Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode Gaussian. Metode Gauss untuk boneka: contoh solusi

Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah topik ketiga. Jika Anda memiliki gambaran yang samar-samar tentang apa itu sistem persamaan linear secara umum, jika Anda merasa seperti teko, maka saya sarankan untuk memulai dengan dasar-dasarnya di halaman Selanjutnya, berguna untuk mempelajari pelajarannya.

Metode Gaussian itu mudah! Mengapa? Matematikawan Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hidupnya, mendapat pengakuan sebagai ahli matematika terhebat sepanjang masa, jenius, dan bahkan mendapat julukan “Raja Matematika”. Dan segala sesuatu yang cerdik, seperti yang Anda tahu, itu sederhana! Ngomong-ngomong, tidak hanya orang bodoh yang mendapat uang, tapi juga orang jenius - potret Gauss ada di uang kertas 10 Deutschmark (sebelum diperkenalkannya euro), dan Gauss masih tersenyum misterius pada orang Jerman dari prangko biasa.

Metode Gauss sederhana karena PENGETAHUAN SISWA KELAS KELIMA CUKUP untuk menguasainya. Anda harus tahu cara menjumlahkan dan mengalikan! Bukan suatu kebetulan bahwa guru sering mempertimbangkan metode pengecualian berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui dalam mata pelajaran pilihan matematika sekolah. Ini adalah sebuah paradoks, tetapi siswa menganggap metode Gaussian adalah yang paling sulit. Tidak mengherankan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan mencoba berbicara tentang algoritma metode dalam bentuk yang dapat diakses.

Pertama, mari kita sistematiskan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dapat:

1) Miliki solusi unik. 2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga. 3) Tidak mempunyai solusi (menjadi non-bersama).

Metode Gauss adalah alat yang paling ampuh dan universal untuk menemukan solusi setiap sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. Dan metode penghapusan berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita pada jawabannya! Dalam pelajaran ini, kita akan kembali mempertimbangkan metode Gauss untuk kasus No. 1 (satu-satunya solusi untuk sistem), sebuah artikel dikhususkan untuk situasi poin No. 2-3. Saya perhatikan bahwa algoritme metode itu sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus.

Mari kita kembali ke sistem paling sederhana dari pelajaran ini Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear? dan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian.

Langkah pertama adalah menulis matriks sistem yang diperluas: . Saya rasa semua orang dapat melihat berdasarkan prinsip apa koefisien ditulis. Garis vertikal di dalam matriks tidak memiliki arti matematis apa pun - garis ini hanyalah coretan untuk kemudahan desain.

Referensi : Saya sarankan Anda mengingatnya ketentuan aljabar linier. Matriks Sistem adalah matriks yang hanya terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem yang Diperluas – ini adalah matriks yang sama dari sistem ditambah kolom suku bebas, dalam hal ini: . Agar singkatnya, matriks mana pun dapat dengan mudah disebut matriks.

Setelah matriks sistem yang diperluas ditulis, beberapa tindakan perlu dilakukan dengannya, yang juga disebut transformasi dasar.

Ada transformasi dasar berikut:

1) string matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat. Misalnya, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, Anda dapat mengatur ulang baris pertama dan kedua tanpa kesulitan:

2) Jika ada (atau telah muncul) baris proporsional (sebagai kasus khusus - identik) dalam matriks, maka Anda harus menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu. Misalnya matriks . Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah proporsional, sehingga cukup menyisakan satu saja: .

3) Jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus. Saya tidak akan menggambar, tentu saja, garis nol adalah garis di dalamnya semua nol.

4) Baris matriksnya dapat berupa kalikan (bagi) ke nomor mana pun bukan nol. Misalnya matriks. Di sini disarankan untuk membagi baris pertama dengan –3, dan mengalikan baris kedua dengan 2: . Tindakan ini sangat berguna karena menyederhanakan transformasi matriks lebih lanjut.

5) Transformasi ini paling banyak menimbulkan kesulitan, namun nyatanya tidak ada yang rumit juga. Ke deretan matriks Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol. Mari kita lihat matriks kita dari contoh praktis: . Pertama saya akan menjelaskan transformasi dengan sangat rinci. Kalikan baris pertama dengan –2: , Dan ke baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan –2: . Sekarang baris pertama dapat dibagi “kembali” dengan –2: . Seperti yang Anda lihat, garis yang DITAMBAHKAN LI – belum berubah. Selalu garis YANG DITAMBAHKAN berubah UT.

Dalam praktiknya tentu saja mereka tidak menulisnya secara detail, melainkan menulisnya secara singkat: Sekali lagi: ke baris kedua menambahkan baris pertama dikalikan –2. Sebuah garis biasanya dikalikan secara lisan atau dalam rancangan, dengan proses perhitungan mental berlangsung seperti ini:

“Saya menulis ulang matriks dan menulis ulang baris pertama: »

“Kolom pertama. Di bagian bawah saya perlu mendapatkan nol. Oleh karena itu, saya mengalikan yang di atas dengan –2: , dan menambahkan yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya tulis hasilnya di baris kedua: »

“Sekarang kolom kedua. Di bagian atas, saya mengalikan -1 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Hasilnya saya tulis di baris kedua: »

“Dan kolom ketiga. Di atas saya kalikan -5 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: –7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya di baris kedua: »

Harap pahami contoh ini dengan cermat dan pahami algoritma perhitungan sekuensial, jika Anda memahaminya, maka metode Gaussian praktis ada di saku Anda. Namun tentunya kami akan tetap mengupayakan transformasi ini.

Transformasi dasar tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

! PERHATIAN: dianggap manipulasi tidak bisa digunakan, jika Anda ditawari tugas yang matriksnya diberikan "sendiri". Misalnya, dengan “klasik” operasi dengan matriks Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh mengatur ulang apa pun di dalam matriks! Mari kita kembali ke sistem kita. Praktisnya hancur berkeping-keping.

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, kurangi menjadi pandangan melangkah:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Dan lagi: mengapa kita mengalikan baris pertama dengan –2? Agar mendapat angka nol di bagian bawah, artinya menghilangkan salah satu variabel di baris kedua.

(2) Bagilah baris kedua dengan 3.

Tujuan dari transformasi dasar – kurangi matriks menjadi bentuk bertahap: . Dalam perancangan tugas, mereka hanya menandai “tangga” dengan pensil sederhana, dan juga melingkari angka-angka yang terletak pada “anak tangga” tersebut. Istilah “pandangan bertahap” sendiri tidak sepenuhnya teoretis, dalam literatur ilmiah dan pendidikan sering disebut demikian pandangan trapesium atau pandangan segitiga.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, kami memperoleh setara sistem persamaan asli:

Sekarang sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang berlawanan - dari bawah ke atas, proses ini disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah memiliki hasil yang siap pakai: .

Mari kita perhatikan persamaan pertama sistem dan substitusikan nilai “y” yang sudah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling umum, ketika metode Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga persamaan yang tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss:

Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem:

Sekarang saya akan segera menggambar hasil yang akan kita dapatkan selama penyelesaian: Dan saya ulangi, tujuan kita adalah membawa matriks ke bentuk bertahap menggunakan transformasi dasar. Mulai dari mana?

Pertama, lihat nomor kiri atas: Seharusnya hampir selalu ada di sini satuan. Secara umum, –1 (dan terkadang angka lainnya) bisa digunakan, namun secara tradisi, angka tersebut biasanya ditempatkan di sana. Bagaimana cara mengatur unit? Kami melihat kolom pertama - kami memiliki unit yang sudah jadi! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama tidak akan berubah hingga akhir solusi. Sekarang baiklah.

Unit di pojok kiri atas terorganisir. Sekarang Anda perlu mendapatkan angka nol di tempat-tempat ini:

Kami mendapatkan angka nol menggunakan transformasi "sulit". Pertama kita berurusan dengan baris kedua (2, –1, 3, 13). Apa yang perlu dilakukan untuk mendapatkan angka nol pada posisi pertama? Perlu ke baris kedua tambahkan baris pertama dikalikan –2. Secara mental atau pada draft, kalikan baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melakukan (sekali lagi secara mental atau dalam rancangan) penambahan, ke baris kedua kita tambahkan baris pertama yang sudah dikalikan –2:

Kami menulis hasilnya di baris kedua:

Kami menangani baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, –5, –1). Untuk mendapatkan angka nol di posisi pertama, Anda perlu ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan –3. Secara mental atau pada draft, kalikan baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan –3:

Kami menulis hasilnya di baris ketiga:

Dalam praktiknya, tindakan berikut biasanya dilakukan secara lisan dan tertulis dalam satu langkah:

Tidak perlu menghitung semuanya sekaligus dan bersamaan. Urutan perhitungan dan “menulis” hasilnya konsisten dan biasanya seperti ini: pertama kita menulis ulang baris pertama, dan perlahan-lahan mengepulkan diri kita sendiri - KONSISTEN dan DENGAN PERHATIAN:
Dan proses mental dari perhitungan itu sendiri sudah saya bahas di atas.

