Kurz gesagt, ganze Zahlen. Ganze Zahlen. Definition

Die Informationen in diesem Artikel bilden Grund IdeeÖ ganze Zahlen. Zunächst wird eine Definition von ganzen Zahlen gegeben und Beispiele gegeben. Als nächstes betrachten wir ganze Zahlen auf dem Zahlenstrahl, woraus klar wird, welche Zahlen positive ganze Zahlen und welche negative ganze Zahlen genannt werden. Anschließend wird gezeigt, wie Mengenänderungen mit ganzen Zahlen beschrieben werden und negative ganze Zahlen im Sinne einer Schuld berücksichtigt werden.

Seitennavigation.

Ganze Zahlen – Definition und Beispiele

Definition.

Ganze Zahlen– das sind natürliche Zahlen, die Zahl Null, sowie den natürlichen entgegengesetzte Zahlen.

Die Definition von ganzen Zahlen besagt, dass jede der Zahlen 1, 2, 3, …, die Zahl 0 sowie jede der Zahlen −1, −2, −3, … eine ganze Zahl ist. Jetzt können wir es problemlos mitbringen Beispiele für ganze Zahlen. Zum Beispiel ist die Zahl 38 eine Ganzzahl, die Zahl 70.040 ist ebenfalls eine Ganzzahl, Null ist eine Ganzzahl (denken Sie daran, dass Null KEINE natürliche Zahl ist, Null ist eine Ganzzahl), die Zahlen −999, −1, −8.934.832 sind es auch Beispiele für ganze Zahlen.

Es ist praktisch, alle ganzen Zahlen als eine Folge von ganzen Zahlen darzustellen, die hat nächste Ansicht: 0, ±1, ±2, ±3, … Die Folge der ganzen Zahlen kann folgendermaßen geschrieben werden: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Aus der Definition der ganzen Zahlen folgt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen ist. Daher ist jede natürliche Zahl eine ganze Zahl, aber nicht jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl.

Ganzzahlen auf einer Koordinatenlinie

Definition.

Positive ganze Zahlen sind ganze Zahlen größer als Null.

Definition.

Negative ganze Zahlen sind ganze Zahlen, die kleiner als Null sind.

Positive und negative ganze Zahlen können auch durch ihre Position auf der Koordinatenlinie bestimmt werden. Auf einer horizontalen Koordinatenlinie liegen Punkte, deren Koordinaten positive ganze Zahlen sind, rechts vom Ursprung. Links vom Punkt O liegen wiederum Punkte mit negativen ganzzahligen Koordinaten.

Es ist klar, dass die Menge aller positiven ganzen Zahlen die Menge der natürlichen Zahlen ist. Die Menge aller negativen ganzen Zahlen wiederum ist die Menge aller den natürlichen Zahlen entgegengesetzten Zahlen.

Lassen Sie uns Ihre Aufmerksamkeit separat auf die Tatsache lenken, dass wir jede natürliche Zahl sicher als ganze Zahl bezeichnen können, aber wir können keine ganze Zahl als natürliche Zahl bezeichnen. Wir können nur jedes Ganze als natürlich bezeichnen positive Zahl, da negative ganze Zahlen und Null keine natürlichen Zahlen sind.

Nicht positive und nicht negative ganze Zahlen

Lassen Sie uns Definitionen von nicht positiven ganzen Zahlen und nicht negativen ganzen Zahlen geben.

Definition.

Es werden alle positiven ganzen Zahlen, zusammen mit der Zahl Null, aufgerufen nichtnegative ganze Zahlen.

Definition.

Nicht positive ganze Zahlen– das sind alles negative ganze Zahlen zusammen mit der Zahl 0.

Mit anderen Worten, das Ganze ist es nicht eine negative Zahl ist eine Ganzzahl, die größer als Null oder gleich Null ist, und eine nicht positive Ganzzahl ist eine Ganzzahl, die kleiner als Null oder gleich Null ist.

Beispiele für nicht positive ganze Zahlen sind die Zahlen −511, −10.030, 0, −2, und als Beispiele für nicht negative ganze Zahlen geben wir die Zahlen 45, 506, 0, 900.321.

