Komplexe Beispiele mit gewöhnlichen Brüchen. Brüche, Operationen mit Brüchen

In diesem Artikel werden Operationen mit Brüchen untersucht. Es werden Regeln zur Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Potenzierung von Brüchen der Form A B gebildet und begründet, wobei A und B Zahlen, numerische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sein können. Abschließend werden Lösungsbeispiele mit ausführlichen Beschreibungen betrachtet.

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Regeln für die Durchführung von Operationen mit allgemeinen numerischen Brüchen

Numerische Brüche Gesamtansicht haben einen Zähler und einen Nenner, in denen es gibt ganze Zahlen oder numerische Ausdrücke. Wenn wir Brüche wie 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π betrachten, 2 0, 5 ln 3, dann ist klar, dass Zähler und Nenner nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke verschiedener Art haben können.

Definition 1

Es gibt Regeln, nach denen Aktionen ausgeführt werden gewöhnliche Brüche. Es eignet sich auch für allgemeine Brüche:

• Beim Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern werden nur die Zähler addiert und der Nenner bleibt derselbe, nämlich: a d ± c d = a ± c d, die Werte a, c und d ≠ 0 sind einige Zahlen oder numerische Ausdrücke.
• Wenn Sie einen Bruch mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren, müssen Sie ihn auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren und dann die resultierenden Brüche mit denselben Exponenten addieren oder subtrahieren. Wörtlich sieht es so aus: a b ± c d = a · p ± c · rs, wobei die Werte a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 sind reale Nummern, und b · p = d · r = s . Wenn p = d und r = b, dann ist a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Bei der Multiplikation von Brüchen wird die Aktion mit Zählern und anschließend mit Nennern ausgeführt, dann erhalten wir a b · c d = a · c b · d, wobei a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 als reelle Zahlen fungieren.
• Wenn wir einen Bruch durch einen Bruch dividieren, multiplizieren wir den ersten mit dem zweiten Kehrwert, d. h. wir vertauschen Zähler und Nenner: a b: c d = a b · d c.

Begründung für die Regeln

Es gibt folgende mathematische Punkte, auf die Sie sich bei der Berechnung verlassen sollten:

• der Schrägstrich bedeutet das Divisionszeichen;
• Division durch eine Zahl wird als Multiplikation mit ihrem Kehrwert behandelt;
• Anwendung der Eigenschaft von Operationen mit reellen Zahlen;
• Anwendung der Grundeigenschaft von Brüchen und numerischen Ungleichungen.

Mit ihrer Hilfe können Sie Transformationen des Formulars durchführen:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c · b · d

Beispiele

Im vorherigen Absatz wurde über Operationen mit Brüchen gesprochen. Danach muss der Bruch vereinfacht werden. Dieses Thema wurde im Abschnitt über die Umrechnung von Brüchen ausführlich besprochen.

Schauen wir uns zunächst ein Beispiel für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner an.

Beispiel 1

Angesichts der Brüche 8 2, 7 und 1 2, 7 ist es gemäß der Regel notwendig, den Zähler zu addieren und den Nenner umzuschreiben.

Lösung

Dann erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2, 7. Nach der Addition erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Also, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Antwort: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Es gibt eine andere Lösung. Zunächst wechseln wir zur Form eines gewöhnlichen Bruchs und führen anschließend eine Vereinfachung durch. Es sieht aus wie das:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Beispiel 2

Subtrahieren wir von 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 einen Bruchteil der Form 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Da gleiche Nenner gegeben sind, bedeutet das, dass wir einen Bruch mit demselben Nenner berechnen. Wir verstehen das

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Es gibt Beispiele für die Berechnung von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Ein wichtiger Punkt ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Ohne dies können wir keine weiteren Operationen mit Brüchen durchführen.

Der Vorgang erinnert ein wenig an die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Das heißt, es wird nach dem kleinsten gemeinsamen Teiler im Nenner gesucht und anschließend die fehlenden Faktoren zu den Brüchen addiert.

Wenn die addierten Brüche keine gemeinsamen Faktoren haben, kann ihr Produkt eins werden.

Beispiel 3

Schauen wir uns das Beispiel der Addition der Brüche 2 3 5 + 1 und 1 2 an.

Lösung

In diesem Fall ist der gemeinsame Nenner das Produkt der Nenner. Dann erhalten wir 2 · 3 5 + 1. Wenn wir dann zusätzliche Faktoren festlegen, gilt für den ersten Bruch der Wert 2 und für den zweiten 3 · 5 + 1. Nach der Multiplikation werden die Brüche auf die Form 4 2 · 3 5 + 1 reduziert. Die allgemeine Reduzierung von 1 2 beträgt 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Wir addieren die resultierenden Bruchausdrücke und erhalten das Ergebnis

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Antwort: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Wenn wir es mit allgemeinen Brüchen zu tun haben, dann sprechen wir normalerweise nicht über den kleinsten gemeinsamen Nenner. Es ist unrentabel, das Produkt der Zähler als Nenner zu verwenden. Zuerst müssen Sie prüfen, ob es eine Zahl gibt, deren Wert geringer ist als das Produkt.

Beispiel 4

Betrachten wir das Beispiel von 1 6 · 2 1 5 und 1 4 · 2 3 5, wenn ihr Produkt gleich 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 ist. Dann nehmen wir 12 · 2 3 5 als gemeinsamen Nenner.

