So vergleichen Sie modulo positive ganze Zahlen. Zahlen modulo vergleichen

Wir studieren weiterhin rationale Zahlen. In dieser Lektion lernen wir, wie man sie vergleicht.

Aus früheren Lektionen haben wir gelernt, dass eine Zahl umso größer ist, je weiter rechts auf der Koordinatenlinie sie liegt. Und je weiter links die Zahl auf der Koordinatenlinie liegt, desto kleiner ist sie.

Wenn Sie beispielsweise die Zahlen 4 und 1 vergleichen, können Sie sofort antworten, dass 4 mehr als 1 ist. Das ist eine völlig logische Aussage und jeder wird ihr zustimmen.

Als Beweis können wir die Koordinatenlinie anführen. Es zeigt, dass die Vier rechts von der Eins liegt

Auch für diesen Fall gibt es eine Regel, die auf Wunsch angewendet werden kann. Es sieht aus wie das:

Von zwei positiven Zahlen ist die Zahl größer, deren Modul größer ist.

Um die Frage zu beantworten, welche Zahl größer und welche kleiner ist, müssen Sie zunächst die Module dieser Zahlen ermitteln, diese Module vergleichen und dann die Frage beantworten.

Vergleichen Sie beispielsweise die gleichen Zahlen 4 und 1 und wenden Sie dabei die obige Regel an

Finden der Zahlenmodule:

|4| = 4

|1| = 1

Vergleichen wir die gefundenen Module:

4 > 1

Wir beantworten die Frage:

4 > 1

Für negative Zahlen Es gibt noch eine weitere Regel, die so aussieht:

Von zwei negativen Zahlen ist die Zahl, deren Modul kleiner ist, größer.

Vergleichen Sie beispielsweise die Zahlen −3 und −1

Finden der Zahlenmodule

|−3| = 3

|−1| = 1

Vergleichen wir die gefundenen Module:

3 > 1

Wir beantworten die Frage:

−3 < −1

Der Modul einer Zahl sollte nicht mit der Zahl selbst verwechselt werden. Häufiger Fehler viele Neulinge. Wenn beispielsweise der Modul von −3 größer als der Modul von −1 ist, bedeutet dies nicht, dass −3 größer als −1 ist.

Die Zahl −3 ist kleiner als die Zahl −1. Dies kann verstanden werden, wenn wir die Koordinatenlinie verwenden

Man erkennt, dass die Zahl −3 weiter links liegt als −1. Und wir wissen: Je weiter links, desto weniger.

Wenn Sie eine negative Zahl mit einer positiven vergleichen, liegt die Antwort auf der Hand. Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl. Beispielsweise ist −4 kleiner als 2

Man erkennt, dass −4 weiter links liegt als 2. Und wir wissen: „Je weiter links, desto weniger.“

Hier müssen Sie zunächst auf die Vorzeichen der Zahlen achten. Ein Minuszeichen vor einer Zahl zeigt an, dass die Zahl negativ ist. Wenn das Nummernzeichen fehlt, ist die Zahl positiv, aber Sie können sie der Klarheit halber notieren. Denken Sie daran, dass dies ein Pluszeichen ist

Als Beispiel haben wir uns ganze Zahlen der Form −4, −3 −1, 2 angesehen. Der Vergleich solcher Zahlen sowie deren Darstellung auf einer Koordinatenlinie ist nicht schwierig.

Es ist viel schwieriger, andere Arten von Zahlen zu vergleichen, wie zum Beispiel Brüche. gemischte Zahlen und Dezimalzahlen, von denen einige negativ sind. Hier müssen Sie grundsätzlich die Regeln anwenden, da es nicht immer möglich ist, solche Zahlen auf einer Koordinatenlinie genau darzustellen. In manchen Fällen ist eine Zahl erforderlich, um den Vergleich und das Verständnis zu erleichtern.

Beispiel 1. Vergleichen Sie rationale Zahlen

Sie müssen also eine negative Zahl mit einer positiven Zahl vergleichen. Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl. Daher antworten wir ohne Zeitverlust, dass es weniger als ist

Beispiel 2.

Sie müssen zwei negative Zahlen vergleichen. Von zwei negativen Zahlen ist diejenige größer, deren Betrag kleiner ist.

