Ein echter Bruch ist größer oder kleiner als eins. Unechte Brüche: So lernen Sie, Beispiele damit zu lösen

Einfache mathematische Regeln und Techniken geraten, wenn sie nicht ständig angewendet werden, am schnellsten in Vergessenheit. Begriffe verschwinden noch schneller aus dem Gedächtnis.

Eine dieser einfachen Aktionen ist die Umwandlung eines unechten Bruchs in einen echten oder, mit anderen Worten, einen gemischten Bruch.

Unechter Bruch

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler (die Zahl über der Linie) größer oder gleich dem Nenner (die Zahl unter der Linie) ist. Dieser Bruch entsteht durch Addition von Brüchen oder Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl. Nach den Regeln der Mathematik muss ein solcher Bruch in einen echten umgewandelt werden.

Richtiger Bruch

Es ist logisch anzunehmen, dass alle anderen Brüche echte Brüche heißen. Eine strenge Definition besagt, dass ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist, echter Bruch genannt wird. Ein Bruch, der einen ganzzahligen Teil hat, wird manchmal als gemischter Bruch bezeichnet.

Einen unechten Bruch in einen echten Bruch umwandeln

Erster Fall: Zähler und Nenner sind einander gleich. Das Ergebnis der Umrechnung eines solchen Bruchs ist eins. Es spielt keine Rolle, ob es drei Drittel oder einhundertfünfundzwanzig einhundertfünfundzwanzig sind. Im Wesentlichen bezeichnet ein solcher Bruch die Aktion, eine Zahl durch sich selbst zu dividieren.

Zweiter Fall: Der Zähler ist größer als der Nenner. Hier müssen Sie sich an die Methode erinnern, Zahlen durch einen Rest zu dividieren.
Dazu müssen Sie die Zahl finden, die dem Zählerwert am nächsten kommt und durch den Nenner ohne Rest teilbar ist. Sie haben zum Beispiel den Bruch neunzehn Drittel. Die nächste Zahl, die durch drei geteilt werden kann, ist achtzehn. Das sind sechs. Subtrahieren Sie nun die resultierende Zahl vom Zähler. Wir bekommen eins. Das ist der Rest. Notieren Sie das Ergebnis der Umrechnung: sechs ganze und ein Drittel.

Bevor Sie jedoch einen Bruch auf die richtige Form reduzieren können, müssen Sie prüfen, ob er reduziert werden kann.
Sie können einen Bruch kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben. Das heißt, eine Zahl, durch die beide ohne Rest teilbar sind. Wenn es mehrere solcher Teiler gibt, müssen Sie den größten finden.
Beispielsweise haben alle geraden Zahlen einen solchen gemeinsamen Teiler – zwei. Und der Bruch Sechzehn-Zwölftel hat noch einen gemeinsamen Teiler – vier. Dies ist der größte Teiler. Teilen Sie Zähler und Nenner durch vier. Ergebnis der Kürzung: vier Drittel. Wandeln Sie diesen Bruch nun zur Übung in einen echten Bruch um.

Das Wort „Bruchteile“ löst bei vielen Menschen eine Gänsehaut aus. Weil ich mich an die Schule und die Aufgaben erinnere, die in Mathematik gelöst wurden. Das war eine Pflicht, die erfüllt werden musste. Was wäre, wenn Sie Probleme mit echten und unechten Brüchen wie ein Rätsel behandeln würden? Schließlich lösen viele Erwachsene digitale und japanische Kreuzworträtsel. Wir haben die Regeln herausgefunden, und das war's. Hier ist es das Gleiche. Man muss sich nur mit der Theorie befassen – und schon wird alles passen. Und die Beispiele werden zu einer Möglichkeit, Ihr Gehirn zu trainieren.

Welche Arten von Brüchen gibt es?

Beginnen wir damit, was es ist. Ein Bruch ist eine Zahl, die einen Teil von Eins hat. Es kann in zwei Formen geschrieben werden. Der erste heißt gewöhnlich. Das heißt, eine Linie mit horizontaler oder schräger Linie. Es entspricht dem Divisionszeichen.

In dieser Notation wird die Zahl über der Linie als Zähler und die Zahl darunter als Nenner bezeichnet.

Unter gewöhnlichen Brüchen werden echte und unechte Brüche unterschieden. Bei ersterem ist der Absolutwert des Zählers immer kleiner als der Nenner. Die Falschen heißen so, weil sie alles andersherum haben. Der Wert eines echten Bruchs ist immer kleiner als eins. Während die falsche Zahl immer größer als diese Zahl ist.

Es gibt auch gemischte Zahlen, also solche, die einen ganzzahligen und einen gebrochenen Teil haben.

