Ponovimo teoriju o funkcijama. Funkcija je pravilo prema kojem je svaki element jednog skupa (argumenta) povezan s određenim ( jedini!) element drugog skupa (skup vrijednosti funkcije). Odnosno, ako postoji funkcija \(y = f(x)\), to znači da za svaku valjanu vrijednost varijable \(x\)(koji se naziva „argument“) odgovara jednoj vrijednosti varijable \(y\)(naziva se "funkcija").

Funkcija koja opisuje inverznu zavisnost

Ovo je funkcija forme \(y = \frac(k)(x)\), gdje \(k\ne 0.\)

Na drugi način, naziva se inverzna proporcionalnost: povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.
Hajde da definišemo domen definicije. Čemu \(x\) može biti jednako? Ili, drugim riječima, čemu to ne može biti jednako?

Jedini broj koji se ne može podijeliti je 0, dakle \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \čaša (0; + \infty)\)

ili, što je isto:

\(D(y) = R\obrnuta kosa crta \( 0\).\)

Ova notacija znači da \(x\) može biti bilo koji broj osim 0: znak “R” označava skup realnih brojeva, to jest, sve moguće brojeve; znak “\” označava isključenje nečega iz ovog skupa (analogno znaku “minus”), a broj 0 u vitičastim zagradama jednostavno znači broj 0; Ispada da iz svih mogućih brojeva izuzimamo 0.

Ispostavilo se da je skup vrijednosti funkcije potpuno isti: na kraju krajeva, ako \(k \ne 0.\) , onda bez obzira na to s čime ga podijelimo, 0 neće raditi:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

ili \(E(y) = R\obrnuta kosa crta \( 0\).\)

Moguće su i neke varijacije formule \(y = \frac(k)(x)\). Na primjer, \(y = \frac(k)((x + a))\) je također funkcija koja opisuje inverzni odnos. Opseg i raspon vrijednosti ove funkcije su sljedeći:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Hajde da razmotrimo primjer, svedemo izraz na oblik inverznog odnosa:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

Vještački smo uveli vrijednost 3 u brojilac, a sada dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član, dobijamo:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Dobili smo inverzni odnos plus broj 1.

Grafikon inverzne veze

Počnimo s jednostavnim slučajem \(y = \frac(1)(x).\)

Kreirajmo tablicu vrijednosti:

Nacrtajmo tačke na koordinatnoj ravni:

Povežite tačke, graf će izgledati ovako:

Ovaj graf se zove "hiperbola". Kao i parabola, hiperbola ima dvije grane, samo što nisu povezane jedna s drugom. Svaki od njih teži da pomakne svoje krajeve bliže osi Ox I Oy, ali nikada do njih.

Napomenimo neke karakteristike funkcije:

1. Ako funkcija ima minus ispred razlomka, tada se graf okreće, odnosno prikazuje se simetrično u odnosu na os Ox.
2. Što je veći broj u nazivniku, to graf dalje „bježi“ od početka.

Inverzna zavisnost u životu

Gdje nalazimo takvu funkciju u praksi? Postoji mnogo primjera. Najčešći je pokret: što je veća brzina kojom se krećemo, to će nam manje vremena trebati da pređemo istu udaljenost. Prisjetimo se formule brzine:

\(v = \frac(S)(t),\)

gdje je v brzina, t vrijeme putovanja, S je udaljenost (put).

Odavde možemo izraziti vrijeme: \(t = \frac(S)(v).\)

Prvi nivo

Inverzni odnos. Prvi nivo.

Sada ćemo govoriti o inverznoj zavisnosti, ili drugim rečima - inverznoj proporcionalnosti, kao funkciji. Sjećate li se da je funkcija određena vrsta zavisnosti? Ako još niste pročitali temu, toplo preporučujem da sve ispustite i pročitate, jer ne možete proučavati nijednu određenu funkciju bez razumijevanja šta je to - funkcija.

Također je vrlo korisno savladati dvije jednostavnije funkcije prije nego započnete ovu temu: i . Tamo ćete ojačati koncept funkcije i naučiti raditi s koeficijentima i grafovima.

