क्रैमर नियम का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें। क्रैमर का नियम. व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। इससे समाधान प्रक्रिया में काफी तेजी आती है।

क्रैमर विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात हैं। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में क्रैमर विधि का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन यदि यह शून्य के बराबर है, तो इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, क्रैमर विधि का उपयोग उन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनका एक अद्वितीय समाधान होता है।

परिभाषा. अज्ञात के गुणांकों से बने निर्धारक को सिस्टम का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) दर्शाया जाता है।

निर्धारकों

संबंधित अज्ञात के गुणांकों को मुक्त पदों से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक शून्येतर है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर में सिस्टम का निर्धारक होता है, और अंश में इस अज्ञात के गुणांक को मुक्त शब्दों के साथ प्रतिस्थापित करके सिस्टम के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक होता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए लागू होता है।

उदाहरण 1।रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर का प्रमेयहमारे पास है:

तो, सिस्टम का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की समाधान विधि।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय तीन मामले

जैसा कि स्पष्ट है क्रैमर का प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले घटित हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात और मुक्त पदों के गुणांक आनुपातिक हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत है)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहलाते हैं असंगत, यदि उसके पास एक भी समाधान नहीं है, और संयुक्त, यदि इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक युगपत प्रणाली जिसका केवल एक ही हल हो, कहलाती है निश्चित, और एक से अधिक - ढुलमुल.

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

व्यवस्था दी जाए

क्रैमर प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ
-

सिस्टम निर्धारक. हम कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांकों के साथ मुक्त शर्तों के साथ प्रतिस्थापित करके शेष निर्धारक प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) सिस्टम का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 एक्स 3 और 4 एक्स 4 की प्रणालियों के समाधान की जांच करने के लिए, आप क्रैमर की समाधान विधि का उपयोग करके एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

यदि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में एक या अधिक समीकरणों में कोई चर नहीं हैं, तो निर्धारक में संबंधित तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है.

उदाहरण 3.क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों की प्रणाली और प्रणाली के निर्धारक को ध्यान से देखें और प्रश्न का उत्तर दोहराएं कि किन मामलों में सारणिक के एक या अधिक तत्व शून्य के बराबर हैं। अतः, सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए प्रणाली निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

हम साथ मिलकर क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, यानी इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करें।

उदाहरण 6.क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, इसलिए, रैखिक समीकरणों का निकाय या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से जुड़ी समस्याओं में, ऐसी समस्याएं भी होती हैं, जहां चर को दर्शाने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर एक संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो अक्सर वास्तविक होती है। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरणों की प्रणालियाँ किसी घटना या वस्तु के सामान्य गुणों की खोज की समस्याओं के कारण उत्पन्न होती हैं। अर्थात्, आपने कुछ नई सामग्री या उपकरण का आविष्कार किया है, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो नमूने के आकार या मात्रा की परवाह किए बिना सामान्य हैं, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय हैं पत्र. आपको उदाहरणों के लिए दूर तक देखने की ज़रूरत नहीं है।

निम्नलिखित उदाहरण एक समान समस्या के लिए है, केवल एक निश्चित वास्तविक संख्या को दर्शाने वाले समीकरणों, चर और अक्षरों की संख्या बढ़ जाती है।

उदाहरण 8.क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

तीन अज्ञात वाले 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली का समाधान दो समीकरणों की प्रणाली के समान रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात।

(2.4)

यदि 0. यहाँ

यह वहां है क्रैमर का नियम तीन अज्ञात में तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना.

उदाहरण 2.3.क्रैमर नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान . सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाना

चूँकि 0, तो सिस्टम का समाधान खोजने के लिए हम क्रैमर नियम लागू कर सकते हैं, लेकिन पहले हम तीन और निर्धारकों की गणना करते हैं:

इंतिहान:

अत: समाधान सही पाया गया। 

दूसरे और तीसरे क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए प्राप्त क्रैमर के नियम बताते हैं कि समान नियम किसी भी क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए तैयार किए जा सकते हैं। सच में होता है

क्रैमर का प्रमेय. सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली (0) इसका एक और केवल एक ही समाधान है और इस समाधान की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है

(2.5)

कहाँ  – मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक,  मैं – मैट्रिक्स निर्धारक, प्रतिस्थापित करते हुए, मुख्य से प्राप्त किया गयामैंमुक्त सदस्यों का वां कॉलम कॉलम.