Schauen wir uns Beispiele für die Multiplikation allgemeiner Brüche an.

Beispiel 5

Dazu müssen Sie 2 + 1 6 und 2 · 5 · 3 · 2 + 1 multiplizieren.

Lösung

Der Regel folgend ist es notwendig, das Produkt der Zähler als Nenner umzuschreiben und zu schreiben. Wir erhalten das 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Sobald ein Bruch multipliziert wurde, können Sie ihn durch Reduzierungen vereinfachen. Dann ist 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Unter Verwendung der Regel für den Übergang von der Division zur Multiplikation mit einem Kehrwertbruch erhalten wir einen Bruch, der der Kehrwert des gegebenen Bruchs ist. Dazu werden Zähler und Nenner vertauscht. Schauen wir uns ein Beispiel an:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Dann müssen sie den resultierenden Bruch multiplizieren und vereinfachen. Beseitigen Sie bei Bedarf die Irrationalität im Nenner. Wir verstehen das

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Antwort: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Dieser Absatz ist anwendbar, wenn eine Zahl oder ein numerischer Ausdruck als Bruch mit einem Nenner gleich 1 dargestellt werden kann, dann wird die Operation mit einem solchen Bruch als separater Absatz betrachtet. Beispielsweise zeigt der Ausdruck 1 6 · 7 4 - 1 · 3, dass die Wurzel von 3 durch einen anderen 3 1-Ausdruck ersetzt werden kann. Dann sieht diese Eingabe so aus, als würde man zwei Brüche der Form 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 multiplizieren.

Durchführen von Operationen an Brüchen, die Variablen enthalten

Die im ersten Artikel besprochenen Regeln gelten für Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten. Betrachten Sie die Subtraktionsregel, wenn die Nenner gleich sind.

Es muss bewiesen werden, dass A, C und D (D ungleich Null) beliebige Ausdrücke sein können und die Gleichheit A D ± C D = A ± C D ihrem zulässigen Wertebereich entspricht.

Es ist notwendig, eine Reihe von ODZ-Variablen zu verwenden. Dann müssen A, C, D die entsprechenden Werte annehmen a 0 , c 0 und d 0. Die Substitution der Form A D ± C D führt zu einer Differenz der Form a 0 d 0 ± c 0 d 0 , wobei wir unter Verwendung der Additionsregel eine Formel der Form a 0 ± c 0 d 0 erhalten. Wenn wir den Ausdruck A ± C D ersetzen, erhalten wir den gleichen Bruch der Form a 0 ± c 0 d 0. Daraus schließen wir, dass der ausgewählte Wert, der die ODZ erfüllt, A ± C D und A D ± C D als gleich angesehen werden.

Für jeden Wert der Variablen sind diese Ausdrücke gleich, das heißt, sie werden als identisch gleich bezeichnet. Dies bedeutet, dass dieser Ausdruck als beweisbare Gleichheit der Form A D ± C D = A ± C D betrachtet wird.

Beispiele für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit Variablen

Wenn Sie die gleichen Nenner haben, müssen Sie nur die Zähler addieren oder subtrahieren. Dieser Bruch kann vereinfacht werden. Manchmal muss man mit Brüchen arbeiten, die identisch gleich sind, was auf den ersten Blick jedoch nicht auffällt, da einige Transformationen durchgeführt werden müssen. Zum Beispiel x 2 3 x 1 3 + 1 und x 1 3 + 1 2 oder 1 2 sin 2 α und sin a cos a. Meistens ist eine Vereinfachung des ursprünglichen Ausdrucks erforderlich, um die gleichen Nenner zu sehen.

Beispiel 6

Berechnen Sie: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Lösung

1. Um die Berechnung durchzuführen, müssen Sie Brüche mit demselben Nenner subtrahieren. Dann erhalten wir x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Anschließend können Sie die Klammern erweitern und ähnliche Begriffe hinzufügen. Wir erhalten, dass x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Da die Nenner gleich sind, müssen nur noch die Zähler addiert werden, sodass der Nenner übrig bleibt: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Die Ergänzung ist abgeschlossen. Es ist ersichtlich, dass es möglich ist, den Bruch zu reduzieren. Sein Zähler kann mit der Formel für das Quadrat der Summe gefaltet werden, dann erhalten wir (l g x + 2) 2 aus abgekürzten Multiplikationsformeln. Dann verstehen wir das
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Gegebene Brüche der Form x - 1 x - 1 + x x + 1 mit unterschiedlichen Nennern. Nach der Transformation können Sie mit der Addition fortfahren.

Betrachten wir eine zweifache Lösung.

Die erste Methode besteht darin, dass der Nenner des ersten Bruchs mithilfe von Quadraten faktorisiert und anschließend reduziert wird. Wir erhalten einen Bruchteil der Form

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Also x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

In diesem Fall ist es notwendig, die Irrationalität im Nenner zu beseitigen.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Die zweite Methode besteht darin, Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Ausdruck x - 1 zu multiplizieren. So beseitigen wir die Irrationalität und fahren mit der Addition von Brüchen mit demselben Nenner fort. Dann

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Antwort: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Im letzten Beispiel haben wir festgestellt, dass die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner unvermeidlich ist. Dazu müssen Sie die Brüche vereinfachen. Beim Addieren oder Subtrahieren müssen Sie immer nach einem gemeinsamen Nenner suchen, der wie das Produkt der Nenner mit zusätzlichen Faktoren aussieht, die zu den Zählern addiert werden.

