Naučno-praktična konferencija

Opštinska obrazovna ustanova "Srednja" sveobuhvatne škole br. 23"

grad Vologda

sekcija: prirodne nauke

projektantski i istraživački rad

VRSTE SIMETRIJE

Rad je završio učenik 8. razreda

Kreneva Margarita

Rukovodilac: viši nastavnik matematike

godina 2014

Struktura projekta:

1. Uvod.

2. Ciljevi i zadaci projekta.

3. Vrste simetrije:

3.1. Centralna simetrija;

3.2. Aksijalna simetrija;

3.3. Zrcalna simetrija(simetrija u odnosu na ravan);

3.4. Rotacijska simetrija;

3.5. Prenosiva simetrija.

4. Zaključak.

Simetrija je ideja kroz koju je čovjek vekovima pokušavao da shvati i stvori red, lepotu i savršenstvo.

G. Weil

Uvod.

Tema mog rada odabrana je nakon proučavanja rubrike „Aksijalni i centralna simetrija" na predmetu "Geometrija 8. razreda". Veoma me zanimala ova tema. Hteo sam da znam: koje vrste simetrije postoje, po čemu se razlikuju jedna od druge, koji su principi za konstruisanje simetričnih figura u svakoj vrsti.

Cilj rada : Uvod u različite vrste simetrije.

Zadaci:

Proučite literaturu o ovom pitanju.

Sažeti i sistematizovati proučeno gradivo.

Pripremite prezentaciju.

U davna vremena, riječ “SIMETRIJA” se koristila u značenju “harmonija”, “ljepota”. Prevedeno s grčkog, ova riječ znači „proporcionalnost, proporcionalnost, istovjetnost u rasporedu dijelova nečega na suprotnim stranama tačke, prave ili ravnine.

Postoje dvije grupe simetrija.

Prva grupa uključuje simetriju položaja, oblika, struktura. To je simetrija koja se može direktno vidjeti. Može se nazvati geometrijskom simetrijom.

Druga grupa karakterizira simetriju fizičke pojave i zakone prirode. Ova simetrija leži u samoj osnovi prirodne naučne slike svijeta: može se nazvati fizičkom simetrijom.

Prestaću da učimgeometrijska simetrija .

Zauzvrat, postoji i nekoliko vrsta geometrijske simetrije: centralna, aksijalna, zrcalna (simetrija u odnosu na ravninu), radijalna (ili rotirajuća), prijenosna i druge. Danas ću pogledati 5 vrsta simetrije.

Centralna simetrija

Dvije tačke A i A 1 nazivaju se simetričnim u odnosu na tačku O ako leže na pravoj liniji koja prolazi kroz tačku O i nalaze se na suprotnim stranama na istoj udaljenosti. Tačka O se naziva središtem simetrije.

Za figuru se kaže da je simetrična u odnosu na tačkuO , ako za svaku tačku figure postoji tačka koja joj je simetrična u odnosu na tačkuO takođe pripada ovoj figuri. DotO nazvano središtem simetrije figure, za figuru se kaže da ima centralnu simetriju.

Primjeri figura sa centralnom simetrijom su krug i paralelogram.

Slike prikazane na slajdu su simetrične u odnosu na određenu tačku

2. Aksijalna simetrija

Dva poenaX I Y nazivaju se simetričnim u odnosu na pravu linijut , ako ova prava prolazi sredinom segmenta XY i okomita je na njega. Takođe treba reći da je svaka tačka prava linijat smatra se simetričnim prema sebi.

Pravot – osa simetrije.

Za figuru se kaže da je simetrična u odnosu na pravu linijut, ako za svaku tačku figure postoji tačka koja joj je simetrična u odnosu na pravu linijut takođe pripada ovoj figuri.

Pravotnazvana osa simetrije figure, za figuru se kaže da ima aksijalnu simetriju.

Nerazvijeni ugao, jednakokraki i jednakostranični trouglovi, pravougaonik i romb imaju aksijalnu simetriju.pisma (vidi prezentaciju).

Simetrija ogledala (simetrija oko ravni)

Dva boda P 1 I P se nazivaju simetričnim u odnosu na ravan a ako leže na pravoj liniji okomitoj na ravan a i na istoj su udaljenosti od nje

Zrcalna simetrija svima dobro poznata. Povezuje bilo koji predmet i njegov odraz u ravnom ogledalu. Kažu da je jedna figura zrcalno simetrična drugoj.

