Echter Bruch 1. Was ist ein echter Bruch? Echte und unechte Brüche: Regeln

Beim Studium der Königin aller Wissenschaften – der Mathematik – stößt jeder irgendwann auf Brüche. Obwohl dieses Konzept (wie auch die Arten von Brüchen selbst oder mathematische Operationen mit ihnen) überhaupt nicht kompliziert ist, muss es sorgfältig behandelt werden, denn in wahres Leben Außerhalb der Schule wird es sehr nützlich sein. Lassen Sie uns also unser Wissen über Brüche auffrischen: Was sie sind, wozu sie dienen, welche Arten sie haben und wie man mit ihnen verschiedene arithmetische Operationen durchführt.

Fraktion Ihrer Majestät: Was ist das?

Brüche sind in der Mathematik Zahlen, die jeweils aus einem oder mehreren Teilen einer Einheit bestehen. Solche Brüche werden auch gewöhnliche oder einfache Brüche genannt. In der Regel werden sie in Form von zwei Zahlen geschrieben, die durch eine horizontale Linie oder einen Schrägstrich getrennt sind, man spricht von einer „Bruchlinie“. Zum Beispiel: ½, ¾.

Die obere oder erste dieser Zahlen ist der Zähler (zeigt an, aus wie vielen Teilen die Zahl besteht) und die untere oder zweite ist der Nenner (zeigt an, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist).

Der Bruchstrich fungiert eigentlich als Divisionszeichen. Beispiel: 7:9=7/9

Traditionell sind gemeinsame Brüche kleiner als eins. Während Dezimalzahlen größer sein können.

Wozu dienen Brüche? Ja, für alles, denn in der realen Welt sind nicht alle Zahlen ganze Zahlen. Zum Beispiel kauften zwei Schülerinnen in der Mensa gemeinsam eine leckere Tafel Schokolade. Als sie gerade den Nachtisch teilen wollten, trafen sie eine Freundin und beschlossen, sie ebenfalls zu verwöhnen. Nun gilt es jedoch, die Tafel Schokolade richtig zu teilen, da sie aus 12 Quadraten besteht.

Zuerst wollten die Mädchen alles gleichmäßig aufteilen, dann bekam jedes vier Stücke. Aber nachdem sie darüber nachgedacht hatten, beschlossen sie, ihrem Freund nicht 1/3, sondern 1/4 der Schokolade zu gönnen. Und da die Schülerinnen nicht gut mit Brüchen lernten, haben sie nicht berücksichtigt, dass sie in einer solchen Situation am Ende 9 Teile haben würden, die sich nur sehr schwer in zwei Teile teilen lassen. Dieses recht einfache Beispiel zeigt, wie wichtig es ist, einen Teil einer Zahl richtig finden zu können. Aber im Leben ähnliche Fälle viel mehr.

Arten von Brüchen: gewöhnlich und dezimal

Alle mathematischen Brüche sind in zwei große Kategorien unterteilt: gewöhnliche und dezimale Brüche. Die Merkmale des ersten davon wurden im vorherigen Absatz beschrieben, daher lohnt es sich nun, dem zweiten Aufmerksamkeit zu schenken.

Dezimal ist eine Positionsschreibweise eines Bruchteils einer Zahl, die durch Komma getrennt und ohne Bindestrich oder Schrägstrich geschrieben wird. Zum Beispiel: 0,75, 0,5.

Tatsächlich ist ein Dezimalbruch identisch mit einem gewöhnlichen Bruch, sein Nenner ist jedoch immer eine Eins gefolgt von Nullen – daher der Name.

Die Zahl vor dem Komma ist ein ganzzahliger Teil und alles danach ist ein Bruch. ich liebe es einfacher Bruch kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. So, wie im vorherigen Beispiel angegeben Dezimalstellen kann wie gewohnt geschrieben werden: ¾ und ½.

Es ist erwähnenswert, dass sowohl Dezimalbrüche als auch gewöhnliche Brüche entweder positiv oder negativ sein können. Wenn ihnen ein „-“-Zeichen vorangestellt ist, ist dieser Bruch negativ, wenn „+“ ein positiver Bruch ist.

Unterarten gewöhnlicher Brüche

Es gibt diese Arten von einfachen Brüchen.

Untertypen von Dezimalbrüchen

Im Gegensatz zu einem einfachen Bruch wird ein Dezimalbruch nur in zwei Arten unterteilt.

Final – erhielt diesen Namen aufgrund der Tatsache, dass es nach dem Dezimalpunkt eine begrenzte (endliche) Anzahl von Ziffern hat: 19,25.
Ein unendlicher Bruch ist eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Wenn man beispielsweise 10 durch 3 dividiert, erhält man als Ergebnis einen unendlichen Bruch von 3,333...

Brüche hinzufügen

Verschiedene arithmetische Manipulationen mit Brüchen sind etwas schwieriger als mit gewöhnlichen Zahlen. Wenn Sie jedoch die Grundregeln verstehen, wird es nicht schwierig sein, jedes Beispiel damit zu lösen.

Zum Beispiel: 2/3+3/4. Das kleinste gemeinsame Vielfache für sie ist 12, daher ist es notwendig, dass diese Zahl in jedem Nenner enthalten ist. Dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 4, es ergibt sich 8/12, mit dem zweiten Term machen wir dasselbe, multiplizieren aber nur mit 3 - 9/12. Jetzt können Sie das Beispiel ganz einfach lösen: 8/12+9/12= 17/12. Der resultierende Bruch ist eine falsche Einheit, da der Zähler größer als der Nenner ist. Es kann und sollte durch Division von 17:12 = 1 und 5/12 in ein korrekt gemischtes umgewandelt werden.

Bei der Addition gemischter Brüche werden Operationen zunächst mit ganzen Zahlen und dann mit Brüchen ausgeführt.

