Fungsi tersebut dikatakan ada di titik internal
wilayah D maksimum lokal(minimum), jika terdapat lingkungan titik tersebut
, untuk setiap poin
yang menampung ketimpangan

Jika suatu fungsi mempunyai suatu titik
maksimum lokal atau minimum lokal, maka kita katakan sudah sampai pada titik ini ekstrem lokal(atau hanya ekstrem).

Dalil (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem). Jika fungsi terdiferensiasi mencapai titik ekstrem
, maka setiap turunan parsial orde pertama dari fungsi tersebut pada titik ini menjadi nol.

Titik dimana semua turunan parsial orde pertama hilang disebut titik stasioner dari fungsi tersebut
. Koordinat titik-titik ini dapat dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan

.

Syarat yang diperlukan adanya suatu ekstrem pada fungsi terdiferensiasi dapat dirumuskan secara singkat sebagai berikut:

Ada kasus ketika pada titik-titik tertentu beberapa turunan parsial memiliki nilai tak terhingga atau tidak ada (sementara sisanya sama dengan nol). Titik-titik seperti ini disebut titik kritis dari fungsi tersebut. Poin-poin ini juga harus dianggap “mencurigakan” untuk titik ekstrem, sama seperti titik-titik stasioner.

Dalam hal fungsi dua variabel, syarat ekstrem yang diperlukan, yaitu persamaan turunan parsial (diferensial) dengan nol pada titik ekstrem, memiliki interpretasi geometris: bidang singgung ke permukaan
pada titik ekstremnya harus sejajar dengan bidang
.

20. Kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem

Pemenuhan kondisi yang diperlukan bagi keberadaan suatu ekstrem di suatu titik sama sekali tidak menjamin adanya ekstrem di sana. Sebagai contoh, kita dapat mengambil fungsi terdiferensiasi dimana-mana
. Turunan parsialnya dan fungsinya sendiri lenyap pada suatu titik
. Namun, di lingkungan mana pun pada saat ini, ada keduanya yang positif (besar
), dan negatif (lebih kecil
) nilai fungsi ini. Oleh karena itu, pada titik ini, menurut definisi, tidak ada ekstrem yang diamati. Oleh karena itu, perlu diketahui kondisi yang cukup dimana suatu titik yang diduga merupakan titik ekstrem merupakan titik ekstrem dari fungsi yang diteliti.

Mari kita perhatikan kasus fungsi dua variabel. Mari kita asumsikan fungsinya
terdefinisi, kontinu dan mempunyai turunan parsial kontinu sampai orde kedua inklusif di lingkungan suatu titik
, yang merupakan titik stasioner dari fungsi tersebut
, yaitu memenuhi persyaratan

,
.

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Dalil (kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem). Biarkan fungsinya
memenuhi syarat di atas, yaitu: terdiferensiasi pada suatu lingkungan suatu titik stasioner
dan terdiferensiasi dua kali pada titik itu sendiri
. Lalu jika

Jika
lalu fungsinya
pada intinya
mencapai

maksimum lokal pada
Dan

minimum lokal pada
.

Secara umum untuk fungsinya
kondisi yang cukup untuk keberadaan pada titik tersebut
lokalminimum(maksimum) adalah positif(negatif) kepastian diferensial kedua.

Dengan kata lain, pernyataan berikut ini benar.

Dalil . Jika pada intinya
untuk fungsi

untuk sembarang yang tidak sama dengan nol pada saat yang sama
, maka pada titik ini fungsinya telah minimum(mirip dengan maksimum, Jika
).

Contoh 18.Temukan titik ekstrem lokal suatu fungsi

Larutan. Mari kita cari turunan parsial dari fungsi tersebut dan samakan dengan nol:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan dua kemungkinan titik ekstrem:

Mari kita cari turunan parsial orde kedua untuk fungsi ini:

Oleh karena itu, pada titik stasioner pertama, dan
Oleh karena itu, penelitian tambahan diperlukan pada saat ini. Nilai fungsi
pada titik ini adalah nol:
Lebih jauh,

pada

A

pada

Oleh karena itu, di lingkungan mana pun itu penting
fungsi
mengambil nilai sebesar-besarnya
, dan lebih kecil
, dan, oleh karena itu, pada intinya
fungsi
, menurut definisi, tidak memiliki ekstrem lokal.

