Rješavanje homogenih sistema linearnih jednačina Gausovom metodom. Obrnuto od Gaussove metode

1. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi

1.1 Koncept sistema linearnih algebarskih jednačina

Sistem jednačina je uslov koji se sastoji od istovremenog izvršavanja više jednačina u odnosu na više varijabli. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi (u daljem tekstu SLAE) koji sadrži m jednačina i n nepoznatih naziva se sistem oblika:

gdje se brojevi a ij nazivaju koeficijenti sistema, brojevi b i nazivaju se slobodni pojmovi, a ij I b i(i=1,…, m; b=1,…, n) predstavljaju neke poznate brojeve, a x 1 ,…, x n– nepoznato. U označavanju koeficijenata a ij prvi indeks i označava broj jednačine, a drugi j je broj nepoznate na kojoj se nalazi ovaj koeficijent. Brojevi x n moraju biti pronađeni. Zgodno je napisati takav sistem u obliku kompaktne matrice: AX=B. Ovdje je A matrica sistemskih koeficijenata, koja se naziva glavna matrica;

Proizvod matrica A*X je definiran, jer u matrici A ima onoliko stupaca koliko ima redova u matrici X (n komada).

Proširena matrica sistema je matrica A sistema, dopunjena kolonom slobodnih pojmova

1.2 Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina

Rješenje sistema jednadžbi je uređeni skup brojeva (vrijednosti varijabli), kada se zamjenjuju umjesto varijabli, svaka od jednadžbi sistema pretvara se u pravu jednakost.

Rješenje sistema je n vrijednosti nepoznatih x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, čijom zamjenom sve jednačine sistema postaju istinite jednakosti. Svako rješenje sistema može se napisati kao matrica stupaca

Sistem jednačina naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema nijedno rješenje.

Za konzistentan sistem se kaže da je određen ako ima jedno rješenje, a neodređen ako ima više od jednog rješenja. U potonjem slučaju, svako njegovo rješenje naziva se posebno rješenje sistema. Skup svih posebnih rješenja naziva se općim rješenjem.

Rješavanje sistema znači utvrđivanje da li je kompatibilan ili nekonzistentan. Ako je sistem konzistentan, pronađite njegovo opšte rješenje.

Dva sistema se nazivaju ekvivalentna (ekvivalentna) ako imaju isto opšte rešenje. Drugim riječima, sistemi su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog, i obrnuto.

Transformacija, čija primjena pretvara sistem u novi sistem ekvivalentan originalnom, naziva se ekvivalentna ili ekvivalentna transformacija. Primjeri ekvivalentnih transformacija uključuju sljedeće transformacije: zamjenu dvije jednačine sistema, zamjenu dvije nepoznate zajedno sa koeficijentima svih jednačina, množenje obje strane bilo koje jednačine sistema brojem koji nije nula.

Sistem linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi slobodni članovi jednaki nuli:

Homogeni sistem je uvek konzistentan, jer je x1=x2=x3=…=xn=0 rešenje sistema. Ovo rješenje se naziva nula ili trivijalno.

2. Gausova metoda eliminacije

2.1 Suština Gausove metode eliminacije

Klasična metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina je metoda sekvencijalne eliminacije nepoznanica - Gaussova metoda(naziva se i Gausova metoda eliminacije). Ovo je metoda sekvencijalne eliminacije varijabli, kada se pomoću elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentni sistem stepenastog (ili trouglastog) oblika, iz kojeg se sve ostale varijable pronalaze sekvencijalno, počevši od posljednje (po broj) varijable.

Proces rješavanja pomoću Gaussove metode sastoji se od dvije faze: kretanja naprijed i nazad.

1. Direktan udar.

U prvoj fazi se izvodi takozvani direktni pokret, kada se elementarnim transformacijama preko redova sistem dovodi u stepenasti ili trouglasti oblik, ili se utvrdi da je sistem nekompatibilan. Naime, među elementima prve kolone matrice odaberite jedan različit od nule, pomaknite ga na najgornju poziciju preuređivanjem redova i oduzmite rezultirajući prvi red od preostalih redova nakon preuređivanja, množeći ga vrijednošću jednak omjeru prvog elementa svakog od ovih redova prema prvom elementu prvog reda, čime se nula stupac ispod njega.

Nakon što su naznačene transformacije završene, prvi red i prvi stupac se mentalno precrtavaju i nastavljaju sve dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u bilo kojoj iteraciji nema elementa različitog od nule među elementima prve kolone, idite na sljedeću kolonu i izvedite sličnu operaciju.

U prvoj fazi (direktan hod), sistem se svodi na stepenasti (posebno trokutasti) oblik.

Sistem ispod ima postepeni oblik:

Koeficijenti aii nazivaju se glavnim (vodećim) elementima sistema.

