Metode eliminasi Gaussian yang tidak diketahui. Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode Gaussian

Biarkan sistem linier persamaan aljabar, yang perlu diselesaikan (temukan nilai xi yang tidak diketahui yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak punya solusi (jadilah non-bersama).
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Miliki solusi tunggal.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – paling kuat dan alat serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem apa pun persamaan linear , yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metodenya sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus tersebut. Jika metode Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan tentang operasi aritmatika, sehingga dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

Transformasi matriks yang diperbesar ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom suku bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:

1) Dengan troki matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat.

2) jika bilangan proporsional muncul (atau ada) dalam matriks (seperti kasus spesial– identik) garis, lalu mengikuti menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus.

4) suatu baris matriks dapat berupa kalikan (bagi) ke angka apa pun selain nol.

5) ke baris matriks Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

"Gerakan langsung" - dengan menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah). Misalnya untuk tipe ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien untuk x 1 sama dengan K. Persamaan kedua, ketiga, dan seterusnya. kita ubah persamaannya sebagai berikut: kita membagi setiap persamaan (koefisien yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien yang tidak diketahui x 1 di setiap persamaan, dan mengalikannya dengan K. Setelah itu, kita kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua ( koefisien yang tidak diketahui dan suku bebas). Untuk x 1 pada persamaan kedua kita memperoleh koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama sampai semua persamaan kecuali persamaan pertama, untuk x 1 yang tidak diketahui, memiliki koefisien 0.

2) Mari kita lanjutkan ke persamaan berikutnya. Misalkan ini adalah persamaan kedua dan koefisien untuk x 2 sama dengan M. Kita lanjutkan dengan semua persamaan “lebih rendah” seperti yang dijelaskan di atas. Jadi, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui di semua persamaan akan ada nol.

3) Lanjutkan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu persamaan terakhir yang tidak diketahui dan suku bebas yang ditransformasikan tetap ada.

« Pukulan terbalik» Metode Gauss – memperoleh solusi sistem persamaan aljabar linier (pendekatan bottom-up). Dari persamaan "bawah" terakhir kita memperoleh satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan dasar A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kita substitusikan nilai yang ditemukan ke persamaan berikutnya yang “atas” dan selesaikan dengan persamaan berikutnya yang tidak diketahui. Misalnya, x 2 – 4 = 1, yaitu. x 2 = 5. Begitu seterusnya hingga kita menemukan semua yang belum diketahui.

Contoh.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss, seperti saran beberapa penulis:

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita lakukan:
1 langkah . Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

Langkah 2 . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

Langkah 3 . Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.

Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 2.

Langkah 5 . Baris ketiga dibagi 3.

Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (jarang salah ketik) adalah hasil akhir yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 |23) di bawah, dan karenanya, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat kemungkinan yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan pada saat dasar transformasi.

Mari kita lakukan yang sebaliknya; dalam merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, namun persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, langkah sebaliknya bekerja dari bawah ke atas. DI DALAM dalam contoh ini ternyata itu adalah hadiah:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, maka x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Menjawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Mari selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5, dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagilah persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita memperoleh matriks yang diperluas “bertingkat”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi selama perhitungan, kita memperoleh x 3 = 0,96 atau sekitar 1.

x 2 = 3 dan x 1 = –1.

Dengan menyelesaikan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungan dan meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan ciri-ciri khusus koefisien yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.

Aku harap kamu berhasil! Sampai jumpa di kelas! guru.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Carl Friedrich Gauss, matematikawan terhebat untuk waktu yang lama ragu-ragu, memilih antara filsafat dan matematika. Mungkin pola pikir inilah yang memungkinkan dia membuat “warisan” yang begitu nyata dalam dunia sains. Khususnya, dengan menciptakan "Metode Gauss" ...

Selama hampir 4 tahun, artikel di situs ini berkaitan pendidikan sekolah, terutama dari sisi filsafat, prinsip-prinsip (salah) pemahaman diperkenalkan ke dalam kesadaran anak-anak. Waktunya akan tiba untuk lebih spesifik, contoh dan metode... Saya yakin ini adalah pendekatan yang familiar, membingungkan dan penting bidang kehidupan memberikan hasil yang lebih baik.

