Y sama dengan akar dari X. Fungsi pangkat dan akar - definisi, properti, dan rumus

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi pangkat. Akar pangkat tiga. Sifat-sifat akar pangkat tiga"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Kompleks pendidikan 1C: "Masalah aljabar dengan parameter, kelas 9–11" Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.0"

Definisi fungsi pangkat - akar pangkat tiga

Mari kita periksa persamaannya: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Misalkan $\sqrt((-x))=a$ dan $\sqrt(x)=b$. Mari kita naikkan kedua ekspresi ke pangkat tiga. $–x=a^3$ dan $x=b^3$. Kemudian $a^3=-b^3$ atau $a=-b$. Dengan menggunakan notasi akar kita memperoleh identitas yang diinginkan.

Sifat-sifat akar pangkat tiga

Mari kita buktikan sifat kedua. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Kita menemukan bahwa bilangan $\sqrt(\frac(a)(b))$ pangkat tiga sama dengan $\frac(a)(b)$ dan kemudian sama dengan $\sqrt(\frac(a)(b))$ , yang dan perlu dibuktikan.

Teman-teman, mari kita buat grafik fungsi kita.
1) Domain definisi adalah himpunan bilangan real.
2) Fungsinya ganjil, karena $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Selanjutnya, perhatikan fungsi kita untuk $x≥0$, lalu tampilkan grafik relatif terhadap titik asal.
3) Fungsinya meningkat ketika $x≥0$. Untuk fungsi kita, nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai yang lebih tinggi fungsi yang artinya bertambah.
4) Fungsinya tidak dibatasi dari atas. Faktanya, dari mana saja jumlah besar akar ketiga dapat dihitung, dan kita dapat bergerak ke atas tanpa batas waktu, menemukan nilai argumen yang semakin besar.
5) Untuk $x≥0$ nilai terkecil sama dengan 0. Properti ini jelas.
Mari kita buat grafik fungsi dengan titik-titik di x≥0.

Mari kita buat grafik fungsi kita di seluruh domain definisi. Ingatlah bahwa fungsi kita ganjil.

Properti fungsi:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fungsi ganjil.
3) Meningkat sebesar (-∞;+∞).
4) Tidak terbatas.
5) Tidak ada nilai minimum dan maksimum.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Cembung ke bawah sebesar (-∞;0), cembung ke atas sebesar (0;+∞).

Contoh penyelesaian fungsi pangkat

2. Buatlah grafik fungsi tersebut. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Larutan. Grafik kita peroleh dari grafik fungsi $y=\sqrt(x)$, transfer paralel dua unit ke kanan dan tiga unit ke bawah.

3. Buat grafik fungsinya dan bacalah. $\begin(kasus)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(kasus)$.
Larutan. Mari kita buat dua grafik fungsi pada bidang koordinat yang sama, dengan mempertimbangkan kondisi kita. Untuk $x≥-1$ kita membuat grafik akar pangkat tiga, untuk $x≤-1$ kita membuat grafik fungsi linier.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fungsinya tidak genap dan tidak ganjil.
3) Berkurang sebesar (-∞;-1), bertambah (-1;+∞).
4) Tidak terbatas dari atas, dibatasi dari bawah.
5) Tidak ada nilai terbesar. Nilai terkecil adalah minus satu.
6) Fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan.
7) E(kamu)= (-1;+∞).

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

Derajat ke-N bilangan real, mencatat bahwa akar derajat apa pun (kedua, ketiga, keempat, dll.) dapat diekstraksi dari bilangan non-negatif apa pun, dan akar derajat ganjil apa pun dapat diekstraksi dari bilangan negatif. Namun kemudian Anda harus memikirkan tentang fungsi dari bentuk tersebut, tentang grafiknya, tentang propertinya. Inilah yang akan kita lakukan di paragraf ini. Pertama mari kita bahas fungsi jika nilainya bukan negatif argumen.

