Ъгли, образувани от успоредни прави. Урок "теореми за ъгли, образувани от две успоредни прави и напречна"

\[(\Large(\text(Централни и вписани ъгли)))\]

Дефиниции

Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи в центъра на окръжността.

Вписан ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност.

Градусната мярка на дъга от окръжност е градусната мярка на централния ъгъл, който я обхваща.

Теорема

Градусната мярка на вписан ъгъл е равна на половината от градусната мярка на дъгата, върху която той лежи.

Доказателство

Ще проведем доказателството на два етапа: първо ще докажем валидността на твърдението за случая, когато една от страните на вписания ъгъл съдържа диаметър. Нека точка \(B\) е върха на вписания ъгъл \(ABC\) и \(BC\) е диаметърът на окръжността:

Триъгълникът \(AOB\) е равнобедрен, \(AO = OB\) , \(\ъгъл AOC\) е външен, тогава \(\ъгъл AOC = \ъгъл OAB + \ъгъл ABO = 2\ъгъл ABC\), където \(\ъгъл ABC = 0,5\cdot\ъгъл AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Сега разгледайте произволен вписан ъгъл \(ABC\) . Нека начертаем диаметъра на окръжността \(BD\) от върха на вписания ъгъл. Има два възможни случая:

1) диаметърът разрязва ъгъла на два ъгъла \(\ъгъл ABD, \ъгъл CBD\) (за всеки от които теоремата е вярна, както е доказано по-горе, следователно е вярна и за оригиналния ъгъл, който е сумата от тези две и следователно равна на половината от сбора на дъгите, на които почиват, т.е. равна на половината от дъгата, на която почива). Ориз. 1.

2) диаметърът не разрязва ъгъла на два ъгъла, тогава имаме още два нови вписани ъгъла \(\angle ABD, \angle CBD\), чиято страна съдържа диаметъра, следователно теоремата е вярна за тях, тогава тя е вярно и за първоначалния ъгъл (който е равен на разликата между тези два ъгъла, което означава, че е равен на полуразликата на дъгите, върху които почиват, т.е. равен на половината от дъгата, върху която почива) . Ориз. 2.

Последствия

1. Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.

2. Вписан ъгъл, сключен от полукръг, е прав ъгъл.

3. Вписан ъгъл е равен на половината от централния ъгъл, сключен от същата дъга.

\[(\Large(\text(Допирателна към окръжността)))\]

Дефиниции

Има три вида относителна позицияправа линия и кръг:

1) права \(a\) пресича окръжността в две точки. Такава права се нарича секуща. В този случай разстоянието \(d\) от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса \(R\) на окръжността (фиг. 3).

2) права \(b\) пресича окръжността в една точка. Такава права се нарича допирателна, а им обща точка\(B\) – точка на допиране. В този случай \(d=R\) (фиг. 4).

Теорема

1. Допирателната към окръжност е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на допиране.

2. Ако една права минава през края на радиуса на окръжност и е перпендикулярна на този радиус, тогава тя е допирателна към окръжността.

Последица

Допирателните отсечки, прекарани от една точка към окръжност, са равни.

Доказателство

Нека начертаем две допирателни \(KA\) и \(KB\) към окръжността от точката \(K\):

Това означава, че \(OA\perp KA, OB\perp KB\) са като радиуси. Прави триъгълници\(\триъгълник KAO\) и \(\триъгълник KBO\) са равни по катет и хипотенуза, следователно \(KA=KB\) .

Последица

Центърът на окръжността \(O\) лежи върху ъглополовящата на ъгъла \(AKB\), образуван от две допирателни, прекарани от една и съща точка \(K\) .

\[(\Large(\text(Теореми, свързани с ъгли)))\]

Теорема за ъгъла между секущите

Ъгълът между две секущи, изтеглени от една и съща точка, е равен на полуразликата в градусните мерки на по-голямата и по-малката дъга, които те пресичат.

Доказателство

Нека \(M\) е точката, от която са изтеглени две секущи, както е показано на фигурата:

Нека покажем това \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ъгъл DAB\) – външен ъгълтриъгълник \(MAD\) , тогава \(\ъгъл DAB = \ъгъл DMB + \ъгъл MDA\), където \(\ъгъл DMB = \ъгъл DAB - \ъгъл MDA\), но ъглите \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) са вписани, тогава \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), което трябваше да се докаже.