Di titik stasioner kedua



oleh karena itu, oleh karena itu, sejak itu
lalu pada intinya
fungsinya memiliki maksimum lokal.

>> Ekstrem

Fungsi ekstrem

Definisi ekstrem

Fungsi y = f(x) disebut meningkat (menurun) dalam selang waktu tertentu, jika untuk x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Jika fungsi terdiferensiasi y = f(x) bertambah (berkurang) pada suatu interval, maka turunannya pada interval tersebut f " (X)> 0

(F"(X)< 0).

Dot X HAI ditelepon titik maksimum lokal (minimum) fungsi f (x) jika terdapat lingkungan titik tersebut x o, untuk semua titik yang pertidaksamaannya f(x) benar≤ f (x o ) (f (x )≥ f (xo )).

Poin maksimum dan minimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut adalah nya ekstrem.

Poin ekstrem

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem . Jika intinya X HAI adalah titik ekstrem dari fungsi f (x), maka f " (x o ) = 0, atau f(x o ) tidak ada. Titik-titik seperti ini disebut kritis, dan fungsi itu sendiri didefinisikan pada titik kritis. Titik ekstrem suatu fungsi harus dicari di antara titik-titik kritisnya.

Kondisi cukup pertama. Membiarkan X HAI - titik kritis. Jika f" (x ) ketika melewati suatu titik X HAI mengubah tanda plus menjadi minus, lalu pada intinya x o fungsinya memiliki maksimum, selain itu ia memiliki minimum. Jika pada saat melewati titik kritis turunannya tidak berubah tanda, maka pada titik tersebut X HAI tidak ada yang ekstrim.

Kondisi cukup kedua. Biarkan fungsi f(x) memiliki
F" (x ) di sekitar titik tersebut X HAI dan turunan kedua pada titik itu sendiri x o. Jika f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o adalah titik minimum (maksimum) lokal dari fungsi f (x). Jika =0, ​​maka Anda perlu menggunakan kondisi cukup pertama atau melibatkan kondisi yang lebih tinggi.

Pada suatu ruas, fungsi y = f(x) dapat mencapai nilai minimum atau maksimumnya baik pada titik kritis maupun pada ujung ruas.

Contoh 3.22.

Larutan. Karena F " (

Masalah menemukan ekstrem suatu fungsi

Contoh 3.23. A

Larutan. X Dan kamu kamu
0 ≤ X≤
> 0, dan kapan x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi kv. unit).

Contoh 3.24. hal ≈

Larutan. hal
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22.Tentukan ekstrem fungsi f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Larutan. Karena F " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Ekstrem hanya dapat berada pada titik-titik tersebut. Karena ketika melewati titik x 1 = 2 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka pada titik tersebut fungsinya sudah maksimal. Ketika melewati titik x 2 = 3, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, sehingga pada titik x 2 = 3 fungsinya mempunyai nilai minimum. Setelah menghitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita cari ekstrem dari fungsi tersebut: f maksimum (2) = 14 dan minimum f (3) = 13.

Contoh 3.23.Area persegi panjang perlu dibangun di dekat dinding batu sehingga di tiga sisinya dipagari dengan kawat kasa, dan sisi keempat berbatasan dengan dinding. Untuk ini ada A meter linier mesh. Pada rasio aspek berapa situs tersebut akan memiliki luas terluas?

Larutan.Mari kita tunjukkan sisi-sisi platform dengan X Dan kamu. Luas situs tersebut adalah S = xy. Membiarkan kamu- ini adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka dengan syarat persamaan 2x + y = a harus dipenuhi. Jadi y = a - 2x dan S = x (a - 2x), dimana
0 ≤ X≤ a /2 (panjang dan lebar luas tidak boleh negatif). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pada x = a/4, dari mana
y = a - 2 × a/4 =a/2. Karena x = a /4 adalah satu-satunya titik kritis; mari kita periksa apakah tanda turunannya berubah ketika melewati titik ini. Pada x a /4 S "> 0, dan kapan x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv. unit). Karena S kontinu pada dan nilai pada ujung S(0) dan S(a /2) sama dengan nol, maka nilai yang ditemukan akan menjadi nilai terbesar dari fungsi tersebut. Jadi, rasio aspek situs yang paling disukai dalam kondisi masalah tertentu adalah y = 2x.