Dakle, sjećate li se što je funkcija?
Ponovimo: funkcija je pravilo prema kojem je svaki element jednog skupa (argumenta) povezan s određenim ( jedini!) element drugog skupa (skup vrijednosti funkcije). Odnosno, ako imate funkciju, to znači da za svaku valjanu vrijednost varijable (koja se zove “argument”) postoji odgovarajuća vrijednost varijable (koja se zove “funkcija”). Šta znači "prihvatljivo"? Ako ne možete odgovoriti na ovo pitanje, vratite se ponovo na temu ""! Sve je u konceptu "domen": Za neke funkcije nisu svi argumenti jednako korisni i mogu se zamijeniti u zavisnosti. Na primjer, za funkciju negativne vrijednosti argumenti nisu dozvoljeni.

Funkcija koja opisuje inverznu zavisnost

Ovo je funkcija oblika gdje.

Na drugi način, naziva se inverzna proporcionalnost: povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.
Hajde da definišemo domen definicije. Čemu može biti jednaka? Ili, drugim riječima, čemu to ne može biti jednako?

Jedini broj koji se ne može podijeliti je dakle:

ili, šta je isto,

(takav zapis znači da može biti bilo koji broj, osim: znak “ ” označava skup realnih brojeva, odnosno svih mogućih brojeva; znak “ ” označava isključenje nečega iz ovog skupa (analogno “minus ” znak), a broj u vitičastim zagradama znači samo broj; ispada da iz svih mogućih brojeva izuzimamo).

Ispostavilo se da je skup vrijednosti funkcija potpuno isti: na kraju krajeva, ako, bez obzira na što ga podijelimo, neće raditi:

Moguće su i neke varijacije formule. Na primjer, ovo je također funkcija koja opisuje inverzni odnos.
Sami odredite domenu definicije i raspon vrijednosti ove funkcije. Trebalo bi izgledati ovako:

Pogledajmo ovu funkciju: . Da li je to obrnuto povezano?

Na prvi pogled teško je reći: na kraju krajeva, s povećanjem se povećavaju i nazivnik razlomka i brojnik, pa nije jasno hoće li se funkcija smanjiti, a ako hoće, hoće li se srazmjerno smanjivati? Da bismo ovo razumjeli, moramo transformirati izraz tako da nema varijable u brojiocu:

Zaista, dobili smo obrnuti odnos, ali uz upozorenje: .

Evo još jednog primjera: .

Ovdje je sve komplikovanije: na kraju krajeva, brojnik i imenilac sada se sigurno ne poništavaju. Ali još uvijek možemo pokušati:

Da li razumeš šta sam uradio? U brojiocu sam sabirao i oduzimao isti broj (), tako da kao da nisam ništa mijenjao, ali sada postoji dio u brojniku koji je jednak nazivniku. Sada ću podijeliti član po član, odnosno podijelit ću ovaj razlomak na zbir dva razlomka:

(zaista, ako svedemo ono što sam dobio na zajednički nazivnik, dobićemo naš početni razlomak):

Vau! Ponovo radi inverzni odnos, samo što mu se sada dodaje broj.
Ova metoda će nam kasnije biti vrlo korisna prilikom konstruiranja grafova.

Sada sami transformirajte izraze u inverzni odnos:

odgovori:

2. Ovdje morate zapamtiti kako je kvadratni trinom faktoriziran (ovo je detaljno opisano u temi “”). Dozvolite mi da vas podsjetim da za ovo morate pronaći korijene odgovarajućeg kvadratna jednačina: . Pronaći ću ih usmeno koristeći Vietinu teoremu: , . Kako se to radi? Ovo možete naučiti čitajući temu.
Dakle, dobijamo: , dakle:

3. Jeste li već pokušali sami to riješiti? u čemu je kvaka? Sigurno je činjenica da imamo u brojniku i u nazivniku - to je jednostavno. Nije problem. Trebat ćemo smanjiti za, pa u brojiocu to treba staviti van zagrada (tako da u zagradi dobijemo bez koeficijenta):