ध्यान दें कि यदि =0, तो क्रैमर का नियम लागू नहीं होता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम में या तो कोई समाधान नहीं है या असीमित रूप से कई समाधान हैं।

क्रैमर प्रमेय तैयार करने के बाद, उच्च कोटि के निर्धारकों की गणना के बारे में स्वाभाविक रूप से प्रश्न उठता है।

2.4. nवें क्रम के निर्धारक

अतिरिक्त लघु एम आईजेतत्व ए आईजेकिसी दिए गए को हटाकर प्राप्त किया गया एक निर्धारक है मैंवें पंक्ति और जेवां स्तंभ. बीजगणितीय पूरक ए आईजेतत्व ए आईजे(-1) चिन्ह से लिए गए इस तत्व के लघु को कहा जाता है मैं + जे, अर्थात। ए आईजे = (–1) मैं + जे एम आईजे .

उदाहरण के लिए, आइए तत्वों के लघु और बीजगणितीय पूरक खोजें ए 23 और ए 31 क्वालीफायर

हम पाते हैं



बीजगणितीय पूरक की अवधारणा का उपयोग करके हम तैयार कर सकते हैं निर्धारक विस्तार प्रमेयएन-पंक्ति या स्तंभ के अनुसार क्रम.

प्रमेय 2.1. मैट्रिक्स निर्धारकएएक निश्चित पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों के बीजगणितीय पूरकों के उत्पादों के योग के बराबर है:

(2.6)

यह प्रमेय तथाकथित निर्धारकों की गणना के लिए मुख्य तरीकों में से एक को रेखांकित करता है। ऑर्डर कम करने की विधि. निर्धारक के विस्तार के परिणामस्वरूप एनकिसी भी पंक्ति या स्तंभ पर वें क्रम में, हमें n निर्धारक मिलते हैं ( एन-1)वाँ क्रम। ऐसे कम निर्धारक होने के लिए, उस पंक्ति या स्तंभ का चयन करना उचित है जिसमें सबसे अधिक शून्य हों। व्यवहार में, सारणिक के लिए विस्तार सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

वे। बीजगणितीय जोड़ स्पष्ट रूप से अवयस्कों के संदर्भ में लिखे जाते हैं।

उदाहरण 2.4.निर्धारकों को पहले किसी पंक्ति या स्तंभ में क्रमबद्ध करके उनकी गणना करें। आमतौर पर, ऐसे मामलों में, उस कॉलम या पंक्ति का चयन करें जिसमें सबसे अधिक शून्य हों। चयनित पंक्ति या स्तंभ को एक तीर द्वारा दर्शाया जाएगा।



2.5. निर्धारकों के मूल गुण

किसी भी पंक्ति या स्तंभ पर निर्धारक का विस्तार करने पर, हमें n निर्धारक मिलते हैं ( एन-1)वाँ क्रम। फिर इनमें से प्रत्येक निर्धारक ( एन–1)वें क्रम को निर्धारकों के योग में भी विघटित किया जा सकता है ( एन-2)वाँ क्रम। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, व्यक्ति प्रथम क्रम के निर्धारकों तक पहुंच सकता है, अर्थात। मैट्रिक्स के उन तत्वों के लिए जिनके निर्धारक की गणना की जाती है। तो, दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए, आपको दो पदों के योग की गणना करनी होगी, तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए - 6 पदों का योग, चौथे क्रम के निर्धारकों के लिए - 24 पदों की गणना करनी होगी। जैसे-जैसे निर्धारक का क्रम बढ़ेगा, पदों की संख्या तेजी से बढ़ेगी। इसका मतलब यह है कि बहुत उच्च क्रम के निर्धारकों की गणना करना एक श्रम-गहन कार्य बन जाता है, यहां तक कि एक कंप्यूटर की क्षमताओं से भी परे। हालाँकि, निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके, निर्धारकों की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है।

