Eksponencijalne nejednakosti grafička metoda. Rješavanje eksponencijalnih nejednačina: osnovne metode

Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine su one u kojima je nepoznata sadržana u eksponentu.

Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi se često svodi na rješavanje jednadžbe a x = a b, gdje je a > 0, a ≠ 1, x je nepoznanica. Ova jednadžba ima jedan korijen x = b, pošto je tačna sljedeća teorema:

Teorema. Ako je a > 0, a ≠ 1 i a x 1 = a x 2, tada je x 1 = x 2.

Da potkrijepimo razmatranu tvrdnju.

Pretpostavimo da jednakost x 1 = x 2 ne vrijedi, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponencijalna funkcija y = a x raste i stoga mora biti zadovoljena nejednakost a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. U oba slučaja dobili smo kontradikciju sa uslovom a x 1 = a x 2.

Razmotrimo nekoliko problema.

Riješite jednačinu 4 ∙ 2 x = 1.

Rješenje.

Zapišimo jednačinu u obliku 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, iz čega dobijamo x + 2 = 0, tj. x = -2.

Odgovori. x = -2.

Riješite jednačinu 2 3x ∙ 3 x = 576.

Rješenje.

Kako je 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, jednačina se može napisati kao 8 x ∙ 3 x = 24 2 ili kao 24 x = 24 2.

Odavde dobijamo x = 2.

Odgovori. x = 2.

Riješite jednačinu 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Rješenje.

Uzimajući zajednički faktor 3 x - 2 iz zagrada na lijevoj strani, dobijamo 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

odakle je 3 x - 2 = 1, tj. x – 2 = 0, x = 2.

Odgovori. x = 2.

Riješite jednačinu 3 x = 7 x.

Rješenje.

Pošto je 7 x ≠ 0, jednačina se može napisati kao 3 x /7 x = 1, odakle je (3/7) x = 1, x = 0.

Odgovori. x = 0.

Riješite jednačinu 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Rješenje.

Zamjenom 3 x = a ova jednačina se svodi na kvadratnu jednačinu a 2 – 4a – 45 = 0.

Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo njene korijene: a 1 = 9, i 2 = -5, odakle je 3 x = 9, 3 x = -5.

Jednačina 3 x = 9 ima korijen 2, a jednačina 3 x = -5 nema korijena, jer eksponencijalna funkcija ne može uzeti negativne vrijednosti.

Odgovori. x = 2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednačina često se svodi na rješavanje nejednačina a x > a b ili a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Pogledajmo neke probleme.

Riješiti nejednačinu 3 x< 81.

Rješenje.

Zapišimo nejednačinu u obliku 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, onda je funkcija y = 3 x rastuća.

Prema tome, za x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Dakle, na x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Odgovori. X< 4.

Riješite nejednačinu 16 x +4 x – 2 > 0.

Rješenje.

Označimo 4 x = t, tada ćemo dobiti kvadratnu nejednakost t2 + t – 2 > 0.

Ova nejednakost vrijedi za t< -2 и при t > 1.

Kako je t = 4 x, dobijamo dvije nejednakosti 4 x< -2, 4 х > 1.

Prva nejednakost nema rješenja, jer je 4 x > 0 za sve x € R.

Drugu nejednačinu zapisujemo u obliku 4 x > 4 0, odakle je x > 0.

Odgovori. x > 0.

Grafički riješite jednačinu (1/3) x = x – 2/3.

Rješenje.

1) Napravimo grafove funkcija y = (1/3) x i y = x – 2/3.

2) Na osnovu naše slike možemo zaključiti da se grafovi razmatranih funkcija sijeku u tački sa apscisom x ≈ 1. Provjerom se dokazuje da

x = 1 je korijen ove jednadžbe:

(1/3) 1 = 1/3 i 1 – 2/3 = 1/3.

Drugim riječima, pronašli smo jedan od korijena jednačine.

3) Nađimo druge korijene ili dokažimo da ih nema. Funkcija (1/3) x opada, a funkcija y = x – 2/3 raste. Dakle, za x > 1, vrijednosti prve funkcije su manje od 1/3, a druge – više od 1/3; na x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 i x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Odgovori. x = 1.

Imajte na umu da iz rješenja ovog problema, posebno, slijedi da je nejednakost (1/3) x > x – 2/3 zadovoljena za x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

U ovoj lekciji ćemo pogledati razne eksponencijalne nejednakosti i naučiti kako ih riješiti, na osnovu tehnike rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih nejednačina

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije

Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava eksponencijalne funkcije. Rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina zasniva se na ovim svojstvima.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stepen, a ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y je zavisna varijabla, funkcija.

Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije

Grafikon prikazuje rastuće i opadajuće eksponente, ilustrujući eksponencijalnu funkciju s bazom većom od jedan i manjom od jedan, ali većom od nule.

Obje krive prolaze kroz tačku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste sa, opada sa.

Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti zadanu vrijednost jednog argumenta.

Kada, kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule inkluzivno do plus beskonačno, tj. za date vrijednosti argumenta imamo monotono rastuću funkciju (). Naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule uključujući, tj. za date vrijednosti argumenta imamo monotono opadajuću funkciju ().

2. Najjednostavnije eksponencijalne nejednačine, metoda rješenja, primjer

Na osnovu navedenog, predstavljamo metodu za rješavanje jednostavnih eksponencijalnih nejednačina:

Tehnika rješavanja nejednačina:

Izjednačiti osnove stepeni;

Uporedite metriku tako što ćete sačuvati ili promeniti u suprotan znak nejednakosti.

Rješenje složenih eksponencijalnih nejednakosti obično se sastoji u svođenju na najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti.

Osnova stepena je veća od jedan, što znači da je znak nejednakosti sačuvan:

Hajde da se transformišemo desna strana prema svojstvima stepena:

Osnova stepena je manja od jedan, znak nejednakosti mora biti obrnut:

Za rješavanje kvadratne nejednakosti rješavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:

Koristeći Vietinu teoremu nalazimo korijene:

Grane parabole su usmjerene prema gore.

Dakle, imamo rješenje nejednakosti:

Lako je pretpostaviti da se desna strana može predstaviti kao stepen sa eksponentom nula:

Osnova stepena je veća od jedan, znak nejednakosti se ne menja, dobijamo:

Prisjetimo se tehnike rješavanja takvih nejednakosti.