Na ravni, figura sa bezbroj osa simetrije bila je krug. U svemiru, lopta ima bezbroj ravni simetrije.

Ali ako je krug jedinstven, onda u trodimenzionalnom svijetu postoji čitav niz tijela s beskonačnim brojem ravni simetrije: pravi cilindar s krugom u osnovi, konus s kružnom osnovom, lopta.

Lako je ustanoviti da se svaka simetrična ravna figura može poravnati sama sa sobom pomoću ogledala. Iznenađujuće je da tako složene brojke kao što su petokraka zvijezda ili jednakostranični petougao, takođe su simetrični. Kako to proizilazi iz broja osi, odlikuju se visokom simetrijom. I obrnuto: nije tako lako razumjeti zašto je tako naizgled tačna figura, kao i kosi paralelogram, je asimetričan.

4. P rotaciona simetrija (ili radijalna simetrija)

Rotaciona simetrija - ovo je simetrija, očuvanje oblika predmetapri rotaciji oko određene ose za ugao jednak 360°/n(ili višekratnik ove vrijednosti), gdjen= 2, 3, 4, … Naznačena osa se naziva rotirajuća osan-th red.

Atn=2 sve tačke na slici su rotirane za ugao od 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) oko ose, dok je oblik figure očuvan, tj. svaka tačka figure ide u tačku iste figure (figura se pretvara u sebe). Osa se naziva osa drugog reda.

Slika 2 prikazuje os trećeg reda, slika 3 - 4. red, slika 4 - 5. red.

Objekt može imati više od jedne osi rotacije: sl. 1 - 3 ose rotacije, sl. 2 - 4 ose, sl. 3 - 5 ose, sl. 4 – samo 1 os

Dobro poznata slova “I” i “F” imaju rotacionu simetriju.Ako slovo “I” zarotirate za 180° oko ose koja je okomita na ravan slova i koja prolazi kroz njegov centar, slovo će se poravnati sa samim sobom. Drugim riječima, slovo “I” je simetrično u odnosu na rotaciju od 180°, 180°= 360°: 2,n=2, što znači da ima simetriju drugog reda.

Imajte na umu da slovo “F” takođe ima rotacionu simetriju drugog reda.

Osim toga, slovo ima centar simetrije, a slovo F ima os simetrije

Vratimo se primjerima iz života: čaša, kilogram sladoleda u obliku kupa, komad žice, lula.

Ako bolje pogledamo ova tijela, primijetit ćemo da se sva, na ovaj ili onaj način, sastoje od kruga, kroz beskonačan broj osi simetrije postoji bezbroj ravni simetrije. Većina ovih tijela (nazivaju se tijela rotacije) također ima, naravno, centar simetrije (centar kruga), kroz koji prolazi barem jedna osa rotacije simetrije.

Na primjer, os korneta sladoleda je jasno vidljiva. Proteže se od sredine kruga (što viri iz sladoleda!) do oštrog kraja levkastog konusa. Sveukupnost elemenata simetrije nekog tijela doživljavamo kao neku vrstu mjere simetrije. Lopta je, bez sumnje, u smislu simetrije, nenadmašno oličenje savršenstva, ideal. Stari Grci su ga doživljavali kao najsavršenije tijelo, a krug, naravno, kao najsavršeniju ravnu figuru.

Za opis simetrije određenog objekta potrebno je navesti sve ose rotacije i njihov redosled, kao i sve ravni simetrije.

Uzmite u obzir, na primjer, geometrijsko tijelo, sastavljen od dvije identične pravilne četverokutne piramide.

Ima jednu rotirajuću os 4. reda (osa AB), četiri rotacione ose 2. reda (ose CE,DF, MP, NQ), pet ravni simetrije (ravniCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Prenosiva simetrija

Druga vrsta simetrije jeprenosiv With simetrija.

O takvoj simetriji se govori kada, kada se figura pomera duž prave linije na neku udaljenost "a" ili udaljenost koja je višestruka od ove vrednosti, ona se poklapa sa sobom Prava linija duž koje se odvija prijenos naziva se osa prijenosa, a udaljenost "a" naziva se elementarnim prijenosom, periodom ili korakom simetrije.