Grafikon inverzne veze

Kao i uvijek, počnimo s najjednostavnijim slučajem: .
Napravimo tabelu:

Nacrtajmo tačke na koordinatnoj ravni:

Sada ih treba glatko povezati, ali kako? Može se vidjeti da tačke na desnoj i lijevoj strani formiraju naizgled nepovezane krive linije. Onako kako je. Grafikon će izgledati ovako:

Ovaj graf se zove "hiperbola"(u tom nazivu postoji nešto poput "parabole", zar ne?). Kao i parabola, hiperbola ima dvije grane, samo što nisu povezane jedna s drugom. Svaki od njih svojim krajevima nastoji da se približi osi i, ali ih nikada ne dostigne. Ako istu hiperbolu pogledate izdaleka, dobit ćete sljedeću sliku:

To je razumljivo: budući da graf ne može preći osu. Ali takođe, tako da graf nikada neće dodirnuti osu.

Pa, da vidimo na šta koeficijenti utiču. Razmotrite ove funkcije:
:

Vau, kakva lepota!
Svi grafovi su izgrađeni različite boje kako bi ih lakše razlikovali jedno od drugog.

Dakle, na šta prvo treba da obratimo pažnju? Na primjer, ako funkcija ima minus ispred razlomka, tada se graf okreće, odnosno prikazuje se simetrično u odnosu na os.

Drugo: što je veći broj u nazivniku, to graf dalje „bježi“ od početka.

Što ako funkcija izgleda složenije, na primjer, ?

U ovom slučaju, hiperbola će biti potpuno ista kao i uobičajena, samo će se malo pomaknuti. Hajde da razmislimo, gde?

Čemu to sada ne može biti jednako? U redu, . To znači da graf nikada neće dostići pravu liniju. Čemu to ne može biti jednako? Sad. To znači da će sada graf težiti pravoj liniji, ali je nikada neće preći. Dakle, sada prave linije igraju istu ulogu kao i koordinatne ose za funkciju. Takve linije se nazivaju asimptote(linije kojima graf teži, ali ne dostiže):

Više o tome kako se grade takvi grafovi naučit ćemo u ovoj temi.

Sada pokušajte riješiti nekoliko primjera za konsolidaciju:

1. Slika prikazuje graf funkcije. Definiraj.

2. Slika prikazuje graf funkcije. Definiraj

3. Slika prikazuje graf funkcije. Definiraj.

4. Slika prikazuje graf funkcije. Definiraj.

5. Slika prikazuje grafikone funkcija i.

Odaberite tačan omjer:

odgovori:

Inverzna zavisnost u životu

Gdje nalazimo takvu funkciju u praksi? Postoji mnogo primjera. Najčešći je pokret: što je veća brzina kojom se krećemo, to će nam manje vremena trebati da pređemo istu udaljenost. Zaista, sjetimo se formule za brzinu: , gdje je brzina, vrijeme putovanja, udaljenost (put).

Odavde možemo izraziti vrijeme:

primjer:

Osoba ide na posao prosječnom brzinom od km/h i stigne tamo za sat vremena. Koliko će minuta provesti na istom putu ako vozi brzinom od km/h?

Rješenje:

Uglavnom, takve zadatke ste već rješavali u 5. i 6. razredu. Vi ste napravili proporciju:

Odnosno, koncept inverzne proporcionalnosti vam je već poznat. Pa smo se setili. A sada ista stvar, samo na način za odrasle: kroz funkciju.

Funkcija (tj. ovisnost) vremena u minutama od brzine:

Tada je poznato da:

Potrebno je pronaći:

Sada smislite nekoliko primjera iz života u kojima je prisutna inverzna proporcionalnost.
Izmišljeno? Svaka cast. Sretno!

OBRNUTA ZAVISNOST. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

1. Definicija

Funkcija koja opisuje inverznu zavisnost je funkcija oblika gdje.