Beispiel 7

Berechnen Sie die Werte der Brüche: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Lösung

1. Der Nenner erfordert keine komplexen Berechnungen, daher müssen Sie das Produkt der Form 3 x 7 + 2 · 2 wählen, dann x 7 + 2 · 2 für den ersten Bruch als zusätzlichen Faktor und 3 für den zweiten. Bei der Multiplikation erhalten wir einen Bruch der Form x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Es ist zu erkennen, dass die Nenner in Form eines Produkts dargestellt werden, wodurch zusätzliche Transformationen unnötig sind. Der gemeinsame Nenner wird als Produkt der Form x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 betrachtet. Daher x 4 ist ein zusätzlicher Faktor zum ersten Bruch und ln(x + 1) auf die Sekunde. Dann subtrahieren wir und erhalten:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x – 4)
3. Dieses Beispiel ist sinnvoll, wenn mit Bruchnennern gearbeitet wird. Es ist notwendig, die Formeln für die Differenz der Quadrate und das Quadrat der Summe anzuwenden, da sie es ermöglichen, zu einem Ausdruck der Form 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) überzugehen x) 2. Man erkennt, dass die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Wir erhalten cos x - x · cos x + x 2 .

Dann verstehen wir das

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Antwort:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Beispiele für die Multiplikation von Brüchen mit Variablen

Bei der Multiplikation von Brüchen wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert. Dann können Sie die Reduktionseigenschaft anwenden.

Beispiel 8

Multiplizieren Sie die Brüche x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 und 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Lösung

Es muss eine Multiplikation durchgeführt werden. Wir verstehen das

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Die Zahl 3 wird zur Vereinfachung der Berechnungen an die erste Stelle verschoben, und Sie können den Bruch um x 2 reduzieren, dann erhalten wir einen Ausdruck der Form

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Antwort: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) .

Aufteilung

Die Division von Brüchen ähnelt der Multiplikation, da der erste Bruch mit dem zweiten Kehrwert multipliziert wird. Wenn wir zum Beispiel den Bruch x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 nehmen und durch 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x dividieren, dann kann er geschrieben werden als

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , dann durch ein Produkt der Form x + 2 · x x ersetzen 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Potenzierung

Kommen wir nun zur Betrachtung von Operationen mit allgemeinen Brüchen mit Potenzierung. Wenn es eine Potenz mit einem natürlichen Exponenten gibt, wird die Aktion als Multiplikation gleicher Brüche betrachtet. Es wird jedoch empfohlen, einen allgemeinen Ansatz zu verwenden, der auf den Eigenschaften von Graden basiert. Für alle Ausdrücke A und C, wobei C nicht identisch gleich Null ist, und für jedes reelle r auf der ODZ gilt für einen Ausdruck der Form A C r die Gleichheit A C r = A r C r. Das Ergebnis ist ein zur Potenz erhobener Bruch. Bedenken Sie zum Beispiel:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Verfahren zur Durchführung von Operationen mit Brüchen

Operationen an Brüchen werden gemäß ausgeführt bestimmte Regeln. In der Praxis stellen wir fest, dass ein Ausdruck mehrere Brüche oder Bruchausdrücke enthalten kann. Dann ist es notwendig, alle Aktionen in strenger Reihenfolge auszuführen: potenzieren, multiplizieren, dividieren, dann addieren und subtrahieren. Wenn Klammern vorhanden sind, wird die erste Aktion darin ausgeführt.

Beispiel 9

Berechnen Sie 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x .

Lösung

Da wir den gleichen Nenner haben, dann 1 - x cos x und 1 c o s x, aber Subtraktionen können nicht gemäß der Regel durchgeführt werden; zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt, dann die Multiplikation und dann die Addition. Wenn wir dann rechnen, erhalten wir das

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Wenn wir den Ausdruck in den ursprünglichen ersetzen, erhalten wir 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Bei der Multiplikation von Brüchen gilt: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Nachdem wir alle Ersetzungen vorgenommen haben, erhalten wir 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Jetzt müssen Sie mit Brüchen arbeiten, die unterschiedliche Nenner haben. Wir bekommen:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Antwort: 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

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Brüche multiplizieren und dividieren.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Zur Erinnerung: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies ist der Zähler des Ergebnisses) und die Nenner (dies ist der Nenner) multiplizieren. Also:

Zum Beispiel:

Alles ist extrem einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Hier ist er nicht nötig...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie umkehren zweite(Das ist wichtig!) Brüche und multipliziere sie, d. h.:

Zum Beispiel:

Wenn Sie auf Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen stoßen, ist das in Ordnung. Wie bei der Addition machen wir aus einer ganzen Zahl mit Eins im Nenner einen Bruch – und machen Sie weiter! Zum Beispiel:

In der Oberstufe muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie kann ich diesen Bruch anständig aussehen lassen? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Zweipunktdivision:

Aber vergessen Sie nicht die Reihenfolge der Teilung! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil kann man leicht einen Fehler machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Spüren Sie den Unterschied? 4 und 1/9!

