Der Begriff eines Polynoms ist die Standardform eines Polynoms. Polynom und seine Standardform

Per Definition ist ein Polynom ein algebraischer Ausdruck, der die Summe von Monomen darstellt.

Zum Beispiel: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 sind Polynome, und der Ausdruck z/(x - x*y^2 + 4) ist kein Polynom, da es sich nicht um eine Summe von Monomen handelt. Ein Polynom wird manchmal auch als Polynom bezeichnet, und Monome, die Teil eines Polynoms sind, sind Mitglieder eines Polynoms oder von Monomen.

Komplexes Konzept des Polynoms

Besteht ein Polynom aus zwei Gliedern, so heißt es Binomial; besteht es aus drei Gliedern, heißt es Trinom. Die Namen Fournomial, Fivenomial und andere werden nicht verwendet, und in solchen Fällen sagt man einfach Polynom. Solche Namen bringen je nach Anzahl der Begriffe alles in Ordnung.

Und der Begriff Monom wird intuitiv. Aus mathematischer Sicht ist ein Monom ein Sonderfall eines Polynoms. Ein Monom ist ein Polynom, das aus einem Term besteht.

Genau wie ein Monom hat auch ein Polynom seine eigene Standardform. Die Standardform eines Polynoms ist eine solche Schreibweise eines Polynoms, bei der alle darin als Terme enthaltenen Monome in einer Standardform geschrieben sind und ähnliche Terme angegeben sind.

Standardform eines Polynoms

Das Verfahren zum Reduzieren eines Polynoms auf die Standardform besteht darin, jedes der Monome auf die Standardform zu reduzieren und dann alle ähnlichen Monome zusammenzuaddieren. Die Addition ähnlicher Terme eines Polynoms nennt man Reduktion ähnlicher Terme.
Stellen wir uns zum Beispiel ähnliche Terme im Polynom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b vor.

Die Begriffe 4*a*b^2*c^3 und 6*a*b^2*c^3 sind hier ähnlich. Die Summe dieser Terme ergibt das Monom 10*a*b^2*c^3. Daher kann das ursprüngliche Polynom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b als 10*a*b^2*c^3 - a* umgeschrieben werden B . Dieser Eintrag ist die Standardform eines Polynoms.

Aus der Tatsache, dass jedes Monom auf eine Standardform reduziert werden kann, folgt auch, dass jedes Polynom auf eine Standardform reduziert werden kann.

Wenn ein Polynom auf eine Standardform reduziert wird, können wir über ein Konzept wie den Grad eines Polynoms sprechen. Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad eines Monoms, der in einem gegebenen Polynom enthalten ist.
So ist beispielsweise 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 ein Polynom fünften Grades, da der maximale Grad des im Polynom enthaltenen Monoms (5*x^3*y^ 2) ist Fünfter.

Nachdem wir Monome studiert haben, gehen wir zu Polynomen über. In diesem Artikel erfahren Sie alles über alles notwendige Informationen, notwendig, um Aktionen an ihnen durchzuführen. Wir werden ein Polynom mit begleitenden Definitionen eines Polynombegriffs definieren, d. h. frei und ähnlich, betrachten wir ein Polynom Standard Ansicht Lassen Sie uns den Grad vorstellen und lernen, wie man ihn findet und mit seinen Koeffizienten arbeitet.

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Polynom und seine Begriffe – Definitionen und Beispiele

Die Definition eines Polynoms war schon damals notwendig 7 Klasse nach dem Studium von Monomen. Schauen wir uns die vollständige Definition an.

Definition 1

Polynom Es wird die Summe der Monome und das Monom selbst betrachtet besonderer Fall Polynom.

Aus der Definition folgt, dass Beispiele für Polynome unterschiedlich sein können: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z und so weiter. Aus der Definition haben wir das 1+x, a 2 + b 2 und der Ausdruck x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x sind Polynome.

Schauen wir uns einige weitere Definitionen an.

Definition 2

Mitglieder des Polynoms seine konstituierenden Monome heißen.

Betrachten Sie ein Beispiel, in dem wir ein Polynom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 haben, bestehend aus 4 Termen: 3 x 4, − 2 x y, 3 und − y 3. Ein solches Monom kann als Polynom betrachtet werden, das aus einem Term besteht.

Definition 3

Polynome, die 2, 3 Trinome enthalten, haben den entsprechenden Namen - Binomial- Und trinomial.

Daraus folgt ein Ausdruck der Form x+y– ist ein Binomial und der Ausdruck 2 x 3 q − q x x x + 7 b ist ein Trinom.

Von Lehrplan arbeitete mit einem linearen Binomial der Form a · x + b, wobei a und b einige Zahlen sind und x eine Variable ist. Betrachten wir Beispiele für lineare Binome der Form: x + 1, x · 7, 2 − 4 mit Beispielen für quadratische Trinome x 2 + 3 · x − 5 und 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Um zu transformieren und zu lösen, ist es notwendig, ähnliche Begriffe zu finden und einzubringen. Beispielsweise hat ein Polynom der Form 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ähnliche Terme 1 und - 3, 5 x und 2 x. Sie werden in eine spezielle Gruppe unterteilt, die als ähnliche Elemente des Polynoms bezeichnet wird.