Kita manusia dirancang sedemikian rupa sehingga tidak peduli seberapa banyak kita membicarakannya berpikir abstrak, Tetapi memahami Selalu terjadi melalui contoh. Jika tidak ada contoh, maka tidak mungkin memahami prinsipnya... Seperti halnya tidak mungkin mencapai puncak gunung kecuali dengan berjalan kaki menyusuri seluruh lereng.

Sama dengan sekolah: untuk saat ini cerita hidup Tidaklah cukup jika kita secara naluriah terus menganggapnya sebagai tempat di mana anak-anak diajar untuk memahami.

Misalnya mengajarkan metode Gaussian...

Metode Gauss di kelas 5 sekolah

Saya akan segera membuat reservasi: metode Gauss memiliki penerapan yang lebih luas, misalnya dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Apa yang akan kita bicarakan terjadi di kelas 5 SD. Ini dimulai, setelah memahami yang mana, akan lebih mudah untuk memahami “opsi lanjutan”. Pada artikel ini yang kita bicarakan Metode Gauss (metode) untuk mencari jumlah suatu deret

Berikut adalah contoh yang dibawa oleh putra bungsu saya, yang duduk di kelas 5 di gimnasium Moskow, dari sekolah.

Demonstrasi sekolah tentang metode Gauss

Guru matematika menggunakan papan tulis interaktif (metode modern pelatihan) menunjukkan kepada anak-anak presentasi tentang sejarah “penciptaan metode” oleh Gauss kecil.

Guru sekolah mencambuk Karl kecil (metode yang sudah ketinggalan zaman, tidak digunakan di sekolah saat ini) karena dia

daripada menjumlahkan angka dari 1 hingga 100 secara berurutan, carilah jumlahnya memperhatikan bahwa pasangan-pasangan bilangan yang berjarak sama dari tepi suatu barisan aritmatika akan menghasilkan bilangan yang sama. misalnya 100 dan 1, 99 dan 2. Setelah menghitung jumlah pasangan tersebut, Gauss kecil hampir seketika memecahkan masalah yang diajukan oleh gurunya. Untuk itu dia dieksekusi di depan publik yang tercengang. Sehingga orang lain patah semangat untuk berpikir.

Apa yang dilakukan Gauss kecil? dikembangkan pengertian angka? Memperhatikan beberapa fitur deret bilangan dengan langkah konstan (perkembangan aritmatika). DAN tepatnya ini kemudian menjadikannya seorang ilmuwan hebat, mampu memperhatikan, memiliki perasaan, naluri pemahaman.

Inilah sebabnya mengapa matematika berharga dan berkembang kemampuan untuk melihat umum khususnya - berpikir abstrak. Oleh karena itu, sebagian besar orang tua dan majikan secara naluriah menganggap matematika sebagai disiplin ilmu yang penting ...

“Matematika kemudian harus diajarkan, karena matematika menertibkan pikiran.
M.V.Lomonosov".

Namun, para pengikut orang-orang yang mencambuk orang-orang jenius di masa depan dengan tongkat mengubah Metode menjadi sesuatu yang sebaliknya. Seperti yang dikatakan teman saya 35 tahun lalu penasihat ilmiah: “Mereka mempelajari pertanyaannya.” Atau seperti yang dikatakan putra bungsu saya kemarin tentang metode Gauss: “Mungkin tidak ada gunanya membuat ilmu pengetahuan besar tentang hal ini, ya?”

Konsekuensi dari kreativitas para “ilmuwan” terlihat pada tingkat matematika sekolah saat ini, tingkat pengajarannya dan pemahaman mayoritas tentang “Ratu Ilmu Pengetahuan”.

Namun, mari kita lanjutkan...

Metode penjelasan metode Gauss di kelas 5 sekolah

Seorang guru matematika di gimnasium Moskow, menjelaskan metode Gauss menurut Vilenkin, memperumit tugasnya.

Bagaimana jika selisih (langkah) suatu barisan aritmatika bukan hanya satu, melainkan bilangan lain? Misalnya, 20.