Die zweite Art der Notation ist ein Dezimalbruch. Über sie gibt es ein gesondertes Gespräch.

Wie unterscheiden sich unechte Brüche von gemischten Zahlen?

Im Wesentlichen nichts. Es handelt sich lediglich um unterschiedliche Aufnahmen derselben Nummer. Unechte Brüche werden nach einfachen Schritten leicht zu gemischten Zahlen. Umgekehrt.

Es hängt alles von der konkreten Situation ab. Manchmal ist es bequemer, bei Aufgaben einen unechten Bruch zu verwenden. Und manchmal ist es notwendig, sie in eine gemischte Zahl umzuwandeln, und dann lässt sich das Beispiel sehr einfach lösen. Daher hängt die Verwendung von unechten Brüchen und gemischten Zahlen von der Beobachtungsfähigkeit der Person ab, die das Problem löst.

Die gemischte Zahl wird außerdem mit der Summe aus dem ganzzahligen Teil und dem gebrochenen Teil verglichen. Darüber hinaus ist der zweite Wert immer kleiner als eins.

Wie stellt man eine gemischte Zahl als unechten Bruch dar?

Wenn Sie eine Aktion mit mehreren Zahlen ausführen müssen, die in unterschiedlichen Formen geschrieben sind, müssen Sie sie gleich machen. Eine Methode besteht darin, Zahlen als unechte Brüche darzustellen.

Zu diesem Zweck müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

Multiplizieren Sie den Nenner mit dem ganzen Teil.
Addiere den Wert des Zählers zum Ergebnis.
Schreiben Sie die Antwort über die Zeile.
Lassen Sie den Nenner gleich.

Hier sind Beispiele, wie man unechte Brüche aus gemischten Zahlen schreibt:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Wie schreibe ich einen unechten Bruch als gemischte Zahl?

Die nächste Technik ist das Gegenteil der oben besprochenen. Das heißt, wenn alle gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden. Der Aktionsalgorithmus sieht wie folgt aus:

Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, um den Rest zu erhalten.
Schreiben Sie den Quotienten anstelle des ganzen Teils des gemischten Teils.
der Rest sollte über der Linie platziert werden;
Der Divisor ist der Nenner.

Beispiele für eine solche Transformation:

76/14; 76:14 = 5 mit Rest 6; die Antwort wird 5 ganze und 6/14 sein; der Bruchteil in diesem Beispiel muss um 2 reduziert werden, was 3/7 ergibt; Die endgültige Antwort lautet 5 Punkt 3/7.

108/54; nach der Division erhält man den Quotienten von 2 ohne Rest; das bedeutet, dass nicht alle unechten Brüche als gemischte Zahl dargestellt werden können; die Antwort wird eine Ganzzahl sein - 2.

Wie verwandelt man eine ganze Zahl in einen unechten Bruch?

Es gibt Situationen, in denen eine solche Maßnahme notwendig ist. Um unechte Brüche mit einem bekannten Nenner zu erhalten, müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

eine ganze Zahl mit dem gewünschten Nenner multiplizieren;
Schreiben Sie diesen Wert über die Zeile.
Platziere den Nenner darunter.

Die einfachste Möglichkeit ist, wenn der Nenner gleich eins ist. Dann brauchen Sie nichts zu multiplizieren. Es reicht aus, einfach die im Beispiel angegebene Ganzzahl zu schreiben und eine unter die Zeile zu setzen.

Beispiel: Machen Sie 5 zu einem unechten Bruch mit dem Nenner 3. Die Multiplikation von 5 mit 3 ergibt 15. Diese Zahl ist der Nenner. Die Antwort auf die Aufgabe ist ein Bruch: 15/3.

Zwei Ansätze zur Lösung von Problemen mit unterschiedlichen Zahlen

Das Beispiel erfordert die Berechnung der Summe und der Differenz sowie des Produkts und des Quotienten zweier Zahlen: 2 ganze Zahlen 3/5 und 14/11.

Im ersten Ansatz Die gemischte Zahl wird als unechter Bruch dargestellt.

Nachdem Sie die oben beschriebenen Schritte ausgeführt haben, erhalten Sie den folgenden Wert: 13/5.

Um die Summe zu ermitteln, müssen Sie die Brüche auf den gleichen Nenner reduzieren. 13/5 ergibt nach Multiplikation mit 11 143/55. Und 14/11 sieht nach der Multiplikation mit 5 wie folgt aus: 70/55. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie nur die Zähler 143 und 70 addieren und dann die Antwort mit einem Nenner aufschreiben. 213/55 – dieser unechte Bruch ist die Lösung des Problems.

Beim Ermitteln der Differenz werden die gleichen Zahlen subtrahiert: 143 - 70 = 73. Das Ergebnis ist ein Bruch: 73/55.