Na drugi način, ova funkcija se naziva inverzna proporcionalnost, jer povećanje argumenta uzrokuje proporcionalno smanjenje funkcije.

ili, šta je isto,

Inverzni graf je hiperbola.

2. Koeficijenti, i.

Odgovoran za „ravnote“ i smjera grafa: što je ovaj koeficijent veći, hiperbola je dalje locirana od nulte tačke, pa se stoga „okreće“ manje strmo (vidi sliku). Predznak koeficijenta utiče na to u kojim se četvrtima nalazi graf:

• ako, onda se grane hiperbole nalaze u i četvrtinama;
• ako, onda u i.

x=a je vertikalna asimptota, odnosno vertikala kojoj graf teži.

Broj je odgovoran za pomicanje grafa funkcije prema gore za iznos ako je , i pomicanje prema dolje ako .

Dakle, ovo je horizontalna asimptota.

Danas ćemo pogledati koje se količine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf inverzne proporcionalnosti i kako vam sve to može biti korisno ne samo na časovima matematike, već i van škole.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost navedite dvije veličine koje su međusobno zavisne jedna od druge.

Zavisnost može biti direktna i inverzna. Prema tome, odnosi između veličina su opisani direktnom i obrnutom proporcionalnošću.

Direktna proporcionalnost– to je takav odnos između dvije veličine u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. One. njihov stav se ne menja.

Na primjer, što više truda uložite u učenje za ispite, to su više ocjene. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to će vaš ranac biti teži za nošenje. One. Količina truda uloženog u pripremu ispita direktno je proporcionalna dobijenim ocjenama. A broj stvari spakovanih u ranac je direktno proporcionalan njegovoj težini.

Inverzna proporcionalnost– ovo je funkcionalna ovisnost u kojoj smanjenje ili povećanje zavisne vrijednosti za nekoliko puta (naziva se argument) uzrokuje proporcionalno (tj. isti broj puta) povećanje ili smanjenje zavisne vrijednosti (naziva se funkcija).

Hajde da ilustrujemo jednostavan primjer. Želite kupiti jabuke na pijaci. Jabuke na tezgi i količina novca u vašem novčaniku su u obrnutoj proporciji. One. Što više jabuka kupite, to će vam ostati manje novca.

Funkcija i njen graf

Funkcija inverzne proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojem x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

1. Njegov domen definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Domet je sve realni brojevi, osim y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
4. Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne siječe koordinatne ose.
7. Nema nule.
8. Ako k> 0 (tj. argument raste), funkcija se proporcionalno smanjuje na svakom od svojih intervala. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanji ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije inverzne proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano kako slijedi:

Problemi inverzne proporcionalnosti

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Oni nisu previše komplikovani, a njihovo rješavanje pomoći će vam da vizualizirate što je inverzna proporcionalnost i kako to znanje može biti korisno u vašem svakodnevnom životu.

Zadatak br. 1. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne do odredišta. Koliko će mu trebati da pređe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo početi tako što ćemo zapisati formulu koja opisuje odnos između vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas uvelike podsjeća na funkciju inverzne proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na putu i brzina kojom se kreće u obrnutoj proporciji.

Da bismo to potvrdili, pronađimo V 2, koji je prema uslovu 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Zatim izračunavamo udaljenost koristeći formulu S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje je potrebno od nas prema uslovima problema: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina su zaista obrnuto proporcionalni: pri brzini 2 puta većoj od prvobitne, automobil će provesti 2 puta manje vremena na putu.

Rješenje ovog problema se također može napisati kao proporcija. Dakle, prvo napravimo ovaj dijagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice pokazuju obrnuto proporcionalni odnos. To također predlažu prilikom sastavljanja proporcija desna strana zapisi se moraju preokrenuti: 60/120 = x/6. Gdje dobijamo x = 60 * 6/120 = 3 sata.

Zadatak br. 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadatu količinu posla mogu obaviti za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da završe istu količinu posla?

