Koji znak daje plus plus. Zašto minus puta minus daje plus?

1) Zašto je minus jedan puta minus jedan jednako plus jedan?
2) Zašto je minus jedan puta plus jedan jednako minus jedan?

"Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj."

Najlakši način da odgovorite je: „Zato što su ovo pravila akcije gotova negativni brojevi" Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Prvo ćemo pokušati da to shvatimo na osnovu istorije razvoja aritmetike, a zatim ćemo odgovoriti na ovo pitanje sa stanovišta savremene matematike.

Nekada su ljudi poznavali samo prirodne brojeve: 1, 2, 3,... Korišćeni su za brojanje pribora, plijena, neprijatelja itd. Ali sami brojevi su prilično beskorisni - treba ih znati rukovati. Sabiranje je jasno i razumljivo, a osim toga, zbir dva prirodna broja je i prirodan broj (matematičar bi rekao da je skup prirodnih brojeva zatvoren operacijom sabiranja). Množenje je u suštini isto što i sabiranje ako govorimo o prirodnim brojevima. U životu često izvodimo radnje vezane za ove dvije operacije (na primjer, kada kupujemo, zbrajamo i množimo), a čudno je pomisliti da su se naši preci rjeđe susreli s njima - sabiranje i množenje je čovječanstvo ovladalo jako dugo prije. Često morate neke količine podijeliti s drugima, ali ovdje rezultat nije uvijek izražen kao prirodan broj - tako su se pojavili razlomci.

Negativni brojevi se pojavljuju u indijskim dokumentima od 7. veka nove ere; Kinezi su ih očigledno počeli koristiti nešto ranije. Korišćeni su za obračun dugova ili u srednjim proračunima za pojednostavljenje rješenja jednačina - to je bilo samo sredstvo za dobijanje pozitivnog odgovora. Činjenica da negativni brojevi, za razliku od pozitivnih, ne izražavaju prisustvo nijednog entiteta izazvala je snažno nepovjerenje. Ljudi su doslovno izbjegavali negativne brojeve: ako je problem imao negativan odgovor, vjerovali su da odgovora uopće nema. Ovo nepovjerenje je trajalo jako dugo, pa ih je čak i Descartes - jedan od "osnivača" moderne matematike - nazvao "lažnim" (u 17. vijeku!).

Razmotrite, na primjer, jednačinu 7x – 17 = 2x – 2. Može se riješiti na ovaj način: premjestiti pojmove s nepoznatim u lijeva strana, a ostalo - desno, to će uspjeti 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3. Kod ovog rješenja nismo naišli ni na negativne brojeve.

Ali bilo je moguće slučajno to učiniti drugačije: premjestiti pojmove s nepoznatim na desna strana i dobiti 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: x = (–15)/(–5). Ali tačan odgovor je poznat i ostaje da se to zaključi (–15)/(–5) = 3 .

Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, logika koja je odredila pravila za rad s negativnim brojevima postaje jasna: rezultati ovih radnji moraju odgovarati odgovorima dobijenim na drugi način, bez negativnih brojeva. Drugo, dopuštajući upotrebu negativnih brojeva, oslobađamo se dosadne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja rješenja u kojem se sve radnje izvode samo na prirodni brojevi. Štaviše, možda više ne razmišljamo svaki put o smislenosti transformiranih veličina – a to je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Pravila za rad s negativnim brojevima nisu formirana odmah, već su postala generalizacija brojnih primjera koji su se javljali prilikom rješavanja primijenjenih problema. Generalno, razvoj matematike se može podijeliti na faze: svaka sljedeća faza razlikuje se od prethodne po novom nivou apstrakcije pri proučavanju objekata. Tako su u 19. veku matematičari shvatili da celi brojevi i polinomi, uprkos svim svojim spoljašnjim razlikama, imaju mnogo zajedničkog: oba se mogu sabirati, oduzimati i množiti. Ove operacije podliježu istim zakonima - i u slučaju brojeva i u slučaju polinoma. Ali dijeljenje cijelih brojeva jedni s drugima tako da rezultat opet budu cijeli brojevi nije uvijek moguće. Isto je i sa polinomima.

Tada su otkriveni i drugi agregati matematički objekti, na kojem se mogu izvršiti sljedeće operacije: formalne power series, kontinuirane funkcije... Konačno je došlo do razumijevanja da ako proučavate svojstva samih operacija, onda se rezultati mogu primijeniti na sve ove kolekcije objekata (ovaj pristup je karakterističan za svu modernu matematiku).

Kao rezultat, pojavio se novi koncept: prsten. To je samo skup elemenata plus radnje koje se mogu izvršiti na njima. Osnovna pravila ovdje su pravila (tzv aksiome), kojima podliježu radnje, a ne priroda elemenata skupa (ovdje je, novi nivo apstrakcije!). Želeći naglasiti da je važna struktura koja nastaje nakon uvođenja aksioma, matematičari kažu: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Polazeći od aksioma, mogu se zaključiti i druga svojstva prstenova.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za rad sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom proizvodi plus.

Prsten je skup s dvije binarne operacije (tj. svaka operacija uključuje dva elementa prstena), koji se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

sabiranje elemenata prstena podliježe komutativnom ( A + B = B + A za bilo koje elemente A I B) i asocijativni ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; u prstenu postoji poseban element 0 (neutralni element dodavanjem) tako da A+0=A, i za bilo koji element A postoji suprotan element (označen (–A)), Šta A + (–A) = 0 ;
množenje je podređeno kombinacijskom zakonu: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Sabiranje i množenje su povezani sljedećim pravilima za otvaranje zagrada: (A + B) C = A C + B C I A (B + C) = A B + A C .

Imajte na umu da prstenovi, u najopštijoj konstrukciji, ne zahtijevaju ni promjenjivost množenja, ni njegovu invertibilnost (to jest, dijeljenje se ne može uvijek izvršiti), niti postojanje jedinice - neutralnog elementa u množenju. Ako uvedemo ove aksiome, dobićemo različite algebarske strukture, ali u njima će sve teoreme dokazane za prstenove biti tačne.

Sada to dokazujemo za sve elemente A I B proizvoljnog prstena je tačno, prvo, (–A) B = –(A B), i drugo (–(–A)) = A. Iz ovoga lako proizlaze izjave o jedinicama: (–1) 1 = –(1 1) = –1 I (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Da bismo to uradili, moraćemo da utvrdimo neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. U stvari, neka element A postoje dvije suprotnosti: B I WITH. To je A + B = 0 = A + C. Razmotrimo iznos A+B+C. Koristeći asocijativni i komutativni zakon i svojstvo nule, dobijamo da je, s jedne strane, zbir jednak B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a sa druge strane, jednaka je C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. znači, B=C .

Zabilježimo sada to A, And (–(–A)) su suprotnosti istog elementa (–A), tako da moraju biti jednaki.