Uzmimo u obzir razlomku-racionalnu funkciju:

Pronalazimo domen definicije:

Pronalaženje korijena funkcije:

Funkcija ima jedan korijen,

Odabiremo intervale konstantnog predznaka i određujemo predznake funkcije na svakom intervalu:

Rice. 2. Intervali konstantnosti znaka

Tako smo dobili odgovor.

odgovor:

3. Rješavanje standardnih eksponencijalnih nejednačina

Razmotrimo nejednakosti sa istim pokazateljima, ali različitim osnovama.

Jedno od svojstava eksponencijalne funkcije je da za bilo koju vrijednost argumenta uzima striktno pozitivne vrijednosti, što znači da se može podijeliti na eksponencijalnu funkciju. Podijelimo datu nejednakost desnom stranom:

Osnova stepena je veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan.

Ilustrujmo rješenje:

Slika 6.3 prikazuje grafikone funkcija i . Očigledno, kada je argument veći od nule, graf funkcije je veći, ova funkcija je veća. Kada su vrijednosti argumenata negativne, funkcija ide niže, manja je. Ako je argument jednak, funkcije su jednake, što znači da je i ova tačka rješenje zadate nejednakosti.

Rice. 3. Ilustracija na primjer 4

Transformirajmo datu nejednakost prema svojstvima stepena:

Evo nekoliko sličnih pojmova:

Podijelimo oba dijela na:

Sada nastavljamo rješavati slično kao u primjeru 4, podijelimo oba dijela sa:

Osnova stepena je veća od jedan, ostaje znak nejednakosti:

4. Grafičko rješenje eksponencijalnih nejednačina

Primjer 6 - Grafički riješite nejednačinu:

Pogledajmo funkcije na lijevoj i desnoj strani i napravimo graf za svaku od njih.

Funkcija je eksponencijalna i raste u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.

Funkcija je linearna i opada u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.

Ako se ove funkcije sijeku, odnosno sistem ima rješenje, onda je takvo rješenje jedinstveno i lako se može pogoditi. Da bismo to učinili, ponavljamo preko cijelih brojeva ()

Lako je vidjeti da je korijen ovog sistema:

Dakle, grafovi funkcija se sijeku u tački s argumentom jednakim jedan.

Sada moramo dobiti odgovor. Značenje date nejednakosti je da eksponent mora biti veći ili jednak linearna funkcija, odnosno da bude viši ili da se poklapa s njim. Odgovor je očigledan: (slika 6.4)

Rice. 4. Ilustracija na primjer 6

Dakle, pogledali smo rješavanje različitih standardnih eksponencijalnih nejednačina. Zatim prelazimo na razmatranje složenijih eksponencijalnih nejednakosti.

Bibliografija

Mordkovich A. G. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Drofa. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Prosvetljenje.

Math. md. Matematika-ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.

Zadaća

1. Algebra i počeci analize, razredi 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, br. 472, 473;

2. Riješite nejednačinu:

3. Riješite nejednakost.

Rješavanje većine matematičkih problema na ovaj ili onaj način uključuje transformaciju numeričkih, algebarskih ili funkcionalnih izraza. Gore navedeno se posebno odnosi na odluku. U verzijama Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, ova vrsta zadatka uključuje, posebno, zadatak C3. Učenje rješavanja C3 zadataka važno je ne samo u svrhu uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, ali i iz razloga što će ova vještina biti od koristi prilikom studiranja matematičkog predmeta u višoj školi.

Kada izvršavate zadatke C3, morate odlučiti različite vrste jednačine i nejednačine. Među njima su racionalni, iracionalni, eksponencijalni, logaritamski, trigonometrijski, koji sadrže module (apsolutne vrijednosti), kao i kombinovani. Ovaj članak razmatra glavne vrste eksponencijalnih jednačina i nejednačina, kao i razne metode njihove odluke. Pročitajte o rješavanju drugih vrsta jednadžbi i nejednačina u odjeljku “” u člancima posvećenim metodama rješavanja C3 problema iz Opcije objedinjenog državnog ispita matematike.

Prije nego počnemo analizirati specifično eksponencijalne jednačine i nejednačine, kao nastavnik matematike, predlažem vam da nadogradite neki teorijski materijal koji će nam trebati.

Eksponencijalna funkcija

Šta je eksponencijalna funkcija?

Funkcija forme y = sjekira, Gdje a> 0 i a≠ 1 se poziva eksponencijalna funkcija.

Basic svojstva eksponencijalne funkcije y = sjekira:

Graf eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije je eksponent:

Grafovi eksponencijalnih funkcija (eksponenti)

Rješavanje eksponencijalnih jednačina

Indikativno nazivaju se jednadžbe u kojima se nepoznata varijabla nalazi samo u eksponentima nekih potencija.

Za rješenja eksponencijalne jednačine morate znati i moći koristiti sljedeću jednostavnu teoremu:

Teorema 1. Eksponencijalna jednačina a f(x) = a g(x) (Gdje a > 0, a≠ 1) je ekvivalentno jednačini f(x) = g(x).

Osim toga, korisno je zapamtiti osnovne formule i operacije sa stupnjevima:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Primjer 1. Riješite jednačinu:

Rješenje: Koristimo gornje formule i zamjene:

Jednačina tada postaje:

Diskriminator primljenog kvadratna jednačina pozitivno:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znači da ova jednadžba ima dva korijena. Nalazimo ih:

Prelazeći na obrnutu zamjenu, dobijamo:

Druga jednadžba nema korijen, jer je eksponencijalna funkcija striktno pozitivna u cijeloj domeni definicije. Rešimo drugu:

Uzimajući u obzir ono što je rečeno u teoremi 1, prelazimo na ekvivalentnu jednačinu: x= 3. Ovo će biti odgovor na zadatak.

odgovor: x = 3.

Primjer 2. Riješite jednačinu:

Rješenje: Jednačina nema ograničenja na raspon dozvoljenih vrijednosti, budući da radikalni izraz ima smisla za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija y = 9 4 -x pozitivan i nije jednak nuli).

Jednačinu rješavamo ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila množenja i dijeljenja potencija:

Posljednji prijelaz je izveden u skladu s teoremom 1.

odgovor:x= 6.

