Dört kenarına göre yamuğun alanı nasıl bulunur? Yamuk alanı

Bir yamuğun alanı. Selamlar! Bu yayında bu formüle bakacağız. Neden tam olarak böyle ve onu nasıl anlayacağız? Anlayış varsa öğretmene gerek yok. Sadece bu formüle ve acilen bakmak istiyorsanız hemen sayfayı aşağı kaydırabilirsiniz))

Şimdi ayrıntılı ve sırayla.

Yamuk bir dörtgendir, bu dörtgenin iki tarafı paraleldir, diğer ikisi değildir. Paralel olmayanlar yamuğun tabanlarıdır. Diğer ikisine taraf denir.

Kenarlar eşitse yamuğa ikizkenar denir. Kenarlardan biri tabanlara dik ise, böyle bir yamuğa dikdörtgen denir.

Klasik formunda, yamuk şu şekilde tasvir edilmiştir - daha büyük olan taban sırasıyla altta, daha küçük olan ise üsttedir. Ancak kimse onu tasvir etmeyi yasaklamaz ve bunun tersi de geçerlidir. İşte taslaklar:

Sonraki önemli kavram.

Yamuğun orta çizgisi, kenarların orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Orta çizgi yamuğun tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.

Şimdi daha derinlere inelim. Bu neden böyle?

Tabanları olan bir yamuk düşünün a ve B ve orta çizgiyle ben ve bazı ek yapılar gerçekleştirin: tabanlar boyunca düz çizgiler ve tabanlarla kesişene kadar orta çizginin uçları boyunca dik çizgiler çizin:

*Köşe noktaları ve diğer noktalar için harf gösterimleri, gereksiz tanımlamalardan kaçınmak amacıyla kasıtlı olarak dahil edilmemiştir.

Bakın üçgenlerin ikinci eşitlik işaretine göre 1 ve 2 numaralı üçgenler eşit, 3 ve 4 numaralı üçgenler aynı. Üçgenlerin eşitliğinden, elemanların, yani bacakların eşitliği gelir (sırasıyla mavi ve kırmızı ile gösterilir).

Şimdi dikkat! Alt tabandaki mavi ve kırmızı bölümleri zihinsel olarak "kesersek", orta çizgiye eşit bir bölüm (bu dikdörtgenin kenarı) kalır. Daha sonra, kesilmiş mavi ve kırmızı bölümleri yamuğun üst tabanına "yapıştırırsak", o zaman yamuğun orta çizgisine eşit bir bölüm (bu aynı zamanda dikdörtgenin yanıdır) elde ederiz.

Anladım? Tabanların toplamının yamuğun iki orta çizgisine eşit olacağı ortaya çıktı:

Başka bir açıklamayı görüntüle

Aşağıdakileri yapalım - yamuğun alt tabanından geçen düz bir çizgi ve A ve B noktalarından geçecek düz bir çizgi çizelim:

1 ve 2 numaralı üçgenleri alıyoruz, bunlar yan ve bitişik açılar boyunca eşittir (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti). Bu, ortaya çıkan bölümün (çizimde mavi renkle gösterilmiştir) yamuğun üst tabanına eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi üçgeni düşünün:

*Bu yamuğun orta çizgisi ile üçgenin orta çizgisi çakışmaktadır.

Bir üçgenin kendisine paralel tabanın yarısına eşit olduğu bilinmektedir, yani:

Tamam, çözdük. Şimdi yamuğun alanı hakkında.

Yamuk alan formülü:

Diyorlar ki: bir yamuğun alanı, tabanlarının ve yüksekliğinin toplamının yarısına eşittir.

Yani, merkez çizgisi ile yüksekliğin çarpımına eşit olduğu ortaya çıkıyor:

Muhtemelen bunun çok açık olduğunu fark etmişsinizdir. Geometrik olarak bu şu şekilde ifade edilebilir: 2 ve 4 numaralı üçgenleri zihinsel olarak yamuktan kesip sırasıyla 1 ve 3 numaralı üçgenlerin üzerine yerleştirirsek:

Sonra yamuğumuzun alanına eşit bir alana sahip bir dikdörtgen elde edeceğiz. Bu dikdörtgenin alanı merkez çizgisi ile yüksekliğin çarpımına eşit olacaktır, yani şunu yazabiliriz:

Ama burada önemli olan elbette yazmak değil, anlamaktır.

Makale materyalini *pdf formatında indirin (görüntüleyin)

Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla İskender.

