घातांक समीकरण और असमानताओं के उदाहरण। घातीय समीकरण और असमानताएँ

इस पाठ में हम विभिन्न घातांकीय असमानताओं को देखेंगे और सरलतम समाधान की तकनीक के आधार पर उन्हें हल करना सीखेंगे। घातांकीय असमानताएँ

1. एक घातांकीय फलन की परिभाषा और गुण

आइए हम घातीय फ़ंक्शन की परिभाषा और बुनियादी गुणों को याद करें। सभी घातीय समीकरणों और असमानताओं का समाधान इन्हीं गुणों पर आधारित होता है।

घातांक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जहां आधार डिग्री है और यहां x स्वतंत्र चर, तर्क है; y आश्रित चर, फलन है।

चावल। 1. घातीय फलन का ग्राफ

ग्राफ क्रमशः एक से अधिक और एक से कम लेकिन शून्य से अधिक आधार वाले घातांकीय फ़ंक्शन को दर्शाते हुए बढ़ते और घटते घातांक को दर्शाता है।

दोनों वक्र बिंदु (0;1) से होकर गुजरते हैं

घातीय फलन के गुण:

कार्यक्षेत्र: ;

मूल्यों की श्रृंखला: ;

फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, साथ बढ़ता है, साथ घटता है।

एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन अपने प्रत्येक मान को एक एकल तर्क मान देता है।

जब, जब तर्क माइनस से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ता है, तो फ़ंक्शन शून्य समावेशी से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ जाता है, अर्थात, तर्क के दिए गए मानों के लिए हमारे पास एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ फ़ंक्शन () होता है। इसके विपरीत, जब तर्क माइनस से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ता है, तो फ़ंक्शन अनंत से घटकर शून्य समावेशी हो जाता है, यानी, तर्क के दिए गए मानों के लिए हमारे पास एक नीरस रूप से घटता हुआ फ़ंक्शन () होता है।

2. सरलतम घातीय असमानताएँ, समाधान विधि, उदाहरण

उपरोक्त के आधार पर, हम सरल घातांकीय असमानताओं को हल करने की एक विधि प्रस्तुत करते हैं:

असमानताओं को हल करने की तकनीक:

डिग्रियों के आधारों को बराबर करना;

सेव करके या बदलकर मेट्रिक्स की तुलना करें विपरीत संकेतअसमानताएँ

जटिल घातांकीय असमानताओं का समाधान आम तौर पर उन्हें सरलतम घातांकीय असमानताओं तक कम करने में होता है।

डिग्री का आधार एक से अधिक है, जिसका अर्थ है कि असमानता चिह्न संरक्षित है:

आइए परिवर्तन करें दाहिनी ओरडिग्री के गुणों के अनुसार:

डिग्री का आधार एक से कम है, असमानता का चिह्न उलटा होना चाहिए:

द्विघात असमानता को हल करने के लिए, हम संगत को हल करते हैं द्विघात समीकरण:

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हम मूल पाते हैं:

परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

इस प्रकार, हमारे पास असमानता का समाधान है:

यह अनुमान लगाना आसान है कि दाईं ओर को शून्य के घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है:

डिग्री का आधार एक से अधिक है, असमानता चिह्न नहीं बदलता है, हमें मिलता है:

आइए हम ऐसी असमानताओं को हल करने की तकनीक को याद करें।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन पर विचार करें:

हम परिभाषा का क्षेत्र पाते हैं:

फ़ंक्शन की जड़ें ढूँढना:

फ़ंक्शन का एक ही रूट है,

हम स्थिर चिह्न के अंतराल का चयन करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन के चिह्न निर्धारित करते हैं:

चावल। 2. चिन्ह की स्थिरता का अंतराल

इस प्रकार, हमें उत्तर प्राप्त हुआ।

उत्तर:

3. मानक घातीय असमानताओं को हल करना

आइए समान संकेतकों, लेकिन अलग-अलग आधारों वाली असमानताओं पर विचार करें।

घातीय फ़ंक्शन के गुणों में से एक यह है कि यह तर्क के किसी भी मूल्य के लिए सख्ती से लेता है सकारात्मक मूल्य, जिसका अर्थ है कि इसे एक घातांकीय फलन में विभाजित किया जा सकता है। आइए दी गई असमानता को उसके दाहिने पक्ष से विभाजित करें:

डिग्री का आधार एक से अधिक होने पर असमानता का चिह्न सुरक्षित रहता है।

आइए समाधान का वर्णन करें:

