Σπίτι · ηλεκτρική ασφάλεια · Διάμεσος σχεδιασμένος από ορθή γωνία. Ιδιότητες της διαμέσου ορθογωνίου τριγώνου

Διάμεσος σχεδιασμένος από ορθή γωνία. Ιδιότητες της διαμέσου ορθογωνίου τριγώνου

Πρώτο επίπεδο

Διάμεσος. Visual Guide (2019)

1. Ποια είναι η διάμεσος;

Είναι πολύ απλό!

Πάρτε ένα τρίγωνο:

Σημειώστε τη μέση σε μια από τις πλευρές του.

Και συνδεθείτε στην αντίθετη κορυφή!

Η γραμμή που προκύπτει και υπάρχει διάμεσος.

2. Ιδιότητες της διάμεσης.

Τι καλές ιδιότητες έχει η διάμεσος;

1) Ας φανταστούμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιος.Υπάρχουν τέτοια πράγματα, σωστά;

Γιατί??? Τι σχέση έχει η ορθή γωνία;

Ας παρακολουθήσουμε προσεκτικά. Απλώς όχι τρίγωνο, αλλά... ορθογώνιο. Γιατί ρωτάς?

Αλλά περπατάτε στη Γη - βλέπετε ότι είναι στρογγυλή; Όχι, φυσικά, για να το κάνετε αυτό πρέπει να κοιτάξετε τη Γη από το διάστημα. Έτσι κοιτάμε το ορθογώνιο τρίγωνό μας «από το διάστημα».

Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο:

Θυμάστε ότι οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου ίσοςΚαι μερίδιοσημείο τομής στο μισό? (Αν δεν θυμάστε, δείτε το θέμα)

Αυτό σημαίνει ότι η μισή από τη δεύτερη διαγώνιο είναι δική μας διάμεσος. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και τα μισά τους, φυσικά, επίσης. Αυτό θα πάρουμε

Δεν θα αποδείξουμε αυτή τη δήλωση, αλλά για να το πιστέψετε, σκεφτείτε μόνοι σας: υπάρχει άλλο παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιους εκτός από ένα ορθογώνιο; Φυσικά και όχι! Λοιπόν, αυτό σημαίνει ότι η διάμεσος μπορεί να είναι ίση με τη μισή πλευρά μόνο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Ας δούμε πώς αυτή η ιδιότητα βοηθά στην επίλυση προβλημάτων.

Εδώ, έργο:
Στα πλάγια? . Σχεδιασμένο από την κορυφή διάμεσος. Βρείτε αν.

Ζήτω! Μπορείτε να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα! Βλέπετε πόσο υπέροχο είναι; Αν δεν το ξέραμε διάμεσοςίσο με μισή πλευρά

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

2) Και τώρα ας μην έχουμε ένα, αλλά ολόκληρο τρεις διάμεσοι! Πώς συμπεριφέρονται;

Θυμηθείτε πολύ σημαντικό γεγονός:

Δύσκολος? Κοίτα την εικόνα:

Διάμεσοι και τέμνονται σε ένα σημείο.

Και….(το αποδεικνύουμε, αλλά προς το παρόν Θυμάμαι!):

  • - διπλάσια από?
  • - διπλάσια από?
  • - διπλάσια από.

Κουράστηκες ακόμα; Θα είσαι αρκετά δυνατός για το επόμενο παράδειγμα; Τώρα θα εφαρμόσουμε όλα όσα μιλήσαμε!

Εργο: Σε ένα τρίγωνο, διαμεσολαβούν και σχεδιάζονται, τα οποία τέμνονται σε ένα σημείο. Βρείτε αν

Ας βρούμε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Τώρα ας εφαρμόσουμε τη γνώση σχετικά με το σημείο τομής των διαμέσου.

Ας το ορίσουμε. Τμήμα, α. Εάν όλα δεν είναι ξεκάθαρα, δείτε την εικόνα.

Το έχουμε ήδη διαπιστώσει.

Που σημαίνει, ; .