Yamuğun alanını bulmanın birçok yolu vardır. Genellikle bir matematik öğretmeni bunu hesaplamanın birkaç yöntemini bilir; bunlara daha ayrıntılı olarak bakalım:
1) Burada AD ve BC tabanlardır ve BH yamuğun yüksekliğidir. İspat: BD köşegenini çizin ve ABD ve CDB üçgenlerinin alanlarını tabanlarının ve yüksekliklerinin yarı çarpımına göre ifade edin:

DP dış yüksekliktir, burada

Bu eşitlikleri terim terim toplarsak ve BH ve DP yüksekliklerinin eşit olduğunu hesaba katarak şunu elde ederiz:

Parantez dışına çıkaralım

Q.E.D.

Yamuğun alanı formülünün sonucu:
Tabanların yarı toplamı yamuğun orta çizgisi olan MN'ye eşit olduğundan, o zaman

2) Dörtgenin alanı için genel formülün uygulanması.
Bir dörtgen alanı, köşegenlerin çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
Bunu kanıtlamak için yamuğu 4 üçgene bölmek, her birinin alanını “köşegenlerin çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü” (açı olarak alınır, elde edilen değeri ekleyin) cinsinden ifade etmek yeterlidir. ifadeleri parantez dışına çıkarın ve ifadeye eşitliğini elde etmek için gruplama yöntemini kullanarak bu parantezi çarpanlara ayırın.

3) Çapraz kaydırma yöntemi
Bu benim adım. Bir matematik öğretmeni okul ders kitaplarında böyle bir başlığa rastlamaz. Tekniğin bir açıklaması yalnızca bir problemin çözümüne örnek olarak ek ders kitaplarında bulunabilir. Planimetri ile ilgili ilginç ve faydalı gerçeklerin çoğunun, pratik çalışma sürecinde matematik öğretmenleri tarafından öğrencilere açıklandığını belirtmek isterim. Bu son derece optimalin altındadır çünkü öğrencinin bunları ayrı teoremlere ayırması ve onlara "büyük isimler" demesi gerekir. Bunlardan biri “çapraz kayma”dır. Neyle ilgili? B köşesinden geçerek E noktasında alt tabanla kesişene kadar AC'ye paralel bir çizgi çizelim. Bu durumda EBCA dörtgeni (tanımı gereği) bir paralelkenar olacaktır ve dolayısıyla BC=EA ve EB=AC olacaktır. İlk eşitlik artık bizim için önemli. Sahibiz:

Alanı yamuk alanına eşit olan BED üçgeninin birkaç dikkat çekici özelliğe daha sahip olduğunu unutmayın:
1) Alanı yamuğun alanına eşittir
2) İkizkenarları yamuğun kendisinin ikizkenarlarıyla aynı anda meydana gelir
3) B köşesindeki üst açısı, yamuğun köşegenleri arasındaki açıya eşittir (bu, problemlerde çok sık kullanılır)
4) Ortanca BK, yamuğun tabanlarının orta noktaları arasındaki QS mesafesine eşittir. Yakın zamanda Moskova Devlet Üniversitesi'nde bir öğrenciyi Tkachuk'un ders kitabının 1973 versiyonunu kullanarak Mekanik ve Matematik derslerine hazırlarken bu özelliğin kullanımıyla karşılaştım (sorun sayfanın altında verilmiştir).

Matematik öğretmeni için özel teknikler.

Bazen yamuğun alanını bulmanın çok zor bir yolunu kullanarak problemler öneriyorum. Bunu özel bir teknik olarak sınıflandırıyorum çünkü pratikte öğretmen bunları çok nadiren kullanıyor. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına yalnızca Bölüm B'de hazırlanmanız gerekiyorsa, bunları okumanıza gerek yoktur. Diğerleri için size daha fazlasını anlatacağım. Bir yamuğun alanının, bir tarafın uçlarında ve diğerinin ortasında köşeleri olan bir üçgenin alanının iki katı olduğu, yani şekildeki ABS üçgeninin olduğu ortaya çıktı:
İspat: BCS ve ADS üçgenlerinde SM ve SN yüksekliklerini çizin ve bu üçgenlerin alanlarının toplamını ifade edin:

S noktası CD'nin ortası olduğuna göre (bunu kendiniz kanıtlayın) Üçgenlerin alanlarının toplamını bulun:

Bu toplamın yamuğun alanının yarısına, ardından ikinci yarısına eşit olduğu ortaya çıktı. Vesaire.

Öğretmenin özel teknikler koleksiyonuna, ikizkenar yamuğun kenarları boyunca alanını hesaplama biçimini dahil edeceğim: burada p, yamuğun yarı çevresidir. Kanıt vermeyeceğim. Aksi halde matematik öğretmeniniz işsiz kalacak :). Sınıfa gelin!