Zapišimo uslove problema u obliku vizuelni dijagram:

↓ 6 radnika – 4 sata

↓ 3 radnika – x ​​h

Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. I dobijemo x = 6 * 4/3 = 8 sati.Ako ima 2 puta manje radnika, preostali će potrošiti 2 puta više vremena na sav posao.

Zadatak br. 3. U bazen vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda teče brzinom od 2 l/s i napuni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev, bazen će se napuniti za 75 minuta. Kojom brzinom voda ulazi u bazen kroz ovu cijev?

Za početak, smanjimo sve količine koje su nam date prema uslovima problema na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Budući da uvjet podrazumijeva da se bazen puni sporije kroz drugu cijev, to znači da je brzina protoka vode manja. Proporcionalnost je inverzna. Izrazimo nepoznatu brzinu kroz x i nacrtajmo sljedeći dijagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A onda pravimo proporciju: 120/x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrima u sekundi, a odgovor koji smo dobili svedemo na isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak br. 4. Mala privatna štamparija štampa vizit karte. Zaposleni u štampariji radi brzinom od 42 vizit karte na sat i radi ceo dan - 8 sati. Ako je radio brže i odštampao 48 vizitkarti za sat vremena, koliko bi ranije mogao otići kući?

Pratimo dokazani put i pravimo dijagram prema uslovima problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 vizit karte/sat – 8 sati

↓ 48 vizitkarti/h – x h

Imamo obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više vizitkarti odštampa zaposleni u štampariji po satu, isto toliko puta manje vremena će mu trebati da završi isti posao. Znajući ovo, napravimo proporciju:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 sati.

Dakle, pošto je posao završio za 7 sati, radnik štamparije je mogao da ide kući sat ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ovi problemi inverzne proporcionalnosti zaista jednostavni. Nadamo se da sada i vi o njima razmišljate na taj način. A glavno je to znanje o obrnutom proporcionalna zavisnost količine bi vam se zaista mogle pokazati korisnim više puta.

Ne samo na časovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada se spremite za put, u kupovinu, odlučite da zaradite malo više novca tokom praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere inverznih i direktno proporcionalnih odnosa primjećujete oko sebe. Neka bude takva igra. Vidjet ćete kako je uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na na društvenim mrežama tako da i vaši prijatelji i drugovi iz razreda mogu da se igraju.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

1 lekcija na temu

Izvedeno:

Telegina L.B.

Svrha lekcije:

1. ponovite sav proučeni materijal o funkcijama.
2. uvesti definiciju inverzne proporcionalnosti i naučiti kako se izgradi njen graf.
3. razvijati logičko razmišljanje.
4. negovati pažnju, tačnost, tačnost.

Plan lekcije:

1. Ponavljanje.
2. Objašnjenje novog materijala.
3. Minut fizičkog vaspitanja.
4. Konsolidacija.

Oprema: posteri.

Tokom nastave:

1. Lekcija počinje ponavljanjem. Od učenika se traži da reše ukrštenicu (koja je unapred pripremljena na velikom listu papira).

Ukrštenica pitanja:

1. Zavisnost između varijabli, u kojoj svaka vrijednost nezavisne varijable odgovara jednoj vrijednosti zavisne varijable. [Funkcija].

2. Nezavisna varijabla. [Argument].

3. Skup tačaka apscisne koordinatne ravni, koje su jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake vrijednostima funkcije. [Raspored].

4. Funkcija data formulom y=kx+b. [Linear].

5. Kako se koeficijent naziva broj? k u formuli y=kx+b? [Ugao].

6. Šta je graf linearne funkcije? [Ravno].

7. Ako je k≠0, onda graf y=kx+b siječe ovu osu, a ako je k=0, onda je paralelan s njom. Kojim slovom je označena ova osa? [X].

8. Riječ u nazivu funkcije y=kx? [Proporcionalnost].

9. Funkcija data formulom y=x 2. [Kvadratično].

10. Naslov grafikona kvadratna funkcija. [Parabola].

11. Slovo latinice, koje često označava funkciju. [Igrek].

12. Jedan od načina specificiranja funkcije. [Formula].

Učitelju : Koji su glavni načini specificiranja funkcije koje poznajemo?