Mari kita mulai dengan kasus yang Anda ketahui, ketika n = 2, yaitu. dari fungsi Pada Gambar. 166 menunjukkan grafik fungsi dan grafik fungsi y = x 2, x>0. Kedua grafik tersebut mewakili kurva yang sama - cabang parabola, hanya terletak berbeda pada bidang koordinat. Mari kita perjelas: grafik-grafik ini simetris terhadap garis lurus y = x, karena grafik-grafik tersebut terdiri dari titik-titik yang simetris satu sama lain terhadap garis lurus tertentu. Perhatikan: pada cabang parabola y = x 2 terdapat titik (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), dan pada fungsinya grafik terdapat titik (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Titik (2; 4) dan (4; 2), (3; 9) dan (9; 3), (4; 16) dan (16; 4) simetris terhadap garis y = x, (dan titik (0 ; 0 ) dan (1; 1) terletak pada garis ini). Dan secara umum, untuk setiap titik (a; a 2) pada grafik fungsi y = x 2 adalah titik (a 2 ; a) yang simetris terhadap garis lurus y = x pada grafik fungsi dan sebaliknya. Teorema berikut ini benar.

Bukti. Untuk kepastiannya, kita asumsikan a dan b adalah angka positif. Perhatikan segitiga OAM dan OVR (Gbr. 167). Keduanya sama artinya OP = OM dan . Tapi kemudian karena garis lurus y = x adalah garis bagi sudut AOB. Jadi, segitiga ROM adalah sama kaki, OH adalah garis bagi, dan karenanya merupakan sumbu simetri. Titik M dan P simetris terhadap garis lurus OH, hal ini perlu dibuktikan.
Jadi, grafik fungsi tersebut dapat diperoleh dari grafik fungsi y = x 2, x>0 dengan menggunakan transformasi simetri terhadap garis lurus y = x. Demikian pula grafik suatu fungsi dapat diperoleh dari grafik fungsi y = x 3, x> 0 dengan menggunakan transformasi simetri terhadap garis lurus y = x; grafik suatu fungsi dapat diperoleh dari grafik suatu fungsi dengan menggunakan transformasi simetri terhadap garis lurus y = x, dst. Mari kita ingat bahwa grafik suatu fungsi tampak seperti cabang parabola.Semakin besar n, semakin curam cabang tersebut bergerak ke atas dalam interval dan semakin dekat mendekati sumbu x di sekitar titik x = 0 (Gbr. .168).

Mari kita rumuskan kesimpulan umum: grafik fungsi tersebut simetris terhadap grafik fungsi terhadap garis lurus y = x (Gbr. 169).

Properti fungsi

1)
2) fungsinya tidak genap dan tidak ganjil;
3) meningkat sebesar
4) tidak dibatasi dari atas, dibatasi dari bawah;
5) tidak mempunyai arti yang paling penting;
6) terus menerus;
7)

Perhatikan satu keadaan yang aneh. Mari kita perhatikan dua fungsi, yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 169: Kita baru saja membuat daftar tujuh properti untuk fungsi pertama, namun fungsi kedua memiliki properti yang sama persis. "Potret" verbal dari dua orang berbagai fungsi adalah sama. Tapi, mari kita perjelas, keduanya masih sama.

Matematikawan tidak dapat menanggung ketidakadilan seperti itu ketika fungsi yang berbeda dengan grafik yang berbeda dijelaskan secara verbal dengan cara yang sama, dan memperkenalkan konsep kecembungan ke atas dan kecembungan ke bawah. Grafik fungsinya cembung ke atas, sedangkan grafik fungsi y = x n cembung ke bawah.

Suatu fungsi kontinu biasanya dikatakan cembung ke bawah jika, dengan menghubungkan dua titik pada grafiknya dengan suatu ruas garis lurus, diketahui bahwa bagian grafik yang bersesuaian terletak di bawah ruas yang digambar (Gbr. 170); suatu fungsi kontinu dikatakan cembung ke atas jika, dengan menghubungkan dua titik pada grafiknya dengan suatu ruas garis lurus, diketahui bahwa bagian grafik yang bersesuaian terletak di atas ruas yang digambar (Gbr. 171).