Was bestimmt die Reihenfolge der Teilung? Entweder mit Klammern, oder (wie hier) mit der Länge horizontaler Linien. Entwickeln Sie Ihr Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie zum Beispiel:

dann dividieren und multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und noch eine sehr einfache und wichtige Technik. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es Ihnen sehr nützlich sein! Teilen wir eins durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist umgekippt! Und das passiert immer. Wenn man 1 durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das ist alles für Operationen mit Brüchen. Die Sache ist ganz einfach, aber es gibt mehr als genug Fehler. Notiz praktische Ratschläge, und es wird weniger davon (Fehler) geben!

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Es ist nicht gebräuchliche Worte, keine guten Wünsche! Das ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen zum Einheitlichen Staatsexamen als vollwertige Aufgabe, konzentriert und klar durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als bei den mentalen Berechnungen Fehler zu machen.

2. In Beispielen mit verschiedene Typen Brüche – gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Teilen Sie im Kopf eine Einheit durch einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.

Hier sind die Aufgaben, die Sie unbedingt erledigen müssen. Nach allen Aufgaben werden Antworten gegeben. Nutzen Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Tipps. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen konnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und ziehen Sie die richtigen Schlussfolgerungen...

Denken Sie daran – die richtige Antwort lautet ab dem zweiten (besonders dem dritten) Mal erhaltenen Informationen zählen nicht! So ist das harte Leben.

Also, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens schon eine Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Wir lösen das Beispiel, überprüfen es und lösen das nächste. Wir haben alles entschieden - von Anfang bis Ende noch einmal überprüft. Und nur Dann Schauen Sie sich die Antworten an.

Berechnung:

Hast du dich entschieden?

Wir suchen nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie absichtlich unordentlich aufgeschrieben, sozusagen fernab der Versuchung ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolons geschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Jetzt ziehen wir Schlussfolgerungen. Wenn alles geklappt hat, freue ich mich für dich! Einfache Berechnungen mit Brüchen sind nicht Ihr Problem! Sie können ernstere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Mangelndes Wissen und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber lösbar Probleme.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Um einen Teil als Bruchteil des Ganzen auszudrücken, müssen Sie den Teil durch das Ganze teilen.

Aufgabe 1. Die Klasse besteht aus 30 Schülern, vier fehlen. Wie hoch ist der Anteil der Studierenden, die abwesend sind?

Lösung:

Antwort: Es sind keine Schüler in der Klasse.

Einen Bruch aus einer Zahl ermitteln

Um Probleme zu lösen, bei denen Sie einen fairen Teil eines Ganzen finden müssen nächste Regel:

Wenn ein Teil eines Ganzen als Bruch ausgedrückt wird, können Sie zum Ermitteln dieses Teils das Ganze durch den Nenner des Bruchs dividieren und das Ergebnis mit seinem Zähler multiplizieren.

Aufgabe 1. Es waren 600 Rubel, dieser Betrag wurde ausgegeben. Wie viel Geld hast du ausgegeben?

Lösung: Um 600 Rubel oder mehr zu finden, müssen wir diesen Betrag in 4 Teile teilen, um herauszufinden, wie viel Geld ein Viertel ist:

600: 4 = 150 (r.)

Antwort: 150 Rubel ausgegeben.

Aufgabe 2. Es waren 1000 Rubel, dieser Betrag wurde ausgegeben. Wie viel Geld wurde ausgegeben?

Lösung: Aus der Problemstellung wissen wir, dass 1000 Rubel aus fünf bestehen gleiche Teile. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie viele Rubel ein Fünftel von 1000 sind, und dann herausfinden, wie viele Rubel zwei Fünftel sind:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - ein Fünftel.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - zwei Fünftel.

Diese beiden Aktionen können kombiniert werden: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Antwort: 400 Rubel wurden ausgegeben.

Der zweite Weg, einen Teil eines Ganzen zu finden:

Um einen Teil eines Ganzen zu finden, können Sie das Ganze mit dem Bruch multiplizieren, der diesen Teil des Ganzen ausdrückt.

Aufgabe 3. Gemäß der Satzung der Genossenschaft müssen für die Gültigkeit des Berichtstreffens mindestens mindestens Mitglieder der Organisation anwesend sein. Die Genossenschaft hat 120 Mitglieder. In welcher Zusammensetzung kann ein Berichtsgespräch stattfinden?

Lösung:

Antwort: Das Berichtstreffen kann stattfinden, wenn die Organisation 80 Mitglieder hat.

Eine Zahl anhand ihres Bruchs ermitteln

Um Probleme zu lösen, bei denen es darum geht, ein Ganzes aus seinen Teilen zu finden, gilt folgende Regel:

Wenn ein Teil des gewünschten Ganzen als Bruch ausgedrückt wird, können Sie zum Ermitteln dieses Ganzen diesen Teil durch den Zähler des Bruchs dividieren und das Ergebnis mit seinem Nenner multiplizieren.

Aufgabe 1. Wir haben 50 Rubel ausgegeben, was weniger als der ursprüngliche Betrag war. Finden Sie den ursprünglichen Geldbetrag.

Lösung: Aus der Beschreibung des Problems sehen wir, dass 50 Rubel 6-mal weniger als der ursprüngliche Betrag sind, d. h. der ursprüngliche Betrag beträgt 6-mal mehr als 50 Rubel. Um diesen Betrag zu ermitteln, müssen Sie 50 mit 6 multiplizieren:

50 · 6 = 300 (r.)