Prva činjenica glasi ovako: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, to je (–A)·B suprotno A·B, što znači da je jednako –(A B) .

Da budemo matematički rigorozni, objasnimo i zašto 0·B = 0 za bilo koji element B. Zaista, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Odnosno, dodatak 0·B ne mijenja iznos. To znači da je ovaj proizvod jednak nuli.

A činjenicu da u prstenu postoji tačno jedna nula (na kraju krajeva, aksiomi kažu da takav element postoji, ali se ništa ne govori o njegovoj jedinstvenosti!), ostavićemo čitaocu kao jednostavnu vežbu.

Odgovoreno: Evgeniy Epifanov

Prikaži komentare (37)

Sažmi komentare (37)

Dobar odgovor. Ali za nivo brucoša. Čini mi se da se to može jednostavnije i jasnije objasniti na primjeru formule „udaljenost = brzina * vrijeme“ (ocjena 2).

Recimo da idemo putem, auto nas sustiže i počinje da se udaljava. Vrijeme raste - i distanca do njega raste. Brzinu takve mašine smatrat ćemo pozitivnom; može biti, na primjer, 10 metara u sekundi. Usput, koliko je ovo kilometara na sat? 10/1000(km)*60(sek)*60(min)= 10*3,6 = 36 km/h. Malo. Verovatno je put loš...

Ali auto koji ide prema nama se ne udaljava, već se približava. Stoga je zgodno smatrati njegovu brzinu negativnom. Na primjer -10 m/sec. Udaljenost se smanjuje: 30, 20, 10 metara do nadolazećeg automobila. Svaka sekunda je minus 10 metara. Sada je jasno zašto je brzina minus? Pa je proletela. Kolika je udaljenost do njega u sekundi? Tako je, -10 metara, tj. "10 metara iza."

Ovdje smo dobili prvu izjavu. (-10 m/sec) * (1 sek) = -10 m.
Minus (negativna brzina) do plus ( pozitivno vrijeme) dao minus (negativna udaljenost, auto je iza mene).

A sada pažnja - minus na minus. Gdje je bio nadolazeći automobil sekund prije nego što je prošao? (-10 m/sec) * (- 1 sek) = 10 m.
Minus (negativna brzina) do minus ( negativno vrijeme) = plus (pozitivna udaljenost, auto mi je bio 10 metara ispred nosa).

Je li ovo jasno ili neko zna još jednostavniji primjer?

Odgovori

Da, može se dokazati lakše! 5*2 je ucrtano dva puta na brojevnoj pravoj, u pozitivnu stranu, broj je 5, a onda dobijemo broj 10. ako je 2*(-5), onda brojimo dva puta prema broju 5, ali u negativnom smjeru, i dobijemo broj (-10), sada predstavljaju 2*(-5) kao
2*5*(-1)=-10, odgovor je prepisan iz prethodnog izračuna, a ne dobijen u ovom. To znači da možemo reći da kada se broj pomnoži sa (-1) dolazi do inverzije numeričke dvopolarne ose, tj. obrnuti polaritet. Ono što smo stavili u pozitivan dio postalo je negativno i obrnuto. Sada (-2)*(-5), zapisujemo to kao (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), ostavljajući po strani broj (-10) i mijenjajući polaritet ose, jer . pomnožimo sa (-1), dobijemo +10, samo ne znam da li je ispalo lakše?

Odgovori

Mislim da si u pravu. Pokušaću samo da vam pokažem vaše gledište detaljnije, jer... Vidim da ovo nisu svi razumjeli.
Minus znači oduzeti. Ako vam je jednom oduzeto 5 jabuka, onda vam je na kraju oduzeto 5 jabuka, što je konvencionalno označeno minusom, tj. – (+5). Na kraju krajeva, morate nekako naznačiti radnju. Ako je 1 jabuka odabrana 5 puta, onda je na kraju ista odabrana: – (+5). Istovremeno, odabrane jabuke nisu postale imaginarne, jer Zakon održanja materije nije ukinut. Pozitivne jabuke su jednostavno otišle onome ko ih je uzeo. To znači da nema zamišljenih brojeva, postoji relativno kretanje materije sa znakom + ili -. Ali ako je tako, onda oznaka: (-5) * (+1) = -5 ili (+5) * (-1) = -5 ne odražava tačno stvarnost, već je označava samo uslovno. Budući da nema zamišljenih brojeva, cijeli proizvod je uvijek pozitivan → “+” (5*1). Zatim se negira pozitivan proizvod, što znači oduzimanje → “- +” (5*1). Ovdje minus ne nadoknađuje plus, već ga negira i zauzima njegovo mjesto. Tada na kraju dobijamo: -(5*1) = -(+5).
Za dva minusa možete napisati: “- -” (5*1) = 5. Znak “- -” znači “+”, tj. eksproprijacija eksproprijatora. Prvo su vam oduzete jabuke, a onda ste ih oduzeli od svog prestupnika. Kao rezultat toga, sve jabuke su ostale pozitivne, ali selekcija nije izvršena, jer dogodila se socijalna revolucija.
Uopšteno govoreći, deci je jasno i bez objašnjenja činjenica da negacija negacije eliminiše negaciju i sve na šta se negacija odnosi, jer To je očigledno. Djeci samo treba objasniti šta su odrasli umjetno pobrkali, toliko da ni sami ne mogu to shvatiti. A zabuna je u tome što su umjesto negiranja radnje uvedeni negativni brojevi, tj. negativna materija. Dakle, djeca su zbunjena zašto pri sabiranju negativne materije zbir ispada negativan, što je sasvim logično: (-5) + (-3) = -8, a pri množenju iste negativne materije: (-5) * (-3) = 15 , odjednom završava pozitivno, što nije logično! Uostalom, sa negativnom materijom sve bi trebalo da se desi isto kao i sa pozitivnom materijom, samo sa drugačijim predznakom. Stoga se djeci čini logičnijim da kada se umnožava negativna materija, negativna materija treba da se umnožava.
Ali ni ovdje nije sve glatko, jer za umnožavanje negativne materije dovoljno je da samo jedan broj bude negativan. U ovom slučaju, jedan od faktora, koji označava ne materijalni sadržaj, već vremena ponavljanja odabrane materije, uvijek je pozitivan, jer vremena ne mogu biti negativna čak i ako se negativna (odabrana) materija ponavlja. Stoga je pri množenju (dijeljenju) ispravnije staviti znakove ispred cijelog proizvoda (podjele), što smo gore pokazali: “- +” (5*1) ili “- -” (5*1).
A da se znak minus ne percipira kao znak imaginarnog broja, tj. negativnu materiju, a kao radnju, odrasli se prvo moraju međusobno dogovoriti da ako je znak minus ispred broja, onda to znači negativnu radnju sa brojem, koja je uvijek pozitivna, a ne zamišljena. Ako je znak minus ispred drugog znaka, onda to znači negativnu radnju sa prvim znakom, tj. mijenja u suprotno. Tada će sve prirodno doći na svoje mjesto. Onda to trebate objasniti djeci i oni će savršeno razumjeti i asimilirati tako razumljivo pravilo odraslih. Uostalom, sada svi odrasli učesnici rasprave zapravo pokušavaju da objasne neobjašnjivo, jer... Ne postoji fizičko objašnjenje za ovo pitanje, to je samo konvencija, pravilo. Ali objašnjavanje apstrakcije apstrakcijom je tautologija.
Ako znak minus negira broj, onda jeste fizičko djelovanje, ali ako poriče samu radnju, onda je to jednostavno uslovno pravilo. Odnosno, odrasli su se jednostavno složili da ako je selekcija odbijena, kao u pitanju koje se razmatra, onda nema selekcije, ma koliko puta! U isto vrijeme, sve što ste imali, ostaje sa vama, bio to samo broj, bio proizvod brojeva, tj. mnogo pokušaja selekcije. To je sve.
Ako se neko ne slaže, onda mirno razmislite ponovo. Uostalom, primjer s automobilima, u kojima postoji negativna brzina i negativno vrijeme sekundu prije susreta, samo je uvjetno pravilo povezano s referentnim sistemom. U drugom referentnom okviru, ista brzina i isto vrijeme će postati pozitivni. A primjer sa ogledalom povezan je sa pravilom iz bajke, u kojem minus samo uslovno, ali nikako fizički, odraz u ogledalu, postaje plus.