Hajde da transformišemo sistem eliminisanjem nepoznatog x1 u svim jednačinama osim u prvoj (koristeći elementarne transformacije sistema). Da biste to učinili, pomnožite obje strane prve jednadžbe sa

Nastavljajući ovaj proces, dobijamo ekvivalentni sistem:

Tako se u prvom koraku uništavaju svi koeficijenti koji leže ispod prvog vodećeg elementa a 11

Ako se u procesu svođenja sistema na stepenasti oblik pojave nulte jednačine, tj. jednakosti oblika 0=0, one se odbacuju. Ako se pojavi jednadžba oblika

Tu se završava direktna progresija Gaussove metode.

2. Obrnuti hod.

U drugoj fazi izvodi se takozvani obrnuti potez, čija je suština da se sve rezultirajuće osnovne varijable izraze u terminima nebaznih i izgradi fundamentalni sistem rješenja, odnosno, ako su sve varijable osnovne varijable. , zatim numerički izraziti jedino rješenje sistema linearnih jednačina.

Ovaj postupak počinje posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (u njoj je samo jedna) i zamjenjuje se prethodnim jednačinama, i tako dalje, idući uz „stepenice“.

Svaki red odgovara tačno jednoj bazičnoj varijabli, tako da na svakom koraku osim posljednjeg (najgornjeg), situacija tačno ponavlja slučaj posljednje linije.

Napomena: u praksi je prikladnije raditi ne sa sistemom, već sa njegovom proširenom matricom, izvodeći sve elementarne transformacije na njegovim redovima. Pogodno je da koeficijent a11 bude jednak 1 (preuredite jednačine, ili podijelite obje strane jednačine sa a11).

2.2 Primjeri rješavanja SLAE pomoću Gausove metode

U ovom dijelu, koristeći tri različita primjera, pokazat ćemo kako Gaussova metoda može riješiti SLAE.

Primjer 1. Riješite SLAE 3. reda.

Resetujmo koeficijente na

Neka je zadan sistem linearnih algebarskih jednadžbi koje treba riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanica xi koje pretvaraju svaku jednačinu sistema u jednakost).

Znamo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti non-joint).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imati jedno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda nisu prikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja za bilo koji sistem linearnih jednačina, koji u svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! Sam algoritam metode radi isto u sva tri slučaja. Ako je za Cramerovu i matričnu metodu potrebno poznavanje determinanti, onda je za primjenu Gaussove metode potrebno samo poznavanje aritmetičkih operacija, što je čini dostupnom čak i učenicima osnovne škole.

Proširene matrične transformacije ( ovo je matrica sistema - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznatih, plus kolona slobodnih termina) sistemi linearnih algebarskih jednadžbi u Gaussovom metodu:

1) With troki matrice Može preurediti na nekim mjestima.

2) ako se proporcionalni (kao poseban slučaj – identični) redovi pojavljuju (ili postoje) u matrici, onda bi trebalo izbrisati Svi ovi redovi su iz matrice osim jednog.

3) ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi i trebao biti izbrisati.

4) red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) na red matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule.

U Gausovoj metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina.

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:

1. „Direktan potez” - koristeći elementarne transformacije, dovedite proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi u „trouglasti” oblik koraka: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje). Na primjer, na ovu vrstu:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

1) Razmotrimo prvu jednačinu sistema linearnih algebarskih jednačina i koeficijent za x 1 je jednak K. Druga, treća itd. transformiramo jednadžbe na sljedeći način: svaku jednačinu (koeficijente nepoznatih, uključujući slobodne članove) podijelimo sa koeficijentom nepoznatog x 1 u svakoj jednadžbi i pomnožimo sa K. Nakon toga, oduzmemo prvu od druge jednačine ( koeficijenti nepoznatih i slobodnih termina). Za x 1 u drugoj jednačini dobijamo koeficijent 0. Od treće transformisane jednačine oduzimamo prvu jednačinu sve dok sve jednačine osim prve, za nepoznato x 1, ne budu imale koeficijent 0.

2) Pređimo na sljedeću jednačinu. Neka je ovo druga jednačina i koeficijent za x 2 jednak M. Nastavljamo sa svim „nižim“ jednadžbama kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznatog x 2 će biti nule u svim jednačinama.

3) Prijeđite na sljedeću jednačinu i tako dalje dok ne ostane posljednja nepoznanica i transformirani slobodni član.

1. „Obrnuti potez” Gaussove metode je da se dobije rešenje sistema linearnih algebarskih jednačina (pomeranje „odozdo prema gore”). Iz posljednje “niže” jednačine dobijamo jedno prvo rješenje - nepoznato x n. Da bismo to uradili, rešavamo elementarnu jednačinu A * x n = B. U gore datom primeru, x 3 = 4. Pronađenu vrednost zamenjujemo u „gornju“ sledeću jednačinu i rešavamo je u odnosu na sledeću nepoznanicu. Na primjer, x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. I tako sve dok ne nađemo sve nepoznate.

Primjer.

Rešimo sistem linearnih jednačina Gaussovom metodom, kako savetuju neki autori:

Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Gledamo gornji levi „stupak“. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradimo ovo:
1 korak . Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.

Sada u gornjem levom uglu stoji „minus jedan“, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: pomnožiti prvi red sa –1 (promijeniti njegov predznak).