Wenn Sie 13/5 und 14/11 multiplizieren, müssen Sie sie nicht auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Es reicht aus, Zähler und Nenner paarweise zu multiplizieren. Die Antwort lautet: 182/55.

Das Gleiche gilt für die Teilung. Für eine korrekte Lösung müssen Sie die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor umkehren: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Im zweiten Ansatz Ein unechter Bruch wird zu einer gemischten Zahl.

Nachdem die Aktionen des Algorithmus ausgeführt wurden, wird 14/11 zu einer gemischten Zahl mit einem ganzzahligen Teil von 1 und einem Bruchteil von 3/11.

Bei der Berechnung der Summe müssen Sie die ganzen und gebrochenen Teile getrennt addieren. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Die endgültige Antwort lautet 3 Punkt 48/55. Im ersten Ansatz betrug der Bruch 213/55. Sie können die Richtigkeit überprüfen, indem Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln. Nach der Division von 213 durch 55 beträgt der Quotient 3 und der Rest 48. Es ist leicht zu erkennen, dass die Antwort richtig ist.

Beim Subtrahieren wird das „+“-Zeichen durch „-“ ersetzt. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Zur Überprüfung muss die Antwort aus dem vorherigen Ansatz in eine gemischte Zahl umgewandelt werden: 73 wird durch 55 geteilt und der Quotient ist 1 und der Rest ist 18.

Um das Produkt und den Quotienten zu ermitteln, ist es unpraktisch, gemischte Zahlen zu verwenden. Es wird immer empfohlen, hier mit unechten Brüchen fortzufahren.

Unechter Bruch

Viertel

Ordentlichkeit. A Und B Es gibt eine Regel, die es erlaubt, eine und nur eine von drei Beziehungen zwischen ihnen eindeutig zu identifizieren: „< », « >" oder " = ". Diese Regel heißt Bestellregel und ist wie folgt formuliert: zwei nichtnegative Zahlen und stehen in derselben Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen A Und B stehen in derselben Beziehung wie zwei nichtnegative Zahlen und ; wenn plötzlich A nicht negativ, aber B- also negativ A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Brüche hinzufügen
Additionsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Summationsregel C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen Menge Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat die folgende Form: .
Multiplikationsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Multiplikationsregel, was ihnen eine rationale Zahl zuweist C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen arbeiten Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel sieht so aus: .
Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen A , B Und C Wenn A weniger B Und B weniger C, Das A weniger C, und wenn A gleicht B Und B gleicht C, Das A gleicht C. 6435">Kommutativität der Addition. Das Ändern der Stellen rationaler Terme ändert nicht die Summe.
Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Anwesenheit von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die beim Hinzufügen jede andere rationale Zahl beibehält.
Das Vorhandensein entgegengesetzter Zahlen. Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine entgegengesetzte rationale Zahl, deren Addition 0 ergibt.
Kommutativität der Multiplikation. Das Ändern der Orte rationaler Faktoren verändert das Produkt nicht.
Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Verfügbarkeit der Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei der Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
Vorhandensein reziproker Zahlen. Jede rationale Zahl hat eine inverse rationale Zahl, deren Multiplikation mit 1 ergibt.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition. Die Multiplikationsoperation wird durch das Verteilungsgesetz mit der Additionsoperation koordiniert:
Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Additionsoperation. Dieselbe rationale Zahl kann auf der linken und rechten Seite einer rationalen Ungleichung hinzugefügt werden. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiom des Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist A, Sie können so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe größer ist A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

Alle anderen Eigenschaften rationaler Zahlen werden nicht als grundlegende Eigenschaften unterschieden, da sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen Grundeigenschaften oder direkt durch die Definition eines mathematischen Objekts nachgewiesen werden können . Es gibt viele solcher zusätzlichen Eigenschaften. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon aufzulisten.

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Abzählbarkeit einer Menge

Nummerierung rationaler Zahlen

Um die Anzahl rationaler Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge ermitteln. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu reicht es aus, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt.

Der einfachste dieser Algorithmen sieht so aus. Auf jedem wird eine endlose Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem J die Spalte, in der sich der Bruch befindet. Aus Gründen der Bestimmtheit wird davon ausgegangen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle beginnend mit eins nummeriert sind. Tabellenzellen werden mit , bezeichnet ich- die Nummer der Tabellenzeile, in der sich die Zelle befindet, und J- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird mit einer „Schlange“ gemäß dem folgenden formalen Algorithmus durchlaufen.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird basierend auf der ersten Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Durchlauf wird jede neue rationale Zahl einer anderen natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, der Bruch 1/1 wird der Zahl 1 zugeordnet, der Bruch 2/1 der Zahl 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Ein formales Zeichen der Irreduzibilität ist, dass der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs gleich eins ist.