संपत्ति 1 . यदि इसमें पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली कर दी जाए, तो निर्धारक नहीं बदलेगा, अर्थात। मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ करते समय:

यह गुण निर्धारक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, किसी सारणिक के स्तंभों के बारे में कोई भी कथन उसकी पंक्तियों के लिए भी सत्य है और इसके विपरीत भी।

संपत्ति 2 . जब दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदला जाता है तो निर्धारक का चिह्न बदल जाता है।

परिणाम . यदि सारणिक में दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

संपत्ति 3 . किसी भी पंक्ति (स्तंभ) में सभी तत्वों का सामान्य गुणनखंड सारणिक के चिह्न से परे लिया जा सकता है.

उदाहरण के लिए,

परिणाम . यदि किसी सारणिक की एक निश्चित पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर है.

संपत्ति 4 . यदि एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में जोड़ दिया जाए, किसी भी संख्या से गुणा किया जाए तो निर्धारक नहीं बदलेगा.

उदाहरण के लिए,

संपत्ति 5 . आव्यूहों के गुणनफल का निर्धारक आव्यूहों के निर्धारकों के गुणनफल के बराबर होता है:

क्रैमर विधि का उपयोग रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है जिसमें अज्ञात चर की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है और मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है। इस लेख में हम विश्लेषण करेंगे कि क्रैमर विधि का उपयोग करके अज्ञात चर कैसे पाए जाते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं। इसके बाद, आइए उदाहरणों पर आगे बढ़ें और क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के समाधान का विस्तार से वर्णन करें।

पेज नेविगेशन.

क्रैमर विधि - सूत्रों की व्युत्पत्ति।

आइए हमें प्रपत्र के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जहाँ x 1, x 2, …, x n अज्ञात चर हैं, a i j, मैं = 1, 2, …, एन, जे = 1, 2, …, एन- संख्यात्मक गुणांक, बी 1, बी 2, ..., बी एन - मुक्त पद। SLAE का समाधान मानों का एक ऐसा सेट है x 1 , x 2 , …, x n जिसके लिए सिस्टम के सभी समीकरण पहचान बन जाते हैं।

मैट्रिक्स रूप में, इस प्रणाली को ए ⋅ एक्स = बी के रूप में लिखा जा सकता है, जहां - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, इसके तत्व अज्ञात चर के गुणांक हैं, - मैट्रिक्स मुक्त शब्दों का एक स्तंभ है, और - मैट्रिक्स अज्ञात चर का एक स्तंभ है। अज्ञात चर x 1, x 2, …, x n खोजने के बाद, मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली का समाधान बन जाता है और समानता A ⋅ X = B एक पहचान बन जाती है।

हम मान लेंगे कि मैट्रिक्स ए गैर-एकवचन है, यानी इसका सारणिक गैर-शून्य है। इस मामले में, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है। (प्रणालियों को हल करने की विधियों की चर्चा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने वाले अनुभाग में की गई है)।

क्रैमर की विधि मैट्रिक्स निर्धारक के दो गुणों पर आधारित है:

तो, आइए अज्ञात चर x 1 को खोजना शुरू करें। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम के पहले समीकरण के दोनों हिस्सों को A 1 1 से गुणा करते हैं, दूसरे समीकरण के दोनों हिस्सों को A 2 1 से गुणा करते हैं, और इसी तरह, nवें समीकरण के दोनों हिस्सों को A n 1 से गुणा करते हैं (अर्थात्, हम पहले मैट्रिक्स कॉलम ए के संबंधित बीजगणितीय पूरक द्वारा सिस्टम के समीकरणों को गुणा करें):

आइए सिस्टम समीकरण के सभी बाएं पक्षों को जोड़ें, अज्ञात चर x 1, x 2, ..., x n के लिए पदों को समूहीकृत करें, और इस योग को समीकरण के सभी दाएं पक्षों के योग के बराबर करें:

यदि हम सारणिक के पहले उल्लिखित गुणों की ओर मुड़ते हैं, तो हमारे पास है

और पिछली समानता का रूप ले लेती है

कहाँ

इसी प्रकार, हम x 2 पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स ए के दूसरे कॉलम के बीजगणितीय पूरक द्वारा सिस्टम समीकरणों के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं:

हम सिस्टम के सभी समीकरणों को जोड़ते हैं, अज्ञात चर x 1, x 2, ..., x n के लिए शर्तों को समूहीकृत करते हैं और सारणिक के गुणों को लागू करते हैं:

कहाँ
.