A

Uzorak koji se periodično ponavlja na dugoj traci naziva se ivica. U praksi se bordure sreću u različitim oblicima (zidno slikarstvo, liveno gvožđe, gipsani bas-reljefi ili keramika). Bordure koriste slikari i umjetnici prilikom ukrašavanja prostorija. Za izradu ovih ukrasa izrađuje se šablona. Pomicamo šablonu, okrećemo je ili ne, pratimo obris, ponavljamo uzorak i dobivamo ornament (vizualna demonstracija).

Granicu je lako napraviti pomoću šablona (početnog elementa), pomicanja ili okretanja i ponavljanja uzorka. Na slici je prikazano pet vrsta šablona:A ) asimetrična;b, c ) imaju jednu os simetrije: horizontalnu ili vertikalnu;G ) centralno simetrična;d ) koji ima dvije ose simetrije: vertikalnu i horizontalnu.

Za konstruiranje granica koriste se sljedeće transformacije:

A ) paralelni prijenos;b ) simetrija oko vertikalne ose;V ) centralna simetrija;G ) simetrija oko horizontalne ose.

Na isti način možete napraviti i utičnice. Da biste to učinili, krug je podijeljen nan jednaki sektori, u jednom od njih se pravi uzorak uzorka, a zatim se potonji uzastopno ponavlja u preostalim dijelovima kruga, rotirajući uzorak svaki put za ugao od 360°/n .

Jasan primjer upotrebe aksijalne i prenosive simetrije je ograda prikazana na fotografiji.

Zaključak: Dakle, postoje različite vrste simetrije, simetrične tačke u svakoj od ovih vrsta simetrije se konstruišu prema određene zakone. U životu svuda se susrećemo s jednom vrstom simetrije, a često se u objektima koji nas okružuju može uočiti nekoliko vrsta simetrije odjednom. To stvara red, ljepotu i savršenstvo u svijetu oko nas.

LITERATURA:

Priručnik za osnovnu matematiku. M.Ya. Vygodsky. – Izdavačka kuća “Nauka”. – Moskva 1971 – 416 str.

Moderni rječnik strane reči. - M.: Ruski jezik, 1993.

Istorija matematike u školiIX - Xcasovi. G.I. Glaser. – Izdavačka kuća „Prosveshcheniye“. – Moskva 1983 – 351 str.

Vizuelna geometrija 5. – 6. razred. I.F. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Izdavačka kuća “Drofa”, Moskva 2005. – 189 str

Enciklopedija za djecu. Biologija. S. Ismailova. – Izdavačka kuća Avanta+. – Moskva 1997 – 704 str.

Urmantsev Yu.A. Simetrija prirode i priroda simetrije - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

(znači "proporcionalnost") - svojstvo geometrijskih objekata da se kombinuju sami sa sobom pod određenim transformacijama. Pod „simetrijom“ podrazumevamo svaku pravilnost u unutrašnja struktura tijela ili figure.

Centralna simetrija— simetrija oko tačke.

u odnosu na tačku O, ako za svaku tačku figure toj figuri pripada i tačka koja joj je simetrična u odnosu na tačku O. Tačka O se naziva središtem simetrije figure.

IN jednodimenzionalni prostor (na pravoj liniji) centralna simetrija je simetrija ogledala.

U avionu (u 2-dimenzionalni prostor) simetrija sa centrom A je rotacija za 180 stepeni sa centrom A. Centralna simetrija na ravni, kao i rotacija, čuva orijentaciju.

Centralna simetrija u trodimenzionalni prostor se naziva i sferna simetrija. Može se predstaviti kao kompozicija refleksije u odnosu na ravan koja prolazi kroz centar simetrije, sa rotacijom od 180° u odnosu na pravu liniju koja prolazi kroz centar simetrije i okomita na gore pomenutu ravan refleksije.

IN 4-dimenzionalni U prostoru, centralna simetrija se može predstaviti kao kompozicija od dvije rotacije za 180° oko dvije međusobno okomite ravni koje prolaze kroz centar simetrije.

Aksijalna simetrija- simetrija u odnosu na pravu liniju.

Figura se naziva simetrična relativno ravno a, ako za svaku tačku figure toj figuri pripada i tačka koja joj je simetrična u odnosu na pravu a. Prava a naziva se osa simetrije figure.