Definition 4

Ähnliche Terme eines Polynoms sind ähnliche Begriffe, die in einem Polynom vorkommen.

Im obigen Beispiel haben wir, dass 1 und - 3, 5 x und 2 x ähnliche Terme des Polynoms oder ähnliche Terme sind. Um den Ausdruck zu vereinfachen, suchen und reduzieren Sie ähnliche Begriffe.

Polynom der Standardform

Alle Monome und Polynome haben ihre eigenen spezifischen Namen.

Definition 5

Polynom der Standardform heißt ein Polynom, bei dem jedes darin enthaltene Mitglied ein Monom der Standardform hat und keine ähnlichen Terme enthält.

Aus der Definition geht hervor, dass es möglich ist, Polynome der Standardform zu reduzieren, zum Beispiel 3 x 2 − x y + 1 und __formula__, und der Eintrag erfolgt in Standardform. Die Ausdrücke 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z und 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z sind keine Polynome der Standardform, da das erste von ihnen ähnliche Terme in der hat Form 3 · x 2 und − x 2, und das zweite enthält ein Monom der Form x · y 3 · x · z 2, das sich vom Standardpolynom unterscheidet.

Wenn die Umstände es erfordern, wird das Polynom manchmal auf eine Standardform reduziert. Der Begriff eines freien Termes eines Polynoms wird auch als Polynom in Standardform betrachtet.

Definition 6

Freier Term eines Polynoms ist ein Polynom in Standardform, das keinen Literalteil hat.

Mit anderen Worten: Wenn ein Polynom in Standardform eine Zahl hat, wird es als freies Element bezeichnet. Dann ist die Zahl 5 ein freier Term des Polynoms x 2 z + 5, und das Polynom 7 a + 4 a b + b 3 hat keinen freien Term.

Grad eines Polynoms – wie findet man ihn?

Die Definition des Grades eines Polynoms selbst basiert auf der Definition eines Polynoms in Standardform und auf den Graden der Monome, die seine Komponenten sind.

Definition 7

Grad eines Polynoms in Standardform wird der größte der in seiner Notation enthaltenen Grade genannt.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Der Grad des Polynoms 5 x 3 − 4 ist gleich 3, da die in seiner Zusammensetzung enthaltenen Monome die Grade 3 und 0 haben und das größere von ihnen jeweils 3 ist. Die Definition des Grades aus dem Polynom 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x ist gleich der größten der Zahlen, also 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 und 1, was 5 bedeutet .

Es gilt herauszufinden, wie der Abschluss selbst zustande kommt.

Definition 8

Grad eines Polynoms einer beliebigen Zahl ist der Grad des entsprechenden Polynoms in Standardform.

Wenn ein Polynom nicht in der Standardform geschrieben ist, Sie aber seinen Grad ermitteln müssen, müssen Sie es auf die Standardform reduzieren und dann den erforderlichen Grad ermitteln.

Beispiel 1

Finden Sie den Grad eines Polynoms 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Lösung

Lassen Sie uns zunächst das Polynom in Standardform darstellen. Wir erhalten einen Ausdruck der Form:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Wenn wir ein Polynom in Standardform erhalten, stellen wir fest, dass zwei davon deutlich hervorstechen: 2 · a 2 · b 2 · c 2 und y 2 · z 2 . Um die Grade zu ermitteln, zählen wir und stellen fest, dass 2 + 2 + 2 = 6 und 2 + 2 = 4. Es ist ersichtlich, dass der größte von ihnen 6 ist. Aus der Definition folgt, dass 6 der Grad des Polynoms − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 und damit der ursprüngliche Wert ist.

Antwort: 6 .

Koeffizienten von Polynomtermen

Wenn alle Terme eines Polynoms Monome der Standardform sind, dann haben sie in diesem Fall den Namen Koeffizienten von Polynomtermen. Mit anderen Worten, sie können als Koeffizienten des Polynoms bezeichnet werden.

Wenn man das Beispiel betrachtet, wird deutlich, dass ein Polynom der Form 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 4 Polynome enthält: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x und 7 mit ihren entsprechenden Koeffizienten 2, − 0, 5, 3 und 7. Dies bedeutet, dass 2, − 0, 5, 3 und 7 als Koeffizienten von Termen eines gegebenen Polynoms der Form 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 betrachtet werden. Bei der Umrechnung ist es wichtig, auf die Koeffizienten vor den Variablen zu achten.

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Die Terme eines Polynoms sind die Grundeinheiten vieler algebraischer Strukturen. Per Definition sind Monome entweder natürlich numerische Werte oder bestimmte Variablen (miteinander multiplizierte Gruppen von Variablen).