Selanjutnya kita akan memasukkan sifat konveksitas dalam prosedur membaca grafik. Mari kita catat" (melanjutkan penomoran properti yang dijelaskan sebelumnya) untuk fungsi yang sedang dipertimbangkan:

8) fungsinya cembung ke atas pada sinar
Pada bab sebelumnya, kita telah mengenal sifat lain dari suatu fungsi - diferensiasi; kita melihat bahwa fungsi y = x n terdiferensiasi di titik mana pun, turunannya sama dengan nx n-1. Secara geometris, ini berarti bahwa di sembarang titik pada grafik fungsi y = x n dapat ditarik garis singgung padanya. Grafik suatu fungsi juga memiliki sifat yang sama: pada titik mana pun dimungkinkan untuk menggambar garis singgung grafik tersebut. Dengan demikian, kita dapat mencatat satu lagi sifat fungsi tersebut
9) fungsi tersebut terdiferensiasi di sembarang titik x > 0.
Harap dicatat: kita tidak berbicara tentang diferensiasi fungsi pada titik x = 0 - pada titik ini garis singgung grafik fungsi tersebut bertepatan dengan sumbu y, yaitu. tegak lurus terhadap sumbu x.
Contoh 1. Buat grafik suatu fungsi
Larutan. 1) Mari kita lanjutkan ke sistem bantu berkoordinasi dengan titik asal di titik (-1; -4) - garis putus-putus x = -1 dan y = -4 pada Gambar. 172.
2) “Ikat” fungsi ke sistem baru koordinat Ini akan menjadi jadwal yang diperlukan.
Contoh 2. Selesaikan persamaannya

Larutan. Cara pertama. 1) Mari kita perkenalkan dua fungsi
2) Mari kita plot fungsinya

3) Mari kita buat grafik fungsi linier y=2-x (lihat Gambar 173).

4) Grafik yang dibangun berpotongan di satu titik A, dan dari grafik tersebut kita dapat berasumsi bahwa koordinat titik A adalah sebagai berikut: (1; 1). Pemeriksaan menunjukkan bahwa sebenarnya titik (1; 1) termasuk dalam grafik fungsi dan grafik fungsi y=2-x. Artinya persamaan kita mempunyai satu akar: x = 1 - absis titik A.

Cara kedua.
Model geometris disajikan pada Gambar. 173, diilustrasikan dengan jelas oleh pernyataan berikut, yang terkadang memungkinkan penyelesaian persamaan dengan sangat elegan (dan yang telah kita gunakan di § 35 saat menyelesaikan Contoh 2):

Jika fungsi y=f(x) bertambah, dan fungsi y=g(x) berkurang, dan jika persamaan f(x)=g(x) mempunyai akar, maka hanya ada satu.

Begini caranya, berdasarkan pernyataan ini, kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan:

1) perhatikan bahwa untuk x = 1 persamaan berlaku, yang berarti x = 1 adalah akar persamaan (kami menebak akar ini);
2) fungsi y=2-x berkurang, dan fungsinya bertambah; Artinya persamaan yang diberikan hanya mempunyai satu akar, dan akar tersebut adalah nilai x = 1 yang terdapat di atas.

Menjawab: x = 1.

Sejauh ini kita telah membicarakan fungsi hanya untuk nilai argumen non-negatif. Namun jika n adalah bilangan ganjil, persamaan tersebut juga masuk akal untuk x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

Faktanya, hanya satu properti yang akan ditambahkan ke daftar tersebut:

jika n bilangan ganjil (n = 3,5, 7,...), maka merupakan fungsi ganjil.

Faktanya, transformasi seperti itu berlaku untuk eksponen ganjil n. Jadi, f(-x) = -f(x), artinya fungsinya ganjil.

Seperti apa grafik suatu fungsi jika eksponen ganjil n? Ketika seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 169, merupakan cabang dari graf yang diinginkan. Dengan menambahkan cabang yang simetris terhadap titik asal koordinat (yang, ingat, merupakan tipikal untuk fungsi ganjil apa pun), kita memperoleh grafik fungsi tersebut (Gbr. 174). Perhatikan bahwa sumbu y bersinggungan dengan grafik di x = 0.
Jadi mari kita ulangi lagi:
jika n bilangan genap, maka grafik fungsi tersebut berbentuk seperti pada Gambar. 169;
jika n bilangan ganjil, maka grafik fungsi tersebut berbentuk seperti pada Gambar. 174.

