Große Beispiele in einem Spaltenrechner lösen. Aufteilung

Die Division natürlicher Zahlen, insbesondere mehrstelliger Zahlen, erfolgt zweckmäßigerweise nach einer speziellen Methode, die aufgerufen wird Division durch eine Spalte (in einer Spalte). Dort finden Sie auch den Namen Eckteilung. Beachten wir gleich, dass die Spalte sowohl zur Division natürlicher Zahlen ohne Rest als auch zur Division natürlicher Zahlen mit Rest verwendet werden kann.

In diesem Artikel werden wir uns ansehen, wie lange die Division durchgeführt wird. Hier werden wir über die Aufzeichnungsregeln und alle Zwischenberechnungen sprechen. Konzentrieren wir uns zunächst auf die Division einer mehrstelligen natürlichen Zahl durch eine einstellige Zahl mit einer Spalte. Danach konzentrieren wir uns auf Fälle, in denen sowohl der Dividend als auch der Divisor mehrwertige natürliche Zahlen sind. Die gesamte Theorie dieses Artikels wird mit typischen Beispielen der Division durch eine Spalte natürlicher Zahlen mit detaillierten Erklärungen zur Lösung und Abbildungen versehen.

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Regeln für die Aufzeichnung beim Teilen durch eine Spalte

Beginnen wir mit dem Studium der Regeln zum Schreiben des Dividenden, des Divisors, aller Zwischenberechnungen und Ergebnisse bei der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte. Nehmen wir gleich an, dass es am bequemsten ist, die Spalteneinteilung beim Schreiben auf Papier mit einer karierten Linie vorzunehmen – auf diese Weise ist die Wahrscheinlichkeit geringer, dass man von der gewünschten Zeile und Spalte abweicht.

Zuerst werden Dividend und Divisor in einer Zeile von links nach rechts geschrieben, danach wird ein Symbol der Form zwischen die geschriebenen Zahlen gezeichnet. Wenn der Dividend beispielsweise die Zahl 6 105 und der Divisor 5 5 ist, dann sieht ihre korrekte Aufzeichnung bei der Aufteilung in eine Spalte wie folgt aus:

Schauen Sie sich das folgende Diagramm an, um zu veranschaulichen, wo die Dividenden-, Divisor-, Quotienten-, Rest- und Zwischenberechnungen bei der langen Division geschrieben werden müssen.

Aus dem obigen Diagramm geht hervor, dass der erforderliche Quotient (oder der unvollständige Quotient bei Division mit Rest) unterhalb des Divisors unter der horizontalen Linie geschrieben wird. Und Zwischenberechnungen werden unterhalb der Dividende durchgeführt, und Sie müssen sich im Voraus um die Verfügbarkeit von Platz auf der Seite kümmern. In diesem Fall sollten Sie sich an der Regel orientieren: Je größer der Unterschied in der Anzahl der Zeichen in den Einträgen von Dividend und Divisor ist, desto mehr Platz wird benötigt. Wenn Sie beispielsweise die natürliche Zahl 614.808 durch 51.234 durch eine Spalte dividieren (614.808 ist eine sechsstellige Zahl, 51.234 ist eine fünfstellige Zahl, beträgt der Unterschied in der Anzahl der Zeichen in den Datensätzen 6 − 5 = 1), mittel Berechnungen benötigen weniger Platz als bei der Division der Zahlen 8 058 und 4 (hier beträgt der Unterschied in der Anzahl der Zeichen 4 − 1 = 3). Um unsere Worte zu bestätigen, präsentieren wir vollständige Aufzeichnungen der Division durch eine Spalte dieser natürlichen Zahlen:

Jetzt können Sie direkt mit der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte fortfahren.

Spaltendivision einer natürlichen Zahl durch eine einstellige natürliche Zahl, Spaltendivisionsalgorithmus

Es ist klar, dass die Division einer einstelligen natürlichen Zahl durch eine andere recht einfach ist und es keinen Grund gibt, diese Zahlen in eine Spalte aufzuteilen. Es wird jedoch hilfreich sein, Ihre anfänglichen Fähigkeiten im Bereich der Langdivision anhand dieser einfachen Beispiele zu üben.

Beispiel.

Wir müssen mit einer Spalte von 8 durch 2 dividieren.

Lösung.

Natürlich können wir eine Division mithilfe der Multiplikationstabelle durchführen und sofort die Antwort 8:2=4 aufschreiben.

Uns interessiert aber, wie man diese Zahlen durch eine Spalte dividiert.

Zuerst schreiben wir den Dividenden 8 und den Divisor 2 auf, wie es die Methode erfordert:

Jetzt beginnen wir herauszufinden, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten ist. Dazu multiplizieren wir den Divisor nacheinander mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., bis das Ergebnis eine Zahl ist, die dem Dividenden entspricht (oder eine Zahl größer als der Dividenden, wenn es sich um eine Division mit Rest handelt). ). Wenn wir eine Zahl erhalten, die dem Dividenden entspricht, schreiben wir sie sofort unter den Dividenden und an die Stelle des Quotienten schreiben wir die Zahl, mit der wir den Divisor multipliziert haben. Wenn wir eine Zahl erhalten, die größer als der Dividend ist, schreiben wir unter den Divisor die im vorletzten Schritt berechnete Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten die Zahl, mit der der Divisor im vorletzten Schritt multipliziert wurde.

Los geht's: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Wir haben eine Zahl erhalten, die dem Dividenden entspricht, also schreiben wir sie unter den Dividenden und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 4. In diesem Fall hat die Aufzeichnung folgende Form:

Der letzte Schritt der Division einstelliger natürlicher Zahlen mit einer Spalte bleibt bestehen. Unter der unter dem Dividenden geschriebenen Zahl müssen Sie eine horizontale Linie zeichnen und die Zahlen über dieser Linie auf die gleiche Weise subtrahieren, wie Sie es beim Subtrahieren natürlicher Zahlen in einer Spalte tun. Die aus der Subtraktion resultierende Zahl ist der Rest der Division. Ist sie gleich Null, werden die ursprünglichen Zahlen ohne Rest dividiert.