Primjer 3. Riješite jednačinu:

Rješenje: obje strane originalne jednačine mogu se podijeliti sa 0,2 x. Ovaj prijelaz će biti ekvivalentan, jer je ovaj izraz veći od nule za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija je striktno pozitivna u svom domenu definicije). Tada jednačina poprima oblik:

odgovor: x = 0.

Primjer 4. Riješite jednačinu:

Rješenje: pojednostavljujemo jednačinu na elementarnu pomoću ekvivalentnih transformacija koristeći pravila dijeljenja i množenja potencija datih na početku članka:

Deljenje obe strane jednačine sa 4 x, kao u prethodnom primjeru, je ekvivalentna transformacija, jer ovaj izraz nije jednak nuli ni za jednu vrijednost x.

odgovor: x = 0.

Primjer 5. Riješite jednačinu:

Rješenje: funkcija y = 3x, koji stoji na lijevoj strani jednačine, raste. Funkcija y = —x-2/3 na desnoj strani jednačine se smanjuje. To znači da ako se grafovi ovih funkcija sijeku, onda najviše jedna tačka. U ovom slučaju, lako je pogoditi da se grafovi sijeku u tački x= -1. Neće biti drugih korijena.

odgovor: x = -1.

Primjer 6. Riješite jednačinu:

Rješenje: pojednostavljujemo jednačinu pomoću ekvivalentnih transformacija, imajući svuda na umu da je eksponencijalna funkcija striktno veća od nule za bilo koju vrijednost x i korištenjem pravila za izračunavanje proizvoda i količnika snaga datih na početku članka:

odgovor: x = 2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednačina

Indikativno nazivaju se nejednakosti u kojima je nepoznata varijabla sadržana samo u eksponentima nekih potencija.

Za rješenja eksponencijalne nejednakosti potrebno je poznavanje sljedeće teoreme:

Teorema 2. Ako a> 1, onda nejednakost a f(x) > a g(x) je ekvivalentna nejednakosti istog značenja: f(x) > g(x). Ako je 0< a < 1, то eksponencijalna nejednakost a f(x) > a g(x) je ekvivalentna nejednakosti sa suprotnim značenjem: f(x) < g(x).

Primjer 7. Riješite nejednačinu:

Rješenje: Predstavimo originalnu nejednakost u obliku:

Podijelimo obje strane ove nejednakosti sa 3 2 x, u ovom slučaju (zbog pozitivnosti funkcije y= 3 2x) predznak nejednakosti se neće promijeniti:

Koristimo zamjenu:

Tada će nejednakost poprimiti oblik:

Dakle, rješenje nejednakosti je interval:

prelazeći na obrnutu zamjenu, dobijamo:

Zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije, lijeva nejednakost je automatski zadovoljena. Iskorištavanje poznato svojstvo logaritma, prelazimo na ekvivalentnu nejednakost:

Pošto je osnova stepena broj veći od jedan, ekvivalentan (prema teoremi 2) je prijelaz na sljedeću nejednakost:

Dakle, konačno smo dobili odgovor:

Primjer 8. Riješite nejednačinu:

Rješenje: Koristeći svojstva množenja i dijeljenja potencija, prepisujemo nejednakost u obliku:

Hajde da predstavimo novu varijablu:

Uzimajući ovu zamjenu u obzir, nejednakost ima oblik:

Pomnožeći brojilac i imenilac razlomka sa 7, dobijamo sljedeću ekvivalentnu nejednakost:

Dakle, sljedeće vrijednosti varijable zadovoljavaju nejednakost t:

Zatim, prelazeći na obrnutu zamjenu, dobijamo:

Pošto je osnova stepena ovde veća od jedan, prelazak na nejednakost će biti ekvivalentan (prema teoremi 2):

Konačno dobijamo odgovor:

Primjer 9. Riješite nejednačinu:

Rješenje:

Obje strane nejednakosti dijelimo izrazom:

Ona je uvijek veća od nule (zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije), tako da nema potrebe mijenjati predznak nejednakosti. Dobijamo:

t se nalazi u intervalu:

Prelazeći na obrnutu zamjenu, nalazimo da se originalna nejednakost dijeli u dva slučaja:

Prva nejednačina nema rješenja zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije. Rešimo drugu:

Primjer 10. Riješite nejednačinu:

Rješenje:

Grane parabole y = 2x+2-x 2 su usmjerene prema dolje, stoga je ograničeno odozgo vrijednošću koju dostiže na svom vrhu:

Grane parabole y = x 2 -2x+2 u indikatoru su usmjereni prema gore, što znači da je ograničen odozdo vrijednošću koju dostiže na svom vrhu:

Istovremeno, ispada da je funkcija ograničena odozdo y = 3 x 2 -2x+2, što je na desnoj strani jednačine. Ona postiže svoj cilj najniža vrijednost u istoj tački kao i parabola u eksponentu, a ova vrijednost je jednaka 3 1 = 3. Dakle, izvorna nejednakost može biti istinita samo ako funkcija s lijeve strane i funkcija s desne strane poprime vrijednost jednaku 3 u istoj tački (preko sjecišta Raspon vrijednosti ovih funkcija je samo ovaj broj). Ovaj uslov je zadovoljen u jednoj tački x = 1.

odgovor: x= 1.

Kako bi naučili odlučivati eksponencijalne jednadžbe i nejednačine, potrebno je stalno trenirati u njihovom rješavanju. Različite stvari mogu vam pomoći u ovom teškom zadatku. metodološki priručnici, problemske knjige iz osnovne matematike, zbirke takmičarskih zadataka, časovi matematike u školi, kao i individualni časovi sa stručnim mentorom. Od srca ti želim uspjeh u pripremi i odlične rezultate na ispitu.

Sergey Valerievich

P.S. Dragi gosti! Molimo vas da u komentarima ne pišete zahtjeve za rješavanje vaših jednačina. Nažalost, apsolutno nemam vremena za ovo. Takve poruke će biti izbrisane. Molimo pročitajte članak. Možda ćete u njemu pronaći odgovore na pitanja koja vam nisu omogućila da sami riješite svoj zadatak.

Mnogi ljudi misle da su eksponencijalne nejednakosti nešto složeno i neshvatljivo. A da je naučiti da ih rješavamo gotovo velika umjetnost, koju samo Odabrani mogu shvatiti...