Contoh 3. Buatlah dan baca grafik fungsi y = f(x), di mana
Larutan. Pertama, mari kita buat grafik fungsi dan sorot sebagiannya pada sinar (Gbr. 175).
Kemudian kita akan membuat grafik fungsi dan memilih bagiannya pada balok terbuka (Gbr. 176). Terakhir, kita akan menggambarkan kedua "bagian" dalam sistem koordinat yang sama - ini akan menjadi grafik fungsi y = f(x) (Gbr. 177).
Mari kita daftar (berdasarkan grafik yang diplot) sifat-sifat fungsi y = f(x):

1)
2) tidak genap maupun ganjil;
3) berkurang pada sinar, bertambah pada sinar
4) tidak dibatasi dari bawah, dibatasi dari atas;
5) tidak ada nilai minimum a (dicapai pada titik x = 1);
6) terus menerus;
7)
8) cembung ke bawah di , cembung ke atas pada ruas , cembung ke bawah di
9) fungsi tersebut terdiferensiasi di semua tempat kecuali titik x = 0 dan x = 1.
10) grafik fungsi mempunyai asimtot mendatar, artinya ingat kembali

Contoh 4. Temukan domain suatu fungsi:

Larutan, a) Di bawah tanda akar derajat genap harus ada bilangan non-negatif, yang berarti masalahnya adalah penyelesaian pertidaksamaan.
b) Bilangan apa pun dapat berada di bawah tanda akar ganjil, artinya di sini tidak ada batasan yang dikenakan pada x, yaitu. D(f) = R.
c) Ungkapan tersebut masuk akal asalkan suatu ungkapan berarti bahwa dua pertidaksamaan harus dipenuhi secara bersamaan: itu. masalahnya bermuara pada penyelesaian sistem ketidaksetaraan:

Mengatasi ketimpangan
Mari selesaikan pertidaksamaan Mari kita faktorkan ruas kiri pertidaksamaan tersebut: Ruas kiri pertidaksamaan berubah menjadi 0 di titik -4 dan 4. Mari kita tandai titik-titik ini pada garis bilangan (Gbr. 178). Garis bilangan dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi tiga interval, dan pada setiap interval ekspresi p(x) = (4-x)(4 + x) mempertahankan tanda konstan (tanda-tanda ditunjukkan pada Gambar 178). Interval dimana pertidaksamaan p(x)>0 diarsir pada Gambar. 178. Berdasarkan kondisi soal, kita juga tertarik pada titik x yang memiliki persamaan p(x) = 0. Ada dua titik seperti itu: x = -4, x = 4 - ditandai pada Gambar . 178 lingkaran hitam. Jadi, pada Gambar. 178 menyajikan model geometri untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua sistem.

Mari kita tandai solusi yang ditemukan untuk pertidaksamaan pertama dan kedua dari sistem pada garis koordinat yang sama, menggunakan penetasan atas untuk pertidaksamaan pertama dan penetasan bawah untuk pertidaksamaan kedua (Gbr. 179). Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah perpotongan penyelesaian pertidaksamaan sistem, yaitu. interval di mana kedua palka bertepatan. Kesenjangan tersebut adalah segmen [-1, 4].

Menjawab. D(f) = [-1.4].

A.G. Aljabar Mordkovich kelas 10

Perencanaan tematik kalender dalam matematika, video dalam matematika online, Matematika di sekolah

Perhatikan fungsinya y=√x. Grafik fungsi ini ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Grafik fungsi y=√x

Seperti yang Anda lihat, grafiknya menyerupai parabola yang diputar, atau lebih tepatnya salah satu cabangnya. Kita mendapatkan cabang parabola x=y^2. Terlihat dari gambar bahwa grafik hanya menyentuh sumbu Oy satu kali saja, yaitu pada titik yang koordinatnya (0;0).
Sekarang perlu diperhatikan properti utama dari fungsi ini.

Sifat-sifat fungsi y=√x

1. Daerah definisi suatu fungsi adalah sinar)