Contoh 3.24.Diperlukan pembuatan tangki berbentuk silinder tertutup dengan kapasitas V=16 hal ≈ 50 m3. Berapa dimensi tangki (radius R dan tinggi H) agar bahan yang digunakan untuk pembuatannya paling sedikit?

Larutan.Luas permukaan total silinder adalah S = 2 P R(R+H). Kita mengetahui volume silinder V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / hal R2 = 16/R2. Jadi S(R) = 2 P (R 2 +16/Kanan). Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 pada R 3 = 8, oleh karena itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu didefinisikan sebagai batas kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen yang cenderung nol. Untuk menemukannya, gunakan tabel turunan. Misalnya turunan fungsi y = x3 akan sama dengan y’ = x2.

Samakan turunan ini dengan nol (dalam hal ini x2=0).

Temukan nilai variabel yang diberikan. Ini akan menjadi nilai di mana turunan yang diberikan akan sama dengan 0. Untuk melakukan ini, gantikan bilangan arbitrer ke dalam ekspresi alih-alih x, di mana seluruh ekspresi akan menjadi nol. Misalnya:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Plot nilai yang diperoleh pada garis koordinat dan hitung tanda turunannya untuk setiap nilai yang diperoleh. Titik-titik ditandai pada garis koordinat, yang diambil sebagai titik asal. Untuk menghitung nilai dalam interval, gantikan nilai arbitrer yang sesuai dengan kriteria. Misalnya, untuk fungsi sebelumnya sebelum interval -1, Anda dapat memilih nilai -2. Untuk nilai dari -1 hingga 1, Anda dapat memilih 0, dan untuk nilai yang lebih besar dari 1, pilih 2. Substitusikan angka-angka ini ke dalam turunannya dan cari tahu tanda turunannya. Dalam hal ini, turunan dengan x = -2 akan sama dengan -0,24, yaitu. negatif dan akan ada tanda minus pada interval ini. Jika x=0, maka nilainya sama dengan 2, dan diberi tanda pada interval tersebut. Jika x=1, maka turunannya juga akan sama dengan -0,24 dan diberi tanda minus.

Jika pada suatu titik pada garis koordinat melewati suatu titik, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka titik tersebut merupakan titik minimum, dan jika dari plus menjadi minus, maka titik tersebut merupakan titik maksimum.

Video tentang topik tersebut

Saran yang bermanfaat

Untuk mencari turunannya, ada layanan online yang menghitung nilai yang dibutuhkan dan menampilkan hasilnya. Di situs tersebut Anda dapat menemukan turunan hingga urutan ke-5.

Sumber:

• Salah satu layanan untuk menghitung derivatif
• titik maksimum dari fungsi tersebut

Titik maksimum suatu fungsi beserta titik minimumnya disebut titik ekstrem. Pada titik ini fungsi mengubah perilakunya. Ekstrema ditentukan pada interval numerik terbatas dan selalu bersifat lokal.

instruksi

Proses mencari ekstrem lokal disebut fungsi dan dilakukan dengan menganalisis turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. Sebelum memulai penelitian, pastikan rentang nilai argumen yang ditentukan termasuk dalam nilai yang valid. Misalnya, untuk fungsi F=1/x argumen x=0 tidak valid. Atau untuk fungsi Y=tg(x) argumennya tidak boleh bernilai x=90°.

Pastikan fungsi Y terdiferensiasi pada seluruh interval tertentu. Temukan turunan pertama dari Y." Jelasnya, sebelum mencapai titik maksimum lokal, fungsi tersebut meningkat, dan ketika melewati maksimum, fungsi tersebut menjadi menurun. Turunan pertama, dalam arti fisisnya, mencirikan laju perubahan dari Y. fungsi. Ketika fungsi meningkat, laju proses ini bernilai positif. Selama transisi melalui maksimum lokal, fungsi mulai menurun, dan laju perubahan fungsi menjadi negatif. Transisi laju perubahan fungsi fungsi melalui nol terjadi pada titik maksimum lokal.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik dalam daerah definisi fungsi di mana nilai fungsi tersebut bernilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik tersebut disebut ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi tersebut.