Odgovori

Čini se da je sve jasno sa matematičkim nedostacima. Ali u jeziku, kada se postavi negativno pitanje, kako na njega odgovoriti? Na primjer, uvijek me je zbunilo ovo pitanje: „Želite li malo čaja?“ Kako da odgovorim na ovo ako želim čaj? Čini se da ako kažete "Da", onda vam neće dati čaj (to je kao + i -), ako ne, onda bi vam trebali dati (- i -), a ako "Ne, ne želim ”???

Odgovori

Da biste odgovorili na tako djetinjasto pitanje, prvo morate odgovoriti na nekoliko pitanja odraslih: "Šta je minus u matematici?" i "Šta su množenje i dijeljenje?" Koliko sam shvatio, tu počinju problemi koji na kraju dovode do zvonjenja i drugih gluposti kada se odgovori na tako jednostavno djetinjasto pitanje.

Odgovori

Odgovor očito nije za obične školarce!
IN junior classes Pročitao sam divnu knjigu - onu o patuljastim i Al-Jebri, a možda su u kružoku iz matematike dali primjer - stavili su dvije osobe sa jabukama na suprotne strane znaka jednakosti različite boje i ponudili da jedni drugima daju jabuke. Zatim su između učesnika igre postavljeni drugi znakovi - plus, minus, više, manje.

Odgovori

Detinjasti odgovor, ha??))
Možda zvuči okrutno, ali sam autor ne razumije zašto minus na minus daje plus :-)
Sve na svijetu se može objasniti vizualno, jer su apstrakcije potrebne samo da bi se svijet objasnio. Vezani su za stvarnost i ne žive sami u zabludnim udžbenicima.
Iako je za objašnjenje potrebno barem poznavati fiziku, a ponekad i biologiju, zajedno s osnovama ljudske neurofiziologije.

Ali ipak, prvi dio je dao nadu za razumijevanje i vrlo jasno objasnio potrebu za negativnim brojevima.
Ali drugi je tradicionalno skliznuo u šizofreniju. A i B - ovo moraju biti stvarni objekti! pa zašto ih zvati ovim slovima kada možete uzeti, na primjer, vekne hleba ili jabuke
Da.. da je moguće... da?))))))

I... čak i koristeći pravu osnovu iz prvog dijela (to množenje je isto kao i sabiranje) - sa minusima dobijamo kontradikciju))
-2 + -2 = -4
Ali
-2 * -2 =+4))))
pa čak i ako uzmemo u obzir da je ovo minus dva, uzeto minus dva puta, ispostaviće se
-2 -(-2) -(-2) = +2

Vrijedilo je jednostavno priznati da, pošto su brojevi virtuelni, onda smo za relativno korektno računovodstvo morali smisliti virtualna pravila.
I ovo bi bila ISTINA, a ne prstenaste gluposti.

Odgovori

U svom primjeru, Academon je napravio grešku:
U stvari, (-2)+(-2) = (-4) je 2 puta (-2), tj. (-2) * 2 = (-4).
Što se tiče množenja dva negativna broja, bez kontradikcije, ovo je isti sabirak, samo na drugoj strani "0" na brojevnoj pravoj. naime:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Dakle, sve se zbraja.
Pa, što se tiče realnosti negativnih brojeva, kako vam se sviđa ovaj primjer?
Ako imam, recimo, 1000 dolara u džepu, moje raspoloženje se može nazvati “pozitivnim”.
Ako je $0, tada će stanje biti “none”.
Šta ako je (-1000)$ dug koji treba vratiti, a novca nema...?

Odgovori

Minus za minus - uvijek će postojati plus,
Zašto se to dešava, ne mogu reći.

Zašto me je -na-=+ zbunilo još u školi, u 7. razredu (1961). Pokušao sam smisliti drugu, „pošteniju“ algebru, gdje je +na+=+, i -na-=-. Činilo mi se da bi tako bilo poštenije. Ali šta onda raditi sa +na- i -na+? Nisam želio izgubiti komutativnost xy=yx, ali ne postoji drugi način.
Šta ako uzmete ne 2 znaka već tri, na primjer +, - i *. Jednako i simetrično.

DODATAK
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) se ne zbrajaju(!), kao stvarni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja.
Ali za to (+a)+(-a)+(*a)=0.

Na primjer, koliko je (+6)+(-4)+(*2) jednako?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Nije lako, ali možete se naviknuti.

Sada MNOŽENJE.
Hajde da pretpostavimo:
+na+=+ -na-=- *na*=* (pošteno?)
+na-=-na+=* +na*=*na+=- -na*=*na-=+ (pošteno!)
Čini se da je sve u redu, ali množenje nije asocijativno, tj.
a(bc) nije jednako (ab)c.

I ako je tako
+on+=+ -on-=* *on*=-
+na-=-na+=- +na*=*na+=* -na*=*na-=+
Opet nepravedno, + izdvojeno kao posebno. ALI rođena je NOVA ALGEBRA sa tri znaka. Komutativno, asocijativno i distributivno. Ima geometrijsku interpretaciju. Izomorfan je kompleksnim brojevima. Može se dalje proširiti: četiri karaktera, pet...
Ovo se ranije nije desilo. Uzmite, ljudi, koristite.

