ऑनलाइन कार्यात्मक श्रृंखला का विस्तार। टेलर, मैकलॉरिन, लॉरेंट श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तार

किसी वेबसाइट पर गणितीय सूत्र कैसे डालें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्र जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में बताया गया है: गणितीय सूत्र आसानी से चित्रों के रूप में साइट पर डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा द्वारा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं . सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधिखोज इंजन में वेबसाइट दृश्यता को बेहतर बनाने में मदद मिलेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और, मुझे लगता है, हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन पहले से ही नैतिक रूप से पुराना हो चुका है।

यदि आप नियमित रूप से अपनी साइट पर गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो मैं आपको MathJax का उपयोग करने की सलाह देता हूं - एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी जो MathML, LaTeX या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणितीय नोटेशन प्रदर्शित करती है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी वेबसाइट से कनेक्ट कर सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजैक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर डाउनलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि - अधिक जटिल और समय लेने वाली - आपकी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज कर देगी, और यदि मूल MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह किसी भी तरह से आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना क्योंकि यह सरल, तेज़ है और इसमें तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और केवल 5 मिनट में आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को दूरस्थ सर्वर से कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करना होगा, अधिमानतः टैग के बीच और टैग के तुरंत बाद। पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पेज को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों की निगरानी और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अद्यतन करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड डालते हैं, तो पेज अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको MathJax अपडेट की लगातार निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया एक विजेट जोड़ें, ऊपर प्रस्तुत डाउनलोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट अतुल्यकालिक रूप से लोड की गई है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX और ASCIIMathML का मार्कअप सिंटैक्स सीखें, और आप अपनी साइट के वेब पेजों में गणितीय सूत्र सम्मिलित करने के लिए तैयार हैं।

किसी भी फ्रैक्टल का निर्माण इसके अनुसार किया जाता है एक निश्चित नियम, जिसे क्रमिक रूप से असीमित संख्या में लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: 1 भुजा वाले मूल घन को उसके फलकों के समानांतर समतलों द्वारा 27 बराबर घनों में विभाजित किया जाता है। इसमें से एक केंद्रीय घन और उसके फलकों से लगे हुए 6 घन हटा दिए जाते हैं। परिणाम एक सेट है जिसमें शेष 20 छोटे घन शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक घन के साथ ऐसा ही करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक सेट मिलता है। इस प्रक्रिया को अनवरत जारी रखने पर हमें मेन्जर स्पंज प्राप्त होता है।

यदि फ़ंक्शन f(x) में बिंदु a वाले एक निश्चित अंतराल पर सभी आदेशों का व्युत्पन्न है, तो टेलर सूत्र को इस पर लागू किया जा सकता है:
,
कहाँ आर एन- तथाकथित शेष पद या श्रृंखला का शेष, इसका अनुमान लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके लगाया जा सकता है:
, जहां संख्या x, x और a के बीच है।

एफ(एक्स)=

बिंदु x 0 = पर
पंक्ति तत्वों की संख्या 3 4 5 6 7
प्रारंभिक फलनों के विस्तार का उपयोग करें e x , cos(x), syn(x), ln(1+x), (1+x) m

कार्यों में प्रवेश के नियम:

यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स आर एन→0 पर एन→∞, तो सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए अभिसरण सूत्र में बदल जाता है टेलर श्रृंखला:
,
इस प्रकार, फ़ंक्शन f(x) को विचाराधीन बिंदु x पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है यदि:
1) इसमें सभी ऑर्डरों के डेरिवेटिव हैं;
2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।

जब a = 0 हमें एक श्रृंखला प्राप्त होती है जिसे मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:
,
मैकलॉरिन श्रृंखला में सबसे सरल (प्राथमिक) कार्यों का विस्तार:
घातीय कार्य
, आर=∞
त्रिकोणमितीय कार्य
, आर=∞
, आर=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
फ़ंक्शन actgx x की शक्तियों में विस्तारित नहीं होता है, क्योंकि ctg0=∞
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य


लघुगणकीय कार्य
, -1