Finden der Zahlenmodule:

Vergleichen wir die gefundenen Module:

Beispiel 3. Vergleichen Sie die Zahlen 2,34 und

Sie müssen eine positive Zahl mit einer negativen vergleichen. Jede positive Zahl ist größer als jede negative Zahl. Daher antworten wir ohne Zeitverlust, dass 2,34 mehr als ist

Beispiel 4. Vergleichen Sie rationale Zahlen und

Finden der Zahlenmodule:

Wir vergleichen die gefundenen Module. Doch bringen wir sie zunächst in eine klare Form, damit sie leichter vergleichbar sind, indem wir sie nämlich in unechte Brüche umwandeln und auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Nach der Regel ist von zwei negativen Zahlen die Zahl, deren Modul kleiner ist, größer. Dies bedeutet, dass rational größer als ist, da der Modul der Zahl kleiner als der Modul der Zahl ist

Beispiel 5.

Sie müssen Null mit einer negativen Zahl vergleichen. Null ist größer als jede negative Zahl, also antworten wir ohne Zeitverlust, dass 0 größer als ist

Beispiel 6. Vergleichen Sie die rationalen Zahlen 0 und

Sie müssen Null mit einer positiven Zahl vergleichen. Null ist kleiner als jede positive Zahl, also antworten wir ohne Zeitverlust, dass 0 kleiner als ist

Beispiel 7. Vergleichen Sie die rationalen Zahlen 4.53 und 4.403

Sie müssen zwei positive Zahlen vergleichen. Von zwei positiven Zahlen ist die Zahl größer, deren Modul größer ist.

Lassen Sie uns die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich machen. Dazu fügen wir im Bruch 4,53 am Ende eine Null hinzu

Finden der Zahlenmodule

Vergleichen wir die gefundenen Module:

Nach der Regel ist von zwei positiven Zahlen die Zahl größer, deren Absolutwert größer ist. Bedeutet Rationale Zahl 4,53 ist größer als 4,403, da der Modul von 4,53 größer als der Modul von 4,403 ist

Beispiel 8. Vergleichen Sie rationale Zahlen und

Sie müssen zwei negative Zahlen vergleichen. Von zwei negativen Zahlen ist die Zahl, deren Modul kleiner ist, größer.

Finden der Zahlenmodule:

Wir vergleichen die gefundenen Module. Aber zuerst bringen wir sie in eine klare Form, um den Vergleich zu erleichtern, nämlich die gemischte Zahl in umzuwandeln unechter Bruch, dann bringen wir beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Nach der Regel ist von zwei negativen Zahlen die Zahl, deren Modul kleiner ist, größer. Dies bedeutet, dass rational größer als ist, da der Modul der Zahl kleiner als der Modul der Zahl ist

Der Vergleich von Dezimalzahlen ist viel einfacher als der Vergleich von Brüchen und gemischten Zahlen. In manchen Fällen kann man durch Betrachtung des ganzen Teils eines solchen Bruchs sofort die Frage beantworten, welcher Bruch größer und welcher kleiner ist.

Dazu müssen Sie die Module der gesamten Teile vergleichen. Dadurch können Sie die Frage in der Aufgabe schnell beantworten. Schließlich sind, wie Sie wissen, ganze Teile drin Dezimalstellen haben mehr Gewicht als gebrochene.

Beispiel 9. Vergleichen Sie die rationalen Zahlen 15,4 und 2,1256

Der Modul des gesamten Teils der Fraktion ist 15,4 größer als der Modul des gesamten Teils der Fraktion 2,1256

daher ist der Bruch 15,4 größer als der Bruch 2,1256

15,4 > 2,1256

Mit anderen Worten: Wir mussten keine Zeit damit verschwenden, dem Bruch 15,4 Nullen hinzuzufügen und die resultierenden Brüche wie gewöhnliche Zahlen zu vergleichen

154000 > 21256

Die Vergleichsregeln bleiben gleich. In unserem Fall haben wir positive Zahlen verglichen.