Odgovori

Dječije pitanje je općenito dječji odgovor.
Postoji naš svijet, gdje je sve „plus“: jabuke, igračke, mačke i psi, oni su stvarni. Možete pojesti jabuku, možete pomaziti mačku. A postoji i imaginarni svijet, ogledalo. Tu su i jabuke i igračke, kroz ogledalo, možemo ih zamisliti, ali ne možemo ih dodirnuti – izmišljene su. Možemo doći iz jednog svijeta u drugi koristeći znak minus. Ako imamo dvije prave jabuke (2 jabuke), a stavimo znak minus (-2 jabuke), dobićemo dvije zamišljene jabuke u ogledalu. Znak minus nas vodi iz jednog svijeta u drugi, naprijed-nazad. U našem svijetu nema zrcalnih jabuka. Možemo ih zamisliti čitavu gomilu, čak milion (minus milion jabuka). Ali nećete ih moći jesti, jer kod nas nema jabuka minus, sve jabuke u našim radnjama su plus jabuke.
Pomnožiti znači složiti neke objekte u obliku pravokutnika. Uzmimo dvije tačke ":" i pomnožimo ih sa tri, dobićemo: ": : :" - ukupno šest tačaka. Možete uzeti pravu jabuku (+I) i pomnožiti je sa tri, dobićemo: "+YAYA" - tri prave jabuke.
Sada pomnožimo jabuku sa minus tri. Opet ćemo dobiti tri jabuke "+YAYA", ali znak minus će nas odvesti do ogledala, i imaćemo tri jabuke ogledala (minus tri jabuke -YAYA).
Sada pomnožimo minus jabuka (-I) sa minus tri. Odnosno, uzimamo jabuku, a ako je ispred nje minus, prenosimo je u ogledalo. Tamo ga množimo sa tri. Sada imamo tri staklene jabuke! Ali postoji još jedan nedostatak. On će primljene jabuke vratiti u naš svijet. Kao rezultat, dobijamo tri stvarna ukusne jabuke+YAYA to se može pojesti.

Odgovori

Sve je u redu do poslednji korak. Kada se pomnoži sa minus jedna od tri zrcalne jabuke, moramo odraziti ove jabuke u drugom ogledalu. Njihova lokacija će se poklopiti sa stvarnim, ali će biti zamišljeni kao i prva ogledala i jednako nejestivi. To je (-1)*(-1)= --1<> 1.
Zapravo, zbunjuje me još jedna stvar vezana za množenje negativnih brojeva, naime:
Da li je tačna jednakost:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Ovo pitanje je proizašlo iz pokušaja da se razumije ponašanje grafa funkcije y=x^n, gdje su x i n realni brojevi.
Ispada da će se graf funkcije uvijek nalaziti u 1. i 3. kvartalu, osim u slučajevima kada je n paran. U ovom slučaju se mijenja samo zakrivljenost grafa. Ali paritet n je relativna vrijednost, jer možemo uzeti drugi referentni sistem, u kojem je n = 1.1*k, onda dobijamo
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
i paritet će ovde biti drugačiji...
I pored toga, predlažem da se argumentu doda ono što se dešava sa grafom funkcije y = x^(1/n). Pretpostavljam, ne bez razloga, da bi graf funkcije trebao biti simetričan grafu y = x^n u odnosu na graf funkcije y = x.

Odgovori

Postoji nekoliko načina da se objasni pravilo „minus za minus daje plus“. Evo najjednostavnijeg. Množenje prirodnim vrijednostima. broj n je rastezanje segmenta (koji se nalazi na brojevnoj osi) n puta. Množenje sa -1 je odraz segmenta u odnosu na ishodište. Kao najkraće objašnjenje zašto (-1)*(-1) = +1, ova metoda je prikladna.Usko grlo ovog pristupa je što je potrebno posebno odrediti zbir takvih operatora.

Odgovori

Možete ići kada objašnjavate iz kompleksnih brojeva
kao opštiji oblik predstavljanja brojeva
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Ojlerova formula
Znak je u ovom slučaju samo argument (ugao rotacije)
Prilikom množenja, uglovi se sabiraju
0 stepeni odgovara +
180 stepeni odgovara -
Množenje - sa - je ekvivalentno 180+180=360=0

Odgovori

Hoće li ovo uspjeti?

Poricanja su suprotna. Radi jednostavnosti, kako bismo se privremeno udaljili od minusa, zamijenit ćemo iskaze i početnu tačku učiniti većom. Počnimo brojati ne od nule, već od 1000.

Recimo da mi dvije osobe duguju dvije rublje: 2_people*2_rubles=4_rubles mi duguju ukupno. (moj bilans je 1004)

Sada inverzi (negativni brojevi, ali inverzni/pozitivni iskazi):

minus 2 osobe = to znači da oni meni ne duguju, ali ja dugujem (dugujem više ljudi nego oni meni). Na primjer, dugujem 10 ljudi, ali dugujem samo 8. Međusobna poravnanja se mogu smanjiti i ne uzeti u obzir, ali možete imati na umu da li je zgodnije raditi sa pozitivni brojevi. Odnosno, svi jedni drugima daju novac.

minus 2 rublje = sličan princip - morate uzeti više nego što dajete. Tako da sam svima dužan dvije rublje.

-(2_people)*2_rubles=I_ow_2_to each_=-4 od mene. Moje stanje je 996 rubalja.

2_people*(-2_rubles) = two_should_take_2_rubles_from_me=- 4 od mene. Moje stanje je 996 rubalja.

-(2_people)*(-2_rubles) = svako_treba_uzeti_od_me_manje_nego_treba_dati_za_2_rublja

Općenito, ako zamislite da se sve vrti ne oko 0, već oko, na primjer, 1000, a oni daju novac u koracima od 10, oduzimajući 8 u koracima. Tada možete dosljedno izvoditi sve operacije davanja novca nekome ili oduzmem ga i dođem do zaključka da ako mi dodatna dva (smanjit ćemo ostatak uzajamnim kompenzacijom) uzeti dvije rublje manje nego što će oni vratiti, onda će se moje blagostanje povećati za pozitivnu brojku od 4.

Odgovori

U potrazi za JEDNOSTAVNIM (djetetu razumljivim) odgovorom na postavljeno pitanje (“Zašto minus na minus daje plus”), pažljivo sam pročitao i članak koji je predložio autor i sve komentare. Najuspješnijim odgovorom smatram onaj koji se nalazi u epigrafu: “Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj.” Mnogo jasnije! Jednostavno i briljantno!

Određeni putnik stiže na ostrvo, o čijim stanovnicima zna samo jedno: neki od njih govore samo istinu, drugi samo lažu. Spolja ih je nemoguće razlikovati. Putnik sleti na obalu i ugleda put. Želi da sazna vodi li ovaj put do grada. Ugledavši lokalnog stanovnika na putu, postavlja mu SAMO JEDNO pitanje, omogućavajući mu da sazna da put vodi u grad. Kako je to pitao?