Στο πρόβλημα ερωτούμαστε για ένα τμήμα.

Στη σημειογραφία μας.

Απάντηση: .

Σας άρεσε; Τώρα προσπαθήστε να εφαρμόσετε μόνοι σας τις γνώσεις σας για τη διάμεσο!

ΔΙΑΜΕΣΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1. Η διάμεσος χωρίζει την πλευρά στη μέση.

Αυτό είναι όλο? Ή μήπως χωρίζει κάτι άλλο στη μέση; Φαντάσου το!

2. Θεώρημα: Η διάμεσος διαιρεί την περιοχή στο μισό.

Γιατί; Ας θυμηθούμε την απλούστερη μορφή του εμβαδού ενός τριγώνου.

Και εφαρμόζουμε αυτή τη φόρμουλα δύο φορές!

Κοιτάξτε, η διάμεσος χωρίζεται σε δύο τρίγωνα: και. Αλλά! Έχουν το ίδιο ύψος - ! Μόνο σε αυτό το ύψος πέφτει στο πλάι και σε - στην πλευρά της συνέχειας. Παραδόξως, συμβαίνει και αυτό: τα τρίγωνα είναι διαφορετικά, αλλά το ύψος είναι το ίδιο. Και τώρα θα εφαρμόσουμε τον τύπο δύο φορές.

Τι θα σήμαινε αυτό; Κοίτα την εικόνα. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο προτάσεις σε αυτό το θεώρημα. Το προσέξατε αυτό;

Πρώτη δήλωση:οι διάμεσοι τέμνονται σε ένα σημείο.

Δεύτερη δήλωση:Το σημείο τομής της μέσης διαιρείται σε αναλογία, μετρώντας από την κορυφή.

Ας προσπαθήσουμε να ξετυλίξουμε το μυστικό αυτού του θεωρήματος:

Ας συνδέσουμε τις τελείες και... Τι συνέβη?

Τώρα ας σχεδιάσουμε μια άλλη μεσαία γραμμή: σημειώστε τη μέση - βάλτε μια τελεία, σημειώστε τη μέση - βάλτε μια τελεία.

Τώρα - η μεσαία γραμμή. Αυτό είναι

  1. παράλληλο;

Παρατηρήσατε συμπτώσεις; Και τα δύο και είναι παράλληλα. Και, και.

Τι προκύπτει από αυτό;

  1. παράλληλο;

Φυσικά, μόνο για παραλληλόγραμμο!

Αυτό σημαίνει ότι είναι παραλληλόγραμμο. Και λοιπόν? Ας θυμηθούμε τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. Για παράδειγμα, τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός παραλληλογράμμου; Σωστά, χωρίζονται στο μισό με το σημείο τομής.

Ας δούμε ξανά το σχέδιο.

Δηλαδή, η διάμεσος χωρίζεται με τελείες σε τρία ίσα μέρη. Και ακριβώς το ίδιο.

Αυτό σημαίνει ότι και οι δύο διάμεσοι χωρίζονταν από ένα σημείο του λόγου, δηλαδή και.

Τι θα γίνει με τον τρίτο διάμεσο; Ας επιστρέψουμε στην αρχή. Ω Θεέ μου?! Όχι, τώρα όλα θα είναι πολύ πιο σύντομα. Ας πετάξουμε τη διάμεσο και ας κάνουμε τις διάμεσες και.

Τώρα φανταστείτε ότι έχουμε εφαρμόσει ακριβώς τον ίδιο συλλογισμό με τους διαμέσους και. Τι τότε?

Αποδεικνύεται ότι η διάμεσος θα διαιρέσει τη διάμεσο με τον ίδιο ακριβώς τρόπο: σε μια αναλογία, μετρώντας από το σημείο.

Αλλά πόσα σημεία μπορεί να υπάρχουν σε ένα τμήμα που το διαιρεί σε αναλογία, μετρώντας από το σημείο;

Φυσικά, μόνο ένα! Και το έχουμε ήδη δει - αυτό είναι το θέμα.

Τι έγινε στο τέλος?