शेष अज्ञात चर इसी प्रकार पाए जाते हैं।

यदि हम नामित करते हैं

फिर हमें मिलता है क्रैमर विधि का उपयोग करके अज्ञात चर खोजने के सूत्र .

टिप्पणी।

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली सजातीय है, अर्थात , तो इसका केवल एक तुच्छ समाधान (पर) है। वास्तव में, शून्य मुक्त पदों के लिए, सभी निर्धारक शून्य के बराबर होगा, क्योंकि उनमें शून्य तत्वों का एक स्तंभ होगा। इसलिए, सूत्र दे देंगे ।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

चलो इसे लिख लें क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिदम.

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

आइए कई उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है। आइए सूत्र का उपयोग करके इसके निर्धारक की गणना करें :

चूँकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है, SLAE के पास एक अद्वितीय समाधान है, और इसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है। आइए निर्धारकों को लिखें और। हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के पहले कॉलम को मुक्त शब्दों के कॉलम से बदलते हैं, और हम निर्धारक प्राप्त करते हैं . इसी प्रकार, हम मुख्य मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलते हैं, और हमें मिलता है।

हम इन निर्धारकों की गणना करते हैं:

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर x 1 और x 2 खोजें :

की जाँच करें। आइए समीकरणों की मूल प्रणाली में प्राप्त मान x 1 और x 2 को प्रतिस्थापित करें:

सिस्टम के दोनों समीकरण सर्वसमिका बन जाते हैं, इसलिए समाधान सही पाया गया।

उत्तर:

SLAE के मुख्य मैट्रिक्स के कुछ तत्व शून्य के बराबर हो सकते हैं। इस मामले में, संबंधित अज्ञात चर सिस्टम समीकरणों से अनुपस्थित होंगे। आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

आइए सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखें , ताकि सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स दिखाई दे सके . आइए सूत्र का उपयोग करके इसका निर्धारक ज्ञात करें

हमारे पास है

मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्येतर है, इसलिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है। आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके खोजें। आइए निर्धारकों की गणना करें :

इस प्रकार,

उत्तर:

सिस्टम समीकरणों में अज्ञात चर के पदनाम x 1, x 2, ..., x n से भिन्न हो सकते हैं। इससे निर्णय प्रक्रिया प्रभावित नहीं होती. लेकिन मुख्य मैट्रिक्स और क्रैमर विधि के आवश्यक निर्धारकों को संकलित करते समय सिस्टम के समीकरणों में अज्ञात चर का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस बात को एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण।

क्रैमर विधि का उपयोग करके, तीन अज्ञात में तीन रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजें .

समाधान।

इस उदाहरण में, अज्ञात चर का एक अलग अंकन है (x1, x2 और x3 के बजाय x, y और z)। यह समाधान को प्रभावित नहीं करता है, लेकिन परिवर्तनीय लेबल से सावधान रहें। आप इसे सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रूप में नहीं ले सकते . सबसे पहले सिस्टम के सभी समीकरणों में अज्ञात चरों को क्रमबद्ध करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखते हैं . अब सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है . आइए इसके निर्धारक की गणना करें:

मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्येतर है, इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है। आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके खोजें। आइए निर्धारकों को लिखें (अंकन पर ध्यान दें) और उनकी गणना करें:

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चरों को खोजना बाकी है :

की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, मुख्य मैट्रिक्स को परिणामी समाधान से गुणा करें (यदि आवश्यक हो, अनुभाग देखें):

परिणामस्वरूप, हमें समीकरणों की मूल प्रणाली के मुक्त पदों का एक स्तंभ प्राप्त हुआ, इसलिए समाधान सही पाया गया।

उत्तर:

x = 0, y = -2, z = 3.