Mit diesem Algorithmus können wir alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuordnet. Das. Auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen abzählbar. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch als Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen abzählbar.

Die Aussage über die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen kann einige Verwirrung stiften, da sie auf den ersten Blick viel umfangreicher zu sein scheint als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen Zahlen aufzuzählen.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks kann nicht durch eine rationale Zahl ausgedrückt werden

Rationale Zahlen der Form 1 / N im Großen und Ganzen N Es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache erweckt den irreführenden Eindruck, dass mit rationalen Zahlen beliebige geometrische Abstände gemessen werden können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt.

Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Das. Die Länge der Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit einem Einbein ist gleich, d. h. die Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Wenn wir davon ausgehen, dass eine Zahl durch eine rationale Zahl dargestellt werden kann, dann gibt es eine solche ganze Zahl M und so eine natürliche Zahl N, dass , und der Bruch ist irreduzibel, also Zahlen M Und N- gegenseitig einfach.

Beim Studium der Königin aller Wissenschaften – der Mathematik – stößt jeder irgendwann auf Brüche. Obwohl dieses Konzept (wie die Arten von Brüchen selbst oder mathematische Operationen mit ihnen) überhaupt nicht kompliziert ist, müssen Sie es sorgfältig behandeln, da es im wirklichen Leben außerhalb der Schule sehr nützlich sein wird. Lassen Sie uns also unser Wissen über Brüche auffrischen: Was sie sind, wozu sie dienen, welche Arten sie haben und wie man mit ihnen verschiedene arithmetische Operationen durchführt.

Fraktion Ihrer Majestät: Was ist das?

Brüche sind in der Mathematik Zahlen, die jeweils aus einem oder mehreren Teilen einer Einheit bestehen. Solche Brüche werden auch gewöhnliche oder einfache Brüche genannt. In der Regel werden sie in Form von zwei Zahlen geschrieben, die durch eine horizontale Linie oder einen Schrägstrich getrennt sind, man spricht von einer „Bruchlinie“. Zum Beispiel: ½, ¾.

Die obere oder erste dieser Zahlen ist der Zähler (zeigt an, aus wie vielen Teilen die Zahl besteht) und die untere oder zweite ist der Nenner (zeigt an, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist).

Der Bruchstrich fungiert eigentlich als Divisionszeichen. Beispiel: 7:9=7/9

Traditionell sind gemeinsame Brüche kleiner als eins. Während Dezimalzahlen größer sein können.

Wozu dienen Brüche? Ja, für alles, denn in der realen Welt sind nicht alle Zahlen ganze Zahlen. Zum Beispiel kauften zwei Schülerinnen in der Mensa gemeinsam eine leckere Tafel Schokolade. Als sie gerade den Nachtisch teilen wollten, trafen sie eine Freundin und beschlossen, sie ebenfalls zu verwöhnen. Nun gilt es jedoch, die Tafel Schokolade richtig zu teilen, da sie aus 12 Quadraten besteht.

Zuerst wollten die Mädchen alles gleichmäßig aufteilen, dann bekam jedes vier Stücke. Aber nachdem sie darüber nachgedacht hatten, beschlossen sie, ihrem Freund nicht 1/3, sondern 1/4 der Schokolade zu gönnen. Und da die Schülerinnen nicht gut mit Brüchen lernten, haben sie nicht berücksichtigt, dass sie in einer solchen Situation am Ende 9 Teile haben würden, die sich nur sehr schwer in zwei Teile teilen lassen. Dieses recht einfache Beispiel zeigt, wie wichtig es ist, einen Teil einer Zahl richtig finden zu können. Aber im Leben gibt es noch viel mehr solcher Fälle.

Arten von Brüchen: gewöhnlich und dezimal

Alle mathematischen Brüche sind in zwei große Kategorien unterteilt: gewöhnliche und dezimale Brüche. Die Merkmale des ersten davon wurden im vorherigen Absatz beschrieben, daher lohnt es sich nun, dem zweiten Aufmerksamkeit zu schenken.

Dezimal ist eine Positionsschreibweise eines Bruchteils einer Zahl, die durch Komma getrennt und ohne Bindestrich oder Schrägstrich geschrieben wird. Zum Beispiel: 0,75, 0,5.

Tatsächlich ist ein Dezimalbruch identisch mit einem gewöhnlichen Bruch, sein Nenner ist jedoch immer eine Eins gefolgt von Nullen – daher der Name.

Die Zahl vor dem Komma ist ein ganzzahliger Teil und alles danach ist ein Bruch. Jeder einfache Bruch kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Somit können die im vorherigen Beispiel angegebenen Dezimalbrüche wie gewohnt geschrieben werden: ¾ und ½.