Rješenje je tri reda ispod (samo da zastanemo i damo vama odraslima priliku da zastanete i razmislite o ovome divan zadatak!) Moj unuk iz trećeg razreda smatrao je problem za njega još pretežim, ali razumijevanje odgovora ga je, bez sumnje, približilo razumijevanju budućih matematičkih zamršenosti poput „minus puta minus daje plus“.

Dakle, odgovor je:

“Kada bih te pitao vodi li ovaj put do grada, šta bi mi rekao?”

“Algebarsko” objašnjenje nije moglo poljuljati ni moju žarku ljubav prema ocu ni moje duboko poštovanje prema njegovoj nauci. Ali zauvijek sam mrzeo aksiomatsku metodu sa njenim nemotivisanim definicijama.

Zanimljivo je da se ovaj odgovor I. V. Arnolda na dječje pitanje praktički poklopio s objavljivanjem njegove knjige „Negativni brojevi u kursu algebre“. Tamo je (u 7. poglavlju) dat sasvim drugačiji odgovor, po mom mišljenju, vrlo jasan. Knjiga je dostupna u u elektronskom formatu http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Odgovori

Ako postoji paradoks, trebate potražiti greške u osnovama. Postoje tri greške u formulaciji množenja. Otuda dolazi „paradoks“. Samo trebate dodati nulu.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Množenje je dodavanje (ili oduzimanje) nuli iznova i iznova.

Množilac (4) pokazuje broj operacija sabiranja ili oduzimanja (broj znakova minus ili plus pri dekomponovanju množenja u sabiranje).

Znakovi minus i plus za množitelj (4) označavaju ili oduzimanje množenika od nule ili dodavanje množenika nuli.

U ovom konkretnom primjeru, (-4) označava da trebate oduzeti ("-") od nule množenik (-3) četiri puta (4).

Ispravite tekst (tri logičke greške). Samo dodajte nulu. Pravila aritmetike se zbog toga neće promijeniti.

Više detalja o ovoj temi ovdje:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Kakva je to navika mehanički vjerovati udžbenicima? Morate imati i vlastiti mozak. Pogotovo ako postoje paradoksi, slijepe tačke, očigledne kontradikcije. Sve je to posljedica grešaka u teoriji.

Nemoguće je rastaviti proizvod dva negativna broja na pojmove, prema trenutnoj formulaciji množenja (bez nule). Zar ovo nikome ne smeta?

Kakva je ovo formulacija množenja koja onemogućava množenje? :)

Problem je i čisto psihološki. Slijepo povjerenje u autoritete, nespremnost da razmišljate svojom glavom. Ako udžbenici tako kažu, ako tako uče u školi, onda je ovo konačna istina. Sve se menja, pa tako i nauka. Inače ne bi bilo razvoja civilizacije.

Ispravite tekst množenja u svim udžbenicima! Pravila aritmetike se zbog toga neće promijeniti.

Štaviše, kao što slijedi iz članka na koji je povezana gore, ispravljena formulacija množenja bit će slična formulaciji podizanja broja na stepen. I tamo ne zapisuju jedinicu kada se podignu na pozitivnu potenciju. Međutim, jedan se zapisuje kada se broj podigne na negativan stepen.

Gospodo matematičari, vaša majka, morate uvijek zapisati nulu i jedan, čak i ako se rezultat ne promijeni zbog njihovog odsustva.

Značenje skraćenih unosa se mijenja (ili čak nestaje). I školarci imaju problema sa razumijevanjem.

Odgovori

Napišite komentar

1) Zašto je minus jedan puta minus jedan jednako plus jedan?

2) Zašto je minus jedan puta plus jedan jednako minus jedan?

Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj

Najlakši odgovor je: “Zato što su ovo pravila za rad s negativnim brojevima.” Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Prvo ćemo pokušati da to shvatimo na osnovu istorije razvoja aritmetike, a zatim ćemo odgovoriti na ovo pitanje sa stanovišta savremene matematike.

Razmotrite, na primjer, jednačinu 7x – 17 = 2x – 2. To se može riješiti na ovaj način: pomjerite pojmove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak na desnu, ispostaviće se 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. Kod ovog rješenja nismo naišli ni na negativne brojeve.

Ali bilo je moguće slučajno učiniti drugačije: premjestiti pojmove s nepoznatim na desnu stranu i dobiti 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: x = (–15)/(–5). Ali tačan odgovor je poznat i ostaje da se to zaključi (–15)/(–5) = 3 .

Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, logika koja je odredila pravila za rad s negativnim brojevima postaje jasna: rezultati ovih radnji moraju odgovarati odgovorima dobijenim na drugi način, bez negativnih brojeva. Drugo, dopuštanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja rješenja u kojem se sve radnje izvode samo nad prirodnim brojevima. Štaviše, možda više ne razmišljamo svaki put o smislenosti transformiranih veličina – a to je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Tada su otkriveni i drugi skupovi matematičkih objekata na kojima se takve operacije mogu izvoditi: formalni nizovi stepena, kontinuirane funkcije... Konačno, došlo se do razumijevanja da ako proučavate svojstva samih operacija, onda se rezultati mogu primijeniti na sve ovi skupovi objekata (ovaj pristup je tipičan za svu modernu matematiku).

Kao rezultat, pojavio se novi koncept: prsten. To je samo skup elemenata plus radnje koje se mogu izvršiti na njima. Osnovna pravila ovdje su pravila (tzv aksiome), koji su podložni radnjama, a ne prirodi elemenata skupa (evo ga, novi nivo apstrakcije!). Želeći naglasiti da je važna struktura koja nastaje nakon uvođenja aksioma, matematičari kažu: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Polazeći od aksioma, mogu se zaključiti i druga svojstva prstenova.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za rad sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom proizvodi plus.

Prsten je skup s dvije binarne operacije (tj. svaka operacija uključuje dva elementa prstena), koji se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

sabiranje elemenata prstena podliježe komutativnom ( A + B = B + A za bilo koje elemente A I B) i asocijativni ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; postoji poseban element u ringu 0 (neutralni adicijski element) tako da A+0=A, i za bilo koji element A postoji suprotan element (označen (–A)), Šta A + (–A) = 0;
množenje je podređeno kombinacijskom zakonu: A·(B·C) = (A·B)·C;
Sabiranje i množenje su povezani sljedećim pravilima za otvaranje zagrada: (A + B) C = A C + B C I A (B + C) = A B + A C.