Potpuna glupost! Eksponencijalne nejednakosti su lake. I oni se uvijek jednostavno rješavaju. Pa skoro uvek. :)

Danas ćemo ovu temu pogledati iznutra i izvana. Ova lekcija će biti veoma korisna za one koji tek počinju da razumeju ovaj deo školske matematike. Počnimo s jednostavnim problemima i prijeđimo na složenije probleme. Danas neće biti teškog posla, ali ono što ćete pročitati bit će dovoljno da riješite većinu nejednakosti na svim vrstama testova i testova. samostalan rad. I na ovom tvom ispitu.

Kao i uvijek, počnimo s definicijom. Eksponencijalna nejednakost je svaka nejednakost koja sadrži eksponencijalnu funkciju. Drugim riječima, uvijek se može svesti na nejednakost oblika

\[((a)^(x)) \gt b\]

Gdje uloga $b$ može biti običan broj, ili možda nešto teže. Primjeri? Da molim:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(poravnati)\]

Mislim da je značenje jasno: postoji eksponencijalna funkcija $((a)^(x))$, ona se poredi sa nečim, a zatim traži da se pronađe $x$. U posebno kliničkim slučajevima, umjesto varijable $x$, mogu staviti neku funkciju $f\left(x \right)$ i time malo zakomplikovati nejednakost. :)

Naravno, u nekim slučajevima nejednakost može izgledati ozbiljnije. Na primjer:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ili čak i ovo:

Općenito, složenost takvih nejednakosti može biti vrlo različita, ali se na kraju ipak svode na jednostavnu konstrukciju $((a)^(x)) \gt b$. I mi ćemo nekako smisliti takvu konstrukciju (u posebno kliničkim slučajevima, kada ništa ne padne na pamet, pomoći će nam logaritmi). Stoga ćemo vas sada naučiti kako riješiti takve jednostavne konstrukcije.

Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih nejednačina

Hajde da razmotrimo nešto veoma jednostavno. Na primjer, ovo:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Očigledno, broj na desnoj strani može se prepisati kao stepen dvojke: $4=((2)^(2))$. Dakle, originalna nejednakost se može prepisati u vrlo pogodnom obliku:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

I sad me svrbe ruke da “precrtam” dvojke u osnovama stepena da bih dobio odgovor $x \gt 2$. Ali prije nego što bilo šta precrtamo, sjetimo se moći dvojke:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Kao što vidite, što je veći broj u eksponentu, veći je i izlazni broj. "Hvala, Cap!" - uzviknut će jedan od učenika. Da li je drugačije? Nažalost, to se dešava. Na primjer:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ desno))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

I ovdje je sve logično: što je veći stepen, to se broj 0,5 više puta množi sam sa sobom (tj. podijeljen na pola). Dakle, rezultirajući niz brojeva se smanjuje, a razlika između prvog i drugog niza je samo u bazi:

• Ako je osnova stepena $a \gt 1$, onda kako se eksponent $n$ povećava, broj $((a)^(n))$ će takođe rasti;
• I obrnuto, ako je $0 \lt a \lt 1$, onda kako se eksponent $n$ povećava, broj $((a)^(n))$ će se smanjivati.

Sumirajući ove činjenice, dobijamo najvažniju tvrdnju na kojoj se zasniva cjelokupno rješenje eksponencijalnih nejednačina:

Ako je $a \gt 1$, onda je nejednakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednakosti $x \gt n$. Ako je $0 \lt a \lt 1$, tada je nejednakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednakosti $x \lt n$.

Drugim riječima, ako je baza veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti - znak nejednakosti se neće promijeniti. A ako je baza manja od jedan, onda se i ona može ukloniti, ali ćete u isto vrijeme morati promijeniti znak nejednakosti.

Imajte na umu da nismo razmotrili opcije $a=1$ i $a\le 0$. Jer u tim slučajevima se javlja neizvjesnost. Recimo kako riješiti nejednakost oblika $((1)^(x)) \gt 3$? Jedan na bilo koju moć će opet dati jedan - nikada nećemo dobiti tri ili više. One. nema rješenja.

Uz negativne razloge sve je još zanimljivije. Na primjer, razmotrite ovu nejednakost:

\[((\lijevo(-2 \desno))^(x)) \gt 4\]

Na prvi pogled sve je jednostavno:

zar ne? Ali ne! Dovoljno je zamijeniti nekoliko parnih i nekoliko neparnih brojeva umjesto $x$ da biste bili sigurni da je rješenje netačno. Pogledaj:

\[\begin(align) & x=4\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strelica desno ((\levo(-2 \desno))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, znakovi se izmjenjuju. Ali postoje i razlomci i druge gluposti. Kako biste, na primjer, naručili izračunavanje $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dva na stepen sedam)? Nema šanse!

Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da je u svim eksponencijalnim nejednačinama (i uzgred rečeno, također) $1\ne a \gt 0$. A onda se sve rješava vrlo jednostavno:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \desno), \\ & x \lt n\quad \levo(0 \lt a \lt 1 \desno). \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Općenito, zapamtite još jednom glavno pravilo: ako je baza u eksponencijalnoj jednadžbi veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti; a ako je baza manja od jedan, može se i ukloniti, ali će se predznak nejednakosti promijeniti.

Primjeri rješenja

Dakle, pogledajmo nekoliko jednostavnih eksponencijalnih nejednakosti:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(poravnati)\]

Primarni zadatak u svim slučajevima je isti: svesti nejednakosti na najjednostavniji oblik $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Upravo to ćemo sada učiniti sa svakom nejednakošću, a istovremeno ćemo ponoviti svojstva stupnjeva i eksponencijalnih funkcija. Dakle, idemo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

sta mozes da radis ovde? Pa, na lijevoj strani već imamo indikativan izraz - ništa ne treba mijenjati. Ali na desnoj strani je neka vrsta sranja: razlomak, pa čak i korijen u nazivniku!

Međutim, prisjetimo se pravila za rad s razlomcima i potencijama:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(poravnati)\]

Šta to znači? Prvo, lako se možemo riješiti razlomka pretvarajući ga u stepen sa negativan indikator. I drugo, pošto imenilac ima koren, bilo bi lepo pretvoriti ga u stepen - ovaj put sa razlomkom eksponenta.