Es ist erwähnenswert, dass sowohl Dezimalbrüche als auch gewöhnliche Brüche entweder positiv oder negativ sein können. Wenn ihnen ein „-“-Zeichen vorangestellt ist, ist dieser Bruch negativ, wenn „+“ ein positiver Bruch ist.

Unterarten gewöhnlicher Brüche

Es gibt diese Arten von einfachen Brüchen.

Untertypen von Dezimalbrüchen

Im Gegensatz zu einem einfachen Bruch wird ein Dezimalbruch nur in zwei Arten unterteilt.

Final – erhielt diesen Namen aufgrund der Tatsache, dass es nach dem Dezimalpunkt eine begrenzte (endliche) Anzahl von Ziffern hat: 19,25.
Ein unendlicher Bruch ist eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Wenn man beispielsweise 10 durch 3 dividiert, erhält man als Ergebnis einen unendlichen Bruch von 3,333...

Brüche hinzufügen

Verschiedene arithmetische Manipulationen mit Brüchen sind etwas schwieriger als mit gewöhnlichen Zahlen. Wenn Sie jedoch die Grundregeln verstehen, wird es nicht schwierig sein, jedes Beispiel damit zu lösen.

Zum Beispiel: 2/3+3/4. Das kleinste gemeinsame Vielfache für sie ist 12, daher ist es notwendig, dass diese Zahl in jedem Nenner enthalten ist. Dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 4, es ergibt sich 8/12, mit dem zweiten Term machen wir dasselbe, multiplizieren aber nur mit 3 - 9/12. Jetzt können Sie das Beispiel ganz einfach lösen: 8/12+9/12= 17/12. Der resultierende Bruch ist eine falsche Einheit, da der Zähler größer als der Nenner ist. Es kann und sollte durch Division von 17:12 = 1 und 5/12 in ein korrekt gemischtes umgewandelt werden.

Bei der Addition gemischter Brüche werden Operationen zunächst mit ganzen Zahlen und dann mit Brüchen ausgeführt.

Wenn das Beispiel einen Dezimalbruch und einen regulären Bruch enthält, müssen beide vereinfacht werden, sie dann auf den gleichen Nenner gebracht und addiert werden. Zum Beispiel 3.1+1/2. Die Zahl 3,1 kann als gemischter Bruch aus 3 und 1/10 oder als unechter Bruch – 31/10 – geschrieben werden. Der gemeinsame Nenner der Terme ist 10, Sie müssen also Zähler und Nenner von 1/2 abwechselnd mit 5 multiplizieren, Sie erhalten 5/10. Dann können Sie ganz einfach alles berechnen: 31/10+5/10=35/10. Das erhaltene Ergebnis ist ein unechter reduzierbarer Bruch. Wir bringen ihn in die Normalform und reduzieren ihn um 5: 7/2 = 3 und 1/2 oder dezimal - 3,5.

Bei der Addition von 2 Dezimalbrüchen ist es wichtig, dass gleich viele Nachkommastellen vorhanden sind. Ist dies nicht der Fall, müssen Sie nur die erforderliche Anzahl an Nullen hinzufügen, da dies bei einem Dezimalbruch problemlos möglich ist. Beispiel: 3,5+3,005. Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie der ersten Zahl zwei Nullen hinzufügen und dann eine nach der anderen hinzufügen: 3,500+3,005=3,505.

Brüche subtrahieren

Beim Subtrahieren von Brüchen sollten Sie genauso vorgehen wie beim Addieren: auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, einen Zähler vom anderen subtrahieren und das Ergebnis gegebenenfalls in einen gemischten Bruch umwandeln.

Zum Beispiel: 16.20.-5.10. Der gemeinsame Nenner ist 20. Sie müssen den zweiten Bruch auf diesen Nenner bringen, indem Sie beide Teile mit 2 multiplizieren. Sie erhalten 10/20. Jetzt können Sie das Beispiel lösen: 16/20-10/20= 6/20. Dieses Ergebnis gilt jedoch für reduzierbare Brüche, daher lohnt es sich, beide Seiten durch 2 zu dividieren und das Ergebnis ist 3/10.

Brüche multiplizieren

Das Dividieren und Multiplizieren von Brüchen ist viel einfacher als das Addieren und Subtrahieren. Tatsache ist, dass bei der Erfüllung dieser Aufgaben nicht nach einem gemeinsamen Nenner gesucht werden muss.

Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie lediglich beide Zähler einzeln und dann beide Nenner multiplizieren. Reduzieren Sie das resultierende Ergebnis, wenn der Bruch eine reduzierbare Größe ist.