Aksijalna simetrija ima dvije definicije:

- Reflektirajuća simetrija.

U matematici, aksijalna simetrija je vrsta kretanja (zrcalne refleksije) u kojoj je skup fiksnih tačaka prava linija, nazvana osa simetrije. Na primjer, ravan pravougaonik je asimetričan u prostoru i ima 3 ose simetrije, ako nije kvadrat.

- Rotaciona simetrija.

U prirodnim naukama, aksijalna simetrija se shvata kao rotaciona simetrija, u odnosu na rotacije oko prave linije. U ovom slučaju tijela se nazivaju osi simetrična ako se transformiraju u sebe pri bilo kojoj rotaciji oko ove prave linije. U ovom slučaju, pravougaonik neće biti osnosimetrično tijelo, ali će konus biti.

Slike na ravni mnogih objekata u svijetu oko nas imaju os simetrije ili centar simetrije. Mnogi listovi drveća i latice cvijeća su simetrični oko prosječne stabljike.

Često se susrećemo sa simetrijom u umjetnosti, arhitekturi, tehnologiji i svakodnevnom životu. Fasade mnogih zgrada imaju aksijalnu simetriju. U većini slučajeva, uzorci na tepisima, tkaninama i unutrašnjim tapetama su simetrični u odnosu na os ili centar. Mnogi dijelovi mehanizama, kao što su zupčanici, su simetrični.

Poeni X I X" su pozvani simetrično relativno ravno a, i svaka od njih je simetrična prema drugoj, ako je a okomita seridina na segment XX". Svaka tačka prave a smatra se simetričnom prema sebi (u odnosu na pravu a). Ako je data prava a, onda svaka tačka X odgovara jednoj tački X", simetričnoj prema X u odnosu na a.

Simetrija avion relativno ravno a pozvao takav prikaz, at koji svaki tačka ovo avion se stavlja V dopisivanje tačka, simetrično njoj relativno ravno a.

Dokažimo da je aksijalna simetrija kretanje koristeći koordinatnu metodu: uzimamo pravu liniju a kao os x Kartezijanske koordinate. Zatim, sa simetrijom oko toga, tačka sa koordinatama (x;y) će biti transformisana u tačku sa koordinatama (x, -y).

Uzmimo bilo koje dvije tačke A(x1, y1) i B(x2, y2) i razmotrimo tačke A"(x1,- y1) i B"(x2, -y2) koje su im simetrične u odnosu na x- osa. Računajući udaljenosti A"B" i AB, dobijamo

Dakle, aksijalna simetrija čuva udaljenost, dakle kretanje.

Okreni se

Okreni se avion relativno centar O on the ugao () V dato smjer definira se na sljedeći način: svaka tačka X ravnine je povezana sa tačkom X" tako da je, prvo, OX"=OX, drugo i treće, zraka OX" je odložena od zraka OX u datom smjeru. Tačka O se zove centar okretanje, a ugao je ugao okretanje.

Dokažimo da je rotacija kretanje:

Neka, kada se okreću oko tačke O, tačke X i Y budu povezane sa tačkama X" i Y". Pokažimo da je X"Y"=XY.

Razmotrimo opšti slučaj kada tačke O, X, Y ne leže na istoj pravoj. Tada je ugao X"OY" jednak kutu XOY. Zaista, neka se ugao XOY od OX do OY mjeri u smjeru rotacije. (Ako to nije slučaj, uzmite u obzir YOX ​​ugao). Tada je ugao između OX i OY" jednak zbiru ugla XOY i ugla rotacije (od OY do OY"):

na drugoj strani,

Budući da (kao uglovi rotacije), dakle. Pored toga, OX"=OX, i OY"=OY. Dakle - na dvije strane i ugao između njih. Stoga X"Y"=XY.

Ako tačke O, X, Y leže na istoj pravoj, tada će segmenti XY i X"Y" biti ili zbir ili razlika jednakih segmenata OX, OY i OX", OY". Dakle, u ovom slučaju X"Y"=XY. Dakle, okretanje je kretanje.

