Bagaimana membandingkan bilangan bulat modulo positif. Membandingkan bilangan modulo

Kami terus mempelajari bilangan rasional. Dalam pelajaran ini kita akan belajar bagaimana membandingkannya.

Dari pelajaran sebelumnya kita belajar bahwa semakin ke kanan suatu bilangan terletak pada garis koordinat, maka bilangan tersebut akan semakin besar. Oleh karena itu, semakin ke kiri bilangan tersebut terletak pada garis koordinat, semakin kecil bilangan tersebut.

Misalnya, jika Anda membandingkan angka 4 dan 1, Anda dapat langsung menjawab bahwa 4 lebih dari 1. Ini adalah pernyataan yang sepenuhnya logis dan semua orang akan setuju dengannya.

Sebagai buktinya, kita dapat menyebutkan garis koordinat. Ini menunjukkan bahwa empat terletak di sebelah kanan satu

Untuk hal ini juga ada aturan yang bisa digunakan jika diinginkan. Ini terlihat seperti ini:

Dari dua bilangan positif, bilangan yang modulusnya lebih besar adalah bilangan yang lebih besar.

Untuk menjawab pertanyaan bilangan mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil, pertama-tama Anda perlu mencari modul bilangan-bilangan tersebut, membandingkan modul-modul tersebut, lalu menjawab pertanyaan tersebut.

Misalnya, bandingkan angka 4 dan 1 yang sama, dengan menerapkan aturan di atas

Menemukan modul bilangan:

|4| = 4

|1| = 1

Mari kita bandingkan modul yang ditemukan:

4 > 1

Kami menjawab pertanyaan:

4 > 1

Untuk angka negatif Ada aturan lain, tampilannya seperti ini:

Dari dua bilangan negatif, bilangan yang modulusnya lebih kecil adalah bilangan yang lebih besar.

Misalnya, bandingkan angka −3 dan −1

Menemukan modul bilangan

|−3| = 3

|−1| = 1

Mari kita bandingkan modul yang ditemukan:

3 > 1

Kami menjawab pertanyaan:

−3 < −1

Modulus suatu bilangan berbeda dengan bilangan itu sendiri. Kesalahan Umum banyak pemula. Misalnya, jika modulus −3 lebih besar dari modulus −1, hal ini tidak berarti bahwa −3 lebih besar dari −1.

Angka −3 lebih kecil dari angka −1. Hal ini dapat dipahami jika kita menggunakan garis koordinat

Terlihat bahwa bilangan −3 terletak lebih ke kiri daripada −1. Dan kita tahu bahwa semakin ke kiri, semakin sedikit.

Jika Anda membandingkan angka negatif dengan angka positif, jawabannya akan muncul dengan sendirinya. Bilangan negatif mana pun akan lebih kecil dari bilangan positif mana pun. Misalnya, −4 kurang dari 2

Dapat dilihat bahwa −4 terletak lebih ke kiri daripada 2. Dan kita tahu bahwa “semakin ke kiri, semakin kecil”.

Di sini, pertama-tama, Anda perlu melihat tanda-tanda angkanya. Tanda minus di depan suatu bilangan menunjukkan bahwa bilangan tersebut negatif. Jika tanda bilangannya hilang, berarti bilangan tersebut positif, namun Anda dapat menuliskannya agar lebih jelas. Ingatlah bahwa ini adalah tanda plus

Sebagai contoh, kita melihat bilangan bulat berbentuk −4, −3 −1, 2. Membandingkan bilangan-bilangan tersebut, serta menggambarkannya pada garis koordinat, tidaklah sulit.

Jauh lebih sulit untuk membandingkan jenis bilangan lain, seperti pecahan, nomor campuran dan desimal, beberapa di antaranya negatif. Di sini pada dasarnya Anda harus menerapkan aturan, karena tidak selalu mungkin untuk menggambarkan angka-angka tersebut secara akurat pada garis koordinat. Dalam beberapa kasus, nomor diperlukan untuk memudahkan perbandingan dan pemahaman.

