Erste Ebene

Median. Visueller Leitfaden (2019)

1. Was ist der Median?

Es ist sehr einfach!

Nehmen Sie ein Dreieck:

Markieren Sie die Mitte auf einer seiner Seiten.

Und verbinden Sie sich mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt!

Die resultierende Zeile und es gibt einen Median.

2. Eigenschaften des Medians.

Welche guten Eigenschaften hat der Median?

1) Stellen wir uns vor, dass es ein Dreieck gibt rechteckig. Es gibt solche Dinge, oder?

Warum??? Was hat ein rechter Winkel damit zu tun?

Schauen wir genau hin. Nur kein Dreieck, sondern... ein Rechteck. Warum fragst du?

Aber du gehst auf der Erde – siehst du, dass sie rund ist? Nein, natürlich muss man dazu die Erde aus dem Weltraum betrachten. Wir betrachten also unser rechtwinkliges Dreieck „aus dem Weltraum“.

Zeichnen wir eine Diagonale:

Erinnern Sie sich an die Diagonalen eines Rechtecks? gleich Und Aktie Schnittpunkt entzwei? (Wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an)

Das bedeutet, dass die Hälfte der zweiten Diagonale uns gehört Median. Die Diagonalen sind gleich und ihre Hälften natürlich auch. Das ist es, was wir bekommen werden

Wir werden diese Aussage nicht beweisen, aber um es zu glauben, denken Sie selbst: Gibt es außer einem Rechteck noch ein anderes Parallelogramm mit gleichen Diagonalen? Nein, natürlich! Das bedeutet, dass der Median nur in einem rechtwinkligen Dreieck gleich einer halben Seite sein kann.

Sehen wir uns an, wie diese Eigenschaft zur Lösung von Problemen beiträgt.

Hier, Aufgabe:
Zu den Seiten; . Von oben gezeichnet Median. Finden Sie, ob.

Hurra! Sie können den Satz des Pythagoras anwenden! Sehen Sie, wie großartig es ist? Wenn wir das nicht wüssten Median gleich einer halben Seite

Wir wenden den Satz des Pythagoras an:

2) Und nun lasst uns nicht eins, sondern ein Ganzes haben drei Mediane! Wie verhalten sie sich?

Erinnere dich sehr daran wichtige Tatsache:

Schwierig? Sehen Sie das Bild an:

Mediane und Schnittpunkt in einem Punkt.

Und….(wir beweisen dies in, aber vorerst Erinnern!):

• - doppelt so viel wie;
• - doppelt so viel wie;
• - doppelt so viel wie.

Bist du schon müde? Werden Sie für das nächste Beispiel stark genug sein? Jetzt werden wir alles anwenden, worüber wir gesprochen haben!

Aufgabe: In einem Dreieck werden Mediane und eingezeichnet, die sich in einem Punkt schneiden. Finden Sie, ob

Finden wir mithilfe des Satzes des Pythagoras heraus:

Wenden wir nun das Wissen über den Schnittpunkt der Mediane an.

Definieren wir es. Segment, a. Wenn nicht alles klar ist, schauen Sie sich das Bild an.

Das haben wir bereits herausgefunden.

Bedeutet, ; .

In der Aufgabe werden wir nach einem Segment gefragt.

In unserer Notation.

Antwort: .

Gefallen? Versuchen Sie nun, Ihr Wissen über den Median selbst anzuwenden!

MEDIAN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

1. Der Median teilt die Seite in zwei Hälften.

Und alle? Oder teilt sie vielleicht etwas anderes in zwei Hälften? Stell dir das vor!

2. Satz: Der Median teilt die Fläche in zwei Hälften.

Warum? Erinnern wir uns an die einfachste Form der Fläche eines Dreiecks.

Und diese Formel wenden wir gleich doppelt an!

Schauen Sie, der Median ist in zwei Dreiecke unterteilt: und. Aber! Sie haben die gleiche Höhe - ! Erst in dieser Höhe fällt es zur Seite und bei - auf der Fortsetzungsseite. Überraschenderweise passiert auch das: Die Dreiecke sind unterschiedlich, aber die Höhe ist gleich. Und jetzt wenden wir die Formel zweimal an.

Was würde das bedeuten? Sehen Sie das Bild an. Tatsächlich enthält dieser Satz zwei Aussagen. Ist Ihnen das aufgefallen?