Beispiel 10. Vergleichen Sie die rationalen Zahlen −15,2 und −0,152

Sie müssen zwei negative Zahlen vergleichen. Von zwei negativen Zahlen ist die Zahl, deren Modul kleiner ist, größer. Wir vergleichen jedoch nur die Module ganzzahliger Teile

Wir sehen, dass der Modul des gesamten Teils des Bruchs −15,2 größer ist als der Modul des gesamten Teils des Bruchs −0,152.

Dies bedeutet, dass der rationale Wert −0,152 größer als −15,2 ist, da der Modul des ganzzahligen Teils der Zahl −0,152 kleiner ist als der Modul des ganzzahligen Teils der Zahl −15,2

−0,152 > −15,2

Beispiel 11. Vergleichen Sie die rationalen Zahlen −3,4 und −3,7

Sie müssen zwei negative Zahlen vergleichen. Von zwei negativen Zahlen ist die Zahl, deren Modul kleiner ist, größer. Wir vergleichen jedoch nur die Module ganzzahliger Teile. Das Problem besteht jedoch darin, dass die Moduli der ganzen Zahlen gleich sind:

In diesem Fall müssen Sie die alte Methode verwenden: Finden Sie die Module rationaler Zahlen und vergleichen Sie diese Module

Vergleichen wir die gefundenen Module:

Nach der Regel ist von zwei negativen Zahlen die Zahl, deren Modul kleiner ist, größer. Das bedeutet, dass rational −3,4 größer als −3,7 ist, weil der Modul der Zahl −3,4 kleiner ist als der Modul der Zahl −3,7

−3,4 > −3,7

Beispiel 12. Vergleichen Sie die rationalen Zahlen 0,(3) und

Sie müssen zwei positive Zahlen vergleichen. Vergleichen Sie außerdem einen periodischen Bruch mit einem einfachen Bruch.

Lassen Sie uns den periodischen Bruch 0,(3) in umwandeln gemeinsamer Bruch und vergleiche es mit einem Bruch. Nach der Umwandlung des periodischen Bruchs 0,(3) in einen gewöhnlichen Bruch wird er zum Bruch

Finden der Zahlenmodule:

Wir vergleichen die gefundenen Module. Aber bringen wir sie zunächst in eine verständliche Form, um den Vergleich zu erleichtern, nämlich auf einen gemeinsamen Nenner:

Nach der Regel ist von zwei positiven Zahlen die Zahl größer, deren Absolutwert größer ist. Dies bedeutet, dass eine rationale Zahl größer als 0,(3) ist, weil der Modul der Zahl größer ist als der Modul der Zahl 0,(3)

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PERWUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Private Bildungseinrichtung „St. Petersburger Schule „Tete-a-Tete““

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Zahlen modulo vergleichen

Definition 1. Wenn zwei Zahlen1 ) AUndBwenn geteilt durchPGib den gleichen RestR, dann heißen solche Zahlen Äquirest oderim Modul vergleichbar P.

Stellungnahme 1. LassenPeine positive Zahl. Dann jede ZahlAimmer und darüber hinaus auf die einzige Art und Weise in der Form dargestellt werden kann

WoS- Nummer, undReine der Zahlen 0,1, ...,P−1.

1 ) In diesem Artikel wird die Wortzahl als Ganzzahl verstanden.

Wirklich. WennSerhält einen Wert von −∞ bis +∞, dann die Zahlenspstellen die Sammlung aller Zahlen dar, die ein Vielfaches von sindP. Schauen wir uns die Zahlen dazwischen anspUnd (s+1) p=sp+p. AlsPeine positive ganze Zahl ist, dann zwischenspUndsp+pes gibt Zahlen

Aber diese Zahlen können durch Einstellen erhalten werdenRgleich 0, 1, 2,...,P−1. Somitsp+r=aerhält alle möglichen ganzzahligen Werte.

Zeigen wir, dass diese Darstellung einzigartig ist. Tun wir mal soPkann auf zwei Arten dargestellt werdena=sp+rUnda=s1 P+ R1 . Dann

oder

AlsR1 akzeptiert eine der Zahlen 0,1, ...,P−1, dann der absolute WertR1 − RwenigerP. Aber aus (2) folgt dasR1 − RmehrereP. SomitR1 = RUndS1 = S.