Primijenimo ove radnje redom na desnu stranu nejednakosti i vidimo šta će se dogoditi:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3))) \desno))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne zaboravite da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti ovih stepeni sabiraju. I općenito, kada radite s eksponencijalnim jednadžbama i nejednačinama, apsolutno je potrebno znati barem najjednostavnija pravila za rad sa potencijama:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\lijevo(((a)^(x)) \desno))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(poravnati)\]

Zapravo, upravo smo primijenili posljednje pravilo. Stoga će naša izvorna nejednakost biti prepisana na sljedeći način:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Sada ćemo se riješiti njih dvoje u bazi. Pošto je 2 > 1, predznak nejednakosti će ostati isti:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \levo(-\infty ;\frac(2)(3) \desno]. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Glavna poteškoća uopće nije u eksponencijalnoj funkciji, već u kompetentnoj transformaciji izvornog izraza: morate ga pažljivo i brzo dovesti u najjednostavniji oblik.

Razmotrimo drugu nejednakost:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Tako-tako. Ovdje nas čekaju decimalni razlomci. Kao što sam mnogo puta rekao, u svim izrazima sa stepenom treba da se oslobodite decimala - to je često jedini način da vidite brzo i jednostavno rešenje. Ovdje ćemo se riješiti:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strelica desno ((\levo(\frac(1)(10) \desno))^(1-x)) \lt ( (\lijevo(\frac(1)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

Ovdje opet imamo najjednostavniju nejednakost, pa čak i sa osnovom od 1/10, tj. manje od jedan. Pa, uklanjamo baze, istovremeno mijenjajući znak iz "manje" u "više", i dobijamo:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(poravnati)\]

Dobili smo konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Imajte na umu: odgovor je upravo skup, a ni u kom slučaju konstrukcija oblika $x \lt -1$. Jer formalno, takva konstrukcija uopće nije skup, već nejednakost u odnosu na varijablu $x$. Da, vrlo je jednostavno, ali nije odgovor!

Važna napomena. Ova nejednakost bi se mogla riješiti na drugi način – svođenjem obje strane na stepen sa osnovom većom od jedan. Pogledaj:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strelica desno ((\levo(((10)^(-1)) \desno))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \desno))^(2))\Strelica desno ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Nakon takve transformacije, opet ćemo dobiti eksponencijalnu nejednakost, ali sa osnovom 10 > 1. To znači da možemo jednostavno precrtati deseticu - predznak nejednakosti se neće promijeniti. Dobijamo:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, odgovor je bio potpuno isti. Ujedno smo se spasili potrebe za promjenom znaka i općenito pamćenjem svih pravila. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Međutim, ne dozvolite da vas ovo uplaši. Bez obzira što je u indikatorima, sama tehnologija rješavanja nejednakosti ostaje ista. Stoga, prvo primijetimo da je 16 = 2 4. Prepišimo prvobitnu nejednakost uzimajući u obzir ovu činjenicu:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Ura! Dobili smo uobičajenu kvadratnu nejednakost! Znak se nigdje nije promijenio, jer je osnova dva - broj veći od jedan.

Nule funkcije na brojevnoj pravoj

Raspoređujemo znakove funkcije $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - očigledno, njen graf će biti parabola sa granama prema gore, tako da će biti „plusova ” sa strane. Zanima nas oblast u kojoj je funkcija manja od nule, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ je odgovor na originalni problem.

Konačno, razmotrite još jednu nejednakost:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Opet vidimo eksponencijalnu funkciju s decimalnim razlomkom u osnovi. Pretvorimo ovaj razlomak u običan razlomak:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \desno))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \desno)))\end(align)\]

U ovom slučaju koristili smo ranije datu napomenu - bazu smo sveli na broj 5 > 1 kako bismo pojednostavili naše dalje rješenje. Uradimo isto sa desnom stranom:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ desno))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Prepišimo prvobitnu nejednakost uzimajući u obzir obje transformacije:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \desno)))\ge ((5)^(-2))\]

Osnove na obje strane su iste i prelaze jedan. Na desnoj i lijevoj strani nema drugih pojmova, pa jednostavno "precrtamo" petice i dobijemo vrlo jednostavan izraz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Ovdje morate biti oprezniji. Mnogi studenti vole da jednostavno izvlače Kvadratni korijen obje strane nejednakosti i napišite nešto poput $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. To ni u kom slučaju ne biste trebali raditi, jer je korijen tačnog kvadrata modul, a ni u kom slučaju originalna varijabla:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\desno|\]

Međutim, rad sa modulima nije najbolji ugodna aktivnost, Istina? Tako da nećemo raditi. Umjesto toga, jednostavno pomjerimo sve pojmove ulijevo i riješimo uobičajenu nejednakost koristeći metodu intervala:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Dobijene tačke ponovo označavamo na brojevnoj pravoj i gledamo znakove:

Pošto smo rješavali ne-strogu nejednakost, sve tačke na grafu su zasjenjene. Dakle, odgovor će biti: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nije interval, već segment.

Općenito, želio bih napomenuti da u eksponencijalnim nejednakostima nema ništa komplikovano. Značenje svih transformacija koje smo danas izveli svodi se na jednostavan algoritam:

• Pronađite osnovu na koju ćemo sveti sve stepene;
• Pažljivo izvršite transformacije da dobijete nejednakost oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naravno, umjesto varijabli $x$ i $n$ mogu postojati mnogo složenije funkcije, ali značenje se neće promijeniti;
• Precrtati osnove stepeni. U ovom slučaju, predznak nejednakosti se može promijeniti ako je baza $a \lt 1$.

U suštini ovo je univerzalni algoritam rješenja za sve takve nejednakosti. A sve ostalo što će vam reći na ovu temu su samo specifične tehnike i trikovi koji će pojednostaviti i ubrzati transformaciju. Sada ćemo pričati o jednoj od ovih tehnika. :)

Metoda racionalizacije

Razmotrimo još jedan skup nejednakosti:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \desno))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Pa šta je tako posebno kod njih? Oni su lagani. Mada, stani! Da li je broj π podignut na neki stepen? Kakve gluposti?