Definisi. Dot X1 domain fungsi F(X) disebut titik maksimum dari fungsi tersebut , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan berlaku F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Definisi. Dot X2 domain fungsi F(X) disebut titik minimum dari fungsi tersebut, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan berlaku F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X2 minimum.

Katakanlah titik X1 - titik maksimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X1 fungsi meningkat, oleh karena itu turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ), dan dalam interval setelahnya X1 fungsinya menurun, oleh karena itu, turunan suatu fungsi kurang dari nol ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Mari kita asumsikan juga hal itu X2 - titik minimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X2 fungsinya menurun, dan turunan fungsinya kurang dari nol ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fungsinya meningkat, dan turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya X2 turunan fungsi tersebut nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (tanda penting keberadaan ekstrem suatu fungsi). Jika intinya X0 - titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) maka pada titik ini turunan fungsinya sama dengan nol ( F "(X) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Contoh 1. Mari kita pertimbangkan fungsinya.

Pada intinya X= 0 turunan fungsinya adalah nol, maka intinya X= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti dapat dilihat pada grafik fungsinya, fungsi tersebut meningkat di seluruh domain definisi, begitu pula intinya X= 0 bukan titik ekstrem dari fungsi ini.

Jadi, kondisi bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol atau tidak ada merupakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan yang memenuhi kondisi ini, tetapi fungsinya tidak memiliki titik ekstrem pada titik yang bersesuaian. Itu sebabnya harus ada bukti yang cukup, memungkinkan seseorang untuk menilai apakah ada titik ekstrem pada titik kritis tertentu dan jenis ekstrem apa itu - maksimum atau minimum.

Teorema (tanda cukup pertama dari keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 F(X) jika melalui titik ini turunan fungsi tersebut berubah tanda, dan jika tandanya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka itu adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka itu adalah poin minimum.

Jika dekat dengan titik tersebut X0 , di kiri dan kanannya turunan tetap bertanda, artinya fungsi tersebut hanya berkurang atau hanya bertambah di lingkungan titik tertentu. X0 . Dalam hal ini, pada intinya X0 tidak ada yang ekstrim.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut :

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik-titik kritis pada garis bilangan dan tentukan tanda-tanda turunan fungsi pada interval yang dihasilkan. Jika tanda turunannya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka titik minimumnya.
4. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2. Temukan ekstrem dari fungsinya .

Larutan. Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Mari kita samakan turunannya dengan nol untuk mencari titik kritis:

.

Karena untuk setiap nilai “x” penyebutnya tidak sama dengan nol, kita samakan pembilangnya dengan nol:

Ada satu poin penting X= 3 . Mari kita tentukan tanda turunannya pada interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam rentang dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsinya berkurang,

pada selang waktu 3 sampai plus tak terhingga terdapat tanda tambah, yaitu fungsinya bertambah.

Artinya, titik X= 3 adalah poin minimum.

Mari kita cari nilai fungsi pada titik minimum:

Jadi, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0), dan itu adalah titik minimum.

Teorema (tanda cukup kedua dari keberadaan fungsi ekstrem). Titik kritis X0 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) jika turunan kedua fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( F ""(X) ≠ 0 ), dan jika turunan keduanya lebih besar dari nol ( F ""(X) > 0 ), maka titik maksimumnya, dan jika turunan keduanya kurang dari nol ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada intinya X0 Jika turunan pertama dan kedua hilang, maka pada titik ini tidak mungkin menilai keberadaan ekstrem berdasarkan kriteria cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk ekstrem suatu fungsi.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi tidak berlaku meskipun turunan pertama tidak ada pada titik stasioner (maka turunan keduanya juga tidak ada). Dalam hal ini, Anda juga perlu menggunakan tanda cukup pertama dari suatu fungsi ekstrem.

Sifat lokal dari fungsi ekstrem

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai di dekatnya.

Katakanlah Anda melihat penghasilan Anda selama periode satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan bulan Mei adalah maksimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Namun pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, jadi penghasilan bulan Oktober adalah minimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa nilai maksimum pada bulan April-Mei-Juni kurang dari nilai minimum pada bulan September-Oktober-November.