Korak 2 . Prvi red, pomnožen sa 5, dodat je drugom redu, a prvi red, pomnožen sa 3, dodat je trećem redu.

Korak 3 . Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za lepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.

Korak 4 . Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa 2.

Korak 5 . Treći red je podijeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na grešku u proračunima (rjeđe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto poput (0 0 11 |23) ispod, i, shodno tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda sa velikim stepenom verovatnoće možemo reći da je greška napravljena tokom osnovnog transformacije.

Učinimo obrnuto; u dizajnu primjera, sam sistem se često ne prepisuje, već se jednačine „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi odozdo prema gore. U ovom primjeru, rezultat je bio poklon:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dakle x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odgovori:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rešimo isti sistem koristeći predloženi algoritam. Dobijamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugu jednačinu podijelimo sa 5, a treću sa 3. Dobijamo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnoživši drugu i treću jednačinu sa 4, dobijamo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmimo prvu jednačinu od druge i treće jednačine, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednačinu sa 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednačinu sa 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzimanjem druge od treće jednačine dobijamo „stepenastu“ proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, pošto se greška nakupila tokom izračunavanja, dobijamo x 3 = 0,96 ili približno 1.

x 2 = 3 i x 1 = –1.

Ovakvim rješavanjem nikada se nećete zbuniti u proračunima i, uprkos greškama u proračunu, dobit ćete rezultat.

Ova metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina je lako programibilna i ne uzima u obzir specifičnosti koeficijenata za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora raditi sa necjelobrojnim koeficijentima.

Želim ti uspjeh! Vidimo se na času! Tutor Dmitry Aystrakhanov.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Ovdje možete besplatno riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda online velike veličine u kompleksnim brojevima s vrlo detaljnim rješenjem. Naš kalkulator može online rješavati uobičajene i neodređene sisteme linearnih jednačina koristeći Gaussovu metodu, koja ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, u odgovoru ćete dobiti zavisnost nekih varijabli preko drugih, slobodnih. Također možete provjeriti konzistentnost sistema jednačina na mreži koristeći Gaussovo rješenje.

O metodi

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednadžbi online korištenjem Gaussove metode, izvode se sljedeći koraci.

1. Pišemo proširenu matricu.
2. Zapravo, rješenje je podijeljeno na korake naprijed i nazad Gaussove metode. Direktan pristup Gaussove metode je redukcija matrice na stepenasti oblik. Obrnuto Gaussove metode je redukcija matrice na poseban stepenasti oblik. Ali u praksi je zgodnije odmah nulirati ono što se nalazi i iznad i ispod dotičnog elementa. Naš kalkulator koristi upravo ovaj pristup.
3. Važno je napomenuti da pri rješavanju Gaussovom metodom prisustvo u matrici najmanje jednog nultog reda sa desnom stranom koja nije nula (kolona slobodnih pojmova) ukazuje na nekonzistentnost sistema. U ovom slučaju, rješenje za linearni sistem ne postoji.

Da biste najbolje razumjeli kako Gaussov algoritam funkcionira na mreži, unesite bilo koji primjer, odaberite "vrlo detaljno rješenje" i pogledajte njegovo rješenje na mreži.

Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak “Kralj matematike”. A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, novac ne dobijaju samo naivčine, već i genijalci - Gaussov portret bio je na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se još uvijek misteriozno smiješi Nijemcima sa običnih poštanskih maraka.

Gaussova metoda je jednostavna po tome što je ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA DOVOLJNO za savladavanje. Morate znati sabirati i množiti! Nije slučajno što nastavnici često razmatraju metodu sekvencijalnog isključivanja nepoznatih u školskim izbornim predmetima iz matematike. To je paradoks, ali studentima je Gaussova metoda najteža. Ništa iznenađujuće - sve je u metodologiji, a ja ću pokušati govoriti o algoritmu metode u pristupačnom obliku.

Prvo, sistematizujmo malo znanja o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:

1) Imati jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti non-joint).

Gaussova metoda je najmoćnije i univerzalno sredstvo za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. I metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih U svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! U ovoj lekciji ponovo ćemo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rešenje sistema), članak je posvećen situacijama tačaka br. 2-3. Napominjem da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.

Vratimo se na najjednostavniji sistem iz lekcije Kako riješiti sistem linearnih jednačina?
i riješiti ga Gaussovom metodom.

Prvi korak je zapisivanje proširena sistemska matrica:
. Mislim da svako može da vidi po kom principu se pišu koeficijenti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je jednostavno precrtano radi lakšeg dizajna.

Referenca :Preporučujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, u ovom primjeru matrica sistema: . Proširena sistemska matrica– ovo je ista matrica sistema plus kolona slobodnih pojmova, u ovom slučaju: . Radi kratkoće, bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom.

Nakon što je proširena sistemska matrica napisana, potrebno je izvršiti neke radnje s njom, koje se još nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljedeće elementarne transformacije:

1) Strings matrice Može preurediti na nekim mjestima. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red:

2) Ako postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi u matrici, onda biste trebali izbrisati Svi ovi redovi su iz matrice osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu . U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi također trebao biti izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj sve nule.