Eine der wichtigsten mathematischen Operationen an einem Polynom ist die Reduktion ähnlicher Terme. In diesem Video-Tutorial werden wir uns genauer ansehen, was Operationen an einem Polynom sind.

Da alle Terme eines Polynoms durch algebraische Summation miteinander in Beziehung stehen, werden sie alle Terme genannt. Monome, die den gleichen Buchstabenteil haben, sind ähnlich, d. h. bestehend aus identischen Variablen. In diesem Fall müssen die Variablen den gleichen Grad haben und einen gleichen numerischen Koeffizienten haben. Und einzelne Zahlenwerte in Polynomen gelten als äquivalent zu ähnlichen Begriffen für sich.

Beim Reduzieren ähnlicher Terme werden die Monome eines Polynoms so gruppiert, dass separate Teile entstehen, die vollständig aus ähnlichen Termen bestehen. Betrachten Sie zum Beispiel dieses Polynom:

3a 2 + 2ab 2 - 6 - 3c 3 + 6a 2 - 7ab 2 + 7

Ähnliche Begriffe sind in diesem Fall:

1. Alle freien numerischen Werte: -6, +7;
2. Monome mit Basis a zum Quadrat: +3a 2, +6a 2;
3. Monome mit Basis ab zum Quadrat: 2ab 2, -7ab 2;
4. Monome mit der Basis c kubisch: -3c 3 ;

Die letzte Gruppe besteht nur aus einem Monom, das im gesamten Polynom kein ähnliches hat.

Warum sind solche Transformationen notwendig? Die Verwendung ähnlicher Begriffe trägt dazu bei, das Polynom zu vereinfachen und es in eine elementare Form zu bringen, die aus weniger Monomen besteht. Dies lässt sich leicht erreichen, indem man die Terme gruppiert, zwischen denen algebraische Operationen ausgeführt werden. Die Hauptoperationen hier sind Subtraktion und Addition – sie bewirken auch eine Umordnung und ermöglichen es Ihnen, Monome innerhalb des Polynoms frei zu verschieben. Daher entspricht es durchaus den Regeln, das obige Beispiel wie folgt umzuwandeln:

6 +7 + 3a 2 +6a 2 + 2ab 2 +(-7ab 2) + (-3c 3) =

9a 2 - 5ab 2 - 3c 3 - 1

Durch die Implementierung der Standardsubtraktion und -addition erhalten wir ein vereinfachtes Polynom. Wenn die Originalversion 7 Monome hatte, dann hat die aktuelle Version nur 4 Mitglieder. Es stellt sich jedoch die logische Frage: Was ist das genaue Kriterium für die „Einfachheit“ eines Polynoms?
Unter dem Gesichtspunkt der algebraischen Regeln wird ein Elementarpolynom, genauer gesagt ein Standardpolynom, als ein Polynom angesehen, bei dem alle Basen der Monome unterschiedlich und einander nicht ähnlich sind. Unser Beispiel:

9a 2 - 5ab 2 - 3c 3 - 1

Besteht aus Monomen mit den Basen a 2, ab 2, c 3 sowie einem Zahlenwert. Keines der oben genannten Elemente kann zu einem anderen hinzugefügt oder davon abgezogen werden. Vor uns liegt ein Standardpolynom bestehend aus vier Termen.

Jedes Polynom hat ein Kriterium wie den Grad. Der Grad eines Polynoms ist im Allgemeinen der größte Grad eines Monoms in einem gegebenen Polynom. Es lohnt sich zu lernen wichtiges Detail- Grade von aus mehreren Buchstaben bestehenden (multivariablen) Ausdrücken werden zusammengefasst. Daher beträgt die Gesamtpotenz von ab 2 drei (a zur ersten Potenz, b zum Quadrat). Ein Polynom der Form:

9a 2 - 5ab 2 - 3c 3 - 1

hat einen Grad gleich drei, da eines der Monome in der größten Kubikpotenz liegt.

Der Grad von Polynomen wird üblicherweise nur für die Standardform bestimmt. Wenn ein Polynom ähnliche Terme hat, wird es zunächst auf eine vereinfachte Form reduziert und dann der endgültige Grad berechnet.

Wenn ein Polynom nur aus numerischen Monomen besteht, dann nimmt seine Standardform die Form an Singular, das ist die algebraische Summe aller Monome. Grad angegebene Nummer ist als Polynom gleich Null. Wenn die Zahl selbst als Standardtyp eines Polynoms den Wert „Null“ annimmt, wird ihr Grad als unbestimmt angesehen und das „Null“-Polynom selbst wird als Nullpolynom bezeichnet.