Yamuk alanındaki problemler:

Matematik öğretmeninin notu: Aşağıdaki liste konuya metodolojik bir destek değildir; yukarıda tartışılan tekniklere dayanan ilginç görevlerin yalnızca küçük bir seçkisidir.

1) İkizkenar yamuğun alt tabanı 13, üst tabanı ise 5'tir. Köşegeni kenara dik ise yamuğun alanını bulun.
2) Tabanları 2cm ve 5cm, kenarları 2cm ve 3cm olan yamuğun alanını bulun.
3) İkizkenar yamukta büyük taban 11, kenar 5 ve köşegen ise yamuğun alanını bulun.
4) Bir ikizkenar yamuğun köşegeni 5 ve orta çizgisi 4'tür. Alanı bulun.
5) İkizkenar yamukta tabanlar 12 ve 20 olup köşegenler birbirine diktir. Yamuğun alanını hesaplayın
6) İkizkenar yamuğun köşegeni alt tabanıyla bir açı yapar. Yüksekliği 6 cm ise yamuğun alanını bulun.
7) Yamuğun alanı 20, kenarlarından biri 4 cm, karşı tarafın ortasından ona olan mesafeyi bulun.
8) Bir ikizkenar yamuğun köşegeni, onu alanları 6 ve 14 olan üçgenlere böler. Yan kenar 4 ise yüksekliği bulun.
9) Bir yamukta köşegenler 3 ve 5'e, tabanların orta noktalarını birleştiren segment ise 2'ye eşittir. Yamuğun alanını bulun (Mekhmat MSU, 1970).

Kendi başıma çözebileceğim beklentisiyle en zor problemleri (makine mühendisliğinden korkmayın!) seçmedim. Sağlığınız için karar verin! Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmanız gerekiyorsa, bu süreçte yamuk alanı formülünün katılımı olmadan, B6 probleminde ve hatta C4 probleminde bile ciddi sorunlar ortaya çıkabilir. Konuyu başlatmayın ve herhangi bir zorluk durumunda yardım isteyin. Bir matematik öğretmeni size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyar.

Kolpakov A.N.
Moskova'da matematik öğretmeni, Strogino'daki Birleşik Devlet Sınavına hazırlık.

Geometri derslerinde kendinizi güvende hissetmek ve problemleri başarılı bir şekilde çözmek için formülleri öğrenmek yeterli değildir. Önce bunların anlaşılması gerekiyor. Korkmak ve hatta formüllerden nefret etmek verimsizdir. Bu makale, bir yamuğun alanını bulmanın çeşitli yollarını erişilebilir bir dilde analiz edecektir. İlgili kural ve teoremleri daha iyi anlamak için özelliklerine biraz dikkat edeceğiz. Bu, kuralların nasıl çalıştığını ve hangi durumlarda belirli formüllerin uygulanması gerektiğini anlamanıza yardımcı olacaktır.

Yamuğun tanımlanması

Bu genel olarak nasıl bir rakam? Yamuk, dört köşesi ve iki paralel kenarı olan bir çokgendir. Yamuğun diğer iki tarafı farklı açılarda eğilebilir. Paralel kenarlarına tabanlar denir ve paralel olmayan kenarlarına "kenarlar" veya "kalçalar" adı kullanılır. Bu tür rakamlar günlük yaşamda oldukça yaygındır. Yamuğun konturları giyim, iç mekan eşyaları, mobilyalar, tabaklar ve daha birçok şeyin silüetlerinde görülebilir. Farklı yamuk türleri vardır: skalen, eşkenar ve dikdörtgen. Türlerini ve özelliklerini yazının ilerleyen kısımlarında daha detaylı inceleyeceğiz.

Yamuğun özellikleri

Bu figürün özellikleri üzerinde kısaca duralım. Herhangi bir kenara bitişik açıların toplamı her zaman 180°'dir. Bir yamuğun tüm açılarının toplamının 360° olduğu unutulmamalıdır. Yamuk orta hat kavramına sahiptir. Kenarların orta noktalarını bir segmentle birleştirirseniz bu orta çizgi olacaktır. M olarak belirlenmiştir. Orta çizginin önemli özellikleri vardır: her zaman tabanlara paraleldir (tabanların da birbirine paralel olduğunu hatırlıyoruz) ve yarı toplamlarına eşittir:

Bu tanım öğrenilmeli ve anlaşılmalıdır çünkü birçok sorunun çözümünün anahtarıdır!