Zum Beispiel: 4/9x5/8. Nach alternativer Multiplikation ist das Ergebnis 4x5/9x8=20/72. Dieser Bruch kann um 4 reduziert werden, sodass die endgültige Antwort im Beispiel 5/18 lautet.

So teilen Sie Brüche

Auch das Dividieren von Brüchen ist eine einfache Operation; tatsächlich kommt es immer noch darauf an, sie zu multiplizieren. Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den zweiten invertieren und mit dem ersten multiplizieren.

Zum Beispiel die Brüche 5/19 und 5/7 dividieren. Um das Beispiel zu lösen, müssen Sie Nenner und Zähler des zweiten Bruchs vertauschen und multiplizieren: 5/19x7/5=35/95. Das Ergebnis kann um 5 reduziert werden - es ergibt sich 7/19.

Wenn Sie einen Bruch durch eine Primzahl dividieren müssen, ist die Technik etwas anders. Zunächst sollten Sie diese Zahl als unechten Bruch schreiben und dann nach dem gleichen Schema dividieren. Beispielsweise sollte 2/13:5 als 2/13: 5/1 geschrieben werden. Jetzt müssen Sie 5/1 umdrehen und die resultierenden Brüche multiplizieren: 2/13x1/5= 2/65.

Manchmal muss man gemischte Brüche dividieren. Sie müssen sie wie ganze Zahlen behandeln: Wandeln Sie sie in unechte Brüche um, kehren Sie den Divisor um und multiplizieren Sie alles. Zum Beispiel 8 ½: 3. Wandeln Sie alles in unechte Brüche um: 17/2: 3/1. Darauf folgt ein 3/1-Flip und eine Multiplikation: 17/2x1/3= 17/6. Jetzt sollten Sie den unechten Bruch in den richtigen umwandeln – 2 ganze und 5/6.

Nachdem Sie also herausgefunden haben, was Brüche sind und wie Sie mit ihnen verschiedene arithmetische Operationen ausführen können, müssen Sie versuchen, es nicht zu vergessen. Schließlich neigen Menschen immer eher dazu, etwas in Teile zu zerlegen, als es hinzuzufügen. Sie müssen also in der Lage sein, es richtig zu machen.

Brüche begegnen uns im Leben viel früher, als wir in der Schule anfangen, sie zu lernen. Wenn wir einen ganzen Apfel halbieren, erhalten wir die Hälfte der Frucht. Schneiden wir es noch einmal ab – es wird ¼ sein. Das sind Brüche. Und alles schien einfach. Für einen Erwachsenen. Für ein Kind (und dieses Thema beginnt am Ende der Grundschule zu studieren) sind abstrakte mathematische Konzepte immer noch erschreckend unverständlich, und der Lehrer muss klar erklären, was ein echter und unechter Bruch, ein gemeinsamer Bruch und ein Dezimalbruch sind, welche Operationen durchgeführt werden können mit ihnen und vor allem, warum das alles nötig ist.

Was sind Brüche?

Die Einführung eines neuen Themas in der Schule beginnt mit gewöhnlichen Brüchen. Sie sind leicht an der horizontalen Linie zu erkennen, die die beiden Zahlen oben und unten trennt. Der obere wird als Zähler bezeichnet, der untere als Nenner. Es gibt auch eine Möglichkeit, unechte und echte gewöhnliche Brüche in Kleinbuchstaben zu schreiben – durch einen Schrägstrich, zum Beispiel: ½, 4/9, 384/183. Diese Option wird verwendet, wenn die Zeilenhöhe begrenzt ist und die Verwendung einer „zweistöckigen“ Eingabemaske nicht möglich ist. Warum? Ja, weil es bequemer ist. Wir werden das etwas später sehen.

Neben gewöhnlichen Brüchen gibt es auch Dezimalbrüche. Die Unterscheidung ist sehr einfach: Wird in einem Fall ein horizontaler oder Schrägstrich verwendet, wird im anderen Fall ein Komma verwendet, um Zahlenfolgen zu trennen. Schauen wir uns ein Beispiel an: 2,9; 163,34; 1.953. Wir haben bewusst ein Semikolon als Trennzeichen zur Trennung der Zahlen verwendet. Der erste von ihnen wird so lauten: „zwei Komma neun.“

Neue Konzepte

Kehren wir zu gewöhnlichen Brüchen zurück. Es gibt sie in zwei Arten.

Die Definition eines echten Bruchs lautet wie folgt: Es ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist. Warum ist es wichtig? Wir werden es jetzt sehen!