Im vorgestellten Video fällt auch auf, dass jedes Polynom unter anderem einen führenden Koeffizienten und einen freien Term hat. Der führende Koeffizient ist der numerische Wert, der vor der Variablen mit dem höchsten Grad steht (derjenige, der den Rang des Polynoms selbst angibt). Und der freie Term ist die Gesamtsumme aller Zahlenwerte des Polynoms. Wenn im Polynom keine ähnlichen Werte vorhanden sind oder diese sich vollständig aufheben, wird der freie Term gleich 0 angenommen. Im Beispiel:

7a 4 - 2b 2 + 5c 3 + 3

Der höchste Koeffizient ist die Zahl 7, da sie vor der Variablen mit dem höchsten Grad steht (dem vierten – und gleichzeitig hat das gesamte Polynom den vierten Grad). Freies Mitglied in diesem Beispiel, ist gleich 3.

Polynom und seine Standardform

Ein Polynom ist die Summe von Monomen.

Die Monome, aus denen ein Polynom besteht, werden Mitglieder des Polynoms genannt. Die Terme des Polynoms 4x2y - 5xy + 3x -1 lauten also 4x2y, -5xy, 3x und -1.

Besteht ein Polynom aus zwei Gliedern, so heißt es Binomial, besteht es aus drei Gliedern, heißt es Trinom. Ein Monom wird als Polynom betrachtet, das aus einem Term besteht.

Im Polynom 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 sind die Terme 7x3y2 und - 2y2x3 ähnliche Terme, weil sie den gleichen Buchstabenteil haben. Ähnlich sind auch die Begriffe -12 und 6, die keinen Buchstabenteil haben. Ähnliche Terme in einem Polynom werden als ähnliche Terme eines Polynoms bezeichnet, und die Reduktion ähnlicher Terme in einem Polynom wird als Reduktion ähnlicher Terme eines Polynoms bezeichnet.

Als Beispiel geben wir ähnliche Terme im Polynom 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6 an.

Ein Polynom heißt Polynom in Standardform, wenn jeder seiner Terme ein Monom in Standardform ist und dieses Polynom keine ähnlichen Terme enthält.

Jedes Polynom kann auf die Standardform reduziert werden. Dazu müssen Sie jedes seiner Mitglieder in Standardform vorstellen und ähnliche Bedingungen mitbringen.

Der Grad eines Polynoms in Standardform ist der höchste Grad seiner konstituierenden Monome.

Der Grad eines beliebigen Polynoms ist der Grad eines identisch gleichen Polynoms in Standardform.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Grad des Polynoms 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 ermitteln:

8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.

Beachten Sie, dass das ursprüngliche Polynom Monome sechsten Grades enthält, aber als ähnliche Terme reduziert wurden, wurden sie alle reduziert, und das Ergebnis war ein Polynom dritten Grades, was bedeutet, dass das ursprüngliche Polynom Grad 3 hat!
Polynome in einer Variablen

Ein Ausdruck der Form, in dem sich einige Zahlen befinden, wird als Gradpolynom bezeichnet.

Zwei Polynome heißen identisch gleich, wenn ihre Zahlenwerte für alle Werte übereinstimmen. Polynome und sind genau dann identisch gleich, wenn sie übereinstimmen, d. h. die Koeffizienten für die gleichen Potenzen dieser Polynome sind gleich.

Wenn wir ein Polynom durch ein Polynom dividieren (z. B. durch eine „Ecke“), erhalten wir ein Polynom (unvollständiger Quotient) und einen Rest – ein Polynom (wenn der Rest Null ist, wird das Polynom als Quotient bezeichnet). Wenn der Dividend und der Divisor ist, dann stellen wir das Polynom in der Form dar. In diesem Fall ist die Summe der Polynomgrade gleich dem Grad des Polynoms und der Grad des Restes ist kleiner als der Grad des Divisors.

Das Konzept eines Polynoms. Polynomgrad

Ein Polynom in der Variablen x ist ein Ausdruck der Form

anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0,wobei n - natürliche Zahl; an, an-1,..., a1, a0 – beliebige Zahlen, die als Koeffizienten dieses Polynoms bezeichnet werden. Die Ausdrücke anxn, an-1xn-1,..., a1x, a0 heißen Terme des Polynoms, a0 ist der freie Term.

Wir verwenden häufig die folgenden Begriffe: an – Koeffizient für xn, an-1 – Koeffizient für xn-1 usw.

Beispiele für Polynome sind die folgenden Ausdrücke: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0. Hier sind die Koeffizienten für das erste Polynom die Zahlen 0, 2, - 3, 3/7, ; In diesem Fall ist beispielsweise die Zahl 2 der Koeffizient von x3 und der freie Term.

Ein Polynom, dessen Koeffizienten alle Null sind, heißt Null.

So ist beispielsweise das Polynom 0x2+0x+0 Null.

Aus der Notation eines Polynoms geht hervor, dass es aus mehreren Gliedern besteht. Daher stammt der Begriff ‹‹Polynom›› (viele Begriffe). Manchmal wird ein Polynom als Polynom bezeichnet. Dieser Begriff kommt von Griechische Wörterπολι – viele und νομχ – Mitglied.