In unserem Beispiel erhalten wir

Jetzt haben wir eine fertige Aufzeichnung der Spaltenteilung der Zahl 8 durch 2 vor uns. Wir sehen, dass der Quotient von 8:2 4 ist (und der Rest 0 ist).

Antwort:

8:2=4 .

Schauen wir uns nun an, wie eine Spalte einstellige natürliche Zahlen durch einen Rest dividiert.

Beispiel.

Teilen Sie mit einer Spalte 7 durch 3.

Lösung.

Im Anfangsstadium sieht der Eintrag so aus:

Wir beginnen herauszufinden, wie oft die Dividende den Divisor enthält. Wir multiplizieren 3 mit 0, 1, 2, 3 usw. bis wir eine Zahl erhalten, die gleich oder größer als die Dividende 7 ist. Wir erhalten 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (siehe ggf. den Artikel zum Vergleich natürlicher Zahlen). Unter den Dividenden schreiben wir die Zahl 6 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des unvollständigen Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (die Multiplikation wurde damit im vorletzten Schritt durchgeführt).

Es bleibt noch die Subtraktion durchzuführen und die Division durch eine Spalte der einstelligen natürlichen Zahlen 7 und 3 ist abgeschlossen.

Somit ist der Teilquotient 2 und der Rest ist 1.

Antwort:

7:3=2 (Rest. 1) .

Jetzt können Sie mit der Division mehrstelliger natürlicher Zahlen durch Spalten in einstellige natürliche Zahlen fortfahren.

Jetzt werden wir es herausfinden Langdivisionsalgorithmus. In jeder Phase präsentieren wir die Ergebnisse, die wir durch Division der mehrstelligen natürlichen Zahl 140.288 durch die einstellige natürliche Zahl 4 erhalten. Dieses Beispiel wurde nicht zufällig ausgewählt, da wir bei der Lösung auf alle möglichen Nuancen stoßen und diese im Detail analysieren können.

Zuerst schauen wir uns die erste Ziffer links in der Dividendenschreibweise an. Wenn die durch diese Zahl definierte Zahl größer als der Teiler ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Teiler ist, müssen wir die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden zur Betrachtung hinzufügen und mit der Zahl weiterarbeiten, die durch die beiden betrachteten Ziffern bestimmt wird. Der Einfachheit halber heben wir in unserer Notation die Zahl hervor, mit der wir arbeiten werden.

Die erste Ziffer von links in der Notation des Dividenden 140288 ist die Ziffer 1. Die Zahl 1 ist kleiner als der Teiler 4, daher schauen wir uns auch die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden an. Gleichzeitig sehen wir die Zahl 14, mit der wir weiter arbeiten müssen. Wir heben diese Zahl in der Notation der Dividende hervor.

Die folgenden Schritte vom zweiten bis zum vierten werden zyklisch wiederholt, bis die Division der natürlichen Zahlen durch eine Spalte abgeschlossen ist.

Jetzt müssen wir bestimmen, wie oft der Divisor in der Zahl enthalten ist, mit der wir arbeiten (der Einfachheit halber bezeichnen wir diese Zahl als x). Dazu multiplizieren wir den Teiler nacheinander mit 0, 1, 2, 3, ..., bis wir die Zahl x oder eine Zahl größer als x erhalten. Wenn wir die Zahl x erhalten haben, schreiben wir sie gemäß den Aufzeichnungsregeln, die beim Subtrahieren natürlicher Zahlen in einer Spalte verwendet werden, unter die hervorgehobene Zahl. Anstelle des Quotienten wird beim ersten Durchlauf des Algorithmus die Zahl geschrieben, mit der die Multiplikation durchgeführt wurde (in nachfolgenden Durchgängen von 2-4 Punkten des Algorithmus wird diese Zahl rechts von den bereits vorhandenen Zahlen geschrieben). Wenn wir eine Zahl erhalten, die größer als die Zahl x ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl und anstelle des Quotienten (oder rechts von den bereits vorhandenen Zahlen) schreiben wir die Zahl von wobei die Multiplikation im vorletzten Schritt durchgeführt wurde. (In den beiden oben besprochenen Beispielen haben wir ähnliche Aktionen durchgeführt).

Multiplizieren Sie den Teiler 4 mit den Zahlen 0, 1, 2, ..., bis wir eine Zahl erhalten, die gleich 14 oder größer als 14 ist. Wir haben 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Da wir im letzten Schritt die Zahl 16 erhalten haben, die größer als 14 ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die Zahl 12, die wir im vorletzten Schritt erhalten haben, und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 3, da in am vorletzten Punkt wurde die Multiplikation genau dadurch durchgeführt.


Subtrahieren Sie zu diesem Zeitpunkt mithilfe einer Spalte die darunter liegende Zahl von der ausgewählten Zahl. Das Ergebnis der Subtraktion wird unter die horizontale Linie geschrieben. Wenn das Ergebnis der Subtraktion jedoch Null ist, muss es nicht aufgeschrieben werden (es sei denn, die Subtraktion an diesem Punkt ist die allerletzte Aktion, die den Prozess der langen Division vollständig abschließt). Hier wäre es zur eigenen Kontrolle nicht verkehrt, das Ergebnis der Subtraktion mit dem Divisor zu vergleichen und darauf zu achten, dass dieser kleiner als der Divisor ist. Ansonsten ist irgendwo ein Fehler passiert.