Secara umum, pada suatu interval suatu fungsi dapat memiliki beberapa ekstrem, dan mungkin saja suatu fungsi minimum lebih besar daripada maksimum apa pun. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, kita tidak boleh berpikir bahwa maksimum dan minimum suatu fungsi masing-masing adalah nilai terbesar dan terkecilnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar hanya jika dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum mempunyai nilai terkecil hanya jika dibandingkan dengan nilai-nilai tersebut. ​​yang pada semua titiknya cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat memperjelas konsep titik ekstrem suatu fungsi di atas dan menyebut titik minimum sebagai titik minimum lokal, dan titik maksimum sebagai titik maksimum lokal.

Kami mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 3.

Penyelesaian: Fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis bilangan. Turunannya juga ada pada seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, titik kritisnya hanyalah titik di mana, yaitu. , dari mana dan . Titik kritis dan bagi seluruh domain definisi fungsi menjadi tiga interval monotonisitas: . Mari kita pilih satu titik kontrol di masing-masing titik tersebut dan temukan tanda turunannya di titik ini.

Untuk interval, titik kendalinya dapat berupa: temukan. Mengambil satu titik dalam interval, kita mendapatkan, dan mengambil satu titik dalam interval, kita mendapatkan. Jadi, di interval dan , dan di interval . Menurut kriteria cukup pertama untuk suatu ekstrem, tidak ada ekstrem pada suatu titik (karena turunannya tetap memiliki tanda dalam interval), dan pada titik tersebut fungsinya memiliki minimum (karena turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus ketika melewati melalui titik ini). Mari kita cari nilai fungsi yang sesuai: , a . Pada interval fungsi tersebut berkurang, karena pada interval ini , dan pada interval tersebut meningkat, karena pada interval ini .

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kita mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat. Ketika kita memperoleh persamaan yang akar-akarnya adalah dan , yaitu dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi tersebut ditemukan. Dengan menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat contoh di awal).

Contoh 4. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Daerah asal definisi suatu fungsi adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, yaitu. .

Untuk mempersingkat pembelajaran, Anda dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbunya Oi dan penelitian hanya dapat dilakukan untuk interval.

Menemukan turunannya dan titik kritis dari fungsi tersebut:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi tersebut mengalami diskontinuitas pada titik ini, sehingga tidak dapat menjadi titik ekstrem.

Jadi, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Dengan mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya akan memeriksa titik menggunakan kriteria cukup kedua untuk suatu ekstrem. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan keduanya dan tentukan tandanya di: kita peroleh . Karena dan , ini adalah titik minimum dari fungsi tersebut, dan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang grafik suatu fungsi, mari kita cari tahu perilakunya pada batas domain definisinya:

(di sini simbol menunjukkan keinginan X ke nol dari kanan, dan X tetap positif; sama artinya aspirasi X ke nol dari kiri, dan X tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita temukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik suatu fungsi tidak mempunyai titik potong dengan sumbunya. Gambarnya ada di awal contoh.

Kami terus mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 8. Temukan ekstrem dari fungsinya.

Larutan. Mari kita cari domain definisi fungsinya. Karena pertidaksamaan harus dipenuhi, maka diperoleh dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut:

Mari kita cari titik kritis dari fungsi tersebut.

Definisi: Titik x0 disebut titik maksimum (atau minimum) lokal suatu fungsi jika di lingkungan titik x0 fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (atau terkecil), yaitu. untuk semua x dari suatu lingkungan titik x0 kondisi f(x) f(x0) (atau f(x) f(x0)) terpenuhi.

Titik maksimum atau minimum lokal disatukan dengan nama umum - titik ekstrem lokal suatu fungsi.

Perhatikan bahwa pada titik ekstrem lokal, fungsi tersebut mencapai nilai maksimum atau minimumnya hanya di wilayah lokal tertentu. Mungkin ada kasus ketika sesuai dengan nilai уmaxуmin.

Tanda penting dari keberadaan fungsi ekstrem lokal

Dalil . Jika suatu fungsi kontinu y = f(x) mempunyai ekstrem lokal di titik x0, maka pada titik ini turunan pertamanya nol atau tidak ada, yaitu. ekstrem lokal terjadi pada titik-titik kritis jenis pertama.