Wenn das Beispiel einen Dezimalbruch und einen regulären Bruch enthält, müssen beide vereinfacht werden, sie dann auf den gleichen Nenner gebracht und addiert werden. Zum Beispiel 3.1+1/2. Die Zahl 3.1 kann geschrieben werden als gemischte Fraktion 3 und 1/10 oder als falsch - 31/10. Der gemeinsame Nenner der Terme ist 10, Sie müssen also Zähler und Nenner von 1/2 abwechselnd mit 5 multiplizieren, Sie erhalten 5/10. Dann können Sie ganz einfach alles berechnen: 31/10+5/10=35/10. Das erhaltene Ergebnis ist ein unechter reduzierbarer Bruch. Wir bringen ihn in die Normalform und reduzieren ihn um 5: 7/2 = 3 und 1/2 oder dezimal - 3,5.

Bei der Addition von 2 Dezimalbrüchen ist es wichtig, dass gleich viele Nachkommastellen vorhanden sind. Wenn dies nicht der Fall ist, müssen Sie nur hinzufügen erforderliche Menge Nullen, weil dies in Dezimalbrüchen problemlos möglich ist. Beispiel: 3,5+3,005. Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie der ersten Zahl zwei Nullen hinzufügen und dann eine nach der anderen hinzufügen: 3,500+3,005=3,505.

Brüche subtrahieren

Beim Subtrahieren von Brüchen sollten Sie genauso vorgehen wie beim Addieren: auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, einen Zähler vom anderen subtrahieren und das Ergebnis gegebenenfalls in einen gemischten Bruch umwandeln.

Zum Beispiel: 16.20.-5.10. Der gemeinsame Nenner ist 20. Sie müssen den zweiten Bruch auf diesen Nenner bringen, indem Sie beide Teile mit 2 multiplizieren. Sie erhalten 10/20. Jetzt können Sie das Beispiel lösen: 16/20-10/20= 6/20. Dieses Ergebnis gilt jedoch für reduzierbare Brüche, daher lohnt es sich, beide Seiten durch 2 zu dividieren und das Ergebnis ist 3/10.

Brüche multiplizieren

Das Dividieren und Multiplizieren von Brüchen ist viel einfacher als das Addieren und Subtrahieren. Tatsache ist, dass bei der Erfüllung dieser Aufgaben nicht nach einem gemeinsamen Nenner gesucht werden muss.

Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie lediglich beide Zähler einzeln und dann beide Nenner multiplizieren. Reduzieren Sie das resultierende Ergebnis, wenn der Bruch eine reduzierbare Größe ist.

Zum Beispiel: 4/9x5/8. Nach alternativer Multiplikation ist das Ergebnis 4x5/9x8=20/72. Dieser Bruch kann um 4 reduziert werden, sodass die endgültige Antwort im Beispiel 5/18 lautet.

So teilen Sie Brüche

Auch das Dividieren von Brüchen ist eine einfache Operation; tatsächlich kommt es immer noch darauf an, sie zu multiplizieren. Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den zweiten invertieren und mit dem ersten multiplizieren.

Zum Beispiel die Brüche 5/19 und 5/7 dividieren. Um das Beispiel zu lösen, müssen Sie Nenner und Zähler des zweiten Bruchs vertauschen und multiplizieren: 5/19x7/5=35/95. Das Ergebnis kann um 5 reduziert werden - es ergibt sich 7/19.

Wenn Sie einen Bruch durch eine Primzahl dividieren müssen, ist die Technik etwas anders. Zunächst sollten Sie diese Zahl als unechten Bruch schreiben und dann nach dem gleichen Schema dividieren. Beispielsweise sollte 2/13:5 als 2/13: 5/1 geschrieben werden. Jetzt müssen Sie 5/1 umdrehen und die resultierenden Brüche multiplizieren: 2/13x1/5= 2/65.

Manchmal muss man gemischte Brüche dividieren. Sie müssen sie wie ganze Zahlen behandeln: Wandeln Sie sie in unechte Brüche um, kehren Sie den Divisor um und multiplizieren Sie alles. Zum Beispiel 8 ½: 3. Wandeln Sie alles in unechte Brüche um: 17/2: 3/1. Darauf folgt ein 3/1-Flip und eine Multiplikation: 17/2x1/3= 17/6. Jetzt sollten Sie den unechten Bruch in den richtigen umwandeln – 2 ganze und 5/6.

Nachdem Sie also herausgefunden haben, was Brüche sind und wie Sie mit ihnen verschiedene arithmetische Operationen ausführen können, müssen Sie versuchen, es nicht zu vergessen. Schließlich neigen Menschen immer eher dazu, etwas in Teile zu zerlegen, als es hinzuzufügen. Sie müssen also in der Lage sein, es richtig zu machen.

Richtiger Bruch

Viertel

Ordentlichkeit. A Und B Es gibt eine Regel, die es erlaubt, eine und nur eine von drei Beziehungen zwischen ihnen eindeutig zu identifizieren: „< », « >" oder " = ". Diese Regel heißt Bestellregel und ist wie folgt formuliert: zwei nichtnegative Zahlen und stehen in derselben Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen A Und B stehen in derselben Beziehung wie zwei nichtnegative Zahlen und ; wenn plötzlich A nicht negativ, aber B- also negativ A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Brüche hinzufügen
Additionsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Summationsregel C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen Menge Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat nächste Ansicht: .
Multiplikationsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Multiplikationsregel, was ihnen eine rationale Zahl zuweist C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen arbeiten Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel sieht so aus: .
Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen A , B Und C Wenn A weniger B Und B weniger C, Das A weniger C, und wenn A gleicht B Und B gleicht C, Das A gleicht C. 6435">Kommutativität der Addition. Das Ändern der Stellen rationaler Terme ändert nicht die Summe.
Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Anwesenheit von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die beim Hinzufügen jede andere rationale Zahl beibehält.
Das Vorhandensein entgegengesetzter Zahlen. Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine entgegengesetzte rationale Zahl, deren Addition 0 ergibt.
Kommutativität der Multiplikation. Das Ändern der Orte rationaler Faktoren verändert das Produkt nicht.
Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Verfügbarkeit der Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei der Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
Vorhandensein reziproker Zahlen. Jede rationale Zahl hat eine inverse rationale Zahl, deren Multiplikation mit 1 ergibt.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition. Die Multiplikationsoperation wird durch das Verteilungsgesetz mit der Additionsoperation koordiniert:
Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Additionsoperation. Nach links und rechte Seite Für eine rationale Ungleichung können Sie dieselbe rationale Zahl addieren. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiom des Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist A, Sie können so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe größer ist A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

Alle anderen Eigenschaften rationaler Zahlen werden nicht als grundlegende Eigenschaften unterschieden, da sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen Grundeigenschaften oder direkt durch die Definition eines mathematischen Objekts nachgewiesen werden können . Es gibt viele solcher zusätzlichen Eigenschaften. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon aufzulisten.