Contoh 1. Bandingkan bilangan rasional

Jadi, Anda perlu membandingkan bilangan negatif dengan bilangan positif. Bilangan negatif mana pun lebih kecil dari bilangan positif mana pun. Oleh karena itu, tanpa membuang waktu, kami menjawab kurang dari itu

Contoh 2.

Anda perlu membandingkan dua angka negatif. Dari dua bilangan negatif, bilangan yang besarnya lebih kecil akan lebih besar.

Menemukan modul bilangan:

Mari kita bandingkan modul yang ditemukan:

Contoh 3. Bandingkan angka 2,34 dan

Anda perlu membandingkan angka positif dengan angka negatif. Setiap bilangan positif lebih besar dari bilangan negatif mana pun. Oleh karena itu, tanpa membuang waktu, kami menjawab bahwa 2,34 lebih dari

Contoh 4. Bandingkan bilangan rasional dan

Menemukan modul bilangan:

Kami membandingkan modul yang ditemukan. Tapi pertama-tama, mari kita bentuk menjadi jelas agar lebih mudah membandingkannya, yaitu kita ubah menjadi pecahan biasa dan bawa ke penyebut yang sama.

Menurut aturan, dari dua bilangan negatif, bilangan yang modulusnya lebih kecil akan lebih besar. Artinya rasional lebih besar dari , karena modulus bilangan lebih kecil dari modulus bilangan

Contoh 5.

Anda perlu membandingkan nol dengan angka negatif. Nol lebih besar dari bilangan negatif mana pun, jadi tanpa membuang waktu kita menjawab bahwa 0 lebih besar dari

Contoh 6. Bandingkan bilangan rasional 0 dan

Anda perlu membandingkan nol dengan angka positif. Nol lebih kecil dari bilangan positif mana pun, jadi tanpa membuang waktu kita menjawab bahwa 0 lebih kecil dari

Contoh 7. Bandingkan bilangan rasional 4,53 dan 4,403

Anda perlu membandingkan dua bilangan positif. Dari dua bilangan positif, bilangan yang modulusnya lebih besar adalah bilangan yang lebih besar.

Mari kita buat jumlah digit setelah koma desimal sama di kedua pecahan. Untuk melakukan ini, pada pecahan 4,53 kita menambahkan satu angka nol di akhir

Menemukan modul bilangan

Mari kita bandingkan modul yang ditemukan:

Menurut aturan, dari dua bilangan positif, bilangan yang nilai absolutnya lebih besar akan lebih besar. Cara bilangan rasional 4,53 lebih besar dari 4,403 karena modulus 4,53 lebih besar dari modulus 4,403

Contoh 8. Bandingkan bilangan rasional dan

Anda perlu membandingkan dua angka negatif. Dari dua bilangan negatif, bilangan yang modulusnya lebih kecil adalah bilangan yang lebih besar.

Menemukan modul bilangan:

Kami membandingkan modul yang ditemukan. Tapi pertama-tama, mari kita bentuk menjadi jelas agar lebih mudah membandingkannya, yaitu kita ubah dulu bilangan campurannya menjadi fraksi yang tidak tepat, lalu kita bawa kedua pecahan tersebut ke penyebut yang sama:

Menurut aturan, dari dua bilangan negatif, bilangan yang modulusnya lebih kecil akan lebih besar. Artinya rasional lebih besar dari , karena modulus bilangan lebih kecil dari modulus bilangan

Membandingkan desimal jauh lebih mudah dibandingkan membandingkan pecahan dan bilangan campuran. Dalam beberapa kasus, dengan melihat seluruh bagian pecahan tersebut, Anda dapat langsung menjawab pertanyaan pecahan mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil.

Untuk melakukan ini, Anda perlu membandingkan modul seluruh bagian. Ini akan memungkinkan Anda menjawab pertanyaan dalam tugas dengan cepat. Lagi pula, seperti yang Anda tahu, seluruh bagiannya ada di dalam desimal memiliki bobot lebih dari yang pecahan.