Теорема за ъгъла между пресичащите се хорди

Ъгълът между две пресичащи се хорди е равен на половината от сумата от градусните мерки на дъгите, които те пресичат: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Доказателство

\(\ъгъл BMA = \ъгъл CMD\) като вертикален.

От триъгълник \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Но \(\ъгъл AMD = 180^\circ - \ъгъл CMD\), от което правим извода, че \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ усмивка\над(CD)).\]

Теорема за ъгъла между хорда и допирателна

Ъгълът между допирателната и хордата, минаваща през точката на допир, е равен на половината от градусната мярка на дъгата, лежаща от хордата.

Доказателство

Нека правата \(a\) докосва окръжността в точка \(A\), \(AB\) е хордата на тази окръжност, \(O\) е нейният център. Нека правата, съдържаща \(OB\), пресича \(a\) в точката \(M\) . Нека докажем това \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Нека означим \(\ъгъл OAB = \alpha\) . Тъй като \(OA\) и \(OB\) са радиуси, тогава \(OA = OB\) и \(\ъгъл OBA = \ъгъл OAB = \алфа\). По този начин, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Тъй като \(OA\) е радиусът, начертан към допирателната точка, тогава \(OA\perp a\), тоест \(\angle OAM = 90^\circ\), следователно, \(\ъгъл BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Теорема за дъгите, свързани с равни хорди

Равните хорди обхващат равни дъги, по-малки от полукръгове.

И обратното: равни дъги се стягат от равни хорди.

Доказателство

1) Нека \(AB=CD\) . Нека докажем, че по-малките полуокръжности на дъгата .

От три страни, следователно, \(\ъгъл AOB=\ъгъл COD\) . Но защото \(\angle AOB, \angle COD\) - централни ъгли, поддържани от дъги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)съответно тогава \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Ако \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Че \(\триъгълник AOB=\триъгълник COD\)от двете страни \(AO=BO=CO=DO\) и ъгъла между тях \(\angle AOB=\angle COD\) . Следователно и \(AB=CD\) .

Теорема

Ако радиусът разполовява хордата, тогава той е перпендикулярен на нея.

Обратното също е вярно: ако радиусът е перпендикулярен на хордата, тогава в точката на пресичане той я разполовява.

Доказателство

1) Нека \(AN=NB\) . Нека докажем, че \(OQ\perp AB\) .

Помислете за \(\триъгълник AOB\) : той е равнобедрен, защото \(OA=OB\) – радиуси на окръжността. защото \(ON\) е медианата, начертана към основата, тогава това е и височината, следователно \(ON\perp AB\) .

2) Нека \(OQ\perp AB\) . Нека докажем, че \(AN=NB\) .

По подобен начин \(\триъгълник AOB\) е равнобедрен, \(ON\) е височината, следователно \(\ON\) е медианата. Следователно \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Теореми, свързани с дължините на отсечките)))\]

Теорема за произведението на отсечките на хордата

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Доказателство

Нека хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в точката \(E\) .

Разгледайте триъгълниците \(ADE\) и \(CBE\) . В тези триъгълници ъглите \(1\) и \(2\) са равни, тъй като са вписани и почиват на една и съща дъга \(BD\), а ъглите \(3\) и \(4\) са равни като вертикален. Триъгълниците \(ADE\) и \(CBE\) са подобни (въз основа на първия критерий за подобие на триъгълници).

Тогава \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), от което \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Теорема за допирателната и секущата

Квадратът на допирателната отсечка е равен на произведението на секанса и неговия външна част.

Доказателство

Нека допирателната минава през точка \(M\) и докосва окръжността в точка \(A\) . Нека секансът минава през точката \(M\) и пресича окръжността в точките \(B\) и \(C\), така че \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Разгледайте триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) : \(\ъгъл M\) е общ, \(\ъгъл BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Според теоремата за ъгъла между допирателната и секанса, \(\ъгъл BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ъгъл BCA\). По този начин триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) са подобни в два ъгъла.

От подобието на триъгълници \(MBA\) и \(MCA\) имаме: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), което е еквивалентно на \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Последица

Произведението на секанс, изтеглен от точка \(O\) от външната му част, не зависи от избора на секанс, изтеглен от точка \(O\) .

Рибалко Павел

Тази презентация съдържа: 3 теореми с доказателства и 3 задачи за затвърдяване на изучения материал с подробно решение. Презентацията може да бъде полезна на учителя в урока, тъй като ще спести много време. Може да се използва и като общ преглед в края на учебната година.