Soal yang beliau berikan kepada siswa kelas lima:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Sebelum mengenal metode gimnasium, mari kita lihat di Internet: bagaimana guru sekolah dan tutor matematika melakukannya?..

Metode Gaussian: penjelasan No.1

Seorang tutor ternama di channel YOUTUBE miliknya memberikan alasan sebagai berikut:

Mari kita tuliskan angka dari 1 sampai 100 sebagai berikut:

pertama rangkaian angka dari 1 sampai 50, dan tepat di bawahnya rangkaian angka lain dari 50 sampai 100, tetapi dalam urutan terbalik"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

“Harap diperhatikan: jumlah setiap pasangan angka dari baris atas dan bawah adalah sama dan sama dengan 101! Mari kita hitung jumlah pasangannya, yaitu 50 dan kalikan jumlah satu pasangan dengan jumlah pasangannya! Voila: The jawabannya sudah siap!"

“Jika kamu tidak mengerti, jangan marah!” guru mengulanginya sebanyak tiga kali selama penjelasan. "Kamu akan mengambil metode ini di kelas 9!"

Metode Gaussian: penjelasan No.2

Tutor lain, yang kurang terkenal (dilihat dari jumlah penayangannya), menggunakan lebih banyak pendekatan ilmiah, menawarkan algoritma solusi yang terdiri dari 5 poin yang harus diselesaikan secara berurutan.

Bagi yang belum tahu, 5 adalah salah satu angka Fibonacci yang secara tradisional dianggap ajaib. Misalnya, metode 5 langkah selalu lebih ilmiah daripada metode 6 langkah. ...Dan ini bukan suatu kebetulan, kemungkinan besar, Penulis adalah pendukung tersembunyi teori Fibonacci

Diberikan perkembangan aritmatika: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritma mencari jumlah bilangan suatu deret dengan metode Gauss:

Langkah 1: tulis ulang urutan angka yang diberikan secara terbalik, tepat di bawah yang pertama.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Langkah 2: hitung jumlah pasangan angka yang terletak pada baris vertikal: 260.

Langkah 3: hitung berapa banyak pasangan tersebut dalam deret bilangan. Untuk melakukan ini, kurangi dari jumlah maksimal deret bilangan minimal dan dibagi dengan ukuran langkah: (256 - 4) / 6 = 42.

Pada saat yang sama, Anda perlu mengingatnya ditambah satu aturan : kita harus menambahkan satu ke hasil bagi yang dihasilkan: jika tidak, kita akan mendapatkan hasil yang kurang satu dari nomor sebenarnya par: 42 + 1 = 43.

Langkah 4: Kalikan jumlah pasangan angka dengan banyaknya pasangan: 260 x 43 = 11,180

Step5: karena kita telah menghitung jumlahnya pasangan angka, maka jumlah yang dihasilkan harus dibagi dua: 11.180 / 2 = 5590.

Ini adalah jumlah barisan aritmatika yang diperlukan dari 4 menjadi 256 dengan selisih 6!

Metode Gauss: penjelasan di kelas 5 di gimnasium Moskow

Berikut cara menyelesaikan soal mencari jumlah suatu deret:

20+40+60+ ... +460+480+500

di kelas 5 gimnasium Moskow, buku teks Vilenkin (menurut putra saya).

Setelah memaparkan presentasi, guru matematika menunjukkan beberapa contoh dengan menggunakan metode Gaussian dan memberikan tugas kepada kelas untuk mencari jumlah bilangan suatu deret dengan kelipatan 20.

Ini memerlukan hal-hal berikut:

Langkah 1: pastikan untuk menuliskan semua angka dalam seri tersebut di buku catatan Anda dari 20 hingga 500 (dengan kelipatan 20).

Langkah 2: tuliskan suku – suku bilangan yang berurutan : yang pertama dengan yang terakhir, yang kedua dengan yang kedua dari belakang, dan seterusnya. dan menghitung jumlahnya.

Langkah 3: hitung “jumlah dari jumlah” dan temukan jumlah seluruh rangkaian.

