So bestimmen Sie den richtigen oder unechten Bruch. Richtiger Bruch

Das Wort „Bruchteile“ löst bei vielen Menschen eine Gänsehaut aus. Weil ich mich an die Schule und die Aufgaben erinnere, die in Mathematik gelöst wurden. Das war eine Pflicht, die erfüllt werden musste. Was wäre, wenn Sie Probleme mit echten und unechten Brüchen wie ein Rätsel behandeln würden? Schließlich lösen viele Erwachsene digitale und japanische Kreuzworträtsel. Wir haben die Regeln herausgefunden, und das war's. Hier ist es das Gleiche. Man muss sich nur mit der Theorie befassen – und schon wird alles passen. Und die Beispiele werden zu einer Möglichkeit, Ihr Gehirn zu trainieren.

Welche Arten von Brüchen gibt es?

Beginnen wir damit, was es ist. Ein Bruch ist eine Zahl, die einen Teil von Eins hat. Es kann in zwei Formen geschrieben werden. Der erste heißt gewöhnlich. Das heißt, eine Linie mit horizontaler oder schräger Linie. Es entspricht dem Divisionszeichen.

In dieser Notation wird die Zahl über der Linie als Zähler und die Zahl darunter als Nenner bezeichnet.

Unter gewöhnlichen Brüchen werden echte und unechte Brüche unterschieden. Bei ersterem ist der Absolutwert des Zählers immer kleiner als der Nenner. Die Falschen heißen so, weil sie alles andersherum haben. Der Wert eines echten Bruchs ist immer kleiner als eins. Während die falsche Zahl immer größer als diese Zahl ist.

Es gibt auch gemischte Zahlen, also solche, die einen ganzzahligen und einen gebrochenen Teil haben.

Die zweite Art der Aufnahme ist Dezimal. Über sie gibt es ein gesondertes Gespräch.

Wie unterscheiden sich unechte Brüche von gemischten Zahlen?

Im Wesentlichen nichts. Das ist einfach anderer Eintrag die gleiche Nummer. Unechte Brüche werden nach einfachen Schritten leicht. gemischte Zahlen. Umgekehrt.

Es hängt alles von der konkreten Situation ab. Manchmal ist es bequemer, bei Aufgaben einen unechten Bruch zu verwenden. Und manchmal ist es notwendig, sie in eine gemischte Zahl umzuwandeln, und dann lässt sich das Beispiel sehr einfach lösen. Daher hängt die Verwendung von unechten Brüchen und gemischten Zahlen von der Beobachtungsfähigkeit der Person ab, die das Problem löst.

Die gemischte Zahl wird außerdem mit der Summe aus dem ganzzahligen Teil und dem gebrochenen Teil verglichen. Darüber hinaus ist der zweite Wert immer kleiner als eins.

Wie stellt man eine gemischte Zahl als unechten Bruch dar?

Wenn Sie eine Aktion mit mehreren eingeschriebenen Zahlen ausführen müssen verschiedene Typen, dann müssen Sie sie gleich machen. Eine Methode besteht darin, Zahlen als unechte Brüche darzustellen.

Zu diesem Zweck müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

Multiplizieren Sie den Nenner mit dem ganzen Teil.
Addiere den Wert des Zählers zum Ergebnis.
Schreiben Sie die Antwort über die Zeile.
Lassen Sie den Nenner gleich.

Hier sind Beispiele, wie man unechte Brüche aus gemischten Zahlen schreibt:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Wie schreibe ich einen unechten Bruch als gemischte Zahl?

Die nächste Technik ist das Gegenteil der oben besprochenen. Das heißt, wenn alle gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden. Der Aktionsalgorithmus sieht wie folgt aus:

Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, um den Rest zu erhalten.
Schreiben Sie den Quotienten anstelle des ganzen Teils des gemischten Teils.
der Rest sollte über der Linie platziert werden;
Der Divisor ist der Nenner.