Contoh 9. Bandingkan bilangan rasional 15.4 dan 2.1256

Modulus seluruh bagian pecahan 15,4 lebih besar dari modulus seluruh bagian pecahan 2,1256

oleh karena itu pecahan 15,4 lebih besar dari pecahan 2,1256

15,4 > 2,1256

Dengan kata lain, kita tidak perlu membuang waktu untuk menjumlahkan angka nol pada pecahan 15.4 dan membandingkan pecahan yang dihasilkan seperti bilangan biasa.

154000 > 21256

Aturan perbandingannya tetap sama. Dalam kasus kami, kami membandingkan angka positif.

Contoh 10. Bandingkan bilangan rasional −15.2 dan −0.152

Anda perlu membandingkan dua angka negatif. Dari dua bilangan negatif, bilangan yang modulusnya lebih kecil adalah bilangan yang lebih besar. Tapi kami hanya akan membandingkan modul seluruh bagian

Kita melihat bahwa modulus seluruh bagian pecahan adalah −15,2 lebih besar dari modulus seluruh bagian pecahan −0,152.

Artinya rasional −0.152 lebih besar dari −15.2 karena modulus bagian bilangan bulat dari bilangan −0.152 lebih kecil dari modulus bagian bilangan bulat dari bilangan −15.2

−0,152 > −15,2

Contoh 11. Bandingkan bilangan rasional −3.4 dan −3.7

Anda perlu membandingkan dua angka negatif. Dari dua bilangan negatif, bilangan yang modulusnya lebih kecil adalah bilangan yang lebih besar. Tapi kami hanya akan membandingkan modul seluruh bagian. Namun masalahnya adalah modulus bilangan bulatnya sama:

Dalam hal ini, Anda harus menggunakan metode lama: temukan modul bilangan rasional dan bandingkan modul ini

Mari kita bandingkan modul yang ditemukan:

Menurut aturan, dari dua bilangan negatif, bilangan yang modulusnya lebih kecil akan lebih besar. Artinya rasional −3.4 lebih besar dari −3.7 karena modulus bilangan −3.4 lebih kecil dari modulus bilangan −3.7

−3,4 > −3,7

Contoh 12. Bandingkan bilangan rasional 0,(3) dan

Anda perlu membandingkan dua bilangan positif. Selain itu, bandingkan pecahan periodik dengan pecahan sederhana.

Mari kita ubah pecahan periodik 0,(3) menjadi pecahan biasa dan bandingkan dengan pecahan. Setelah pecahan periodik 0,(3) diubah menjadi pecahan biasa, maka menjadi pecahan

Menemukan modul bilangan:

Kami membandingkan modul yang ditemukan. Namun pertama-tama, mari kita bawa ke bentuk yang dapat dimengerti agar lebih mudah dibandingkan, yaitu mari kita bawa ke penyebut yang sama:

Menurut aturan, dari dua bilangan positif, bilangan yang nilai absolutnya lebih besar akan lebih besar. Artinya bilangan rasional lebih besar dari 0,(3) karena modulus bilangan tersebut lebih besar dari modulus bilangan 0,(3)

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan kami grup baru VKontakte dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru

PERVUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Lembaga pendidikan swasta "Sekolah St. Petersburg "Tete-a-Tete"

Guru matematika Kategori tertinggi

Membandingkan bilangan modulo

Definisi 1. Jika dua angka1 ) ADanBketika dibagiPberikan sisa yang samaR, maka bilangan tersebut disebut sisa sama atausebanding dalam modulus P.

Penyataan 1. MembiarkanPbeberapa bilangan positif. Lalu setiap nomorAselalu dan, terlebih lagi, satu-satunya cara yang dapat direpresentasikan dalam bentuk

Di manaS- nomor, danRsalah satu angka 0,1, ...,P−1.

1 ) Dalam artikel ini, kata bilangan akan dipahami sebagai bilangan bulat.