Kako podići broj $2\sqrt(3)-3$ na stepen? Ili $3-2\sqrt(2)$? Pisci problema su očigledno popili previše gloga pre nego što su seli da rade. :)

U stvari, nema ništa strašno u ovim zadacima. Da vas podsjetim: eksponencijalna funkcija je izraz oblika $((a)^(x))$, gdje je baza $a$ bilo koja pozitivan broj, sa izuzetkom jednog. Broj π je pozitivan - to već znamo. Brojevi $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ su također pozitivni - to je lako vidjeti ako ih uporedite sa nulom.

Ispada da se sve ove "zastrašujuće" nejednakosti rješavaju ne drugačije od onih jednostavnih o kojima smo gore govorili? I da li se rješavaju na isti način? Da, to je potpuno tačno. Međutim, na njihovom primjeru, želio bih razmotriti jednu tehniku ​​koja uvelike štedi vrijeme na samostalnom radu i ispitima. Govorićemo o metodi racionalizacije. Dakle, pažnja:

Bilo koja eksponencijalna nejednakost oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentna nejednakosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ desno) \gt 0 $.

To je cela metoda :) Da li ste mislili da će biti još neke igre? Ništa ovako! Ali ova jednostavna činjenica, napisana doslovno u jednom redu, uvelike će nam pojednostaviti rad. Pogledaj:

\[\begin(matrica) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Dolje \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\\end(matrica)\]

Dakle, nema više eksponencijalnih funkcija! I ne morate pamtiti da li se znak menja ili ne. Ali nastaje novi problem: šta učiniti sa jebenim množiteljem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Ne znamo o čemu se radi tačna vrijednost brojevi π. Međutim, čini se da kapetan nagovještava očigledno:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\približno 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Općenito, tačna vrijednost π nas se baš i ne tiče - važno je samo da shvatimo da je u svakom slučaju $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. ovo je pozitivna konstanta i njome možemo podijeliti obje strane nejednakosti:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \desno) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \desno)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Kao što vidite, u određenom trenutku morali smo podijeliti sa minus jedan - i znak nejednakosti se promijenio. Na kraju sam proširio kvadratni trinom koristeći Vietinu teoremu - očito je da su korijeni jednaki $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=-1$ . Onda je sve odlučeno klasična metoda intervali:

Sve tačke se uklanjaju jer je originalna nejednakost stroga. Zanima nas region sa negativnim vrednostima, tako da je odgovor $x\in \left(-1;5 \right)$. To je rešenje. :)

Pređimo na sljedeći zadatak:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Sve je ovdje općenito jednostavno, jer se nalazi jedinica s desne strane. I sjećamo se da je jedan bilo koji broj podignut na nulti stepen. Čak i ako je ovaj broj iracionalan izraz u osnovi s lijeve strane:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \desno))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \desno))^(0)); \\\end(poravnati)\]

Pa, da racionalizujemo:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ostaje samo otkriti znakove. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne sadrži varijablu $x$ - to je samo konstanta, i moramo saznati njen predznak. Da biste to učinili, obratite pažnju na sljedeće:

\[\begin(matrica) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Strelica prema dolje \\ 2\levo(\sqrt(3)-2 \desno) \lt 2\cdot \left(2 -2 \desno)=0 \\\kraj(matrica)\]

Ispostavilo se da drugi faktor nije samo konstanta, već negativna konstanta! A kada se dijeli s njim, predznak izvorne nejednakosti mijenja se u suprotno:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\lijevo(x-2 \desno) \gt 0. \\\end(poravnati)\]

Sada sve postaje potpuno očigledno. Korijeni kvadratnog trinoma na desnoj strani su: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Označavamo ih na brojevnoj pravoj i gledamo znakove funkcije $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Zanimaju nas intervali označeni znakom plus. Ostaje samo da zapišete odgovor:

Prijeđimo na sljedeći primjer:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ desno))^(16-x))\]

Pa, ovdje je sve potpuno očigledno: baze sadrže potencije istog broja. Stoga ću sve ukratko napisati:

\[\begin(matrica) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Strelica prema dolje \\ ((\levo(((3)^(-1)) \desno))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\lijevo(((3)^(-2)) \desno))^(16-x)) \\\end(matrica)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lijevo(16-x \desno))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \desno) \desno)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \desno)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Kao što vidite, tokom procesa transformacije morali smo da pomnožimo sa negativan broj, pa se predznak nejednakosti promijenio. Na samom kraju, ponovo sam primijenio Vietinu teoremu za faktor kvadratnog trinoma. Kao rezultat, odgovor će biti sljedeći: $x\in \left(-8;4 \right)$ - svako to može provjeriti crtanjem brojevne prave, označavanjem tačaka i brojanjem znakova. U međuvremenu, preći ćemo na posljednju nejednakost iz našeg "skupa":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Kao što vidite, u osnovi je opet iracionalan broj, a desno opet jedinica. Stoga našu eksponencijalnu nejednakost prepisujemo na sljedeći način:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ desno))^(0))\]

Primjenjujemo racionalizaciju:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Međutim, sasvim je očigledno da je $1-\sqrt(2) \lt 0$, budući da je $\sqrt(2)\približno 1,4... \gt 1$. Dakle, drugi faktor je opet negativna konstanta, kojom se obje strane nejednakosti mogu podijeliti:

\[\begin(matrica) \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrica)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\lijevo(x-3 \desno) \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Pređite u drugu bazu

Poseban problem pri rješavanju eksponencijalnih nejednačina je potraga za „ispravnom“ osnovom. Nažalost, nije uvijek na prvi pogled na zadatku jasno šta uzeti za osnovu, a šta učiniti prema stepenu ove osnove.