Beispiele für eine solche Transformation:

76/14; 76:14 = 5 mit Rest 6; die Antwort wird 5 ganze und 6/14 sein; der Bruchteil in diesem Beispiel muss um 2 reduziert werden, was 3/7 ergibt; Die endgültige Antwort lautet 5 Punkt 3/7.

108/54; nach der Division erhält man den Quotienten von 2 ohne Rest; das bedeutet, dass nicht alle unechten Brüche als gemischte Zahl dargestellt werden können; die Antwort wird eine Ganzzahl sein - 2.

Wie verwandelt man eine ganze Zahl in einen unechten Bruch?

Es gibt Situationen, in denen eine solche Maßnahme notwendig ist. Um unechte Brüche mit einem bekannten Nenner zu erhalten, müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

eine ganze Zahl mit dem gewünschten Nenner multiplizieren;
Schreiben Sie diesen Wert über die Zeile.
Platziere den Nenner darunter.

Die einfachste Möglichkeit ist, wenn der Nenner gleich eins ist. Dann brauchen Sie nichts zu multiplizieren. Es reicht aus, einfach die im Beispiel angegebene Ganzzahl zu schreiben und eine unter die Zeile zu setzen.

Beispiel: Machen Sie 5 zu einem unechten Bruch mit dem Nenner 3. Die Multiplikation von 5 mit 3 ergibt 15. Diese Zahl ist der Nenner. Die Antwort auf die Aufgabe ist ein Bruch: 15/3.

Zwei Ansätze zur Lösung von Problemen mit unterschiedlichen Zahlen

Das Beispiel erfordert die Berechnung der Summe und der Differenz sowie des Produkts und des Quotienten zweier Zahlen: 2 ganze Zahlen 3/5 und 14/11.

Im ersten Ansatz Die gemischte Zahl wird als unechter Bruch dargestellt.

Nachdem Sie die oben beschriebenen Schritte ausgeführt haben, erhalten Sie den folgenden Wert: 13/5.

Um die Summe zu ermitteln, müssen Sie die Brüche auf den gleichen Nenner reduzieren. 13/5 ergibt nach Multiplikation mit 11 143/55. Und 14/11 sieht nach der Multiplikation mit 5 wie folgt aus: 70/55. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie nur die Zähler 143 und 70 addieren und dann die Antwort mit einem Nenner aufschreiben. 213/55 – dieses hier unechter Bruch Problemlösung.

Beim Ermitteln der Differenz werden die gleichen Zahlen subtrahiert: 143 - 70 = 73. Das Ergebnis ist ein Bruch: 73/55.

Wenn Sie 13/5 und 14/11 multiplizieren, müssen Sie sie nicht auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Es reicht aus, Zähler und Nenner paarweise zu multiplizieren. Die Antwort lautet: 182/55.

Das Gleiche gilt für die Teilung. Für die richtige Entscheidung Sie müssen die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor umkehren: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Im zweiten Ansatz Ein unechter Bruch wird zu einer gemischten Zahl.

Nachdem die Aktionen des Algorithmus ausgeführt wurden, wird 14/11 zu einer gemischten Zahl mit einem ganzzahligen Teil von 1 und einem Bruchteil von 3/11.

Bei der Berechnung der Summe müssen Sie die ganzen und gebrochenen Teile getrennt addieren. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Die endgültige Antwort lautet 3 Punkt 48/55. Im ersten Ansatz betrug der Bruch 213/55. Sie können die Richtigkeit überprüfen, indem Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln. Nach der Division von 213 durch 55 beträgt der Quotient 3 und der Rest 48. Es ist leicht zu erkennen, dass die Antwort richtig ist.

Beim Subtrahieren wird das „+“-Zeichen durch „-“ ersetzt. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Zur Überprüfung muss die Antwort aus dem vorherigen Ansatz in eine gemischte Zahl umgewandelt werden: 73 wird durch 55 geteilt und der Quotient ist 1 und der Rest ist 18.