चित्र 6.3 कार्यों के ग्राफ दिखाता है और। जाहिर है, जब तर्क शून्य से बड़ा होता है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊंचा होता है, यह फ़ंक्शन बड़ा होता है। जब तर्क मान नकारात्मक होते हैं, तो फ़ंक्शन कम हो जाता है, छोटा हो जाता है। यदि तर्क समान है, तो कार्य समान हैं, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु दी गई असमानता का भी समाधान है।

चावल। 3. उदाहरण 4 के लिए चित्रण

आइए दी गई असमानता को डिग्री के गुणों के अनुसार रूपांतरित करें:

यहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:

आइए दोनों भागों को इसमें विभाजित करें:

अब हम उदाहरण 4 के समान हल करना जारी रखते हैं, दोनों भागों को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

डिग्री का आधार एक से अधिक होने पर असमानता का चिह्न बना रहता है:

4. घातांकीय असमानताओं का आलेखीय समाधान

उदाहरण 6 - असमानता को आलेखीय रूप से हल करें:

आइए बायीं और दायीं ओर के कार्यों को देखें और उनमें से प्रत्येक के लिए एक ग्राफ बनाएं।

फ़ंक्शन घातीय है और इसकी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है, अर्थात, तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए।

फ़ंक्शन रैखिक है और इसकी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटता है, अर्थात, तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए।

यदि ये फ़ंक्शन प्रतिच्छेद करते हैं, यानी सिस्टम के पास कोई समाधान है, तो ऐसा समाधान अद्वितीय है और इसका आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम पूर्णांकों पर पुनरावृति करते हैं ()

यह देखना आसान है कि इस प्रणाली की जड़ है:

इस प्रकार, फ़ंक्शंस के ग्राफ़ एक के बराबर तर्क के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अब हमें उत्तर पाना होगा. दी गई असमानता का अर्थ यह है कि घातांक इससे बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए रैखिक प्रकार्य, अर्थात् उच्चतर होना या उसके साथ मेल खाना। उत्तर स्पष्ट है: (चित्र 6.4)

चावल। 4. उदाहरण 6 के लिए चित्रण

इसलिए, हमने विभिन्न मानक घातीय असमानताओं को हल करने पर ध्यान दिया। आगे हम अधिक जटिल चरघातांकीय असमानताओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

ग्रन्थसूची

मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। - एम.: निमोसिन। मुराविन जी.के., मुराविन ओ.वी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। - एम.: बस्टर्ड. कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. एट अल। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। - एम.: आत्मज्ञान।

गणित। एम.डी. गणित-पुनरावृत्ति. com. डिफ़र। केम्सू. आरयू.

गृहकार्य

1. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10-11 (ए. एन. कोलमोगोरोव, ए. एम. अब्रामोव, यू. पी. डुडनित्सिन) 1990, संख्या 472, 473;

2. असमानता का समाधान करें:

3. असमानता का समाधान करें.

बेलगोरोड स्टेट यूनिवर्सिटी

विभाग बीजगणित, संख्या सिद्धांत और ज्यामिति

कार्य विषय: घातीय शक्ति समीकरण और असमानताएँ।

स्नातक कामभौतिकी और गणित संकाय के छात्र

वैज्ञानिक सलाहकार:

______________________________

समीक्षक: ________________________________

________________________

बेलगोरोड। 2006

परिचय।

"...देखने और समझने का आनंद..."

ए आइंस्टीन।

इस काम में, मैंने एक गणित शिक्षक के रूप में काम करने के अपने अनुभव को व्यक्त करने की कोशिश की, कम से कम कुछ हद तक इसके शिक्षण के प्रति अपने दृष्टिकोण को व्यक्त करने के लिए - एक मानवीय प्रयास जिसमें दोनों आश्चर्यजनक रूप से एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। गणितीय विज्ञान, और शिक्षाशास्त्र, और उपदेश, और मनोविज्ञान, और यहाँ तक कि दर्शनशास्त्र भी।

मुझे बच्चों और स्नातकों के साथ, ध्रुवों पर खड़े बच्चों के साथ काम करने का अवसर मिला बौद्धिक विकास: जो मनोचिकित्सक के पास पंजीकृत थे और जो वास्तव में गणित में रुचि रखते थे

मुझे कई पद्धतिगत समस्याओं को हल करने का अवसर मिला। मैं उन लोगों के बारे में बात करने की कोशिश करूंगा जिन्हें मैं हल करने में कामयाब रहा। लेकिन और भी असफल, और जो सुलझते नजर आते हैं उनमें भी नए सवाल खड़े हो जाते हैं।

लेकिन अनुभव से भी अधिक महत्वपूर्ण शिक्षक के विचार और संदेह हैं: यह वास्तव में ऐसा क्यों है, यह अनुभव?