उदाहरण।

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें , जहाँ a और b कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं।

समाधान।

उत्तर:

उदाहरण।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें क्रैमर विधि द्वारा, - कुछ वास्तविक संख्या।

समाधान।

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:। इसलिए, किसी भी वास्तविक मान के लिए अभिव्यक्ति एक अंतराल है। नतीजतन, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है। हम गणना करते हैं और:

समीकरणों की समान संख्या के साथ मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक के साथ अज्ञात की संख्या, जो शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम के गुणांक (ऐसे समीकरणों के लिए एक समाधान है और केवल एक ही है)।

क्रैमर का प्रमेय.

जब किसी वर्ग प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है, तो इसका मतलब है कि प्रणाली सुसंगत है और इसका एक समाधान है और इसे इसके द्वारा पाया जा सकता है क्रैमर के सूत्र:

कहा पे Δ - सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक,

Δ मैंसिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक है, जिसमें इसके बजाय मैंवें कॉलम में दाहिनी ओर का कॉलम है।

जब किसी प्रणाली का निर्धारक शून्य होता है, तो इसका मतलब है कि प्रणाली सहयोगी या असंगत हो सकती है।

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर व्यापक गणना वाली छोटी प्रणालियों के लिए किया जाता है और यदि अज्ञात में से किसी एक को निर्धारित करना आवश्यक हो। विधि की जटिलता यह है कि कई निर्धारकों की गणना करने की आवश्यकता है।

क्रैमर विधि का विवरण.

समीकरणों की एक प्रणाली है:

क्रैमर विधि का उपयोग करके 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जा सकता है, जिसकी चर्चा ऊपर 2 समीकरणों की प्रणाली के लिए की गई थी।

हम अज्ञात के गुणांकों से एक निर्धारक बनाते हैं:

यह सिस्टम निर्धारक. कब डी≠0, जिसका अर्थ है कि सिस्टम सुसंगत है। आइए अब 3 अतिरिक्त निर्धारक बनाएं:

हम सिस्टम को हल करते हैं क्रैमर के सूत्र:

क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1.

दी गई प्रणाली:

आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें।

सबसे पहले आपको सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

क्योंकि Δ≠0, जिसका अर्थ है कि क्रैमर प्रमेय से प्रणाली सुसंगत है और इसका एक समाधान है। हम अतिरिक्त निर्धारकों की गणना करते हैं। निर्धारक Δ 1 को निर्धारक Δ से उसके पहले कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। हम पाते हैं:

उसी तरह, हम दूसरे कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ बदलकर सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक से Δ 2 का निर्धारक प्राप्त करते हैं:

पहले भाग में, हमने कुछ सैद्धांतिक सामग्री, प्रतिस्थापन विधि, साथ ही सिस्टम समीकरणों के शब्द-दर-अवधि योग की विधि को देखा। मैं इस पृष्ठ के माध्यम से साइट तक पहुंचने वाले प्रत्येक व्यक्ति को पहला भाग पढ़ने की सलाह देता हूं। शायद कुछ आगंतुकों को सामग्री बहुत सरल लगेगी, लेकिन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की प्रक्रिया में, मैंने सामान्य रूप से गणितीय समस्याओं के समाधान के संबंध में कई महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ और निष्कर्ष निकाले।

अब हम क्रैमर नियम का विश्लेषण करेंगे, साथ ही व्युत्क्रम मैट्रिक्स (मैट्रिक्स विधि) का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करेंगे। सभी सामग्रियां सरलता से, विस्तार से और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत की गई हैं, लगभग सभी पाठक उपरोक्त विधियों का उपयोग करके सिस्टम को हल करना सीख सकेंगे।

सबसे पहले, हम दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर करीब से नज़र डालेंगे। किस लिए? – आख़िरकार, सबसे सरल प्रणाली को स्कूल पद्धति, शब्द-दर-चरण जोड़ की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है!