NummerRangerufenMinus ZahlenAModuloP(mit anderen Worten, die ZahlRden Rest einer Zahl genanntAAnP).

Stellungnahme 2. Wenn zwei ZahlenAUndBim Modul vergleichbarP, Dasa−bgeteilt durchP.

Wirklich. Wenn zwei ZahlenAUndBim Modul vergleichbarP, dann geteilt durchPhaben den gleichen RestP. Dann

WoSUndS1 einige ganze Zahlen.

Der Unterschied dieser Zahlen

geteilt durchP, Weil rechter Teil Gleichung (3) wird geteilt durchP.

Stellungnahme 3. Wenn die Differenz zweier Zahlen durch teilbar istP, dann sind diese Zahlen im Modul vergleichbarP.

Nachweisen. Bezeichnen wir mitRUndR1 TeilungsresteAUndBAnP. Dann

Wo

Entsprechenda−bgeteilt durchP. SomitR− R1 ist auch teilbar durchP. Aber weilRUndR1 Zahlen 0,1,...,P−1, dann ist der Absolutwert |R− R1 |< P. Dann, umR− R1 geteilt durchPBedingung muss erfüllt seinR= R1 .

Aus der Aussage folgt, dass vergleichbare Zahlen diejenigen Zahlen sind, deren Differenz durch den Modul teilbar ist.

Wenn Sie diese Zahlen aufschreiben müssenAUndBim Modul vergleichbarP, dann verwenden wir die Notation (eingeführt von Gauß):

Beispiele 25≡39 (Mod 7), −18≡14 (Mod 4).

Aus dem ersten Beispiel folgt, dass 25 bei Division durch 7 den gleichen Rest wie 39 ergibt. Tatsächlich ist 25 = 3·7+4 (Rest 4). 39=3·7+4 (Rest 4). Wenn Sie das zweite Beispiel betrachten, müssen Sie berücksichtigen, dass der Rest eine nicht negative Zahl sein muss, die kleiner als der Modul ist (d. h. 4). Dann können wir schreiben: −18=−5·4+2 (Rest 2), 14=3·4+2 (Rest 2). Daher ergibt −18 bei Division durch 4 einen Rest von 2 und 14 bei Division durch 4 einen Rest von 2.

Eigenschaften von Modulo-Vergleichen

Eigentum 1. Für jedenAUndPStets

Eigentum 2. Wenn zwei ZahlenAUndCvergleichbar mit einer ZahlBModuloP, DasAUndCmiteinander vergleichbar nach dem gleichen Modul, d.h. Wenn

Das

Wirklich. Aus dem Zustand der Immobilie 2 ergibt sicha−bUndv − csind geteilt inP. Dann ihre Summea−b+(b−c)=a−cauch unterteilt inP.

Eigentum 3. Wenn

Das

Wirklich. Alsa−bUndm−nsind geteilt inP, Das

auch unterteilt inP.

Diese Eigenschaft kann auf eine beliebige Anzahl von Vergleichen erweitert werden, die denselben Modul haben.

Eigentum 4. Wenn

Das

Weiterm−ngeteilt durchP, somitb(m−n)=bm−bnauch unterteilt inP, Bedeutet

Also zwei ZahlenBinUndMrdim Modul mit der gleichen Zahl vergleichbarbm, daher sind sie miteinander vergleichbar (Eigenschaft 2).

Eigentum 5. Wenn

Das

Wokeine nicht negative ganze Zahl.

Wirklich. Wir habena≡bmod(P). Aus Eigenschaft 4 folgt

Präsentieren Sie alle Eigenschaften 1-5 in der folgenden Anweisung:

Stellungnahme 4. LassenF( X1 , X2 , X3 , ...) ist eine ganze rationale Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten und sei

Dann

Bei der Teilung ist alles anders. Aus dem Vergleich

Stellungnahme 5. Lassen

Woλ Dasgrößter gemeinsamer TeilerZahlenMUndP.

Nachweisen. Lassenλ größter gemeinsamer Teiler von ZahlenMUndP. Dann

Alsm(a−b)geteilt durchk, Das

hat einen Null-Rest, d.h.M1 ( a−b) geteilt durchk1 . Aber die ZahlenM1 Undk1 Zahlen sind relativ prim. Somita−bgeteilt durchk1 = k/λund dann,p,q,s.