Bir yamuk ile yüksekliği her zaman tabana düşürebilirsiniz. Yükseklik, bir tabanın herhangi bir noktasından başka bir tabana veya onun uzantısına çizilen ve genellikle h sembolüyle gösterilen bir dikmedir. Orta çizgi ve yükseklik yamuğun alanını bulmanıza yardımcı olacaktır. Bu tür problemler okul geometri dersinde en yaygın olanıdır ve test ve sınav kağıtları arasında düzenli olarak karşımıza çıkar.

Yamuk alanı için en basit formüller

Yamuğun alanını bulmak için kullanılan en popüler ve basit iki formüle bakalım. Aradığınızı kolayca bulmak için yüksekliği tabanların toplamının yarısıyla çarpmanız yeterlidir:

S = h*(a + b)/2.

Bu formülde a, b yamuğun tabanlarını, h ise yüksekliğini gösterir. Algılamayı kolaylaştırmak için bu makalede formüllerde çarpım işaretleri (*) simgesiyle işaretlenmiştir, ancak resmi referans kitaplarında çarpım işareti genellikle atlanmıştır.

Bir örneğe bakalım.

Verilen: iki tabanı 10 ve 14 cm olan bir yamuk, yüksekliği 7 cm, yamuğun alanı nedir?

Bu sorunun çözümüne bakalım. Bu formülü kullanarak önce tabanların yarım toplamını bulmanız gerekiyor: (10+14)/2 = 12. Yani yarım toplam 12 cm'ye eşit oluyor.Şimdi yarım toplamı yükseklikle çarpıyoruz: 12*7 = 84. Aradığımız bulundu. Cevap: Yamuğun alanı 84 metrekaredir. santimetre.

İkinci iyi bilinen formül şunu söylüyor: Bir yamuğun alanı orta çizginin çarpımına ve yamuğun yüksekliğine eşittir. Yani aslında daha önceki orta çizgi kavramından kaynaklanmaktadır: S=m*h.

Hesaplamalar için köşegenlerin kullanılması

Yamuğun alanını bulmanın başka bir yolu da aslında o kadar da karmaşık değil. Köşegenlerine bağlıdır. Bu formülü kullanarak alanı bulmak için köşegenlerinin yarı çarpımını (d 1 d 2) aralarındaki açının sinüsüyle çarpmanız gerekir:

S = ½ d 1 d 2 günah A.

Bu yöntemin uygulanmasını gösteren bir problemi ele alalım. Verilen: köşegen uzunluğu sırasıyla 8 ve 13 cm olan bir yamuk. Köşegenler arasındaki a açısı 30°'dir. Yamuğun alanını bulun.

Çözüm. Yukarıdaki formülü kullanarak neyin gerekli olduğunu hesaplamak kolaydır. Bildiğiniz gibi sin 30° 0,5'tir. Bu nedenle S = 8*13*0,5=52. Cevap: alan 52 metrekaredir. santimetre.

İkizkenar yamuğun alanını bulma

Bir yamuk ikizkenar (ikizkenar) olabilir. Yanları aynıdır ve tabanlardaki açılar eşittir, bu da şekilde iyi bir şekilde gösterilmiştir. Bir ikizkenar yamuk, normal olanla aynı özelliklere ve ayrıca bir takım özel özelliklere sahiptir. Bir ikizkenar yamuğun çevresine bir daire çizilebilir ve içine bir daire yazılabilir.

Böyle bir şeklin alanını hesaplamak için hangi yöntemler var? Aşağıdaki yöntem çok fazla hesaplama gerektirecektir. Bunu kullanmak için yamuğun tabanındaki açının sinüs (sin) ve kosinüs (cos) değerlerini bilmeniz gerekir. Bunları hesaplamak için Bradis tablolarına veya bir mühendislik hesap makinesine ihtiyacınız vardır. İşte formül:

S= C*günah A*(A - C*çünkü A),

Nerede İle- yan uyluk, A- alt tabandaki açı.

Eşkenar yamuk eşit uzunlukta köşegenlere sahiptir. Bunun tersi de doğrudur: Bir yamuğun köşegenleri eşitse ikizkenardır. Dolayısıyla bir yamuğun alanını bulmanıza yardımcı olacak aşağıdaki formül - köşegenlerin karesinin yarı ürünü ve aralarındaki açının sinüsü: S = ½ d 2 sin A.

Dikdörtgen yamuğun alanını bulma

Dikdörtgen yamuğun özel bir durumu bilinmektedir. Bu, bir tarafının (uyluğunun) tabanlara dik açıyla bitişik olduğu bir yamuktur. Düzenli bir yamuğun özelliklerine sahiptir. Üstelik çok ilginç bir özelliği var. Böyle bir yamuğun köşegenlerinin kareleri arasındaki fark, tabanlarının kareleri arasındaki farka eşittir. Bunun için alanı hesaplamak için daha önce açıklanan tüm yöntemler kullanılır.