और गर्मी अब अलग है, और शिक्षा का विकास और अधिक दिलचस्प हो गया है। "अंडर द ज्यूपिटर" अब पौराणिक खोज नहीं है इष्टतम प्रणाली"हर किसी को और सब कुछ" को पढ़ाना, लेकिन स्वयं बच्चे को। लेकिन फिर - आवश्यकता के अनुसार - शिक्षक।

में स्कूल पाठ्यक्रमबीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 - 11, साथ एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करनाप्रति कोर्स हाई स्कूलऔर विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षाओं में आधार और घातांक में अज्ञात वाले समीकरण और असमानताएं होती हैं - ये घातीय समीकरण और असमानताएं हैं।

स्कूल में उन पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है, पाठ्यपुस्तकों में इस विषय पर व्यावहारिक रूप से कोई असाइनमेंट नहीं है। हालाँकि, उन्हें हल करने की पद्धति में महारत हासिल करना, मुझे ऐसा लगता है, बहुत उपयोगी है: इससे छात्रों की मानसिक और रचनात्मक क्षमताएँ बढ़ती हैं, और हमारे सामने पूरी तरह से नए क्षितिज खुलते हैं। समस्याओं को हल करते समय, छात्र पहले कौशल प्राप्त करते हैं अनुसंधान कार्य, उनकी गणितीय संस्कृति समृद्ध होती है, उनकी क्षमताएं समृद्ध होती हैं तर्कसम्मत सोच. स्कूली बच्चों में दृढ़ संकल्प, लक्ष्य-निर्धारण और स्वतंत्रता जैसे व्यक्तित्व गुण विकसित होते हैं, जो बाद के जीवन में उनके लिए उपयोगी होंगे। और शैक्षिक सामग्री की पुनरावृत्ति, विस्तार और गहन आत्मसात भी होती है।

मैंने अपना कोर्सवर्क लिखकर थीसिस के लिए इस विषय पर काम करना शुरू किया। इस दौरान मैंने इस विषय पर गणितीय साहित्य का गहराई से अध्ययन और विश्लेषण किया, मैंने घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सबसे उपयुक्त विधि की पहचान की।

यह इस तथ्य में निहित है कि घातीय समीकरणों को हल करते समय आम तौर पर स्वीकृत दृष्टिकोण के अलावा (आधार 0 से अधिक लिया जाता है) और समान असमानताओं को हल करते समय (आधार 1 से बड़ा या 0 से अधिक, लेकिन 1 से कम लिया जाता है) , ऐसे मामलों पर भी विचार किया जाता है जब आधार नकारात्मक होते हैं, 0 और 1 के बराबर होते हैं।

छात्रों के लिखित परीक्षा पत्रों के विश्लेषण से पता चलता है कि प्रश्न के कवरेज की कमी है नकारात्मक मूल्यस्कूली पाठ्यपुस्तकों में घातीय फलन का तर्क उन्हें कई कठिनाइयों का कारण बनता है और त्रुटियों की ओर ले जाता है। और उन्हें प्राप्त परिणामों को व्यवस्थित करने के चरण में भी समस्याएं होती हैं, जहां, एक समीकरण - एक परिणाम या एक असमानता - एक परिणाम में संक्रमण के कारण, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। त्रुटियों को खत्म करने के लिए, हम मूल समीकरण या असमानता का उपयोग करके एक परीक्षण और घातीय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम, या घातीय असमानताओं को हल करने के लिए एक योजना का उपयोग करते हैं।

छात्रों को अंतिम और प्रवेश परीक्षा सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, मेरा मानना ​​है कि घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने पर अधिक ध्यान देना आवश्यक है प्रशिक्षण सत्र, या इसके अतिरिक्त ऐच्छिक और क्लबों में।

इस प्रकार विषय , मेरा थीसिसइसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: "घातांकीय शक्ति समीकरण और असमानताएँ।"

लक्ष्य इस काम काहैं:

1. इस विषय पर साहित्य का विश्लेषण करें।

2. देना पूर्ण विश्लेषणघातीय शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करना।

3. इस विषय पर विभिन्न प्रकार के पर्याप्त संख्या में उदाहरण प्रदान करें।

4. कक्षा, ऐच्छिक और क्लब कक्षाओं में जांचें कि घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए प्रस्तावित तरीकों को कैसे समझा जाएगा। इस विषय का अध्ययन करने के लिए उचित अनुशंसाएँ दें।

विषय हमारा शोध घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए एक पद्धति विकसित करना है।

अध्ययन के उद्देश्य और विषय के लिए निम्नलिखित समस्याओं को हल करना आवश्यक है:

1. इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करें: "घातांकीय शक्ति समीकरण और असमानताएँ।"

2. घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने की तकनीकों में महारत हासिल करें।

3. प्रशिक्षण सामग्री का चयन करें और विषय पर विभिन्न स्तरों पर अभ्यास की एक प्रणाली विकसित करें: "घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करना।"

थीसिस अनुसंधान के दौरान, 20 से अधिक कार्य इसके उपयोग के लिए समर्पित थे विभिन्न तरीकेघातीय शक्ति समीकरणों और असमानताओं को हल करना। यहीं से हमें मिलता है.