Wir bezeichnen ein Polynom in einer Variablen x wie folgt: f (x), g (x), h (x) usw. Wenn beispielsweise das erste der oben genannten Polynome mit f (x) bezeichnet wird, können wir schreiben: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.

Um die Polynomschreibweise einfacher und kompakter zu gestalten, haben wir uns auf eine Reihe von Konventionen geeinigt.

Die Terme eines Polynoms ungleich Null, deren Koeffizienten gleich Null sind, werden nicht aufgeschrieben. Anstelle von f (x) =0x3+3x2+0x+5 schreiben sie beispielsweise: f (x) =3x2+5; statt g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Somit ist jede Zahl auch ein Polynom. Ein Polynom h(x), bei dem alle Koeffizienten gleich Null sind, d.h. Das Nullpolynom wird wie folgt geschrieben: h (x) =0.

Auch Koeffizienten eines Polynoms, die kein freier Term und gleich 1 sind, werden nicht aufgeschrieben. Beispielsweise kann das Polynom f (x) =2x3+1x2+7x+1 wie folgt geschrieben werden: f (x) =x3+x2+7x+1.

Das Vorzeichen ‹‹-›› eines negativen Koeffizienten wird dem Term zugeordnet, der diesen Koeffizienten enthält, d. h. zum Beispiel wird das Polynom f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) als f (x) geschrieben ) =2x3 -3x2+7x-5. Wenn außerdem der Koeffizient, der kein freier Term ist, gleich - 1 ist, wird das „-“-Zeichen vor dem entsprechenden Term gehalten und die Einheit wird nicht geschrieben. Wenn das Polynom beispielsweise die Form f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1) hat, dann kann es wie folgt geschrieben werden: f (x) =x3-x2+3x-1.

Es kann sich die Frage stellen: Warum sollte man beispielsweise in der Notation eines Polynoms zustimmen, 1x durch x zu ersetzen, wenn bekannt ist, dass 1x = x für jede Zahl x ist? Der Punkt ist, dass die letzte Gleichung gilt, wenn x eine Zahl ist. In unserem Fall ist x ein Element beliebiger Natur. Darüber hinaus haben wir noch nicht das Recht, den Eintrag 1x als Produkt der Zahl 1 und des Elements x zu betrachten, da x, wie wir wiederholen, keine Zahl ist. Genau dieser Umstand führt zu den Konventionen beim Schreiben eines Polynoms. Und wenn wir ohne Grund weiterhin über das Produkt von beispielsweise 2 und x sprechen, dann geben wir zu, dass es uns an Genauigkeit mangelt.

Aufgrund der Konventionen beim Schreiben eines Polynoms achten wir auf dieses Detail. Gibt es beispielsweise ein Polynom f (x) = 3x3-2x2-x+2, so sind seine Koeffizienten die Zahlen 3, - 2, - 1,2. Natürlich könnte man sagen, dass die Koeffizienten die Zahlen 0, 3, - 2, - 1, 2 sind, was diese Darstellung dieses Polynoms bedeutet: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2.

Aus Gründen der Eindeutigkeit werden wir in Zukunft die Koeffizienten angeben, beginnend mit Einsen ungleich Null, in der Reihenfolge, in der sie in der Notation des Polynoms erscheinen. Somit sind die Koeffizienten des Polynoms f (x) = 2x5-x die Zahlen 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Tatsache ist, dass, obwohl beispielsweise der Term mit x2 in der Notation fehlt, das bedeutet nur, dass sein Koeffizient gleich Null ist. Ebenso gibt es im Eintrag keinen freien Term, da dieser gleich Null ist.

Wenn es ein Polynom f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 und an≠0 gibt, dann heißt die Zahl n Grad des Polynoms f (x) (oder man sagt: f(x) - n. Grad) und schreibe Kunst. f(x)=n. In diesem Fall wird an als führender Koeffizient bezeichnet und anxn ist der führende Term dieses Polynoms.

Wenn zum Beispiel f (x) =5x4-2x+3, dann st. f (x) =4, führender Koeffizient - 5, führender Term - 5x4.

Betrachten wir nun das Polynom f (x) =a, wobei a eine Zahl ungleich Null ist. Welchen Grad hat dieses Polynom? Es ist leicht zu erkennen, dass die Koeffizienten des Polynoms f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 von rechts nach links mit den Zahlen 0, 1, 2, …, n- nummeriert sind. 1, n und wenn an≠0, dann Art. f(x)=n. Dies bedeutet, dass der Grad eines Polynoms die größte der von Null verschiedenen Zahlen seiner Koeffizienten ist (mit der eben genannten Nummerierung). Kehren wir nun zum Polynom f (x) =a, a≠0 zurück und nummerieren seine Koeffizienten von rechts nach links mit den Zahlen 0, 1, 2, .... Koeffizient a erhält die Zahl 0, und da alle anderen Wenn die Koeffizienten Null sind, ist dies die größte Koeffizientenzahl ungleich Null eines gegebenen Polynoms. Also Kunst. f (x) =0.