Ο διάμεσος σίγουρα πέρασε! Και οι τρεις διάμεσοι πέρασαν από αυτό. Και όλοι διχάστηκαν σε στάση, μετρώντας από την κορυφή.

Λύσαμε λοιπόν (αποδείξαμε) το θεώρημα. Η λύση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα παραλληλόγραμμο που κάθεται μέσα σε ένα τρίγωνο.

4. Τύπος για το διάμεσο μήκος

Πώς να βρείτε το μήκος της μέσης αν οι πλευρές είναι γνωστές; Είστε σίγουροι ότι το χρειάζεστε αυτό; Ας αποκαλύψουμε ένα τρομερό μυστικό: αυτή η φόρμουλα δεν είναι πολύ χρήσιμη. Αλλά και πάλι, θα το γράψουμε, αλλά δεν θα το αποδείξουμε (αν σας ενδιαφέρει η απόδειξη, δείτε το επόμενο επίπεδο).

Πώς μπορούμε να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει αυτό;

Ας παρακολουθήσουμε προσεκτικά. Απλώς όχι τρίγωνο, αλλά ορθογώνιο.

Ας εξετάσουμε λοιπόν ένα ορθογώνιο.

Έχετε παρατηρήσει ότι το τρίγωνό μας είναι ακριβώς το μισό αυτού του ορθογωνίου;

Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο

Θυμάστε ότι οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες και διχοτομούν το σημείο τομής; (Αν δεν θυμάστε, δείτε το θέμα)
Όμως μια από τις διαγώνιες είναι η υποτείνουσα μας! Αυτό σημαίνει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων είναι το μέσο της υποτείνουσας. Το έλεγαν δικό μας.

Αυτό σημαίνει ότι η μισή από τη δεύτερη διαγώνιο είναι η διάμεσος μας. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και τα μισά τους, φυσικά, επίσης. Αυτό θα πάρουμε

Επιπλέον, αυτό συμβαίνει μόνο σε ορθογώνιο τρίγωνο!

Δεν θα αποδείξουμε αυτή τη δήλωση, αλλά για να το πιστέψετε, σκεφτείτε μόνοι σας: υπάρχει κάποιο άλλο παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες, εκτός από ένα ορθογώνιο; Φυσικά και όχι! Λοιπόν, αυτό σημαίνει ότι η διάμεσος μπορεί να είναι ίση με τη μισή πλευρά μόνο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ας δούμε πώς αυτή η ιδιότητα βοηθά στην επίλυση προβλημάτων.

Εδώ είναι η εργασία:

Στα πλάγια? . Η διάμεσος αντλείται από την κορυφή. Βρείτε αν.

Ζήτω! Μπορείτε να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα! Βλέπετε πόσο υπέροχο είναι; Αν δεν ξέραμε ότι η διάμεσος είναι η μισή πλευρά μόνο σε ορθογώνιο τρίγωνο, δεν υπάρχει τρόπος να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και τώρα μπορούμε!

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

ΔΙΑΜΕΣΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

1. Η διάμεσος χωρίζει την πλευρά στη μέση.

2. Θεώρημα: η διάμεσος διαιρεί την περιοχή στο μισό

4. Τύπος για το διάμεσο μήκος

Θεώρημα αντιστροφής:αν η διάμεσος είναι ίση με τη μισή πλευρά, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και αυτή η διάμεσος σύρεται στην υποτείνουσα.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε κατανοήσει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Αλλά σκέψου μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Για να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

  1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
  2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - 999 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Στη δεύτερη περίπτωση θα σας δώσουμεπροσομοιωτής "6000 προβλήματα με λύσεις και απαντήσεις, για κάθε θέμα, σε όλα τα επίπεδα πολυπλοκότητας." Σίγουρα θα είναι αρκετό για να βάλετε τα χέρια σας στην επίλυση προβλημάτων για οποιοδήποτε θέμα.