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Abzählbarkeit einer Menge

Nummerierung rationaler Zahlen

Um die Anzahl rationaler Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge ermitteln. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu reicht es aus, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt.

Der einfachste dieser Algorithmen sieht so aus. Es entsteht eine endlose Tabelle gewöhnliche Brüche, auf jeder ich-te Zeile in jedem J die Spalte, in der sich der Bruch befindet. Aus Gründen der Bestimmtheit wird davon ausgegangen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle beginnend mit eins nummeriert sind. Tabellenzellen werden mit , bezeichnet ich- die Nummer der Tabellenzeile, in der sich die Zelle befindet, und J- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird mit einer „Schlange“ gemäß dem folgenden formalen Algorithmus durchlaufen.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird basierend auf der ersten Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Durchlauf wird jede neue rationale Zahl mit einer anderen verknüpft natürliche Zahl. Das heißt, der Bruch 1/1 wird der Zahl 1 zugeordnet, der Bruch 2/1 der Zahl 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Ein formales Zeichen der Irreduzibilität ist, dass der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs gleich eins ist.

Mit diesem Algorithmus können wir alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuordnet. Das. Auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen abzählbar. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch als Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen abzählbar.

Die Aussage über die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen kann einige Verwirrung stiften, da sie auf den ersten Blick viel umfangreicher zu sein scheint als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen Zahlen aufzuzählen.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks kann durch niemanden ausgedrückt werden Rationale Zahl

Rationale Zahlen der Form 1 / N im Großen und Ganzen N Es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache erweckt den irreführenden Eindruck, dass mit rationalen Zahlen beliebige geometrische Abstände gemessen werden können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt.

Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Das. Länge der Hypotenuse einer gleichschenkligen rechtwinkliges Dreieck mit einem Einsbein ist gleich, d. h. eine Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Wenn wir davon ausgehen, dass eine Zahl durch eine rationale Zahl dargestellt werden kann, dann gibt es eine solche ganze Zahl M und so eine natürliche Zahl N, dass , und der Bruch ist irreduzibel, also Zahlen M Und N- gegenseitig einfach.

Wenn, dann , d.h. M 2 = 2N 2. Daher die Zahl M 2 ist gerade, aber das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, was bedeutet, dass die Zahl selbst M auch sogar. Es gibt also eine natürliche Zahl k, so dass die Zahl M kann im Formular dargestellt werden M = 2k. Zahlenquadrat M In diesem Sinne M 2 = 4k 2, aber andererseits M 2 = 2N 2 bedeutet 4 k 2 = 2N 2, oder N 2 = 2k 2. Wie bereits für die Nummer gezeigt M, das bedeutet, dass die Zahl N- sogar als M. Aber dann sind sie nicht relativ prim, da beide halbiert sind. Der daraus resultierende Widerspruch beweist, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt.

Brüche begegnen uns im Leben viel früher, als wir in der Schule anfangen, sie zu lernen. Wenn wir einen ganzen Apfel halbieren, erhalten wir die Hälfte der Frucht. Schneiden wir es noch einmal ab – es wird ¼ sein. Das sind Brüche. Und alles schien einfach. Für einen Erwachsenen. Für das Kind (und dieses Thema Wenn man am Ende der Grundschule mit dem Lernen beginnt, sind abstrakte mathematische Konzepte immer noch erschreckend unverständlich, und der Lehrer muss klar erklären, was richtiger Bruch und unregelmäßig, gewöhnlich und dezimal, welche Operationen damit durchgeführt werden können und vor allem, warum das alles notwendig ist.

Was sind Brüche?

Kennenlernen neues Thema In der Schule beginnt man mit gewöhnlichen Brüchen. Sie sind leicht an der horizontalen Linie zu erkennen, die die beiden Zahlen oben und unten trennt. Der obere wird als Zähler bezeichnet, der untere als Nenner. Es gibt auch eine Möglichkeit, unechte und echte gewöhnliche Brüche in Kleinbuchstaben zu schreiben – durch einen Schrägstrich, zum Beispiel: ½, 4/9, 384/183. Diese Option wird verwendet, wenn die Zeilenhöhe begrenzt ist und die Verwendung einer „zweistöckigen“ Eingabemaske nicht möglich ist. Warum? Ja, weil es bequemer ist. Wir werden das etwas später sehen.

Neben gewöhnlichen Brüchen gibt es auch Dezimalbrüche. Die Unterscheidung ist sehr einfach: Wird in einem Fall ein horizontaler oder Schrägstrich verwendet, wird im anderen Fall ein Komma verwendet, um Zahlenfolgen zu trennen. Schauen wir uns ein Beispiel an: 2,9; 163,34; 1.953. Wir haben bewusst ein Semikolon als Trennzeichen zur Trennung der Zahlen verwendet. Der erste von ihnen wird so lauten: „zwei Komma neun.“

Neue Konzepte

Kehren wir zu gewöhnlichen Brüchen zurück. Es gibt sie in zwei Arten.

Die Definition eines echten Bruchs lautet wie folgt: Es ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist. Warum ist es wichtig? Wir werden es jetzt sehen!

Sie haben mehrere Äpfel, halbiert. Insgesamt - 5 Teile. Wie würden Sie sagen: Haben Sie „zweieinhalb“ oder „fünfeinhalb“ Äpfel? Natürlich klingt die erste Option natürlicher und wir werden sie verwenden, wenn wir mit Freunden sprechen. Wenn wir jedoch berechnen müssen, wie viele Früchte jede Person bekommt, wenn das Unternehmen fünf Personen hat, schreiben wir die Zahl 5/2 auf und dividieren sie durch 5 – aus mathematischer Sicht wird dies klarer .

Für die Benennung echter und unechter Brüche gilt also folgende Regel: Wenn ein ganzer Teil in einem Bruch unterschieden werden kann (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), dann ist er unregelmäßig. Wenn dies nicht möglich ist, wie im Fall von ½, 13/16, 9/10, ist es richtig.