Wirklich. Unterschieda≡bmuss ein Vielfaches von seinp,q,s.und muss daher ein Vielfaches seinH.

Im Sonderfall, wenn die Modulep,q,sgegenseitig Primzahlen, Das

Woh=pqs.

Beachten Sie, dass wir Vergleiche basierend auf negativen Modulen zulassen können, d. h. Vergleicha≡bmod(P) bedeutet in diesem Fall die Differenza−bgeteilt durchP. Für negative Module bleiben alle Vergleichseigenschaften erhalten.

Für zwei ganze Zahlen X Und bei Führen wir eine Vergleichbarkeitsrelation durch Parität ein, wenn ihre Differenz eine gerade Zahl ist. Es lässt sich leicht überprüfen, ob alle drei zuvor eingeführten Äquivalenzbedingungen erfüllt sind. Die so eingeführte Äquivalenzrelation spaltet die gesamte Menge der ganzen Zahlen in zwei disjunkte Teilmengen: die Teilmenge der geraden Zahlen und die Teilmenge der ungeraden Zahlen.

Wenn wir diesen Fall verallgemeinern, werden wir sagen, dass zwei ganze Zahlen, die sich um ein Vielfaches einer festen natürlichen Zahl unterscheiden, äquivalent sind. Dies ist die Grundlage für das von Gauß eingeführte Konzept der Modulo-Vergleichbarkeit.

Nummer A, vergleichbar mit B Modulo M, wenn ihre Differenz durch eine feste Zahl teilbar ist natürliche Zahl M, also a - b geteilt durch M. Symbolisch wird dies geschrieben als:

a ≡ b(mod m),

und es liest sich so: A vergleichbar mit B Modulo M.

Die auf diese Weise eingeführte Beziehung vereinfacht dank der tiefen Analogie zwischen Vergleichen und Gleichheiten Berechnungen, bei denen sich Zahlen um ein Vielfaches unterscheiden M, unterscheiden sich eigentlich nicht (da der Vergleich bis zu einem Vielfachen von m gleich ist).

Zum Beispiel sind die Zahlen 7 und 19 vergleichbar mit Modulo 4, aber nicht vergleichbar mit Modulo 5, weil 19-7=12 ist durch 4 teilbar und nicht durch 5 teilbar.

Man kann auch sagen, dass die Zahl X Modulo M gleich dem Rest bei Division durch eine ganze Zahl X An M, als

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

Es lässt sich leicht überprüfen, ob die Vergleichbarkeit von Zahlen gemäß einem bestimmten Modul alle Eigenschaften der Äquivalenz aufweist. Daher wird die Menge der ganzen Zahlen in im Modul vergleichbare Zahlenklassen unterteilt M. Die Anzahl solcher Klassen ist gleich M und alle Zahlen derselben Klasse, wenn sie durch geteilt werden M Gib den gleichen Rest. Zum Beispiel, wenn M= 3, dann erhalten wir drei Klassen: die Klasse der Zahlen, die ein Vielfaches von 3 sind (was bei Division durch 3 einen Rest von 0 ergibt), die Klasse von Zahlen, die bei Division durch 3 einen Rest von 1 hinterlassen, und die Klasse von Zahlen, die übrig bleiben ein Rest 2 bei Division durch 3.

Beispiele für die Verwendung von Vergleichen werden gut geliefert bekannte Anzeichen Teilbarkeit. Gemeinsame Zahlendarstellung N Zahlen im Dezimalzahlensystem haben die Form:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

Wo a, b, c,- Ziffern einer Zahl von rechts nach links geschrieben, also A- Anzahl der Einheiten, B- Anzahl der Zehner usw. Seit 10k ≡ 1(mod9) für jedes k≥0, dann folgt aus dem Geschriebenen Folgendes

n ≡ c + b + a(mod9),

Daraus folgt der Test der Teilbarkeit durch 9: N ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist. Diese Argumentation gilt auch, wenn 9 durch 3 ersetzt wird.