Am häufigsten werden der Kürze halber die Begriffe „nicht positive ganze Zahlen“ und „nicht negative ganze Zahlen“ verwendet. Anstelle der Formulierung „Die Zahl a ist eine ganze Zahl und a ist größer als Null oder gleich Null“ können Sie beispielsweise sagen: „a ist eine nicht negative ganze Zahl“.

Mengenänderungen mit ganzen Zahlen beschreiben

Es ist an der Zeit, darüber zu sprechen, warum Ganzzahlen überhaupt benötigt werden.

Der Hauptzweck von ganzen Zahlen besteht darin, dass sich mit ihrer Hilfe Änderungen in der Menge beliebiger Objekte bequem beschreiben lassen. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen verstehen.

Es sei eine bestimmte Anzahl an Teilen im Lager vorhanden. Wenn beispielsweise 400 weitere Teile ins Lager gebracht werden, erhöht sich die Anzahl der Teile im Lager, und die Zahl 400 drückt diese Mengenänderung in aus positive Seite(zunehmend). Wenn beispielsweise 100 Teile aus dem Lager entnommen werden, verringert sich die Anzahl der Teile im Lager und die Zahl 100 drückt eine Mengenänderung in die negative Richtung (nach unten) aus. Werden keine Teile ins Lager gebracht und keine Teile aus dem Lager entnommen, dann können wir von einer konstanten Teilemenge sprechen (d. h. wir können von einer Mengenänderung von Null sprechen).

In den angegebenen Beispielen kann die Änderung der Teileanzahl mit den ganzen Zahlen 400, −100 bzw. 0 beschrieben werden. Eine positive ganze Zahl von 400 zeigt eine Mengenänderung in positiver Richtung (Zunahme) an. Eine negative ganze Zahl −100 drückt eine Mengenänderung in negativer Richtung (Abnahme) aus. Die Ganzzahl 0 gibt an, dass die Menge unverändert bleibt.

Der Vorteil der Verwendung von Ganzzahlen gegenüber der Verwendung natürlicher Zahlen besteht darin, dass Sie nicht explizit angeben müssen, ob die Menge zu- oder abnimmt – die Ganzzahl quantifiziert die Änderung und das Vorzeichen der Ganzzahl gibt die Richtung der Änderung an.

Auch ganze Zahlen können nicht nur eine Mengenänderung, sondern auch eine Änderung einer bestimmten Menge ausdrücken. Lassen Sie uns dies am Beispiel von Temperaturänderungen verstehen.

Ein Temperaturanstieg von beispielsweise 4 Grad wird als positive ganze Zahl 4 ausgedrückt. Ein Temperaturabfall um beispielsweise 12 Grad kann durch eine negative ganze Zahl −12 beschrieben werden. Und die Invarianz der Temperatur ist ihre Änderung, bestimmt durch die ganze Zahl 0.

Unabhängig davon muss über die Interpretation negativer Ganzzahlen als Schuldenhöhe gesprochen werden. Wenn wir beispielsweise 3 Äpfel haben, stellt die positive ganze Zahl 3 die Anzahl der Äpfel dar, die wir besitzen. Wenn wir andererseits jemandem 5 Äpfel geben müssen, diese aber nicht auf Lager haben, kann diese Situation mit einer negativen ganzen Zahl −5 beschrieben werden. In diesem Fall „besitzen“ wir −5 Äpfel, das Minuszeichen zeigt Schulden an und die Zahl 5 beziffert die Schulden.

Das Verständnis einer negativen ganzen Zahl als Schuld ermöglicht beispielsweise die Begründung der Regel zum Addieren negativer ganzer Zahlen. Geben wir ein Beispiel. Wenn jemand einer Person 2 Äpfel und einer anderen Person 1 Apfel schuldet, beträgt die Gesamtschuld 2+1=3 Äpfel, also −2+(−1)=−3.

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya. und andere. Mathematik. 6. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.

Ein Haufen ist eine Menge beliebiger Objekte, die als Elemente dieser Menge bezeichnet werden.

Zum Beispiel: viele Schulkinder, viele Autos, viele Zahlen .