Die Haupteigenschaft eines Bruchs

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs gleichzeitig mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich sein Wert nicht. Stellen Sie sich vor: Sie haben den Kuchen in vier gleiche Teile geschnitten und Ihnen eines gegeben. Sie haben den gleichen Kuchen in acht Stücke geschnitten und dir zwei gegeben. Ist es wirklich wichtig? Schließlich sind ¼ und 2/8 dasselbe!

Die Ermäßigung

Autoren von Problemen und Beispielen in Mathematiklehrbüchern versuchen oft, Schüler zu verwirren, indem sie Brüche anbieten, die zwar umständlich zu schreiben sind, aber tatsächlich abgekürzt werden können. Hier ist ein Beispiel für einen echten Bruch: 167/334, was, wie es scheint, sehr „gruselig“ aussieht. Aber wir können es tatsächlich als ½ schreiben. Die Zahl 334 ist ohne Rest durch 167 teilbar – nach Durchführung dieser Operation erhalten wir 2.

Gemischte Zahlen

Ein unechter Bruch kann als gemischte Zahl dargestellt werden. Dabei wird der gesamte Teil nach vorne gebracht und auf der Höhe der horizontalen Linie geschrieben. Tatsächlich hat der Ausdruck die Form einer Summe: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 und so weiter.

Um den ganzen Teil herauszurechnen, müssen Sie den Zähler durch den Nenner dividieren. Schreiben Sie den Rest der Division oben über die Linie und den gesamten Teil vor den Ausdruck. Somit erhalten wir zwei Strukturteile: ganze Einheiten + echter Bruch.

Sie können auch die Umkehroperation durchführen – dazu müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner multiplizieren und den resultierenden Wert zum Zähler addieren. Nichts Kompliziertes.

Multiplikation und Division

Seltsamerweise ist das Multiplizieren von Brüchen einfacher als das Addieren. Es ist lediglich erforderlich, die horizontale Linie zu verlängern: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Auch bei der Division ist alles einfach: Sie müssen die Brüche kreuzweise multiplizieren: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Brüche hinzufügen

Was ist zu tun, wenn Sie eine Addition oder deren Nenner durchführen müssen? verschiedene Zahlen? Es wird nicht funktionieren, dasselbe zu tun wie bei der Multiplikation – hier sollten Sie die Definition eines echten Bruchs und sein Wesen verstehen. Es ist notwendig, die Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, das heißt, der untere Teil beider Brüche sollte die gleichen Zahlen haben.

Dazu sollten Sie die Grundeigenschaft eines Bruchs nutzen: Beide Teile mit derselben Zahl multiplizieren. Zum Beispiel: 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Wie wählt man den Nenner aus, auf den die Terme reduziert werden sollen? Dies muss die Mindestzahl sein, die ein Vielfaches beider Zahlen im Nenner der Brüche ist: Für 1/3 und 1/9 ist es 9; für ½ und 1/7 - 14, weil es keinen kleineren Wert gibt, der ohne Rest durch 2 und 7 teilbar ist.

Verwendung

Wofür werden unechte Brüche verwendet? Schließlich ist es viel bequemer, gleich das ganze Teil auszuwählen, eine gemischte Nummer zu bekommen – und fertig! Es stellt sich heraus, dass es rentabler ist, unregelmäßige Brüche zu verwenden, wenn Sie zwei Brüche multiplizieren oder dividieren müssen.

Nehmen wir das folgende Beispiel: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Es scheint, dass es überhaupt nichts zu schneiden gibt. Was aber, wenn wir das Additionsergebnis in der ersten Klammer als unechten Bruch schreiben? Aussehen: (37/17) / (37/68)

Jetzt passt alles zusammen! Schreiben wir das Beispiel so, dass alles klar wird: (37*68) / (17*37).

Streichen wir 37 im Zähler und Nenner und dividieren schließlich oben und unten durch 17. Erinnern Sie sich an die Grundregel für echte und unechte Brüche? Wir können sie mit jeder beliebigen Zahl multiplizieren und dividieren, solange wir dies gleichzeitig für Zähler und Nenner tun.

Wir erhalten also die Antwort: 4. Das Beispiel sah kompliziert aus, aber die Antwort enthält nur eine Zahl. Das kommt in der Mathematik häufig vor. Die Hauptsache ist, keine Angst zu haben und einfache Regeln zu befolgen.

Häufige Fehler

Bei der Umsetzung kann einem Schüler leicht einer der häufigsten Fehler unterlaufen. Normalerweise entstehen sie aufgrund von Unaufmerksamkeit und manchmal aufgrund der Tatsache, dass das untersuchte Material noch nicht richtig im Kopf gespeichert wurde.

Oftmals weckt die Summe der Zahlen im Zähler den Wunsch, die einzelnen Komponenten zu reduzieren. Sagen wir im Beispiel: (13 + 2) / 13, geschrieben ohne Klammern (mit horizontaler Linie), viele Schüler streichen aus Unerfahrenheit oben und unten 13 durch. Dies sollte aber auf keinen Fall geschehen, denn das ist ein grober Fehler! Wenn anstelle der Addition ein Multiplikationszeichen vorhanden wäre, würden wir als Antwort die Zahl 2 erhalten. Bei der Addition sind jedoch keine Operationen mit einem der Terme zulässig, sondern nur mit der gesamten Summe.

Jungs machen auch oft Fehler beim Teilen von Brüchen. Nehmen wir zwei echte irreduzible Brüche und dividieren sie durcheinander: (5/6) / (25/33). Der Schüler kann es verwechseln und den resultierenden Ausdruck als (5*25) / (6*33) schreiben. Dies würde jedoch bei der Multiplikation passieren, aber in unserem Fall wird alles etwas anders sein: (5*33) / (6*25). Wir reduzieren, was möglich ist, und die Antwort wird 11/10 sein. Den resultierenden unechten Bruch schreiben wir als Dezimalzahl – 1,1.