Στην πραγματικότητα, αυτό δεν είναι απλώς ένας προσομοιωτής - ένα ολόκληρο πρόγραμμα εκπαίδευσης. Αν χρειαστεί, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε και ΔΩΡΕΑΝ.

Η πρόσβαση σε όλα τα κείμενα και τα προγράμματα παρέχεται για ΟΛΗ την περίοδο ύπαρξης του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

Διάμεσος είναι ένα τμήμα που σχεδιάζεται από την κορυφή ενός τριγώνου στο μέσο της απέναντι πλευράς, δηλαδή το χωρίζει στο μισό στο σημείο τομής. Το σημείο στο οποίο η διάμεσος τέμνει την πλευρά απέναντι από την κορυφή από την οποία αναδύεται ονομάζεται βάση. Κάθε διάμεσος του τριγώνου διέρχεται από ένα σημείο, που ονομάζεται σημείο τομής. Ο τύπος για το μήκος του μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους.

Τύποι για την έκφραση του μήκους της διάμεσης

  • Συχνά σε προβλήματα γεωμετρίας, οι μαθητές πρέπει να αντιμετωπίσουν ένα τμήμα όπως η διάμεσος ενός τριγώνου. Ο τύπος για το μήκος του εκφράζεται σε πλευρές:

όπου a, b και c είναι οι πλευρές. Επιπλέον, c είναι η πλευρά στην οποία πέφτει η διάμεσος. Έτσι φαίνεται ο απλούστερος τύπος. Οι διάμεσοι ενός τριγώνου απαιτούνται μερικές φορές για βοηθητικούς υπολογισμούς. Υπάρχουν και άλλοι τύποι.

  • Εάν κατά τον υπολογισμό είναι γνωστές δύο πλευρές ενός τριγώνου και μια ορισμένη γωνία α που βρίσκεται μεταξύ τους, τότε το μήκος της μέσης του τριγώνου, χαμηλωμένο στην τρίτη πλευρά, θα εκφραστεί ως εξής.

Βασικές ιδιότητες

  • Όλες οι διάμεσοι έχουν ένα κοινό σημείο τομής Ο και διαιρούνται με αυτό σε αναλογία δύο προς ένα, αν μετρηθούν από την κορυφή. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου.
  • Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο άλλα των οποίων τα εμβαδά είναι ίσα. Τέτοια τρίγωνα ονομάζονται ίσου εμβαδού.
  • Εάν σχεδιάσετε όλες τις διάμεσες, το τρίγωνο θα χωριστεί σε 6 ίσα σχήματα, τα οποία θα είναι επίσης τρίγωνα.
  • Αν και οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε καθεμία από τις διάμεσες θα είναι επίσης ένα υψόμετρο και μια διχοτόμος, δηλαδή κάθετη στην πλευρά προς την οποία είναι σχεδιασμένο και διχοτομεί τη γωνία από την οποία αναδύεται.
  • Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που λαμβάνεται από την κορυφή που είναι απέναντι από την πλευρά που δεν είναι ίση με καμία άλλη θα είναι επίσης το υψόμετρο και η διχοτόμος. Οι διάμεσοι που αφαιρούνται από άλλες κορυφές είναι ίσες. Αυτή είναι επίσης απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τους ισοσκελές.
  • Εάν ένα τρίγωνο είναι η βάση μιας κανονικής πυραμίδας, τότε το ύψος που πέφτει σε αυτή τη βάση προβάλλεται στο σημείο τομής όλων των διαμέσου.

  • Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που τραβιέται στη μεγαλύτερη πλευρά είναι ίση με το ήμισυ του μήκους του.
  • Έστω O το σημείο τομής των διαμέσου του τριγώνου. Ο παρακάτω τύπος θα ισχύει για οποιοδήποτε σημείο M.

  • Η διάμεσος ενός τριγώνου έχει άλλη ιδιότητα. Ο τύπος για το τετράγωνο του μήκους του μέσω των τετραγώνων των πλευρών παρουσιάζεται παρακάτω.