In der Mathematik wird die Menge viel umfassender betrachtet. Wir werden uns nicht zu sehr mit diesem Thema befassen, da es sich darauf bezieht höhere Mathematik und kann zunächst zu Lernschwierigkeiten führen. Wir werden nur den Teil des Themas betrachten, mit dem wir uns bereits befasst haben.

Bezeichnungen

Eine Menge wird am häufigsten mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets und ihre Elemente mit Kleinbuchstaben bezeichnet. In diesem Fall werden die Elemente in geschweifte Klammern eingeschlossen.

Zum Beispiel, wenn der Name unseres Freundes lautet Tom, John und Leo , dann können wir eine Reihe von Freunden definieren, deren Elemente sein werden Tom, John und Leo.

Bezeichnen wir viele unserer Freunde mit einem lateinischen Großbuchstaben F(Freunde), dann setzen Sie ein Gleichheitszeichen und listen Sie unsere Freunde in geschweiften Klammern auf:

F = (Tom, John, Leo)

Beispiel 2. Schreiben wir die Teilermenge der Zahl 6 auf.

Bezeichnen wir diese Menge mit einem beliebigen lateinischen Großbuchstaben, zum Beispiel mit dem Buchstaben D

dann setzen wir ein Gleichheitszeichen und listen die Elemente dieser Menge in geschweiften Klammern auf, das heißt, wir listen die Teiler der Zahl 6 auf

D = (1, 2, 3, 6)

Wenn ein Element zu einer bestimmten Menge gehört, wird diese Zugehörigkeit durch das Zugehörigkeitszeichen ∈ angezeigt. Beispielsweise gehört der Teiler 2 zur Menge der Teiler der Zahl 6 (die Menge). D). Es ist so geschrieben:

Liest sich wie: „2 gehört zur Menge der Teiler der Zahl 6“

Wenn ein Element nicht zu einer bestimmten Menge gehört, wird diese Nichtzugehörigkeit durch ein durchgestrichenes Zugehörigkeitszeichen ∉ angezeigt. Beispielsweise gehört der Teiler 5 nicht zur Menge D. Es ist so geschrieben:

Liest sich wie: „5 nicht gehören Satz Teiler der Zahl 6″

Darüber hinaus kann eine Menge durch direktes Auflisten der Elemente ohne Großbuchstaben geschrieben werden. Dies kann praktisch sein, wenn die Menge aus einer kleinen Anzahl von Elementen besteht. Definieren wir beispielsweise eine Menge eines Elements. Lass dieses Element unser Freund sein Volumen:

(Lautstärke)

Definieren wir eine Menge, die aus einer Zahl 2 besteht

{ 2 }

Definieren wir eine Menge, die aus zwei Zahlen besteht: 2 und 5

{ 2, 5 }

Menge natürlicher Zahlen

Dies ist das erste Set, mit dem wir angefangen haben zu arbeiten. Natürliche Zahlen sind die Zahlen 1, 2, 3 usw.

Ganze Zahlen entstand aufgrund des Bedürfnisses der Menschen, diese anderen Objekte zu zählen. Zählen Sie beispielsweise die Anzahl der Hühner, Kühe und Pferde. Natürliche Zahlen entstehen beim Zählen auf natürliche Weise.

In früheren Lektionen, als wir das Wort verwendet haben "Nummer" Meistens war eine natürliche Zahl gemeint.

In der Mathematik wird die Menge der natürlichen Zahlen mit einem Großbuchstaben bezeichnet N.

Lassen Sie uns zum Beispiel darauf hinweisen, dass die Zahl 1 zur Menge der natürlichen Zahlen gehört. Dazu schreiben wir die Zahl 1 auf und geben dann mit dem Zugehörigkeitszeichen ∈ an, dass die Einheit zur Menge gehört N

1 ∈ N

Liest sich wie: „man gehört zur Menge der natürlichen Zahlen“

Satz von ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen umfasst alle positiven Zahlen und sowie die Zahl 0.

Eine Menge ganzer Zahlen wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet Z .