Wir müssen die Zahl 12 mit einer Spalte von der Zahl 14 subtrahieren (für die Richtigkeit der Aufzeichnung müssen wir daran denken, links von den zu subtrahierenden Zahlen ein Minuszeichen zu setzen). Nach Abschluss dieser Aktion erschien die Nummer 2 unter der horizontalen Linie. Nun überprüfen wir unsere Berechnungen, indem wir die resultierende Zahl mit dem Divisor vergleichen. Da die Zahl 2 kleiner als der Teiler 4 ist, können Sie sicher zum nächsten Punkt übergehen.


Nun schreiben wir unter der horizontalen Linie rechts von den dort stehenden Zahlen (oder rechts von der Stelle, an der wir die Null nicht notiert haben) die Zahl, die sich in derselben Spalte in der Dividendennotation befindet. Wenn in der Aufzeichnung des Dividenden in dieser Spalte keine Zahlen vorhanden sind, endet die Division durch die Spalte dort. Danach wählen wir die unter der horizontalen Linie gebildete Zahl aus, akzeptieren sie als Arbeitszahl und wiederholen damit die Punkte 2 bis 4 des Algorithmus.

Unter der horizontalen Linie rechts neben der bereits vorhandenen Zahl 2 schreiben wir die Zahl 0, da es sich bei der Aufzeichnung der Dividende 140.288 in dieser Spalte um die Zahl 0 handelt. Somit wird unter der horizontalen Linie die Zahl 20 gebildet.


Wir wählen diese Zahl 20, nehmen sie als Arbeitszahl und wiederholen damit die Aktionen des zweiten, dritten und vierten Punktes des Algorithmus.

Multiplizieren Sie den Teiler 4 mit 0, 1, 2, ..., bis wir die Zahl 20 oder eine Zahl größer als 20 erhalten. Wir haben 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch. Da wir gleiche natürliche Zahlen subtrahieren, ist das Ergebnis aufgrund der Eigenschaft, gleiche natürliche Zahlen zu subtrahieren, Null. Wir schreiben die Null nicht auf (da dies nicht die letzte Stufe der Division mit einer Spalte ist), aber wir merken uns die Stelle, an der wir sie schreiben könnten (der Einfachheit halber markieren wir diese Stelle mit einem schwarzen Rechteck).


Unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Stelle schreiben wir die Zahl 2, da genau diese in der Aufzeichnung der Dividende 140.288 in dieser Spalte steht. Unter der horizontalen Linie haben wir also die Zahl 2.


Wir nehmen die Zahl 2 als Arbeitszahl, markieren sie und müssen erneut die Aktionen von 2-4 Punkten des Algorithmus ausführen.

Wir multiplizieren den Teiler mit 0, 1, 2 usw. und vergleichen die resultierenden Zahlen mit der markierten Zahl 2. Wir haben 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Daher schreiben wir unter die markierte Zahl die Zahl 0 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und an die Stelle des Quotienten rechts von der bereits vorhandenen Zahl schreiben wir die Zahl 0 (wir haben im vorletzten Schritt mit 0 multipliziert). ).


Führen wir die Subtraktion in einer Spalte durch, erhalten wir die Zahl 2 unter der horizontalen Linie. Wir überprüfen uns selbst, indem wir die resultierende Zahl mit dem Divisor 4 vergleichen. Seit 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Fügen Sie unter der horizontalen Linie rechts neben der Zahl 2 die Zahl 8 hinzu (da sie in dieser Spalte im Eintrag für die Dividende 140 288 steht). Somit erscheint die Zahl 28 unter der horizontalen Linie.


Wir nehmen diese Nummer als Arbeitsnummer, markieren sie und wiederholen die Schritte 2-4.

Wenn Sie bisher vorsichtig vorgegangen sind, sollte es hier keine Probleme geben. Nach Abschluss aller notwendigen Schritte erhält man das folgende Ergebnis.

Jetzt müssen Sie nur noch die Schritte aus den Punkten 2, 3, 4 ein letztes Mal ausführen (das überlassen wir Ihnen), danach erhalten Sie ein vollständiges Bild der Aufteilung der natürlichen Zahlen 140,288 und 4 in eine Spalte:

Bitte beachten Sie, dass ganz unten in der Zeile die Zahl 0 steht. Wenn dies nicht der letzte Schritt der Division durch eine Spalte wäre (das heißt, wenn in der Aufzeichnung des Dividenden noch Zahlen in den rechten Spalten vorhanden wären), würden wir diese Null nicht schreiben.

Wenn wir uns also die vollständige Aufzeichnung der Division der mehrstelligen natürlichen Zahl 140.288 durch die einstellige natürliche Zahl 4 ansehen, sehen wir, dass der Quotient die Zahl 35.072 ist (und der Rest der Division ist Null, er steht ganz unten). Linie).

Wenn Sie natürliche Zahlen durch eine Spalte dividieren, werden Sie natürlich nicht alle Ihre Aktionen so detailliert beschreiben. Ihre Lösungen werden in etwa wie die folgenden Beispiele aussehen.

Beispiel.

Führen Sie eine lange Division durch, wenn der Dividend 7 136 beträgt und der Divisor eine einstellige natürliche Zahl 9 ist.

Lösung.

Im ersten Schritt des Algorithmus zum Teilen natürlicher Zahlen durch Spalten erhalten wir eine Aufzeichnung der Form

Nachdem die Aktionen aus dem zweiten, dritten und vierten Punkt des Algorithmus ausgeführt wurden, nimmt der Spaltenteilungsdatensatz die Form an

Wir werden den Zyklus wiederholen

Ein weiterer Durchgang wird uns ein vollständiges Bild der Spalteneinteilung der natürlichen Zahlen 7.136 und 9 geben

Somit beträgt der Teilquotient 792 und der Rest 8.

