी- दो आयतों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल। वर्णित आकृतियों के क्षेत्रफलों को जोड़ने पर आपको मूल वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात होगा।

अक्सर, समस्याओं को हल करते समय, हमारा सामना बड़ी संख्याओं से होता है जिनसे हमें निकालने की आवश्यकता होती है वर्गमूल. कई छात्र निर्णय लेते हैं कि यह एक गलती है और पूरे उदाहरण को फिर से हल करना शुरू कर देते हैं। किसी भी परिस्थिति में आपको ऐसा नहीं करना चाहिए! इसके दो कारण हैं:

1. बड़ी संख्या की जड़ें समस्याओं में प्रकट होती हैं। विशेषकर पाठ वाले में;
2. एक एल्गोरिथ्म है जिसके द्वारा इन जड़ों की गणना लगभग मौखिक रूप से की जाती है।

हम आज इस एल्गोरिथम पर विचार करेंगे। शायद कुछ बातें आपको समझ से बाहर लगेंगी. लेकिन अगर आप इस पाठ पर ध्यान देंगे तो आपको इसके खिलाफ एक शक्तिशाली हथियार मिलेगा वर्गमूल.

तो, एल्गोरिथ्म:

1. ऊपर और नीचे आवश्यक रूट को उन संख्याओं तक सीमित करें जो 10 के गुणज हैं। इस प्रकार, हम खोज सीमा को 10 संख्याओं तक कम कर देंगे;
2. इन 10 संख्याओं में से उन संख्याओं को हटा दें जो निश्चित रूप से मूल नहीं हो सकतीं। परिणामस्वरूप, 1-2 संख्याएँ शेष रह जायेंगी;
3. इन 1-2 संख्याओं का वर्ग करें। जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर हो वह मूल होगा।

इस एल्गोरिदम को व्यवहार में लाने से पहले, आइए प्रत्येक व्यक्तिगत चरण को देखें।

जड़ सीमा

सबसे पहले, हमें यह पता लगाना होगा कि हमारा मूल किन संख्याओं के बीच स्थित है। यह अत्यधिक वांछनीय है कि संख्याएँ दस के गुणज हों:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

हमें संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ये संख्याएँ हमें क्या बताती हैं? यह सरल है: हमें सीमाएँ मिलती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 1296 लीजिए। यह 900 और 1600 के बीच है। इसलिए, इसका मूल 30 से कम और 40 से अधिक नहीं हो सकता:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

यही बात किसी भी अन्य संख्या पर लागू होती है जिससे आप वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 3364:

इस प्रकार, एक अतुलनीय संख्या के बजाय, हमें एक बहुत ही विशिष्ट श्रेणी मिलती है जिसमें मूल जड़ निहित होती है। खोज क्षेत्र को और अधिक संकीर्ण करने के लिए, दूसरे चरण पर आगे बढ़ें।

स्पष्ट रूप से अनावश्यक संख्याओं को हटाना

तो, हमारे पास 10 संख्याएँ हैं - मूल के लिए उम्मीदवार। हमने उन्हें जटिल सोच और एक कॉलम में गुणा किए बिना, बहुत जल्दी प्राप्त कर लिया। आगे चलने का समय आ गया है।

विश्वास करें या न करें, अब हम उम्मीदवारों की संख्या घटाकर दो कर देंगे - एक बार फिर बिना किसी जटिल गणना के! विशेष नियम जानना ही काफी है. यह रहा:

वर्ग का अंतिम अंक अंतिम अंक पर ही निर्भर करता है मूल संख्या.