4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: . Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.

5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule. Pogledajmo našu matricu iz praktičnog primjera: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red sa –2: , And drugom redu dodajemo prvi red pomnožen sa –2: . Sada se prvi red može podijeliti “nazad” sa –2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Uvijek mijenja se red KOJI JE DODAN UT.

U praksi, naravno, to ne pišu tako detaljno, već ukratko:

Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa –2. Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, a proces mentalnog izračunavanja ide otprilike ovako:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: »

“Prva kolona. Na dnu moram dobiti nulu. Stoga, pomnožim onaj na vrhu sa –2: , a prvi dodam u drugi red: 2 + (–2) = 0. Rezultat pišem u drugom redu: »

“Sada druga kolona. Na vrhu množim -1 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

“I treća kolona. Na vrhu množim -5 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

Molimo pažljivo razumite ovaj primjer i razumite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako ovo razumijete, onda je Gaussova metoda praktički u vašem džepu. Ali, naravno, i dalje ćemo raditi na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina

! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane „sama po sebi“. Na primjer, sa "klasičnim" operacije sa matricama Ni u kom slučaju ne smijete ništa preuređivati ​​unutar matrica!

Vratimo se našem sistemu. Praktično je rasparčano.

Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. I opet: zašto prvi red množimo sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.

(2) Drugi red podijelite sa 3.

Svrha elementarnih transformacija – svesti matricu na postupni oblik: . U dizajnu zadatka jednostavnom olovkom označavaju "stepenice", a također zaokružuju brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam izraz „stepeni pogled“ nije sasvim teorijski, u naučnoj i obrazovnoj literaturi se često naziva trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednadžbi:

Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove inverzno od Gausove metode.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .

Razmotrimo prvu jednačinu sistema i u nju zamijenimo već poznatu vrijednost "y":

Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.

Primjer 1

Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom:

Napišimo proširenu matricu sistema:

Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći tokom rješenja:

I ponavljam, naš cilj je da dovedemo matricu u postupni oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje početi?

Prvo pogledajte gornji lijevi broj:

Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, –1 (a ponekad i drugi brojevi) će odgovarati, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se tamo obično stavlja jedan. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red:

Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom uglu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima:

Dobijamo nule koristeći "tešku" transformaciju. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta je potrebno učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Treba u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2:

Rezultat pišemo u drugom redu:

Na isti način radimo i sa trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa –3:

Rezultat pišemo u trećem redu:

U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku:

Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i „upisivanje“ rezultata dosljedan i obično je to ovako: prvo prepišemo prvi red, i polako se nadimamo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO:


I već sam gore raspravljao o mentalnom procesu samih proračuna.

U ovom primjeru to je lako učiniti; drugi red dijelimo sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer što su brojevi manji, to je rješenje jednostavnije:

U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje morate dobiti još jednu nulu:

Za ovo trećem redu dodajemo drugi red pomnožen sa –2:


Pokušajte sami shvatiti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa –2 i izvršite sabiranje.

Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentni sistem linearnih jednačina:

Cool.

Sada na scenu stupa obrnuto od Gaussove metode. Jednačine se „odmotaju“ odozdo prema gore.

U trećoj jednačini već imamo spreman rezultat:

Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "zet" je već poznato, dakle:

I na kraju, prva jednadžba: . "Igrek" i "zet" su poznati, samo su male stvari:

Odgovori:

Kao što je već nekoliko puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, to je lako i brzo.

Primjer 2

Ovo je primjer za samostalno rješenje, uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.

Treba napomenuti da vaš napredak odluke možda se ne poklapa sa mojim procesom odlučivanja, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Gledamo gornji levi „stupak“. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. uradio sam ovo:
(1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.

Sada u gornjem levom uglu stoji „minus jedan“, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret: pomnoži prvi red sa –1 (promeni njegov predznak).

(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodaje se drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodaje se trećem redu.

(3) Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za ljepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.

(4) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 2.

(5) Treći red je podijeljen sa 3.

Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunima (ređe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto poput , ispod, i, shodno tome, , onda sa velikim stepenom verovatnoće možemo reći da je učinjena greška tokom elementarnih transformacija.

Mi naplaćujemo obrnuto, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sistem, već su jednačine „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti hod, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:

Odgovori: .

Primjer 4

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, nešto je komplikovanije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja.

U posljednjem dijelu ćemo pogledati neke karakteristike Gaussovog algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u sistemskim jednačinama, na primjer:

Kako ispravno napisati proširenu sistemsku matricu? Već sam pričao o ovome na času. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju:

Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, budući da prvi stupac već ima jednu nulu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.

Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li tamo biti i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: .

Ovdje na gornjoj lijevoj “stepenici” imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - a drugi je dva i šest. A dva gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa –1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Na ovaj način ćemo dobiti tražene nule u prvoj koloni.