Antwort:

7 136:9=792 (Rest. 8) .

Und dieses Beispiel zeigt, wie eine lange Division aussehen sollte.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 7.042.035 durch die einstellige natürliche Zahl 7.

Lösung.

Die bequemste Art der Aufteilung ist die Aufteilung nach Spalten.

Antwort:

7 042 035:7=1 006 005 .

Spaltenteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen

Wir beeilen uns, Ihnen eine Freude zu machen: Wenn Sie den Spaltenteilungsalgorithmus aus dem vorherigen Absatz dieses Artikels gründlich beherrschen, wissen Sie fast schon, wie er vorgeht Spaltenteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen. Dies ist richtig, da die Stufen 2 bis 4 des Algorithmus unverändert bleiben und im ersten Punkt nur geringfügige Änderungen auftreten.

In der ersten Phase der Aufteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen in eine Spalte müssen Sie nicht auf die erste Ziffer links in der Notation des Dividenden achten, sondern auf deren Anzahl, die der Anzahl der in der Notation enthaltenen Ziffern entspricht des Divisors. Wenn die durch diese Zahlen definierte Zahl größer als der Teiler ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Divisor ist, müssen wir die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden in die Betrachtung einbeziehen. Danach werden die in den Absätzen 2, 3 und 4 des Algorithmus genannten Aktionen ausgeführt, bis das Endergebnis vorliegt.

Bleibt nur noch, die Anwendung des Spaltenteilungsalgorithmus für mehrwertige natürliche Zahlen in der Praxis beim Lösen von Beispielen zu sehen.

Beispiel.

Führen wir eine Spaltendivision der mehrstelligen natürlichen Zahlen 5.562 und 206 durch.

Lösung.

Da der Divisor 206 drei Ziffern enthält, betrachten wir die ersten drei Ziffern links im Dividenden 5.562. Diese Zahlen entsprechen der Zahl 556. Da 556 größer als der Teiler 206 ist, nehmen wir die Zahl 556 als Arbeitszahl, wählen sie aus und fahren mit der nächsten Stufe des Algorithmus fort.

Nun multiplizieren wir den Teiler 206 mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., bis wir eine Zahl erhalten, die entweder gleich 556 oder größer als 556 ist. Wir haben (wenn die Multiplikation schwierig ist, dann ist es besser, natürliche Zahlen in einer Spalte zu multiplizieren): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Da wir eine Zahl erhalten haben, die größer als die Zahl 556 ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die Zahl 412 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (da wir damit multipliziert haben). im vorletzten Schritt). Der Spalteneinteilungseintrag hat folgende Form:

Wir führen eine Spaltensubtraktion durch. Wir erhalten die Differenz 144, diese Zahl ist kleiner als der Divisor, sodass Sie die erforderlichen Aktionen sicher weiter ausführen können.

Unter der horizontalen Linie rechts von der dortigen Zahl schreiben wir die Zahl 2, da sie im Datensatz der Dividende 5562 in dieser Spalte steht:

Nun arbeiten wir mit der Zahl 1.442, wählen sie aus und gehen die Schritte zwei bis vier noch einmal durch.

Multiplizieren Sie den Teiler 206 mit 0, 1, 2, 3, ..., bis Sie die Zahl 1442 oder eine Zahl größer als 1442 erhalten. Los geht's: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch, wir erhalten Null, aber wir schreiben sie nicht gleich auf, sondern merken uns nur ihre Position, weil wir nicht wissen, ob die Division hier endet oder ob wir sie wiederholen müssen noch einmal die Schritte des Algorithmus:

Jetzt sehen wir, dass wir unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Position keine Zahl schreiben können, da in der Aufzeichnung des Dividenden in dieser Spalte keine Ziffern vorhanden sind. Damit ist die Division nach Spalte abgeschlossen und wir vervollständigen den Eintrag:

• Mathematik. Alle Lehrbücher für die 1., 2., 3., 4. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
• Mathematik. Alle Lehrbücher für die 5. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.

Es ist einfach, Ihrem Kind die lange Division beizubringen. Es ist notwendig, den Algorithmus dieser Aktion zu erklären und den behandelten Stoff zu festigen.

• Laut Lehrplan wird den Kindern ab der dritten Klasse die Division nach Spalten erklärt. Studierende, die alles spontan begreifen, verstehen dieses Thema schnell
• Wenn das Kind jedoch krank wird und den Mathematikunterricht verpasst oder das Thema nicht verstanden hat, müssen die Eltern dem Kind den Stoff selbst erklären. Es ist notwendig, ihm Informationen so klar wie möglich zu übermitteln
• Mütter und Väter müssen während des Bildungsprozesses des Kindes geduldig sein und Fingerspitzengefühl gegenüber ihrem Kind zeigen. Auf keinen Fall sollten Sie Ihr Kind anschreien, wenn ihm etwas nicht gelingt, denn das kann es von irgendetwas abhalten.

Wichtig: Damit ein Kind die Division von Zahlen versteht, muss es das Einmaleins gründlich kennen. Wenn Ihr Kind die Multiplikation nicht gut kennt, wird es die Division nicht verstehen.

Bei außerschulischen Aktivitäten zu Hause können Sie Spickzettel verwenden, aber das Kind muss das Einmaleins lernen, bevor es mit dem Thema „Division“ beginnt.

Also, wie man es einem Kind erklärt Division nach Spalte:

• Versuchen Sie es zunächst in kleinen Zahlen zu erklären. Nehmen Sie Zählstäbe, zum Beispiel 8 Stück
• Fragen Sie Ihr Kind, wie viele Paare es in dieser Reihe gibt? Richtig – 4. Wenn Sie also 8 durch 2 teilen, erhalten Sie 4, und wenn Sie 8 durch 4 teilen, erhalten Sie 2
• Lassen Sie das Kind selbst eine andere Zahl dividieren, zum Beispiel eine komplexere: 24:4
• Wenn das Baby die Division von Primzahlen beherrscht, können Sie mit der Division dreistelliger Zahlen in einstellige Zahlen fortfahren.