Wir erhalten den Test auf Teilbarkeit durch 11. Es finden Vergleiche statt:

10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11) und so weiter. Deshalb n ≡ c - b + a - ….(mod11).

Somit, N ist genau dann durch 11 teilbar, wenn die alternierende Summe ihrer Ziffern a - b + c -... durch 11 teilbar ist.

Beispielsweise beträgt die alternierende Ziffernsumme der Zahl 9581 1 - 8 + 5 - 9 = -11, sie ist durch 11 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl 9581 durch 11 teilbar ist.

Wenn es Vergleiche gibt: , dann können sie auf die gleiche Weise wie Gleichheiten addiert, subtrahiert und Term für Term multipliziert werden:

Ein Vergleich kann immer mit einer ganzen Zahl multipliziert werden:

wenn, dann

Es ist jedoch nicht immer möglich, einen Vergleich um einen beliebigen Faktor zu reduzieren. Beispielsweise ist es jedoch unmöglich, ihn für die Zahlen 42 und 12 um den gemeinsamen Faktor 6 zu reduzieren; Eine solche Reduzierung führt zu einem falschen Ergebnis, da .

Aus der Definition der Vergleichbarkeit modulo folgt, dass eine Reduktion um einen Faktor zulässig ist, wenn dieser Faktor teilerfremd zum Modul ist.

Oben wurde bereits darauf hingewiesen, dass jede ganze Zahl mit mod vergleichbar ist M mit einer der folgenden Zahlen: 0, 1, 2,... , m-1.

Zusätzlich zu dieser Reihe gibt es noch andere Zahlenreihen, die die gleiche Eigenschaft haben; So ist beispielsweise jede Zahl mod 5 mit einer der folgenden Zahlen vergleichbar: 0, 1, 2, 3, 4, aber auch vergleichbar mit einer der folgenden Zahlen: 0, -4, -3, -2, - 1 oder 0, 1, -1, 2, -2. Eine solche Zahlenreihe nennt man vollständiges Residuensystem Modulo 5.

Somit ist das vollständige System der Reste mod M jede Serie von M Zahlen, von denen keine zwei miteinander vergleichbar sind. Häufig verwendet Vollständiges System Rückstände, bestehend aus Zahlen: 0, 1, 2, ..., M-1. Subtrahieren der Zahl N Modulo M ist der Rest der Division N An M, was aus der Darstellung folgt n = km + r, 0<R<M- 1.

Zahlen modulo vergleichen

Vorbereitet von: Irina Zutikova

MAOU „Lyzeum Nr. 6“

Klasse: 10 „a“

Wissenschaftliche Betreuerin: Zheltova Olga Nikolaevna

Tambow

2016

• Problem
• Ziel des Projekts
• Hypothese
• Projektziele und Plan zu deren Erreichung
• Vergleiche und ihre Eigenschaften
• Beispiele für Probleme und deren Lösungen
• Verwendete Seiten und Literatur

Problem:

Die meisten Schüler verwenden Modulo-Zahlenvergleiche selten, um nicht standardmäßige und olympische Aufgaben zu lösen.

Ziel des Projekts:

Zeigen Sie, wie Sie nicht standardmäßige und olympische Aufgaben lösen können, indem Sie Zahlen modulo vergleichen.

Hypothese:

Ein tieferes Studium des Themas „Zahlen modulo vergleichen“ wird den Schülern helfen, einige nicht standardmäßige und olympische Aufgaben zu lösen.

Projektziele und Plan zu deren Erreichung:

1. Studieren Sie ausführlich das Thema „Zahlenvergleich modulo“.

2. Lösen Sie mehrere nicht standardmäßige und olympische Aufgaben mithilfe des Modulo-Zahlenvergleichs.

3. Erstellen Sie ein Memo für Schüler zum Thema „Zahlen modulo vergleichen“.

4. Führen Sie in der 10. Klasse eine Unterrichtsstunde zum Thema „Zahlen modulo vergleichen“ durch.

5. Geben Sie der Klasse Hausaufgaben zum Thema „Vergleich nach Modulen“.

6.Vergleichen Sie die Zeit zur Bearbeitung der Aufgabe vor und nach dem Studium des Themas „Vergleich nach Modulen“.