Ιδιότητες των πλευρών στις οποίες σύρεται η διάμεσος

  • Εάν συνδέσετε οποιαδήποτε δύο σημεία τομής των διάμεσων με τις πλευρές στις οποίες πέφτουν, τότε το τμήμα που προκύπτει θα είναι η μέση γραμμή του τριγώνου και το μισό της πλευράς του τριγώνου με το οποίο δεν έχει κοινά σημεία.
  • Στον ίδιο κύκλο βρίσκονται οι βάσεις των υψομέτρων και των μέσων σε ένα τρίγωνο, καθώς και τα μέσα των τμημάτων που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το σημείο τομής των υψομέτρων.

Συμπερασματικά, είναι λογικό να πούμε ότι ένα από τα πιο σημαντικά τμήματα είναι η διάμεσος του τριγώνου. Ο τύπος του μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε τα μήκη των άλλων πλευρών του.

Ένα τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο με τρεις πλευρές, ή μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή με τρεις συνδέσμους, ή ένα σχήμα που σχηματίζεται από τρία τμήματα που συνδέουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία (βλ. Εικ. 1).

Βασικά στοιχεία τριγώνου abc

Κορυφές – σημεία Α, Β και Γ·

Κόμματα – τμήματα a = BC, b = AC και c = AB που συνδέουν τις κορυφές.

Γωνίες – α, β, γ που σχηματίζονται από τρία ζεύγη πλευρών. Οι γωνίες συχνά ορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως οι κορυφές, με τα γράμματα A, B και C.

Η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές ενός τριγώνου και βρίσκεται στην εσωτερική του περιοχή ονομάζεται εσωτερική γωνία και αυτή που γειτνιάζει με αυτή είναι η γειτονική γωνία του τριγώνου (2, σελ. 534).

Ύψα, διάμεσοι, διχοτόμοι και μεσαίες γραμμές τριγώνου

Εκτός από τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου, λαμβάνονται υπόψη και άλλα τμήματα με ενδιαφέρουσες ιδιότητες: ύψη, διάμεσοι, διχοτόμοι και μεσαίες γραμμές.

Υψος

Ύψος τριγώνου- πρόκειται για κάθετες που πέφτουν από τις κορυφές του τριγώνου σε αντίθετες πλευρές.

Για να σχεδιάσετε το ύψος, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1) σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή που περιέχει μια από τις πλευρές του τριγώνου (εάν το ύψος είναι σχεδιασμένο από την κορυφή μιας οξείας γωνίας σε ένα αμβλύ τρίγωνο).

2) από την κορυφή που βρίσκεται απέναντι από τη σχεδιαζόμενη γραμμή, σχεδιάστε ένα τμήμα από το σημείο σε αυτή τη γραμμή, κάνοντας μια γωνία 90 μοιρών με αυτό.

Το σημείο όπου το υψόμετρο τέμνει την πλευρά του τριγώνου ονομάζεται βάση ύψους (βλ. Εικ. 2).

Ιδιότητες τριγωνικών υψομέτρων

    Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το υψόμετρο που σχηματίζεται από την κορυφή της ορθής γωνίας το χωρίζει σε δύο τρίγωνα παρόμοια με το αρχικό τρίγωνο.

    Σε ένα οξύ τρίγωνο, τα δύο υψόμετρά του αποκόπτουν παρόμοια τρίγωνα από αυτό.

    Αν το τρίγωνο είναι οξύ, τότε όλες οι βάσεις των υψομέτρων ανήκουν στις πλευρές του τριγώνου και σε ένα αμβλύ τρίγωνο, δύο ύψη πέφτουν στη συνέχεια των πλευρών.

    Τρία ύψη σε ένα οξύ τρίγωνο τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο ονομάζεται ορθόκεντρο τρίγωνο.

Διάμεσος

διάμεσοι(από το λατινικό mediana - "μέση") - αυτά είναι τμήματα που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με τα μέσα των απέναντι πλευρών (βλ. Εικ. 3).

Για να δημιουργήσετε τη διάμεσο, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1) βρείτε τη μέση της πλευράς.