Dalam contoh ini, hal ini mudah dilakukan; kita membagi baris kedua dengan –5 (karena semua bilangan di sana habis dibagi 5 tanpa sisa). Pada saat yang sama, kita membagi baris ketiga dengan –2, karena semakin kecil angkanya, semakin sederhana penyelesaiannya:

Pada tahap akhir transformasi dasar, Anda perlu mendapatkan nol lagi di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambahkan baris kedua dikalikan –2:
Cobalah untuk mencari tahu sendiri tindakan ini - kalikan secara mental baris kedua dengan –2 dan lakukan penjumlahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan adalah gaya rambut hasilnya, bagi baris ketiga dengan 3.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem persamaan linear yang setara diperoleh: Dingin.

Sekarang kebalikan dari metode Gaussian mulai berlaku. Persamaannya “melepas” dari bawah ke atas.

Pada persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil yang siap:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Arti kata "zet" sudah diketahui, sebagai berikut:

Dan terakhir, persamaan pertama: . “Igrek” dan “zet” sudah diketahui, hanya masalah kecil saja:

Menjawab:

Seperti yang telah disebutkan beberapa kali, untuk sistem persamaan apa pun, dimungkinkan dan perlu untuk memeriksa solusi yang ditemukan, untungnya, ini mudah dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh solusi mandiri, contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa Anda kemajuan keputusan tersebut mungkin tidak sesuai dengan proses pengambilan keputusan saya, dan ini adalah fitur dari metode Gauss. Tapi jawabannya harus sama!

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan gerakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

(2) Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan pada baris kedua, baris pertama dikali 3 ditambahkan pada baris ketiga.

(3) Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.

(4) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 2.

(5) Baris ketiga dibagi 3.

Pertanda buruk yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang, salah ketik) adalah hasil yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti , di bawah, dan, karenanya, , maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan selama transformasi dasar.

Kami mengenakan biaya sebaliknya, ketika merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, tetapi persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, pukulan terbalik bekerja dari bawah ke atas. Ya, ini hadiahnya:

Menjawab: .

Contoh 4

Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri, ini agak lebih rumit. Tidak apa-apa jika ada yang bingung. Solusi lengkap dan contoh desain di akhir pelajaran. Solusi Anda mungkin berbeda dari solusi saya.

Pada bagian terakhir kita akan melihat beberapa fitur dari algoritma Gaussian. Ciri pertama adalah terkadang beberapa variabel hilang dari persamaan sistem, misalnya: Bagaimana cara menulis matriks sistem yang diperluas dengan benar? Saya sudah membicarakan hal ini di kelas. aturan Cramer. Metode matriks. Dalam matriks yang diperluas dari sistem, kami menempatkan angka nol sebagai pengganti variabel yang hilang: Omong-omong, ini adalah contoh yang cukup mudah, karena kolom pertama sudah memiliki satu nol, dan transformasi dasar yang harus dilakukan lebih sedikit.

Fitur kedua adalah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami menempatkan –1 atau +1 pada “langkah”. Mungkinkah ada nomor lain di sana? Dalam beberapa kasus, mereka bisa. Pertimbangkan sistemnya: .

Di sini, di "langkah" kiri atas kita memiliki dua. Namun kita memperhatikan fakta bahwa semua bilangan di kolom pertama habis dibagi 2 tanpa sisa - dan bilangan lainnya adalah dua dan enam. Dan dua di kiri atas cocok untuk kita! Pada langkah pertama, Anda perlu melakukan transformasi berikut: tambahkan baris pertama dikalikan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan –3. Dengan cara ini kita akan mendapatkan angka nol yang diperlukan di kolom pertama.

Atau contoh konvensional lainnya: . Di sini tiga pada “langkah” kedua juga cocok untuk kita, karena 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan nol) habis dibagi 3 tanpa sisa. Transformasi berikut perlu dilakukan: tambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan –4, sehingga diperoleh nol yang kita butuhkan.

Metode Gauss bersifat universal, tetapi ada satu kekhasan. Anda dapat dengan percaya diri belajar menyelesaikan sistem menggunakan metode lain (metode Cramer, metode matriks) untuk pertama kalinya - metode tersebut memiliki algoritma yang sangat ketat. Namun untuk merasa percaya diri dengan metode Gaussian, Anda harus “memahami” dan menyelesaikan setidaknya 5-10 sepuluh sistem. Oleh karena itu, pada awalnya mungkin ada kebingungan dan kesalahan dalam perhitungan, dan tidak ada yang aneh atau tragis dalam hal ini.

Cuaca musim gugur yang hujan di luar jendela.... Oleh karena itu, bagi semua orang yang menginginkan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 5

Selesaikan sistem 4 persamaan linier dengan empat persamaan yang tidak diketahui menggunakan metode Gauss.

Tugas seperti itu tidak jarang terjadi dalam praktiknya. Saya pikir bahkan seorang teko yang telah mempelajari halaman ini secara menyeluruh akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem seperti itu secara intuitif. Pada dasarnya, semuanya sama - hanya ada lebih banyak tindakan.

Kasus-kasus ketika sistem tidak mempunyai solusi (tidak konsisten) atau mempunyai banyak solusi yang tak terhingga dibahas dalam pelajaran Sistem dan sistem yang tidak kompatibel dengan solusi umum. Di sana Anda dapat memperbaiki algoritma metode Gaussian yang dipertimbangkan.

Aku harap kamu berhasil!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan : Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap.
Transformasi dasar yang dilakukan: (1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1. Perhatian! Di sini Anda mungkin tergoda untuk mengurangi baris pertama dari baris ketiga; Saya sangat menyarankan untuk tidak menguranginya - risiko kesalahan sangat meningkat. Lipat saja! (2) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. catatan , bahwa pada “langkah” kita puas tidak hanya dengan satu, tetapi juga dengan –1, yang bahkan lebih nyaman. (3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 5. (4) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris ketiga dibagi 14.

Balik:

Menjawab : .

Contoh 4: Larutan : Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan: (1) Baris kedua ditambahkan ke baris pertama. Dengan demikian, unit yang diinginkan disusun di “langkah” kiri atas. (2) Baris pertama dikali 7 ditambahkan pada baris kedua, baris pertama dikali 6 ditambahkan pada baris ketiga.

Dengan “langkah” kedua, segalanya menjadi lebih buruk , “kandidatnya” adalah nomor 17 dan 23, dan kita membutuhkan salah satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) ditujukan untuk memperoleh satuan yang diinginkan (3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1. (4) Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –3. Item yang dibutuhkan pada langkah kedua telah diterima. . (5) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 6. (6) Baris kedua dikalikan –1, baris ketiga dibagi -83.

Balik:

Menjawab :

Contoh 5: Larutan : Mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan: (1) Baris pertama dan kedua telah ditukar. (2) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris keempat, dikalikan –3. (3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 4. Baris kedua ditambahkan ke baris keempat, dikalikan –1. (4) Tanda baris kedua diubah. Baris keempat dibagi 3 dan ditempatkan di tempat baris ketiga. (5) Baris ketiga ditambahkan ke baris keempat, dikalikan –5.

Balik:

Menjawab :

Dalam artikel ini, metode tersebut dianggap sebagai metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SLAE). Metode ini bersifat analitis, yaitu memungkinkan Anda untuk menulis algoritma solusi dalam bentuk umum, dan kemudian mengganti nilai dari contoh spesifik di sana. Berbeda dengan metode matriks atau rumus Cramer, saat menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, Anda juga dapat mengerjakan persamaan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.

Apa yang dimaksud dengan penyelesaian dengan metode Gaussian?

Pertama, kita perlu menulis sistem persamaan kita pada tampilannya seperti ini. Ambil sistemnya:

Koefisien ditulis dalam bentuk tabel, dan suku bebasnya ditulis pada kolom tersendiri di sebelah kanan. Kolom dengan suku bebas dipisahkan untuk memudahkan.Matriks yang memuat kolom ini disebut diperluas.