Ili još jedan konvencionalni primjer: . Ovdje nam odgovara i trojka na drugom “korak” jer je 12 (mjesto na kojem trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: trećem redu dodati drugi red, pomnožen sa –4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Možete sa sigurnošću naučiti rješavati sisteme koristeći druge metode (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - oni imaju vrlo strog algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, morate se dobro snaći u njoj i riješiti barem 5-10 sistema. Stoga u početku može doći do zabune i grešaka u proračunima, a u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.

Kišno jesenje vrijeme ispred prozora.... Stoga za sve koji žele složeniji primjer da sami riješe:

Primjer 5

Rešiti sistem od četiri linearne jednačine sa četiri nepoznate Gaussovom metodom.

Takav zadatak nije tako rijedak u praksi. Mislim da će čak i čajnik koji je temeljno proučio ovu stranicu razumjeti algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno. U osnovi, sve je isto - samo ima više akcija.

Slučajevi kada sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa općim rješenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gausove metode.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje : Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik.


Izvršene osnovne transformacije:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1. Pažnja! Ovdje ćete možda biti u iskušenju da oduzmete prvi od trećeg reda; toplo preporučujem da ga ne oduzimate - rizik od greške se uvelike povećava. Samo ga savijte!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka, da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Treći red je podeljen sa 14.

Revers:

Odgovori: .

Primjer 4: Rješenje : Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Izvršene konverzije:
(1) Drugi red je dodat prvom redu. Dakle, željena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupanju”.
(2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem redu.

Sa drugim “korak” sve postaje gore , “kandidati” za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili –1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice

(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
(4) Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 4. Drugi red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –1.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen. Četvrti red je podijeljen sa 3 i postavljen na mjesto trećeg reda.
(5) Treći red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –5.

Revers:

Carl Friedrich Gauss, najveći matematičar, dugo je oklijevao birajući između filozofije i matematike. Možda mu je upravo taj način razmišljanja omogućio da napravi tako uočljivo "naslijeđe" u svjetskoj nauci. Konkretno, stvaranjem "Gaussove metode" ...

Gotovo 4 godine, članci na ovom sajtu su se bavili školskim obrazovanjem, uglavnom sa stanovišta filozofije, principima (ne)razumijevanja koji se uvode u svijest djece. Dolazi vrijeme konkretnijih, primjera i metoda... Vjerujem da je upravo to pristup poznatom, zbunjujućem i bitan oblasti života daje bolje rezultate.

Mi smo ljudi dizajnirani tako da ma koliko pričali apstraktno razmišljanje, Ali razumijevanje Uvijek dešava se kroz primjere. Ako nema primjera, onda je nemoguće shvatiti principe... Kao što je nemoguće doći do vrha planine osim hodanjem cijelom strminom od podnožja.

Isto i sa školom: za sada žive priče Nije dovoljno što ga instinktivno nastavljamo smatrati mjestom gdje se djeca uče da razumiju.

Na primjer, podučavanje Gaussove metode...

Gaussova metoda u 5. razredu škole

Odmah ću napraviti rezervaciju: Gaussova metoda ima mnogo širu primjenu, na primjer, kod rješavanja sistemi linearnih jednačina. Ono o čemu ćemo pričati dešava se u 5. razredu. Ovo počeo, shvativši koje, mnogo je lakše razumjeti "naprednije opcije". U ovom članku govorimo o Gaussova metoda (metoda) za pronalaženje zbira niza

Evo primjera koji je moj najmlađi sin, koji ide u 5. razred moskovske gimnazije, donio iz škole.

Školska demonstracija Gaussove metode

Nastavnik matematike je koristeći interaktivnu tablu (savremene nastavne metode) pokazao deci prezentaciju istorije „stvaranja metode“ malog Gausa.

Učiteljica je bičevala malog Karla (zastarjela metoda, koja se ovih dana ne koristi u školama) jer je on

umjesto uzastopnog sabiranja brojeva od 1 do 100, pronađite njihov zbir primijetio da parovi brojeva koji su jednako razmaknuti od rubova aritmetičke progresije sabiraju isti broj. na primjer, 100 i 1, 99 i 2. Prebrojavši broj takvih parova, mali Gauss je gotovo trenutno riješio problem koji je predložio učitelj. Zbog čega je pogubljen pred zapanjenom javnošću. Kako bi drugi bili obeshrabreni u razmišljanju.

Šta je uradio mali Gauss? razvijen smisao broja? Primećeno neke karakteristike brojevni niz sa konstantnim korakom (aritmetička progresija). I upravo ovo kasnije ga je učinio velikim naučnikom, oni koji znaju da primete, imajući osećaj, instinkt razumevanja.

Zato je matematika vrijedna, razvija se sposobnost da se vidi generalno posebno - apstraktno razmišljanje. Dakle, većina roditelja i poslodavaca instinktivno smatraju matematiku važnom disciplinom ...

„Onda treba da naučite matematiku, jer to dovodi u red vaš um.
M.V.Lomonosov“.