तथ्य यह है कि, यद्यपि कभी-कभी, ऐसा कार्य होता है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि अधिक जटिल मामले के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग कैसे करें - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

इसके अलावा, दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, जिन्हें क्रैमर नियम का उपयोग करके हल करने की सलाह दी जाती है!

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

पहले चरण में, हम निर्धारक की गणना करते हैं, इसे कहा जाता है प्रणाली का मुख्य निर्धारक.

गॉस विधि.

यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए हमें दो और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
और

व्यवहार में, उपरोक्त क्वालीफायर को लैटिन अक्षर द्वारा भी दर्शाया जा सकता है।

हम सूत्रों का उपयोग करके समीकरण की जड़ें पाते हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं; दाहिनी ओर अल्पविराम के साथ दशमलव भिन्न हैं। गणित में व्यावहारिक कार्यों में अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है; मैंने इस प्रणाली को एक अर्थमितीय समस्या से लिया है।

ऐसी व्यवस्था का समाधान कैसे करें? आप एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में आप संभवतः भयानक फैंसी अंशों के साथ समाप्त हो जाएंगे जिनके साथ काम करना बेहद असुविधाजनक है, और समाधान का डिज़ाइन बहुत ही भयानक लगेगा। आप दूसरे समीकरण को 6 से गुणा कर सकते हैं और पद दर पद घटा सकते हैं, लेकिन यहां भी वही भिन्नें उत्पन्न होंगी।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

उत्तर: ,

दोनों जड़ों में अनंत पूँछें हैं और लगभग पाई जाती हैं, जो अर्थमिति समस्याओं के लिए काफी स्वीकार्य (और यहां तक कि सामान्य) है।

यहां टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कार्य तैयार फ़ार्मुलों का उपयोग करके हल किया गया है, हालांकि, एक चेतावनी है। इस विधि का उपयोग करते समय, अनिवार्यकार्य डिज़ाइन का एक अंश निम्नलिखित अंश है: "इसका मतलब है कि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है". अन्यथा, समीक्षक आपको क्रैमर प्रमेय के अनादर के लिए दंडित कर सकता है।

यह जांचना अतिश्योक्ति नहीं होगी, जिसे कैलकुलेटर पर आसानी से किया जा सकता है: हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर अनुमानित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामस्वरूप, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, आपको वे संख्याएँ मिलनी चाहिए जो दाईं ओर हैं।

उदाहरण 8

उत्तर को सामान्य अनुचित भिन्नों में प्रस्तुत करें। जांच करो.

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (अंतिम डिज़ाइन का एक उदाहरण और पाठ के अंत में उत्तर)।

आइए तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विचार करें:

हम सिस्टम का मुख्य निर्धारक पाते हैं:

यदि, तो सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं या असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। इस मामले में, क्रैमर का नियम मदद नहीं करेगा; आपको गॉस विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है और जड़ों को खोजने के लिए हमें तीन और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
, ,

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "तीन बटा तीन" मामला मूल रूप से "दो बटा दो" मामले से अलग नहीं है, मुक्त शब्दों का स्तंभ मुख्य निर्धारक के स्तंभों के साथ क्रमिक रूप से बाएं से दाएं "चलता है"।

उदाहरण 9

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान: आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

उत्तर: .

दरअसल, यहां फिर से टिप्पणी करने के लिए कुछ खास नहीं है, इस तथ्य के कारण कि समाधान तैयार फ़ार्मुलों का पालन करता है। लेकिन कुछ टिप्पणियाँ हैं।

ऐसा होता है कि गणना के परिणामस्वरूप, "खराब" अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए:।
मैं निम्नलिखित "उपचार" एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं। यदि आपके पास कंप्यूटर नहीं है, तो यह करें:

1) गणना में त्रुटि हो सकती है. जैसे ही आपको "खराब" अंश का सामना करना पड़ता है, आपको तुरंत जांच करने की आवश्यकता होती है क्या शर्त सही ढंग से दोबारा लिखी गई है?. यदि स्थिति को त्रुटियों के बिना फिर से लिखा जाता है, तो आपको दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में विस्तार का उपयोग करके निर्धारकों की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है।