7.Ziehen Sie Schlussfolgerungen.

Bevor ich begann, mich ausführlich mit dem Thema „Zahlen modulo vergleichen“ zu befassen, beschloss ich, die Darstellung in verschiedenen Lehrbüchern zu vergleichen.

• Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Fortgeschrittenes Level. 10. Klasse (Yu.M. Kolyagin und andere)
• Mathematik: Algebra, Funktionen, Datenanalyse. 7. Klasse (L.G. Peterson und andere)
• Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Profilebene. 10. Klasse (E.P. Nelin und andere)
• Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Profilebene. 10. Klasse (G.K. Muravin und andere)

Wie ich herausgefunden habe, behandeln einige Lehrbücher dieses Thema trotz des fortgeschrittenen Niveaus überhaupt nicht. Und das Thema wird im Lehrbuch von L.G. Peterson (Kapitel: Einführung in die Teilbarkeitstheorie) am klarsten und verständlichsten dargestellt. Versuchen wir also, den „Zahlenvergleich modulo“ zu verstehen, indem wir uns auf die Theorie aus diesem Lehrbuch stützen.

Vergleiche und ihre Eigenschaften.

Definition: Wenn zwei ganze Zahlen a und b bei Division durch eine ganze Zahl m (m>0) die gleichen Reste haben, dann sagt man dasa und b sind modulo m vergleichbar, und schreibe:

Satz: genau dann, wenn die Differenz von a und b durch m teilbar ist.

Eigenschaften:

1. Reflexivität von Vergleichen.Jede Zahl a ist modulo m mit sich selbst vergleichbar (m>0; a,m sind ganze Zahlen).
2. Symmetrische Vergleiche.Wenn die Zahl a mit der Zahl b modulo m vergleichbar ist, dann ist die Zahl b mit der Zahl a modulo gleich vergleichbar (m>0; a,b,m sind ganze Zahlen).
3. Transitivität von Vergleichen.Wenn die Zahl a mit der Zahl b modulo m vergleichbar ist und die Zahl b mit der Zahl c modulo dasselbe Modulo vergleichbar ist, dann ist die Zahl a mit der Zahl c modulo m vergleichbar (m>0; a,b,c ,m sind ganze Zahlen).
4. Wenn die Zahl a mit der Zahl b modulo m vergleichbar ist, dann ist die Zahl a N vergleichbar nach Anzahl b N Modulo m(m>0; a,b,m-Ganzzahlen; n-natürliche Zahl).

Beispiele für Probleme und deren Lösungen.

1. Finden Sie die letzte Ziffer der Zahl 3 999 .

Lösung:

Weil letzte Ziffer Zahlen sind also der Rest der Division durch 10

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(Weil 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (nach Eigenschaft))

Antwort: 7.

2.Beweisen Sie, dass 2 4n -1 ist ohne Rest durch 15 teilbar. (Phystech2012)

Lösung:

Weil 16 1(mod 15), dann

16n-1 0(mod 15) (nach Eigenschaft); 16n= (2 4) n

2 4n -1 0(mod 15)

3.Beweisen Sie, dass 12 2n+1 +11 n+2 Ohne Rest durch 133 teilbar.

Lösung:

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (Mod 133) (nach Eigentum)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Zahl (11 n *133)teilt ohne Rest durch 133. Daher ist (12 2n+1 +11 n+2 ) ist ohne Rest durch 133 teilbar.

4. Ermitteln Sie den Rest der Zahl 2 dividiert durch 15 2015 .

Lösung:

Seit 16 1(mod 15), also

2 2015 8(mod 15)

Antwort:8.

5.Ermitteln Sie den Rest der Division durch die 17. Zahl 2 2015. (Phystech2015)

Lösung:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Seit 16 -1(mod 17), also

2 2015 -8(mod 15)

8 9 (Mod 17)

Antwort:9.