Antwort: der Anfangsbetrag beträgt 300 Rubel.

Aufgabe 2. Wir haben 600 Rubel ausgegeben, was weniger als der ursprüngliche Geldbetrag war. Finden Sie den ursprünglichen Betrag.

Lösung: Wir gehen davon aus, dass die erforderliche Anzahl aus drei Dritteln besteht. Je nach Bedingung entsprechen zwei Drittel der Menge 600 Rubel. Lassen Sie uns zunächst ein Drittel des ursprünglichen Betrags ermitteln und dann ermitteln, wie viele Rubel drei Drittel (der ursprüngliche Betrag) sind:

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Antwort: der Anfangsbetrag beträgt 900 Rubel.

Der zweite Weg, aus seinen Teilen ein Ganzes zu finden:

Um ein Ganzes anhand des Werts zu finden, der seinen Teil ausdrückt, können Sie diesen Wert durch den Bruch dividieren, der diesen Teil ausdrückt.

Aufgabe 3. Liniensegment AB, gleich 42 cm, ist die Länge des Segments CD. Finden Sie die Länge des Segments CD.

Lösung:

Antwort: Segmentlänge CD 70 cm.

Aufgabe 4. Wassermelonen wurden in den Laden gebracht. Vor dem Mittagessen verkaufte der Laden die mitgebrachten Wassermelonen, und nach dem Mittagessen waren noch 80 Wassermelonen zum Verkauf übrig. Wie viele Wassermelonen hast du in den Laden mitgebracht?

Lösung: Lassen Sie uns zunächst herausfinden, welcher Teil der mitgebrachten Wassermelonen die Zahl 80 ist. Dazu nehmen wir die Gesamtzahl der mitgebrachten Wassermelonen als eins und subtrahieren davon die Anzahl der verkauften (verkauften) Wassermelonen:

Und so erfuhren wir, dass die Gesamtzahl der mitgebrachten Wassermelonen 80 Wassermelonen ausmacht. Jetzt finden wir heraus, wie viele Wassermelonen es in der Gesamtmenge gibt und wie viele Wassermelonen es dann gibt (die Anzahl der mitgebrachten Wassermelonen):

2) 80: 4 · 15 = 300 (Wassermelonen)

Antwort: Insgesamt wurden 300 Wassermelonen in den Laden gebracht.

Lassen Sie uns zustimmen, dass „Aktionen mit Brüchen“ in unserer Lektion Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen bedeuten. Ein gewöhnlicher Bruch ist ein Bruch, der Attribute wie einen Zähler, eine Bruchlinie und einen Nenner aufweist. Dies unterscheidet einen gewöhnlichen Bruch von einer Dezimalzahl, die man aus einem gewöhnlichen Bruch erhält, indem man den Nenner auf ein Vielfaches von 10 reduziert. Dezimal geschrieben mit einem Komma, das den ganzen Teil vom Bruchteil trennt. Wir werden über Operationen mit gewöhnlichen Brüchen sprechen, da diese diejenigen sind, die den Schülern, die die Grundlagen dieses Themas vergessen haben, das in der ersten Hälfte des Schulmathematikkurses behandelt wird, die größten Schwierigkeiten bereiten. Gleichzeitig beim Umwandeln von Ausdrücken in höhere Mathematik Es werden hauptsächlich Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen verwendet. Allein die Bruchabkürzungen sind es wert! Dezimalbrüche bereiten keine besonderen Schwierigkeiten. Also mach weiter!

Zwei Brüche heißen gleich, wenn .

Zum Beispiel seit

Brüche und (seit) und (seit) sind ebenfalls gleich.

Offensichtlich sind beide Brüche und gleich. Das heißt, wenn man Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert, erhält man einen Bruch, der der gegebenen Zahl entspricht: .

Diese Eigenschaft wird Grundeigenschaft eines Bruchs genannt.

Die Grundeigenschaft eines Bruchs kann genutzt werden, um die Vorzeichen von Zähler und Nenner eines Bruchs zu ändern. Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit -1 multipliziert werden, erhalten wir . Das bedeutet, dass sich der Wert eines Bruchs nicht ändert, wenn gleichzeitig die Vorzeichen von Zähler und Nenner geändert werden. Wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert sich auch das Vorzeichen des Bruchs:

Brüche reduzieren

Mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs können Sie einen bestimmten Bruch durch einen anderen Bruch ersetzen, der dem angegebenen gleich ist, jedoch einen kleineren Zähler und Nenner aufweist. Diese Substitution wird Bruchreduktion genannt.

Gegeben sei zum Beispiel ein Bruch. Die Zahlen 36 und 48 haben einen größten gemeinsamen Teiler von 12. Dann

.

Im Allgemeinen ist die Reduzierung eines Bruchs immer dann möglich, wenn Zähler und Nenner keine zueinander Primzahlen sind. Wenn Zähler und Nenner gegenseitig sind Primzahlen, dann heißt der Bruch irreduzibel.

Einen Bruch zu reduzieren bedeutet also, Zähler und Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen Faktor zu dividieren. Alle oben genannten Punkte gelten auch für gebrochene Ausdrücke, die Variablen enthalten.