थीसिस योजना:

परिचय।

अध्याय I. शोध विषय पर साहित्य का विश्लेषण।

दूसरा अध्याय। घातीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने में उपयोग किए जाने वाले कार्य और उनके गुण।

II.1. पावर फ़ंक्शन और उसके गुण।

II.2. घातीय फलन और उसके गुण।

अध्याय III. घातांकीय घात समीकरण, एल्गोरिदम और उदाहरणों को हल करना।

अध्याय चतुर्थ. घातीय असमानताओं को हल करना, समाधान योजना और उदाहरण।

अध्याय V. इस विषय पर स्कूली बच्चों के साथ कक्षाएं संचालित करने का अनुभव।

1.प्रशिक्षण सामग्री.

2. स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

निष्कर्ष। निष्कर्ष और प्रस्ताव.

प्रयुक्त साहित्य की सूची.

अध्याय I साहित्य का विश्लेषण करता है

घातांकीय समीकरण और असमानताएँ वे हैं जिनमें घातांक में अज्ञात निहित होता है।

घातांकीय समीकरणों को हल करने से अक्सर समीकरण a x = a b को हल करना पड़ता है, जहाँ a > 0, a ≠ 1, x एक अज्ञात है। इस समीकरण का एक ही मूल x = b है, क्योंकि निम्नलिखित प्रमेय सत्य है:

प्रमेय. यदि a > 0, a ≠ 1 और a x 1 = a x 2, तो x 1 = x 2.

आइए हम सुविचारित कथन की पुष्टि करें।

आइए मान लें कि समानता x 1 = x 2 कायम नहीं है, यानी। एक्स 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, तो घातांकीय फलन y = a x बढ़ता है और इसलिए असमानता a x 1 संतुष्ट होनी चाहिए< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >एक एक्स 2. दोनों ही मामलों में हमें स्थिति a x 1 = a x 2 का विरोधाभास प्राप्त हुआ।

आइए कई समस्याओं पर विचार करें.

समीकरण 4 ∙ 2 x = 1 को हल करें।

समाधान।

आइए समीकरण को 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 के रूप में लिखें, जिससे हमें x + 2 = 0 प्राप्त होता है, अर्थात। एक्स = -2.

उत्तर। एक्स = -2.

समीकरण 2 3x ∙ 3 x = 576 हल करें।

समाधान।

चूँकि 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, समीकरण को 8 x ∙ 3 x = 24 2 या 24 x = 24 2 के रूप में लिखा जा सकता है।

यहाँ से हमें x = 2 प्राप्त होता है।

उत्तर। एक्स = 2.

समीकरण 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 को हल करें।

समाधान।

बाईं ओर के कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 x - 2 निकालने पर, हमें 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 प्राप्त होता है।

जहाँ से 3 x - 2 = 1, अर्थात्। एक्स - 2 = 0, एक्स = 2.

उत्तर। एक्स = 2.

समीकरण 3 x = 7 x को हल करें।

समाधान।

चूँकि 7 x ≠ 0, समीकरण को 3 x /7 x = 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ से (3/7) x = 1, x = 0।

उत्तर। एक्स = 0.

समीकरण 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 को हल करें।

समाधान।

3 x = a को प्रतिस्थापित करने पर, यह समीकरण द्विघात समीकरण a 2 - 4a - 45 = 0 में बदल जाता है।

इस समीकरण को हल करने पर, हमें इसके मूल मिलते हैं: a 1 = 9, और 2 = -5, जहाँ से 3 x = 9, 3 x = -5।

समीकरण 3 x = 9 का मूल 2 है, और समीकरण 3 x = -5 का कोई मूल नहीं है, क्योंकि घातांकीय फलन ऋणात्मक मान नहीं ले सकता है।

उत्तर। एक्स = 2.

घातांकीय असमानताओं को हल करने का मतलब अक्सर असमानताओं को हल करना होता है a x > a b या a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

आइए कुछ समस्याओं पर नजर डालें.

असमानता 3x को हल करें< 81.