Sie haben mehrere Äpfel, halbiert. Insgesamt - 5 Teile. Wie würden Sie sagen: Haben Sie „zweieinhalb“ oder „fünfeinhalb“ Äpfel? Natürlich klingt die erste Option natürlicher und wir werden sie verwenden, wenn wir mit Freunden sprechen. Wenn wir jedoch berechnen müssen, wie viele Früchte jede Person bekommt, wenn das Unternehmen fünf Personen hat, schreiben wir die Zahl 5/2 auf und dividieren sie durch 5 – aus mathematischer Sicht wird dies klarer .

Für die Benennung echter und unechter Brüche gilt also folgende Regel: Wenn ein ganzer Teil in einem Bruch unterschieden werden kann (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), dann ist er unecht. Wenn dies nicht möglich ist, wie im Fall von ½, 13/16, 9/10, ist es richtig.

Die Haupteigenschaft eines Bruchs

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs gleichzeitig mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich sein Wert nicht. Stellen Sie sich vor: Sie haben den Kuchen in vier gleiche Teile geschnitten und Ihnen eines gegeben. Sie haben den gleichen Kuchen in acht Stücke geschnitten und dir zwei gegeben. Ist es wirklich wichtig? Schließlich sind ¼ und 2/8 dasselbe!

Die Ermäßigung

Autoren von Problemen und Beispielen in Mathematiklehrbüchern versuchen oft, Schüler zu verwirren, indem sie Brüche anbieten, die zwar umständlich zu schreiben sind, aber tatsächlich abgekürzt werden können. Hier ist ein Beispiel für einen echten Bruch: 167/334, was, wie es scheint, sehr „gruselig“ aussieht. Aber wir können es tatsächlich als ½ schreiben. Die Zahl 334 ist ohne Rest durch 167 teilbar – nach Durchführung dieser Operation erhalten wir 2.

Gemischte Zahlen

Ein unechter Bruch kann als gemischte Zahl dargestellt werden. Dabei wird der gesamte Teil nach vorne gebracht und auf der Höhe der horizontalen Linie geschrieben. Tatsächlich hat der Ausdruck die Form einer Summe: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 und so weiter.

Um den ganzen Teil herauszurechnen, müssen Sie den Zähler durch den Nenner dividieren. Schreiben Sie den Rest der Division oben über die Linie und den gesamten Teil vor den Ausdruck. Somit erhalten wir zwei Strukturteile: ganze Einheiten + echter Bruch.

Sie können auch die Umkehroperation durchführen – dazu müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner multiplizieren und den resultierenden Wert zum Zähler addieren. Nichts Kompliziertes.

Multiplikation und Division

Seltsamerweise ist das Multiplizieren von Brüchen einfacher als das Addieren. Es ist lediglich erforderlich, die horizontale Linie zu verlängern: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Auch bei der Division ist alles einfach: Sie müssen die Brüche kreuzweise multiplizieren: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Brüche hinzufügen

Was tun, wenn Sie eine Addition durchführen müssen oder der Nenner unterschiedliche Zahlen hat? Es wird nicht funktionieren, dasselbe zu tun wie bei der Multiplikation – hier sollten Sie die Definition eines echten Bruchs und sein Wesen verstehen. Es ist notwendig, die Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, das heißt, der untere Teil beider Brüche muss die gleichen Zahlen haben.

Dazu sollten Sie die Grundeigenschaft eines Bruchs nutzen: Beide Teile mit derselben Zahl multiplizieren. Zum Beispiel: 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Wie wählt man den Nenner aus, auf den die Terme reduziert werden sollen? Dies muss die Mindestzahl sein, die ein Vielfaches beider Zahlen im Nenner der Brüche ist: Für 1/3 und 1/9 ist es 9; für ½ und 1/7 - 14, weil es keinen kleineren Wert gibt, der ohne Rest durch 2 und 7 teilbar ist.

Verwendung

Wofür werden unechte Brüche verwendet? Schließlich ist es viel bequemer, gleich das ganze Teil auszuwählen, eine gemischte Nummer zu bekommen – und fertig! Es stellt sich heraus, dass es rentabler ist, unregelmäßige Brüche zu verwenden, wenn Sie zwei Brüche multiplizieren oder dividieren müssen.

Nehmen wir das folgende Beispiel: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Es scheint, dass es überhaupt nichts zu schneiden gibt. Was aber, wenn wir das Additionsergebnis in der ersten Klammer als unechten Bruch schreiben? Aussehen: (37/17) / (37/68)

Jetzt passt alles zusammen! Schreiben wir das Beispiel so, dass alles klar wird: (37*68) / (17*37).

Streichen wir 37 im Zähler und Nenner und dividieren schließlich oben und unten durch 17. Erinnern Sie sich an die Grundregel für echte und unechte Brüche? Wir können sie mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren und dividieren, solange wir dies gleichzeitig für Zähler und Nenner tun.