2) Συνδέστε το σημείο που είναι το μέσο της πλευράς του τριγώνου με την αντίθετη κορυφή με ένα τμήμα.

Ιδιότητες διάμεσων τριγώνων

    Η διάμεσος χωρίζει ένα τρίγωνο σε δύο τρίγωνα ίσου εμβαδού.

    Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο χωρίζει το καθένα από αυτά σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο βαρύτητας τρίγωνο.

Ολόκληρο το τρίγωνο χωρίζεται από τις διάμεσές του σε έξι ίσα τρίγωνα.

Διαχωριστική γραμμή

Διχοτόμοι(από το λατινικό bis - δύο φορές και seko - cut) είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που περικλείονται μέσα σε ένα τρίγωνο που διχοτομούν τις γωνίες του (βλ. Εικ. 4).

Για να δημιουργήσετε μια διχοτόμο, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1) Κατασκευάστε μια ακτίνα που βγαίνει από την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσα μέρη (τη διχοτόμο της γωνίας).

2) βρείτε το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας του τριγώνου με την αντίθετη πλευρά.

3) επιλέξτε ένα τμήμα που συνδέει την κορυφή του τριγώνου με το σημείο τομής στην απέναντι πλευρά.

Ιδιότητες διχοτόμων τριγώνων

    Η διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά σε λόγο ίσο με τον λόγο των δύο γειτονικών πλευρών.

    Οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

    Οι διχοτόμοι της εσωτερικής και της εξωτερικής γωνίας είναι κάθετες.

    Αν η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς, τότε ADBD=ACBC.

    Οι διχοτόμοι μιας εσωτερικής και δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο ενός από τους τρεις κύκλους αυτού του τριγώνου.

    Οι βάσεις των διχοτόμων δύο εσωτερικών και μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου βρίσκονται στην ίδια ευθεία, εάν η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας δεν είναι παράλληλη προς την απέναντι πλευρά του τριγώνου.

    Αν οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου δεν είναι παράλληλες προς τις αντίθετες πλευρές τους, τότε οι βάσεις τους βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Όταν μελετάτε οποιοδήποτε θέμα σε ένα σχολικό μάθημα, μπορείτε να επιλέξετε ένα συγκεκριμένο ελάχιστο πρόβλημα και έχοντας κατακτήσει τις μεθόδους επίλυσής τους, οι μαθητές θα μπορούν να λύσουν οποιοδήποτε πρόβλημα στο επίπεδο των απαιτήσεων του προγράμματος για το θέμα που μελετάται. Προτείνω να εξετάσετε προβλήματα που θα σας επιτρέψουν να δείτε τις αλληλεπιδράσεις των επιμέρους θεμάτων στο μάθημα των σχολικών μαθηματικών. Επομένως, το καταρτισμένο σύστημα εργασιών είναι ένα αποτελεσματικό μέσο επανάληψης, γενίκευσης και συστηματοποίησης του εκπαιδευτικού υλικού κατά την προετοιμασία των μαθητών για τις εξετάσεις.

Για να περάσετε την εξέταση, θα είναι χρήσιμο να έχετε πρόσθετες πληροφορίες για ορισμένα από τα στοιχεία του τριγώνου. Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες της διάμεσου ενός τριγώνου και προβλήματα στην επίλυση των οποίων μπορούν να χρησιμοποιηθούν αυτές οι ιδιότητες. Οι προτεινόμενες εργασίες εφαρμόζουν την αρχή της διαφοροποίησης των επιπέδων. Όλες οι εργασίες χωρίζονται υπό όρους σε επίπεδα (το επίπεδο υποδεικνύεται σε παρένθεση μετά από κάθε εργασία).

Ας θυμηθούμε μερικές ιδιότητες της διάμεσου ενός τριγώνου

Ιδιοκτησία 1. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ενός τριγώνου αλφάβητο, που προέρχεται από την κορυφή ΕΝΑ, λιγότερο από το μισό άθροισμα των πλευρών ΑΒΚαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ..