Klammern

Denken Sie daran, dass in jedem mathematischen Ausdruck die Reihenfolge der Operationen durch die Priorität der Operationszeichen und das Vorhandensein von Klammern bestimmt wird. Unter sonst gleichen Bedingungen wird die Reihenfolge der Aktionen von links nach rechts gezählt. Dies gilt auch für Brüche – der Ausdruck im Zähler oder Nenner wird streng nach dieser Regel berechnet.

Dies ist schließlich das Ergebnis der Division einer Zahl durch eine andere. Wenn sie nicht gleichmäßig verteilt sind, wird daraus ein Bruch – das ist alles.

Wie schreibe ich einen Bruch am Computer?

Da es mit Standardwerkzeugen nicht immer möglich ist, einen aus zwei „Stufen“ bestehenden Bruch zu erstellen, greifen Studierende manchmal auf verschiedene Tricks zurück. Sie kopieren beispielsweise die Zähler und Nenner in den Paint-Grafikeditor, kleben sie zusammen und zeichnen eine horizontale Linie dazwischen. Natürlich gibt es eine einfachere Variante, die übrigens einiges bietet Zusatzfunktionen, was Ihnen in Zukunft nützlich sein wird.

Öffnen Sie Microsoft Word. Eines der Bedienfelder oben auf dem Bildschirm heißt „Einfügen“ – klicken Sie darauf. Rechts, auf der Seite, auf der sich die Symbole zum Schließen und Minimieren des Fensters befinden, befindet sich eine Schaltfläche „Formel“. Genau das brauchen wir!

Wenn Sie diese Funktion verwenden, erscheint auf dem Bildschirm ein rechteckiger Bereich, in dem Sie alle mathematischen Symbole verwenden können, die nicht auf der Tastatur vorhanden sind, sowie Brüche eingeben können klassische Form. Das heißt, Zähler und Nenner werden durch eine horizontale Linie dividiert. Sie werden vielleicht sogar überrascht sein, dass ein solcher Echtbruch so einfach zu schreiben ist.

Mathe lernen

Wenn Sie sich in der 5. bis 6. Klasse befinden, werden bald in vielen Schulfächern Mathematikkenntnisse (einschließlich der Fähigkeit, mit Brüchen zu arbeiten!) erforderlich sein. Bei fast jedem Problem der Physik, bei der Messung der Masse von Stoffen in der Chemie, in der Geometrie und Trigonometrie kommt man nicht ohne Brüche aus. Bald werden Sie lernen, alles im Kopf zu berechnen, ohne Ausdrücke auf Papier zu schreiben, sondern immer mehr komplexe Beispiele. Erfahren Sie daher, was ein echter Bruch ist und wie man damit arbeitet, und bleiben Sie auf dem Laufenden Lehrplan Machen Sie Ihre Hausaufgaben rechtzeitig und Sie werden Erfolg haben.

Dieser Artikel ist über gemeinsame Brüche. Hier führen wir das Konzept eines Bruchs eines Ganzen ein, was uns zur Definition eines gemeinsamen Bruchs führt. Als nächstes werden wir uns mit der akzeptierten Schreibweise für gewöhnliche Brüche befassen und Beispiele für Brüche geben, sagen wir zum Zähler und Nenner eines Bruchs. Danach geben wir Definitionen von echten und unechten, positiven und negativen Brüchen und betrachten auch die Stellung von Bruchzahlen Koordinatenstrahl. Abschließend listen wir die wichtigsten Operationen mit Brüchen auf.

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Anteile am Ganzen

Zuerst stellen wir vor Konzept des Teilens.

Nehmen wir an, dass wir ein Objekt haben, das aus mehreren absolut identischen (also gleichen) Teilen besteht. Der Übersichtlichkeit halber können Sie sich zum Beispiel einen in mehrere Teile geschnittenen Apfel vorstellen gleiche Teile oder eine Orange, die aus mehreren gleichen Segmenten besteht. Jeder dieser gleichen Teile, aus denen das gesamte Objekt besteht, wird aufgerufen Teile des Ganzen oder einfach Anteile.

Beachten Sie, dass die Anteile unterschiedlich sind. Lassen Sie uns das erklären. Lass uns zwei Äpfel haben. Schneiden Sie den ersten Apfel in zwei gleiche Teile und den zweiten in 6 gleiche Teile. Es ist klar, dass sich der Anteil des ersten Apfels vom Anteil des zweiten Apfels unterscheiden wird.

Abhängig von der Anzahl der Anteile, aus denen sich das Gesamtobjekt zusammensetzt, haben diese Anteile eigene Namen. Lass es uns klären Namen von Beats. Wenn ein Objekt aus zwei Teilen besteht, wird jeder von ihnen als zweiter Teil des gesamten Objekts bezeichnet. Wenn ein Objekt aus drei Teilen besteht, wird jeder von ihnen als dritter Teil bezeichnet und so weiter.

Eine zweite Aktie hat einen besonderen Namen - Hälfte. Ein Drittel wird aufgerufen dritte, und ein Viertelteil - ein Viertel.

Der Kürze halber wurde Folgendes eingeführt: Beat-Symbole. Ein zweiter Anteil wird als oder 1/2 bezeichnet, ein dritter Anteil wird als oder 1/3 bezeichnet; ein Viertel der Aktie - Like oder 1/4 und so weiter. Beachten Sie, dass die Notation mit einem horizontalen Balken häufiger verwendet wird. Um den Stoff zu vertiefen, geben wir noch ein Beispiel: Der Eintrag bezeichnet den einhundertsiebenundsechzigsten Teil des Ganzen.

Der Begriff des Anteils erstreckt sich natürlich von Gegenständen auf Mengen. Eines der Längenmaße ist beispielsweise der Meter. Um Längen von weniger als einem Meter zu messen, können Bruchteile eines Meters verwendet werden. So können Sie beispielsweise einen halben Meter oder einen Zehntel oder Tausendstel Meter verwenden. Die Anteile anderer Größen werden analog angesetzt.

Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele für Brüche

Um die Anzahl der von uns verwendeten Aktien zu beschreiben gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht, uns der Definition gewöhnlicher Brüche zu nähern.

Lassen Sie die Orange aus 12 Teilen bestehen. Jede Aktie repräsentiert in diesem Fall ein Zwölftel einer ganzen Orange, also . Wir bezeichnen zwei Schläge als, drei Schläge als usw., 12 Schläge bezeichnen wir als. Jeder der angegebenen Einträge wird als gewöhnlicher Bruch bezeichnet.