Yaratıcılığı kullanıyoruz

Belirli formülleri unutursanız yardımcı olabilecek bir numara vardır. Yamuğun ne olduğuna daha yakından bakalım. Zihinsel olarak parçalara ayırırsak, tanıdık ve anlaşılır geometrik şekiller elde ederiz: bir kare veya dikdörtgen ve bir üçgen (bir veya iki). Yamuğun yüksekliği ve kenarları biliniyorsa, üçgenin ve dikdörtgenin alanı için formülleri kullanabilir ve ardından elde edilen tüm değerleri toplayabilirsiniz.

Bunu aşağıdaki örnekle açıklayalım. Dikdörtgen bir yamuk verilmiştir. C açısı = 45°, A, D açıları 90°'dir. Yamuğun üst tabanı 20 cm, yüksekliği 16 cm'dir, şeklin alanını hesaplamanız gerekir.

Bu şeklin bir dikdörtgen (eğer iki açı 90°'ye eşitse) ve bir üçgenden oluştuğu açıktır. Yamuk dikdörtgen olduğundan yüksekliği kenarına eşittir yani 16 cm, kenarları sırasıyla 20 ve 16 cm olan bir dikdörtgenimiz var. Şimdi açısı 45° olan bir üçgen düşünün. Bir kenarının 16 cm olduğunu biliyoruz, bu kenar aynı zamanda yamuğun yüksekliği olduğundan (ve yüksekliğin tabana dik açıyla indiğini de biliyoruz), dolayısıyla üçgenin ikinci açısı 90° olur. Dolayısıyla üçgenin kalan açısı 45° olur. Bunun sonucunda iki eşit kenarı olan bir dik ikizkenar üçgen elde ederiz. Bu, üçgenin diğer tarafının yüksekliğe yani 16 cm'ye eşit olduğu anlamına gelir.Üçgenin ve dikdörtgenin alanını hesaplamak ve elde edilen değerleri eklemek kalır.

Bir dik üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısına eşittir: S = (16*16)/2 = 128. Bir dikdörtgenin alanı, genişliği ile uzunluğunun çarpımına eşittir: S = 20*16 = 320. Gerekli olanı bulduk: yamuğun alanı S = 128 + 320 = 448 metrekare. Yukarıdaki formülleri kullanarak kendinizi kolayca tekrar kontrol edebilirsiniz, cevap aynı olacaktır.

Seçim formülünü kullanıyoruz

S = M/2 + N - 1,

bu formülde M düğümlerin sayısıdır, yani. şeklin çizgilerinin yamuk sınırlarındaki hücre çizgileri ile kesişimleri (şekilde turuncu noktalar), N, şeklin içindeki düğümlerin sayısıdır (mavi noktalar). Düzensiz bir çokgenin alanını bulurken kullanmak en uygunudur. Bununla birlikte, kullanılan teknikler ne kadar geniş olursa, hatalar o kadar az olur ve sonuçlar daha iyi olur.

Tabii ki, sağlanan bilgiler yamuğun türlerini ve özelliklerini ve ayrıca alanını bulma yöntemlerini tüketmez. Bu makale en önemli özelliklerine genel bir bakış sunmaktadır. Geometrik problemleri çözerken yavaş yavaş hareket etmek, kolay formüller ve problemlerle başlamak, anlayışınızı tutarlı bir şekilde pekiştirmek ve başka bir karmaşıklık düzeyine geçmek önemlidir.

En yaygın formüllerin bir araya getirilmesi, öğrencilerin yamuğun alanını hesaplamanın çeşitli yollarını bulmasına ve bu konuyla ilgili testlere ve ödevlere daha iyi hazırlanmalarına yardımcı olacaktır.

Çok kenarlı yamuk... İsteğe bağlı, ikizkenar veya dikdörtgen olabilir. Ve her durumda yamuğun alanını nasıl bulacağınızı bilmeniz gerekir. Elbette en kolay yol temel formülleri hatırlamaktır. Ancak bazen belirli bir geometrik şeklin tüm özellikleri dikkate alınarak türetilmiş olanı kullanmak daha kolaydır.

Yamuk ve elemanları hakkında birkaç söz

İki tarafı paralel olan herhangi bir dörtgen yamuk olarak adlandırılabilir. Genel olarak eşit değildirler ve bazlar olarak adlandırılırlar. Büyük olan alttaki, diğeri ise üsttekidir.