Beispiel 1. Bruch reduzieren

Lösung. Um den Zähler zu faktorisieren, stellen Sie zunächst das Monom dar - 5 xy als Summe - 2 xy - 3xy, wir bekommen

Um den Nenner zu faktorisieren, verwenden wir die Quadratdifferenzformel:

Ergebend

.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Seien zwei Brüche und . Sie haben unterschiedliche Nenner: 5 und 7. Mithilfe der grundlegenden Eigenschaft von Brüchen können Sie diese Brüche durch andere ersetzen, die ihnen gleich sind, und zwar so, dass die resultierenden Brüche denselben Nenner haben. Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit 7 multiplizieren, erhalten wir

Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit 5 multiplizieren, erhalten wir

Also werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert:

.

Dies ist jedoch nicht die einzige Lösung des Problems: Beispielsweise können diese Brüche auch auf einen gemeinsamen Nenner von 70 reduziert werden:

,

und im Allgemeinen auf jeden Nenner, der sowohl durch 5 als auch durch 7 teilbar ist.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel: Bringen wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner. Wenn wir wie im vorherigen Beispiel argumentieren, erhalten wir

,

.

In diesem Fall ist es jedoch möglich, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren, der kleiner ist als das Produkt der Nenner dieser Brüche. Finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 24 und 30: LCM(24, 30) = 120.

Da 120:4 = 5 ist, müssen Sie zum Schreiben eines Bruchs mit dem Nenner 120 sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 5 multiplizieren. Diese Zahl wird als zusätzlicher Faktor bezeichnet. Bedeutet .

Als nächstes erhalten wir 120:30=4. Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit dem zusätzlichen Faktor 4 multiplizieren, erhalten wir .

Diese Brüche werden also auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche ist der kleinstmögliche gemeinsame Nenner.

Bei Bruchausdrücken mit Variablen ist der gemeinsame Nenner ein Polynom, das durch den Nenner jedes Bruchs dividiert wird.

Beispiel 2. Finden Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche und.

Lösung. Der gemeinsame Nenner dieser Brüche ist ein Polynom, da es sowohl durch als auch teilbar ist. Dieses Polynom ist jedoch nicht das einzige, das ein gemeinsamer Nenner dieser Brüche sein kann. Es kann auch ein Polynom sein und Polynom und Polynom usw. Normalerweise nehmen sie einen solchen gemeinsamen Nenner, dass jeder andere gemeinsame Nenner ohne Rest durch den gewählten geteilt wird. Dieser Nenner wird als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet.

In unserem Beispiel ist der kleinste gemeinsame Nenner. Bekommen:

;

.

Wir konnten Brüche auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren. Dies geschah durch Multiplikation von Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit . Polynome werden als zusätzliche Faktoren für den ersten bzw. zweiten Bruch bezeichnet.

Brüche addieren und subtrahieren

Die Addition von Brüchen ist wie folgt definiert:

.

Zum Beispiel,

.

Wenn B = D, Das

.

Das heißt, um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, genügt es, die Zähler zu addieren und den Nenner gleich zu lassen. Zum Beispiel,

.

Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, reduzieren Sie die Brüche normalerweise auf den kleinsten gemeinsamen Nenner und addieren dann die Zähler. Zum Beispiel,

.

Schauen wir uns nun ein Beispiel für das Hinzufügen von Bruchausdrücken mit Variablen an.

Beispiel 3. Wandeln Sie den Ausdruck in einen Bruch um

.

Lösung. Finden wir den kleinsten gemeinsamen Nenner. Dazu faktorisieren wir zunächst die Nenner.

In der 5. Klasse werden die Schüler mit dem Rechnen vertraut gemacht. Früher galten Menschen, die wussten, wie man Operationen mit Brüchen durchführt, als sehr schlau. Der erste Bruchteil war 1/2, also die Hälfte, dann erschien 1/3 usw. Mehrere Jahrhunderte lang galten die Beispiele als zu komplex. Jetzt entwickelt detaillierte Regelnüber die Umwandlung von Brüchen, Addition, Multiplikation und andere Operationen. Es reicht aus, den Stoff ein wenig zu verstehen, und die Lösung wird einfach sein.

Ein gewöhnlicher Bruch, auch einfacher Bruch genannt, wird als Division zweier Zahlen geschrieben: m und n.

M ist der Dividend, also der Zähler des Bruchs, und der Teiler n heißt Nenner.

Identifizieren Sie echte Brüche (m< n) а также неправильные (m >N).

Ein echter Bruch ist kleiner als eins (z. B. 5/6 – das bedeutet, dass 5 Teile von einem genommen werden; 2/8 – 2 Teile von einem genommen werden). Ein unechter Bruch ist gleich oder größer als 1 (8/7 – die Einheit ist 7/7 und ein weiterer Teil wird als Plus gewertet).

Das eine ist, wenn Zähler und Nenner übereinstimmen (3/3, 12/12, 100/100 und andere).