Međutim, sljedbenici onih koji su buduće genije bičevali štapovima pretvorili su Metodu u nešto suprotno. Kao što je moj supervizor rekao prije 35 godina: “Pitanje je naučeno.” Ili kao što je moj najmlađi sin juče rekao o Gaussovoj metodi: „Možda nije vredno praviti veliku nauku od ovoga, ha?“

Posledice kreativnosti „naučnika” vidljive su u nivou aktuelne školske matematike, nivou njene nastave i shvatanju „Kraljice nauka” kod većine.

Ipak, nastavimo...

Metode objašnjenja Gaussove metode u 5. razredu škole

Nastavnik matematike u moskovskoj gimnaziji, objašnjavajući Gaussovu metodu prema Vilenkinu, zakomplikovao je zadatak.

Šta ako razlika (korak) aritmetičke progresije nije jedan, već drugi broj? Na primjer, 20.

Problem koji je zadao učenicima petog razreda:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Prije nego što se upoznamo sa gimnazijskom metodom, pogledajmo internet: kako to rade školski nastavnici i profesori matematike?..

Gausova metoda: objašnjenje br. 1

Poznati tutor na svom YOUTUBE kanalu daje sljedeće obrazloženje:

„Zapišimo brojeve od 1 do 100 na sljedeći način:

prvo niz brojeva od 1 do 50, a striktno ispod njega još jedan niz brojeva od 50 do 100, ali obrnutim redoslijedom"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Imajte na umu: zbir svakog para brojeva iz gornjeg i donjeg reda je isti i jednak je 101! Izbrojimo broj parova, on je 50 i pomnožimo zbir jednog para sa brojem parova! Voila: odgovor je spreman!"

„Ako nisi mogao da razumeš, nemoj se nervirati!”, ponovio je učitelj tri puta tokom objašnjenja. "Ovu metodu ćete uzeti u 9. razredu!"

Gausova metoda: objašnjenje br. 2

Drugi tutor, manje poznat (sudeći po broju pregleda), koristi naučniji pristup, nudeći algoritam rješenja od 5 tačaka koji se moraju popuniti uzastopno.

Za neupućene, 5 je jedan od Fibonačijevih brojeva koji se tradicionalno smatraju magičnim. Metoda od 5 koraka je uvijek naučnija od metode od 6 koraka, na primjer. ...I teško da je ovo slučajno, najverovatnije, Autor je skriveni pristalica Fibonačijeve teorije

S obzirom na aritmetičku progresiju: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritam za pronalaženje zbira brojeva u nizu pomoću Gaussove metode:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Istovremeno, morate zapamtiti plus jedno pravilo : moramo dodati jedan rezultujućem količniku: inače ćemo dobiti rezultat koji je za jedan manji od pravog broja parova: 42 + 1 = 43.

Ovo je potreban zbir aritmetičke progresije od 4 do 256 sa razlikom od 6!

Gaussova metoda: objašnjenje u 5. razredu moskovske gimnazije

Evo kako riješiti problem pronalaženja zbira niza:

20+40+60+ ... +460+480+500

u 5. razredu moskovske gimnazije, Vilenkinov udžbenik (prema mom sinu).

Nakon prikaza prezentacije, nastavnik matematike je pokazao nekoliko primjera koristeći Gaussovu metodu i dao razredu zadatak da pronađe zbir brojeva u nizu u koracima od 20.

Za to je bilo potrebno sljedeće:

Kao što vidite, ovo je kompaktnija i efikasnija tehnika: broj 3 je takođe član Fibonačijevog niza

Moji komentari o školskoj verziji Gaussove metode

Veliki matematičar bi definitivno odabrao filozofiju da je predvidio u šta će njegov "metod" pretvoriti njegovi sljedbenici Nastavnica njemačkog, koji je bičevao Karla štapovima. Video bi simboliku, dijalektičku spiralu i beskonačnu glupost "učitelja", pokušavajući da izmeri harmoniju žive matematičke misli sa algebrom nesporazuma ....

Usput: da li ste znali. da je naš obrazovni sistem ukorijenjen u njemačkoj školi 18. i 19. vijeka?

Ali Gauss je izabrao matematiku.

Šta je suština njegove metode?

IN pojednostavljenje. IN posmatranje i hvatanje jednostavni obrasci brojeva. IN pretvaranje suve školske aritmetike u zanimljiva i uzbudljiva aktivnost , aktivirajući u mozgu želju za nastavkom, umjesto da blokiraju skupu mentalnu aktivnost.

Da li je moguće koristiti jednu od datih "modifikacija Gaussove metode" za izračunavanje sume brojeva aritmetičke progresije skoro odmah? Prema „algoritmima“, mali Karl bi garantovano izbegao batinanje, razvio averziju prema matematici i potisnuo svoje kreativne impulse u korenu.

Zašto je učiteljica tako uporno savjetovala petake „da se ne boje pogrešnog razumijevanja“ metode, uvjeravajući ih da će „takve“ probleme rješavati već u 9. razredu? Psihološki nepismena akcija. Bio je to dobar potez za napomenuti: "Vidimo se već u 5. razredu možeš riješite probleme koje ćete riješiti tek za 4 godine! Kakav si ti sjajan momak!”