Απόδειξη

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Ιδιοκτησία 2. Η διάμεσος κόβει το τρίγωνο σε δύο ίσες περιοχές.

Απόδειξη

Ας αντλήσουμε από την κορυφή Β του τριγώνου ABC τη διάμεσο BD και το ύψος BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Αφού το τμήμα BD είναι η διάμεσος, λοιπόν

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Ιδιοκτησία 4. Οι διάμεσοι ενός τριγώνου χωρίζουν το τρίγωνο σε 6 ίσα τρίγωνα.

Απόδειξη

Ας αποδείξουμε ότι το εμβαδόν καθενός από τα έξι τρίγωνα στα οποία οι διάμεσοι χωρίζουν το τρίγωνο ABC είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ABC. Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε, για παράδειγμα, τρίγωνο AOF και ρίξτε μια κάθετη AK από την κορυφή Α στην ευθεία BF.

Λόγω ιδιοκτησίας 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Ιδιοκτησία 6. Η διάμεσος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που τραβιέται από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Απόδειξη

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Συνέπειες:1. Το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.

2. Αν σε ένα τρίγωνο το μήκος της μέσης είναι ίσο με το μισό του μήκους της πλευράς προς την οποία τραβιέται, τότε αυτό το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

ΚΑΘΗΚΟΝΤΑ

Κατά την επίλυση κάθε επόμενου προβλήματος, χρησιμοποιούνται αποδεδειγμένες ιδιότητες.

№1 Θέματα: Διπλασιασμός της διάμεσης. Δυσκολία: 2+

Σημεία και ιδιότητες παραλληλογράμμου Βαθμοί: 8,9

Κατάσταση

Στη συνέχεια της διάμεσης ΕΙΜΑΙ.τρίγωνο αλφάβητοανά πόντο Μτμήμα αναβλήθηκε M.D., ίσος ΕΙΜΑΙ.. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABDC- παραλληλόγραμμο.

Λύση

Ας χρησιμοποιήσουμε ένα από τα σημάδια ενός παραλληλογράμμου. Διαγώνιοι τετράπλευρου ABDCτέμνονται σε ένα σημείο Μκαι το χωρίζουμε στη μέση, άρα το τετράπλευρο ABDC- παραλληλόγραμμο.

Σημείωση. Αυτό το μάθημα παρουσιάζει θεωρητικό υλικό και λύσεις σε προβλήματα γεωμετρίας με θέμα «διάμεσος σε ορθογώνιο τρίγωνο». Εάν θέλετε να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας που δεν είναι εδώ, γράψτε σχετικά στο φόρουμ. Το μάθημα είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα συμπληρωθεί.

Ιδιότητες της διαμέσου ορθογωνίου τριγώνου

Προσδιορισμός της διάμεσης τιμής

  • Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο και χωρίζονται από αυτό το σημείο σε δύο μέρη σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή της γωνίας. Το σημείο τομής τους ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου (σχετικά σπάνια σε προβλήματα χρησιμοποιείται ο όρος «κεντροειδές» για να προσδιορίσει αυτό το σημείο),
  • Η διάμεσος χωρίζει ένα τρίγωνο σε δύο τρίγωνα ίσου μεγέθους.
  • Ένα τρίγωνο χωρίζεται από τρεις διάμεσους σε έξι ίσα τρίγωνα.
  • Η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου αντιστοιχεί στη μικρότερη διάμεσο.

Τα προβλήματα γεωμετρίας που προτείνονται για λύση χρησιμοποιούν κυρίως τα ακόλουθα ιδιότητες της μέσης ενός ορθογωνίου τριγώνου.