Ali ne brinite: ovdje nema magije ili „tajne“ tehnologije. U matematici, svaka vještina koja se ne može algoritmizirati može se lako razviti kroz vježbu. Ali za to ćete morati riješiti probleme različitih nivoa složenosti. Na primjer, ovako:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ kraj (poravnati)\]

Tesko? Strašno? Lakše je nego udariti kokošku o asfalt! Pokusajmo. Prva nejednakost:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Pa mislim da je tu sve jasno:

Prepisujemo originalnu nejednakost, svodeći sve na osnovu dva:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \desno)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, dobro ste čuli: upravo sam primenio metod racionalizacije koji je gore opisan. Sada moramo raditi pažljivo: imamo razlomku-racionalnu nejednakost (ovo je ona koja ima varijablu u nazivniku), tako da prije nego što bilo što izjednačimo sa nulom, moramo sve dovesti na zajednički nazivnik i riješiti se konstantnog faktora .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \desno)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Sada koristimo standardnu ​​metodu intervala. Nule brojioca: $x=\pm 4$. Imenilac ide na nulu samo kada je $x=0$. Ukupno su tri tačke koje je potrebno označiti na brojevnoj pravoj (sve tačke su zakačene jer je znak nejednakosti strog). Dobijamo:

Kao što možete pretpostaviti, sjenčanje označava one intervale u kojima izraz s lijeve strane poprima negativne vrijednosti. Stoga će konačni odgovor uključivati ​​dva intervala odjednom:

Krajevi intervala nisu uključeni u odgovor jer je prvobitna nejednakost bila stroga. Nije potrebna dalja provjera ovog odgovora. U tom smislu, eksponencijalne nejednakosti su mnogo jednostavnije od logaritamskih: nema ODZ-a, nema ograničenja itd.

Pređimo na sljedeći zadatak:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ni tu nema problema, jer već znamo da je $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, pa se cijela nejednakost može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lijevo(-2 \desno) \desno. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Imajte na umu: u trećem redu odlučio sam da ne gubim vrijeme na sitnice i odmah sve podijelim sa (−2). Minul je ušao u prvu zagradu (sada su svuda plusevi), a dva je smanjena sa konstantnim faktorom. To je upravo ono što biste trebali učiniti kada pripremate prave prikaze na nezavisnim i testovi— nema potrebe opisivati ​​svaku radnju i transformaciju.

Zatim dolazi u obzir poznata metoda intervala. Numeratorske nule: ali ih nema. Zato što će diskriminant biti negativan. Zauzvrat, imenilac se resetuje samo kada je $x=0$ - kao i prošli put. Pa, jasno je da će desno od $x=0$ razlomak uzeti pozitivne vrijednosti, a lijevo - negativne. Pošto nas zanimaju negativne vrijednosti, konačni odgovor je: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Šta trebate učiniti s decimalnim razlomcima u eksponencijalnim nejednačinama? Tako je: riješite ih se, pretvarajući ih u obične. Ovdje ćemo prevesti:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Strelica desno ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Strelica desno ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\desno))^(x)). \\\end(poravnati)\]

Dakle, što smo dobili u temeljima eksponencijalnih funkcija? I dobili smo dva međusobno inverzna broja:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Strelica desno ((\left(\frac(25)(4) \ desno))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \desno))^(x))=((\ lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(-x))\]

Dakle, originalna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \desno))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(poravnati)\]

Naravno, kada se množe stepeni sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju, što se i dogodilo u drugom redu. Pored toga, predstavili smo jedinicu sa desne strane, takođe kao moć u bazi 4/25. Ostaje samo da se racionalizuje:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Strelica desno \levo(x+1-0 \desno)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \desno)\ge 0\]

Imajte na umu da je $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi faktor je negativna konstanta, a pri dijeljenju s njom promijenit će se predznak nejednakosti:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Strelica desno x\le -1; \\ & x\in \levo(-\infty ;-1 \desno]. \\\end(poravnati)\]

Konačno, posljednja nejednakost iz trenutnog "skupa":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

U principu, ideja rješenja ovdje je također jasna: sve eksponencijalne funkcije uključene u nejednakost moraju se svesti na bazu "3". Ali za ovo ćete se morati malo pozabaviti korijenima i moćima:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(poravnati)\]

Uzimajući ove činjenice u obzir, izvorna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\desno))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(poravnati)\]

Obratite pažnju na 2. i 3. red proračuna: prije nego što uradite bilo šta s nejednakošću, obavezno je dovedite u oblik o kojem smo pričali od samog početka lekcije: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Sve dok imate neke levoruke faktore, dodatne konstante itd. sa leve ili desne strane, ne može se izvršiti nikakva racionalizacija ili „precrtavanje“ osnova! Bezbroj zadataka je izvršeno pogrešno zbog nerazumijevanja ove jednostavne činjenice. I sam stalno posmatram ovaj problem kod svojih učenika kada tek počinjemo da analiziramo eksponencijalne i logaritamske nejednakosti.

No, vratimo se našem zadatku. Pokušajmo ovaj put bez racionalizacije. Podsjetimo: osnova stepena je veća od jedan, tako da se trojke mogu jednostavno precrtati - znak nejednakosti se neće promijeniti. Dobijamo:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(poravnati)\]

To je sve. Konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolacija stabilnog izraza i zamjena varijable

U zaključku predlažem rješavanje još četiri eksponencijalne nejednačine, koje su već prilično teške za nespremne učenike. Da biste se nosili s njima, morate zapamtiti pravila za rad sa diplomama. Konkretno, stavljanje uobičajenih faktora iz zagrada.

Ali najvažnije je naučiti razumjeti šta se tačno može izvaditi iz zagrada. Takav izraz se naziva stabilan - može se označiti novom varijablom i tako se riješiti eksponencijalne funkcije. Dakle, pogledajmo zadatke:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(poravnati)\]

Počnimo od prve linije. Zapišimo ovu nejednakost odvojeno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Imajte na umu da je $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tako da je desna strana se može prepisati:

Imajte na umu da nema drugih eksponencijalnih funkcija osim $((5)^(x+1))$ u nejednakosti. I općenito, varijabla $x$ se ne pojavljuje nigdje drugdje, pa hajde da uvedemo novu varijablu: $((5)^(x+1))=t$. Dobijamo sledeću konstrukciju:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(poravnati)\]

Vraćamo se na originalnu varijablu ($t=((5)^(x+1))$), a u isto vrijeme zapamtimo da je 1=5 0 . Imamo:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Odgovor: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pređimo na drugu nejednakost:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Ovdje je sve isto. Imajte na umu da je $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Onda lijeva strana može se prepisati:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \desno. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Strelica desno ((3)^(x))\ge 9\Strelica desno ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strelica desno x\in \levo[ 2;+\infty \desno). \\\end(poravnati)\]

Ovako otprilike trebate napraviti rješenje za prave testove i samostalan rad.