Polynome vom Grad Null sind also von Null verschiedene Zahlen.

Es bleibt abzuwarten, wie es mit dem Grad des Nullpolynoms aussieht. Bekanntlich sind alle seine Koeffizienten gleich Null und daher kann die obige Definition nicht auf ihn angewendet werden. Daher haben wir uns darauf geeinigt, dem Nullpolynom keinen Grad zuzuweisen, d. h. dass er keinen Abschluss hat. Diese Konvention wird durch einige Umstände verursacht, auf die etwas später eingegangen wird.

Das Nullpolynom hat also keinen Grad; das Polynom f (x) =a, wobei a eine Zahl ungleich Null ist und den Grad 0 hat; Der Grad jedes anderen Polynoms ist, wie leicht zu erkennen ist, gleich dem größten Exponenten der Variablen x, deren Koeffizient gleich Null ist.

Erinnern wir uns abschließend noch an einige weitere Definitionen. Ein Polynom zweiten Grades f (x) =ax2+bx+c heißt quadratisches Trinom. Ein Polynom ersten Grades der Form g (x) =x+c heißt lineares Binomial.
Horners Plan.

Horners Schema ist eine der einfachsten Möglichkeiten, ein Polynom durch ein Binomial x-a zu dividieren. Natürlich ist die Anwendung von Horners Schema nicht auf die Division beschränkt, aber betrachten wir zunächst genau das. Wir erklären die Verwendung des Algorithmus anhand von Beispielen. Teilen durch. Erstellen wir eine Tabelle mit zwei Zeilen: In der ersten Zeile schreiben wir die Koeffizienten des Polynoms in absteigender Reihenfolge der Grade der Variablen. Beachten Sie, dass dieses Polynom kein x enthält, d. h. der Koeffizient vor x ist 0. Da wir dividieren, schreiben wir eins in die zweite Zeile:

Beginnen wir mit dem Ausfüllen der leeren Zellen in der zweiten Zeile. Schreiben wir 5 in die erste leere Zelle, indem wir sie einfach aus der entsprechenden Zelle der ersten Zeile verschieben:

Füllen wir die nächste Zelle nach diesem Prinzip:

Füllen wir den vierten auf die gleiche Weise aus:

Für die fünfte Zelle erhalten wir:

Und schließlich haben wir für die letzte, sechste Zelle:

Das Problem ist gelöst, es bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben:

Wie Sie sehen können, sind die Zahlen in der zweiten Zeile (zwischen der ersten und der letzten) die Koeffizienten des Polynoms, das man nach der Division durch erhält. Die letzte Zahl in der zweiten Zeile bedeutet den Rest der Division oder, was dasselbe ist, den Wert des Polynoms at. Wenn also in unserem Fall der Rest gleich Null ist, werden die Polynome vollständig dividiert.

Das Ergebnis zeigt auch, dass 1 die Wurzel des Polynoms ist.

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel geben. Teilen wir das Polynom durch. Stellen wir gleich fest, dass der Ausdruck in der Form dargestellt werden muss. Horners Schema wird genau -3 umfassen.

Wenn unser Ziel darin besteht, alle Wurzeln eines Polynoms zu finden, kann Horners Schema mehrmals hintereinander angewendet werden, bis wir alle Wurzeln erschöpft haben. Lassen Sie uns zum Beispiel alle Wurzeln eines Polynoms finden. Unter den Teilern des freien Termes müssen ganze Wurzeln gesucht werden, d.h. Unter den Teilern gibt es 8. Das heißt, die Zahlen -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 können ganzzahlige Wurzeln sein. Schauen wir uns zum Beispiel 1 an:

Der Rest ist also 0, d.h. Einheit ist tatsächlich die Wurzel dieses Polynoms. Versuchen wir noch ein paar Mal, das Gerät zu überprüfen. Wir werden hierfür keine neue Tabelle erstellen, sondern die bisherige weiterhin verwenden:

Auch hier ist der Rest Null. Lasst uns mit der Tabelle fortfahren, bis wir alles erschöpft haben. mögliche Werte Wurzeln:

Fazit: Natürlich ist diese Auswahlmethode im allgemeinen Fall wirkungslos, wenn die Wurzeln keine ganzen Zahlen sind, aber für ganzzahlige Wurzeln ist die Methode recht gut.

Rationale Wurzeln eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten Das Finden der Wurzeln eines Polynoms ist ein interessantes und ziemlich schwieriges Problem, dessen Lösung über die Grenzen von hinausgeht Schulkurs Mathematik. Für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten gibt es jedoch einen einfachen Aufzählungsalgorithmus, mit dem Sie alle rationalen Wurzeln finden können.