Benar-benar. JikaSakan menerima nilai dari −∞ hingga +∞, lalu angkanyaspmewakili himpunan semua bilangan yang merupakan kelipatanP. Mari kita lihat angka-angka di antaranyaspDan (s+1) p=sp+p. KarenaPadalah bilangan bulat positif, lalu di antaraspDansp+pada angka

Namun angka tersebut bisa didapatkan dengan cara settingRsama dengan 0, 1, 2,...,P−1. Karena itusp+r=suatuakan mendapatkan semua nilai integer yang mungkin.

Mari kita tunjukkan bahwa representasi ini unik. Mari kita berpura-pura seperti ituPdapat direpresentasikan dalam dua caraa=sp+rDansebuah = s1 P+ R1 . Kemudian

atau

KarenaR1 menerima salah satu angka 0,1, ...,P−1, maka nilai absolutnyaR1 − Rlebih sedikitP. Tapi dari (2) berikut iniR1 − RbanyakP. Karena ituR1 = RDanS1 = S.

NomorRditelepondikurangi angkaAmoduloP(dengan kata lain, nomorRdisebut sisa suatu bilanganApadaP).

Penyataan 2. Jika dua angkaADanBsebanding dalam modulusP, Itua−bdibagi denganP.

Benar-benar. Jika dua angkaADanBsebanding dalam modulusP, lalu bila dibagiPmempunyai sisa yang samaP. Kemudian

Di manaSDanS1 beberapa bilangan bulat.

Perbedaan angka-angka ini

dibagi denganP, Karena bagian kanan persamaan (3) dibagi denganP.

Penyataan 3. Jika selisih dua bilangan habis dibagiP, maka angka-angka ini sebanding dalam modulusnyaP.

Bukti. Mari kita nyatakan denganRDanR1 sisa pembagianADanBpadaP. Kemudian

Di mana

Berdasarkana−bdibagi denganP. Karena ituR− R1 juga habis dibagiP. Tapi karenaRDanR1 angka 0,1,...,P−1, maka nilai absolut |R− R1 |< P. Lalu, untukR− R1 dibagi denganPsyaratnya harus dipenuhiR= R1 .

Dari pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa bilangan pembanding adalah bilangan yang selisihnya habis dibagi modulusnya.

Jika Anda perlu menuliskan angka-angka ituADanBsebanding dalam modulusP, lalu kita menggunakan notasi (diperkenalkan oleh Gauss):

Contoh 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Dari contoh pertama dapat disimpulkan bahwa 25 jika dibagi 7 menghasilkan sisa yang sama dengan 39. Memang, 25 = 3·7+4 (sisa 4). 39=3·7+4 (sisa 4). Saat mempertimbangkan contoh kedua, Anda perlu memperhitungkan bahwa sisanya harus berupa bilangan non-negatif yang lebih kecil dari modulusnya (yaitu 4). Maka kita dapat menulis: −18=−5·4+2 (sisa 2), 14=3·4+2 (sisa 2). Jadi, −18 jika dibagi 4 akan menyisakan 2, dan 14 jika dibagi 4 akan menyisakan 2.

Sifat perbandingan modulo

Properti 1. Untuk siapa punADanPSelalu

Properti 2. Jika dua angkaADanCsebanding dengan angkaBmoduloP, ItuADanCsebanding satu sama lain menurut modul yang sama, yaitu. Jika

Itu

Benar-benar. Dari kondisi properti 2 berikut inia−bDanb−cdibagi menjadiP. Lalu jumlah merekaa−b+(b−c)=a−cjuga dibagi menjadiP.

Properti 3. Jika

Itu

Benar-benar. Karenaa−bDanm−ndibagi menjadiP, Itu

juga dibagi menjadiP.

Properti ini dapat diperluas ke sejumlah perbandingan yang memiliki modulus yang sama.

Properti 4. Jika

Itu

Lebih jauhm−ndibagi denganP, karena itub(m−n)=bm−bnjuga dibagi menjadiP, Cara

Jadi dua angkasayaDanbnmodulusnya sebanding dengan bilangan yang samabm, oleh karena itu keduanya dapat dibandingkan satu sama lain (properti 2).

Properti 5. Jika

Itu

Di manakbeberapa bilangan bulat non-negatif.