Za korištenje Gaussove metode dovoljan je nivo klase 3, kada normalna djeca već znaju da zbrajaju, množe i dijele 2-3 cifre. Problemi nastaju zbog nesposobnosti odraslih nastavnika koji su „van kontakta“ da normalnim ljudskim jezikom objasne najjednostavnije stvari, a da ne govorimo o matematici... Oni nisu u stanju da zainteresuju ljude za matematiku i potpuno obeshrabre čak i one koji „ sposoban.”

Ili, kako je moj sin prokomentarisao: „napraviti veliku nauku od toga“.

Gaussova metoda, moja objašnjenja

Supruga i ja smo objasnili svom detetu ovu "metodu", izgleda, još pre škole...

Jednostavnost umjesto složenosti ili igra pitanja i odgovora

"Vidi, evo brojeva od 1 do 100. Šta vidiš?"

Poenta nije u tome šta dete tačno vidi. Trik je u tome da ga nateramo da pogleda.

"Kako ih možete spojiti?" Sin je shvatio da se takva pitanja ne postavljaju "tek tako" i da na to pitanje treba gledati "nekako drugačije, drugačije nego što on obično radi"

Nije bitno da li dete odmah vidi rešenje, malo je verovatno. Važno je da on prestao da se plaši da gledam, ili kako ja kažem: "pomerio zadatak". Ovo je početak puta ka razumijevanju

„Šta je lakše: sabiranje, na primjer, 5 i 6 ili 5 i 95?“ Sugestivno pitanje... Ali svaka obuka se svodi na to da osobu „vodi“ do „odgovora“ – na bilo koji njemu prihvatljiv način.

U ovoj fazi već se mogu pojaviti nagađanja o tome kako "uštedjeti" na proračunima.

Sve što smo uradili je nagovještaj: “frontalni, linearni” način brojanja nije jedini mogući. Ako dijete to shvati, kasnije će smisliti još mnogo takvih metoda, jer je zanimljivo!!! I definitivno će izbjeći "nerazumijevanje" matematike i neće se osjećati gađenjem prema njoj. Dobio je pobjedu!

Ako dete otkriveno da je onda sabiranje parova brojeva koji sabiraju do stotinu "aritmetička progresija s razlikom 1"- prilično turobna i nezanimljiva stvar za dijete - odjednom našao život za njega . Red je nastao iz haosa, a to uvijek izaziva entuzijazam: tako smo stvoreni!

Pitanje na koje treba odgovoriti: zašto bi ga, nakon uvida koje je steklo, ponovo tjeralo u okvire suhih algoritama, koji su u ovom slučaju i funkcionalno beskorisni?!

Zašto forsirati glupo prepisivanje? redni brojevi u svesci: tako da ni sposobni nemaju ni jednu šansu da razumeju? Statistički, naravno, ali masovno obrazovanje je usmjereno na "statistiku"...

Gdje je nestala nula?

Pa ipak, sabiranje brojeva koji zbrajaju do 100 mnogo je prihvatljivije za um od onih koji zbrajaju 101...

"Metoda Gaussove škole" zahteva upravo ovo: bezumno fold parovi brojeva jednako udaljeni od centra progresije, Uprkos svemu.

Šta ako pogledaš?

Ipak, nula je najveći izum čovječanstva, star više od 2.000 godina. A profesori matematike ga i dalje ignorišu.

Mnogo je lakše transformisati niz brojeva koji počinje sa 1 u niz koji počinje sa 0. Zbir se neće promeniti, zar ne? Morate prestati "razmišljati u udžbenicima" i početi tražiti... I vidite da se parovi sa zbrojem 101 mogu u potpunosti zamijeniti parovima sa zbrojem od 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kako ukinuti "pravilo plus 1"?

Da budem iskren, prvi put sam čuo za takvo pravilo od onog YouTube tutora...

Šta još da radim kada trebam odrediti broj članova serije?

Gledam redosled:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a kada ste potpuno umorni, pređite na jednostavniji red:

1, 2, 3, 4, 5

i pretpostavljam: ako oduzmete jedan od 5, dobićete 4, ali apsolutno sam jasan vidim 5 brojeva! Stoga, morate dodati jedan! Osjet brojeva razvijen u osnovnoj školi sugerira: čak i ako postoji cijeli Gugl članova serije (10 na stotu potenciju), obrazac će ostati isti.

Koja su pravila?..

Pa da za par-tri godine popuniš sav prostor između čela i potiljka i prestaneš da razmišljaš? Kako zaraditi svoj kruh i puter? Na kraju krajeva, ravnomjerno se krećemo u eru digitalne ekonomije!

Više o Gaussovoj školskoj metodi: „Zašto praviti nauku od ovoga?..“

Nije uzalud objavio snimak ekrana iz sveske mog sina...

"Šta se dogodilo na času?"

"Pa, ja sam odmah prebrojao, podigao ruku, ali ona nije pitala. Zato sam, dok su ostali brojali, počeo da radim domaći na ruskom da ne gubim vreme. Onda, kada su ostali završili pisanje (? ??), pozvala me je na tablu. Rekao sam odgovor."