Um das Produkt und den Quotienten zu ermitteln, ist es unpraktisch, gemischte Zahlen zu verwenden. Es wird immer empfohlen, hier mit unechten Brüchen fortzufahren.

Einfache mathematische Regeln und Techniken geraten, wenn sie nicht ständig angewendet werden, am schnellsten in Vergessenheit. Begriffe verschwinden noch schneller aus dem Gedächtnis.

Eine dieser einfachen Aktionen ist die Umwandlung eines unechten Bruchs in einen echten oder, mit anderen Worten, einen gemischten Bruch.

Unechter Bruch

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler (die Zahl über der Linie) größer oder gleich dem Nenner (die Zahl unter der Linie) ist. Dieser Bruch entsteht durch Addition von Brüchen oder Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl. Nach den Regeln der Mathematik muss ein solcher Bruch in einen echten umgewandelt werden.

Richtiger Bruch

Es ist logisch anzunehmen, dass alle anderen Brüche echte Brüche heißen. Eine strenge Definition besagt, dass ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist, als echter Bruch bezeichnet wird. Ein Bruch, der einen ganzzahligen Teil hat, wird manchmal als gemischter Bruch bezeichnet.

Einen unechten Bruch in einen echten Bruch umwandeln

Erster Fall: Zähler und Nenner sind einander gleich. Das Ergebnis der Umrechnung eines solchen Bruchs ist eins. Es spielt keine Rolle, ob es drei Drittel oder einhundertfünfundzwanzig einhundertfünfundzwanzig sind. Im Wesentlichen bezeichnet ein solcher Bruch die Aktion, eine Zahl durch sich selbst zu dividieren.

Zweiter Fall: Der Zähler ist größer als der Nenner. Hier müssen Sie sich an die Methode erinnern, Zahlen durch einen Rest zu dividieren.
Dazu müssen Sie die Zahl finden, die dem Zählerwert am nächsten kommt und durch den Nenner ohne Rest teilbar ist. Sie haben zum Beispiel den Bruch neunzehn Drittel. Die nächste Zahl, die durch drei geteilt werden kann, ist achtzehn. Das sind sechs. Subtrahieren Sie nun die resultierende Zahl vom Zähler. Wir bekommen eins. Das ist der Rest. Notieren Sie das Ergebnis der Umrechnung: sechs ganze und ein Drittel.

Aber bevor wir den Bruch reduzieren auf die richtige Art, müssen Sie prüfen, ob es gekürzt werden kann.
Sie können einen Bruch kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben. Das heißt, eine Zahl, durch die beide ohne Rest teilbar sind. Wenn es mehrere solcher Teiler gibt, müssen Sie den größten finden.
Beispielsweise haben alle geraden Zahlen einen solchen gemeinsamen Teiler – zwei. Und der Bruch Sechzehn-Zwölftel hat noch einen gemeinsamen Teiler – vier. Dies ist der größte Teiler. Teilen Sie Zähler und Nenner durch vier. Ergebnis der Kürzung: vier Drittel. Wandeln Sie diesen Bruch nun zur Übung in einen echten Bruch um.