Selanjutnya, matriks utama dengan koefisien harus direduksi menjadi bentuk segitiga atas. Inilah inti penyelesaian sistem dengan metode Gaussian. Sederhananya, setelah manipulasi tertentu, matriks akan terlihat sedemikian rupa sehingga bagian kiri bawahnya hanya berisi angka nol:

Kemudian, jika Anda menulis matriks baru lagi sebagai sistem persamaan, Anda akan melihat bahwa baris terakhir sudah berisi nilai salah satu akar, yang kemudian disubstitusikan ke persamaan di atas, ditemukan akar lain, dan seterusnya.

Berikut adalah penjelasan solusi metode Gaussian secara paling umum. Apa yang terjadi jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai solusi? Atau apakah jumlah mereka sangat banyak? Untuk menjawab pertanyaan ini dan banyak pertanyaan lainnya, perlu dipertimbangkan secara terpisah semua elemen yang digunakan dalam menyelesaikan metode Gaussian.

Matriks, sifat-sifatnya

Tidak ada makna tersembunyi dalam matriks tersebut. Ini hanyalah cara mudah untuk merekam data untuk operasi selanjutnya dengannya. Bahkan anak sekolah pun tidak perlu takut pada mereka.

Matriksnya selalu berbentuk persegi panjang, karena lebih nyaman. Bahkan dalam metode Gauss, di mana semuanya bermuara pada pembuatan matriks berbentuk segitiga, sebuah persegi panjang muncul di entri, hanya dengan nol di tempat yang tidak ada angkanya. Angka nol mungkin tidak tertulis, tetapi tersirat.

Matriks memiliki ukuran. “Lebar” adalah jumlah baris (m), “panjang” adalah jumlah kolom (n). Maka ukuran matriks A (biasanya huruf latin kapital digunakan untuk menyatakannya) akan dinotasikan sebagai A m×n. Jika m=n, maka matriks tersebut berbentuk persegi, dan m=n adalah ordenya. Oleh karena itu, setiap elemen matriks A dapat dilambangkan dengan nomor baris dan kolomnya: a xy ; x - nomor baris, perubahan, y - nomor kolom, perubahan.

B bukanlah poin utama keputusan. Pada prinsipnya, semua operasi dapat dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasinya akan jauh lebih rumit, dan akan lebih mudah untuk menjadi bingung.

Penentu

Matriks juga mempunyai determinan. Ini adalah karakteristik yang sangat penting. Tidak perlu mencari tahu maknanya sekarang; Anda cukup menunjukkan cara menghitungnya, lalu mengetahui properti matriks apa yang ditentukannya. Cara termudah untuk mencari determinan adalah melalui diagonal. Diagonal imajiner digambar dalam matriks; elemen-elemen yang terletak pada masing-masingnya dikalikan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambahkan: diagonal dengan kemiringan ke kanan - dengan tanda plus, dengan kemiringan ke kiri - dengan tanda minus.

Penting untuk diperhatikan bahwa determinan hanya dapat dihitung untuk matriks persegi. Untuk matriks persegi panjang, Anda dapat melakukan hal berikut: pilih yang terkecil dari jumlah baris dan jumlah kolom (biarkan k), lalu tandai secara acak k kolom dan k baris dalam matriks. Elemen-elemen pada perpotongan kolom dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baru. Jika determinan matriks tersebut adalah bilangan bukan nol, maka disebut basis minor matriks persegi panjang asal.

Sebelum Anda mulai menyelesaikan suatu sistem persamaan dengan metode Gaussian, tidak ada salahnya untuk menghitung determinannya. Jika ternyata nol, maka kita dapat langsung mengatakan bahwa matriks tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga atau tidak ada solusi sama sekali. Dalam kasus yang menyedihkan ini, Anda perlu melangkah lebih jauh dan mencari tahu tentang peringkat matriks.

Klasifikasi sistem

Ada yang namanya pangkat suatu matriks. Ini adalah orde maksimum dari determinan bukan nolnya (jika kita mengingat tentang basis minor, kita dapat mengatakan bahwa pangkat suatu matriks adalah orde dari basis minor).

Berdasarkan situasi peringkatnya, SLAE dapat dibagi menjadi:

• Persendian. kamu Dalam sistem gabungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri dari koefisien) bertepatan dengan pangkat matriks yang diperluas (dengan kolom suku bebas). Sistem seperti itu mempunyai solusi, tetapi belum tentu satu, oleh karena itu, sistem gabungan juga dibagi menjadi:
• - yakin- memiliki solusi tunggal. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan jumlah yang tidak diketahui (atau jumlah kolom, yang merupakan hal yang sama) adalah sama;
• - belum diartikan - dengan jumlah solusi yang tidak terbatas. Pangkat matriks dalam sistem seperti itu lebih kecil dari jumlah matriks yang tidak diketahui.
• Tidak kompatibel. kamu Dalam sistem seperti itu, barisan matriks utama dan matriks yang diperluas tidak bertepatan. Sistem yang tidak kompatibel tidak memiliki solusi.

Metode Gauss bagus karena selama penyelesaiannya memungkinkan seseorang memperoleh bukti yang jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa menghitung determinan matriks besar), atau solusi dalam bentuk umum untuk sistem dengan jumlah solusi tak terbatas.

Transformasi dasar

Sebelum melanjutkan langsung ke penyelesaian sistem, Anda dapat membuatnya tidak terlalu rumit dan lebih nyaman untuk perhitungan. Hal ini dicapai melalui transformasi dasar - sehingga implementasinya tidak mengubah jawaban akhir dengan cara apa pun. Perlu dicatat bahwa beberapa transformasi dasar di atas hanya berlaku untuk matriks yang bersumber dari SLAE. Berikut adalah daftar transformasi tersebut:

1. Menata ulang garis. Jelasnya, jika Anda mengubah urutan persamaan dalam catatan sistem, hal ini tidak akan mempengaruhi penyelesaian dengan cara apa pun. Oleh karena itu, baris-baris dalam matriks sistem ini juga dapat dipertukarkan, tentu saja tidak melupakan kolom suku bebas.
2. Mengalikan semua elemen string dengan koefisien tertentu. Sangat membantu! Ini dapat digunakan untuk mengurangi angka besar dalam matriks atau menghilangkan angka nol. Banyak keputusan, seperti biasa, tidak akan berubah, namun pengoperasian selanjutnya akan menjadi lebih nyaman. Yang utama adalah koefisiennya tidak sama dengan nol.
3. Menghapus baris dengan faktor proporsional. Ini sebagian mengikuti paragraf sebelumnya. Jika dua baris atau lebih dalam suatu matriks mempunyai koefisien proporsional, maka ketika salah satu baris dikalikan/dibagi dengan koefisien proporsionalitas, diperoleh dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang benar-benar identik, dan baris tambahannya dapat dihilangkan, sehingga menyisakan hanya satu.
4. Menghapus garis nol. Jika, selama transformasi, diperoleh suatu baris yang semua elemennya, termasuk suku bebasnya, adalah nol, maka baris tersebut dapat disebut nol dan dikeluarkan dari matriks.
5. Menjumlahkan elemen-elemen dari satu baris dengan elemen-elemen lainnya (di kolom yang sesuai), dikalikan dengan koefisien tertentu. Transformasi yang paling tidak terlihat dan paling penting dari semuanya. Ada baiknya membahasnya lebih detail.

Menambahkan string dikalikan dengan faktor

Untuk memudahkan pemahaman, ada baiknya menguraikan proses ini langkah demi langkah. Dua baris diambil dari matriks:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Katakanlah Anda perlu menambahkan yang pertama ke yang kedua, dikalikan dengan koefisien "-2".

sebuah" 21 = sebuah 21 + -2×sebuah 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Kemudian baris kedua dalam matriks diganti dengan yang baru, dan baris pertama tetap tidak berubah.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Perlu dicatat bahwa koefisien perkalian dapat dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil penjumlahan dua baris, salah satu elemen baris baru sama dengan nol. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk memperoleh persamaan dalam suatu sistem di mana terdapat satu persamaan yang kurang diketahui. Dan jika Anda mendapatkan dua persamaan seperti itu, maka operasi dapat dilakukan lagi dan mendapatkan persamaan yang berisi dua persamaan yang lebih sedikit. Dan jika setiap kali Anda mengubah satu koefisien dari semua baris di bawah yang asli menjadi nol, maka Anda dapat, seperti tangga, turun ke bagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini disebut penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian.