Satz. Wenn ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten eine rationale Wurzel hat (ein irreduzibler Bruch ist),

dann ist der Zähler des Bruchs der Teiler des freien Termes und der Nenner der Teiler des führenden Koeffizienten dieses Polynoms.

Nachweisen

Lassen Sie uns das Polynom in kanonischer Form schreiben. Lassen Sie uns die Nenner ersetzen und entfernen, indem wir mit der größten Potenz n multiplizieren:

Verschieben Sie das Mitglied nach rechts

Das Produkt wird durch die ganze Zahl m dividiert. Aufgrund der Bedingung ist der Bruch irreduzibel, daher sind die Zahlen m und n teilerfremd. Dann sind die Zahlen m teilerfremd und wenn das Produkt der Zahlen durch m teilbar ist und der Faktor durch m teilerfremd ist, dann muss der zweite Faktor durch m teilbar sein.

Der Beweis der Teilbarkeit des führenden Koeffizienten durch den Nenner n wird auf die gleiche Weise bewiesen, indem der Term nach rechts und der Faktor n von links aus der linken Klammer verschoben wird.

Lassen Sie uns einige Bemerkungen zum bewiesenen Satz machen.

Anmerkungen

1) Der Satz gibt nur notwendige Bedingung Existenz einer rationalen Wurzel. Das bedeutet, dass Sie alles überprüfen müssen Rationale Zahlen, mit der im Satz angegebenen Eigenschaft und wählen Sie daraus diejenigen aus, die sich als Wurzeln herausstellen. Es wird keine anderen geben.

2) Unter den Teilern müssen Sie nicht nur positive, sondern auch negative ganze Zahlen nehmen.

3) Wenn der führende Koeffizient 1 ist, muss jede rationale Wurzel eine ganze Zahl sein, da 1 außer 1 keine Teiler hat

Lassen Sie uns den Satz und die Kommentare dazu anhand von Beispielen veranschaulichen.

1) Rationale Wurzeln müssen ganz sein.

Wir sortieren die Teiler des freien Termes: Positive Zahlen Es macht keinen Sinn, es zu ersetzen, da alle Koeffizienten des Polynoms positiv sind und wann

Es bleibt noch F(–1) und F(–2) zu berechnen. F(–1)=1+0; F(–2)=0.

Das Polynom hat also eine ganzzahlige Wurzel x=–2.

Wir können F(x) durch x+2 dividieren:

2) Notieren Sie die möglichen Werte der Wurzeln:

Durch Substitution verifizieren wir, dass das Polynom auch drei verschiedene rationale Wurzeln hat:

Natürlich ist die Wurzel x = -1 leicht zu erraten. Anschließend können Sie mit den üblichen Techniken faktorisieren und nach den Wurzeln des quadratischen Trinoms suchen.

Division von Polynomen. EUCLID-ALGORITHMUS

Division von Polynomen

Beispiel Nr. 1

6x 3 + x 2 – 3x – 2 2x 2 – x – 1

6x 3 ± 3x 2 ± 3x 3x + 2

4x 2 + 0x – 2

4x 2 ± 2x ± 2

Somit ist 6x 3 + x 2 – 3x – 2 = (2x 2 – x – 1)(3x + 2) + 2x.

Beispiel Nr. 2

a 5 a 4 b a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4

± a 4 b ± a 3 b 2

– a 2 b 3 + b 5

± a 2 b 3 ± ab 4

Somit ist a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4).

Wir sagten, dass es sowohl Standardpolynome als auch Nichtstandardpolynome gibt. Dort haben wir festgestellt, dass es jeder kann Bringen Sie das Polynom in die Standardform. In diesem Artikel werden wir zunächst herausfinden, welche Bedeutung dieser Satz hat. Als nächstes listen wir die Schritte auf, um ein beliebiges Polynom in die Standardform umzuwandeln. Schauen wir uns abschließend Lösungen für typische Beispiele an. Wir werden die Lösungen ausführlich beschreiben, um alle Nuancen zu verstehen, die bei der Reduktion von Polynomen auf die Standardform auftreten.

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Was bedeutet es, ein Polynom auf die Standardform zu reduzieren?

Zunächst müssen Sie klar verstehen, was unter der Reduktion eines Polynoms auf die Standardform zu verstehen ist. Lassen Sie uns das herausfinden.

Polynome können wie alle anderen Ausdrücke identischen Transformationen unterzogen werden. Als Ergebnis der Durchführung solcher Transformationen werden Ausdrücke erhalten, die identisch mit dem ursprünglichen Ausdruck sind. Wenn man also bestimmte Transformationen mit Polynomen nicht standardmäßiger Form durchführt, kann man zu Polynomen übergehen, die ihnen identisch sind, aber in Standardform geschrieben sind. Dieser Übergang wird als Reduktion des Polynoms auf die Standardform bezeichnet.

Also, Reduzieren Sie das Polynom auf die Standardform- Dies bedeutet, dass das ursprüngliche Polynom durch ein identisch gleiches Polynom einer Standardform ersetzt wird, das aus dem ursprünglichen Polynom durch identische Transformationen gewonnen wird.