Wir erhalten also die Antwort: 4. Das Beispiel sah kompliziert aus, aber die Antwort enthält nur eine Zahl. Das kommt in der Mathematik häufig vor. Die Hauptsache ist, keine Angst zu haben und einfache Regeln zu befolgen.

Häufige Fehler

Bei der Umsetzung kann einem Schüler leicht einer der häufigsten Fehler unterlaufen. Normalerweise entstehen sie aufgrund von Unaufmerksamkeit und manchmal aufgrund der Tatsache, dass das untersuchte Material noch nicht richtig im Kopf gespeichert wurde.

Oftmals weckt die Summe der Zahlen im Zähler den Wunsch, die einzelnen Komponenten zu reduzieren. Sagen wir im Beispiel: (13 + 2) / 13, geschrieben ohne Klammern (mit horizontaler Linie), viele Schüler streichen aus Unerfahrenheit oben und unten 13 durch. Dies sollte aber auf keinen Fall geschehen, denn das ist ein grober Fehler! Wenn anstelle der Addition ein Multiplikationszeichen vorhanden wäre, würden wir als Antwort die Zahl 2 erhalten. Bei der Addition sind jedoch keine Operationen mit einem der Terme zulässig, sondern nur mit der gesamten Summe.

Jungs machen auch oft Fehler beim Teilen von Brüchen. Nehmen wir zwei echte irreduzible Brüche und dividieren sie durcheinander: (5/6) / (25/33). Der Schüler kann es verwechseln und den resultierenden Ausdruck als (5*25) / (6*33) schreiben. Dies würde jedoch bei der Multiplikation passieren, aber in unserem Fall wird alles etwas anders sein: (5*33) / (6*25). Wir reduzieren, was möglich ist, und die Antwort wird 11/10 sein. Den resultierenden unechten Bruch schreiben wir als Dezimalzahl – 1,1.

Klammern

Denken Sie daran, dass in jedem mathematischen Ausdruck die Reihenfolge der Operationen durch die Priorität der Operationszeichen und das Vorhandensein von Klammern bestimmt wird. Unter sonst gleichen Bedingungen wird die Reihenfolge der Aktionen von links nach rechts gezählt. Dies gilt auch für Brüche – der Ausdruck im Zähler oder Nenner wird streng nach dieser Regel berechnet.

Dies ist schließlich das Ergebnis der Division einer Zahl durch eine andere. Wenn sie nicht gleichmäßig verteilt sind, wird daraus ein Bruch – das ist alles.

Wie schreibe ich einen Bruch am Computer?

Da es mit Standardwerkzeugen nicht immer möglich ist, einen aus zwei „Stufen“ bestehenden Bruch zu erstellen, greifen Studierende manchmal auf verschiedene Tricks zurück. Sie kopieren beispielsweise die Zähler und Nenner in den Paint-Grafikeditor, kleben sie zusammen und zeichnen eine horizontale Linie dazwischen. Natürlich gibt es eine einfachere Variante, die übrigens viele zusätzliche Funktionen bietet, die Ihnen in Zukunft nützlich sein werden.

Öffnen Sie Microsoft Word. Eines der Bedienfelder oben auf dem Bildschirm heißt „Einfügen“ – klicken Sie darauf. Rechts, auf der Seite, auf der sich die Symbole zum Schließen und Minimieren des Fensters befinden, befindet sich eine Schaltfläche „Formel“. Genau das brauchen wir!

Wenn Sie diese Funktion nutzen, erscheint auf dem Bildschirm ein rechteckiger Bereich, in dem Sie alle mathematischen Zeichen verwenden können, die nicht auf der Tastatur vorhanden sind, sowie Brüche in klassischer Form schreiben können. Das heißt, Zähler und Nenner werden durch eine horizontale Linie dividiert. Sie werden vielleicht sogar überrascht sein, dass ein solcher Echtbruch so einfach zu schreiben ist.

Mathe lernen

Wenn Sie sich in der 5. bis 6. Klasse befinden, werden bald in vielen Schulfächern Mathematikkenntnisse (einschließlich der Fähigkeit, mit Brüchen zu arbeiten!) erforderlich sein. Bei fast jedem Problem der Physik, bei der Messung der Masse von Stoffen in der Chemie, in der Geometrie und Trigonometrie kommt man nicht ohne Brüche aus. Bald werden Sie lernen, alles im Kopf zu berechnen, ohne die Ausdrücke überhaupt auf Papier zu schreiben, aber es werden immer komplexere Beispiele auftauchen. Lernen Sie also, was ein richtiger Bruch ist und wie man damit arbeitet, halten Sie sich an Ihren Lehrplan, machen Sie Ihre Hausaufgaben pünktlich und Sie werden Erfolg haben.