Diğer iki taraf yanal olarak ortaya çıkıyor. İsteğe bağlı bir yamukta farklı uzunluklara sahiptirler. Eğer eşitlerse şekil ikizkenar olur.

Aniden herhangi bir kenar ile taban arasındaki açı 90 dereceye eşit olursa yamuk dikdörtgen olur.

Tüm bu özellikler yamuğun alanının nasıl bulunacağı probleminin çözümünde yardımcı olabilir.

Sorunların çözümünde vazgeçilmez olabilecek şekildeki unsurlar arasında aşağıdakileri vurgulayabiliriz:

• yükseklik, yani her iki tabana dik olan bir bölüm;
• uçlarında yan kenarların orta noktaları bulunan orta çizgi.

Taban ve yükseklik biliniyorsa alanı hesaplamak için hangi formül kullanılabilir?

Bu ifade temel bir ifade olarak verilmiştir çünkü çoğu zaman bu miktarlar açıkça verilmese bile tanınabilir. Yani yamuğun alanını nasıl bulacağınızı anlamak için her iki tabanı da toplayıp ikiye bölmeniz gerekecek. Daha sonra elde edilen değeri yükseklik değeriyle çarpın.

Tabanları 1 ve a 2, yüksekliği ise n olarak belirlersek alan formülü şu şekilde görünecektir:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Yüksekliği ve merkez çizgisi verilirse alanı hesaplayan formül

Önceki formüle dikkatlice bakarsanız orta çizginin değerini açıkça içerdiğini fark etmek kolaydır. Yani bazların toplamının ikiye bölünmesi. Orta çizgi l harfiyle gösterilsin, o zaman alan formülü şöyle olur:

S = l * n.

Köşegenleri kullanarak alan bulma yeteneği

Bu yöntem, oluşturdukları açı biliniyorsa yardımcı olacaktır. Köşegenlerin d 1 ve d 2 harfleriyle gösterildiğini ve aralarındaki açıların α ve β olduğunu varsayalım. Daha sonra yamuğun alanının nasıl bulunacağına ilişkin formül şu şekilde yazılacaktır:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Bu ifadede α'yı β ile kolayca değiştirebilirsiniz. Sonuç değişmeyecek.

Şeklin tüm tarafları biliniyorsa alanı nasıl bulabilirim?

Bu figürün kenarlarının tam olarak bilindiği durumlar da vardır. Bu formül hantaldır ve hatırlanması zordur. Ama muhtemelen. Kenarların gösterimi şöyle olsun: a 1 ve a 2, a 1 tabanı a 2'den büyüktür. Daha sonra alan formülü aşağıdaki formu alacaktır:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (1 2'de - [(a 1 - a 2) 2 + 1 2 - 2'de 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

İkizkenar yamuk alanını hesaplama yöntemleri

Birincisi, içine bir daire yazılabilmesinden kaynaklanmaktadır. Ve yarıçapını (r harfiyle gösterilir) ve tabandaki açıyı - γ bilerek, aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

S = (4 * r2) / sin γ.

Şeklin tüm taraflarının bilgisine dayanan son genel formül, tarafların aynı anlama sahip olması nedeniyle önemli ölçüde basitleştirilecektir:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (2'de - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Dikdörtgen bir yamuğun alanını hesaplama yöntemleri

Yukarıdakilerden herhangi birinin herhangi bir şekil için uygun olduğu açıktır. Ancak bazen böyle bir yamuğun bir özelliğini bilmek faydalı olabilir. Köşegenlerin uzunluklarının kareleri arasındaki farkın, tabanların karelerinden oluşan farka eşit olması gerçeğinde yatmaktadır.

Genellikle yamuk formülleri unutulurken, dikdörtgen ve üçgenin alan ifadeleri hatırlanır. Daha sonra basit bir yöntem kullanabilirsiniz. Yamuğu dikdörtgen ise iki şekle veya üçe bölün. Biri kesinlikle dikdörtgen olacak, ikincisi veya kalan ikisi üçgen olacak. Bu rakamların alanlarını hesapladıktan sonra geriye sadece bunları toplamak kalıyor.

Bu, dikdörtgen bir yamuğun alanını bulmanın oldukça basit bir yoludur.

Ya yamuğun köşelerinin koordinatları biliniyorsa?

Bu durumda noktalar arasındaki mesafeyi belirlemenizi sağlayacak bir ifade kullanmanız gerekecektir. Üç kez uygulanabilir: hem tabanları hem de bir yüksekliği bulmak için. Ve sonra biraz daha yukarıda açıklanan ilk formülü uygulayın.