Seperti yang Anda lihat, ini lebih kompak dan teknik yang efektif: angka 3 juga merupakan anggota deret Fibonacci

Komentar saya tentang metode Gauss versi sekolah

Ahli matematika hebat pasti akan memilih filsafat jika dia telah meramalkan “metode”-nya akan diubah oleh para pengikutnya. guru bahasa Jerman, yang mencambuk Karl dengan tongkat. Dia akan melihat simbolisme, spiral dialektis, dan kebodohan abadi para “guru”, mencoba mengukur keselarasan pemikiran matematis yang hidup dengan aljabar kesalahpahaman ....

Ngomong-ngomong: tahukah kamu. di mana sistem pendidikan kita berakar sekolah Jerman abad 18 - 19?

Tapi Gauss memilih matematika.

Apa inti dari metodenya?

DI DALAM penyederhanaan. DI DALAM mengamati dan menangkap pola angka sederhana. DI DALAM mengubah aritmatika sekolah kering menjadi menarik dan aktivitas yang menarik , mengaktifkan di otak keinginan untuk melanjutkan, daripada menghalangi aktivitas mental yang berbiaya tinggi.

Apakah mungkin untuk menggunakan salah satu "modifikasi metode" Gauss yang diberikan untuk menghitung jumlah bilangan suatu barisan aritmatika dengan hampir segera? Menurut “algoritma”, Karl kecil dijamin akan terhindar dari pukulan, mengembangkan keengganan terhadap matematika, dan menekan dorongan kreatifnya sejak awal.

Mengapa tutor terus-menerus menasihati siswa kelas lima “untuk tidak takut salah paham” tentang metode ini, meyakinkan mereka bahwa mereka akan menyelesaikan masalah “seperti” sejak kelas 9? Tindakan yang buta huruf secara psikologis. Itu adalah langkah yang bagus untuk diperhatikan: "Sampai jumpa sudah kelas 5 kamu bisa selesaikan masalah yang akan kamu selesaikan hanya dalam 4 tahun! Kamu orang yang hebat!”

Untuk menggunakan metode Gaussian, level 3 sudah cukup, padahal anak normal sudah mengetahui cara menjumlahkan, mengalikan dan membagi bilangan 2-3 digit. Permasalahan muncul karena ketidakmampuan guru-guru dewasa yang “out of touch” untuk menjelaskan hal-hal yang paling sederhana dalam bahasa manusia normal, apalagi matematika... Mereka tidak mampu membuat orang tertarik pada matematika dan sama sekali mematahkan semangat bahkan mereka yang “” mampu."

Atau, seperti komentar anak saya: “menghasilkan ilmu pengetahuan yang besar.”

Bagaimana (dalam kasus umum) Anda mengetahui nomor mana yang harus Anda “perluas” catatan angka dalam metode No. 1?

Apa yang harus dilakukan jika jumlah anggota suatu deret ternyata sama aneh?

Mengapa mengubah sesuatu yang bisa dilakukan seorang anak menjadi “Aturan Plus 1”? mempelajari bahkan di kelas satu, jika saya telah mengembangkan “sense of number”, dan tidak ingat"hitung sepuluh"?

Dan yang terakhir: kemana perginya ZERO, sebuah penemuan brilian yang berusia lebih dari 2.000 tahun dan yang dihindari oleh para guru matematika modern?!

Metode Gauss, penjelasan saya

Saya dan istri saya menjelaskan “metode” ini kepada anak kami, bahkan sebelum sekolah...

Kesederhanaan, bukan kerumitan atau permainan tanya jawab

"Lihat, ini angka dari 1 sampai 100. Apa yang kamu lihat?"

Intinya bukanlah apa sebenarnya yang dilihat anak itu. Triknya adalah membuat dia melihat.

"Bagaimana kamu bisa menyatukannya?" Putranya menyadari bahwa pertanyaan seperti itu tidak ditanyakan “begitu saja” dan Anda perlu melihat pertanyaan tersebut “dengan cara yang berbeda, berbeda dari biasanya”

Tidak masalah jika anak tersebut langsung melihat solusinya, kecil kemungkinannya. Penting bagi dia berhenti takut untuk melihat, atau seperti yang saya katakan: “memindahkan tugas”. Ini adalah awal dari perjalanan menuju pemahaman

“Mana yang lebih mudah: menambahkan, misalnya, 5 dan 6 atau 5 dan 95?” Sebuah pertanyaan utama... Namun pelatihan apa pun bertujuan untuk "membimbing" seseorang menuju "jawaban" - dengan cara apa pun yang dapat diterima olehnya.