Lassen Sie uns nun einen allgemeinen Überblick geben Definition gemeinsamer Brüche.

Die stimmhafte Definition gewöhnlicher Brüche ermöglicht es uns, etwas anzugeben Beispiele für gemeinsame Brüche: 5/10, , 21/1, 9/4, . Und hier sind die Aufzeichnungen entsprechen nicht der angegebenen Definition gewöhnlicher Brüche, d. h. sie sind keine gewöhnlichen Brüche.

Zähler und Nenner

Der Einfachheit halber werden gewöhnliche Brüche unterschieden Zähler und Nenner.

Definition.

Zähler Der gewöhnliche Bruch (m/n) ist eine natürliche Zahl m.

Definition.

Nenner Der gemeinsame Bruch (m/n) ist eine natürliche Zahl n.

Der Zähler befindet sich also oberhalb des Bruchstrichs (links vom Schrägstrich) und der Nenner unterhalb des Bruchstrichs (rechts vom Schrägstrich). Nehmen wir zum Beispiel den gemeinsamen Bruch 17/29, der Zähler dieses Bruchs ist die Zahl 17 und der Nenner ist die Zahl 29.

Es bleibt noch die Bedeutung zu diskutieren, die im Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs enthalten ist. Der Nenner eines Bruchs gibt an, aus wie vielen Teilen ein Gegenstand besteht, und der Zähler wiederum gibt die Anzahl dieser Teile an. Beispielsweise bedeutet der Nenner 5 des Bruchs 12/5, dass ein Objekt aus fünf Anteilen besteht, und der Zähler 12 bedeutet, dass 12 solcher Anteile genommen werden.

Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1

Der Nenner eines gemeinsamen Bruchs kann gleich eins sein. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Objekt unteilbar ist, mit anderen Worten, es repräsentiert etwas Ganzes. Der Zähler eines solchen Bruchs gibt an, wie viele ganze Objekte genommen werden. Somit hat ein gewöhnlicher Bruch der Form m/1 die Bedeutung einer natürlichen Zahl m. Damit haben wir die Gültigkeit der Gleichung m/1=m begründet.

Schreiben wir die letzte Gleichung wie folgt um: m=m/1. Diese Gleichheit ermöglicht es uns, jede natürliche Zahl m als gewöhnlichen Bruch darzustellen. Beispielsweise ist die Zahl 4 der Bruch 4/1 und die Zahl 103.498 entspricht dem Bruch 103.498/1.

Also, Jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 als m/1 dargestellt werden, und jeder gewöhnliche Bruch der Form m/1 kann durch eine natürliche Zahl m ersetzt werden.

Bruchstrich als Divisionszeichen

Die Darstellung des ursprünglichen Objekts in Form von n Anteilen ist nichts anderes als eine Aufteilung in n gleiche Teile. Nachdem ein Artikel in n Anteile aufgeteilt wurde, können wir ihn gleichmäßig auf n Personen aufteilen – jeder erhält einen Anteil.

Wenn wir zunächst m identische Objekte haben, von denen jedes in n Anteile aufgeteilt ist, dann können wir diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufteilen und jeder Person von jedem der m Objekte einen Anteil geben. In diesem Fall hat jede Person m Anteile von 1/n, und m Anteile von 1/n ergeben den gemeinsamen Bruchteil m/n. Somit kann der gemeinsame Bruch m/n verwendet werden, um die Aufteilung von m Elementen auf n Personen zu bezeichnen.

Auf diese Weise haben wir einen expliziten Zusammenhang zwischen gewöhnlichen Brüchen und der Division erhalten (siehe die allgemeine Idee der Division natürlicher Zahlen). Dieser Zusammenhang drückt sich wie folgt aus: Die Bruchlinie kann als Divisionszeichen verstanden werden, d. h. m/n=m:n.

Mit einem gewöhnlichen Bruch können Sie das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben, für die eine ganze Division nicht durchgeführt werden kann. Das Ergebnis der Division von 5 Äpfeln durch 8 Personen kann beispielsweise als 5/8 geschrieben werden, das heißt, jeder erhält fünf Achtel eines Apfels: 5:8 = 5/8.

Gleiche und ungleiche Brüche, Vergleich von Brüchen

Eine ziemlich natürliche Aktion ist Brüche vergleichen, denn es ist klar, dass 1/12 einer Orange sich von 5/12 unterscheidet und 1/6 eines Apfels dasselbe ist wie ein weiteres 1/6 dieses Apfels.

Als Ergebnis des Vergleichs zweier gewöhnlicher Brüche erhält man eines der Ergebnisse: Die Brüche sind entweder gleich oder ungleich. Im ersten Fall haben wir gleiche gemeinsame Brüche, und im zweiten – ungleiche gewöhnliche Brüche. Lassen Sie uns eine Definition von gleichen und ungleichen gewöhnlichen Brüchen geben.

Definition.

gleich, wenn die Gleichung a·d=b·c wahr ist.

Definition.

Zwei gemeinsame Brüche a/b und c/d nicht gleich, wenn die Gleichung a·d=b·c nicht erfüllt ist.

Hier sind einige Beispiele für gleiche Brüche. Beispielsweise ist der gemeinsame Bruch 1/2 gleich dem Bruch 2/4, da 1·4=2·2 (siehe ggf. die Regeln und Beispiele zur Multiplikation natürlicher Zahlen). Der Übersichtlichkeit halber können Sie sich zwei identische Äpfel vorstellen, den ersten halbieren und den zweiten in 4 Teile schneiden. Es ist offensichtlich, dass zwei Viertel eines Apfels einem halben Anteil entsprechen. Weitere Beispiele für gleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 4/7 und 36/63 sowie das Brüchepaar 81/50 und 1.620/1.000.

Aber die gewöhnlichen Brüche 4/13 und 5/14 sind nicht gleich, da 4·14=56 und 13·5=65, also 4·14≠13·5. Weitere Beispiele für ungleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 17/7 und 6/4.