Pa, hajde da probamo nešto komplikovanije. Na primjer, evo nejednakosti:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

U čemu je problem? Prije svega, baze eksponencijalnih funkcija s lijeve strane su različite: 5 i 25. Međutim, 25 = 5 2, pa se prvi član može transformirati:

\[\begin(poravnati) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \desno))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Kao što vidite, prvo smo sve doveli na istu osnovu, a onda smo primijetili da se prvi član lako može svesti na drugi - samo treba proširiti eksponent. Sada možete bezbedno uvesti novu varijablu: $((5)^(2x+2))=t$, a cela nejednakost će biti prepisana na sledeći način:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

I opet, bez poteškoća! Konačni odgovor: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pređimo na konačnu nejednakost u današnjoj lekciji:

\[((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Prva stvar na koju treba obratiti pažnju je, naravno, decimalni u osnovi prvog stepena. Potrebno ga je riješiti, a istovremeno dovesti sve eksponencijalne funkcije na istu bazu - broj "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Strelica desno ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\lijevo(((2)^(-1)) \desno))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strelica desno ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \desno))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Odlično, napravili smo prvi korak - sve je dovelo do istog temelja. Sada morate odabrati stabilan izraz. Imajte na umu da je $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ako uvedemo novu varijablu $((2)^(4x+6))=t$, onda se originalna nejednakost može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(poravnati)\]

Naravno, može se postaviti pitanje: kako smo otkrili da je 256 = 2 8? Nažalost, ovdje samo trebate znati potencije dvojke (i u isto vrijeme potencije tri i pet). Pa, ili podijelite 256 sa 2 (možete podijeliti, pošto je 256 paran broj) dok ne dobijemo rezultat. To će izgledati otprilike ovako:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Isto je i sa tri (brojevi 9, 27, 81 i 243 su njeni stepeni), i sa sedam (brojeve 49 i 343 takođe bi bilo lepo zapamtiti). Pa, petorica takođe imaju "lijepe" diplome koje morate znati:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(poravnati)\]

Naravno, ako želite, svi ovi brojevi se mogu vratiti u vašem umu jednostavnim uzastopnim množenjem jedan s drugim. Međutim, kada morate riješiti nekoliko eksponencijalnih nejednačina, a svaka sljedeća je teža od prethodne, posljednja stvar o kojoj želite razmišljati su potencije nekih brojeva. I u tom smislu, ovi problemi su složeniji od “klasičnih” nejednakosti koje se rješavaju intervalnom metodom.

Lekcija i prezentacija na temu: "Eksponencijalne jednadžbe i eksponencijalne nejednačine"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici Integral za 11. razred
Interaktivni priručnik za 9-11 razred "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za 10-11 razred "Logaritmi"

Definicija eksponencijalnih jednadžbi

Definicija. Jednačine oblika: $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje se $a>0$, $a≠1$ nazivaju eksponencijalne jednačine.

Podsjećajući na teoreme koje smo proučavali u temi "Eksponencijalna funkcija", možemo uvesti novu teoremu:
Teorema. Eksponencijalna jednačina $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje je $a>0$, $a≠1$ ekvivalentna jednadžbi $f(x)=g(x) $.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Tada se naša jednadžba može prepisati: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2h+0.2=0.2$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

C) Originalna jednačina je ekvivalentna jednačini: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ i $x_2=-3$.
Odgovor: $x_1=6$ i $x_2=-3$.

Primjer.
Riješite jednačinu: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Rješenje:
Izvršimo niz radnji uzastopno i dovedemo obje strane naše jednadžbe na iste baze.
Izvršimo nekoliko operacija na lijevoj strani:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pređimo na desnu stranu:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Originalna jednadžba je ekvivalentna jednadžbi:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

Primjer.
Riješite jednačinu: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Rješenje:
Prepišimo našu jednačinu: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Napravimo promjenu varijabli, neka je $a=3^x$.
U novom promenljiva jednačinaće imati oblik: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ i $a_2=3$.
Izvršimo obrnutu promjenu varijabli: $3^x=-12$ i $3^x=3$.
U prošloj lekciji smo naučili da eksponencijalni izrazi mogu imati samo pozitivne vrijednosti, zapamtite graf. To znači da prva jednačina nema rješenja, druga jednačina ima jedno rješenje: $x=1$.
Odgovor: $x=1$.

Podsjetimo kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe:
1. Grafička metoda. Predstavljamo obje strane jednadžbe u obliku funkcija i gradimo njihove grafove, pronalazimo tačke presjeka grafova. (Ovu metodu smo koristili u prošloj lekciji).
2. Princip jednakosti indikatora. Princip se zasniva na činjenici da su dva izraza sa istim bazama jednaka ako i samo ako su stepeni (eksponenti) ovih baza jednaki. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Varijabilna metoda zamjene. Ovu metodu treba koristiti ako jednačina, prilikom zamjene varijabli, pojednostavljuje svoj oblik i mnogo je lakše riješiti.

Primjer.
Riješite sistem jednačina: $\begin (slučajevi) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (slučajevi)$.
Rješenje.
Razmotrimo obje jednačine sistema odvojeno:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Razmotrimo drugu jednačinu:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Koristimo metodu promjene varijabli, neka $y=2^(x+y)$.
Tada će jednačina poprimiti oblik:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ i $y_2=-3$.
Pređimo na početne varijable, iz prve jednačine dobijamo $x+y=2$. Druga jednačina nema rješenja. Tada je naš početni sistem jednačina ekvivalentan sistemu: $\begin (slučajevi) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (slučajevi)$.
Oduzmite drugu od prve jednačine, dobijamo: $\begin (slučajevi) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (slučajevi)$.
$\begin (slučajevi) y=-1, \\ x=3. \end (slučajevi)$.
Odgovor: $(3;-1)$.

Eksponencijalne nejednakosti

Teorema. Ako je $a>1$, tada je eksponencijalna nejednakost $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekvivalentna nejednakosti $f(x)>g(x)$.
Ako $0 a^(g(x))$ je ekvivalentna nejednakosti $f(x)

Primjer.
Riješite nejednačine:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
Rješenje.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Naša nejednakost je ekvivalentna nejednakosti:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) U našoj jednadžbi, baza je kada je stepen je manji od 1, tada je prilikom zamjene nejednakosti ekvivalentnom potrebno promijeniti predznak.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Naša nejednakost je ekvivalentna nejednakosti:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Koristimo metodu intervalnog rješenja:
Odgovor: $(-∞;-5]U)