Division ist für Kinder immer etwas schwieriger als Multiplikation. Aber sorgfältiges zusätzliches Lernen zu Hause wird dem Kind helfen, den Algorithmus dieser Aktion zu verstehen und mit seinen Mitschülern in der Schule mitzuhalten.

Beginnen Sie mit etwas Einfachem: Teilen durch eine einstellige Zahl:

Wichtig: Rechnen Sie im Kopf so, dass die Division ohne Rest zustande kommt, sonst kann es beim Kind zu Verwirrung kommen.

Zum Beispiel 256 geteilt durch 4:

• Zeichnen Sie eine vertikale Linie auf ein Blatt Papier und teilen Sie sie von der rechten Seite aus in zwei Hälften. Schreiben Sie die erste Zahl links und die zweite Zahl rechts über die Linie.
• Fragen Sie Ihr Kind, wie viele Vierer in einen Zweier passen – überhaupt nicht
• Dann nehmen wir 25. Trennen Sie diese Zahl der Übersichtlichkeit halber mit einer Ecke von oben. Fragen Sie das Kind noch einmal, wie viele Vierer in fünfundzwanzig passen? Das ist richtig - sechs. Wir schreiben die Zahl „6“ in die untere rechte Ecke unter den Strich. Das Kind muss die Multiplikationstabelle verwenden, um die richtige Antwort zu erhalten.
• Schreiben Sie die Zahl 24 unter 25 und unterstreichen Sie sie, um die Antwort zu notieren – 1
• Fragen Sie noch einmal: Wie viele Vierer passen in eine Einheit – überhaupt nicht. Dann reduzieren wir die Zahl „6“ auf eins
• Es stellte sich heraus, dass es 16 waren – wie viele Vierer passen in diese Zahl? Richtig – 4. Schreiben Sie in der Antwort „4“ neben „6“.
• Unter 16 schreiben wir 16, unterstreichen es und es ergibt sich „0“, was bedeutet, dass wir richtig geteilt haben und die Antwort „64“ war.

Schriftliche Division durch zwei Ziffern

Wenn das Kind die Division durch eine einstellige Zahl beherrscht, können Sie fortfahren. Die schriftliche Division durch eine zweistellige Zahl ist etwas schwieriger, aber wenn das Kind versteht, wie diese Aktion ausgeführt wird, wird es ihm nicht schwer fallen, solche Beispiele zu lösen.

Wichtig: Beginnen Sie auch hier mit der Erklärung mit einfachen Schritten. Das Kind lernt, Zahlen richtig auszuwählen und es wird ihm leicht fallen, komplexe Zahlen zu dividieren.

Machen Sie diese einfache Aktion gemeinsam: 184:23 – wie man es erklärt:

• Teilen wir zunächst 184 durch 20, das ergibt ungefähr 8. Die Zahl 8 schreiben wir aber nicht in die Antwort, da es sich um eine Testzahl handelt
• Lassen Sie uns prüfen, ob 8 geeignet ist oder nicht. Multiplizieren wir 8 mit 23, erhalten wir 184 – das ist genau die Zahl, die in unserem Divisor steht. Die Antwort wird 8 sein

Wichtig: Damit Ihr Kind es versteht, nehmen Sie einmal 9 statt 8, lassen Sie es 9 mit 23 multiplizieren, es ergibt sich 207 – das ist mehr als das, was wir im Divisor haben. Die Zahl 9 passt nicht zu uns.

So wird das Baby nach und nach die Division verstehen und es wird ihm leichter fallen, komplexere Zahlen zu dividieren:

• Teilen Sie 768 durch 24. Bestimmen Sie die erste Ziffer des Quotienten – teilen Sie 76 nicht durch 24, sondern durch 20, wir erhalten 3. Schreiben Sie 3 in die Antwort unter die Zeile rechts
• Unter 76 schreiben wir 72 und zeichnen einen Strich, notieren die Differenz – es ergibt sich 4. Ist diese Zahl durch 24 teilbar? Nein – wir notieren 8, es ergibt 48
• Ist 48 durch 24 teilbar? Das stimmt – ja. Es ergibt sich 2, schreiben Sie diese Zahl als Antwort
• Das Ergebnis ist 32. Jetzt können wir überprüfen, ob wir die Divisionsoperation korrekt durchgeführt haben. Führen Sie die Multiplikation in einer Spalte durch: 24x32, es ergibt sich 768, dann ist alles richtig

Wenn das Kind gelernt hat, durch eine zweistellige Zahl zu dividieren, muss mit dem nächsten Thema fortgefahren werden. Der Algorithmus zur Division durch eine dreistellige Zahl ist derselbe wie der Algorithmus zur Division durch eine zweistellige Zahl.

Zum Beispiel:

• Teilen wir 146064 durch 716. Nehmen Sie zunächst 146 – fragen Sie Ihr Kind, ob diese Zahl durch 716 teilbar ist oder nicht. Genau – nein, dann nehmen wir 1460
• Wie oft passt die Zahl 716 in die Zahl 1460? Richtig - 2, also schreiben wir diese Zahl in die Antwort
• Wir multiplizieren 2 mit 716 und erhalten 1432. Diese Zahl schreiben wir unter 1460. Die Differenz beträgt 28, wir schreiben sie unter den Strich
• Notieren wir die Zahl 6. Fragen Sie Ihr Kind: Ist 286 durch 716 teilbar? Das ist richtig – nein, also schreiben wir in der Antwort 0 neben 2. Wir entfernen auch die Zahl 4
• Teilen Sie 2864 durch 716. Nehmen Sie 3 – ein wenig, 5 – viel, was bedeutet, dass Sie 4 erhalten. Multiplizieren Sie 4 mit 716, Sie erhalten 2864
• Schreiben Sie 2864 unter 2864, die Differenz ist 0. Antwort 204

Wichtig: Um die Richtigkeit der Division zu überprüfen, multiplizieren Sie gemeinsam mit Ihrem Kind in einer Spalte – 204x716 = 146064. Die Aufteilung erfolgt korrekt.