Wenn sich beim Vergleich zweier gemeinsamer Brüche herausstellt, dass sie nicht gleich sind, müssen Sie möglicherweise herausfinden, welcher dieser gemeinsamen Brüche es ist weniger anders, und welches - mehr. Um dies herauszufinden, wird die Regel zum Vergleichen gewöhnlicher Brüche verwendet, deren Kern darin besteht, die verglichenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Ausführliche Informationen zu diesem Thema finden Sie im Artikel Vergleich von Brüchen: Regeln, Beispiele, Lösungen.

Bruchzahlen

Jeder Bruch ist eine Notation Bruchzahl. Das heißt, ein Bruch ist nur eine „Hülle“ einer Bruchzahl Aussehen, und die gesamte semantische Last ist in der Bruchzahl enthalten. Der Kürze und Bequemlichkeit halber werden die Konzepte von Bruch und Bruchzahl jedoch kombiniert und einfach als Bruch bezeichnet. Hier ist es angebracht, ein bekanntes Sprichwort zu paraphrasieren: Wir sagen einen Bruch – wir meinen eine Bruchzahl, wir sagen eine Bruchzahl – wir meinen einen Bruch.

Brüche auf einem Koordinatenstrahl

Alle Bruchzahlen, die gewöhnlichen Brüchen entsprechen, haben ihren eigenen eindeutigen Platz, das heißt, es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Brüchen und den Punkten des Koordinatenstrahls.

Um zu dem Punkt auf dem Koordinatenstrahl zu gelangen, der dem Bruchteil m/n entspricht, müssen Sie m Segmente vom Ursprung in positiver Richtung beiseite legen, deren Länge 1/n Bruchteil eines Einheitssegments beträgt. Solche Segmente erhält man, indem man ein Einheitssegment in n gleiche Teile teilt, was immer mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Zeigen wir zum Beispiel den Punkt M auf dem Koordinatenstrahl an, der dem Bruch 14/10 entspricht. Die Länge eines Segments, das am Punkt O und dem nächstgelegenen Punkt endet und mit einem kleinen Strich markiert ist, beträgt 1/10 eines Einheitssegments. Der Punkt mit der Koordinate 14/10 wird im Abstand von 14 solcher Segmente vom Ursprung entfernt.

Gleiche Brüche entsprechen derselben Bruchzahl, das heißt, gleiche Brüche sind die Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entsprechen die Koordinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 einem Punkt auf dem Koordinatenstrahl, da alle geschriebenen Brüche gleich sind (er liegt im Abstand von einem halben Einheitssegment). vom Ursprung in positiver Richtung).

Auf einem horizontalen und nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl befindet sich der Punkt, dessen Koordinate der größere Bruchteil ist, rechts vom Punkt, dessen Koordinate der kleinere Bruchteil ist. Ebenso liegt ein Punkt mit einer kleineren Koordinate links von einem Punkt mit einer größeren Koordinate.

Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele

Unter gewöhnlichen Brüchen gibt es Echte und unechte Brüche. Diese Division basiert auf einem Vergleich von Zähler und Nenner.

Definieren wir echte und unechte gewöhnliche Brüche.

Definition.

Richtiger Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, d. h. wenn m

Definition.

Unechter Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, d. h. wenn m≥n, dann ist der gewöhnliche Bruch unecht.

Hier sind einige Beispiele für echte Brüche: 1/4, , 32.765/909.003. Tatsächlich ist in jedem der geschriebenen gewöhnlichen Brüche der Zähler kleiner als der Nenner (siehe ggf. den Artikel zum Vergleich natürlicher Zahlen), sodass sie per Definition korrekt sind.

Hier sind Beispiele für unechte Brüche: 9/9, 23/4, . Tatsächlich ist der Zähler des ersten der geschriebenen gewöhnlichen Brüche gleich dem Nenner, und bei den übrigen Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner.

Es gibt auch Definitionen für echte und unechte Brüche, die auf dem Vergleich von Brüchen mit Eins basieren.

Definition.

richtig, wenn es kleiner als eins ist.

Definition.

Ein gewöhnlicher Bruch heißt falsch, wenn es entweder gleich eins oder größer als 1 ist.

Der gemeinsame Bruch 7/11 ist also korrekt, da 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 und 27/27=1.

Denken wir darüber nach, wie gewöhnliche Brüche, deren Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, einen solchen Namen verdienen – „uneigentlich“.

Nehmen wir zum Beispiel den unechten Bruch 9/9. Dieser Bruch bedeutet, dass von einem Objekt, das aus neun Teilen besteht, neun Teile genommen werden. Das heißt, aus den verfügbaren neun Teilen können wir ein ganzes Objekt bilden. Also, unechter Bruch 9/9 ergibt im Wesentlichen das gesamte Element, d. h. 9/9=1. Im Allgemeinen bezeichnen unechte Brüche mit einem Zähler gleich dem Nenner ein ganzes Objekt, und ein solcher Bruch kann durch die natürliche Zahl 1 ersetzt werden.

Betrachten Sie nun die unechten Brüche 7/3 und 12/4. Es ist ganz offensichtlich, dass wir aus diesen sieben dritten Teilen zwei ganze Objekte zusammensetzen können (ein ganzes Objekt besteht aus 3 Teilen, um dann zwei ganze Objekte zusammenzusetzen, brauchen wir 3 + 3 = 6 Teile) und immer noch ein dritter Teil übrig bleibt . Das heißt, der unechte Bruch 7/3 bedeutet im Wesentlichen 2 Objekte und auch 1/3 eines solchen Objekts. Und aus zwölf Viertelteilen können wir drei ganze Objekte machen (drei Objekte mit jeweils vier Teilen). Das heißt, der Bruch 12/4 bedeutet im Wesentlichen 3 ganze Objekte.

Die betrachteten Beispiele führen uns zu folgendem Schluss: Unechte Brüche können entweder durch natürliche Zahlen ersetzt werden, wenn der Zähler gleichmäßig durch den Nenner geteilt wird (z. B. 9/9=1 und 12/4=3), oder durch die Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs, wenn der Zähler nicht gleichmäßig durch den Nenner teilbar ist (z. B. 7/3=2+1/3). Vielleicht ist es genau das, was unechten Brüchen den Namen „unregelmäßig“ eingebracht hat.