Erste Aussage: Mediane schneiden sich in einem Punkt.

Zweite Aussage: Der Schnittpunkt des Medians wird durch ein Verhältnis geteilt, gezählt vom Scheitelpunkt.

Versuchen wir, das Geheimnis dieses Theorems zu lüften:

Lassen Sie uns die Punkte verbinden und... Was ist passiert?

Zeichnen wir nun eine weitere Mittellinie: Markieren Sie die Mitte – setzen Sie einen Punkt, markieren Sie die Mitte – setzen Sie einen Punkt.

Jetzt - die Mittellinie. Also

1. parallel;

Sind Ihnen irgendwelche Zufälle aufgefallen? Beide und sind parallel. Und und.

Was folgt daraus?

1. parallel;

Natürlich nur für ein Parallelogramm!

Dies bedeutet, dass es sich um ein Parallelogramm handelt. Na und? Erinnern wir uns an die Eigenschaften eines Parallelogramms. Was wissen Sie beispielsweise über die Diagonalen eines Parallelogramms? Das ist richtig, sie werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.

Schauen wir uns die Zeichnung noch einmal an.

Das heißt, der Median wird durch Punkte in drei gleiche Teile geteilt. Und genau das Gleiche.

Dies bedeutet, dass beide Mediane durch einen Punkt im Verhältnis getrennt waren, d. h. und.

Was passiert mit dem dritten Median? Kehren wir zum Anfang zurück. Oh Gott?! Nein, jetzt wird alles viel kürzer sein. Werfen wir den Median weg und machen wir die Mediane und.

Stellen Sie sich nun vor, dass wir genau die gleichen Überlegungen angestellt haben wie für die Mediane und. Was dann?

Es stellt sich heraus, dass der Median den Median auf genau die gleiche Weise teilt: im Verhältnis, vom Punkt aus gezählt.

Aber wie viele Punkte kann es auf einem Segment geben, die es im Verhältnis teilen, vom Punkt aus gezählt?

Natürlich nur einer! Und wir haben es bereits gesehen – darum geht es.

Was ist am Ende passiert?

Der Median ist definitiv durchgekommen! Alle drei Mediane durchliefen es. Und alle waren geteilter Meinung, von oben gezählt.

Also haben wir den Satz gelöst (bewiesen). Die Lösung war ein Parallelogramm, das in einem Dreieck sitzt.

4. Formel für die mittlere Länge

Wie kann man die Länge des Medians ermitteln, wenn die Seiten bekannt sind? Sind Sie sicher, dass Sie das brauchen? Lassen Sie uns ein schreckliches Geheimnis lüften: Diese Formel ist nicht sehr nützlich. Dennoch werden wir es schreiben, aber wir werden es nicht beweisen (wenn Sie an dem Beweis interessiert sind, schauen Sie sich die nächste Ebene an).

Wie können wir verstehen, warum das passiert?

Schauen wir genau hin. Nur kein Dreieck, sondern ein Rechteck.

Betrachten wir also ein Rechteck.

Ist Ihnen aufgefallen, dass unser Dreieck genau die Hälfte dieses Rechtecks ​​ist?

Zeichnen wir eine Diagonale

Erinnern Sie sich, dass die Diagonalen eines Rechtecks ​​gleich sind und den Schnittpunkt halbieren? (Wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an)
Aber eine der Diagonalen ist unsere Hypotenuse! Das bedeutet, dass der Schnittpunkt der Diagonalen in der Mitte der Hypotenuse liegt. Es hieß unseres.

Das bedeutet, dass die Hälfte der zweiten Diagonale unser Median ist. Die Diagonalen sind gleich und ihre Hälften natürlich auch. Das ist es, was wir bekommen werden

Außerdem passiert dies nur in einem rechtwinkligen Dreieck!

Wir werden diese Aussage nicht beweisen, aber um es zu glauben, denken Sie selbst: Gibt es außer einem Rechteck noch ein anderes Parallelogramm mit gleichen Diagonalen? Nein, natürlich! Das bedeutet, dass der Median nur in einem rechtwinkligen Dreieck gleich einer halben Seite sein kann. Sehen wir uns an, wie diese Eigenschaft zur Lösung von Problemen beiträgt.

Hier ist die Aufgabe:

Zu den Seiten; . Der Median wird vom Scheitelpunkt aus ermittelt. Finden Sie, ob.

Hurra! Sie können den Satz des Pythagoras anwenden! Sehen Sie, wie großartig es ist? Wenn wir nicht wüssten, dass der Median die halbe Seite ist nur in einem rechtwinkligen Dreieck, es gibt keine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen. Und jetzt können wir!

Wir wenden den Satz des Pythagoras an:

MEDIAN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Der Median teilt die Seite in zwei Hälften.

2. Satz: Der Median teilt die Fläche in zwei Hälften

4. Formel für die mittlere Länge

Umkehrsatz: Wenn der Median gleich der halben Seite ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig und dieser Median wird zur Hypotenuse gezogen.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

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Ein Median ist ein Segment, das vom Scheitelpunkt eines Dreiecks bis zur Mitte der gegenüberliegenden Seite verläuft, d. h. es teilt es am Schnittpunkt in zwei Hälften. Der Punkt, an dem der Median die Seite schneidet, die dem Scheitelpunkt gegenüberliegt, aus dem er austritt, wird Basis genannt. Jeder Median des Dreiecks verläuft durch einen Punkt, den sogenannten Schnittpunkt. Die Formel für seine Länge kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden.

Formeln zum Ausdrücken der Länge des Medians

• Bei Geometrieproblemen müssen sich Studierende oft mit einem Segment wie dem Median eines Dreiecks befassen. Die Formel für seine Länge wird in Seiten ausgedrückt:

wobei a, b und c die Seiten sind. Darüber hinaus ist c die Seite, auf der der Median fällt. So sieht die einfachste Formel aus. Für Hilfsberechnungen werden manchmal Mediane eines Dreiecks benötigt. Es gibt andere Formeln.

• Wenn bei der Berechnung zwei Seiten eines Dreiecks und ein bestimmter Winkel α zwischen ihnen bekannt sind, wird die Länge des Medians des Dreiecks, abgesenkt auf die dritte Seite, wie folgt ausgedrückt.

Grundeigenschaften

• Alle Mediane haben einen gemeinsamen Schnittpunkt O und werden, vom Scheitelpunkt aus gezählt, durch diesen im Verhältnis zwei zu eins geteilt. Dieser Punkt wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet.
• Der Median teilt das Dreieck in zwei andere, deren Flächen gleich sind. Solche Dreiecke nennt man flächentreue Dreiecke.
• Wenn Sie alle Mediane zeichnen, wird das Dreieck in 6 gleiche Figuren geteilt, die ebenfalls Dreiecke sind.
• Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks gleich sind, dann ist jeder der Mediane auch eine Höhe und eine Winkelhalbierende, d. h. senkrecht zu der Seite, zu der es gezogen wird, und halbiert den Winkel, aus dem es hervorgeht.
• In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Median, der von dem Scheitelpunkt aus gezogen wird, der der Seite gegenüberliegt, die keiner anderen Seite entspricht, auch die Höhe und die Winkelhalbierende. Die von anderen Eckpunkten fallenden Mediane sind gleich. Dies ist auch eine notwendige und hinreichende Bedingung für gleichschenklige.
• Wenn ein Dreieck die Basis einer regelmäßigen Pyramide ist, wird die zu dieser Basis abfallende Höhe auf den Schnittpunkt aller Mediane projiziert.

• In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht der zur längsten Seite gezogene Median der Hälfte seiner Länge.
• Sei O der Schnittpunkt der Mediane des Dreiecks. Die folgende Formel gilt für jeden Punkt M.

• Der Median eines Dreiecks hat eine weitere Eigenschaft. Die Formel für das Quadrat seiner Länge durch die Quadrate der Seiten ist unten dargestellt.

Eigenschaften der Seiten, zu denen der Median gezeichnet wird

• Wenn Sie zwei beliebige Schnittpunkte der Mediane mit den Seiten verbinden, auf denen sie abgelegt werden, ist das resultierende Segment die Mittellinie des Dreiecks und eine Hälfte der Seite des Dreiecks, mit der es keine gemeinsamen Punkte hat.
• Die Basen der Höhen und Mittelwerte eines Dreiecks sowie die Mittelpunkte der Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit dem Schnittpunkt der Höhen verbinden, liegen auf demselben Kreis.

Zusammenfassend lässt sich logischerweise sagen, dass einer der wichtigsten Abschnitte der Median des Dreiecks ist. Seine Formel kann verwendet werden, um die Längen seiner anderen Seiten zu ermitteln.

Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten oder eine geschlossene gestrichelte Linie mit drei Gliedern oder eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die drei Punkte verbinden, die nicht auf derselben geraden Linie liegen (siehe Abb. 1).

Grundelemente des Dreiecks ABC

Gipfel – Punkte A, B und C;

Partys – Segmente a = BC, b = AC und c = AB, die die Eckpunkte verbinden;

Winkel – α, β, γ, gebildet aus drei Seitenpaaren. Winkel werden oft genauso wie Eckpunkte mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.

Der von den Seiten eines Dreiecks gebildete und in dessen Innenbereich liegende Winkel wird Innenwinkel genannt, der daran angrenzende Winkel ist der angrenzende Winkel des Dreiecks (2, S. 534).

Höhen, Mediane, Winkelhalbierende und Mittellinien eines Dreiecks

Zusätzlich zu den Hauptelementen in einem Dreieck werden auch andere Segmente mit interessanten Eigenschaften berücksichtigt: Höhen, Mediane, Winkelhalbierende und Mittellinien.

Höhe

Dreieckshöhen- Dies sind Senkrechte, die von den Eckpunkten des Dreiecks zu gegenüberliegenden Seiten fallen.

Um die Höhe darzustellen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Zeichnen Sie eine gerade Linie, die eine der Seiten des Dreiecks enthält (wenn die Höhe vom Scheitelpunkt eines spitzen Winkels in einem stumpfen Dreieck gezeichnet wird);

2) Zeichnen Sie vom Scheitelpunkt gegenüber der gezeichneten Linie ein Segment vom Punkt zu dieser Linie und bilden Sie damit einen Winkel von 90 Grad.

Der Punkt, an dem die Höhe die Seite des Dreiecks schneidet, wird aufgerufen Höhe Basis (siehe Abb. 2).

Eigenschaften der Dreieckshöhen

In einem rechtwinkligen Dreieck wird es durch die Höhe, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogen wird, in zwei Dreiecke geteilt, die dem ursprünglichen Dreieck ähneln.

In einem spitzen Dreieck schneiden seine beiden Höhen ähnliche Dreiecke davon ab.

Wenn das Dreieck spitz ist, dann gehören alle Höhenbasen zu den Seiten des Dreiecks, und in einem stumpfen Dreieck fallen zwei Höhen auf die Fortsetzung der Seiten.

Drei Höhen in einem spitzen Dreieck schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt wird aufgerufen Orthozentrum Dreieck.

Median

Mediane(von lat. mediana – „Mitte“) – das sind Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten verbinden (siehe Abb. 3).

Um den Median zu erstellen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Finden Sie die Mitte der Seite;

2) Verbinden Sie den Punkt, der die Mitte der Seite des Dreiecks ist, mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt mit einem Segment.

Eigenschaften von Dreiecksmedianen

Der Median teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden von ihnen im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt Dreieck.

Das gesamte Dreieck wird durch seine Mediane in sechs gleich große Dreiecke geteilt.

Halbierende

Winkelhalbierende(von lateinisch bis – zweimal und seko – schneiden) sind die in einem Dreieck eingeschlossenen geraden Liniensegmente, die dessen Winkel halbieren (siehe Abb. 4).

Um eine Winkelhalbierende zu konstruieren, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Konstruieren Sie einen Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht und ihn in zwei gleiche Teile teilt (die Winkelhalbierende);

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks mit der gegenüberliegenden Seite;

3) Wählen Sie ein Segment aus, das den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Eigenschaften von Dreieckshalbierenden

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in einem Verhältnis, das dem Verhältnis der beiden benachbarten Seiten entspricht.

Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises genannt.

Die Winkelhalbierenden des Innen- und Außenwinkels stehen senkrecht zueinander.

Wenn die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks die Verlängerung der gegenüberliegenden Seite schneidet, dann ist ADBD=ACBC.

Die Winkelhalbierenden eines Innen- und zweier Außenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines der drei Exkreise dieses Dreiecks.

Die Basen der Winkelhalbierenden zweier Innen- und eines Außenwinkels eines Dreiecks liegen auf derselben Geraden, wenn die Winkelhalbierende des Außenwinkels nicht parallel zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks ist.

Wenn die Winkelhalbierenden der Außenwinkel eines Dreiecks nicht parallel zu gegenüberliegenden Seiten sind, dann liegen ihre Basen auf derselben Geraden.

Wenn Sie ein beliebiges Thema in einem Schulkurs studieren, können Sie ein bestimmtes Minimum an Problemen auswählen, und wenn die Schüler die Methoden zu ihrer Lösung beherrschen, können sie jedes Problem auf der Ebene der Programmanforderungen zum untersuchten Thema lösen. Ich schlage vor, Aufgaben zu berücksichtigen, die es Ihnen ermöglichen, die Zusammenhänge einzelner Themen im Schulmathematikkurs zu erkennen. Daher ist das zusammengestellte Aufgabensystem ein wirksames Mittel zur Wiederholung, Verallgemeinerung und Systematisierung von Lehrmaterialien im Rahmen der Prüfungsvorbereitung.

Um die Prüfung zu bestehen, ist es hilfreich, zusätzliche Informationen über einige Elemente des Dreiecks zu haben. Betrachten wir die Eigenschaften des Medians eines Dreiecks und Probleme, bei deren Lösung diese Eigenschaften verwendet werden können. Die vorgeschlagenen Aufgaben setzen das Prinzip der Ebenendifferenzierung um. Alle Aufgaben sind bedingt in Levels unterteilt (der Level wird in Klammern nach jeder Aufgabe angegeben).

Erinnern wir uns an einige Eigenschaften des Medians eines Dreiecks

Eigentum 1. Beweisen Sie, dass der Median eines Dreiecks ist ABC, vom Scheitelpunkt gezogen A, weniger als die Hälfte der Summe der Seiten AB Und A.C..

Nachweisen

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Eigentum 2. Der Median teilt das Dreieck in zwei gleiche Flächen.

Nachweisen

Zeichnen wir vom Scheitelpunkt B des Dreiecks ABC den Median BD und die Höhe BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Da das Segment BD also der Median ist

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Eigentum 4. Die Mittelwerte eines Dreiecks teilen das Dreieck in 6 gleiche Dreiecke.

Nachweisen

Beweisen wir, dass die Fläche jedes der sechs Dreiecke, in die die Mediane das Dreieck ABC teilen, gleich der Fläche des Dreiecks ABC ist. Betrachten Sie dazu beispielsweise das Dreieck AOF und lassen Sie eine Senkrechte AK vom Scheitelpunkt A zur Linie BF fallen.

Aufgrund der Eigenschaft 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Eigentum 6. Der Median in einem rechtwinkligen Dreieck, das vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogen wird, ist gleich der halben Hypotenuse.

Nachweisen

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Folgen:1. Der Mittelpunkt eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises liegt in der Mitte der Hypotenuse.

2. Wenn in einem Dreieck die Länge des Medians gleich der halben Länge der Seite ist, zu der er gezogen wird, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig.

AUFGABEN

Bei der Lösung jedes weiteren Problems werden bewährte Eigenschaften verwendet.

№1 Themen: Verdoppelung des Medians. Schwierigkeit: 2+

Zeichen und Eigenschaften eines Parallelogramms Noten: 8,9

Zustand

Auf Fortsetzung des Medians BIN. Dreieck ABC pro Punkt M Segment verschoben M.D., gleich BIN.. Beweisen Sie, dass das Viereck ABDC- Parallelogramm.

Lösung

Verwenden wir eines der Zeichen eines Parallelogramms. Diagonalen eines Vierecks ABDC sich in einem Punkt schneiden M und teile es in zwei Hälften, also das Viereck ABDC- Parallelogramm.

Notiz. In dieser Lektion werden theoretische Materialien und Lösungen für Geometrieprobleme zum Thema „Median in einem rechtwinkligen Dreieck“ vorgestellt. Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Der Kurs wird mit ziemlicher Sicherheit ergänzt.

Eigenschaften des Medians eines rechtwinkligen Dreiecks

Ermittlung des Medians

• Die Mittellinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 in zwei Teile geteilt, gerechnet vom Scheitelpunkt des Winkels. Der Punkt, an dem sie sich schneiden, wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet (relativ selten wird bei Problemen der Begriff „Schwerpunkt“ verwendet, um diesen Punkt zu bezeichnen).
• Der Median teilt ein Dreieck in zwei gleich große Dreiecke.
• Ein Dreieck wird durch drei Mediane in sechs gleiche Dreiecke geteilt.
• Die größere Seite des Dreiecks entspricht dem kleineren Median.

Die zur Lösung vorgeschlagenen Geometrieprobleme verwenden hauptsächlich Folgendes Eigenschaften des Medians eines rechtwinkligen Dreiecks.

• Die Summe der Quadrate der Mediane, die auf die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks fallen, entspricht fünf Quadraten des Medians, die auf die Hypotenuse fallen (Formel 1)
• Der Median fiel auf die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der halben Hypotenuse(Formel 2)
• Der Median der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt gleich dem Radius des umschriebenen Kreises gegebenes rechtwinkliges Dreieck (Formel 2)
• Der zur Hypotenuse abgefallene Median beträgt gleich der Hälfte der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Beine(Formel 3)
• Der zur Hypotenuse abgesenkte Median ist gleich dem Quotienten aus der Beinlänge geteilt durch zwei Sinus des spitzen Winkels gegenüber dem Bein (Formel 4)
• Der zur Hypotenuse abgesenkte Median ist gleich dem Quotienten aus der Beinlänge geteilt durch zwei Kosinusse des spitzen Winkels neben dem Bein (Formel 4)
• Die Summe der Quadrate der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht acht Quadraten des auf seine Hypotenuse fallenden Medians (Formel 5)

Notation in Formeln:

a, b- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks

C- Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

Wenn wir ein Dreieck als ABC bezeichnen, dann

BC = A

(das heißt, die Seiten a,b,c liegen den entsprechenden Winkeln gegenüber)

M A- Mittellinie zum Bein a gezogen

M B- Mittellinie zum Bein b gezogen

M C - Median eines rechtwinkligen Dreiecks, zur Hypotenuse gezogen mit

α (Alpha)- Winkel CAB gegenüber der Seite a

Problem mit dem Median im rechtwinkligen Dreieck

Die Mittelwerte eines an den Beinen gezogenen rechtwinkligen Dreiecks betragen 3 cm bzw. 4 cm. Finden Sie die Hypotenuse des Dreiecks

Lösung

Bevor wir mit der Lösung des Problems beginnen, achten wir auf das Verhältnis der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und des darauf abgesenkten Medians. Wenden wir uns dazu den Formeln 2, 4, 5 zu Eigenschaften des Medians in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese Formeln geben deutlich das Verhältnis von Hypotenuse und Median an, das auf 1 zu 2 abgesenkt wird. Daher zur Vereinfachung zukünftiger Berechnungen (was die Richtigkeit der Lösung in keiner Weise beeinträchtigt, sie aber noch verbessert). Praktischerweise bezeichnen wir die Längen der Beine AC und BC der Variablen x und y als 2x und 2y (nicht x und y).

Betrachten Sie den ADC im rechtwinkligen Dreieck. Der Winkel C ist entsprechend den Bedingungen des Problems richtig, der Schenkel AC ist mit dem Dreieck ABC gemeinsam und der Schenkel CD ist gemäß den Eigenschaften des Medians gleich der Hälfte BC. Dann nach dem Satz des Pythagoras

AC 2 + CD 2 = AD 2

Da AC = 2x, CD = y (da der Median das Bein in zwei gleiche Teile teilt), dann
4x 2 + y 2 = 9

Betrachten Sie gleichzeitig das rechtwinklige Dreieck EBC. Gemäß den Bedingungen des Problems hat es auch einen rechten Winkel C, der Schenkel BC ist mit dem Schenkel BC des ursprünglichen Dreiecks ABC gemeinsam und der Schenkel EC ist aufgrund der Eigenschaft des Medians gleich der Hälfte des Schenkels AC des ursprünglichen Dreiecks ABC.
Nach dem Satz des Pythagoras:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Da EC = x (der Median teilt das Bein in zwei Hälften), ist BC = 2y
x 2 + 4y 2 = 16

Da die Dreiecke ABC, EBC und ADC durch gemeinsame Seiten verbunden sind, hängen auch beide resultierenden Gleichungen zusammen.
Lösen wir das resultierende Gleichungssystem.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16