Wie reduziere ich ein Polynom auf die Standardform?

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Transformationen uns helfen werden, das Polynom in eine Standardform zu bringen. Wir beginnen mit der Definition eines Polynoms der Standardform.

Per Definition ist jeder Term eines Polynoms in Standardform ein Monom in Standardform, und ein Polynom in Standardform enthält keine ähnlichen Terme. Polynome wiederum, die in einer anderen als der Standardform geschrieben sind, können aus Monomen in einer nicht standardmäßigen Form bestehen und ähnliche Terme enthalten. Dies folgt logischerweise der folgenden Regel, die erklärt wie man ein Polynom auf die Standardform reduziert:

• Zuerst müssen Sie die Monome, aus denen das ursprüngliche Polynom besteht, in die Standardform bringen.
• Führen Sie dann die Reduktion ähnlicher Terme durch.

Als Ergebnis wird ein Polynom in Standardform erhalten, da alle seine Terme in Standardform geschrieben werden und es keine ähnlichen Terme enthält.

Beispiele, Lösungen

Schauen wir uns Beispiele für die Reduzierung von Polynomen auf die Standardform an. Bei der Lösung folgen wir den Schritten, die die Regel aus dem vorherigen Absatz vorgibt.

Hier stellen wir fest, dass manchmal alle Terme eines Polynoms sofort in Standardform geschrieben werden; in diesem Fall reicht es aus, nur ähnliche Terme anzugeben. Manchmal gibt es nach der Reduzierung der Terme eines Polynoms auf eine Standardform keine ähnlichen Terme mehr, daher entfällt in diesem Fall die Phase, in der ähnliche Terme herangezogen werden. Im Allgemeinen muss man beides tun.

Beispiel.

Stellen Sie die Polynome in Standardform dar: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Und .

Lösung.

Alle Terme des Polynoms 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 sind in Standardform geschrieben; es gibt keine ähnlichen Terme, daher wird dieses Polynom bereits in Standardform dargestellt.

Fahren wir mit dem nächsten Polynom fort 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Seine Form ist nicht standardmäßig, wie die Terme 2·a 3 ·0,6 und −b·a·b 4 ·b 5 einer nicht standardmäßigen Form belegen. Lassen Sie es uns in Standardform präsentieren.

Im ersten Schritt, um das ursprüngliche Polynom in die Standardform zu bringen, müssen wir alle seine Terme in der Standardform darstellen. Daher reduzieren wir das Monom 2·a 3 ·0,6 auf die Standardform, wir haben 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3 , danach nehmen wir das Monom −b·a·b 4 ·b 5 , wir haben −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Auf diese Weise, . Im resultierenden Polynom sind alle Terme in Standardform geschrieben; außerdem ist es offensichtlich, dass es darin keine ähnlichen Terme gibt. Damit ist die Reduktion des ursprünglichen Polynoms auf die Standardform abgeschlossen.

Es bleibt noch, das letzte der angegebenen Polynome in Standardform darzustellen. Nachdem alle Mitglieder in die Standardform gebracht wurden, wird es wie folgt geschrieben . Es hat ähnliche Mitglieder, daher müssen Sie ähnliche Mitglieder besetzen:

Das ursprüngliche Polynom hatte also die Standardform −x·y+1.

Antwort:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – bereits in Standardform, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Oftmals ist die Überführung eines Polynoms in eine Standardform nur ein Zwischenschritt bei der Beantwortung der gestellten Frage. Um beispielsweise den Grad eines Polynoms zu ermitteln, ist dessen vorläufige Darstellung in Standardform erforderlich.

Beispiel.

Geben Sie ein Polynom an Geben Sie zur Standardform den Grad an und ordnen Sie die Terme in absteigender Gradzahl der Variablen an.

Lösung.

Zuerst bringen wir alle Terme des Polynoms in die Standardform: .

Nun präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Wir haben also das ursprüngliche Polynom in eine Standardform gebracht, die es uns ermöglicht, den Grad des Polynoms zu bestimmen, der dem höchsten Grad der darin enthaltenen Monome entspricht. Offensichtlich ist es gleich 5.

Es bleibt noch, die Terme des Polynoms in abnehmenden Potenzen der Variablen anzuordnen. Dazu müssen Sie lediglich die Terme im resultierenden Polynom in Standardform unter Berücksichtigung der Anforderung neu anordnen. Der Term z 5 hat den höchsten Grad; die Grade der Terme , −0,5·z 2 und 11 sind jeweils gleich 3, 2 und 0. Daher hat ein Polynom mit Termen, die in abnehmenden Potenzen der Variablen angeordnet sind, die Form .

Antwort:

Der Grad des Polynoms ist 5, und nachdem man seine Terme in absteigenden Graden der Variablen angeordnet hat, nimmt es die Form an .

Referenzliste.

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