Unechter Bruch

Viertel

Ordentlichkeit. A Und B Es gibt eine Regel, die es erlaubt, eine und nur eine von drei Beziehungen zwischen ihnen eindeutig zu identifizieren: „< », « >" oder " = ". Diese Regel heißt Bestellregel und ist wie folgt formuliert: zwei nichtnegative Zahlen und stehen in derselben Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen A Und B stehen in derselben Beziehung wie zwei nichtnegative Zahlen und ; wenn plötzlich A nicht negativ, aber B- also negativ A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Brüche hinzufügen
Additionsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Summationsregel C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen Menge Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat nächste Ansicht: .
Multiplikationsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Multiplikationsregel, was ihnen eine rationale Zahl zuweist C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen arbeiten Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel sieht so aus: .
Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen A , B Und C Wenn A weniger B Und B weniger C, Das A weniger C, und wenn A gleicht B Und B gleicht C, Das A gleicht C. 6435">Kommutativität der Addition. Das Ändern der Stellen rationaler Terme ändert nicht die Summe.
Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Anwesenheit von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die beim Hinzufügen jede andere rationale Zahl beibehält.
Das Vorhandensein entgegengesetzter Zahlen. Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine entgegengesetzte rationale Zahl, deren Addition 0 ergibt.
Kommutativität der Multiplikation. Das Ändern der Orte rationaler Faktoren verändert das Produkt nicht.
Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Verfügbarkeit der Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei der Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
Vorhandensein reziproker Zahlen. Jede rationale Zahl hat eine inverse rationale Zahl, deren Multiplikation mit 1 ergibt.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition. Die Multiplikationsoperation wird durch das Verteilungsgesetz mit der Additionsoperation koordiniert:
Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Additionsoperation. Nach links und rechte Seite Für eine rationale Ungleichung können Sie dieselbe rationale Zahl addieren. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiom des Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist A, Sie können so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe größer ist A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

Alle anderen Eigenschaften rationaler Zahlen werden nicht als grundlegende Eigenschaften unterschieden, da sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen Grundeigenschaften oder direkt durch die Definition eines mathematischen Objekts nachgewiesen werden können . Es gibt viele solcher zusätzlichen Eigenschaften. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon aufzulisten.

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Abzählbarkeit einer Menge

Nummerierung rationaler Zahlen

Um die Anzahl rationaler Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge ermitteln. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu reicht es aus, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt.

Der einfachste dieser Algorithmen sieht so aus. Es entsteht eine endlose Tabelle gewöhnliche Brüche, auf jeder ich-te Zeile in jedem J die Spalte, in der sich der Bruch befindet. Aus Gründen der Bestimmtheit wird davon ausgegangen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle beginnend mit eins nummeriert sind. Tabellenzellen werden mit , bezeichnet ich- die Nummer der Tabellenzeile, in der sich die Zelle befindet, und J- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird mit einer „Schlange“ gemäß dem folgenden formalen Algorithmus durchlaufen.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird basierend auf der ersten Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Durchlauf wird jede neue rationale Zahl mit einer anderen verknüpft natürliche Zahl. Das heißt, der Bruch 1/1 wird der Zahl 1 zugeordnet, der Bruch 2/1 der Zahl 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Ein formales Zeichen der Irreduzibilität ist, dass der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs gleich eins ist.

Mit diesem Algorithmus können wir alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuordnet. Das. Auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen abzählbar. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch als Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen abzählbar.

Die Aussage über die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen kann einige Verwirrung stiften, da sie auf den ersten Blick viel umfangreicher zu sein scheint als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen Zahlen aufzuzählen.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks kann durch niemanden ausgedrückt werden Rationale Zahl

Rationale Zahlen der Form 1 / N im Großen und Ganzen N Es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache erweckt den irreführenden Eindruck, dass mit rationalen Zahlen beliebige geometrische Abstände gemessen werden können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt.

Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Das. Länge der Hypotenuse einer gleichschenkligen rechtwinkliges Dreieck mit einem Einsbein ist gleich, d. h. eine Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Wenn wir davon ausgehen, dass eine Zahl durch eine rationale Zahl dargestellt werden kann, dann gibt es eine solche ganze Zahl M und so eine natürliche Zahl N, dass , und der Bruch ist irreduzibel, also Zahlen M Und N- gegenseitig einfach.