Secara umum

Biarlah ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n akar yang tidak diketahui. Anda dapat menulisnya sebagai berikut:

Matriks utama disusun dari koefisien sistem. Kolom suku bebas ditambahkan ke matriks yang diperluas dan, untuk memudahkan, dipisahkan oleh sebuah garis.

• baris pertama matriks dikalikan dengan koefisien k = (-a 21 /a 11);
• baris pertama yang diubah dan baris kedua matriks ditambahkan;
• sebagai ganti baris kedua, hasil penjumlahan dari paragraf sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
• sekarang koefisien pertama pada baris kedua yang baru adalah a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sekarang rangkaian transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh karena itu, pada setiap langkah algoritma, elemen a 21 digantikan oleh 31. Kemudian semuanya diulangi untuk 41, ... a m1. Hasilnya adalah matriks yang elemen pertama pada barisnya adalah nol. Sekarang Anda harus melupakan baris nomor satu dan melakukan algoritma yang sama, mulai dari baris kedua:

• koefisien k = (-a 32 /a 22);
• baris kedua yang diubah ditambahkan ke baris "saat ini";
• hasil penjumlahan tersebut disubstitusikan pada baris ketiga, keempat, dan seterusnya, sedangkan baris pertama dan kedua tidak berubah;
• pada baris-baris matriks, dua elemen pertama sudah sama dengan nol.

Algoritma harus diulang sampai koefisien k = (-am,m-1 /a mm) muncul. Artinya terakhir kali algoritma dieksekusi hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Sekarang matriksnya tampak seperti segitiga, atau berbentuk berundak. Intinya ada persamaan a mn × x n = b m. Koefisien dan suku bebasnya diketahui, dan akarnya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Akar yang dihasilkan disubstitusikan ke baris paling atas untuk mencari x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))±a m-1,n-1. Dan seterusnya dengan analogi: di setiap baris berikutnya ada root baru, dan, setelah mencapai "puncak" sistem, Anda dapat menemukan banyak solusi. Itu akan menjadi satu-satunya.

Ketika tidak ada solusi

Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen kecuali suku bebas sama dengan nol, maka persamaan yang bersesuaian dengan baris tersebut terlihat seperti 0 = b. Tidak ada solusi. Dan karena persamaan seperti itu termasuk dalam sistem, maka himpunan solusi seluruh sistem adalah kosong, yaitu merosot.

Ketika terdapat solusi yang jumlahnya tak terhingga

Mungkin saja dalam matriks segitiga tertentu tidak ada baris dengan satu elemen koefisien persamaan dan satu suku bebas. Hanya ada garis yang jika ditulis ulang akan terlihat seperti persamaan dengan dua variabel atau lebih. Artinya sistem tersebut mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga. Dalam hal ini jawabannya dapat diberikan dalam bentuk solusi umum. Bagaimana cara melakukannya?

Semua variabel dalam matriks dibagi menjadi dasar dan bebas. Yang dasar adalah yang berdiri “di tepi” baris-baris dalam matriks langkah. Sisanya gratis. Dalam solusi umum, variabel dasar dituliskan melalui variabel bebas.

Untuk memudahkan, matriks terlebih dahulu ditulis ulang menjadi sistem persamaan. Kemudian pada variabel terakhir, yang hanya tersisa satu variabel dasar, variabel tersebut tetap berada di satu sisi, dan sisanya dipindahkan ke sisi lainnya. Hal ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu variabel dasar. Kemudian, dalam persamaan lainnya, jika memungkinkan, ekspresi yang diperoleh diganti dengan variabel dasar. Jika hasilnya lagi-lagi merupakan ekspresi yang hanya berisi satu variabel dasar, maka hasilnya akan dinyatakan lagi dari sana, dan seterusnya, hingga setiap variabel dasar ditulis sebagai ekspresi dengan variabel bebas. Ini adalah solusi umum SLAE.

Anda juga dapat menemukan solusi dasar sistem - berikan nilai apa pun pada variabel bebas, lalu untuk kasus khusus ini hitung nilai variabel dasar. Ada banyak sekali solusi khusus yang dapat diberikan.

Solusi dengan contoh spesifik

Berikut adalah sistem persamaan.

Untuk kenyamanan, lebih baik segera membuat matriksnya

Diketahui bahwa jika diselesaikan dengan metode Gaussian, persamaan yang bersesuaian dengan baris pertama akan tetap tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh karena itu, akan lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama dari baris yang tersisa setelah operasi akan menjadi nol. Artinya, dalam matriks yang dikompilasi, akan lebih menguntungkan jika baris kedua ditempatkan di tempat baris pertama.

baris kedua: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Sekarang, agar tidak bingung, Anda perlu menuliskan matriks dengan hasil antara transformasinya.

Jelasnya, matriks seperti itu dapat dibuat lebih nyaman untuk dilihat dengan menggunakan operasi tertentu. Misalnya, Anda dapat menghapus semua “minus” dari baris kedua dengan mengalikan setiap elemen dengan “-1”.

Perlu juga dicatat bahwa pada baris ketiga semua elemen adalah kelipatan tiga. Kemudian Anda dapat mempersingkat string dengan angka ini dengan mengalikan setiap elemen dengan "-1/3" (dikurangi - sekaligus menghilangkan nilai negatif).

Terlihat jauh lebih bagus. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya adalah menambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan koefisien sedemikian rupa sehingga elemen a 32 menjadi sama dengan nol.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jika pada beberapa transformasi jawabannya tidak berupa bilangan bulat, disarankan untuk menjaga keakuratan perhitungan untuk meninggalkan itu “sebagaimana adanya”, dalam bentuk pecahan biasa, dan baru setelah itu, ketika jawabannya sudah diterima, putuskan apakah akan dibulatkan dan diubah ke bentuk pencatatan lain)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matriksnya ditulis lagi dengan nilai baru.

Seperti yang Anda lihat, matriks yang dihasilkan sudah berbentuk bertahap. Oleh karena itu, transformasi sistem lebih lanjut menggunakan metode Gaussian tidak diperlukan. Yang dapat Anda lakukan di sini adalah menghilangkan koefisien keseluruhan "-1/7" dari baris ketiga.

Sekarang semuanya indah. Yang perlu dilakukan hanyalah menuliskan kembali matriks tersebut dalam bentuk sistem persamaan dan menghitung akar-akarnya

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritme yang digunakan untuk menemukan akar-akarnya sekarang disebut langkah terbalik dalam metode Gaussian. Persamaan (3) mengandung nilai z:

kamu = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dan persamaan pertama memungkinkan kita mencari x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Kita berhak menyebut sistem seperti itu gabungan, dan bahkan pasti, yaitu memiliki solusi unik. Jawabannya ditulis dalam bentuk berikut:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Contoh sistem yang tidak pasti

Varian penyelesaian sistem tertentu dengan menggunakan metode Gauss telah dianalisis, sekarang kita perlu mempertimbangkan kasus jika sistem tersebut tidak pasti, yaitu banyak solusi yang dapat ditemukan untuk sistem tersebut.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Kemunculan sistem itu sendiri sudah memprihatinkan, karena banyaknya yang tidak diketahui adalah n = 5, dan rank matriks sistem sudah tepat lebih kecil dari bilangan tersebut, karena banyaknya barisnya adalah m = 4, yaitu, orde terbesar dari determinan-kuadrat adalah 4. Artinya, terdapat jumlah solusi yang tak terhingga, dan Anda perlu mencari tampilan umumnya. Metode Gauss untuk persamaan linier memungkinkan Anda melakukan hal ini.

Pertama, seperti biasa, matriks yang diperluas dikompilasi.

Baris kedua: koefisien k = (-a 21 /a 11) = -3. Pada baris ketiga, elemen pertama ada sebelum transformasi, jadi Anda tidak perlu menyentuh apa pun, Anda harus membiarkannya apa adanya. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Dengan mengalikan elemen-elemen baris pertama dengan masing-masing koefisiennya secara bergantian dan menambahkannya ke baris-baris yang diperlukan, kita memperoleh matriks dengan bentuk berikut:

Seperti yang Anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri dari elemen-elemen yang sebanding satu sama lain. Yang kedua dan keempat umumnya identik, jadi salah satunya bisa langsung dihilangkan, dan sisanya bisa dikalikan dengan koefisien “-1” dan mendapatkan garis nomor 3. Dan lagi, dari dua garis yang identik, sisakan satu.

Hasilnya adalah matriks seperti ini. Meskipun sistemnya belum ditulis, variabel dasar perlu ditentukan di sini - variabel yang berada pada koefisien a 11 = 1 dan a 22 = 1, dan variabel bebas - sisanya.