Operationen mit gewöhnlichen Brüchen, Klasse 6

Mit einfachen Brüchen können Sie Folgendes tun:

• Erweitern Sie einen Bruch. Wenn Sie die Spitze und multiplizieren Unterteil Brüche für alle selbe Nummer(aber nicht durch Null), dann ändert sich der Wert des Bruchs nicht (3/5 = 6/10 (einfach mit 2 multipliziert).
• Das Reduzieren von Brüchen ähnelt dem Erweitern, nur wird hier durch eine Zahl dividiert.
• Vergleichen. Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Wenn die Nenner gleich sind, ist der Bruch mit dem größten Zähler größer.
• Führen Sie Addition und Subtraktion durch. Bei gleichen Nennern ist dies einfach zu bewerkstelligen (wir summieren die oberen Teile, der untere Teil ändert sich jedoch nicht). Wenn sie unterschiedlich sind, müssen Sie einen gemeinsamen Nenner und zusätzliche Faktoren finden.
• Brüche multiplizieren und dividieren.

Schauen wir uns unten Beispiele für Operationen mit Brüchen an.

Reduzierte Brüche Klasse 6

Reduzieren bedeutet, den oberen und unteren Teil eines Bruchs durch eine gleiche Zahl zu dividieren.

Die Abbildung zeigt einfache Beispiele der Reduktion. Bei der ersten Variante können Sie sofort erraten, dass Zähler und Nenner durch 2 teilbar sind.

Auf eine Anmerkung! Wenn die Zahl gerade ist, dann ist sie auf jede Weise durch 2 teilbar. Gerade Zahlen sind 2, 4, 6...32 8 (endet mit einer geraden Zahl) usw.

Im zweiten Fall, wenn man 6 durch 18 dividiert, ist sofort klar, dass die Zahlen durch 2 teilbar sind. Bei der Division erhalten wir 3/9. Dieser Bruch wird weiter durch 3 geteilt. Dann ist die Antwort 1/3. Wenn Sie beide Teiler: 2 mit 3 multiplizieren, erhalten Sie 6. Es stellt sich heraus, dass der Bruch durch sechs geteilt wurde. Diese allmähliche Teilung nennt man sukzessive Reduktion von Brüchen durch gemeinsame Teiler.

Manche Leute teilen sofort durch 6, andere müssen durch Teile dividieren. Hauptsache, am Ende bleibt ein Bruchteil übrig, der sich in keiner Weise reduzieren lässt.

Beachten Sie, dass wenn eine Zahl aus Ziffern besteht, deren Addition eine durch 3 teilbare Zahl ergibt, die ursprüngliche Zahl auch um 3 reduziert werden kann. Beispiel: Zahl 341. Addieren Sie die Zahlen: 3 + 4 + 1 = 8 (8 ist nicht durch 3 teilbar. Das bedeutet, dass die Zahl 341 nicht ohne Rest durch 3 reduziert werden kann. Ein weiteres Beispiel: 264. Addiere: 2 + 6 + 4 = 12 (teilbar durch 3). Wir erhalten: 264: 3 = 88. Dies erleichtert die Reduzierung großer Zahlen.

Neben der Methode der sequentiellen Reduktion von Brüchen durch gemeinsame Teiler gibt es noch andere Methoden.

GCD ist der größte Teiler einer Zahl. Nachdem Sie den ggT für Nenner und Zähler gefunden haben, können Sie den Bruch sofort auf die gewünschte Zahl reduzieren. Die Suche erfolgt durch schrittweises Teilen jeder Zahl. Als nächstes schauen sie, welche Teiler zusammenfallen. Wenn es mehrere davon gibt (wie im Bild unten), müssen Sie multiplizieren.

Gemischte Fraktionen Klasse 6

Alle unechten Brüche können in gemischte Brüche umgewandelt werden, indem man den ganzen Teil davon trennt. Auf der linken Seite steht die ganze Zahl.

Kommt oft von unechter Bruch machen gemischte Zahl. Der Konvertierungsprozess wird im folgenden Beispiel gezeigt: 22/4 = 22 dividiert durch 4, wir erhalten 5 ganze Zahlen (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Wir erhalten 5 ganze Zahlen und 2/4 (der Nenner ändert sich nicht). Da der Bruch kürzbar ist, teilen wir den oberen und unteren Teil durch 2.

Eine gemischte Zahl lässt sich leicht in nicht umwandeln Richtiger Bruch(dies ist beim Dividieren und Multiplizieren von Brüchen erforderlich). Dazu multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem unteren Teil des Bruchs und addieren den Zähler dazu. Bereit. Der Nenner ändert sich nicht.

Rechnen mit Brüchen 6. Klasse

Es können gemischte Zahlen hinzugefügt werden. Wenn die Nenner gleich sind, geht das ganz einfach: Man addiert die ganzzahligen Teile und Zähler, der Nenner bleibt bestehen.

Beim Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Nennern ist der Vorgang komplizierter. Zuerst reduzieren wir die Zahlen auf einen kleinsten Nenner (LSD).

Im folgenden Beispiel beträgt der Nenner für die Zahlen 9 und 6 18. Danach sind weitere Faktoren erforderlich. Um sie zu finden, müssen Sie 18 durch 9 teilen. So erhalten Sie die zusätzliche Zahl - 2. Wir multiplizieren sie mit dem Zähler 4, um den Bruch 8/18 zu erhalten. Dasselbe machen sie mit der zweiten Fraktion. Wir addieren bereits die umgewandelten Brüche (Ganzzahlen und Zähler getrennt, den Nenner ändern wir nicht). Im Beispiel musste die Antwort in einen echten Bruch umgewandelt werden (zunächst stellte sich heraus, dass der Zähler größer als der Nenner war).