Bu yöntemi açıklamak için aşağıdaki örnek verilebilir. A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) koordinatlarına sahip köşeler verilmiştir. Şeklin alanını bulmanız gerekiyor.

Yamuğun alanını bulmadan önce koordinatlardan tabanların uzunluklarını hesaplamanız gerekir. Aşağıdaki formüle ihtiyacınız olacak:

doğru parçasının uzunluğu = √((noktaların ilk koordinatlarının farkı) 2 + (noktaların ikinci koordinatlarının farkı) 2 ).

Üst taban AB olarak gösterilmiştir, yani uzunluğu √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3'e eşit olacaktır. Alttaki ise CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Şimdi yüksekliği yukarıdan tabana doğru çizmeniz gerekiyor. Başlangıcı A noktası olsun. Doğru parçasının sonu alt taban üzerinde (5;1) koordinatlı noktada olacak, burası H noktası olsun. AN doğru parçasının uzunluğu √((5) olacaktır. -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Geriye kalan tek şey, elde edilen değerleri yamuk alanı formülüne koymaktır:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Koordinat ızgarasının ölçeği belirtilmediğinden sorun ölçü birimleri olmadan çözüldü. Bir milimetre veya bir metre olabilir.

Örnek problemler

1 numara. Durum. Rastgele bir yamuğun köşegenleri arasındaki açı bilinmektedir; 30 dereceye eşittir. Daha küçük olan köşegen 3 dm değerine sahiptir ve ikincisi 2 kat daha büyüktür. Yamuğun alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm.Öncelikle ikinci köşegenin uzunluğunu bulmanız gerekir, çünkü bu olmadan cevabı hesaplamak mümkün olmayacaktır. Hesaplaması zor değil, 3*2=6(dm).

Şimdi alan için uygun formülü kullanmanız gerekiyor:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30° = 18/2 * ½ = 4,5 (dm2). Problem çözüldü.

Cevap: Yamuğun alanı 4,5 dm2'dir.

2 numara. Durum. ABCD yamuğunda tabanlar AD ve BC doğru parçalarıdır. E noktası SD tarafının ortasıdır. Ondan AB düz çizgisine dik bir çizgi çizilir, bu parçanın sonu H harfi ile gösterilir. AB ve EH uzunluklarının sırasıyla 5 ve 4 cm'ye eşit olduğu bilinmektedir. yamuk.

Çözüm.İlk önce bir çizim yapmalısınız. Dikmenin değeri çizildiği taraftan küçük olduğundan yamuk hafifçe yukarı doğru uzayacaktır. Yani EH şeklin içinde olacak.

Sorunu çözmenin ilerlemesini açıkça görmek için ek inşaat yapmanız gerekecektir. Yani AB kenarına paralel olacak düz bir çizgi çizin. Bu doğrunun AD ile kesişme noktaları P ve BC'nin devamı ile kesişme noktaları X'tir. Ortaya çıkan VHRA şekli bir paralelkenardır. Üstelik alanı gerekli olana eşittir. Bunun nedeni ek inşaat sırasında elde edilen üçgenlerin eşit olmasıdır. Bu, tarafın eşitliğinden ve ona bitişik, biri dikey, diğeri çapraz uzanan iki açının eşitliğinden kaynaklanır.

Paralelkenarın alanını, kenarın çarpımını ve üzerine indirilen yüksekliği içeren bir formül kullanarak bulabilirsiniz.

Böylece yamuğun alanı 5*4=20 cm2 olur.

Cevap: S = 20 cm2.

3 numara. Durum.İkizkenar yamuğun elemanları aşağıdaki değerlere sahiptir: alt taban - 14 cm, üst - 4 cm, dar açı - 45°. Alanının hesaplanması gerekiyor.

Çözüm. Daha küçük olan taban BC olarak gösterilsin. B noktasından çizilen yüksekliğe VH adı verilecektir. Açı 45° olduğundan ABH üçgeni dikdörtgen ve ikizkenar olacaktır. Yani AN=VN. Üstelik AN'ı bulmak çok kolaydır. Bazlar arasındaki farkın yarısı kadardır. Yani (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Tabanlar belli, yükseklikler hesaplanıyor. Burada keyfi bir yamuk için tartışılan ilk formülü kullanabilirsiniz.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm2).

Cevap: Gerekli alan 45 cm2'dir.

4 numara. Durum. Rasgele bir yamuk ABCD var. OE AD tabanına paralel olacak şekilde O ve E noktaları yan taraflarında alınır. AOED yamuğunun alanı OVSE'ninkinden beş kat daha büyüktür. Tabanların uzunlukları biliniyorsa OE değerini hesaplayın.