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Теореми за ъгли, образувани от две успоредни прави и напречна. Изпълнител: ученик от 7 клас Рибалко Павел, Митищи, 2012 г

Теорема: Ако две успоредни прави са пресечени от напречна, то пресечните ъгли са равни. a в A B 1 2  1 =  2 c

Доказателство: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Нека правите AB и CD са успоредни, MN е техният секанс. Нека докажем, че напречните ъгли 1 и 2 са равни един на друг. Да приемем, че  1 и  2 не са равни. Нека начертаем права K F през точка O. Тогава в точка O можем да построим  KON , лежаща напречно и равна на  2. Но ако  KON =  2, то правата K F ще бъде успоредна на CD. Открихме, че през точка O са прекарани две прави AB и K F, успоредни на права CD. Но това не може да бъде. Стигнахме до противоречие, защото предположихме, че  1 и  2 не са равни. Следователно предположението ни е неправилно и  1 трябва да е равно на  2, т.е. напречните ъгли са равни. Е

Теорема: Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, то съответните ъгли са равни. a в A B 1 2  1 =  2

Доказателство: 2 a в A B 3 1 Нека успоредните прави a и b са пресечени от секущата AB, тогава напречните  1 и  3 ще бъдат равни.  2 и  3 са равни като вертикални. От равенствата  1 =  3 и  2 =  3 следва, че  1 =  2. Теоремата е доказана

Теорема: Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава сумата от едностранните ъгли е 180°. a в A B 3 1  1 +  3 = 180°

Доказателство: Нека успоредните прави a и b са пресечени от секущата AB, тогава съответните  1 и  2 ще бъдат равни,  2 и  3 са съседни, следователно  2 +  3 = 180 °. От равенствата  1 =  2 и  2 +  3 = 180 ° следва, че  1 +  3 = 180 °. Теоремата е доказана. 2 a в A B 3 1

Решение: 1. Нека X е  2, тогава  1 = (X+70°), тъй като сумата от ъгли 1 и 2 = 180°, поради факта, че са съседни. Нека съставим уравнение: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Ъгъл 2) 2. Намерете  1. 55° + 70° = 125° 3.  1 =  3, т.е. Да се. те са вертикални.  3 =  5, защото те лежат на кръст. 125°  5 =  7, защото те са вертикални.  2 =  4, защото те са вертикални.  4 =  6, защото те лежат на кръст. 55°  6 =  8, защото те са вертикални. Задача № 1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Условие: намерете всички ъгли, образувани при пресичането на две успоредни прави A и B с напречна C, ако единият ъгъл е със 70° по-голям от другия.

Решение: 1. Защото  4 = 45°, тогава  2 = 45°, защото  2 =  4 (съответно) 2.  3 е съседно на  4, следователно  3+  4 = 180°, и от това следва, че  3= 180° - 45°= 135°. 3.  1 =  3, защото те лежат на кръст.  1 = 135°. Отговор:  1=135°;  2=45°;  3=135°. Задача № 2: A B 1 Условие: на фигурата има прави A II B и C II D,  4=45°. Намерете ъгли 1, 2, 3. 3 2 4

Решение: 1.  1=  2, т.к те са вертикални, което означава  2= 45°. 2.  3 е съседен на  2, така че  3+  2=180°, а от това следва, че  3= 180° - 45°= 135°. 3.  4 +  3=180°, т.к те са едностранчиви.  4 = 45°. Отговор:  4=45°;  3=135°. Задача № 3: A B 2 Условие: две успоредни прави A и B се пресичат със секуща C. Намерете на какво ще бъдат равни  4 и  3, ако  1=45°. 3 4 1

Теорема: Ако две успоредни прави са пресечени от напречна, то пресечните ъгли са равни. и в A B = 2 s

Доказателство: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O Нека правите AB и CD са успоредни, MN тяхната секуща. Нека докажем, че напречните ъгли 1 и 2 са равни един на друг. Да приемем, че 1 и 2 не са равни. Нека начертаем права KF през точка O. Тогава в точка O е възможно да се построи KON, лежащ на кръст и равен на 2. Но ако KON = 2, тогава правата KF ще бъде успоредна на CD. Открихме, че през точка O са прекарани две прави AB и KF, успоредни на права CD. Но това не може да бъде. Стигнахме до противоречие, защото предположихме, че 1 и 2 не са равни. Следователно нашето предположение е неправилно и 1 трябва да е равно на 2, т.е. напречните ъгли са равни. Е