Von besonderem Interesse ist die Darstellung eines unechten Bruchs als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (7/3=2+1/3). Dieser Vorgang wird als Trennen des ganzen Teils von einem unechten Bruch bezeichnet und verdient eine gesonderte und sorgfältigere Betrachtung.

Es ist auch erwähnenswert, dass zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen ein sehr enger Zusammenhang besteht.

Positive und negative Brüche

Jeder gemeinsame Bruch entspricht einer positiven Bruchzahl (siehe Artikel über positive und negative Zahlen). Das heißt, gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Beispielsweise sind gewöhnliche Brüche 1/5, 56/18, 35/144 positive Brüche. Wenn Sie die Positivität eines Bruchs hervorheben müssen, wird davor ein Pluszeichen platziert, zum Beispiel +3/4, +72/34.

Wenn Sie einem gemeinsamen Bruch ein Minuszeichen voranstellen, entspricht dieser Eintrag einer negativen Bruchzahl. In diesem Fall können wir darüber reden negative Brüche. Hier sind einige Beispiele für negative Brüche: −6/10, −65/13, −1/18.

Positive und negative Brüche m/n und −m/n sind entgegengesetzte Zahlen. Beispielsweise sind die Brüche 5/7 und −5/7 entgegengesetzte Brüche.

Positive Brüche bezeichnen, wie positive Zahlen im Allgemeinen, eine Addition, ein Einkommen, eine Aufwärtsänderung eines beliebigen Wertes usw. Negative Brüche entsprechen Ausgaben, Schulden oder einer Verringerung einer beliebigen Menge. Beispielsweise kann der negative Bruch −3/4 als eine Schuld interpretiert werden, deren Wert gleich 3/4 ist.

In horizontaler Richtung nach rechts befinden sich negative Brüche links vom Ursprung. Die Punkte der Koordinatenlinie, deren Koordinaten der positive Bruchteil m/n und der negative Bruchteil −m/n sind, liegen im gleichen Abstand vom Ursprung, jedoch auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O.

Hier sind Brüche der Form 0/n zu erwähnen. Diese Brüche sind gleich der Zahl Null, also 0/n=0.

Positive Brüche, negative Brüche und 0/n-Brüche bilden zusammen rationale Zahlen.

Operationen mit Brüchen

Eine Aktion mit gewöhnlichen Brüchen – das Vergleichen von Brüchen – haben wir oben bereits besprochen. Es werden vier weitere arithmetische Funktionen definiert Operationen mit Brüchen– Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Schauen wir uns jeden von ihnen an.

Das allgemeine Wesen von Operationen mit Brüchen ähnelt dem Wesen der entsprechenden Operationen mit natürlichen Zahlen. Machen wir eine Analogie.

Brüche multiplizieren kann als die Aktion betrachtet werden, einen Bruch aus einem Bruch zu finden. Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel. Wir haben 1/6 eines Apfels und müssen 2/3 davon nehmen. Der Teil, den wir brauchen, ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche 1/6 und 2/3. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (der in einem Sonderfall einer natürlichen Zahl entspricht). Als nächstes empfehlen wir Ihnen, die Informationen im Artikel Brüche multiplizieren – Regeln, Beispiele und Lösungen zu studieren.

Referenzliste.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. Bildungsinstitutionen.
Vilenkin N.Ya. und andere. Mathematik. 6. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Unechter Bruch

Viertel

Ordentlichkeit. A Und B Es gibt eine Regel, die es erlaubt, eine und nur eine von drei Beziehungen zwischen ihnen eindeutig zu identifizieren: „< », « >" oder " = ". Diese Regel heißt Bestellregel und ist wie folgt formuliert: zwei nichtnegative Zahlen und stehen in derselben Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen A Und B stehen in derselben Beziehung wie zwei nichtnegative Zahlen und ; wenn plötzlich A nicht negativ, aber B- also negativ A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Brüche hinzufügen
Additionsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Summationsregel C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen Menge Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat die folgende Form: .
Multiplikationsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Multiplikationsregel, was ihnen eine rationale Zahl zuweist C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen arbeiten Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel sieht so aus: .
Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen A , B Und C Wenn A weniger B Und B weniger C, Das A weniger C, und wenn A gleicht B Und B gleicht C, Das A gleicht C. 6435">Kommutativität der Addition. Das Ändern der Stellen rationaler Terme ändert nicht die Summe.
Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Anwesenheit von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die beim Hinzufügen jede andere rationale Zahl beibehält.
Das Vorhandensein entgegengesetzter Zahlen. Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine entgegengesetzte rationale Zahl, deren Addition 0 ergibt.
Kommutativität der Multiplikation. Das Ändern der Orte rationaler Faktoren verändert das Produkt nicht.
Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Verfügbarkeit der Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei der Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
Vorhandensein reziproker Zahlen. Jede rationale Zahl hat eine inverse rationale Zahl, deren Multiplikation mit 1 ergibt.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition. Die Multiplikationsoperation wird durch das Verteilungsgesetz mit der Additionsoperation koordiniert:
Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Additionsoperation. Dieselbe rationale Zahl kann auf der linken und rechten Seite einer rationalen Ungleichung hinzugefügt werden. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiom des Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist A, Sie können so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe größer ist A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

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Abzählbarkeit einer Menge

Nummerierung rationaler Zahlen

Der einfachste dieser Algorithmen sieht so aus. Auf jedem wird eine endlose Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem J die Spalte, in der sich der Bruch befindet. Aus Gründen der Bestimmtheit wird davon ausgegangen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle beginnend mit eins nummeriert sind. Tabellenzellen werden mit , bezeichnet ich- die Nummer der Tabellenzeile, in der sich die Zelle befindet, und J- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird mit einer „Schlange“ gemäß dem folgenden formalen Algorithmus durchlaufen.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird basierend auf der ersten Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Durchlauf wird jede neue rationale Zahl einer anderen natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, der Bruch 1/1 wird der Zahl 1 zugeordnet, der Bruch 2/1 der Zahl 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Ein formales Zeichen der Irreduzibilität ist, dass der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs gleich eins ist.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks kann nicht durch eine rationale Zahl ausgedrückt werden

Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Das. Die Länge der Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit einem Einbein ist gleich, d. h. die Zahl, deren Quadrat 2 ist.