Benar-benar. Kita punyaa≡bmod(P). Dari properti 4 berikut ini

Sajikan semua properti 1-5 dalam pernyataan berikut:

Penyataan 4. MembiarkanF( X1 , X2 , X3 , ...) adalah fungsi rasional keseluruhan dengan koefisien bilangan bulat dan misalkan

Kemudian

Dengan pembagian segalanya berbeda. Dari perbandingan

Penyataan 5. Membiarkan

Di manaλ Inipembagi persekutuan terbesarangkaMDanP.

Bukti. Membiarkanλ pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilanganMDanP. Kemudian

Karenam(a−b)dibagi dengank, Itu

mempunyai sisa nol, yaituM1 ( a−b) dibagi dengank1 . Tapi angkanyaM1 Dank1 bilangan relatif prima. Karena itua−bdibagi dengank1 = k/λkemudian,hal,q,s.

Benar-benar. Perbedaana≡bharus kelipatan darihal,q,s.dan karena itu harus kelipatanH.

Dalam kasus khusus, jika modulhal,q,ssaling bilangan prima, Itu

Di manah=pqs.

Perhatikan bahwa kami dapat mengizinkan perbandingan berdasarkan modul negatif, mis. perbandingana≡bmod(P) berarti dalam hal ini perbedaannyaa−bdibagi denganP. Semua properti perbandingan tetap berlaku untuk modul negatif.

Untuk dua bilangan bulat X Dan pada Mari kita perkenalkan hubungan komparabilitas dengan paritas jika selisihnya bilangan genap. Sangat mudah untuk memeriksa apakah ketiga kondisi kesetaraan yang diperkenalkan sebelumnya terpenuhi. Relasi ekivalen yang diperkenalkan dengan cara ini membagi seluruh himpunan bilangan bulat menjadi dua himpunan bagian yang terpisah-pisah: himpunan bagian bilangan genap dan himpunan bagian bilangan ganjil.

Dengan menggeneralisasi kasus ini, kita dapat mengatakan bahwa dua bilangan bulat yang berbeda sebesar kelipatan suatu bilangan asli tetap adalah ekuivalen. Inilah dasar konsep komparabilitas modulo yang diperkenalkan oleh Gauss.

Nomor A, sebanding dengan B modulo M, jika selisihnya habis dibagi suatu bilangan tetap bilangan asli M, itu adalah a - b dibagi dengan M. Secara simbolis ini ditulis sebagai:

a ≡ b(modm),

dan bunyinya seperti ini: A sebanding dengan B modulo M.

Relasi yang diperkenalkan dengan cara ini, berkat analogi mendalam antara perbandingan dan persamaan, menyederhanakan penghitungan di mana angka-angka berbeda kelipatan. M, sebenarnya tidak berbeda (karena perbandingannya adalah persamaan hingga kelipatan m).

Misalnya angka 7 dan 19 sebanding dengan modulo 4, tetapi tidak sebanding dengan modulo 5, karena 19-7=12 habis dibagi 4 dan tidak habis dibagi 5.

Bisa juga dikatakan angkanya X modulo M sama dengan sisanya jika dibagi dengan bilangan bulat X pada M, Karena

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa perbandingan bilangan menurut modul tertentu memiliki semua sifat kesetaraan. Oleh karena itu, himpunan bilangan bulat dibagi menjadi beberapa kelas bilangan yang modulusnya sebanding M. Jumlah kelas tersebut sama M, dan semua bilangan dari kelas yang sama jika dibagi M berikan sisa yang sama. Misalnya jika M= 3, maka didapat tiga kelas: kelas bilangan yang kelipatannya 3 (memberikan sisa 0 jika dibagi 3), kelas bilangan yang menyisakan sisa 1 jika dibagi 3, dan kelas bilangan yang menyisakan sisa 1 jika dibagi 3, dan kelas bilangan yang menyisakan sisa 2 bila dibagi 3.