Теорема: Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, то съответните ъгли са равни. и в A B = 2

Теорема: Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава сумата от едностранните ъгли е 180°. и в A B = 180°

Доказателство: Нека успоредните прави a и b са пресечени от секущата AB, тогава съответните 1 и 2 ще бъдат равни, 2 и 3 ще бъдат съседни, следователно = 180°. От равенствата 1 = 2 и = 180° следва, че = 180°. Теоремата е доказана. 2 a в A B 3 1

Решение: 1. Нека X е 2, тогава 1 = (X+70°), защото сумата от ъгли 1 и 2 = 180°, поради факта, че са съседни. Нека съставим уравнение: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Ъгъл 2) 2. Намерете 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, тъй като те са вертикални. 3 = 5, защото те лежат на кръст. 125° 5 = 7, защото те са вертикални. 2 = 4, защото те са вертикални. 4 = 6, защото те лежат на кръст. 55° 6 = 8, защото те са вертикални. Задача 1: A B Условие: Намерете всички ъгли, образувани при пресичане на две успоредни прави A и B с напречна C, ако единият от ъглите е със 70° по-голям от другия.

Решение: 1. 1= 2, защото те са вертикални, което означава, че 2= 45° е съседен на 2, така че 3+ 2=180°, и от това следва, че 3= 180° - 45°= 135° = 180°, защото те са едностранчиви. 4 = 45°. Отговор: 4=45°; 3=135°. Задача 3: A B 2 Условие: две успоредни прави A и B са пресечени от секуща C. Намерете на какво ще бъдат равни 4 и 3, ако 1=45°

Теореми за образуваните ъгли

Геометрия, III глава, 7 клас

Към учебника на Л. С. Атанасян

учител по математика най-висока категория

Общинска образователна институция "Упшинская основна гимназия"

Област Орша на Република Марий Ел

Обратното на тази теорема

Теорема: В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни .

Теорема: Ако триъгълникът е равнобедрен, то ъглите при основата му са равни .

Условие на теоремата (Дадено): триъгълник - равнобедрен

Заключение на теоремата (докажете): ъглите на основата са равни

Условие на теоремата : ъглите на основата са равни

Заключение на теоремата : триъгълник - равнобедрен

НОВО ИЗЯВЛЕНИЕ

Обратен

теорема

Ако един триъгълник има два ъгъла

са равни, тогава е равнобедрен .

Обратното на тази теорема

Винаги ли е вярно обратното?

Теорема

Обратна теорема

Ако сумата от два ъгъла е 180 0 , тогава ъглите са съседни

Сума от съседни ъгли

равно на 180 0 .

Ако ъглите са равни,

тогава те са вертикални

Вертикалните ъгли са равни

Ако в триъгълник ъглополовящата, прекарана към една от страните му, е и медианата, прекарана към тази страна, тогава този триъгълник е равнобедрен

В равнобедрен триъгълник ъглополовящата, начертана към основата, е медианата и надморската височина

Ако в триъгълник ъглополовящата, начертана към една от страните му, е и надморската височина, начертана към тази страна, тогава този триъгълник е равнобедрен

д Ако триъгълникът е равнобедрен, тогава ъглополовящата, изтеглена към основата , е едновременно медианата и височината

Ъгли, образувани от две успоредни прави и напречна

Винаги ли е вярно обратното?

Теорема

Обратна теорема

Ако две паралелни линии се пресичат със секанс, тогава кръстосаните ъгли са равни

напречни ъгли равен Че линиите са успоредни .

Но това противоречи аксиома за паралел , тогава нашето предположение е неправилно

ОТ МЕТОД

СРЕЩУ

Излагаме предположение, противоположно на това, което трябва да се докаже

Чрез разсъждения стигаме до противоречие с добре позната аксиома или теорема

Ние заключаваме, че нашето предположение е неправилно и теоремата е правилна

Но това противоречи аксиома за паралел

Следователно нашето предположение е неправилно

Ако две успоредни прави са пресечени от напречна, тогава пресичащите се ъгли са равни

СЛЕДСТВИЕ ОТ ТЕОРЕМАТА

Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата

Образувани ъгли

две успоредни прави и една напречна

Теорема

Обратна теорема

Ако в пресечната точка на две прави секуща съответните ъгли са равни , Че линиите са успоредни .