Pada tahap ini, mungkin sudah muncul tebakan tentang bagaimana cara “menghemat” perhitungan.

Yang kami lakukan hanyalah memberi petunjuk: metode penghitungan “frontal, linier” bukanlah satu-satunya metode yang mungkin dilakukan. Jika seorang anak memahami hal ini, maka kelak dia akan menemukan lebih banyak lagi metode seperti itu, karena itu menarik!!! Dan dia pasti akan menghindari “kesalahpahaman” matematika dan tidak akan merasa jijik dengannya. Dia mendapat kemenangan!

Jika anak ditemukan bahwa menjumlahkan pasangan angka yang berjumlah seratus adalah hal yang mudah "perkembangan aritmatika dengan selisih 1"- suatu hal yang agak suram dan tidak menarik bagi seorang anak - tiba-tiba menemukan kehidupan untuknya . Keteraturan muncul dari kekacauan, dan ini selalu menimbulkan antusiasme: begitulah cara kita dibuat!

Sebuah pertanyaan yang harus dijawab: mengapa, setelah wawasan yang diterima seorang anak, ia harus kembali didorong ke dalam kerangka algoritma kering, yang juga secara fungsional tidak berguna dalam kasus ini?!

Mengapa memaksakan penulisan ulang yang bodoh? nomor urut di buku catatan: sehingga bahkan orang yang mampu pun tidak memiliki satu kesempatan pun untuk memahaminya? Tentu saja secara statistik, tetapi pendidikan massal diarahkan pada “statistik”…

Kemana perginya angka nol?

Namun, menjumlahkan angka yang berjumlah 100 jauh lebih dapat diterima oleh pikiran daripada angka yang berjumlah 101...

"Metode Sekolah Gauss" memerlukan hal ini: lipat tanpa berpikir panjang pasangan bilangan yang berjarak sama dari pusat barisan, Terlepas dari segalanya.

Bagaimana jika Anda melihat?

Masih nol - penemuan terbesar umat manusia, yang berusia lebih dari 2.000 tahun. Dan guru matematika terus mengabaikannya.

Jauh lebih mudah untuk mengubah rangkaian angka yang dimulai dengan 1 menjadi rangkaian yang dimulai dengan 0. Jumlahnya tidak akan berubah, bukan? Anda harus berhenti "berpikir dalam buku teks" dan mulai mencari... Dan lihatlah bahwa pasangan dengan jumlah 101 dapat digantikan seluruhnya dengan pasangan dengan jumlah 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Bagaimana cara menghapuskan "aturan plus 1"?

Sejujurnya, saya pertama kali mendengar aturan seperti itu dari tutor YouTube itu...

Apa yang masih harus saya lakukan ketika saya perlu menentukan jumlah anggota suatu rangkaian?

Saya melihat urutannya:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

dan ketika Anda benar-benar lelah, lanjutkan ke baris yang lebih sederhana:

1, 2, 3, 4, 5

dan menurut saya: jika Anda mengurangi satu dari 5, Anda mendapatkan 4, tapi saya sangat jelas Jadi begitu 5 angka! Oleh karena itu, Anda perlu menambahkan satu! Pengertian angka berkembang pada tahun sekolah dasar, menyarankan: meskipun ada seluruh anggota Google dalam rangkaian ini (10 pangkat seratus), polanya akan tetap sama.

Apa sih aturannya?..

Sehingga dalam beberapa atau tiga tahun Anda dapat mengisi seluruh ruang antara dahi dan belakang kepala dan berhenti berpikir? Bagaimana cara mendapatkan roti dan mentega? Bagaimanapun, kita sedang bergerak menuju era ekonomi digital!

Lebih lanjut tentang metode sekolah Gauss: “mengapa menjadikan sains dari sini?..”