Dalam persamaan kedua hanya ada satu variabel dasar - x 2. Artinya dapat dinyatakan dari sana dengan menuliskannya melalui variabel x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.

Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan pertama.

Hasilnya adalah persamaan yang variabel dasarnya hanya x 1 . Mari kita lakukan hal yang sama seperti pada x 2.

Semua variabel dasar, yang ada dua, dinyatakan dalam tiga variabel bebas; sekarang kita dapat menuliskan jawabannya dalam bentuk umum.

Anda juga dapat menentukan salah satu solusi tertentu dari sistem. Untuk kasus seperti itu, angka nol biasanya dipilih sebagai nilai variabel bebas. Maka jawabannya adalah:

16, 23, 0, 0, 0.

Contoh sistem non kooperatif

Menyelesaikan sistem persamaan yang tidak kompatibel menggunakan metode Gauss adalah yang tercepat. Ini berakhir segera setelah pada salah satu tahap diperoleh persamaan yang tidak memiliki solusi. Artinya, tahap penghitungan akar yang cukup panjang dan melelahkan dihilangkan. Sistem berikut dipertimbangkan:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Seperti biasa, matriks dikompilasi:

Dan itu direduksi menjadi bentuk bertahap:

k 1 = -2k 2 = -4

Setelah transformasi pertama, baris ketiga berisi persamaan bentuk

tanpa solusi. Akibatnya, sistem menjadi tidak konsisten dan jawabannya adalah himpunan kosong.

Keuntungan dan kerugian dari metode ini

Jika Anda memilih metode penyelesaian SLAE di atas kertas dengan pena, maka metode yang dibahas dalam artikel ini terlihat paling menarik. Jauh lebih sulit untuk menjadi bingung dalam transformasi dasar dibandingkan jika Anda harus mencari determinan atau matriks invers yang rumit secara manual. Namun jika Anda menggunakan program untuk bekerja dengan data jenis ini, misalnya spreadsheet, maka ternyata program tersebut sudah berisi algoritma untuk menghitung parameter utama matriks - determinan, minor, invers, dan sebagainya. Dan jika yakin mesin akan menghitung sendiri nilai-nilai tersebut dan tidak melakukan kesalahan, lebih disarankan menggunakan metode matriks atau rumus Cramer, karena penerapannya diawali dan diakhiri dengan perhitungan determinan dan matriks invers. .

Aplikasi

Karena solusi Gaussian adalah sebuah algoritma, dan matriksnya sebenarnya adalah array dua dimensi, maka solusi tersebut dapat digunakan dalam pemrograman. Namun karena artikel tersebut memposisikan dirinya sebagai panduan “untuk orang bodoh”, maka harus dikatakan bahwa tempat termudah untuk menerapkan metode ini adalah spreadsheet, misalnya Excel. Sekali lagi, setiap SLAE yang dimasukkan ke dalam tabel dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai array dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka ada banyak perintah yang bagus: penjumlahan (Anda hanya dapat menjumlahkan matriks dengan ukuran yang sama!), perkalian dengan angka, perkalian matriks (juga dengan batasan tertentu), mencari matriks invers dan transposisi dan, yang paling penting , menghitung determinannya. Jika tugas yang memakan waktu ini digantikan dengan satu perintah, maka dimungkinkan untuk menentukan peringkat matriks jauh lebih cepat dan, oleh karena itu, menetapkan kompatibilitas atau ketidakcocokan.

metode Gauss sempurna untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan metode lain:

• pertama, tidak perlu memeriksa konsistensi sistem persamaan terlebih dahulu;
• kedua, metode Gauss tidak hanya dapat menyelesaikan SLAE yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-singular, tetapi juga sistem persamaan yang jumlah persamaannya tidak sama. jumlah variabel yang tidak diketahui atau determinan matriks utama sama dengan nol;
• ketiga, metode Gaussian memberikan hasil dengan jumlah operasi komputasi yang relatif kecil.

Ikhtisar singkat artikel tersebut.

Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan notasi.

Selanjutnya akan dijelaskan algoritma metode Gauss untuk kasus yang paling sederhana, yaitu untuk sistem persamaan aljabar linier, banyaknya persamaan yang berimpit dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tersebut adalah tidak sama dengan nol. Saat menyelesaikan sistem persamaan seperti itu, inti dari metode Gauss terlihat paling jelas, yaitu eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan. Oleh karena itu, metode Gaussian disebut juga metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui. Kami akan menunjukkan solusi terperinci dari beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode Gauss, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau tunggal. Solusi untuk sistem tersebut memiliki beberapa fitur, yang akan kita bahas secara rinci menggunakan contoh.

Navigasi halaman.

Definisi dan notasi dasar.

Pertimbangkan sistem persamaan linear p dengan n yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n):

Dimana merupakan variabel yang tidak diketahui, merupakan bilangan (nyata atau kompleks), dan merupakan suku bebas.

Jika , maka sistem persamaan aljabar linier disebut homogen, jika tidak - heterogen.

Himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang seluruh persamaan sistemnya menjadi identitas disebut keputusan SLAU.

Jika terdapat paling sedikit satu penyelesaian pada suatu sistem persamaan aljabar linier, maka disebut persendian, jika tidak - non-bersama.

Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin. Jika terdapat lebih dari satu solusi, maka sistem disebut tidak pasti.

Mereka mengatakan bahwa sistem itu tertulis bentuk koordinat, jika memiliki bentuk
.

Sistem ini masuk bentuk matriks catatan memiliki bentuk , dimana - matriks utama SLAE, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks suku bebas.

Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu,

Matriks persegi A disebut merosot, jika determinannya nol. Jika , maka matriks A disebut tidak merosot.

Hal berikut perlu diperhatikan.

Jika Anda melakukan tindakan berikut dengan sistem persamaan aljabar linier

• tukar dua persamaan,
• mengalikan kedua ruas persamaan apa pun dengan bilangan real (atau kompleks) sembarang dan bukan nol k,
• ke kedua ruas persamaan apa pun tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k,

maka Anda mendapatkan sistem ekuivalen yang memiliki solusi yang sama (atau, sama seperti sistem aslinya, tidak memiliki solusi).

Untuk matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier, tindakan berikut berarti melakukan transformasi elementer dengan baris:

• bertukar dua baris,
• mengalikan semua elemen dari setiap baris matriks T dengan bilangan bukan nol k,
• menambahkan elemen-elemen dari setiap baris matriks elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k.

Sekarang kita dapat melanjutkan ke penjelasan metode Gauss.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-tunggal, menggunakan metode Gauss.

Apa yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk menemukan solusi sistem persamaan? .

Beberapa orang akan melakukan itu.

Perhatikan bahwa dengan menambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan ke ruas kanan, Anda dapat menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera mencari x 1:

Kami mengganti nilai yang ditemukan x 1 =1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga sistem:

Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan ketiga sistem dengan -1 dan menjumlahkannya ke suku-suku yang bersesuaian pada persamaan pertama, kita menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dan dapat menemukan x 2:

Kami mengganti nilai yang dihasilkan x 2 = 2 ke dalam persamaan ketiga dan menemukan sisa variabel x 3 yang tidak diketahui:

Orang lain akan melakukan hal yang berbeda.

Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem terhadap variabel yang tidak diketahui x 1 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan kedua dan ketiga sistem untuk mengecualikan variabel ini dari persamaan tersebut:

Sekarang mari kita selesaikan persamaan kedua sistem untuk x 2 dan substitusikan hasilnya ke persamaan ketiga untuk menghilangkan variabel x 2 yang tidak diketahui dari persamaan tersebut:

Dari persamaan ketiga sistem tersebut jelas bahwa x 3 =3. Dari persamaan kedua kita temukan , dan dari persamaan pertama kita peroleh .

Solusi yang familier, bukan?

Hal yang paling menarik di sini adalah bahwa metode penyelesaian kedua pada dasarnya adalah metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, yaitu metode Gaussian. Ketika kami menyatakan variabel yang tidak diketahui (pertama x 1, pada tahap berikutnya x 2) dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan sistem yang tersisa, kami mengecualikannya. Kami melakukan eliminasi hingga hanya tersisa satu variabel yang tidak diketahui pada persamaan terakhir. Proses menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan langkah maju, kita mempunyai kesempatan untuk menghitung variabel yang tidak diketahui yang ditemukan pada persamaan terakhir. Dengan bantuannya, kita menemukan variabel yang tidak diketahui berikutnya dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya. Proses mencari variabel yang tidak diketahui secara berurutan sambil berpindah dari persamaan terakhir ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Perlu dicatat bahwa ketika kita menyatakan x 1 dalam bentuk x 2 dan x 3 pada persamaan pertama, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut akan menghasilkan hasil yang sama:

Memang, prosedur seperti itu juga memungkinkan untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga sistem:

Nuansa penghapusan variabel yang tidak diketahui menggunakan metode Gaussian muncul ketika persamaan sistem tidak memuat beberapa variabel.