Richtiger Bruch

Viertel

Ordentlichkeit. A Und B Es gibt eine Regel, die es erlaubt, eine und nur eine von drei Beziehungen zwischen ihnen eindeutig zu identifizieren: „< », « >" oder " = ". Diese Regel heißt Bestellregel und ist wie folgt formuliert: zwei nichtnegative Zahlen und stehen in derselben Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen A Und B stehen in derselben Beziehung wie zwei nichtnegative Zahlen und ; wenn plötzlich A nicht negativ, aber B- also negativ A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Brüche hinzufügen
Additionsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Summationsregel C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen Menge Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat die folgende Form: .
Multiplikationsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Multiplikationsregel, was ihnen eine rationale Zahl zuweist C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen arbeiten Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel sieht so aus: .
Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen A , B Und C Wenn A weniger B Und B weniger C, Das A weniger C, und wenn A gleicht B Und B gleicht C, Das A gleicht C. 6435">Kommutativität der Addition. Das Ändern der Stellen rationaler Terme ändert nicht die Summe.
Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Anwesenheit von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die beim Hinzufügen jede andere rationale Zahl beibehält.
Das Vorhandensein entgegengesetzter Zahlen. Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine entgegengesetzte rationale Zahl, deren Addition 0 ergibt.
Kommutativität der Multiplikation. Das Ändern der Orte rationaler Faktoren verändert das Produkt nicht.
Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Verfügbarkeit der Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei der Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
Vorhandensein reziproker Zahlen. Jede rationale Zahl hat eine inverse rationale Zahl, deren Multiplikation mit 1 ergibt.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition. Die Multiplikationsoperation wird durch das Verteilungsgesetz mit der Additionsoperation koordiniert:
Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Additionsoperation. Dieselbe rationale Zahl kann auf der linken und rechten Seite einer rationalen Ungleichung hinzugefügt werden. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiom des Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist A, Sie können so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe größer ist A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

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Abzählbarkeit einer Menge

Nummerierung rationaler Zahlen

Der einfachste dieser Algorithmen sieht so aus. Auf jedem wird eine endlose Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem J die Spalte, in der sich der Bruch befindet. Aus Gründen der Bestimmtheit wird davon ausgegangen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle beginnend mit eins nummeriert sind. Tabellenzellen werden mit , bezeichnet ich- die Nummer der Tabellenzeile, in der sich die Zelle befindet, und J- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird mit einer „Schlange“ gemäß dem folgenden formalen Algorithmus durchlaufen.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird basierend auf der ersten Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Durchlauf wird jede neue rationale Zahl einer anderen natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, der Bruch 1/1 wird der Zahl 1 zugeordnet, der Bruch 2/1 der Zahl 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Ein formales Zeichen der Irreduzibilität ist, dass der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs gleich eins ist.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks kann nicht durch eine rationale Zahl ausgedrückt werden

Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Das. Die Länge der Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit einem Einbein ist gleich, d. h. die Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Wenn, dann , d.h. M 2 = 2N 2. Daher die Zahl M 2 ist gerade, aber das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, was bedeutet, dass die Zahl selbst M auch sogar. Es gibt also eine natürliche Zahl k, so dass die Zahl M kann im Formular dargestellt werden M = 2k. Zahlenquadrat M In diesem Sinne M 2 = 4k 2, aber andererseits M 2 = 2N 2 bedeutet 4 k 2 = 2N 2, oder N 2 = 2k 2. Wie bereits für die Nummer gezeigt M, das bedeutet, dass die Zahl N- sogar als M. Aber dann sind sie nicht relativ prim, da beide halbiert sind. Der daraus resultierende Widerspruch beweist, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt.

Welche Arten von Brüchen gibt es?

In dieser Notation wird die Zahl über der Linie als Zähler und die Zahl darunter als Nenner bezeichnet.

Es gibt auch gemischte Zahlen, also solche, die einen ganzzahligen und einen gebrochenen Teil haben.

Die zweite Art der Notation ist ein Dezimalbruch. Über sie gibt es ein gesondertes Gespräch.

Wie unterscheiden sich unechte Brüche von gemischten Zahlen?

Im Wesentlichen nichts. Es handelt sich lediglich um unterschiedliche Aufnahmen derselben Nummer. Unechte Brüche werden nach einfachen Schritten leicht zu gemischten Zahlen. Umgekehrt.