Bukan tanpa alasan saya memposting tangkapan layar dari buku catatan anak saya...

“Apa yang terjadi di kelas?”

“Yah, aku langsung menghitung, mengangkat tanganku, tapi dia tidak bertanya. Oleh karena itu, ketika yang lain menghitung, aku mulai mengerjakan pekerjaan rumah dalam bahasa Rusia agar tidak membuang waktu. ??), dia memanggilku ke papan tulis.

“Benar, tunjukkan padaku bagaimana kamu menyelesaikannya,” kata guru. Saya menunjukkannya. Dia berkata: “Salah, kamu harus menghitung seperti yang saya tunjukkan!”

“Untungnya dia tidak memberi saya nilai buruk. Dan dia menyuruh saya menulis di buku catatan mereka “jalan penyelesaiannya” dengan cara mereka sendiri.

Kejahatan utama seorang guru matematika

Hampir setelahnya kejadian itu Carl Gauss merasakan rasa hormat yang tinggi terhadap guru matematika sekolahnya. Tapi jika dia tahu caranya pengikut guru itu akan mendistorsi inti dari metode ini... dia akan mengaum dengan marah dan, melalui Organisasi Kekayaan Intelektual Dunia WIPO, melarang penggunaan nama baiknya di buku pelajaran sekolah!..

Apa kesalahan utama pendekatan sekolah? Atau, seperti yang saya katakan, kejahatan guru matematika sekolah terhadap anak-anak?

Algoritma kesalahpahaman

Apa yang dilakukan para ahli metodologi sekolah, yang sebagian besarnya tidak tahu cara berpikir?

Mereka menciptakan metode dan algoritma (lihat). Ini reaksi defensif yang melindungi guru dari kritik (“Semuanya dilakukan sesuai dengan…”) dan anak-anak dari pemahaman. Jadi - dari keinginan untuk mengkritik guru!(Turunan kedua dari “kebijaksanaan” birokrasi, pendekatan ilmiah terhadap masalah). Seseorang yang tidak memahami maknanya akan lebih memilih menyalahkan kesalahpahamannya sendiri, dibandingkan kebodohan sistem sekolah.

Inilah yang terjadi: orang tua menyalahkan anak-anak mereka, dan guru... melakukan hal yang sama terhadap anak-anak yang “tidak mengerti matematika!”

Apakah kamu pintar?

Apa yang dilakukan Karl kecil?

Pendekatan yang sepenuhnya tidak konvensional terhadap tugas yang dirumuskan. Inilah inti dari pendekatan-Nya. Ini hal utama yang harus diajarkan di sekolah adalah berpikir bukan dengan buku teks, tetapi dengan kepala. Tentunya ada juga komponen instrumental yang bisa digunakan... untuk mencari lebih sederhana dan metode yang efektif akun.

Metode Gauss menurut Vilenkin

Di sekolah mereka mengajarkan bahwa metode Gauss adalah

berpasangan mencari jumlah bilangan yang berjarak sama dari tepi deret bilangan, tentu dimulai dari pinggirnya!

temukan jumlah pasangan tersebut, dll.

Apa, jika jumlah anggota deret tersebut ganjil, seperti pada soal yang dilimpahkan kepada anak saya?..

"Tangkapannya" adalah dalam kasus ini Anda harus menemukan nomor "ekstra" dalam seri tersebut dan menambahkannya ke jumlah pasangan. Dalam contoh kita, angka ini adalah 260.

Bagaimana cara mendeteksinya? Menyalin semua pasangan angka ke dalam buku catatan!(Inilah sebabnya guru menyuruh anak-anak melakukan pekerjaan bodoh ini dengan mencoba mengajarkan "kreativitas" menggunakan metode Gaussian... Dan inilah mengapa "metode" seperti itu secara praktis tidak dapat diterapkan pada rangkaian data yang besar, DAN inilah alasannya. bukan metode Gaussian.)

Sedikit kreativitas dalam rutinitas sekolah...

Putranya bertindak berbeda.

Pertama dia mencatat bahwa lebih mudah mengalikan angka 500, bukan 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Lalu dia menghitung: jumlah langkahnya ternyata ganjil: 500/20 = 25.