समाधान।

आइए असमानता को 3x के रूप में लिखें< 3 4 . Так как 3 >1, तो फलन y = 3 x बढ़ रहा है।

इसलिए, x के लिए< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

इस प्रकार, x पर< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 एक्स< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

उत्तर। एक्स< 4.

असमानता 16 x +4 x – 2 > 0 को हल करें।

समाधान।

आइए हम 4 x = t को निरूपित करें, फिर हमें द्विघात असमानता t2 + t - 2 > 0 प्राप्त होती है।

यह असमानता टी के लिए है< -2 и при t > 1.

चूँकि t = 4 x, हमें दो असमानताएँ 4 x प्राप्त होती हैं< -2, 4 х > 1.

पहली असमानता का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि सभी x € R के लिए 4 x > 0 है।

हम दूसरी असमानता को 4 x > 4 0 के रूप में लिखते हैं, जहाँ से x > 0.

उत्तर। एक्स > 0.

ग्राफ़िक रूप से समीकरण (1/3) x = x - 2/3 को हल करें।

समाधान।

1) आइए फ़ंक्शन y = (1/3) x और y = x - 2/3 के ग्राफ़ बनाएं।

2) हमारे आंकड़े के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विचार किए गए कार्यों के ग्राफ भुज x ≈ 1 के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। जाँच करने से साबित होता है कि

x = 1 इस समीकरण का मूल है:

(1/3) 1 = 1/3 और 1 - 2/3 = 1/3।

दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण का एक मूल मिल गया है।

3) आइए अन्य जड़ें खोजें या सिद्ध करें कि कोई नहीं हैं। फ़ंक्शन (1/3) x घट रहा है, और फ़ंक्शन y = x - 2/3 बढ़ रहा है। इसलिए, x > 1 के लिए, पहले फ़ंक्शन का मान 1/3 से कम है, और दूसरे का - 1/3 से अधिक है; एक्स पर< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 और एक्स< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

उत्तर। एक्स = 1.

ध्यान दें कि इस समस्या के समाधान से, विशेष रूप से, यह पता चलता है कि असमानता (1/3) x > x - 2/3 x के लिए संतुष्ट है< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

वेबसाइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

और x = b सबसे सरल घातीय समीकरण है। उसमें एशून्य से भी बड़ा और एएक के बराबर नहीं है.

घातांकीय समीकरणों को हल करना

घातीय फ़ंक्शन के गुणों से हम जानते हैं कि इसके मानों की सीमा सकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित है। फिर यदि b = 0 है, तो समीकरण का कोई हल नहीं है। यही स्थिति समीकरण में भी होती है जहाँ b

अब मान लेते हैं कि b>0. यदि घातांकीय फलन में आधार है एएकता से अधिक है, तो परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में फलन बढ़ता जाएगा। यदि आधार के लिए घातांकीय फलन में एहो गया अगली शर्त 0

इसके आधार पर और मूल प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं कि समीकरण a x = b का एक ही मूल है, b>0 और धनात्मक के लिए एएक के बराबर नहीं. इसे खोजने के लिए, आपको b को b = a c के रूप में प्रस्तुत करना होगा।
तो फिर ये तो जाहिर सी बात है साथसमीकरण a x = a c का हल होगा।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: समीकरण 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25 को हल करें।

आइए 25 को 5 2 के रूप में कल्पना करें, हमें मिलता है:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2।

या समकक्ष क्या है:

एक्स 2 - 2*एक्स - 1 = 2.

हम परिणामी द्विघात समीकरण को इनमें से किसी एक द्वारा हल करते हैं ज्ञात विधियाँ. हमें दो मूल x = 3 और x = -1 मिलते हैं।

उत्तर: 3;-1.

आइए समीकरण 4 x - 5*2 x + 4 = 0 को हल करें। आइए प्रतिस्थापन करें: t=2 x और निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

टी 2 - 5*टी + 4 = 0.
हम किसी भी ज्ञात विधि का उपयोग करके इस समीकरण को हल करते हैं। हमें मूल t1 = 1 t2 = 4 प्राप्त होते हैं

अब हम समीकरण 2 x = 1 और 2 x = 4 को हल करते हैं।

उत्तर: 0;2.

घातीय असमानताओं को हल करना

सरलतम घातीय असमानताओं का समाधान भी बढ़ते और घटते कार्यों के गुणों पर आधारित है। यदि किसी घातीय फलन में आधार a एक से बड़ा है, तो परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फलन बढ़ता जाएगा। यदि आधार के लिए घातांकीय फलन में एनिम्नलिखित शर्त पूरी होती है 0, तो यह फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के संपूर्ण सेट पर घटता जाएगा।