Misalnya saja di SLAU pada persamaan pertama tidak ada variabel yang tidak diketahui x 1 (dengan kata lain koefisien di depannya adalah nol). Oleh karena itu, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan pertama sistem untuk x 1 untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui ini dari persamaan lainnya. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Karena kita mempertimbangkan sistem persamaan linier yang determinan matriks utamanya berbeda dari nol, selalu ada persamaan yang memiliki variabel yang kita butuhkan, dan kita dapat mengatur ulang persamaan ini ke posisi yang kita butuhkan. Sebagai contoh kita, cukup menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem , maka Anda dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya dari persamaan sistem lainnya (walaupun x 1 tidak lagi ada di persamaan kedua).

Kami harap Anda memahami intinya.

Mari kita jelaskan Algoritma metode Gaussian.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang bentuknya tidak diketahui , dan biarkan determinan matriks utamanya berbeda dari nol.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Caranya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan . Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .

Mari kita lihat algoritmanya menggunakan sebuah contoh.

Contoh.

metode Gauss.

Larutan.

Koefisien a 11 bukan nol, jadi mari kita lanjutkan ke perkembangan langsung metode Gaussian, yaitu mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem kecuali yang pertama. Caranya, pada ruas kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga, dan keempat, tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan . Dan :

Variabel yang tidak diketahui x 1 telah dihilangkan, mari kita lanjutkan ke penghapusan x 2 . Ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat sistem kita tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan masing-masing Dan :

Untuk menyelesaikan kemajuan metode Gaussian, kita perlu menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Mari kita jumlahkan masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan keempat, ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, dikalikan dengan :

Anda dapat memulai kebalikan dari metode Gaussian.

Dari persamaan terakhir yang kita miliki ,
dari persamaan ketiga kita peroleh,
dari yang kedua,
dari yang pertama.

Untuk memeriksanya, Anda dapat mengganti nilai yang diperoleh dari variabel yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan aslinya. Semua persamaan berubah menjadi identitas, yang menunjukkan bahwa solusi menggunakan metode Gauss telah ditemukan dengan benar.

Menjawab:

Sekarang mari kita berikan solusi untuk contoh yang sama menggunakan metode Gaussian dalam notasi matriks.

Contoh.

Temukan solusi sistem persamaan metode Gauss.

Larutan.

Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk . Di bagian atas setiap kolom terdapat variabel yang tidak diketahui yang sesuai dengan elemen matriks.

Pendekatan langsung metode Gaussian di sini melibatkan reduksi matriks yang diperluas dari sistem menjadi bentuk trapesium menggunakan transformasi dasar. Proses ini mirip dengan penghapusan variabel yang tidak diketahui yang kita lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang Anda akan melihat ini.

Mari kita transformasikan matriksnya sehingga semua elemen pada kolom pertama, mulai dari kolom kedua, menjadi nol. Untuk melakukan ini, ke elemen baris kedua, ketiga dan keempat kita tambahkan elemen baris pertama yang sesuai dikalikan dengan , dan karenanya:

Selanjutnya kita transformasikan matriks yang dihasilkan sehingga pada kolom kedua semua elemen, mulai dari kolom ketiga, menjadi nol. Ini sama dengan menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, ke elemen baris ketiga dan keempat kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris pertama matriks, dikalikan dengan masing-masing Dan :

Tetap mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, ke elemen baris terakhir dari matriks yang dihasilkan, kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua dari belakang, dikalikan dengan :

Perlu dicatat bahwa matriks ini sesuai dengan sistem persamaan linier

yang diperoleh sebelumnya setelah bergerak maju.

Saatnya untuk kembali. Dalam notasi matriks, kebalikan dari metode Gaussian melibatkan transformasi matriks yang dihasilkan sedemikian rupa sehingga matriks yang ditandai pada gambar

menjadi diagonal, yaitu mengambil bentuk

di mana beberapa angka.

Transformasi ini mirip dengan transformasi maju metode Gaussian, tetapi dilakukan bukan dari baris pertama ke baris terakhir, melainkan dari baris terakhir ke baris pertama.

Tambahkan ke elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen yang bersesuaian dari baris terakhir, dikalikan dengan , terus menerus masing-masing:

Sekarang tambahkan ke elemen baris kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris ketiga, masing-masing dikalikan dengan dan dengan:

Pada langkah terakhir metode Gaussian terbalik, ke elemen baris pertama kita tambahkan elemen baris kedua yang bersesuaian, dikalikan dengan:

Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan , dari mana kita menemukan variabel yang tidak diketahui.

Menjawab:

CATATAN.

Saat menggunakan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, perhitungan perkiraan harus dihindari, karena hal ini dapat menyebabkan hasil yang salah sepenuhnya. Kami menyarankan untuk tidak membulatkan desimal. Lebih baik beralih dari pecahan desimal ke pecahan biasa.

Contoh.

Memecahkan sistem tiga persamaan menggunakan metode Gauss .

Larutan.

Perhatikan bahwa dalam contoh ini variabel yang tidak diketahui memiliki sebutan berbeda (bukan x 1, x 2, x 3, tetapi x, y, z). Mari beralih ke pecahan biasa:

Mari kita kecualikan x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem:

Dalam sistem yang dihasilkan, variabel y yang tidak diketahui tidak ada di persamaan kedua, tetapi y ada di persamaan ketiga, oleh karena itu, mari kita tukar persamaan kedua dan ketiga:

Ini melengkapi perkembangan langsung metode Gauss (tidak perlu mengecualikan y dari persamaan ketiga, karena variabel yang tidak diketahui ini sudah tidak ada lagi).

Mari kita mulai langkah sebaliknya.

Dari persamaan terakhir kita temukan ,
dari yang kedua dari belakang


dari persamaan pertama yang kita miliki

Menjawab:

X = 10, y = 5, z = -20.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui atau matriks utama sistemnya berbentuk tunggal, menggunakan metode Gauss.

Sistem persamaan, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau persegi tunggal, mungkin tidak mempunyai solusi, mungkin mempunyai solusi tunggal, atau mungkin mempunyai jumlah solusi tak terhingga.

Sekarang kita akan memahami bagaimana metode Gauss memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensi suatu sistem persamaan linier, dan dalam kasus kompatibilitasnya, menentukan semua solusi (atau satu solusi tunggal).

Pada prinsipnya, proses menghilangkan variabel yang tidak diketahui dalam kasus SLAE tersebut tetap sama. Namun, ada baiknya menjelaskan secara detail beberapa situasi yang mungkin timbul.

Mari kita beralih ke tahap yang paling penting.

Jadi, mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan aljabar linier, setelah menyelesaikan perkembangan maju metode Gauss, berbentuk dan tidak ada satu persamaan pun yang direduksi menjadi (dalam hal ini kita akan menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel). Sebuah pertanyaan logis muncul: “Apa yang harus dilakukan selanjutnya”?

Mari kita tuliskan variabel-variabel tak dikenal yang muncul lebih dulu dalam semua persamaan sistem yang dihasilkan:

Dalam contoh kita ini adalah x 1, x 4 dan x 5. Di ruas kiri persamaan sistem kita hanya menyisakan suku-suku yang mengandung variabel yang tidak diketahui tertulis x 1, x 4 dan x 5, suku-suku yang tersisa dipindahkan ke ruas kanan persamaan yang bertanda berlawanan:

Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel yang tidak diketahui yang berada di sisi kanan persamaan, di mana - nomor sewenang-wenang:

Setelah ini, ruas kanan semua persamaan SLAE kita berisi angka dan kita dapat melanjutkan ke kebalikan dari metode Gaussian.

Dari persamaan terakhir sistem yang kita miliki, dari persamaan kedua dari belakang kita temukan, dari persamaan pertama yang kita dapatkan

Penyelesaian sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang tidak diketahui

Pemberian Angka nilai yang berbeda, kita akan memperoleh solusi yang berbeda untuk sistem persamaan tersebut. Artinya, sistem persamaan kita mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.

Menjawab:

Di mana - angka sewenang-wenang.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh lagi.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier yang homogen metode Gauss.

Larutan.

Mari kita kecualikan variabel x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, ke ruas kiri dan kanan persamaan kedua, kita tambahkan masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, kita tambahkan kiri dan ruas kanan persamaan pertama, dikalikan dengan:

Sekarang mari kita kecualikan y dari persamaan ketiga dari sistem persamaan yang dihasilkan:

SLAE yang dihasilkan setara dengan sistem .

Kita tinggalkan di sisi kiri persamaan sistem hanya suku-suku yang mengandung variabel x dan y yang tidak diketahui, dan pindahkan suku-suku dengan variabel z yang tidak diketahui ke ruas kanan:

Institusi pendidikan "Negara Bagian Belarusia

Akademi Pertanian"

Departemen Matematika Tinggi

Pedoman

untuk mempelajari topik “Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem linier

persamaan" oleh mahasiswa fakultas akuntansi pendidikan korespondensi (NISPO)

Gorki, 2013

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Sistem persamaan yang setara

Dua sistem persamaan linear dikatakan ekuivalen jika masing-masing penyelesaian salah satu persamaan tersebut merupakan penyelesaian persamaan lainnya. Proses penyelesaian sistem persamaan linier terdiri dari transformasi berurutan menjadi sistem ekuivalen menggunakan apa yang disebut transformasi dasar , yang mana:

1) penataan ulang dua persamaan sistem;

2) mengalikan kedua ruas persamaan sistem dengan bilangan bukan nol;

3) menambahkan persamaan lain ke persamaan apa pun, dikalikan dengan bilangan apa pun;

4) mencoret persamaan yang terdiri dari nol, yaitu. persamaan bentuk

Eliminasi Gaussian

Pertimbangkan sistemnya M persamaan linear dengan N tidak dikenal:

Inti dari metode Gaussian atau metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui adalah sebagai berikut.

Pertama, dengan menggunakan transformasi elementer, persamaan yang tidak diketahui dihilangkan dari semua persamaan sistem kecuali persamaan pertama. Transformasi sistem seperti ini disebut Langkah eliminasi Gaussian . Yang tidak diketahui disebut variabel pengaktif pada langkah pertama transformasi. Koefisiennya disebut faktor resolusi , persamaan pertama disebut menyelesaikan persamaan , dan kolom koefisien di kolom izin .

Saat melakukan satu langkah eliminasi Gaussian, Anda perlu menggunakan aturan berikut:

1) koefisien dan suku bebas persamaan penyelesaian tetap tidak berubah;

2) koefisien kolom resolusi yang terletak di bawah koefisien resolusi menjadi nol;

3) semua koefisien dan suku bebas lainnya saat melakukan langkah pertama dihitung menurut aturan persegi panjang:

, Di mana Saya=2,3,…,M; J=2,3,…,N.

Kami akan melakukan transformasi serupa pada persamaan kedua sistem. Hal ini akan menghasilkan sistem di mana persamaan yang tidak diketahui akan dihilangkan di semua persamaan kecuali dua persamaan pertama. Sebagai hasil dari transformasi pada setiap persamaan sistem (perkembangan langsung metode Gaussian), sistem asli direduksi menjadi sistem langkah ekuivalen dari salah satu jenis berikut.

Metode Gaussian Terbalik

Sistem langkah

memiliki penampilan segitiga dan hanya itu (Saya=1,2,…,N). Sistem seperti ini mempunyai solusi yang unik. Yang tidak diketahui ditentukan mulai dari persamaan terakhir (kebalikan dari metode Gaussian).

Sistem langkahnya berbentuk

di mana, yaitu jumlah persamaan sistem kurang dari atau sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui. Sistem ini tidak memiliki solusi, karena persamaan terakhir tidak akan dipenuhi untuk nilai variabel apa pun.

Sistem tipe langkah

memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya. Dari persamaan terakhir, hal yang tidak diketahui dinyatakan melalui hal yang tidak diketahui . Kemudian, dalam persamaan kedua dari belakang, alih-alih yang tidak diketahui, ekspresinya disubstitusikan melalui yang tidak diketahui . Melanjutkan kebalikan dari metode Gaussian, hal yang tidak diketahui dapat dinyatakan dalam hal yang tidak diketahui . Dalam hal ini, hal yang tidak diketahui disebut bebas dan dapat mengambil nilai apa pun, dan tidak diketahui dasar.

Saat menyelesaikan sistem dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk melakukan semua transformasi bukan dengan sistem persamaan, tetapi dengan matriks sistem yang diperluas, yang terdiri dari koefisien untuk yang tidak diketahui dan kolom suku bebas.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan

Larutan. Mari kita membuat matriks yang diperluas dari sistem dan melakukan transformasi dasar:

.

Pada matriks perluasan sistem, angka 3 (disorot) adalah koefisien resolusi, baris pertama adalah baris resolusi, dan kolom pertama adalah kolom resolusi. Saat berpindah ke matriks berikutnya, baris resolusi tidak berubah, semua elemen kolom resolusi di bawah elemen resolusi diganti dengan nol. Dan semua elemen matriks lainnya dihitung ulang menurut aturan segi empat. Alih-alih elemen 4 di baris kedua kita menulis , alih-alih elemen -3 di baris kedua akan ditulis dll. Dengan demikian akan diperoleh matriks kedua. Elemen resolusi matriks ini adalah angka 18 pada baris kedua. Untuk membentuk baris kedua (matriks ketiga), kita membiarkan baris kedua tidak berubah, di kolom di bawah elemen penyelesaian kita menulis nol dan menghitung ulang dua elemen yang tersisa: alih-alih angka 1 kita menulis , dan sebagai pengganti angka 16 kita menulis .

Akibatnya, sistem asli direduksi menjadi sistem yang setara

Dari persamaan ketiga kita temukan . Mari kita substitusikan nilai ini ke persamaan kedua: kamu=3. Mari kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama kamu Dan z: , X=2.

Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah X=2, kamu=3, .

Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan

Larutan. Mari kita lakukan transformasi dasar pada matriks yang diperluas dari sistem:

Pada matriks kedua, setiap elemen baris ketiga dibagi 2.

Pada matriks keempat, setiap elemen baris ketiga dan keempat dibagi 11.

. Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan

Memecahkan sistem ini, kami temukan , , .

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan

Larutan. Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem dan lakukan transformasi dasar:

.

Pada matriks kedua, setiap elemen baris kedua, ketiga, dan keempat dibagi 7.

Hasilnya, sistem persamaan diperoleh

setara dengan yang asli.

Karena ada dua persamaan lebih sedikit dari yang tidak diketahui, maka dari persamaan kedua . Mari kita substitusikan ekspresi for ke dalam persamaan pertama: , .

Jadi, rumusnya berikan solusi umum untuk sistem persamaan ini. Yang tidak diketahui itu gratis dan dapat bernilai berapa pun.

Misalkan, Kemudian Dan . Larutan adalah salah satu solusi khusus dari sistem, yang jumlahnya tak terhitung jumlahnya.

Pertanyaan untuk pengendalian diri atas pengetahuan

1) Transformasi sistem linier apa yang disebut dasar?

2) Transformasi sistem apa yang disebut langkah eliminasi Gaussian?

3) Apa yang dimaksud dengan variabel penyelesaian, koefisien penyelesaian, kolom penyelesaian?

4) Aturan apa yang harus digunakan saat melakukan satu langkah eliminasi Gaussian?

Pengertian dan Deskripsi Metode Gaussian

Metode transformasi Gaussian (juga dikenal sebagai metode eliminasi sekuensial variabel yang tidak diketahui dari suatu persamaan atau matriks) untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar (SLAE). Metode klasik ini juga digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti memperoleh invers matriks dan menentukan rank suatu matriks.

Transformasi dengan metode Gaussian terdiri dari melakukan perubahan-perubahan kecil (dasar) sekuensial pada suatu sistem persamaan aljabar linier, yang berujung pada penghapusan variabel-variabel dari atas ke bawah dengan terbentuknya sistem persamaan segitiga baru yang ekuivalen dengan aslinya. satu.

Definisi 1

Bagian dari solusi ini disebut solusi Gaussian maju, karena seluruh proses dilakukan dari atas ke bawah.

Setelah sistem persamaan asli direduksi menjadi sistem persamaan segitiga, semua variabel sistem ditemukan dari bawah ke atas (yaitu, variabel pertama yang ditemukan terletak tepat pada baris terakhir sistem atau matriks). Bagian dari solusi ini juga dikenal sebagai invers dari solusi Gaussian. Algoritmanya adalah sebagai berikut: pertama, variabel yang paling dekat dengan dasar sistem persamaan atau matriks dihitung, kemudian nilai yang dihasilkan disubstitusikan lebih tinggi sehingga ditemukan variabel lain, dan seterusnya.

Deskripsi algoritma metode Gaussian

Urutan tindakan untuk penyelesaian umum sistem persamaan dengan metode Gaussian terdiri dari penerapan pukulan maju dan mundur secara bergantian pada matriks berdasarkan SLAE. Biarkan sistem persamaan awal memiliki bentuk berikut:

$\begin(kasus) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(kasus)$

Untuk menyelesaikan SLAE dengan metode Gaussian, perlu dituliskan sistem persamaan aslinya dalam bentuk matriks:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matriks $A$ disebut matriks utama dan menyatakan koefisien variabel-variabel yang ditulis secara berurutan, dan $b$ disebut kolom suku bebasnya. Matriks $A$, yang ditulis melalui batang dengan kolom suku bebas, disebut matriks diperluas:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Sekarang perlu, dengan menggunakan transformasi dasar pada sistem persamaan (atau pada matriks, karena lebih mudah), untuk membawanya ke bentuk berikut:

$\begin(kasus) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(kasus)$ (1)

Matriks yang diperoleh dari koefisien-koefisien sistem transformasi persamaan (1) disebut matriks langkah; seperti inilah matriks langkah biasanya:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Matriks ini dicirikan oleh kumpulan properti berikut:

1. Semua garis nolnya berada setelah garis bukan nol
2. Jika suatu baris matriks bernomor $k$ bukan nol, maka baris sebelumnya dari matriks yang sama mempunyai angka nol lebih sedikit daripada baris sebelumnya yang bernomor $k$.

Setelah mendapatkan matriks langkah, variabel yang dihasilkan perlu disubstitusikan ke dalam persamaan yang tersisa (dimulai dari akhir) dan mendapatkan nilai variabel yang tersisa.

Aturan dasar dan transformasi yang diizinkan saat menggunakan metode Gauss

Saat menyederhanakan matriks atau sistem persamaan menggunakan metode ini, Anda hanya perlu menggunakan transformasi dasar.

Transformasi tersebut dianggap sebagai operasi yang dapat diterapkan pada matriks atau sistem persamaan tanpa mengubah maknanya:

• penataan ulang beberapa baris,
• menjumlahkan atau mengurangkan satu baris matriks, baris lain darinya,
• mengalikan atau membagi string dengan konstanta yang tidak sama dengan nol,
• garis yang hanya terdiri dari angka nol, yang diperoleh dalam proses perhitungan dan penyederhanaan sistem, harus dihilangkan,
• Anda juga perlu menghilangkan garis proporsional yang tidak perlu, memilih sistem satu-satunya dengan koefisien yang lebih sesuai dan nyaman untuk perhitungan lebih lanjut.

Semua transformasi dasar bersifat reversibel.

Analisis tiga kasus utama yang muncul ketika menyelesaikan persamaan linear menggunakan metode transformasi Gaussian sederhana

Ada tiga kasus yang muncul ketika menggunakan metode Gaussian untuk menyelesaikan sistem:

1. Ketika suatu sistem tidak konsisten, artinya tidak mempunyai solusi apa pun
2. Sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik, dan jumlah baris dan kolom bukan nol dalam matriks sama satu sama lain.
3. Sistem mempunyai sejumlah atau himpunan solusi yang mungkin, dan jumlah baris di dalamnya lebih sedikit daripada jumlah kolom.

Hasil dari solusi dengan sistem yang tidak konsisten

Untuk opsi ini, ketika menyelesaikan persamaan matriks menggunakan metode Gaussian, biasanya diperoleh suatu garis yang persamaannya tidak dapat dipenuhi. Oleh karena itu, jika setidaknya ada satu persamaan yang salah, sistem yang dihasilkan dan sistem asli tidak memiliki solusi, apapun persamaan lain yang ada di dalamnya. Contoh matriks tidak konsisten:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Pada baris terakhir muncul persamaan yang mustahil: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Sistem persamaan yang hanya memiliki satu solusi

Sistem ini, setelah direduksi menjadi matriks langkah dan menghilangkan baris dengan nol, memiliki jumlah baris dan kolom yang sama pada matriks utama. Berikut adalah contoh paling sederhana dari sistem tersebut:

$\begin(kasus) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(kasus)$

Mari kita tuliskan dalam bentuk matriks:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Untuk membuat sel pertama dari baris kedua menjadi nol, kita mengalikan baris atas dengan $-2$ dan menguranginya dari baris bawah matriks, dan membiarkan baris atas dalam bentuk aslinya, sebagai hasilnya kita mendapatkan yang berikut ini :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Contoh ini dapat ditulis sebagai suatu sistem:

$\begin(kasus) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(kasus)$

Persamaan bawah menghasilkan nilai berikut untuk $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Substitusikan nilai ini ke persamaan atas: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, kita mendapatkan $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Sebuah sistem dengan banyak kemungkinan solusi

Sistem ini dicirikan oleh jumlah baris penting yang lebih sedikit daripada jumlah kolom di dalamnya (baris matriks utama diperhitungkan).

Variabel dalam sistem seperti itu dibagi menjadi dua jenis: dasar dan gratis. Saat mentransformasikan sistem seperti itu, variabel-variabel utama yang terkandung di dalamnya harus dibiarkan di area kiri sampai tanda “=”, dan variabel-variabel lainnya harus dipindahkan ke sisi kanan persamaan.

Sistem seperti ini hanya mempunyai solusi umum tertentu.

Mari kita analisis sistem persamaan berikut:

$\begin(kasus) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(kasus)$

Mari kita tuliskan dalam bentuk matriks:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Tugas kita adalah menemukan solusi umum untuk sistem tersebut. Untuk matriks ini, variabel basisnya adalah $y_1$ dan $y_3$ (untuk $y_1$ - karena berada di urutan pertama, dan dalam kasus $y_3$ - terletak setelah angka nol).

Sebagai variabel basis, kita memilih variabel yang berada di baris pertama dan tidak sama dengan nol.

Variabel lainnya disebut bebas, kita perlu mengekspresikan variabel dasar melalui variabel tersebut.

Dengan menggunakan apa yang disebut gerakan mundur, kita menganalisis sistem dari bawah ke atas; untuk melakukan ini, pertama-tama kita nyatakan $y_3$ dari baris terbawah sistem:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Sekarang kita substitusikan persamaan $y_3$ ke persamaan atas sistem $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Kita menyatakan $y_1$ dalam bentuk variabel bebas $y_2$ dan $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Solusinya sudah siap.

Contoh 1

Selesaikan slough dengan menggunakan metode Gaussian. Contoh. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear matriks 3 x 3 menggunakan metode Gaussian

$\begin(kasus) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(kasus)$

Mari kita tulis sistem kita dalam bentuk matriks yang diperluas:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Sekarang, untuk kemudahan dan kepraktisan, Anda perlu mengubah matriksnya sehingga $1$ berada di pojok atas kolom terluar.

Untuk melakukan ini, ke baris pertama Anda perlu menambahkan baris dari tengah, dikalikan dengan $-1$, dan menulis garis tengah itu sendiri apa adanya, ternyata:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Lipat gandakan baris atas dan terakhir dengan $-1$, dan tukar juga baris terakhir dan tengah:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Dan bagi baris terakhir dengan $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Kami memperoleh sistem persamaan berikut, setara dengan yang asli:

$\begin(kasus) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(kasus)$

Dari persamaan atas kita nyatakan $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Contoh 2

Contoh penyelesaian sistem yang didefinisikan menggunakan matriks 4 kali 4 dengan menggunakan metode Gaussian

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Pada awalnya, kita menukar baris teratas yang mengikutinya untuk mendapatkan $1$ di sudut kiri atas:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Sekarang kalikan baris teratas dengan $-2$ dan tambahkan ke baris ke-2 dan ke-3. Ke baris ke-4 kita tambahkan baris ke-1, dikalikan dengan $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Sekarang pada baris nomor 3 kita tambahkan baris 2 dikalikan $4$, dan pada baris 4 kita tambahkan baris 2 dikalikan $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Kita mengalikan baris 2 dengan $-1$, dan membagi baris 4 dengan $3$ dan mengganti baris 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Sekarang kita tambahkan ke baris terakhir baris kedua dari belakang, dikalikan dengan $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Kami memecahkan sistem persamaan yang dihasilkan:

$\begin(kasus) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(kasus)$