दूसरे शब्दों में, बस वर्ग के अंतिम अंक को देखें और हम तुरंत समझ जाएंगे कि मूल संख्या कहाँ समाप्त होती है।

केवल 10 अंक ही ऐसे हैं जो अंतिम स्थान पर आ सकते हैं। आइए यह जानने का प्रयास करें कि वर्ग करने पर वे क्या बन जाते हैं। तालिका पर एक नजर डालें:

यह तालिका मूल की गणना की दिशा में एक और कदम है। जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति की संख्याएँ पाँचों के सापेक्ष सममित निकलीं। उदाहरण के लिए:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतिम अंक दोनों मामलों में समान है। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, 3364 का मूल 2 या 8 में समाप्त होना चाहिए। दूसरी ओर, हमें पिछले पैराग्राफ का प्रतिबंध याद है। हम पाते हैं:

लाल वर्ग दर्शाते हैं कि हम अभी तक यह आंकड़ा नहीं जानते हैं। लेकिन मूल 50 से 60 तक की सीमा में है, जिस पर 2 और 8 में समाप्त होने वाली केवल दो संख्याएँ हैं:

बस इतना ही! सभी संभावित जड़ों में से, हमने केवल दो विकल्प छोड़े हैं! और यह सबसे कठिन स्थिति में है, क्योंकि अंतिम अंक 5 या 0 हो सकता है। और तब मूल के लिए केवल एक ही उम्मीदवार होगा!

अंतिम गणना

तो, हमारे पास 2 उम्मीदवार संख्याएँ बची हैं। आप कैसे जानते हैं कि जड़ कौन सी है? उत्तर स्पष्ट है: दोनों संख्याओं का वर्ग करें। जो वर्ग मूल संख्या देगा वही मूल होगा।

उदाहरण के लिए, संख्या 3364 के लिए हमें दो उम्मीदवार संख्याएँ मिलीं: 52 और 58। आइए उनका वर्ग करें:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

बस इतना ही! यह पता चला कि मूल 58 है! साथ ही, गणना को सरल बनाने के लिए, मैंने योग और अंतर के वर्गों के लिए सूत्र का उपयोग किया। इसके कारण, मुझे संख्याओं को एक कॉलम में गुणा करने की भी आवश्यकता नहीं पड़ी! यह गणना अनुकूलन का एक और स्तर है, लेकिन, निश्चित रूप से, यह पूरी तरह से वैकल्पिक है :)

जड़ों की गणना के उदाहरण

निस्संदेह, सिद्धांत अच्छा है। लेकिन आइए इसे व्यवहार में जांचें।

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

सबसे पहले, आइए जानें कि संख्या 576 किन संख्याओं के बीच स्थित है:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

अब आखिरी नंबर पर नजर डालते हैं. यह 6 के बराबर है. ऐसा कब होता है? केवल यदि मूल 4 या 6 पर समाप्त होता है। हमें दो संख्याएँ मिलती हैं:

जो कुछ बचा है वह प्रत्येक संख्या का वर्ग करना और उसकी मूल संख्या से तुलना करना है:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

महान! पहला वर्ग मूल संख्या के बराबर निकला। तो यह जड़ है.

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

आइए अंतिम अंक देखें:

1369 → 9;
33; 37.

इसे चौकोर करें:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369।

यहाँ उत्तर है: 37.

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

हम संख्या सीमित करते हैं:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

आइए अंतिम अंक देखें:

2704 → 4;
52; 58.

इसे चौकोर करें:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

हमें उत्तर मिला: 52. अब दूसरी संख्या का वर्ग करने की आवश्यकता नहीं होगी।

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

हम संख्या सीमित करते हैं:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

आइए अंतिम अंक देखें:

4225 → 5;
65.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरे चरण के बाद केवल एक विकल्प बचा है: 65. यह वांछित रूट है। लेकिन आइए फिर भी इसे वर्गाकार करें और जांचें:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

सब कुछ सही है। हम उत्तर लिखते हैं.

निष्कर्ष

अफ़सोस, इससे बेहतर कुछ नहीं। आइए कारणों पर नजर डालें. उनमें से दो:

• किसी भी सामान्य गणित परीक्षा में, चाहे वह राज्य परीक्षा हो या एकीकृत राज्य परीक्षा, कैलकुलेटर का उपयोग निषिद्ध है। और यदि आप कक्षा में कैलकुलेटर लाते हैं, तो आपको आसानी से परीक्षा से बाहर किया जा सकता है।
• मूर्ख अमेरिकियों की तरह मत बनो. जो जड़ों की तरह नहीं हैं - वे दो अभाज्य संख्याओं को नहीं जोड़ सकते। और जब वे भिन्न देखते हैं, तो वे आम तौर पर उन्मादी हो जाते हैं।