Bitte beachten Sie, dass bei unterschiedlichen Brüchen der Aktionsalgorithmus derselbe ist.

Bei der Multiplikation von Brüchen ist es wichtig, beide unter derselben Linie zu platzieren. Wenn die Zahl gemischt ist, verwandeln wir sie in einfacher Bruch. Als nächstes multiplizieren Sie den oberen und unteren Teil und notieren Sie das Ergebnis. Wenn klar ist, dass Brüche gekürzt werden können, dann kürzen wir sie sofort.

Im obigen Beispiel mussten Sie nichts ausschneiden, Sie haben einfach die Antwort aufgeschrieben und den gesamten Teil markiert.

In diesem Beispiel mussten wir die Zahlen unter einer Zeile reduzieren. Sie können die vorgefertigte Antwort jedoch kürzen.

Beim Teilen ist der Algorithmus fast der gleiche. Zuerst wandeln wir den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um, dann schreiben wir die Zahlen unter eine Zeile und ersetzen die Division durch Multiplikation. Vergessen Sie nicht, den oberen und unteren Teil des zweiten Bruchs zu vertauschen (dies ist die Regel für die Division von Brüchen).

Bei Bedarf reduzieren wir die Zahlen (im Beispiel unten haben wir sie um fünf und zwei reduziert). Wir wandeln den unechten Bruch um, indem wir den ganzen Teil markieren.

Grundlegende Bruchaufgaben der 6. Klasse

Das Video zeigt noch ein paar weitere Aufgaben. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden grafische Darstellungen von Lösungen verwendet, um die Visualisierung von Brüchen zu erleichtern.

Beispiele für die Multiplikation von Brüchen Klasse 6 mit Erklärungen

Multiplizierende Brüche werden unter einer Zeile geschrieben. Anschließend werden sie durch Division durch die gleichen Zahlen reduziert (z. B. 15 im Nenner und 5 im Zähler können durch fünf geteilt werden).

Brüche vergleichen Klasse 6

Um Brüche zu vergleichen, müssen Sie sich zwei einfache Regeln merken.

Regel 1. Wenn die Nenner unterschiedlich sind

Regel 2. Wenn die Nenner gleich sind

Vergleichen Sie zum Beispiel die Brüche 7/12 und 2/3.

1. Wir schauen uns die Nenner an, sie stimmen nicht überein. Sie müssen also einen gemeinsamen finden.
2. Bei Brüchen ist der gemeinsame Nenner 12.
3. Wir dividieren zunächst 12 durch den unteren Teil des ersten Bruchs: 12: 12 = 1 (das ist ein zusätzlicher Faktor für den 1. Bruch).
4. Jetzt dividieren wir 12 durch 3, wir erhalten 4 - extra. Faktor der 2. Fraktion.
5. Wir multiplizieren die resultierenden Zahlen mit den Zählern, um Brüche umzuwandeln: 1 x 7 = 7 (erster Bruch: 7/12); 4 x 2 = 8 (zweiter Bruch: 8/12).
6. Jetzt können wir vergleichen: 7/12 und 8/12. Es stellte sich heraus: 7/12< 8/12.

Um Brüche besser darzustellen, können Sie zur Verdeutlichung Bilder verwenden, auf denen ein Objekt in Teile geteilt ist (z. B. ein Kuchen). Wenn Sie 4/7 und 2/3 vergleichen möchten, dann wird im ersten Fall der Kuchen in 7 Teile geteilt und 4 davon ausgewählt. Im zweiten teilen sie sich in 3 Teile und nehmen 2. Mit bloßem Auge ist klar, dass 2/3 größer als 4/7 sein werden.

Beispiele mit Brüchen Klasse 6 für das Training

Sie können die folgenden Aufgaben als Übung erledigen.

• Brüche vergleichen

• Multiplikation durchführen

Tipp: Wenn es schwierig ist, den kleinsten gemeinsamen Nenner für Brüche zu finden (insbesondere wenn ihre Werte klein sind), können Sie den Nenner des ersten und zweiten Bruchs multiplizieren. Beispiel: 2/8 und 5/9. Ihren Nenner zu finden ist einfach: Multiplizieren Sie 8 mit 9, Sie erhalten 72.

Gleichungen mit Brüchen lösen 6. Klasse

Das Lösen von Gleichungen erfordert das Erinnern an Operationen mit Brüchen: Multiplikation, Division, Subtraktion und Addition. Ist einer der Faktoren unbekannt, wird das Produkt (Gesamt) durch den bekannten Faktor dividiert, also die Brüche multipliziert (der zweite wird umgedreht).

Wenn der Dividend unbekannt ist, wird der Nenner mit dem Divisor multipliziert. Um den Divisor zu ermitteln, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.

Stellen wir uns vor einfache Beispiele Lösungen für Gleichungen:

Hier müssen Sie nur die Differenz der Brüche bilden, ohne auf einen gemeinsamen Nenner zu kommen.

Die Antwort kam als unechter Bruch heraus. Es kann in 1 Ganzes und 3/5 umgewandelt werden.

Bei der zweiten Methode wurden Zähler und Nenner mit 4 multipliziert, um den unteren Teil auszugleichen, anstatt den Nenner umzudrehen.