§ 1. Rotacija i centralna simetrija - Udžbenik matematike, 6. razred (Zubareva, Mordkovich)

Kratki opis:

U ovom dijelu prelazimo na proučavanje nova tema u geometriji: rotacija i centralna simetrija. Što će nam pomoći da shvatimo šta je rotacija u geometrijskom smislu, kako rotirati tačke, segmente ili čitave figure, kao i koje tačke segmenata ili figura se mogu smatrati simetričnima.
Rotacijom tačke možemo smatrati kretanje tačke u krugu oko druge tačke na ravni, dok druga tačka ostaje nepomična. Rotacija se može izvršiti na bilo koju udaljenost; takva udaljenost se mjeri u stupnjevima; može se izmjeriti pomoću kutomjera. Osim tačaka, mogu se pomicati cijele figure i slike. Dakle, možemo vidjeti mnoge primjere upotrebe turn in pravi zivot– simetrične biljke, cvijeće, voće, prerezane na pola, građevinskih elemenata, Na primjer, spiralnih stepenica, cipele - desna i lijeva obuća. Dakle, zvijezde rotiraju oko pola, mijenjajući svoj položaj samo u odnosu na jednu tačku. Da biste geometrijski konstruirali rotaciju, prikladno je koristiti kompas i kutomjer. Simetrija se može definisati kao podjednako udaljeni raspored tačaka u odnosu na jedan centar. IN Svakodnevni životčesto se susrećemo sa simetričnim objektima. Ali vrijedi napomenuti da savršena simetrija ne postoji u prirodi; čak ni lice osobe ne može biti savršeno simetrično. No, predmeti koje koristimo za svakodnevne aktivnosti, kuhanje, pripremanje domaćih zadataka, igranje, najčešće su simetrični. Zanimljivo? Pozivamo vas da se detaljnije upoznate sa materijalom u odlomku u udžbeniku!

Prilikom proučavanja teme „Rotacija“, učenici dobijaju zadatak: nacrtati figuru na pejzažnom listu, odabrati centar rotacije i kut rotacije. Konstruišite novu figuru. Tehnika rada može biti drugačija. Na primjer, djeca često koriste aplikacijelication. Na našoj virtuelnoj izložbi, ovom tehnikom je napravljen drugi rad.Ali na slici 3, učenik je koristio gotovu sliku (aplikaciju) i samostalno nacrtao drugu pokretnu figuru.

Posebno su zanimljivi radovi rađeni olovkama, flomasterima ili bojama. Naravno, pri sastavljanju ovih radova djeca su prvanapravio šablon. Ovaj šablon im je pomogao da završe kreativni radovi o drugim temama "Simetrija oko prave", "Simetrija oko tačke", "Paralelni prijenos".

Djeca posebno uživaju u izradi dinamičnih modela. Mogu se uvijati i rotirati u smjeru kazaljke na satu i suprotno. Na predstavljenoj izložbi postoji samo jedan statični rad na prvom crtežu. Ostatak rada je dinamičan.

Da bi se napravio dinamički model, jedna figura mora biti nacrtana na vodoravnom listu. Izrežite drugu figuru pomoću šablona od bijelog kartona. Neki momci su i drugu pokretnu figuru prekrili bezbojnim filmom radi veće pouzdanosti. Na primjer, lijepa riba u gornjem redu. Ona već ima više od 10 godina, ali izgleda kao nova. Svijetle boje nisu izblijedjele niti izblijedjele. Za označavanje centra učenici koriste malu okruglu tačku napravljenu od kartona, pričvrste pokretnu figuru na list albuma koristeći obične konac za šivenje. Neka djeca su koristila metalne matice. Istina, ova opcija ne izgleda baš estetski.

Među najboljim radovima na temu „Okretanje“ nalaze se radovi izrađeni na šperploči pomoću uređaja za spaljivanje. Među njima su pokretni modeli i statični crteži. Za dinamičke modele potrebno je obaviti mnogo veći obim posla, jer pokretnu figuru treba izrezati. Kakav radno intenzivan posao!

Najbolji radovi izloženi su na štandu u učionici. A radovi na šperploči su u ormarima. Nakon izložbe u kabinetu, kreativne radove arhiviram u tematske fascikle kojima se popunjava metodološka baza kabineta. Ova fascikla se predstavlja na izložbama u gimnaziji, koje se održavaju u okviru različitih metodičkih događaja i seminara. Na primjer, izložba kreativnih radova učenika u sklopu Dana otvorena vrata u Gimnaziji, u koju su tradicionalno pozvani roditelji učenika.