Die gemischte Zahl wird außerdem mit der Summe aus dem ganzzahligen Teil und dem gebrochenen Teil verglichen. Darüber hinaus ist der zweite Wert immer kleiner als eins.

Wie stellt man eine gemischte Zahl als unechten Bruch dar?

Wenn Sie eine Aktion mit mehreren Zahlen ausführen müssen, die in unterschiedlichen Formen geschrieben sind, müssen Sie sie gleich machen. Eine Methode besteht darin, Zahlen als unechte Brüche darzustellen.

Zu diesem Zweck müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

Multiplizieren Sie den Nenner mit dem ganzen Teil.
Addiere den Wert des Zählers zum Ergebnis.
Schreiben Sie die Antwort über die Zeile.
Lassen Sie den Nenner gleich.

Hier sind Beispiele, wie man unechte Brüche aus gemischten Zahlen schreibt:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Wie schreibe ich einen unechten Bruch als gemischte Zahl?

Die nächste Technik ist das Gegenteil der oben besprochenen. Das heißt, wenn alle gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden. Der Aktionsalgorithmus sieht wie folgt aus:

Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, um den Rest zu erhalten.
Schreiben Sie den Quotienten anstelle des ganzen Teils des gemischten Teils.
der Rest sollte über der Linie platziert werden;
Der Divisor ist der Nenner.

Beispiele für eine solche Transformation:

76/14; 76:14 = 5 mit Rest 6; die Antwort wird 5 ganze und 6/14 sein; der Bruchteil in diesem Beispiel muss um 2 reduziert werden, was 3/7 ergibt; Die endgültige Antwort lautet 5 Punkt 3/7.

Wie verwandelt man eine ganze Zahl in einen unechten Bruch?

Es gibt Situationen, in denen eine solche Maßnahme notwendig ist. Um unechte Brüche mit einem bekannten Nenner zu erhalten, müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen:

eine ganze Zahl mit dem gewünschten Nenner multiplizieren;
Schreiben Sie diesen Wert über die Zeile.
Platziere den Nenner darunter.

Beispiel: Machen Sie 5 zu einem unechten Bruch mit dem Nenner 3. Die Multiplikation von 5 mit 3 ergibt 15. Diese Zahl ist der Nenner. Die Antwort auf die Aufgabe ist ein Bruch: 15/3.

Zwei Ansätze zur Lösung von Problemen mit unterschiedlichen Zahlen

Das Beispiel erfordert die Berechnung der Summe und der Differenz sowie des Produkts und des Quotienten zweier Zahlen: 2 ganze Zahlen 3/5 und 14/11.

Im ersten Ansatz Die gemischte Zahl wird als unechter Bruch dargestellt.

Nachdem Sie die oben beschriebenen Schritte ausgeführt haben, erhalten Sie den folgenden Wert: 13/5.

Beim Ermitteln der Differenz werden die gleichen Zahlen subtrahiert: 143 - 70 = 73. Das Ergebnis ist ein Bruch: 73/55.

Wenn Sie 13/5 und 14/11 multiplizieren, müssen Sie sie nicht auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Es reicht aus, Zähler und Nenner paarweise zu multiplizieren. Die Antwort lautet: 182/55.

Das Gleiche gilt für die Teilung. Für eine korrekte Lösung müssen Sie die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor umkehren: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Im zweiten Ansatz Ein unechter Bruch wird zu einer gemischten Zahl.

Nachdem die Aktionen des Algorithmus ausgeführt wurden, wird 14/11 zu einer gemischten Zahl mit einem ganzzahligen Teil von 1 und einem Bruchteil von 3/11.

Um das Produkt und den Quotienten zu ermitteln, ist es unpraktisch, gemischte Zahlen zu verwenden. Es wird immer empfohlen, hier mit unechten Brüchen fortzufahren.