Es ist an der Zeit, dem Kind zu erklären, dass die Teilung nicht nur ganz, sondern auch mit einem Rest erfolgen kann. Der Rest ist immer kleiner oder gleich dem Divisor.

Die Division mit Rest soll an einem einfachen Beispiel erklärt werden: 35:8=4 (Rest 3):

• Wie viele Achter passen in 35? Richtig - 4. 3 übrig
• Ist diese Zahl durch 8 teilbar? Das stimmt – nein. Es stellt sich heraus, dass der Rest 3 beträgt

Danach soll das Kind lernen, dass die Division durch Addition von 0 zur Zahl 3 fortgesetzt werden kann:

• Die Antwort enthält die Zahl 4. Danach schreiben wir ein Komma, da das Hinzufügen einer Null anzeigt, dass die Zahl ein Bruch ist
• Es ergibt sich 30. Teilen Sie 30 durch 8, es ergibt sich 3. Schreiben Sie es auf, und unter 30 schreiben wir 24, unterstreichen es und schreiben 6
• Wir addieren die Zahl 0 zur Zahl 6. Teilen Sie 60 durch 8. Nehmen Sie jeweils 7, es ergibt sich 56. Schreiben Sie unter 60 und notieren Sie die Differenz 4
• Zur Zahl 4 addieren wir 0 und dividieren durch 8, wir erhalten 5 – notieren Sie es als Antwort
• Subtrahieren Sie 40 von 40, erhalten wir 0. Die Antwort lautet also: 35:8 = 4,375

Tipp: Wenn Ihr Kind etwas nicht versteht, ärgern Sie sich nicht. Lassen Sie ein paar Tage vergehen und versuchen Sie erneut, den Stoff zu erklären.

Auch der Mathematikunterricht in der Schule stärkt das Wissen. Die Zeit vergeht und das Kind wird alle Teilungsprobleme schnell und einfach lösen.

Der Algorithmus zum Teilen von Zahlen lautet wie folgt:

• Schätzen Sie die Zahl, die in der Antwort erscheinen wird
• Finden Sie die erste unvollständige Dividende
• Bestimmen Sie die Anzahl der Stellen im Quotienten
• Finden Sie die Zahlen in jeder Ziffer des Quotienten
• Finden Sie den Rest (falls vorhanden)

Nach diesem Algorithmus erfolgt die Division sowohl durch einstellige als auch durch beliebige mehrstellige Zahlen (zweistellig, dreistellig, vierstellig usw.).

Wenn Sie mit Ihrem Kind arbeiten, geben Sie ihm häufig Beispiele für die Durchführung der Schätzung. Er muss die Antwort schnell im Kopf berechnen. Zum Beispiel:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Um das Ergebnis zu festigen, können Sie folgende Divisionsspiele nutzen:

• "Puzzle". Schreiben Sie fünf Beispiele auf ein Blatt Papier. Nur einer von ihnen darf die richtige Antwort haben.

Bedingung für das Kind: Von mehreren Beispielen wurde nur eines richtig gelöst. Finden Sie ihn in einer Minute.

Video: Rechenspiel für Kinder: Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation

Video: Lehr-Cartoon Mathematik Lernen Sie die Multiplikations- und Divisionstabellen durch 2 auswendig

Mathematischer Rechner-Online v.1.0

Der Rechner führt die folgenden Operationen aus: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Arbeiten mit Dezimalzahlen, Wurzelziehen, Potenzierung, Prozentberechnungen und andere Operationen.

Lösung:

So verwenden Sie einen Mathe-Rechner

Algorithmus des Online-Rechners anhand von Beispielen

Zusatz.

Addition natürlicher Ganzzahlen (5 + 7 = 12)

Addition ganzzahliger natürlicher und negativer Zahlen ( 5 + (-2) = 3 )

Dezimalbrüche addieren (0,3 + 5,2 = 5,5)

Subtraktion.

Natürliche ganze Zahlen subtrahieren (7 - 5 = 2)

Subtrahieren natürlicher und negativer Ganzzahlen ( 5 - (-2) = 7 )

Dezimalbrüche subtrahieren (6,5 - 1,2 = 4,3)

Multiplikation.

Produkt natürlicher Ganzzahlen (3 * 7 = 21)

Produkt aus natürlichen und negativen ganzen Zahlen ( 5 * (-3) = -15 )

Produkt von Dezimalbrüchen (0,5 * 0,6 = 0,3)

Aufteilung.

Division natürlicher ganzer Zahlen (27 / 3 = 9)

Division von natürlichen und negativen ganzen Zahlen (15 / (-3) = -5)

Division von Dezimalbrüchen (6,2 / 2 = 3,1)

Extrahieren der Wurzel einer Zahl.

Extrahieren der Wurzel einer ganzen Zahl ( root(9) = 3)

Extrahieren der Wurzel aus Dezimalbrüchen (Wurzel(2,5) = 1,58)

Extrahieren der Wurzel einer Summe von Zahlen ( root(56 + 25) = 9)

Extrahieren der Wurzel aus der Differenz zwischen Zahlen (Wurzel (32 – 7) = 5)

Eine Zahl quadrieren.