6. Beweisen Sie, dass die Zahl 11 ist 100 -1 ist ohne Rest durch 100 teilbar. (Phystech2015)

Lösung:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (Mod 100) (nach Eigentum)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (Mod 100) (nach Eigentum)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (Mod 100) (nach Eigentum)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (Mod 100)(nach Eigenschaft)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (nach Eigenschaft)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (nach Eigentum)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (nach Eigenschaft)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (nach Eigenschaft)

Also 11 100 1(mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (nach Eigenschaft)

7. Es werden drei Zahlen angegeben: 1771,1935,2222. Finden Sie die Zahl, bei der bei Division durch sie die Reste der drei gegebenen Zahlen gleich sind. (HSE2016)

Lösung:

Dann sei die unbekannte Zahl gleich a

2222 1935(mod a); 1935 1771 (mod a); 2222 1771(mod a)

2222-1935 0(moda) (nach Eigenschaft); 1935-17710(moda) (nach Eigenschaft); 2222-17710(moda) (nach Eigenschaft)

287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)

287-164 0(moda) (nach Eigenschaft); 451-2870(Moda)(nach Eigenschaft)

123 0(mod a); 164 0(mod a)

164-123 0(mod a) (nach Eigenschaft)

41

Definition 1. Wenn zwei Zahlen 1) sind A Und B wenn geteilt durch P Gib den gleichen Rest R, dann heißen solche Zahlen Äquirest oder im Modul vergleichbar P.

Stellungnahme 1. Lassen P eine positive Zahl. Dann jede Zahl A immer und darüber hinaus auf die einzige Art und Weise in der Form dargestellt werden kann

Aber diese Zahlen können durch Einstellen erhalten werden R gleich 0, 1, 2,..., P−1. Somit sp+r=a erhält alle möglichen ganzzahligen Werte.

Zeigen wir, dass diese Darstellung einzigartig ist. Tun wir mal so P kann auf zwei Arten dargestellt werden a=sp+r Und a=s 1 P+R 1 . Dann

(2)

Als R 1 akzeptiert eine der Zahlen 0,1, ..., P−1, dann der absolute Wert R 1 −R weniger P. Aber aus (2) folgt das R 1 −R mehrere P. Somit R 1 =R Und S 1 =S.

Nummer R angerufen Minus Zahlen A Modulo P(mit anderen Worten, die Zahl R den Rest einer Zahl genannt A An P).

Stellungnahme 2. Wenn zwei Zahlen A Und B im Modul vergleichbar P, Das a−b geteilt durch P.

Wirklich. Wenn zwei Zahlen A Und B im Modul vergleichbar P, dann geteilt durch P haben den gleichen Rest P. Dann

geteilt durch P, Weil die rechte Seite der Gleichung (3) wird durch geteilt P.

Stellungnahme 3. Wenn die Differenz zweier Zahlen durch teilbar ist P, dann sind diese Zahlen im Modul vergleichbar P.

Nachweisen. Bezeichnen wir mit R Und R 1 Teilungsrest A Und B An P. Dann

Beispiele 25≡39 (Mod 7), −18≡14 (Mod 4).

Aus dem ersten Beispiel folgt, dass 25 bei Division durch 7 den gleichen Rest wie 39 ergibt. Tatsächlich ist 25 = 3·7+4 (Rest 4). 39=3·7+4 (Rest 4). Wenn Sie das zweite Beispiel betrachten, müssen Sie berücksichtigen, dass der Rest eine nicht negative Zahl sein muss, die kleiner als der Modul ist (d. h. 4). Dann können wir schreiben: −18=−5·4+2 (Rest 2), 14=3·4+2 (Rest 2). Daher ergibt −18 bei Division durch 4 einen Rest von 2 und 14 bei Division durch 4 einen Rest von 2.

Eigenschaften von Modulo-Vergleichen

Eigentum 1. Für jeden A Und P Stets

Es gibt nicht immer einen Vergleich

Wo λ ist der größte gemeinsame Teiler von Zahlen M Und P.

Nachweisen. Lassen λ größter gemeinsamer Teiler von Zahlen M Und P. Dann

Als m(a−b) geteilt durch k, Das

Somit

Und M ist einer der Teiler der Zahl P, Das

Wo h=pqs.

Beachten Sie, dass wir Vergleiche basierend auf negativen Modulen zulassen können, d. h. Vergleich a≡b mod( P) bedeutet in diesem Fall die Differenz a−b geteilt durch P. Für negative Module bleiben alle Vergleichseigenschaften erhalten.