Ако две паралелни линии се пресичат със секанс, тогава съответните ъгли са равни

Образувани ъгли

две успоредни прави и една напречна

Теорема

Обратна теорема

Ако в пресечната точка на две прави секуща 0 , Че линиите са успоредни .

Ако две паралелни линии се пресичат със секанс, тогава сборът от едностранните ъгли е 180 0

Правите a и b са успоредни.

Намерете ъгъл 2.

Правите a и b са успоредни.

Намерете неизвестни ъгли

Правите a и b са успоредни.

Намерете неизвестни ъгли

Правите a и b са успоредни. Намерете неизвестните ъгли, ако сумата от два пресичащи се ъгъла е 100 0 .

Правите a и b са успоредни. Намерете неизвестните ъгли, ако сумата от два съответни ъгъла е 260 0 .

Правите a и b са успоредни. Намерете неизвестните ъгли, ако разликата между два едностранни ъгъла е 50 0 .

Теорема: Ако две успоредни прави са пресечени от напречна, то пресечните ъгли са равни. a в A B 1 2 1 = 2 c

Доказателство: A B C DM N 1 2 K O Нека правите AB и CD са успоредни, MN е техният секанс. Нека докажем, че напречните ъгли 1 и 2 са равни един на друг. Да приемем, че 1 и 2 не са равни. Нека начертаем права K F през точка O. Тогава в точка O можем да построим KON, лежащ на кръст и равен на 2. Но ако KON = 2, тогава правата K F ще бъде успоредна на CD. Открихме, че през точка O са прекарани две прави AB и K F, успоредни на права CD. Но това не може да бъде. Стигнахме до противоречие, защото предположихме, че 1 и 2 не са равни. Следователно нашето предположение е неправилно и 1 трябва да е равно на 2, т.е. напречните ъгли са равни.

Теорема: Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, то съответните ъгли са равни. a в A B 1 2 1 =

Доказателство: 2 a в A B 3 1 Нека успоредните прави a и b са пресечени от секуща AB, тогава напречните 1 и 3 ще бъдат равни. 2 и 3 са равни като вертикални. От равенствата 1 = 3 и 2 = 3 следва, че 1 = 2. Теоремата е доказана

Теорема: Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава сумата от едностранните ъгли е 180°. a в A B 3 1 1 + 3 = 180°

Доказателство: Нека успоредните прави a и b са пресечени от секущата AB, тогава съответните 1 и 2 ще бъдат равни, 2 и 3 ще бъдат съседни, следователно 2 + 3 = 180 °. От равенствата 1 = 2 и 2 + 3 = 180° следва, че 1 + 3 = 180°. Теоремата е доказана. 2 а в А Б

Решение: 1. Нека X е 2, тогава 1 = (X+70°), тъй като сумата от ъгли 1 и 2 = 180°, поради факта, че са съседни. Нека съставим уравнение: X+ (X+70°) = 180° 2 X = 110 ° X = 55° (Ъгъл 2) 2. Намерете 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, тъй като те са вертикален. 3 = 5, защото лежат на кръст. 125° 5 = 7, защото са вертикални. 2 = 4, защото са вертикални. 4 = 6, защото лежат на кръст. 55° 6 = 8, защото са вертикални. Задача № 1: A B 4 3 5 8 7 21 6 Условие: намерете всички ъгли, образувани при пресичане на две успоредни прави A и B с напречна C, ако единият от ъглите е със 70° по-голям от другия.

Решение: 1. Тъй като 4 = 45°, тогава 2 = 45°, тъй като 2 = 4 (съответно) 2. 3 е съседно на 4, следователно 3+ 4 = 180° и от това следва, че 3 = 180° - 45° = 135°. 3. 1 = 3, защото лежат на кръст. 1 = 135°. Отговор: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Задача № 2: A B 1 Условие: на фигурата има прави A II B и C II D, 4 = 45°. Намерете ъгли 1, 2, 3.

Решение: 1. 1= 2, защото са вертикални, така че 2= 45°. 2. 3 е съседно на 2, така че 3+ 2=180° и следва, че 3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, защото са едностранни. 4 = 45°. Отговор: 4=45°; 3=135°. Задача №3: A B 2 Условие: две успоредни прави A и B се пресичат със секуща C. Намерете на какво ще бъдат равни 4 и 3, ако 1=45°.