Da bismo to uradili, moraćemo da utvrdimo neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. U stvari, neka element A postoje dvije suprotnosti: B I WITH. To je A + B = 0 = A + C. Razmotrimo iznos A+B+C. Koristeći asocijativni i komutativni zakon i svojstvo nule, dobijamo da je, s jedne strane, zbir jednak B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a sa druge strane, jednaka je C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. znači, B=C.

Zabilježimo sada to A, And (–(–A)) su suprotnosti istog elementa (–A), tako da moraju biti jednaki.

Prva činjenica glasi ovako: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, to je (–A)·B suprotno A·B, što znači da je jednako –(A B).

1) Zašto je minus jedan puta minus jedan jednako plus jedan?
2) Zašto je minus jedan puta plus jedan jednako minus jedan?

“Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj.”

Negativni brojevi se pojavljuju u indijskim dokumentima od 7. veka nove ere; Kinezi su ih očigledno počeli koristiti nešto ranije. Korišćene su za obračun dugova ili u međukalkulacijama da bi se pojednostavilo rešavanje jednačina – bili su samo alat za dobijanje pozitivnog odgovora. Činjenica da negativni brojevi, za razliku od pozitivnih, ne izražavaju prisustvo nijednog entiteta izazvala je snažno nepovjerenje. Ljudi su doslovno izbjegavali negativne brojeve: ako je problem imao negativan odgovor, vjerovali su da odgovora uopće nema. Ovo nepoverenje je opstalo veoma dugo, pa ih je čak i Descartes, jedan od „osnivača” moderne matematike, nazvao „lažnim” (u 17. veku!).

Razmotrite, na primjer, jednačinu 7x - 17 = 2x - 2. To se može riješiti na ovaj način: pomjerite pojmove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak na desnu, ispostaviće se 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. Kod ovog rješenja nismo naišli ni na negativne brojeve.

Ali bilo je moguće slučajno učiniti drugačije: premjestiti pojmove s nepoznatim na desnu stranu i dobiti 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: x = (-15)/(-5). Ali tačan odgovor je poznat i ostaje da se to zaključi (-15)/(-5) = 3 .

Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, logika koja je odredila pravila za rad s negativnim brojevima postaje jasna: rezultati ovih radnji moraju odgovarati odgovorima dobijenim na drugi način, bez negativnih brojeva. Drugo, dopuštanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja rješenja u kojem se sve radnje izvode samo nad prirodnim brojevima. Štaviše, možda više ne razmišljamo svaki put o smislenosti transformiranih veličina – a to je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Pravila za rad s negativnim brojevima nisu formirana odmah, već su postala generalizacija brojnih primjera koji su se javljali prilikom rješavanja primijenjenih problema. Generalno, razvoj matematike se može podijeliti na faze: svaka sljedeća faza razlikuje se od prethodne po novom nivou apstrakcije pri proučavanju objekata. Tako su u 19. veku matematičari shvatili da celi brojevi i polinomi, uprkos svim svojim spoljašnjim razlikama, imaju mnogo zajedničkog: oba se mogu sabirati, oduzimati i množiti. Ove operacije poštuju iste zakone - i u slučaju brojeva i u slučaju polinoma. Ali dijeljenje cijelih brojeva jedni s drugima tako da rezultat opet budu cijeli brojevi nije uvijek moguće. Isto je i sa polinomima.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za rad sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom proizvodi plus.

Prsten je skup s dvije binarne operacije (tj. svaka operacija uključuje dva elementa prstena), koji se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

sabiranje elemenata prstena podliježe komutativnom ( A + B = B + A za bilo koje elemente A I B) i asocijativni ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; u prstenu postoji poseban element 0 (neutralni element dodavanjem) tako da A+0=A, i za bilo koji element A postoji suprotan element (označen (-A)), Šta A + (-A) = 0 ;
množenje je podređeno kombinacijskom zakonu: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Sabiranje i množenje su povezani sljedećim pravilima za otvaranje zagrada: (A + B) C = A C + B C I A (B + C) = A B + A C .

Sada to dokazujemo za sve elemente A I B proizvoljnog prstena je tačno, prvo, (-A) B = -(A B), i drugo (-(-A)) = A. Iz ovoga lako proizlaze izjave o jedinicama: (-1) 1 = -(1 1) = -1 I (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1 .

Zabilježimo sada to A, And (-(-A)) su suprotnosti istog elementa (-A), tako da moraju biti jednaki.

Prva činjenica glasi ovako: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, to je (-A)·B suprotno A·B, što znači da je jednako (A B) .

Jevgenij Epifanov, Zemlja (Sol III).

"Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj"

Zašto je minus jedan puta minus jedan jednako plus jedan? Zašto je minus jedan puta plus jedan jednako minus jedan? Najlakši odgovor je: “Zato što su ovo pravila za rad s negativnim brojevima.” Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Prvo ćemo pokušati da to shvatimo na osnovu istorije razvoja aritmetike, a zatim ćemo odgovoriti na ovo pitanje sa stanovišta savremene matematike.

Davno, ljudi su poznavali samo prirodne brojeve: koristili su se za brojanje pribora, plijena, neprijatelja itd. Ali sami brojevi su prilično beskorisni - morate znati rukovati njima. Sabiranje je jasno i razumljivo, a osim toga, zbir dva prirodna broja je i prirodan broj (matematičar bi rekao da je skup prirodnih brojeva zatvoren operacijom sabiranja). Množenje je u suštini isto što i sabiranje ako govorimo o prirodnim brojevima. U životu često izvodimo radnje vezane za ove dvije operacije (na primjer, kada kupujemo, zbrajamo i množimo), a čudno je pomisliti da su se naši preci rjeđe susreli s njima - sabiranje i množenje je čovječanstvo ovladalo jako dugo prije. Često morate neke količine podijeliti s drugima, ali ovdje rezultat nije uvijek izražen kao prirodan broj - tako su se pojavili razlomci.

Naravno, ne možete ni bez oduzimanja. Ali u praksi obično oduzimamo manji broj od većeg broja i nema potrebe za korištenjem negativnih brojeva. (Ako imam slatkiša i dam ga svojoj sestri, onda će mi ostati malo slatkiša, ali ne mogu joj dati slatkiš čak ni da želim.) Ovo može objasniti zašto ljudi dugo vremena ne koriste negativne brojeve.

Razmotrimo jednačinu kao primjer. To se može riješiti na ovaj način: pomjeriti pojmove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak na desnu, ispada , , . Kod ovog rješenja nismo naišli ni na negativne brojeve.

Ali bilo je moguće to slučajno učiniti drugačije: premjestiti pojmove s nepoznatim na desnu stranu i dobiti , . Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: . Ali tačan odgovor je poznat, i ostaje da se zaključi da .

Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, postaje jasna logika koja je odredila pravila za radnje na negativne brojeve: rezultati ovih radnji moraju se podudarati s odgovorima koji se dobijaju na drugačiji način, bez negativnih brojeva. Drugo, dopuštanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja rješenja u kojem se sve radnje izvode samo nad prirodnim brojevima. Štaviše, možda više ne razmišljamo svaki put o smislenosti transformiranih veličina – a to je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Kao rezultat, pojavio se novi koncept: prsten. To je samo skup elemenata plus radnje koje se mogu izvršiti na njima. Osnovna su ovdje upravo pravila (nazivaju se aksiomi) kojima podliježu radnje, a ne priroda elemenata skupa (evo ga, novi nivo apstrakcije!). Želeći naglasiti da je važna struktura koja nastaje nakon uvođenja aksioma, matematičari kažu: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Polazeći od aksioma, mogu se zaključiti i druga svojstva prstenova.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za rad sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom proizvodi plus.

Prsten je skup s dvije binarne operacije (to jest, svaka operacija uključuje dva elementa prstena), koji se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

Sada ćemo dokazati da je za bilo koje elemente i proizvoljan prsten istinito, prvo, , i drugo, . Iz ovoga lako slijede izjave o jedinicama: i .

Da bismo to uradili, moraćemo da utvrdimo neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. U stvari, neka element ima dvije suprotnosti: i . To je . Razmotrimo iznos. Koristeći asocijativne i komutativne zakone i svojstvo nule, nalazimo da je, s jedne strane, suma jednaka , a s druge strane, jednaka je . Znači,.

Imajte na umu da su oba i suprotni od istog elementa, tako da moraju biti jednaki.

Prva činjenica ispada ovako: to jest, suprotna je, što znači da je jednaka.

Da budemo matematički rigorozni, objasnimo i zašto za bilo koji element . Zaista, . To jest, dodavanjem se ne mijenja iznos. To znači da je ovaj proizvod jednak nuli.

Evgeniy Epifanov
"Elementi"

Komentari: 0

Jacques Sesiano

Tokom dva milenijuma dogodile su se tri važne ekspanzije numeričkog domena. Prvo, oko 450. godine prije Krista. naučnici pitagorejske škole dokazali su postojanje racionalni brojevi. Njihov početni cilj je bio da kvantifikuju dijagonalu jediničnog kvadrata. Drugo, u XIII-XV veku, evropski naučnici su rešavali sisteme linearne jednačine, dopušta mogućnost jedne negativne odluke. I treće, 1572. godine talijanski algebraist Raphael Bombelli koristio je kompleksne brojeve da bi dobio pravo rješenje određene kubne jednačine.

Proskuryakov I. V.

Svrha ove knjige je da striktno definiše brojeve, polinome i algebarske razlomke i opravda njihova svojstva koja su već poznata iz škole, a ne da čitaoca upozna sa novim svojstvima. Stoga čitalac ovdje neće pronaći nove činjenice za njega (s mogućim izuzetkom nekih svojstava, realnih i kompleksnih brojeva), već će naučiti kako se dokazuju stvari koje su mu dobro poznate, počevši od “dvaput dva je četiri” i završavajući pravilima operacija s polinomima And algebarski razlomci. Ali čitalac će se upoznati sa brojnim opšti koncepti, igrajući glavnu ulogu u algebri.

Ilya Shchurov

Matematičar Ilya Shchurov o decimale, transcendencija i iracionalnost broja Pi.

Leon Takhtajyan

To će biti četiri kratke priče. Počećemo s brojevima, zatim ćemo razgovarati o kretanju, o promjeni, zatim ćemo razgovarati o oblicima i veličinama, a zatim o početku i kraju. U ovom pomalo šifrovanom stilu pokušaćemo da sagledamo matematiku iznutra i izvana, i to upravo kao predmet. O čemu matematičari razmišljaju i žive - o tome ćemo kasnije.

Vladlen Timorin

Matematičar Vladlen Timorin o prednostima kompleksnih brojeva, Hamiltonovim kvaternionima, osmodimenzionalnim Cayleyevim brojevima i raznolikosti brojeva u geometriji.

Jacques Sesiano

O Diofantu znamo malo. Mislim da je živeo u Aleksandriji. Niko od grčkih matematičara ga ne pominje pre 4. veka, pa je verovatno živeo sredinom 3. veka. Najviše glavni posao Diofanta, „Aritmetika“ (Ἀριθμητικά), odigrala se na početku 13 „knjiga“ (βιβλία), tj. poglavlja. Danas ih imamo 10, i to: 6 u grčkom tekstu i 4 druga u srednjovjekovnom arapski prijevod, čije je mjesto u sredini grčkih knjiga: knjige I-III na grčkom, IV-VII na arapskom, VIII-X na grčkom. Diofantova "Aritmetika" je prvenstveno zbirka zadataka, ukupno oko 260. Istinu govoreći, ne postoji teorija; postoje samo opšta uputstva u uvodu knjige i privatnim komentarima u nekim problemima, kada je to potrebno. "Aritmetika" već ima karakteristike algebarske rasprave. Prvo koristi Diofant različiti znakovi da izrazi nepoznato i njegove moći, takođe i neke kalkulacije; kao i sav algebarski simbolizam srednjeg vijeka, njegov simbolizam dolazi od matematičkih riječi. Zatim, Diofant objašnjava kako algebarski riješiti problem. Ali Diofantovi problemi nisu algebarski u uobičajenom smislu, jer se skoro svi svode na rješavanje neodređene jednačine ili sistema takvih jednačina.

Svijet matematike je nezamisliv bez njih – bez prostih brojeva. Šta se desilo primarni brojevišta je kod njih posebno i kakav značaj imaju Svakodnevni život? U ovom filmu, britanski profesor matematike Marcus du Sautoy će otkriti tajnu prostih brojeva.

Georgij Šabat

U školi nam je svima usađena pogrešna ideja da na skupu racionalnih brojeva Q postoji jedinstvena prirodna udaljenost (modul razlike), u odnosu na koju su sve aritmetičke operacije kontinuirane. Međutim, postoji i beskonačan broj udaljenosti, takozvanih p-adičnih, po jedna za svaki broj p. Prema teoremi Ostrovskog, „obična“ distanca, zajedno sa svim p-adskim, već zaista iscrpljuje sve razumne udaljenosti P. Termin adelična demokratija uveo je Yu. I. Manin. Prema principu adelične demokratije, sve razumne udaljenosti na Q jednake su pred zakonima matematike (možda samo tradicionalno "malo=malo jednako..."). Kurs će uvesti adelički prsten koji vam omogućava da radite sa svim tim udaljenostima u isto vrijeme.