Contoh penggunaan perbandingan disampaikan dengan baik tanda-tanda yang diketahui dapat dibagi. Representasi bilangan umum N bilangan dalam sistem bilangan desimal berbentuk:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

Di mana a,b,c,- angka suatu bilangan yang ditulis dari kanan ke kiri, jadi A- jumlah unit, B- jumlah puluhan, dll. Sejak 10k ≡ 1(mod9) untuk k≥0 apa pun, maka dari apa yang tertulis berikut ini

n ≡ c + b + a(mod9),

maka berikut uji keterbagian dengan 9: N habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9. Alasan ini juga berlaku saat mengganti 9 dengan 3.

Kita memperoleh uji keterbagian dengan 11. Perbandingan terjadi:

10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11), dan seterusnya. Itu sebabnya n ≡ c - b + a - ….(mod11).

Karena itu, N habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah bolak-balik angka-angkanya a - b + c -... habis dibagi 11.

Misal jumlah bolak-balik angka-angka angka 9581 adalah 1 - 8 + 5 - 9 = -11, habis dibagi 11, artinya angka 9581 habis dibagi 11.

Jika ada perbandingan: , maka dapat dijumlahkan, dikurangi, dan dikalikan suku demi suku dengan cara yang sama seperti persamaan:

Perbandingan selalu dapat dikalikan dengan bilangan bulat:

jika kemudian

Akan tetapi, mereduksi suatu perbandingan dengan faktor apapun tidak selalu memungkinkan, misalnya tidak mungkin untuk mereduksinya dengan faktor persekutuan 6 untuk bilangan 42 dan 12; pengurangan seperti itu menyebabkan hasil yang salah, karena .

Dari definisi modulo komparabilitas dapat disimpulkan bahwa pengurangan suatu faktor diperbolehkan jika faktor tersebut koprima terhadap modulusnya.

Telah disebutkan di atas bahwa bilangan bulat apa pun sebanding dengan mod M dengan salah satu angka berikut: 0, 1, 2,... , m-1.

Selain deret tersebut, ada deret bilangan lain yang mempunyai sifat yang sama; jadi, misalnya, angka apa pun dapat dibandingkan mod 5 dengan salah satu angka berikut: 0, 1, 2, 3, 4, tetapi juga dapat dibandingkan dengan salah satu angka berikut: 0, -4, -3, -2, - 1, atau 0, 1, -1, 2, -2. Deret bilangan apa pun disebut sistem residu lengkap modulo 5.

Dengan demikian, sistem residu mod yang lengkap M seri apa pun M angka, tidak ada dua angka yang sebanding satu sama lain. Biasanya digunakan sistem yang lengkap residu, terdiri dari angka: 0, 1, 2, ..., M-1. Mengurangi angkanya N modulo M adalah sisa divisi N pada M, yang mengikuti dari representasi n = km + r, 0<R<M- 1.

Membandingkan bilangan modulo

Disiapkan oleh: Irina Zutikova

MAOU "Liceum No. 6"

Kelas: 10 "a"

Pembimbing Ilmiah: Zheltova Olga Nikolaevna

Tambov

2016

• Masalah
• Tujuan proyek
• Hipotesa
• Tujuan proyek dan rencana untuk mencapainya
• Perbandingan dan propertinya
• Contoh permasalahan dan solusinya
• Situs dan literatur bekas

Masalah:

Kebanyakan siswa jarang menggunakan modulo perbandingan bilangan untuk menyelesaikan tugas-tugas nonstandar dan olimpiade.

Tujuan proyek:

Tunjukkan bagaimana Anda dapat menyelesaikan tugas non-standar dan olimpiade dengan membandingkan bilangan modulo.

Hipotesa:

Mempelajari lebih dalam topik “Membandingkan bilangan modulo” akan membantu siswa menyelesaikan beberapa tugas non-standar dan olimpiade.

Tujuan proyek dan rencana untuk mencapainya:

1. Pelajari secara detail topik “Perbandingan bilangan modulo”.

2. Menyelesaikan beberapa tugas non-standar dan olimpiade menggunakan modulo perbandingan angka.

3.Buatlah memo untuk siswa dengan topik “Membandingkan bilangan modulo”.