"Tako je, pokaži mi kako si to riješio", rekao je učitelj. Pokazao sam to. Rekla je: „Pogrešno, treba da brojiš kao što sam pokazala!“

"Dobro je da nije dala lošu ocjenu. I natjerala me da na njihov način zapišem u njihovu svesku "tok rješenja". Zašto od ovoga praviti veliku nauku?.."

Glavni zločin nastavnika matematike

Jedva posle taj incident Carl Gauss je iskusio veliko poštovanje prema svom školskom nastavniku matematike. Ali kad bi znao kako sledbenici tog učitelja će iskriviti samu suštinu metode... urlao bi od ogorčenja i preko Svjetske organizacije za intelektualnu svojinu WIPO postigao zabranu korištenja njegovog dobrog imena u školskim udžbenicima!..

U čemu glavna greška školskog pristupa? Ili, kako sam rekao, zločin školskih nastavnika matematike nad djecom?

Algoritam nesporazuma

Šta rade školski metodičari, od kojih velika većina ne zna razmišljati?

Oni kreiraju metode i algoritme (vidi). Ovo odbrambena reakcija koja štiti nastavnike od kritike (“Sve se radi po...”), a djecu od razumijevanja. I tako – iz želje da se kritikuju nastavnici!(Drugi derivat birokratske „mudrosti“, naučni pristup problemu). Osoba koja ne shvaća značenje radije će kriviti svoje nerazumijevanje, a ne glupost školskog sistema.

Evo šta se dešava: roditelji krive svoju decu, a učitelji... čine isto za decu koja "ne razumeju matematiku!"

Jesi li pametan?

Šta je uradio mali Karl?

Potpuno nekonvencionalan pristup formulisanom zadatku. Ovo je suština Njegovog pristupa. Ovo glavna stvar koju treba naučiti u školi je razmišljati ne udžbenicima, već svojom glavom. Naravno, postoji i instrumentalna komponenta koja se može koristiti... u potrazi jednostavnije i efikasnije metode brojanja.

Gaussova metoda prema Vilenkinu

U školi uče da je Gaussova metoda da

Šta, ako je broj elemenata serije neparan, kao u problemu koji je dodeljen mom sinu?..

"Kvaka" je u tome u ovom slučaju trebalo bi da nađete "dodatni" broj u seriji i dodajte je zbiru parova. U našem primjeru ovaj broj je 260.

Kako otkriti? Kopiranje svih parova brojeva u svesku!(Zato je učitelj natjerao djecu da rade ovaj glupi posao pokušavajući da podučavaju "kreativnost" koristeći Gaussovu metodu... I zato je takva "metoda" praktično neprimjenjiva na velike serije podataka, I zato je ne Gausovom metodom.)

Malo kreativnosti u skolskoj rutini...

Sin je postupio drugačije.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Nije teško, zar ne?

Ali u praksi je to još lakše, što vam omogućava da odvojite 2-3 minute za daljinsko istraživanje na ruskom, dok se ostali "broje". Osim toga, zadržava broj koraka metode: 5, što ne dozvoljava da se pristup kritikuje kao nenaučan.

Očigledno je da je ovaj pristup jednostavniji, brži i univerzalniji, u stilu Metode. Ali... učiteljica ne samo da nije pohvalila, već me je i natjerala da to prepišem “na pravi način” (vidi screenshot). Odnosno, učinila je očajnički pokušaj da uguši kreativni impuls i sposobnost razumijevanja matematike u korijenu! Navodno, da bi kasnije bila angažovana kao tutor... Napala je pogrešnu osobu...

Sve što sam tako dugo i zamorno opisivao normalnom djetetu može se objasniti za najviše pola sata. Uz primjere.

I to na način da to nikada neće zaboraviti.

I biće korak ka razumevanju...ne samo matematičari.

Priznajte: koliko ste puta u životu dodavali koristeći Gaussovu metodu? I nikad nisam!

Ali instinkt razumevanja, koji se razvija (ili se gasi) u procesu izučavanja matematičkih metoda u školi... Oh!.. Ovo je zaista nezamjenjiva stvar!

Pogotovo u doba univerzalne digitalizacije u koje smo tiho ušli pod strogim rukovodstvom Partije i Vlade.

Par reči u odbranu nastavnika...

Nepravedno je i pogrešno svu odgovornost za ovakav stil nastave svaljivati ​​isključivo na nastavnike. Sistem je na snazi.

Neki nastavnici shvataju apsurdnost onoga što se dešava, ali šta da se radi? Zakon o obrazovanju, Savezni državni obrazovni standardi, metode, planovi nastave... Sve se mora raditi „u skladu i na osnovu“ i sve mora biti dokumentovano. Odmaknite se - stajali u redu za otpuštanje. Ne budimo licemeri: plate moskovskih nastavnika su veoma dobre... Ako vas otpuste, gde da idete?..

Stoga ova stranica ne o obrazovanju. On je oko individualno obrazovanje, jedini mogući način da se izvučete iz gomile generacija Z ...