Quadrieren einer ganzen Zahl ( (3) 2 = 9 )

Quadrieren von Dezimalzahlen ((2,2)2 = 4,84)

Umrechnung in Dezimalbrüche.

Berechnen von Prozentsätzen einer Zahl

Erhöhen Sie die Zahl 230 um 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Reduzieren Sie die Zahl 510 um 35 % ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % der Zahl 140 sind (140 * 0,18 = 25,2)

Wie dividiert man Dezimalzahlen durch natürliche Zahlen? Schauen wir uns die Regel und ihre Anwendung anhand von Beispielen an.

Um einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:

1) Teilen Sie den Dezimalbruch durch die Zahl und ignorieren Sie dabei das Komma.

2) Wenn die Division des gesamten Teils abgeschlossen ist, setzen Sie ein Komma in den Quotienten.

Beispiele.

Dezimalzahlen dividieren:

Um einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren, dividieren Sie, ohne auf das Komma zu achten. 5 ist nicht durch 6 teilbar, daher setzen wir den Quotienten auf Null. Die Division des gesamten Teils ist abgeschlossen, wir setzen ein Komma in den Quotienten. Wir nehmen die Null ab. Teilen Sie 50 durch 6. Nehmen Sie 8. 6∙8=48. Von 50 subtrahieren wir 48, der Rest ist 2. Wir nehmen 4 weg. Wir teilen 24 durch 6. Wir erhalten 4. Der Rest ist Null, was bedeutet, dass die Division beendet ist: 5,04: 6 = 0,84.

2) 19,26: 18

Teilen Sie den Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl und ignorieren Sie dabei das Komma. Teilen Sie 19 durch 18. Nehmen Sie jeweils 1. Die Division des gesamten Teils ist abgeschlossen, setzen Sie ein Komma in den Quotienten. Wir subtrahieren 18 von 19. Der Rest ist 1. Wir entfernen 2. 12 ist nicht durch 18 teilbar, und in den Quotienten schreiben wir Null. Wir notieren 6. Wir dividieren 126 durch 18, wir erhalten 7. Die Division ist beendet: 19,26: 18 = 1,07.

Teilen Sie 86 durch 25. Nehmen Sie jeweils 3. 25∙3=75. Von 86 subtrahieren wir 75. Der Rest ist 11. Die Division des ganzen Teils ist abgeschlossen, in den Quotienten setzen wir ein Komma. Wir nehmen 5. Wir nehmen jeweils 4. 25∙4=100. Von 115 subtrahieren wir 100. Der Rest ist 15. Wir entfernen Null. Wir dividieren 150 durch 25. Wir erhalten 6. Die Division ist beendet: 86,5: 25 = 3,46.

4) 0,1547: 17

Null ist nicht durch 17 teilbar, wir schreiben Null in den Quotienten. Die Division des gesamten Teils ist abgeschlossen, wir setzen ein Komma in den Quotienten. Wir notieren 1. 1 ist nicht durch 17 teilbar, wir schreiben Null in den Quotienten. Wir notieren 5. 15 ist nicht durch 17 teilbar, wir schreiben Null in den Quotienten. Wir notieren 4. Wir dividieren 154 durch 17. Wir nehmen jeweils 9. 17∙9=153. Von 154 subtrahieren wir 153. Der Rest ist 1. Wir nehmen 7 ab. Wir dividieren 17 durch 17. Wir erhalten 1. Die Division ist beendet: 0,1547: 17 = 0,0091.

5) Ein Dezimalbruch kann auch durch Division zweier natürlicher Zahlen erhalten werden.

Bei der Division von 17 durch 4 nehmen wir jeweils 4. Die Division des ganzen Teils ist abgeschlossen, in den Quotienten setzen wir ein Komma. 4∙4=16. Von 17 subtrahieren wir 16. Der Rest ist 1. Wir entfernen Null. Teilen Sie 10 durch 4. Nehmen Sie jeweils 2. 4∙2=8. Von 10 subtrahieren wir 8. Der Rest ist 2. Wir entfernen Null. Teilen Sie 20 durch 4. Nehmen Sie jeweils 5. Die Division ist abgeschlossen: 17: 4 = 4,25.

Und noch ein paar Beispiele für die Division von Dezimalzahlen durch natürliche Zahlen:

Anweisungen

Testen Sie zunächst die Multiplikationsfähigkeiten Ihres Kindes. Wenn ein Kind das Einmaleins nicht genau kennt, kann es auch Probleme mit der Division haben. Wenn Sie dann die Division erklären, können Sie einen Blick auf den Spickzettel werfen, müssen aber trotzdem die Tabelle lernen.

Schreiben Sie Dividend und Divisor mit einem vertikalen Trennbalken. Unter dem Divisor notieren Sie die Antwort – den Quotienten – und trennen ihn durch eine horizontale Linie. Nehmen Sie die erste Ziffer von 372 und fragen Sie Ihr Kind, wie oft die Zahl sechs in drei „passt“. Das stimmt, überhaupt nicht.

Nehmen Sie dann zwei Zahlen – 37. Der Übersichtlichkeit halber können Sie sie mit einer Ecke hervorheben. Wiederholen Sie die Frage noch einmal – wie oft ist die Zahl Sechs in 37 enthalten. Um schnell zu zählen, wird es nützlich sein. Setzen Sie die Antwort zusammen: 6*4 = 24 – überhaupt nicht ähnlich; 6*5 = 30 – fast 37. Aber 37-30 = 7 – sechs wird wieder „passen“. Schließlich ist 6*6 = 36, 37-36 = 1 – passend. Die erste Ziffer des gefundenen Quotienten ist 6. Schreiben Sie sie unter den Divisor.