2) यदि जाँच के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि नहीं पाई जाती है, तो सबसे अधिक संभावना है कि कार्य शर्तों में कोई त्रुटि थी। इस मामले में, शांति और सावधानी से कार्य को अंत तक पूरा करें, और फिर जांच अवश्य करेंऔर निर्णय के बाद हम इसे एक साफ़ शीट पर लिखते हैं। बेशक, भिन्नात्मक उत्तर की जाँच करना एक अप्रिय कार्य है, लेकिन यह शिक्षक के लिए एक निहत्था तर्क होगा, जो वास्तव में किसी भी बकवास के लिए माइनस देना पसंद करता है। भिन्नों को कैसे संभालना है इसका उदाहरण 8 के उत्तर में विस्तार से वर्णन किया गया है।

यदि आपके पास कंप्यूटर है, तो जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में ही मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, प्रोग्राम का तुरंत उपयोग करना सबसे लाभदायक है (समाधान शुरू करने से पहले भी आप तुरंत मध्यवर्ती चरण देखेंगे जहां आपने गलती की है); वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम के समाधान की गणना करता है।

दूसरी टिप्पणी. समय-समय पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनके समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

यहां पहले समीकरण में कोई चर नहीं है, दूसरे में कोई चर नहीं है। ऐसे मामलों में, मुख्य निर्धारक को सही ढंग से और सावधानीपूर्वक लिखना बहुत महत्वपूर्ण है:
- लुप्त चरों के स्थान पर शून्य रखे गए हैं।
वैसे, जिस पंक्ति (स्तंभ) में शून्य स्थित है, उसके अनुसार शून्य के साथ निर्धारकों को खोलना तर्कसंगत है, क्योंकि इसमें काफी कम गणनाएँ होती हैं।

उदाहरण 10

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है (अंतिम डिजाइन का एक नमूना और पाठ के अंत में उत्तर)।

4 अज्ञात वाले 4 समीकरणों की प्रणाली के मामले में, क्रैमर के सूत्र समान सिद्धांतों के अनुसार लिखे गए हैं। आप निर्धारकों के गुण पाठ में एक जीवंत उदाहरण देख सकते हैं। निर्धारक के क्रम को कम करना - पांच चौथे क्रम के निर्धारक काफी हल करने योग्य हैं। हालाँकि यह कार्य पहले से ही एक भाग्यशाली छात्र की छाती पर प्रोफेसर के जूते की याद दिलाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके किसी सिस्टम को हल करना

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि मूलतः एक विशेष मामला है मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण क्रमांक 3 देखें)।

इस अनुभाग का अध्ययन करने के लिए, आपको निर्धारकों का विस्तार करने, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम खोजने और मैट्रिक्स गुणन करने में सक्षम होना चाहिए। स्पष्टीकरण की प्रगति के रूप में प्रासंगिक लिंक प्रदान किए जाएंगे।

उदाहरण 11

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान: आइए सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें:
, कहाँ

कृपया समीकरणों और आव्यूहों की प्रणाली को देखें। मुझे लगता है कि हर कोई उस सिद्धांत को समझता है जिसके द्वारा हम तत्वों को मैट्रिक्स में लिखते हैं। एकमात्र टिप्पणी: यदि समीकरणों से कुछ चर गायब थे, तो शून्य को मैट्रिक्स में संबंधित स्थानों पर रखना होगा।

हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं:
, मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरकों का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक को देखें:

यहां सारणिक का विस्तार पहली पंक्ति पर किया गया है।

ध्यान! यदि, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को अज्ञात को खत्म करने की विधि (गॉस विधि) द्वारा हल किया जाता है।

अब हमें 9 अवयस्कों की गणना करने और उन्हें अवयस्क मैट्रिक्स में लिखने की आवश्यकता है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में दोहरे उपस्क्रिप्ट का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक उस पंक्ति की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

यानी, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति, तीसरे कॉलम में है, और, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति, दूसरे कॉलम में है