4. Melaksanakan pembelajaran dengan topik “Membandingkan bilangan modulo” di kelas 10a.

5.Berikan pekerjaan rumah kelas pada topik “Perbandingan berdasarkan modul.”

6. Bandingkan waktu penyelesaian tugas sebelum dan sesudah mempelajari topik “Perbandingan per Modul”.

7.Menarik kesimpulan.

Sebelum mulai mempelajari secara detail topik “Membandingkan bilangan modulo”, saya memutuskan untuk membandingkan penyajiannya di berbagai buku teks.

• Aljabar dan awal analisis matematika. Tingkat Lanjut. kelas 10 (Yu.M. Kolyagin dan lainnya)
• Matematika: aljabar, fungsi, analisis data. kelas 7 (L.G. Peterson dan lainnya)
• Aljabar dan awal analisis matematika. Tingkat profil. kelas 10 (E.P. Nelin dan lainnya)
• Aljabar dan awal analisis matematika. Tingkat profil. kelas 10 (G.K. Muravin dan lainnya)

Seperti yang saya ketahui, beberapa buku teks bahkan tidak menyentuh topik ini, meskipun tingkatnya sudah mahir. Dan topiknya disajikan dengan cara yang paling jelas dan mudah diakses dalam buku teks oleh L.G. Peterson (Bab: Pengantar teori keterbagian), jadi mari kita coba memahami “Perbandingan bilangan modulo”, dengan mengandalkan teori dari buku teks ini.

Perbandingan dan propertinya.

Definisi: Jika dua bilangan bulat a dan b mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan bilangan bulat m (m>0), maka dikatakan demikiana dan b adalah modulo m yang sebanding, dan tulis:

Dalil: jika dan hanya jika selisih a dan b habis dibagi m.

Properti:

1. Refleksivitas perbandingan.Bilangan apa pun a sebanding dengan modulo m itu sendiri (m>0; a,m adalah bilangan bulat).
2. Perbandingan simetris.Jika bilangan a sebanding dengan bilangan b modulo m, maka bilangan b sebanding dengan bilangan a modulo yang sama (m>0; a,b,m adalah bilangan bulat).
3. Transitivitas perbandingan.Jika bilangan a sebanding dengan bilangan b modulo m, dan bilangan b sebanding dengan bilangan c modulo modulo yang sama, maka bilangan a sebanding dengan bilangan c modulo m (m>0; a,b,c ,m adalah bilangan bulat).
4. Jika bilangan a sebanding dengan bilangan b modulo m, maka bilangan a N sebanding dengan nomor b N modulo m(m>0; a,b,m-integer; n-bilangan asli).

Contoh permasalahan dan solusinya.

1. Temukan digit terakhir dari angka 3 999 .

Larutan:

Karena angka terakhir bilangan adalah sisa pembagian dengan 10, maka

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(Karena 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (menurut properti))

Jawaban: 7.

2.Buktikan bahwa 2 4n -1 habis dibagi 15 tanpa sisa. (Fistek2012)

Larutan:

Karena 16 1(mod 15), lalu

16n-1 0(mod 15) (menurut properti); 16n= (2 4) hal

2 4n -1 0(mod 15)

3.Buktikan bahwa 12 2n+1 +11 n+2 Habis dibagi 133 tanpa sisa.

Larutan:

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (mod 133) (menurut properti)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Nomor (11 n *133)dibagi 133 tanpa sisa, maka (12 2n+1 +11 n+2 ) habis dibagi 133 tanpa sisa.

4. Carilah sisa bilangan 2 dibagi 15 2015 .

Larutan:

Sejak 16 1(mod 15), lalu

2 2015 8(mod 15)

Jawaban:8.

5.Cari sisa pembagian dengan angka ke-17 2 2015. (Fistech2015)

Larutan:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Sejak 16 -1(mod 17), lalu

2 2015 -8(mod 15)

8 9(mod 17)

Jawaban:9.