Kemudian dia menambahkan NOL pada awal deret tersebut (walaupun suku terakhir deret tersebut dapat dibuang, yang juga akan memastikan paritas) dan menambahkan angka-angka tersebut sehingga menghasilkan total 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 langkah adalah 13 pasang “lima ratus”: 13 x 500 = 6500..

Jika kita membuang suku terakhir deret tersebut, maka pasangannya akan menjadi 12, tetapi kita tidak boleh lupa menambahkan lima ratus yang “dibuang” ke hasil perhitungan. Maka: (12 x 500) + 500 = 6500!

Tidak sulit, bukan?

Namun dalam praktiknya, hal ini menjadi lebih mudah, yang memungkinkan Anda meluangkan waktu 2-3 menit untuk penginderaan jauh dalam bahasa Rusia, sementara sisanya “menghitung”. Selain itu, metode ini mempertahankan jumlah langkah metode: 5, yang tidak memungkinkan pendekatan tersebut dikritik karena tidak ilmiah.

Jelas sekali pendekatan ini lebih sederhana, lebih cepat dan lebih universal, sesuai gaya Metode. Tapi… guru tidak hanya tidak memuji, tapi juga memaksa saya untuk menulis ulang “dengan cara yang benar” (lihat tangkapan layar). Artinya, dia melakukan upaya putus asa untuk membungkam dorongan kreatif dan kemampuan memahami matematika sampai ke akar-akarnya! Rupanya, agar dia nantinya bisa dipekerjakan sebagai tutor... Dia menyerang orang yang salah...

Segala sesuatu yang saya uraikan begitu panjang dan membosankan dapat dijelaskan kepada anak normal dalam waktu maksimal setengah jam. Beserta contohnya.

Dan sedemikian rupa sehingga dia tidak akan pernah melupakannya.

Dan itu akan terjadi langkah menuju pemahaman...bukan hanya ahli matematika.

Akui saja: berapa kali dalam hidup Anda Anda menjumlahkan menggunakan metode Gaussian? Dan saya tidak pernah melakukannya!

Tetapi naluri pemahaman, yang berkembang (atau padam) dalam proses pembelajaran metode matematika di sekolah... Oh!.. Ini benar-benar hal yang tak tergantikan!

Terutama di era digitalisasi universal, yang diam-diam kita masuki di bawah kepemimpinan ketat Partai dan Pemerintah.

Beberapa kata untuk membela guru...

Tidaklah adil dan salah jika menempatkan seluruh tanggung jawab gaya mengajar seperti ini hanya pada guru sekolah. Sistem ini berlaku.

Beberapa guru memahami absurditas dari apa yang terjadi, tetapi apa yang harus dilakukan? Undang-undang tentang Pendidikan, Standar Pendidikan Negara Bagian Federal, metode, peta teknologi pelajaran... Segala sesuatu harus dilakukan “sesuai dengan dan atas dasar” dan semuanya harus didokumentasikan. Minggir - berdiri dalam antrean untuk dipecat. Jangan munafik: gaji guru Moskow sangat bagus... Jika mereka memecat Anda, ke mana harus pergi?..

Oleh karena itu situs ini bukan tentang pendidikan. Dia tentang pendidikan individu, hanya cara yang mungkin keluar dari kerumunan generasi Z ...

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss. Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem dari N persamaan linier dengan N variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utamanya bukan nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan: pertama menghilangkan x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, selanjutnya dikecualikan x 2 dari semua persamaan, dimulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui yang tersisa pada persamaan terakhir xn. Proses transformasi persamaan sistem untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan perkembangan maju metode Gaussian, dari persamaan terakhir kita temukan xn, menggunakan nilai ini dari persamaan kedua dari belakang yang kami hitung xn-1, dan seterusnya, dari persamaan pertama kita temukan x 1. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Hilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Untuk melakukan ini, ke persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , ke persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, ke ke-n ke persamaan kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan .

Kita akan sampai pada hasil yang sama jika kita menyatakannya x 1 melalui variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke semua persamaan lainnya. Jadi variabelnya x 1 dikecualikan dari semua persamaan, mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Untuk melakukan ini, ke persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , ke persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, ke ke-n ke persamaan kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan . Jadi variabelnya x 2 dikecualikan dari semua persamaan mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya kita lanjutkan untuk menghilangkan yang tidak diketahui x 3, dalam hal ini kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung xn dari persamaan terakhir sebagai, menggunakan nilai yang diperoleh xn kami menemukan xn-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita temukan x 1 dari persamaan pertama.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode Gauss.

Di sini Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan linear secara gratis Metode Gaussian online ukuran besar dalam bilangan kompleks dengan solusi yang sangat rinci. Kalkulator kami dapat menyelesaikan sistem persamaan linier pasti dan tak tentu secara online menggunakan metode Gaussian, yang memiliki jumlah solusi tak terhingga. Dalam hal ini, dalam jawabannya Anda akan mendapatkan ketergantungan beberapa variabel pada variabel bebas lainnya. Anda juga dapat memeriksa konsistensi sistem persamaan secara online menggunakan solusi Gaussian.

Tentang metodenya

Saat menyelesaikan sistem persamaan linear metode daring Gauss langkah-langkah berikut dilakukan.

Kami menulis matriks yang diperluas.
Faktanya, solusinya dibagi menjadi langkah maju dan mundur dari metode Gaussian. Pendekatan langsung metode Gaussian adalah reduksi matriks menjadi bentuk bertahap. Kebalikan dari metode Gaussian adalah reduksi matriks menjadi bentuk bertahap khusus. Namun dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk segera menghilangkan apa yang terletak di atas dan di bawah elemen yang dimaksud. Kalkulator kami menggunakan pendekatan ini.
Penting untuk dicatat bahwa ketika menyelesaikan menggunakan metode Gaussian, kehadiran dalam matriks setidaknya satu baris nol dengan BUKAN nol sisi kanan(kolom anggota bebas) menunjukkan ketidakcocokan sistem. Dalam hal ini, solusi sistem linier tidak ada.

Untuk memahami dengan baik cara kerja algoritma Gaussian online, masukkan contoh apa pun, pilih "sangat solusi terperinci" dan cari solusinya secara online.

Misalkan diberikan sistem persamaan aljabar linier yang perlu diselesaikan (temukan nilai xi yang tidak diketahui yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak punya solusi (jadilah non-bersama).
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Miliki solusi tunggal.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – alat paling ampuh dan serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun, yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metodenya sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus tersebut. Jika metode Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan tentang operasi aritmatika, sehingga dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

1) Dengan troki matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat.

2) jika baris proporsional (sebagai kasus khusus – identik) muncul (atau ada) dalam matriks, maka Anda harus melakukannya menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus.

4) suatu baris matriks dapat berupa kalikan (bagi) ke angka apa pun selain nol.

5) ke baris matriks Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

"Gerakan langsung" - dengan menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah). Misalnya untuk tipe ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

3) Lanjutkan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu persamaan terakhir yang tidak diketahui dan suku bebas yang ditransformasikan tetap ada.

“Pergerakan terbalik” dari metode Gauss adalah memperoleh solusi terhadap sistem persamaan aljabar linier (“pergerakan “bottom-up”). Dari persamaan "bawah" terakhir kita memperoleh satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan dasar A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kita substitusikan nilai yang ditemukan ke persamaan berikutnya yang “atas” dan selesaikan dengan persamaan berikutnya yang tidak diketahui. Misalnya, x 2 – 4 = 1, yaitu. x 2 = 5. Begitu seterusnya hingga kita menemukan semua yang belum diketahui.

Contoh.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss, seperti saran beberapa penulis:

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

Langkah 2 . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 2.

Langkah 5 . Baris ketiga dibagi 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, maka x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Menjawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Mari selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5, dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagilah persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita memperoleh matriks yang diperluas “bertingkat”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi selama perhitungan, kita memperoleh x 3 = 0,96 atau sekitar 1.

x 2 = 3 dan x 1 = –1.

Dengan menyelesaikan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungan dan meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Aku harap kamu berhasil! Sampai jumpa di kelas! Guru Dmitry Aystrakhanov.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.