(Jedan učenik na tabli dobija zadatak: popuniti tablicu vrijednosti funkcije 12/x koristeći date vrijednosti njenog argumenta, a zatim ucrtati odgovarajuće tačke na koordinatnu ravan).

Ostali odgovaraju na pitanja nastavnika: (koja su unaprijed napisana na tabli)

1. Kako se zovu sljedeće funkcije date formulama: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Navedite domenu definicije sljedećih funkcija: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

Zatim učenici rade prema tabeli, odgovarajući na pitanja nastavnika:

1. Koja slika iz tabele prikazuje grafikone:

a) linearna funkcija;

b) direktnu proporcionalnost;

c) kvadratna funkcija;

d) funkcije oblika y=kx 3 ?

2. Koji predznak ima koeficijent k u formulama oblika y=kx+b, koje odgovaraju grafikonima na slikama 1, 2, 4, 5 u tabeli?

3. Pronađite grafike u tabeli linearne funkcije, čiji su ugaoni koeficijenti:

a) jednaka;

b) jednake po veličini i suprotnog predznaka.

(Tada cijeli razred provjerava da li je učenik koji je pozvan na ploču ispravno popunio tabelu i stavio tačke na koordinatnu ravan).

2. Objašnjenje počinje motivacijom.

Učitelj: Kao što znate, svaka funkcija opisuje neke procese koji se dešavaju u svijetu oko nas.

Razmotrite, na primjer, pravougaonik sa stranicama x i y i površina 12 cm 2 . Poznato je da je x*y=12, ali šta se dešava ako počnete da menjate jednu od stranica pravougaonika, recimo stranu sa dužinom x?

Dužina strane y može se naći iz formule y=12/x. Ako x povećati za 2 puta, imaće y=12/2x, tj. strana y će se smanjiti za 2 puta. Ako vrijednost x povećati za 3, 4, 5... puta, a zatim vrijednost y će se smanjiti za isti iznos. Naprotiv, ako x zatim smanjiti nekoliko puta y će se povećati za isti iznos. (Rad prema tabeli).

Stoga se funkcija oblika y=12/x naziva inverzna proporcionalnost. IN opšti pogled zapisuje se kao y=k/x, gdje je k konstanta, a k≠0.

Ovo je tema današnje lekcije, zapisali smo je u naše sveske. Dajem strogu definiciju. Za funkciju y=12/x, koja je posebna vrsta inverzne proporcionalnosti, već smo zapisali niz vrijednosti argumenta i funkcije u tablicu i prikazat ćemo odgovarajuće točke na koordinatnoj ravni. Kako izgleda graf ove funkcije? Teško je suditi o čitavom grafu na osnovu konstruisanih tačaka, jer se tačke mogu na bilo koji način povezati. Pokušajmo zajedno izvući zaključke o grafu funkcije koji proizlazi iz razmatranja tablice i formule.

Pitanja za razred:

1. Koja je domena definicije funkcije y=12/x?
2. Jesu li y vrijednosti pozitivne ili negativne ako

sjekira

b) x>0?

3. Kako se mijenja vrijednost varijable y sa promenljivom vrednošću x?

dakle,

1. tačka (0,0) ne pripada grafu, tj. ne siječe ni OX ni OY osu;
2. graf je u Ι i ΙΙΙ koordinatnoj četvrtini;
3. glatko se približava koordinatnoj osi kako u Ι koordinatnoj četvrti tako iu ΙΙΙ, i približava se osi koliko god se želi.

Posjedujući ove informacije, već možemo povezati tačke na slici (nastavnik to radi sam na tabli) i vidjeti cijeli grafikon funkcije y=12/x. Dobivena kriva naziva se hiperbola, što na grčkom znači „prolazak kroz nešto“. Ovu krivu su otkrili matematičari drevne grčke škole oko 4. vijeka prije nove ere. Termin hiperbola uveo je Apolonije iz grada Pergama ( Mala Azija), koji je živio u ΙΙΙ-ΙΙ vijeku. BC.