Vladimir Arnold

J. L. Lagrange je dokazao da je niz nepotpunih količnika (polazeći od određenog mjesta) periodičan ako i samo ako je broj x kvadratna iracionalnost. R. O. Kuzmin je dokazao da je u nizu nepotpunih količnika gotovo svakog realnog broja razlomak d_m jednak m nepotpunih količnika isti (za tipične realne brojeve). Razlomak d_m opada kao m→∞ za 1/m^2 i njegovu vrijednost je predvidio Gauss (koji nije dokazao ništa). V.I. Arnol'd je izrazio (prije oko 20 godina) hipotezu da Gauss-Kuzminova statistika d_m također vrijedi za periode kontinuiranih razlomaka korijena kvadratne jednačine x^2+px+q=0 (sa cijelim brojem p i q): ako zajedno zapišemo nepotpune količnike koji čine periode svih kontinuiranih razlomaka korijena takvih jednadžbi s p^2+q^2≤R ^2, tada će udio nepotpunog količnika m među njima težiti broju d_m kao R→∞. V. A. Bykovsky i njegovi studenti iz Habarovska nedavno su dokazali ovu dugogodišnju hipotezu. Uprkos tome, pitanje statistike ne slova, već riječi sastavljenih od njih, a to su periodi kontinuiranih razlomaka bilo kojeg korijena x jednačina x^2+px+q=0, daleko je od riješenog.

Reed Miles

Naslov i sažetak ostavljam što je moguće nejasnijim, tako da mogu pričati o onome što mi se sviđa tog dana. Mnogi varijeteti od interesa za klasifikaciju varijeteta dobijaju se kao Spec ili Proj Gorensteinovog prstena. U koddimenziji ⩽3, dobro poznata teorija strukture daje eksplicitne metode izračunavanja sa Gorensteinovim prstenovima. Nasuprot tome, ne postoji upotrebljiva teorija strukture za prstenove kodimenzije ⩾4. Ipak, u mnogim slučajevima, Gorensteinova projekcija (i njena inverzna, Kustin-Millerova deprojekcija) pružaju metode napada na ove prstenove. Ove metode se primjenjuju na sporadične klase kanonskih prstenova pravilnih algebarskih površina, i na sistematičnije konstrukcije Q-Fano 3-folda, Sarkisovljevih veza između njih i trostrukih okreta tipa A Morijeve teorije.

Zaista, zašto? Najlakši odgovor je: “Zato što su ovo pravila za rad s negativnim brojevima.” Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Sjećamo se da je upravo tako i više ne postavljamo pitanje.

Zapitajmo se...

Naravno, ne možete ni bez oduzimanja. Ali u praksi obično oduzimamo manji broj od većeg broja i nema potrebe za korištenjem negativnih brojeva. (Ako imam 5 bombona i dam sestri 3, onda će mi ostati 5 - 3 = 2 bombona, ali ne mogu joj dati 7 bombona čak ni da želim.) Ovo može objasniti zašto ljudi nisu koristili negativne brojeve za dugo vrijeme.

Negativni brojevi se pojavljuju u indijskim dokumentima od 7. veka nove ere; Kinezi su ih očigledno počeli koristiti nešto ranije. Korišćene su za obračun dugova ili u međukalkulacijama da bi se pojednostavilo rešavanje jednačina – bili su samo alat za dobijanje pozitivnog odgovora. Činjenica da negativni brojevi, za razliku od pozitivnih, ne izražavaju prisustvo nijednog entiteta izazvala je snažno nepovjerenje. Ljudi su doslovno izbjegavali negativne brojeve: ako je problem imao negativan odgovor, vjerovali su da odgovora uopće nema. Ovo nepoverenje je opstalo veoma dugo, pa ih je čak i Descartes, jedan od „osnivača” moderne matematike, nazvao „lažnim” (u 17. veku!).

Razmotrimo, na primjer, jednačinu 7x - 17 = 2x - 2. Može se riješiti na ovaj način: pomjerimo članove s nepoznatom na lijevu stranu, a ostatak na desnu, dobićemo 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. S ovim U našem rješenju nismo naišli čak ni na negativne brojeve.

Ali bilo je moguće slučajno učiniti drugačije: pomeriti članove sa nepoznatim na desnu stranu i dobiti 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: x = (-15)/(-5). Ali tačan odgovor je poznat i ostaje da se zaključi da je (-15)/(-5) = 3.

Pravila za rad s negativnim brojevima nisu formirana odmah, već su postala generalizacija brojnih primjera koji su se javljali prilikom rješavanja primijenjenih problema. Generalno, razvoj matematike se može podijeliti na faze: svaka sljedeća faza razlikuje se od prethodne po novom nivou apstrakcije pri proučavanju objekata. Tako su u 19. veku matematičari shvatili da celi brojevi i polinomi, uprkos svim svojim spoljašnjim razlikama, imaju mnogo zajedničkog: oba se mogu sabirati, oduzimati i množiti. Ove operacije poštuju iste zakone - i u slučaju brojeva i u slučaju polinoma. Ali dijeljenje cijelih brojeva jedni s drugima tako da rezultat opet budu cijeli brojevi nije uvijek moguće. Isto je i sa polinomima.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za rad sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom proizvodi plus.

Prsten je skup s dvije binarne operacije (to jest, svaka operacija uključuje dva elementa prstena), koji se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

Dodavanje prstenastih elemenata poštuje komutativne (A + B = B + A za bilo koje elemente A i B) i kombinacione (A + (B + C) = (A + B) + C) zakone; u prstenu postoji poseban element 0 (neutralni element dodavanjem) takav da je A + 0 = A, a za bilo koji element A postoji suprotan element (označen (-A)) takav da je A + (-A) = 0 ;
-množenje se pridržava kombinacijskog zakona: A·(B·C) = (A·B)·C;
sabiranje i množenje su povezani sljedećim pravilima za otvaranje zagrada: (A + B) C = A C + B C i A (B + C) = A B + A C.

Dokažimo sada da je za bilo koje elemente A i B proizvoljnog prstena tačno, prvo, (-A) B = -(A B), a drugo (-(-A)) = A. Ovo lako slijedi izjave o jedinicama : (-1) 1 = -(1 1) = -1 i (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Da bismo to uradili, moraćemo da utvrdimo neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. U stvari, neka element A ima dvije suprotnosti: B i C. To jest, A + B = 0 = A + C. Razmotrimo zbir A + B + C. Koristeći asocijativne i komutativne zakone i svojstvo nule, mi dobiti da je, s jedne strane, suma jednaka B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a s druge strane jednaka je C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Dakle, B = C.

Imajte na umu da su i A i (-(-A)) suprotnosti istog elementa (-A), tako da moraju biti jednaki.

Prva činjenica ispada ovako: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, odnosno (-A) B je suprotno od A B, što znači da je jednako - (A·B).

Da budemo matematički rigorozni, objasnimo i zašto je 0·B = 0 za bilo koji element B. Zaista, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. To jest, dodavanje 0·B ne mijenja iznos. To znači da je ovaj proizvod jednak nuli.

Evgeniy Epifanov