Pada titik ekstrem lokal, garis singgungnya sejajar dengan sumbu 0x, atau terdapat dua garis singgung (lihat gambar). Perhatikan bahwa titik kritis merupakan kondisi yang diperlukan namun tidak cukup untuk ekstrem lokal. Ekstrem lokal hanya terjadi pada titik-titik kritis jenis pertama, tetapi tidak terjadi sama sekali pada titik-titik kritis ekstrem lokal.

Contoh: parabola kubik y = x3 mempunyai titik kritis x0 = 0, dimana turunannya y/(0)=0, tetapi titik kritis x0=0 bukanlah titik ekstrem, melainkan titik belok (lihat di bawah).

Tanda yang cukup untuk keberadaan fungsi ekstrem lokal

Dalil . Jika, ketika argumen melewati titik kritis jenis pertama dari kiri ke kanan, turunan pertama y / (x)

mengubah tanda dari “+” menjadi “-”, maka fungsi kontinu y(x) pada titik kritis tersebut mempunyai maksimum lokal;

mengubah tanda dari “-” menjadi “+”, maka fungsi kontinu y(x) mempunyai minimum lokal pada titik kritis tersebut

tidak berubah tanda, maka pada titik kritis ini tidak terdapat titik ekstrim lokal, disini terdapat titik belok.

Untuk maksimum lokal, daerah fungsi meningkat (y/0) digantikan oleh daerah fungsi menurun (y/0). Untuk minimum lokal, daerah fungsi menurun (y/0) digantikan oleh daerah fungsi meningkat (y/0).

Contoh: Periksa fungsi y = x3 + 9x2 + 15x - 9 untuk mengetahui monotonisitas, ekstrem, dan buatlah grafik fungsi tersebut.

Mari kita cari titik kritis jenis pertama dengan mendefinisikan turunan (y/) dan menyamakannya dengan nol: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Mari selesaikan trinomial kuadrat menggunakan diskriminan:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Kita membagi sumbu bilangan menjadi 3 daerah yang mempunyai titik kritis dan menentukan tanda turunannya (y/) di dalamnya. Dengan menggunakan tanda-tanda ini kita akan menemukan daerah-daerah yang monotonisitasnya (naik dan turun) fungsinya, dan dengan mengubah tanda-tanda tersebut kita akan menentukan titik-titik ekstrem lokal (maksimum dan minimum).

Hasil penelitian kami sajikan dalam bentuk tabel, sehingga dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

• 1. Pada interval y /(-10) 0 fungsi meningkat secara monoton (tanda turunan y diperkirakan menggunakan titik kendali x = -10 yang diambil pada interval ini);
• 2. Pada interval (-5 ; -1) y /(-2) 0 fungsi menurun secara monoton (tanda turunan y diperkirakan menggunakan titik kendali x = -2, diambil pada interval ini);
• 3. Pada interval y /(0) 0, fungsi meningkat secara monoton (tanda turunan y diperkirakan menggunakan titik kendali x = 0 yang diambil pada interval ini);
• 4. Ketika melewati titik kritis x1k = -5, turunannya berubah tanda dari “+” menjadi “-”, sehingga titik tersebut merupakan titik maksimum lokal
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. Ketika melewati titik kritis x2k = -1, turunannya berubah tanda dari “-” menjadi “+”, sehingga titik tersebut merupakan titik minimum lokal
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Kita akan membuat grafik berdasarkan hasil penelitian dengan menggunakan perhitungan tambahan nilai fungsi pada titik kontrol:

membangun sistem koordinat persegi panjang Oxy;

Ditunjukkan berdasarkan koordinat titik maksimum (-5; 16) dan minimum (-1;-16);

untuk memperjelas grafiknya, kita menghitung nilai fungsi pada titik kontrol, memilihnya di kiri dan kanan titik maksimum dan minimum dan di dalam interval rata-rata, contoh: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

kamu(0)= -9 (-6;9); (-3;0) dan (0;-9) - titik kontrol terhitung yang kita plot untuk membuat grafik;

Grafiknya kita tampilkan berupa kurva cembung ke atas pada titik maksimum dan cembung ke bawah pada titik minimum dan melalui titik kendali yang dihitung.