Wir weisen beispielsweise darauf hin, dass die Zahl −5 zur Menge der ganzen Zahlen gehört:

−5 ∈ Z

Wir weisen darauf hin, dass 10 zur Menge der ganzen Zahlen gehört:

10 ∈ Z

Wir weisen darauf hin, dass 0 zur Menge der ganzen Zahlen gehört:

In Zukunft nennen wir alle positiven und negativen Zahlen einen Satz – ganze Zahlen.

Satz rationaler Zahlen

Rationale Zahlen sind dieselben gewöhnlichen Brüche, die wir bis heute studieren.

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann A- Zähler des Bruchs, B- Nenner.

Zähler und Nenner können beliebige Zahlen sein, auch ganze Zahlen (mit Ausnahme von Null, da eine Division durch Null nicht möglich ist).

Stellen Sie sich das zum Beispiel statt vor A ist die Zahl 10, aber stattdessen B- Nummer 2

10 geteilt durch 2 ergibt 5. Wir sehen, dass die Zahl 5 als Bruch dargestellt werden kann, was bedeutet, dass die Zahl 5 in der Menge enthalten ist Rationale Zahlen.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Zahl 5 auch für die Menge der ganzen Zahlen gilt. Daher ist die Menge der ganzen Zahlen in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. Das bedeutet, dass die Menge der rationalen Zahlen nicht nur gewöhnliche Brüche, sondern auch ganze Zahlen der Form −2, −1, 0, 1, 2 umfasst.

Stellen wir uns das nun stattdessen vor A die Zahl ist 12, aber stattdessen B- Nummer 5.

12 geteilt durch 5 ergibt 2,4. Wir sehen das Dezimal 2.4 kann als Bruch dargestellt werden, was bedeutet, dass es in der Menge der rationalen Zahlen enthalten ist. Daraus schließen wir, dass die Menge der rationalen Zahlen nicht nur gewöhnliche Brüche und ganze Zahlen, sondern auch Dezimalbrüche umfasst.

Wir haben den Bruch berechnet und die Antwort 2,4 erhalten. Aber wir könnten den gesamten Teil dieses Bruchs isolieren:

Wenn man den ganzen Teil in einen Bruch einteilt, erhält man das Ergebnis gemischte Zahl. Wir sehen, dass eine gemischte Zahl auch als Bruch dargestellt werden kann. Das bedeutet, dass die Menge der rationalen Zahlen auch gemischte Zahlen umfasst.

Als Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass die Menge der rationalen Zahlen enthält:

• ganze Zahlen
• gemeinsame Brüche
• Dezimalzahlen
• gemischte Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet Q.

Wir weisen beispielsweise darauf hin, dass ein Bruch zur Menge der rationalen Zahlen gehört. Dazu schreiben wir den Bruch selbst auf und geben dann mit dem Zugehörigkeitszeichen ∈ an, dass der Bruch zur Menge der rationalen Zahlen gehört:

∈ Q

Wir weisen darauf hin, dass der Dezimalbruch 4,5 zur Menge der rationalen Zahlen gehört:

4,5 ∈ Q

Wir weisen darauf hin, dass eine gemischte Zahl zur Menge der rationalen Zahlen gehört:

∈ Q

Die Einführungslektion zu Sets ist abgeschlossen. In Zukunft werden wir uns die Sets viel genauer ansehen, aber für den Moment reicht das aus, was in dieser Lektion behandelt wird.

Hat Ihnen die Lektion gefallen?
Tritt unser ... bei Neue Gruppe VKontakte und erhalten Sie Benachrichtigungen über neue Lektionen

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstante Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Aber es ist nicht komplette Lösung Probleme. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigen Sie zwei Fotos, die vom selben Ort aus aufgenommen wurden verschiedene Momente Zeit, aber die Entfernung kann daraus nicht bestimmt werden. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich hinweisen möchte Besondere Aufmerksamkeit, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.

Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Das ist das Niveau sprechende Papageien und dressierte Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Scheiß auf mich, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematikstudium“ verstecken abstrakte Konzepte„Es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Bewerben mathematische Theorie setzt auf die Mathematiker selbst.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier wird der Mathematiker anfangen, sich verzweifelt an die Physik zu erinnern: Auf verschiedenen Münzen gibt es sie unterschiedliche Mengen Schmutz, Kristallstruktur und Atomanordnung sind bei jeder Münze einzigartig...