Çözüm.İki paralel AB çizgisi çizmeniz gerekecek: C noktasından geçen ilk çizgi, OE - T noktası ile kesişimi; ikinciden E'ye ve AD ile kesişme noktası M olacaktır.

Bilinmeyen OE=x olsun. Daha küçük olan yamuk OVSE'nin yüksekliği n 1, daha büyük olan AOED ise n 2'dir.

Bu iki yamuğun alanları 1'den 5'e kadar ilişkili olduğundan aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Üçgenlerin yükseklikleri ve kenarları yapı gereği orantılıdır. Bu nedenle bir eşitlik daha yazabiliriz:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Sol taraftaki son iki girişte eşit değerler var, yani (x + a 1) / (5(x + a 2)) eşittir (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Burada bir takım dönüşümlere ihtiyaç var. İlk önce çapraz olarak çarpın. Karelerin farkını belirtmek için parantezler görünecek, bu formülü uyguladıktan sonra kısa bir denklem elde edeceksiniz.

İçinde parantezleri açmanız ve bilinmeyen "x" ile tüm terimleri sola taşımanız ve ardından karekökü çıkarmanız gerekir.

Cevap: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

İkizkenar yamuk nedir? Bu, paralel olmayan zıt kenarları eşit olan geometrik bir şekildir. Problemlerde verilen farklı koşullarla yamuğun alanını bulmak için birkaç farklı formül vardır. Yani yükseklik, kenarlar, açılar, köşegenler vb. verilirse alan bulunabilir. Ayrıca ikizkenar yamuklar için alan arayışının ve formülün kendisinin önemli ölçüde basitleştirildiği bazı "istisnalar" bulunduğunu da söylememek imkansızdır. Aşağıda örneklerle birlikte her durum için ayrıntılı çözümler bulunmaktadır.

İkizkenar yamuğun alanını bulmak için gerekli özellikler

Zıt, paralel değil eşit kenarları olan geometrik bir şeklin yamuk ve ikizkenar olduğunu zaten öğrenmiştik. Bir yamuğun ikizkenar olarak kabul edildiği özel durumlar vardır.

• Bunlar açıların eşitliğinin koşullarıdır. Yani zorunlu bir nokta: tabandaki açılar (aşağıdaki resmi çekin) eşit olmalıdır. Bizim durumumuzda BAD açısı = CDA açısı ve ABC açısı = BCD açısı
• İkinci önemli kural, böyle bir yamukta köşegenlerin eşit olması gerektiğidir. Bu nedenle AC = BD.
• Üçüncü husus: Yamuğun zıt açılarının toplamı 180 dereceye kadar olmalıdır. Bu ABC açısı + CDA açısı = 180 derece demektir. Aynı durum BCD ve BAD açıları için de geçerlidir.
• Dördüncüsü, eğer bir yamuk, etrafında bir dairenin tanımlanmasına izin veriyorsa, o zaman ikizkenardır.

İkizkenar yamuğun alanı nasıl bulunur - formüller ve açıklamaları

• S = (a+b)h/2 alanı bulmak için en yaygın kullanılan formüldür; A – alt taban, B üst tabandır ve h yüksekliktir.

• Yükseklik bilinmiyorsa, benzer bir formül kullanarak bunu arayabilirsiniz: h = c*sin(x), burada c, AB veya CD'dir. sin(x) herhangi bir tabandaki açının sinüsüdür, yani DAB açısı = CDA açısı = x. Sonuçta formül şu şekli alır: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• Yükseklik ayrıca şu formül kullanılarak da bulunabilir:

• Son formül şöyle görünür:

• Bir ikizkenar yamuğun alanı orta hat ve yükseklikten bulunabilir. Formül: S = mh.

Bir yamuğun içine bir daire yazıldığı durumu ele alalım.

Resimde gösterilen durumda,

QN = D = H – dairenin çapı ve aynı zamanda yamuğun yüksekliği;

LO, ON, OQ = R – dairenin yarıçapı;

DC = a – üst taban;

AB = b – alt taban;

Yamuğun tabanlarının DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beta – açıları.

Benzer bir durum, alanın aşağıdaki formüller kullanılarak bulunmasına olanak sağlar:

• Şimdi köşegenler ve aralarındaki açılar aracılığıyla alanı bulmaya çalışalım.

Şekilde AC, DB – köşegenleri – d'yi gösteriyoruz. Açılar COB, DOB – alfa; DOC, AOB – beta. Köşegenleri ve aralarındaki açıyı kullanarak ikizkenar yamuğun alanı için formül, ( S ) dır-dir: