Es gibt zwei grundsätzlich unterschiedliche Arten der Zinsberechnung: die dekursive und die antizipatorische.

Bei dekursiver Weg Am Ende jedes Abgrenzungsintervalls fallen Zinsen an, die auf der Höhe des zu Beginn des Zeitintervalls bereitgestellten Kapitals basieren. Dekursiver Zinssatz ( ich) wird genannt Darlehenszinsen und wird durch die Formel bestimmt:

i = I / PV,

Wo ICH PV– der Geldbetrag zu Beginn des Zeitintervalls.

Bei auf antiseptische Weise Zinsabgrenzung: Sie werden zu Beginn jedes Abgrenzungsintervalls auf der Grundlage des am Ende des Intervalls angesammelten Geldbetrags (einschließlich Kapital und Zinsen) abgegrenzt. Verrechnungszinssatz ( D) wird genannt Diskontsatz und wird durch die Formel bestimmt:

d=I/FV,

Wo ICH– Zinserträge für einen bestimmten Zeitraum; F.V.– der angesammelte Geldbetrag am Ende des Zeitintervalls.

In der Praxis wird am häufigsten die dekursive Methode zur Zinsberechnung verwendet. Die antizipatorische Methode wird bei der Abrechnung von Wechseln und anderen Geldverbindlichkeiten eingesetzt. Der Geldbetrag am Ende des Abgrenzungsintervalls gilt als Betrag des erhaltenen Darlehens. Da die Zinsen zu Beginn des Zeitintervalls anfallen, erhält der Kreditnehmer die Kreditsumme abzüglich Zinsen. Diese Operation wird aufgerufen Diskontierung zum Diskontsatz oder Bankbuchhaltung. Rabatt- Dies ist die Differenz zwischen der Höhe des Darlehens und dem direkt ausgegebenen Betrag, also den Einnahmen, die die Bank zum Diskontsatz erhält.

Sowohl dekursive als auch antizipatorische Methoden können Schemata zur Berechnung von einfachen Zinsen und Zinseszinsen verwenden. Bei Verwendung eines einfachen Zinssystems werden sie auf der Höhe der Ersteinlage berechnet. Beim Zinseszins handelt es sich um die Kapitalisierung von Zinsen, also um die Berechnung von „Zinsen auf Zinsen“.

Aus Sicht des Gläubigers ist bei kurzfristigen Finanztransaktionen (weniger als ein Jahr) die einfache Zinsregelung rentabler, bei langfristigen Transaktionen (mehr als ein Jahr) die Zinseszinsregelung Zinssystem ist rentabler. Bei langfristigen Geschäften mit Bruchteilen von Jahren bietet sich das sogenannte gemischte Schema an, bei dem der Zinseszins für eine ganze Anzahl von Jahren und der einfache Zins für den Bruchteil des Jahres abgegrenzt wird.

In der Tabelle Formeln zur Bestimmung des angesammelten Geldbetrags, also des zukünftigen Wertes der Einlage, werden mit dekursiven und antizipatorischen Methoden der Zinsberechnung systematisiert. Es werden folgende Notationen verwendet:

F.V.– zukünftiger (akkumulierter) Geldbetrag;

PV– realer (aktueller) Geldbetrag;

ich– Kreditzinssatz;

D- Diskontsatz;

N– Anzahl der Jahre im Zinsberechnungsintervall;

M– Anzahl der unterjährlichen Zinsabgrenzungen;

T– Dauer des Zinsabgrenzungsintervalls für kurzfristige Transaktionen, Tage;

T– Länge des Jahres, Tage;

w– ganzzahlige Anzahl von Jahren im Abgrenzungsintervall;

F– Bruchteil des Jahres im Abgrenzungsintervall.

Tisch

Formeln zur Berechnung des angesammelten Geldbetrags unter verschiedenen Bedingungen zur Zinsberechnung

Bedingungen für die Zinsberechnung	Zinsberechnungsmethode
Dekursiv	Antisipativ
einfache Zinsen, eine ganzzahlige Anzahl von Jahren im Abgrenzungsintervall	FV = PV´ (1 + in)	FV = PV / (1 – dn)
Zinseszins, ganzzahlige Anzahl der Jahre im Abgrenzungsintervall	FV = PV´ (1 + i) n	FV = PV / (1 – d) n
einfache Verzinsung, Transaktionsdauer weniger als ein Jahr
gemischtes Zinsberechnungsschema mit einer gebrochenen Anzahl von Jahren im Abgrenzungsintervall	FV = PV´ (1 + i) w (1 + if)	FV = PV / [(1 – d) w (1 + if)]
Zinseszins, unterjährige Abgrenzungen mit einer ganzzahligen Anzahl von Jahren im Zinsabgrenzungsintervall	FV = PV´(1 +i/m) nm	FV = PV / (1 –d/m) nm

Grundbegriffe und Definitionen der Finanzmathematik:

Interesse– Einkünfte aus der Bereitstellung von Kapital in Form von Schulden in verschiedenen Formen (Darlehen, Kredite usw.) oder aus Investitionen industrieller oder finanzieller Art.

Der anfängliche Geldbetrag (aktuell, modern, aktuell, reduziert) ist der zum Anfangszeitpunkt verfügbare Kapitalbetrag (oder der in den betreffenden Betrieb investierte Kapitalbetrag).

Zinsrate– ein Wert, der die Intensität der Zinsabgrenzung charakterisiert.

Erweiterung (Compoundierung)– eine Erhöhung des ursprünglichen Geldbetrags durch Hinzurechnung aufgelaufener Zinsen.

Aufgelaufener (zukünftiger) Geldbetrag– der ursprüngliche Geldbetrag zuzüglich aufgelaufener Zinsen.

Diskontierung– Bestimmung des aktuellen finanziellen Äquivalents eines zukünftigen Geldbetrags (Überführung eines zukünftigen Geldbetrags in die Gegenwart).

Inkrementfaktor– ein Wert, der angibt, wie oft das Anfangskapital gewachsen ist.

Abgrenzungszeitraum– der Zeitraum, in dem die Zinsen berechnet werden. Sie kann in Tagen oder Jahren ausgedrückt werden und entweder eine Ganzzahl oder eine Nicht-Ganzzahl sein.

Abgrenzungsintervall– der Mindestzeitraum, nach dem die Zinsen berechnet werden. Eine Abgrenzungsperiode kann aus einem oder mehreren gleichen Abgrenzungsintervallen bestehen.

Zeitbasis für die Zinsberechnung T - die Anzahl der Tage in einem Jahr, die zur Berechnung der Zinsen verwendet werden. Abhängig von der Methode zur Bestimmung der Dauer einer Finanztransaktion werden entweder exakte oder gewöhnliche Zinsen berechnet.

Folgende Optionen sind möglich:

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Zinsen und dementsprechend verschiedene Arten von Zinssätzen zu berechnen. Abhängig von der verwendeten Abgrenzungsmethode können die Finanzergebnisse erheblich variieren. In diesem Fall ist die Differenz umso größer, je größer das investierte Kapital, der angewandte Zinssatz und die Dauer des Abgrenzungszeitraums sind.

Das folgende Diagramm gibt einen allgemeinen Überblick über die verschiedenen Methoden zur Zinsberechnung:

Am häufigsten ist dekursiv Methode zur Zinsberechnung. Mit dieser Methode ist das Interesse ICH werden am Ende jedes Abgrenzungsintervalls abgegrenzt. Ihr Wert bestimmt sich nach der Höhe des bereitgestellten Kapitals P. Dekursiver Zinssatz (Darlehenszins) ich stellt das als Prozentsatz ausgedrückte Verhältnis des für ein bestimmtes Intervall aufgelaufenen Einkommens (Prozentsatz) zu dem zu Beginn dieses Intervalls verfügbaren Betrag dar. Der Zinssatz charakterisiert die Intensität der Zinsabgrenzung.

Dieser inkrementelle Vorgang entspricht dem folgenden mathematischen Ausdruck:

S = P + ICH = P + ichP = P (1 + ich)

Die Umkehrung dieser Operation ist die Operation Diskontierung, d.h. Bestimmen des aktuellen Werts P, der dem zukünftigen Betrag S entspricht:

P = S / (1 + ich)

Aus der Sicht des Zeitwertkonzepts des Geldes ist es bei einem gegebenen Zinssatz der Betrag P Und S gleichwertig sind, können wir auch sagen, dass die Summe P Ist aktuelles finanzielles Äquivalent zukünftiger Betrag S.

Bei Antiseptikum Bei der (vorläufigen) Methode werden die Zinsen zu Beginn jedes Abgrenzungsintervalls berechnet. Die Höhe des Zinsgeldes richtet sich nach der Höhe des künftigen Geldes. Verrechnungszinssatz (Diskontsatz) D Es wird ein prozentuales Verhältnis der Höhe des aufgelaufenen Einkommens zum zukünftigen Geldbetrag geben.

In diesem Fall lautet die Formel zur Ermittlung der Höhe des aufgelaufenen Betrags wie folgt:

S = P + ICH = P / (1 - D)

Dementsprechend gilt für den Diskontierungsvorgang, in diesem Fall Bankbuchhaltung genannt:

P = S (1 - D)

In der Praxis werden bei der Diskontierung von Wechseln meist Verrechnungszinssätze verwendet. Der in diesem Fall erhaltene Zinsertrag wird als Disagio bezeichnet – ein Abschlag auf den zukünftigen Betrag.

Bei beiden Berechnungsmethoden kann es zu Zinssätzen kommen einfach, wenn sie sich während des gesamten Abgrenzungszeitraums auf denselben anfänglichen Geldbetrag beziehen, und Komplex, wenn sie nach jedem Intervall auf den Betrag des Anfangskapitals und der für die vorherigen Intervalle aufgelaufenen Zinsen angewendet werden.

Formeln zur Bestimmung des zukünftigen Geldbetrags für verschiedene Möglichkeiten der Zinsberechnung für einen Zeitraum N Jahre:

S = P (1 + Nich) - für den Anlass einfaches dekursives Interesse

S = P (1 + ich) N - für den Anlass zusammengesetztes dekursives Interesse

S = P / (1 - ND) - für den Anlass einfaches Vorgriffszinsen

S = P / (1 - D) N - für den Anlass Zinseszins

Wenn der Abgrenzungszeitraum in Tagen ausgedrückt wird, sehen die einfachen Zinsformeln wie folgt aus:

S = P (1 + t/T i)

S = P / (1 – t/T d),

wobei t die Dauer des Abgrenzungszeitraums ist.

Multiplikatoren, die angeben, wie oft der zukünftige Geldbetrag größer ist als der Anfangskapitalbetrag, werden als Akkumulationsfaktoren bezeichnet. Der Kehrwert der Akkumulationsfaktoren sind Abzinsungsfaktoren, die es ermöglichen, den aktuellen finanziellen Gegenwert eines zukünftigen Geldbetrags zu bestimmen.

In manchen Fällen kann es bei der Analyse der Performance verschiedener Finanztransaktionen sinnvoll sein, äquivalente Zinssätze zu ermitteln. Äquivalente Zinssätze– Hierbei handelt es sich um Zinssätze unterschiedlicher Art, deren Anwendung unter denselben Ausgangsbedingungen zu denselben finanziellen Ergebnissen führt. In diesem Fall bedeuten gleiche Anfangsbedingungen die gleiche Höhe des Anfangskapitals und gleiche Zeiträume für die Einkommensabgrenzung. Darauf aufbauend kann man etwas ausarbeiten Äquivalenzgleichung und leiten Sie das Verhältnis für die betreffenden Sätze ab.

Für einfache Kredit- und Diskontsätze sehen solche Verhältnisse beispielsweise so aus:

D = ich / (1 + Nich); ich = D / (1 - ND).

Der dem Diskontsatz entsprechende Kreditzinssatz spiegelt die Rentabilität der entsprechenden Buchhaltungstransaktion wider und ist hilfreich beim Vergleich der Rentabilität und Effizienz verschiedener Finanzinstrumente.

Berücksichtigung der Inflation in Finanzberechnungen

Die Inflation ist durch einen Rückgang der Kaufkraft der Landeswährung und einen allgemeinen Preisanstieg gekennzeichnet. Der Inflationsprozess wirkt sich unterschiedlich auf verschiedene Teilnehmer einer Finanztransaktion aus. Wenn also ein Kreditgeber oder Investor aufgrund einer Geldabwertung einen Teil des geplanten Einkommens verlieren könnte, hat der Kreditnehmer die Möglichkeit, die Schulden mit Geldern mit geringerer Kaufkraft zurückzuzahlen.

Um Fehler und Verluste zu vermeiden, müssen inflationäre Effekte bei der Planung von Finanztransaktionen berücksichtigt werden.

Mit S a bezeichnen wir den Betrag, dessen Kaufkraft unter Berücksichtigung der Inflation der Kaufkraft des Betrags S ohne Inflation entspricht. Inflationsrate A ist das Verhältnis zwischen der inflationären Veränderung eines bestimmten Wertes für einen bestimmten Zeitraum und seinem Anfangswert, ausgedrückt als Prozentsatz (bei Berechnungen wird ein relativer Indikator verwendet):

A= (SA- S) / S 100 %

Von hier: Sa = S (1 +A)

Das bedeutet, dass bei einer Inflationsrate von a die Preise über den Zeitraum um das (1 + a)-fache steigen. Der Multiplikator (1 + a) wird Inflationsindex I a genannt.

Besteht der betrachtete Zeitraum aus mehreren Intervallen, in denen jeweils die Inflationsrate ein Wert ist, steigen die Preise insgesamt um den Faktor (1 + a) n. Das Gesamtergebnis wird durch folgendes Verhältnis ausgedrückt:

SA= S (1 + A) N

Dies führt zu der ersten wichtigen Schlussfolgerung bezüglich des Inflationsprozesses:

Das Inflationswachstum ähnelt der Erhöhung des Anfangskapitals nach der Zinseszinsregel. Nur in diesem Fall erhalten wir kein Einkommen, sondern verlieren es.

Eine weitere nützliche Überlegung ist die Berechnung der Rendite, die Inflationsverluste ausgleichen und Kapitalgewinne ermöglichen könnte.

Sei a die jährliche Inflationsrate,

i – gewünschte Rentabilität einer Finanztransaktion (bereinigt vom Einfluss der Inflation)

ich a - Rendite, die die Inflation ausgleicht.

Dann können wir für den erhöhten Betrag S, der sich unter Inflationsbedingungen in den Betrag S a verwandelt, den folgenden Ausdruck schreiben:

S a = P (1 + i) (1 + a)

Das gleiche Ergebnis kann auch auf andere Weise erzielt werden:

S a = P (1 + i a)

Indem wir die rechten Seiten der geschriebenen Gleichungen gleichsetzen, erhalten wir einen Ausdruck zur Berechnung von i a:

ichA = ich + A + ichA

Dies ist die bekannte Formel von I. Fisher, in der die Menge (a + i a) liegt „Inflationsprämie“ – eine notwendige Ergänzung, um die Auswirkungen der Inflation auszugleichen.

Jetzt können wir die zweite wichtige Schlussfolgerung formulieren:

Um den Zinssatz zu berechnen, der die Inflation ausgleicht, um Zur geforderten Rendite muss nicht nur der Wert des Niveaus addiert werden Inflation, sondern auch das ProduktichA.

In der Praxis erweist sich eine Modifikation dieser Formel oft als nützlich, um die tatsächliche Rentabilität eines Betriebs unter Bedingungen inflationärer Preissteigerungen zu ermitteln:

ich = (ichA - A) / (1 + A)

Bei den meisten Transaktionen im Zusammenhang mit Kapitalinvestitionen handelt es sich in Zukunft nicht um den einmaligen Erhalt eines erhöhten Betrags, sondern um einen gesamten Cashflow an Einnahmen über einen bestimmten Zeitraum. Die wichtigsten Parameter, die für den Investor oder Kreditgeber in diesem Fall von Interesse sind, sind der aktuelle (Bar-)Wert des Cashflows, sein zukünftiger (erhöhter) Wert sowie die Rentabilität der Finanztransaktion.

Wir werden die folgende Notation verwenden:

P – die Höhe des investierten Kapitals,

CF k – Wert des k-ten Elements des Cashflows,

i – Diskontsatz (normalerweise ein Zinseszinssatz),

A – Barwert (Kosten) des Cashflows,

S – zukünftiger Wert des Cashflows,

n – Anzahl der Cashflow-Elemente.

Gegenwärtiger Wert Der Cashflow ist die Summe aller seiner auf den gegenwärtigen Zeitpunkt reduzierten (diskontierten) Elemente:

A = CF 1 / (1 + i) + CF 2 / (1 + i)? + … + CF n / (1 + i) n

Ebenfalls, zukünftiger Wert Der Cashflow ist die Summe seiner aufgelaufenen Elemente zum Zeitpunkt der letzten Zahlung:

S = CF 1 (1 + i) n-1 + CF 2 (1 + i) n- ? + … + CF n

Rentabilität einer Finanztransaktion Dies wird als dekursiver Zinssatz bezeichnet, bei dem bei Abzinsung der Barwert des Cashflows des Einkommens mit der Höhe des investierten Kapitals übereinstimmt: P = A. Um einen solchen Zinssatz zu finden, muss man im Allgemeinen eine Gleichung lösen des n-ten Grades.

Die Werte der Akkumulations- und Diskontierungsfaktoren bei Verwendung komplexer dekursiver Kurse finden Sie in den speziellen Tabellen im Anhang.

Um die Rentabilität einer kurzfristigen Finanztransaktion (weniger als ein Jahr) zu ermitteln, wird üblicherweise ein einfacher Zinssatz verwendet, für eine langfristige Transaktion wird ein komplexer Zinssatz verwendet.

Bei kurzfristigen Krediten kommt in der Regel die Berechnung einfacher Zinssätze zum Einsatz.
LASST UNS DIE NOTATION ERFINDEN:
S - kumulierte Menge, reiben;
P - anfänglicher Schuldenbetrag, Rubel;
i - jährlicher Zinssatz (in Bruchteilen einer Einheit);
n ist die Kreditlaufzeit in Jahren.
Am Ende des ersten Jahres beträgt die angesammelte Schuldenhöhe
S1 = P + P i = P (1+ i);
am Ende des zweiten Jahres:
S2 = S1 + P i = P (1+ i) + P i = P (1+ 2 i); am Ende des dritten Jahres:
S3 = S2 + Pi = P (1+ 2 i) + P i = P (1+3 i) und so weiter. Am Ende von Term n: S1 = P (1+ n i).
Dies ist die Formel für die Aufzinsung mit einem einfachen Zinssatz. Dabei ist zu beachten, dass Zinssatz und Laufzeit einander entsprechen müssen, d.h. Wenn ein jährlicher Zinssatz zugrunde gelegt wird, muss die Laufzeit in Jahren ausgedrückt werden (bei vierteljährlicher Rate muss die Laufzeit in Quartalen usw. ausgedrückt werden).
Der Ausdruck in Klammern stellt den Zinseszinsfaktor zum einfachen Zinssatz dar:
KN = (1+ n i).
Somit,
Si = P Kn.
Aufgabe 5.1
Die Bank gewährte einen Kredit in Höhe von 5 Millionen Rubel. für sechs Monate zu einem einfachen Zinssatz von 12 % pro Jahr. Bestimmen Sie den Rückzahlungsbetrag.
LÖSUNG:
S = 5 Millionen (1 + 0,5 ¦ 0,12) = 5.300.000 Rubel.
Wenn der Zeitraum, für den Geld geliehen wird, in Tagen angegeben wird, beträgt der kumulierte Betrag S = P (1 + d/K i),
wobei d die Dauer des Zeitraums in Tagen ist;
K ist die Anzahl der Tage in einem Jahr.
Der Wert K wird als Zeitbasis bezeichnet.
Die Zeitbasis kann gleich der tatsächlichen Länge des Jahres sein – 365 oder 366 (dann wird der Zins als exakt bezeichnet) oder ungefähr gleich 360 Tagen (dann handelt es sich um gewöhnlichen Zins).
Auch der Wert der Anzahl der Tage, für die Geld geliehen wird, lässt sich genau oder annähernd ermitteln. Im letzteren Fall wird die Länge eines ganzen Monats mit 30 Tagen angenommen. In beiden Fällen wird das Datum der Ausgabe des Geldes als Darlehen und das Datum seiner Rückgabe als ein Tag gezählt.
Aufgabe 5.2
Die Bank gewährte einen Kredit in Höhe von 200.000 Rubel. vom 12.03. bis 25.12. (Schaltjahr) mit einem Satz von 7 % pro Jahr. Bestimmen Sie die Höhe des Rückzahlungsbetrags mit verschiedenen Optionen für die Zeitbasis mit der genauen und ungefähren Anzahl der Kredittage und ziehen Sie eine Schlussfolgerung über die vorzuziehenden Optionen aus Sicht der Bank und des Kreditnehmers.
LÖSUNG:
Genaue Anzahl der Leihtage vom 12.03. bis 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Ungefähre Anzahl der Leihtage:
20+8-30+25=285;
a) Genaue Zinsen und genaue Anzahl der Kredittage:
S =200.000 (1+289/366 ¦ 0,07) = 211.016 Rubel;
b) ordentliche Zinsen und die genaue Anzahl der Darlehenstage:
S =200.000 (1+289/360 ¦ 0,07) =211.200;
c) Normalzins und die ungefähre Anzahl der Darlehenstage:
S= 200.000 (1+285/360 ¦ 0,07) =211.044;
d) genaue Zinsen und ungefähre Anzahl der Kredittage:
S= 200.000 (1+285/366 ¦ 0,07) =210.863.
Somit wird der größte kumulierte Betrag bei Option b) – normale Zinsen mit der genauen Anzahl der Kredittage – und der kleinste – bei Option d) – genaue Zinsen mit einer ungefähren Anzahl der Kredittage – anfallen.
Aus Sicht der Bank als Kreditgeber ist daher Variante b) und aus Sicht des Kreditnehmers Variante d) vorzuziehen.
Es ist zu bedenken, dass in jedem Fall der Normalzins für den Kreditgeber rentabler ist und der exakte Zins für den Kreditnehmer (jedenfalls einfach oder komplex) rentabler ist. Im ersten Fall ist der kumulierte Betrag immer größer, im zweiten Fall geringer.
Wenn die Zinssätze in unterschiedlichen Abgrenzungsintervallen während der Schuldenlaufzeit unterschiedlich sind, wird der aufgelaufene Betrag durch die Formel ermittelt
N
S = P (1 + Int it),
t=1
wobei N die Anzahl der Zinsberechnungsintervalle ist;
nt – Dauer des t-ten Abgrenzungsintervalls;
Es handelt sich um den Zinssatz im t-ten Abgrenzungsintervall.
Aufgabe 5.3
Die Bank akzeptiert Einlagen zu einem einfachen Zinssatz, der im ersten Jahr 10 % beträgt und sich dann alle sechs Monate um 2 Prozentpunkte erhöht. Bestimmen Sie den Einzahlungsbetrag von 50.000 Rubel. mit Zinsen nach 3 Jahren.
Lösung:
S = 50.000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) = 70.000 Rubel.
Anhand der Formel für den aufgelaufenen Betrag können Sie die Kreditlaufzeit unter anderen festgelegten Bedingungen ermitteln.
Kreditlaufzeit in Jahren:
S - P N = .
P ich
Bestimmen Sie die Kreditlaufzeit in Jahren, für die die Schulden 200.000 Rubel betragen. wird auf 250.000 Rubel steigen. bei Verwendung eines einfachen Zinssatzes - 16 % pro Jahr.
LÖSUNG:
(250.000 - 200.000) / (200.000 0,16) = 1,56 (Jahre).
Aus der Formel für den kumulierten Betrag können Sie den einfachen Zinssatz sowie die ursprüngliche Schuldenhöhe ermitteln.
Entscheide dich selbst
Aufgabe 5.5
Bei der Gewährung eines Darlehens 600.000 Rubel. Es wird vereinbart, dass der Kreditnehmer innerhalb von zwei Jahren 800.000 Rubel zurückzahlt. Bestimmen Sie den von der Bank verwendeten Zinssatz.
ANTWORT: 17 %.
Aufgabe 5.6
Das Darlehen, das zu einem einfachen Zinssatz von 15 % pro Jahr gewährt wird, muss nach 100 Tagen zurückgezahlt werden. Bestimmen Sie den vom Kreditnehmer erhaltenen Betrag und den von der Bank erhaltenen Zinsbetrag, wenn der zurückzuzahlende Betrag 500.000 Rubel betragen soll. mit einer Zeitbasis von 360 Tagen.
ANTWORT: 480.000 RUR.
Der Vorgang, bei dem der ursprüngliche Schuldenbetrag mit einem bekannten Rückzahlungsbetrag verglichen wird, wird als Diskontierung bezeichnet. Im weitesten Sinne bedeutet der Begriff „Diskontierung“ die Bestimmung des Wertes P eines Kostenwertes zu einem bestimmten Zeitpunkt, sofern dieser in Zukunft einem bestimmten Wert S entspricht. Solche Berechnungen werden auch als Kostenindikator bezeichnet zu einem gegebenen Zeitpunkt, und der durch Diskontierung ermittelte Wert P ist
wird der moderne oder reduzierte Wert des Wertes genannt. Durch die Diskontierung können Sie den Zeitfaktor bei der Kostenkalkulation berücksichtigen. Der Abzinsungsfaktor ist immer kleiner als eins.
Rabattformel bei einfachem Zinssatz:
P = S / (1 + ni), wobei 1 / (1 + ni) der Abzinsungsfaktor ist.

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1. 1. Konzept und methodische Instrumente zur Bewertung des Geldwerts im Zeitverlauf.
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Nachdem Sie dieses Kapitel gelesen haben, wissen Sie:

• Ö dekursive und antizipatorische Methoden;
• Ö unter Berücksichtigung der Auswirkungen der Inflation.

Die Berechnung des Wertes eines Unternehmens (Unternehmens) basiert, wie die meisten wirtschaftlichen Berechnungen, auf der Zinsberechnung nach einer dekursiven oder antizipatorischen (vorläufigen) Methode und der Rententheorie.

Interesse- sind Einkünfte in unterschiedlicher Form aus der Bereitstellung finanzieller Mittel (Kapital) in Form von Schulden oder Investitionen.

Zinsrate- ein Indikator, der die Höhe des Einkommens oder die Intensität der Zinsabgrenzung charakterisiert.

Inkrementfaktor- ein Wert, der das Verhältnis des angesammelten Anfangskapitals angibt.

Abgrenzungszeitraum- der Zeitraum, nach dem Zinsen anfallen (Erträge erzielt werden). Der Abgrenzungszeitraum kann in Abgrenzungsintervalle unterteilt werden.

Abgrenzungsintervall- der Mindestzeitraum, nach dem ein Teil der Zinsen aufgelaufen ist. Die Zinsberechnung kann am Ende des Abgrenzungsintervalls (dekursive Methode) oder zu Beginn (vorausschauende oder vorläufige Methode) erfolgen.

Dekursive Methode

Der dekursive Zinssatz (Darlehenszins) ist das Verhältnis des für einen bestimmten Zeitraum aufgelaufenen Einkommens zum zu Beginn dieses Zeitraums verfügbaren Betrag.

Wenn nach der Anrechnung von Erträgen für eine Periode diese Erträge ausgezahlt werden und in der nächsten Periode Zinserträge auf den ursprünglichen Betrag abgegrenzt werden, wird die Abgrenzungsformel verwendet einfache Zinssätze.

Wenn Sie die Notation eingeben:

ich (%) – jährlicher Kreditzinssatz (Einkommen); ich - relativer Wert des jährlichen Zinssatzes; ICH - der Betrag der für den Zeitraum (Jahr) gezahlten Zinsen;

P - der Gesamtbetrag des Zinsgeldes für den gesamten Abgrenzungszeitraum;

R - die Höhe des ursprünglichen Geldbetrags (Barwert);

F- aufgelaufener Betrag (zukünftiger Wert);

k n - Wachstumsfaktor;

P - Anzahl der Abgrenzungsperioden (Jahre);

D- Dauer des Abgrenzungszeitraums in Tagen;

ZU - Länge des Jahres in Tagen K = 365 (366), dann der dekursive Zinssatz (i):

Daher (6.1)

Dann ist der Erhöhungsfaktor:

Wenn das Wachstumsintervall weniger als eine Periode (Jahr) beträgt, dann

Ermittlung der Höhe des aufgelaufenen Betrags F (zukünftiger Wert) heißt Compoundierung (Compoundierung).

Beispiel. Kredit 25.000 Rubel. wird für 3 Jahre zu einem einfachen Zinssatz von 12 % pro Jahr ausgegeben. Bestimmen Sie den aufgelaufenen Betrag.

Nach Formel (6.1):

Beispiel. Kredit 25.000 Rubel. ausgegeben für 182 Tage, ein normales Jahr, zu einem einfachen Zinssatz von 12 % pro Jahr. Bestimmen Sie den aufgelaufenen Betrag.

Nach Formel (6.2):

Manchmal besteht die Notwendigkeit, das umgekehrte Problem zu lösen: Bestimmen Sie den Wert des anfänglichen (aktuellen, reduzierten) Betrags R (Barwert) und wissen, wie hoch der kumulierte Betrag sein sollte F (zukünftiger Wert):

Ermittlung des Wertes des anfänglichen (aktuellen, reduzierten) Betrags R (Barwert) heißt Diskontierung (Diskontierung).

Beispiel. Nach 3 Jahren müssen Sie über einen Betrag von 16.500 Rubel verfügen. Welcher Betrag sollte in diesem Fall mit einem einfachen Zinssatz von 12 % pro Jahr eingezahlt werden?

Durch die Transformation der Formeln 6.1-6.3 erhalten wir

Die Zinssätze können von Zeit zu Zeit variieren.

Wenn während unterschiedlicher Abgrenzungszeiträume P , P 2 ,..., n N Es werden unterschiedliche Zinssätze verwendet ich 1 , ich 2 ,..., In , Wo N- die Gesamtzahl der Abgrenzungsperioden, dann die Höhe des Zinsgeldes am Ende der Abgrenzungsperioden zum Zinssatz ich 1 :

Wo n 1 - Anzahl der Abgrenzungsperioden zum Zinssatz ich 1 am Ende der Abgrenzungsperioden zum Zinssatz usw.

Dann, während der JV-Abgrenzungsperioden, der aufgelaufene Betrag (N- Nummer der letzten Periode) für alle:

wobei der Wachstumsfaktor: (6.5)

Beispiel. Darlehen in Höhe von 250.000 Rubel. ausgegeben für 2,5 Jahre zum einfachen Zinssatz. Zinssatz für das erste Jahr ich = 18 % und verringert sich für jedes weitere halbe Jahr um 1,5 %. Bestimmen Sie den Abgrenzungsfaktor und den aufgelaufenen Betrag.

Nach Formel (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

Nach Formel (6.4): F = 250.000 x 1.405 = 351.250 Rubel.

Inverses Problem:

Wenn p zu = 1, dann , (6.7)

wo ist der Wachstumsfaktor:. (6.8)

Beispiel. Darlehen in Höhe von 250.000 Rubel. ausgegeben für 5 Jahre mit einfachem Zinssatz. Zinssatz für das erste Jahr ich

Nach Formel (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

Nach Formel (6.7): F = 250.000 x 1,75 = 437.500 Rubel.

Wenn nach der Ansammlung von Einkünften für eine Periode diese Einkünfte nicht ausgezahlt werden, sondern zu dem zu Beginn dieser Periode verfügbaren Geldbetrag addiert werden (zu dem Betrag, der diese Einkünfte geschaffen hat), und in der nächsten Periode Zinserträge abgegrenzt werden Um diesen Gesamtbetrag zu berechnen, werden Abgrenzungsformeln verwendet Zinseszins.

Wenn wir zu den vorgestellten Notationen hinzufügen:

ich c - relativer Wert des jährlichen Zinseszinssatzes;

k nc - Zinseszinsfaktor bei Zinseszins;

J- der Nominalzinssatz des Zinseszinses, mit dem der Intervallzinssatz des Kreditzinses berechnet wird, dann beträgt der aufgelaufene Betrag für den Abgrenzungszeitraum von einem Jahr: . Für die zweite Periode (ein Jahr später): usw.

Durch P Jahre beträgt der kumulierte Betrag:

Wo ist der Wachstumsfaktor? k nc gleich:

Beispiel. Kredit 25.000 Rubel. ausgegeben für 3 Jahre zu einem Zinseszins von 12 % pro Jahr. Bestimmen Sie den aufgelaufenen Betrag.

Nach Formel (6.9)

Lösung des umgekehrten Problems:

Wo ist der Abzinsungsfaktor?

Der Abzinsungsfaktor ist der Kehrwert des Aufzinsungsfaktors:

Beispiel. Nach 3 Jahren müssen Sie über einen Betrag von 16.500 Rubel verfügen. Welcher Betrag muss in diesem Fall mit einem Zinssatz von 12 % pro Jahr eingezahlt werden?

Beim Vergleich der Akkumulationskoeffizienten bei der Berechnung von Einfach- und Zinseszinsen wird deutlich, wann p> 1. Je mehr Abgrenzungsperioden vorhanden sind, desto größer ist die Differenz in der Höhe des aufgelaufenen Betrags bei der Berechnung von Zinseszinsen und einfachen Zinsen.

Weitere Parameter können definiert werden:

P keine ganze Zahl ist, kann der Steigerungskoeffizient in zwei Formen dargestellt werden:

Wo P - kein Vielfaches einer ganzen Zahl von Zinseszinsperioden;

Wo P = p c + D- die Gesamtzahl der Abgrenzungsperioden (Jahre), bestehend aus ganzzahligen und nicht ganzzahligen Abgrenzungsperioden; p p D- Anzahl der Tage des nicht ganzzahligen (unvollständigen) Abgrenzungszeitraums; K = 365 (366) – Anzahl der Tage im Jahr; ich c - relativer Wert des jährlichen Zinseszinssatzes.

Beide Optionen sind gültig, liefern jedoch aufgrund unterschiedlicher Berechnungsgenauigkeit unterschiedliche Werte.