Und jetzt habe ich das meiste Interesse Fragen: Wo ist die Linie, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen aus Fußballstadien mit gleicher Feldfläche. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. Also rein verschiedene Systeme In der Analysis ist die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. Mit der großen Zahl 12345 möchte ich mir nichts vormachen, betrachten wir die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.

Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn die gleichen Aktionen mit unterschiedlichen Maßeinheiten zur gleichen Menge führen unterschiedliche Ergebnisse Nach dem Vergleich bedeutet dies, dass es nichts mit Mathematik zu tun hat.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn so etwas mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt Designkunst,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen eine Idiotin ist, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

ZU ganze Zahlen Dazu gehören natürliche Zahlen, Null und Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind.

Ganze Zahlen sind positive ganze Zahlen.

Zum Beispiel: 1, 3, 7, 19, 23 usw. Wir verwenden solche Zahlen zum Zählen (auf dem Tisch liegen 5 Äpfel, ein Auto hat 4 Räder usw.)

Lateinischer Buchstabe \mathbb(N) - bezeichnet Menge natürlicher Zahlen.

Natürliche Zahlen können keine negativen Zahlen (ein Stuhl kann keine negative Anzahl an Beinen haben) und gebrochene Zahlen (Ivan konnte keine 3,5 Fahrräder verkaufen) enthalten.

Das Gegenteil natürlicher Zahlen sind negative ganze Zahlen: −8, −148, −981, ….

Arithmetische Operationen mit ganzen Zahlen

Was kann man mit ganzen Zahlen machen? Sie können miteinander multipliziert, addiert und subtrahiert werden. Schauen wir uns jeden Vorgang anhand eines konkreten Beispiels an.

Addition von ganzen Zahlen

Zwei ganze Zahlen mit identische Zeichen werden wie folgt addiert: Die Module dieser Zahlen werden addiert und der resultierenden Summe wird ein Schlusszeichen vorangestellt:

(+11) + (+9) = +20

Ganzzahlen subtrahieren

Zwei ganze Zahlen mit verschiedene Zeichen werden wie folgt addiert: Der Modul der kleineren Zahl wird vom Modul der größeren Zahl abgezogen und das Vorzeichen des größeren Moduls der Zahl wird der resultierenden Antwort vorangestellt:

(-7) + (+8) = +1

Ganzzahlen multiplizieren

Um eine ganze Zahl mit einer anderen zu multiplizieren, müssen Sie die Moduli dieser Zahlen multiplizieren und vor der resultierenden Antwort ein „+“-Zeichen setzen, wenn die ursprünglichen Zahlen die gleichen Vorzeichen hatten, und ein „−“-Zeichen, wenn die ursprünglichen Zahlen unterschiedliche Vorzeichen hatten Zeichen:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

Folgendes sollte beachtet werden Regel zum Multiplizieren ganzer Zahlen:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Es gibt eine Regel zum Multiplizieren mehrerer Ganzzahlen. Erinnern wir uns daran:

Das Vorzeichen des Produkts ist „+“, wenn die Anzahl der Faktoren mit negativem Vorzeichen gerade ist, und „−“, wenn die Anzahl der Faktoren mit negativem Vorzeichen ungerade ist.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Ganzzahlige Division

Die Division zweier ganzen Zahlen erfolgt wie folgt: Der Modul einer Zahl wird durch den Modul der anderen dividiert, und wenn die Vorzeichen der Zahlen gleich sind, wird dem resultierenden Quotienten das Vorzeichen „+“ vorangestellt , und wenn die Vorzeichen der ursprünglichen Zahlen unterschiedlich sind, wird das Vorzeichen „−“ gesetzt.

(-25) : (+5) = -5

Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen

Schauen wir uns die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation für beliebige ganze Zahlen a, b und c an:

1. a + b = b + a – kommutative Eigenschaft der Addition;
2. (a + b) + c = a + (b + c) – kombinative Eigenschaft der Addition;
3. a \cdot b = b \cdot a - kommutative Eigenschaft der Multiplikation;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- assoziative Eigenschaften der Multiplikation;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- Verteilungseigenschaft der Multiplikation.

Lehrer der höchsten Kategorie

Welche Zahlen heißen ganze Zahlen?

Lernziele:

-Erweitern Sie den Zahlenbegriff durch die Einführung negativer Zahlen:

-Entwickeln Sie die Fähigkeit, positive und negative Zahlen zu schreiben.

Lernziele.

Lehrreich – fördern die Entwicklung der Fähigkeit zur Verallgemeinerung und Systematisierung, fördern die Entwicklung des mathematischen Horizonts, des Denkens und Sprechens, der Aufmerksamkeit und des Gedächtnisses.

Lehrreich – Förderung einer Einstellung zur Selbstbildung, Selbstbildung, präziser Leistung, einer kreativen Einstellung zur Aktivität, kritischem Denken.

Entwicklung – bei Schulkindern die Fähigkeit entwickeln, zu vergleichen und zu verallgemeinern, Gedanken logisch auszudrücken, mathematische Horizonte, Denken und Sprechen, Aufmerksamkeit und Gedächtnis zu entwickeln.

Während des Unterrichts:

1. Einführungsgespräch.

Mit welchen Zahlen haben wir uns bisher im Mathematikunterricht beschäftigt?

-Natürlich und fraktioniert.

Welche Zahlen werden natürliche Zahlen genannt?

- Dies sind Zahlen, die beim Zählen von Objekten verwendet werden.

Wie viele kannst du sagen?

- unendlich viele.

Ist Null eine natürliche Zahl? Warum?

-Wofür werden Bruchzahlen verwendet?

-Wir zählen nicht nur Gegenstände, sondern Teile bestimmter Mengen.

Welche Brüche kennen Sie?

- Gewöhnlich und dezimal.

Aufgabe Nr. 1.

Was sind unter den Zahlen die natürlichen Zahlen? Gemeinsame Brüche? Dezimalzahlen?

10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" width="16" height="35 src="> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src="> .

2. Erläuterung des neuen Materials:

Allerdings sind Ihnen in Ihrem Leben wahrscheinlich schon andere Zahlen begegnet, welche? Wo?

-Negativ. Zum Beispiel in einem Wetterbericht.

Bevor Sie mit dem Lernen beginnen neues Thema Lassen Sie uns Zeichen besprechen, die bei der Erweiterung der Zahlenmenge helfen. Dies sind Plus- und Minuszeichen. Denken Sie darüber nach, womit diese Zeichen im Leben verbunden sind. Es kann alles sein: weiß – schwarz, gut – schlecht. Wir schreiben Ihre Beispiele in tabellarischer Form auf.

Nur zwei Zeichen rufen so viele Gedanken hervor. Tatsächlich bieten diese beiden Zeichen die Möglichkeit, in unterschiedliche Richtungen zu gehen. Solche Zahlen, „ähnlich“ den natürlichen Zahlen, jedoch mit einem Minuszeichen, werden in Fällen benötigt, in denen sich eine Größe in zwei entgegengesetzte Richtungen ändern kann. Um einen Wert als negative Zahl auszudrücken, wird eine anfängliche Nullmarke eingeführt. Schauen wir uns die Beispiele an, die andere gemacht haben, und zu Hause können Sie darüber nachdenken und Ihre eigene Präsentation erstellen. Folie Nr. 2-7.

Die Verwendung des Schildes ist sehr praktisch. Seine Verwendung wird weltweit akzeptiert. Aber das war nicht immer so. Folie Nummer 8.

Also zusammen mit den natürlichen Zahlen

1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …

Wir betrachten negative Zahlen, die jeweils durch Hinzufügen eines Minuszeichens zur entsprechenden natürlichen Zahl erhalten werden:

-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …

Eine natürliche Zahl und ihre entsprechende negative Zahl werden Gegensätze genannt. Zum Beispiel die Zahlen 15 und -15. Sie können -15 und 15 verwenden. O ist das Gegenteil von sich selbst.

Regel: Man nennt natürliche Zahlen, ihre negativen Gegensätze und die Zahl 0 ganze Zahlen. Alle diese Zahlen zusammen bilden die Menge der ganzen Zahlen.