Sada ćemo pored grafa funkcije y=12/x konstruirati graf funkcije y=-12/x. (Ovaj zadatak učenici ispunjavaju u sveskama, a jedan učenik na tabli).

Upoređujući oba grafika, učenici primjećuju da drugi zauzima 2 i 4 koordinatne četvrti. Osim toga, ako se graf funkcije y=12/x prikaže simetrično u odnosu na osu op-amp, tada će se dobiti graf funkcije y=-12/x.

Pitanje: Kako lokacija grafa hiperbole y=k/x zavisi od predznaka i vrijednosti koeficijenta k?

Studenti su uvjereni da ako je k>0, onda se graf nalazi u Ι I ΙΙΙ koordinatne četvrti, a ako je k

1. Čas fizičkog vaspitanja izvodi nastavnik.

1. Objedinjavanje onoga što se izučava vrši se prilikom popunjavanja brojeva 180, 185 iz udžbenika.

1. Sažetak časa, ocjene, domaći zadatak: str.8 br.179, 184.

Lekcija 2 na temu

“Funkcija inverzne proporcionalnosti i njen graf.”

Izvedeno:

Telegina L.B.

Svrha lekcije:

1. učvrstiti vještinu konstruiranja grafa funkcije inverzne proporcionalnosti;
2. razviti interesovanje za predmet, logičko razmišljanje;
3. negovati nezavisnost i pažnju.

Plan lekcije:

1. Provjera napretka zadaća.
2. Usmeni rad.
3. Rješavanje problema.
4. Minut fizičkog vaspitanja.
5. Samostalni rad na više nivoa.
6. Sumiranje, ocjenjivanje, domaći zadatak.

Oprema: kartice.

Tokom nastave:

1. Nastavnik najavljuje temu časa, ciljeve i plan časa.

Zatim dva učenika popunjavaju zadate kućne brojeve 179, 184 na tabli.

1. Ostali učenici rade frontalno, odgovarajući na pitanja nastavnika.

pitanja:

• Definirajte funkciju inverzne proporcionalnosti.
• Koji je graf funkcije inverzne proporcionalnosti.
• Kako lokacija grafa hiperbole y=k/x zavisi od vrijednosti koeficijenta k?

Zadaci:

1. Među funkcijama određenim formulama su funkcije inverzne proporcionalnosti:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Za funkcije inverzne proporcionalnosti navedite koeficijent i navedite u kojim se četvrtima nalazi graf.

3. Naći područje definicije za funkcije inverzne proporcionalnosti.

(Zatim učenici jedni drugima provjeravaju domaći zadatak olovkom na osnovu rješenja brojeva na tabli koje je provjerio nastavnik i daju ocjenu).

Frontalni rad prema udžbeniku br. 190, 191, 192, 193 (usmeni).

1. Izvođenje u sveskama i na tabli iz udžbenika br. 186(b), 187(b), 182.

4. Čas fizičkog vaspitanja izvodi nastavnik.

5. Samostalan rad predano tri opcije različite složenosti(distribuirano na karticama).

Ι c. (lagani).

Nacrtajte graf funkcije inverzne proporcionalnosti y=-6/x koristeći tabelu:

Koristeći grafikon, pronađite:

a) vrijednost y ako je x = - 1,5; 2;

b) vrijednost x kod koje je y = - 1; 4.

ΙΙ vijek (srednje težine)

Nacrtajte graf funkcije inverzne proporcionalnosti y=16/x, nakon što prvo popunite tabelu.

Koristeći graf, pronađite pri kojim vrijednostima x y >0.

ΙΙΙ vijek (povećana težina)

Nacrtajte graf funkcije inverzne proporcionalnosti y=10/x-2, nakon što prvo popunite tabelu.

Pronađite domen definicije ove funkcije.

(Učenici predaju listove sa ucrtanim grafikonima za testiranje).

6. Sažetak lekcije, ocjene, domaći zadatak: br. 186 (a), 187 (a).