Beispiel. Kredit 25.000 Rubel. ausgegeben für 3 Jahre und 6 Monate zu einem Zinseszins von 12 % pro Jahr. Bestimmen Sie den aufgelaufenen Betrag.

• 1) F= 25.000 (1 + 0,12) 3,5 = 25.000 x 1,4868 = 37.170 Rubel;
• 2) F= 25.000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25.000 x 1,4049 x 1,0592 = 37.201 Rubel.

Der jährliche Zinseszinssatz ich 1 , ich 2 ,..., In kann während verschiedener Abgrenzungszeiträume variieren n 1 , N 2 ,..., n N .

Dann der aufgelaufene Betrag am Ende der ersten Abgrenzungsperiode (Jahr):

In der zweiten Periode (ein Jahr später):

In der n-Periode (für P Zeiträume (Jahre)):

Dann ist der Erhöhungsfaktor:

Beispiel. Darlehen in Höhe von 250.000 Rubel. wird mit einer Laufzeit von 5 Jahren und einem Zinseszinssatz ausgegeben. Zinssatz für das erste Jahr ich = 18 %, und im Folgejahr sinkt er um 1,5 %. Bestimmen Sie den Abgrenzungsfaktor und den aufgelaufenen Betrag.

Nach Formel (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

Nach Formel (6.13): F = 250.000 x 1,75 = 502.400 Rubel.

Inverses Problem:

Wenn der Zinseszins in Intervallen berechnet wird, d. h. mehrmals während des Zeitraums, dann die Abgrenzungsformel für das Intervall

Wo J = ich - nominaler Zinseszinssatz; T - Anzahl der Abgrenzungsintervalle im Zeitraum (vierteljährlich, monatlich usw.).

Das Einkommen für das Intervall wird zu dem zu Beginn dieses Intervalls verfügbaren Geldbetrag addiert.

Dann der aufgelaufene Betrag während der Intervallabgrenzung für jeden Zeitraum bis P Perioden (Jahre) werden sein

Darüber hinaus können Sie weitere Parameter definieren:

Beispiel. Kredit 25.000 Rubel. ausgegeben am n = 3 Jahre mit einem Zinssatz von 12 % pro Jahr, Zahlung halbjährlich t = 2. Bestimmen Sie den aufgelaufenen Betrag.

Nach der Formel (6/16) .

Wenn die Anzahl der Zinsperioden P keine ganze Zahl ist, kann der Steigerungskoeffizient dargestellt werden als:

Wo p p - die Anzahl ganzer (vollständiger) Abgrenzungsperioden (Jahre); R - die Anzahl der gesamten (vollständigen) Abgrenzungsintervalle, jedoch weniger als die Gesamtzahl der Intervalle in der Periode, d. h. R< m;d - die Anzahl der Abgrenzungstage, jedoch weniger als die Anzahl der Tage im Abgrenzungsintervall.

Beispiel. Kredit 25.000 Rubel. ausgestellt für und = 3 Jahre, 8 Monate, 12 Tage zu einem Zinseszins von 12 % pro Jahr, Zahlung halbjährlich T = = 2. Bestimmen Sie den aufgelaufenen Betrag.

Heutzutage reicht es nicht aus, einfache oder komplexe Zinsen zu berechnen, keine einzige Bank verwendet sie in reiner Form. Für Banken ist es rentabler, nicht nur unterschiedliche Arten der Zinsberechnung, sondern auch unterschiedliche Berechnungskonzepte zu verwenden, die wiederum stark von den Vertragsbedingungen abhängen. Betrachten wir die Hauptmethode (Konzept) der Zinsberechnung, dies ist die Methode der dekursiven Zinsberechnung.

Dies ist heute die gebräuchlichste Methode zur Zinsberechnung, die in der weltweiten Praxis angewendet wird. Die Grundlage dieses Konzepts ist „von der Gegenwart in die Zukunft“, wobei am Ende eines bestimmten Zeitintervalls Zinsen aufgelaufen sind oder aufgelaufene Zinsen auf die Basiseinlage gezahlt werden. Bei der dekursiven Zinsberechnung kommt sowohl eine einfache Zinsberechnung als auch ein Accrual-Rate zum Einsatz, also eine komplexe Zinsberechnung. Nachfolgend finden Sie eine grafische Darstellung der Erträge aus der Einlage in Abhängigkeit von der gewählten Zinsberechnungsmethode und deren Laufzeit.

Bei niedrigen Zinsen ist die dekursive Methode für den Kreditnehmer vorteilhafter als für den Kreditgeber. Und diese Methode eignet sich am besten für kurzfristige Finanztransaktionen. Darüber hinaus empfiehlt es sich, über einen Zeitraum von höchstens einem Jahr zu investieren und am Ende jedes Zeitintervalls Zinszahlungen zu leisten. Idealerweise wird die dekursive Methode verwendet, wenn sie mit dem Zinsberechnungsintervall übereinstimmt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass dekursives Interesse in keinem anderen Fall verwendet werden kann. Es hängt alles von der Zustimmung der an der Finanztransaktion beteiligten Parteien ab.

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