Öffnen Sie das Lehrbuch, Seite 159, finden Sie die Regel, lesen Sie sie noch einmal und lernen Sie sie zu Hause auswendig.

Eine natürliche Zahl wird im Allgemeinen auch als positive ganze Zahl bezeichnet, das heißt, sie ist dasselbe. Vor ihm, um es zu betonen äußerer Unterschied Vom Negativ wird manchmal ein Pluszeichen hinzugefügt. +5=5.

3. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten:

1) № 000.

2) Schreiben Sie diese Zahlen in zwei Gruppen: positiv und negativ:

-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.

3) Spiel „meine Stimmung“.

Nun bewerten Sie Ihre aktuelle Stimmung auf der folgenden Skala:

Gute Laune: +1, +2, +3, +4, +5.

Schlechte Laune: -1, -2, -3, -4, -5.

Eine Person schreibt die Ergebnisse an die Tafel, alle anderen sagen abwechselnd laut: „Das habe ich gute Laune um 4 Punkte“

4) Spiel „Cracker“

Ich nenne Zahlenpaare, wenn das Paar entgegengesetzt ist, dann klatscht ihr in die Hände, wenn nicht, dann sollte Stille in der Klasse sein:

5 und -5; 6 und 0,6; -300 und 300; 3 und 1/3; 8 und 80; 14 und -14; 5/7 und 7/5; -1 und 1.

5) Propädeutik zum Erlernen der Addition ganzer Zahlen:

Nr. 000 (a).

Wir schauen uns die Lösung anhand der Präsentation an. Folie Nummer 8.

4. Zusammenfassung der Lektion:

-Welche Zahlen nennt man positiv? Negativ?

-Was hast du über O herausgefunden?

- Wozu dienen negative Zahlen?

-Wie werden positive und negative Zahlen geschrieben?

5. D/Z: Abschnitt 8.1, Nr. 000, 721(b), 715(b). Kreative Aufgabe: Schreiben Sie ein Gedicht über ganze Zahlen, eine Zeichnung, eine Präsentation, ein Märchen.

Wir werden eine andere von der Zahl subtrahieren,
Wir haben eine gerade Linie gezogen.
Wir erkennen dieses Zeichen
„Minus“ nennen wir ihn.
1.
Einen wert
Sieht nach einer Übereinstimmung aus.
Sie ist einfach ein Teufel
Mit einem kleinen Knall.

2.
Es gleitet kaum durch das Wasser,
Wie ein Schwan, Nummer zwei.
Sie wölbte ihren Hals,
Treibt die Wellen hinter sich her.

3.
Zwei Haken, schau
Das Ergebnis war Nummer drei.
Aber diese beiden Haken
Du kannst keinen Wurm bekommen.

4.
Irgendwie ist die Gabel heruntergefallen
Eine Zehe war abgebrochen.
Diese Gabel gibt es auf der ganzen Welt
Es heißt „vier“.

5.
Nummer fünf - mit einem dicken Bauch,
Trägt eine Mütze mit Schirm.
In der Schule ist diese Zahl fünf
Kinder lieben es zu empfangen.

6.
Was für eine Kirsche, mein Freund,
Ist der Stiel nach oben gebogen?
Versuchen Sie es zu essen
Diese Kirsche ist Nummer sechs.

7.
Ich bin so ein Pokerspieler
Ich kann es nicht in den Ofen stellen.
Jeder kennt sie
Dass es „sieben“ heißt.

8.
Das Seil drehte sich, drehte sich,
In zwei Schlaufen geflochten.
"Was ist das für eine Nummer?" - Lass uns Mama fragen.
Mama wird uns antworten: „Acht.“

9.
Der Wind wehte und wehte stark,
Er drehte die Kirsche um.
Nummer sechs, bitte sagen Sie es mir
Daraus wurde die Nummer neun.

10.
Wie eine ältere Schwester
Die Null wird von einer Eins vorangestellt.
Wir sind einfach zusammen spazieren gegangen
Sie wurden sofort zur Nummer zehn.

Gedichte über Mathematik

· Vieles von der Mathematik bleibt nicht im Gedächtnis, aber wenn man es versteht, fällt es einem leicht, sich daran zu erinnern, was man gelegentlich vergessen hat.