Schreiben Sie 36 unter die Zahl 37 und zeichnen Sie eine Linie. Zur Verdeutlichung können Sie das Zeichen in der Aufnahme verwenden. Tragen Sie unter die Linie den Rest ein – 1. Senken Sie nun die nächste Ziffer der Zahl, zwei, auf eins ab – es stellt sich heraus, dass sie 12 ist. Erklären Sie dem Kind, dass Zahlen immer eine nach der anderen „absteigen“. Fragen Sie noch einmal, wie viele „Sechser“ es in 12 gibt. Die Antwort ist 2, dieses Mal ohne Rest. Schreiben Sie die zweite Ziffer des Quotienten neben die erste. Das Endergebnis ist 62.

Betrachten Sie auch den Fall der Teilung im Detail. Beispiel: 167/6 = 27, Rest 5. Höchstwahrscheinlich hat Ihr Kind noch nichts über einfache Brüche gehört. Stellt er aber Fragen, lässt sich der Rest am Beispiel von Äpfeln erklären. 167 Äpfel wurden auf sechs Personen verteilt. Jeder bekam 27 Stück und fünf Äpfel blieben ungeteilt. Sie können sie auch teilen, indem Sie jede in sechs Scheiben schneiden und gleichmäßig verteilen. Jede Person bekam von jedem Apfel eine Scheibe – 1/6. Und da es fünf Äpfel gab, hatte jeder fünf Scheiben – 5/6. Das heißt, das Ergebnis kann wie folgt geschrieben werden: 27 5/6.

Um die Informationen zu untermauern, schauen Sie sich drei weitere Beispiele für Teilungen an:

1) Die erste Ziffer des Dividenden enthält den Divisor. Beispiel: 693/3 = 231.
2) Die Dividende endet bei Null. Beispiel: 1240/4 = 310.
3) Die Zahl enthält in der Mitte eine Null. Beispiel: 6808/8 = 851.

Im zweiten Fall vergessen Kinder manchmal, die letzte Ziffer der Antwort hinzuzufügen – 0. Und im dritten Fall überspringen sie manchmal die Null.

Quellen:

• Division nach Spalte 3. Klasse
• So teilen Sie 927 in eine Spalte auf

Kinder lernen konkrete Bedeutungen viel besser als abstrakte. Wie erklärt man scherzen, was sind zwei Drittel? Konzept Brüche erfordert eine besondere Einführung. Es gibt einige Methoden, die Ihnen helfen zu verstehen, was eine nicht ganzzahlige Zahl ist.

Du wirst brauchen

• - Sonderlotterie;
• - Apfel und Süßigkeiten;
• ein aus mehreren Teilen bestehender Pappkreis;
• - Kreide.

Anweisungen

Versuchen Sie, Interesse zu wecken. Spielen Sie beim Gehen eine besondere Partie „Himmel und Hölle“. Wenn Sie es schon satt haben, sich auf die regulären Aufgaben zu stürzen, Ihr Kind das Zählen aber gut beherrscht, probieren Sie diese Option aus. Zeichnen Sie mit Kreide ein Hüpfspiel auf den Asphalt, wie im Bild gezeigt, und erklären Sie dem Kind, dass es so springen kann: 1 - 2 - 3..., oder Sie können es so machen: 1 - 1,5 - 2 - 2,5... . Kinder spielen sehr gerne und deshalb sind sie besser, weil es zwischen den Zahlen noch Zwischenwerte – Teile – gibt. Dies ist Ihr nächster Schritt zum Erlernen von Bruchzahlen. Eine hervorragende visuelle Hilfe.

Nehmen Sie einen ganzen Apfel und bieten Sie ihn zwei Personen gleichzeitig an. Sie werden Ihnen sofort sagen, dass dies unmöglich ist. Schneiden Sie dann den Apfel auf und bieten Sie ihn ihnen erneut an. Jetzt ist alles in Ordnung. Jeder bekam den gleichen halben Apfel. Das sind Teile eines Ganzen.

Bieten Sie an, vier mit Ihnen in zwei Hälften zu teilen. Er wird es leicht machen. Nehmen Sie dann ein anderes heraus und bieten Sie an, dasselbe zu tun. Es ist klar, dass man nicht die ganze Süßigkeit auf einmal bekommen kann und scherzen. Die Lösung kann gefunden werden, indem man die Süßigkeiten halbiert. Dann bekommt jeder zwei ganze und eine halbe Bonbons.

Für ältere Menschen verwenden Sie einen Schneidkreis. Sie können es in 2, 4, 6 oder 8 Teile teilen. Wir laden die Kinder ein, einen Kreis zu bilden. Dann teilen wir es in zwei Hälften. Zwei Hälften ergeben einen perfekten Kreis, auch wenn Sie die Hälfte mit Ihrem Schreibtischnachbarn austauschen (die Kreise sollten den gleichen Durchmesser haben). Wir teilen jede Hälfte des Darlehens in zwei Hälften. Es stellt sich heraus, dass der Kreis aus 4 Teilen bestehen kann. Und jede Hälfte entsteht aus zwei Hälften. Dann schreiben wir es im Formular an die Tafel Brüche. Erklären Sie, was der Zähler (die genommenen Teile) und der Nenner (in wie viele Teile die Summe geteilt wurde) ist. Dies erleichtert Kindern das Verständnis eines schwierigen Konzepts – Brüche.

Hilfreicher Rat

Verwenden Sie bei der Erläuterung eines abstrakten Konzepts unbedingt visuelle Hilfsmittel.

Der Abschnitt „Multiplikation und Division“ ist einer der schwierigsten im Mathematikunterricht der Grundschule. Kinder lernen es normalerweise im Alter von 8-9 Jahren. Zu diesem Zeitpunkt ist ihr mechanisches Gedächtnis recht gut entwickelt, sodass das Auswendiglernen schnell und ohne großen Aufwand erfolgt.