  • Το άθροισμα των τετραγώνων των διαμέσου που έπεσαν στα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με πέντε τετράγωνα της διάμεσης που έπεσαν στην υποτείνουσα (Τύπος 1)
  • Η διάμεσος έπεσε στην υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας(Formula 2)
  • Η διάμεσος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλουδεδομένο ορθογώνιο τρίγωνο (Formula 2)
  • Η διάμεσος που έπεσε στην υποτείνουσα είναι ίσο με τη μισή τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των ποδιών(Φόρμουλα 3)
  • Η διάμεσος χαμηλωμένη στην υποτείνουσα είναι ίση με το πηλίκο του μήκους του ποδιού διαιρούμενο με δύο ημίτονο της οξείας γωνίας απέναντι από το σκέλος (Τύπος 4)
  • Η διάμεσος χαμηλωμένη στην υποτείνουσα είναι ίση με το πηλίκο του μήκους του σκέλους διαιρούμενο με δύο συνημίτονα της οξείας γωνίας δίπλα στο σκέλος (Τύπος 4)
  • Το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με οκτώ τετράγωνα της διάμεσης τιμής που έπεσε στην υποτείνυσή του (Τύπος 5)

Σημειώσεις σε τύπους:

α, β- σκέλη ορθογώνιου τριγώνου

ντο- υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου

Αν συμβολίσουμε ένα τρίγωνο ως ABC, τότε

π.Χ. = ΕΝΑ

(δηλαδή οι πλευρές a,b,c είναι απέναντι από τις αντίστοιχες γωνίες)

Μ ένα- διάμεσος τραβηγμένος στο πόδι α

Μ σι- διάμεσος τραβηγμένος στο πόδι β

Μ ντο - διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου, έλκεται στην υποτείνουσα με

α (άλφα)- γωνία CAB απέναντι πλευρά α

Πρόβλημα σχετικά με τη διάμεσο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Οι διάμεσοι ενός ορθογωνίου τριγώνου που τραβιέται στα σκέλη είναι ίσες με 3 cm και 4 cm, αντίστοιχα. Να βρείτε την υποτείνουσα του τριγώνου

Λύση

Πριν ξεκινήσουμε να λύνουμε το πρόβλημα, ας δώσουμε προσοχή στον λόγο του μήκους της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου και της διάμεσης, που είναι χαμηλωμένη σε αυτό. Για να το κάνουμε αυτό, ας στραφούμε στους τύπους 2, 4, 5 ιδιότητες της μέσης σε ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτοί οι τύποι υποδεικνύουν ξεκάθαρα την αναλογία της υποτείνουσας και της διάμεσης τιμής, η οποία μειώνεται σε αυτήν ως 1 προς 2. Επομένως, για τη διευκόλυνση των μελλοντικών υπολογισμών (που δεν θα επηρεάσουν την ορθότητα της λύσης με κανέναν τρόπο, αλλά θα την κάνουν περισσότερο βολικό), συμβολίζουμε τα μήκη των σκελών AC και BC με τις μεταβλητές x και y ως 2x και 2y (όχι x και y).

Θεωρήστε το ορθογώνιο τρίγωνο ADC. Η γωνία C είναι σωστή σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, το σκέλος AC είναι κοινό με το τρίγωνο ABC και το σκέλος CD είναι ίσο με το μισό BC σύμφωνα με τις ιδιότητες της διάμεσης τιμής. Τότε, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

AC 2 + CD 2 = AD 2

Εφόσον AC = 2x, CD = y (καθώς η διάμεσος χωρίζει το πόδι σε δύο ίσα μέρη), τότε
4x 2 + y 2 = 9

Ταυτόχρονα, θεωρήστε το ορθογώνιο τρίγωνο EBC. Έχει επίσης ορθή γωνία C σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, το σκέλος BC είναι κοινό με το σκέλος BC του αρχικού τριγώνου ABC και το σκέλος EC, από την ιδιότητα της διάμεσης, είναι ίσο με το μισό του σκέλους AC του αρχικού τριγώνου ΑΛΦΑΒΗΤΟ.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Αφού EC = x (η διάμεσος χωρίζει το πόδι στο μισό), BC = 2y, τότε
x 2 + 4y 2 = 16

Δεδομένου ότι τα τρίγωνα ABC, EBC και ADC συνδέονται με κοινές πλευρές, και οι δύο εξισώσεις που προκύπτουν σχετίζονται επίσης.
Ας λύσουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16