6. Buktikan bilangan tersebut adalah 11 100 -1 habis dibagi 100 tanpa sisa. (Fistech2015)

Larutan:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (menurut properti)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (menurut properti)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (menurut properti)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(menurut properti)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (menurut properti)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (menurut properti)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (menurut properti)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (menurut properti)

Jadi 11 100 1(mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (menurut properti)

7. Diberikan tiga angka: 1771,1935,2222. Carilah suatu bilangan yang jika dibagi dengan bilangan tersebut, sisa ketiga bilangan tersebut akan sama. (HSE2016)

Larutan:

Misalkan bilangan tak dikenal itu sama dengan a

2222 1935(mod a); 1935 1771(mod a); 2222 1771(mod a)

2222-1935 0(moda) (menurut properti); 1935-17710(moda) (menurut properti); 2222-17710(moda) (menurut properti)

287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)

287-164 0(moda) (menurut properti); 451-2870(moda)(menurut properti)

123 0(mod a); 164 0 (mod a)

164-123 0(mod a) (menurut properti)

41

Definisi 1. Jika dua angka adalah 1) A Dan B ketika dibagi P berikan sisa yang sama R, maka bilangan tersebut disebut sisa sama atau sebanding dalam modulus P.

Penyataan 1. Membiarkan P beberapa bilangan positif. Lalu setiap nomor A selalu dan, terlebih lagi, satu-satunya cara yang dapat direpresentasikan dalam bentuk

Namun angka tersebut bisa didapatkan dengan cara setting R sama dengan 0, 1, 2,..., P−1. Karena itu sp+r=suatu akan mendapatkan semua nilai integer yang mungkin.

Mari kita tunjukkan bahwa representasi ini unik. Mari kita berpura-pura seperti itu P dapat direpresentasikan dalam dua cara a=sp+r Dan sebuah = s 1 P+R 1 . Kemudian

(2)

Karena R 1 menerima salah satu angka 0,1, ..., P−1, maka nilai absolutnya R 1 −R lebih sedikit P. Tapi dari (2) berikut ini R 1 −R banyak P. Karena itu R 1 =R Dan S 1 =S.

Nomor R ditelepon dikurangi angka A modulo P(dengan kata lain, nomor R disebut sisa suatu bilangan A pada P).

Penyataan 2. Jika dua angka A Dan B sebanding dalam modulus P, Itu a−b dibagi dengan P.

Benar-benar. Jika dua angka A Dan B sebanding dalam modulus P, lalu bila dibagi P mempunyai sisa yang sama P. Kemudian

dibagi dengan P, Karena ruas kanan persamaan (3) dibagi P.

Penyataan 3. Jika selisih dua bilangan habis dibagi P, maka angka-angka ini sebanding dalam modulusnya P.

Bukti. Mari kita nyatakan dengan R Dan R Sisa 1 divisi A Dan B pada P. Kemudian

Contoh 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Dari contoh pertama dapat disimpulkan bahwa 25 jika dibagi 7 menghasilkan sisa yang sama dengan 39. Memang, 25 = 3·7+4 (sisa 4). 39=3·7+4 (sisa 4). Saat mempertimbangkan contoh kedua, Anda perlu memperhitungkan bahwa sisanya harus berupa bilangan non-negatif yang lebih kecil dari modulusnya (yaitu 4). Maka kita dapat menulis: −18=−5·4+2 (sisa 2), 14=3·4+2 (sisa 2). Jadi, −18 jika dibagi 4 akan menyisakan 2, dan 14 jika dibagi 4 akan menyisakan 2.

Sifat perbandingan modulo

Properti 1. Untuk siapa pun A Dan P Selalu

tidak selalu ada perbandingan

Di mana λ adalah pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilangan M Dan P.

Bukti. Membiarkan λ pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilangan M Dan P. Kemudian

Karena m(a−b) dibagi dengan k, Itu

Karena itu

Dan M adalah salah satu pembagi bilangan tersebut P, Itu

Di mana h=pqs.

Perhatikan bahwa kami dapat mengizinkan perbandingan berdasarkan modul negatif, mis. perbandingan a≡b mod( P) berarti dalam hal ini perbedaannya a−b dibagi dengan P. Semua properti perbandingan tetap berlaku untuk modul negatif.