Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, in uji coba, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari lembaga pemerintah di Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Dengan program matematika ini Anda dapat menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode substitusi dan metode penjumlahan.

Program tersebut tidak hanya memberikan jawaban terhadap permasalahan, tetapi juga memberi solusi terperinci dengan penjelasan langkah penyelesaiannya dengan dua cara yaitu metode substitusi dan metode penjumlahan.

Program ini mungkin berguna bagi siswa sekolah menengah atas di sekolah menengah sebagai persiapan tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan Anda sendiri. adik laki-laki atau saudara perempuan, sedangkan tingkat pendidikan di bidang masalah yang dipecahkan meningkat.

Aturan untuk memasukkan persamaan

Huruf Latin apa pun dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dll.

Saat memasukkan persamaan Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, persamaannya disederhanakan terlebih dahulu. Persamaan setelah penyederhanaan harus linier, yaitu. dari bentuk ax+by+c=0 dengan keakuratan urutan elemen.
Contoh: 6x+1 = 5(x+y)+2

Dalam persamaan, Anda tidak hanya dapat menggunakan bilangan bulat, tetapi juga pecahan dalam bentuk desimal dan pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian bilangan bulat dan pecahan di desimal dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Contoh: 2,1n + 3,5m = 55

Aturan memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &

Contoh.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Memecahkan sistem persamaan linear. Metode substitusi

Urutan tindakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode substitusi:
1) menyatakan satu variabel dari suatu persamaan sistem ke dalam persamaan lain;
2) substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan sistem lain sebagai pengganti variabel ini;

$$ \kiri\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \kanan. $$

Mari kita nyatakan y dalam bentuk x dari persamaan pertama: y = 7-3x. Mengganti ekspresi 7-3x ke dalam persamaan kedua alih-alih y, kita memperoleh sistem:
$$ \kiri\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \kanan. $$

Mudah untuk menunjukkan bahwa sistem pertama dan kedua mempunyai solusi yang sama. Pada sistem kedua, persamaan kedua hanya memuat satu variabel. Mari selesaikan persamaan ini:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Panah Kanan -5x+14-6x=3 \Panah Kanan -11x=-11 \Panah Kanan x=1 $$

Mengganti angka 1 sebagai pengganti x ke dalam persamaan y=7-3x, kita menemukan nilai y yang sesuai:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Panah Kanan y=4 $$

Pasangan (1;4) - solusi sistem

Sistem persamaan dua variabel yang penyelesaiannya sama disebut setara. Sistem yang tidak memiliki solusi juga dianggap setara.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan penjumlahan

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear - metode penjumlahan. Saat menyelesaikan sistem dengan cara ini, serta saat menyelesaikan dengan substitusi, kita berpindah dari sistem ini ke sistem lain yang setara, di mana salah satu persamaan hanya berisi satu variabel.

Urutan tindakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode penjumlahan:
1) mengalikan persamaan suku sistem dengan suku, memilih faktor sehingga koefisien salah satu variabel menjadi angka yang berlawanan;
2) menjumlahkan ruas kiri dan kanan persamaan sistem suku demi suku;
3) selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel;
4) temukan nilai yang sesuai dari variabel kedua.

Contoh. Mari kita selesaikan sistem persamaan:
$$ \kiri\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$

Dalam persamaan sistem ini, koefisien y adalah bilangan yang berlawanan. Dengan menjumlahkan ruas kiri dan kanan persamaan suku demi suku, kita memperoleh persamaan dengan satu variabel 3x=33. Mari kita ganti salah satu persamaan sistem, misalnya persamaan pertama, dengan persamaan 3x=33. Mari kita ambil sistemnya
$$ \kiri\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$

Dari persamaan 3x=33 kita menemukan bahwa x=11. Substitusikan nilai x ini ke persamaan \(x-3y=38\) kita peroleh persamaan dengan variabel y: \(11-3y=38\). Mari selesaikan persamaan ini:
\(-3y=27 \Panah Kanan y=-9 \)

Jadi, kami menemukan solusi sistem persamaan dengan penjumlahan: \(x=11; y=-9\) atau \((11;-9)\)

Memanfaatkan fakta bahwa dalam persamaan sistem koefisien untuk y adalah bilangan yang berlawanan, kami mereduksi solusinya menjadi solusi sistem ekuivalen (dengan menjumlahkan kedua ruas setiap persamaan sistem asal), di mana satu persamaan hanya berisi satu variabel.

instruksi

Metode penambahan.
Anda perlu menulis dua di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenang (dari sistem), masukkan angka 11 alih-alih “permainan” yang sudah ditemukan dan hitung yang tidak diketahui kedua:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawaban sistem persamaan ini adalah x=116, y=11.

Metode grafis.
Ini terdiri dari pencarian praktis koordinat titik di mana garis-garis ditulis secara matematis dalam sistem persamaan. Grafik kedua garis harus digambar secara terpisah dalam sistem koordinat yang sama. Pandangan umum: – y=khx+b. Untuk membuat garis lurus, cukup mencari koordinat dua titik, dan x dipilih secara sembarang.
Misalkan sistemnya diberikan: 2x – y=4

kamu=-3x+1.
Sebuah garis lurus dibuat menggunakan garis pertama, untuk memudahkannya harus dituliskan: y=2x-4. Temukan nilai (lebih mudah) untuk x, substitusikan ke dalam persamaan, selesaikan, dan temukan y. Kami mendapatkan dua titik di mana garis lurus dibangun. (Lihat gambar)
x 0 1

kamu -4 -2
Garis lurus dibuat menggunakan persamaan kedua: y=-3x+1.
Buat juga garis lurus. (Lihat gambar)

kamu 1 -5
Temukan koordinat titik potong dua garis yang dibangun pada grafik (jika garis-garis tersebut tidak berpotongan, maka sistem persamaan tidak ada - jadi).

Video tentang topik tersebut

Saran yang bermanfaat

Jika sistem persamaan yang sama diselesaikan dengan tiga cara yang berbeda, jawabannya akan sama (jika solusinya benar).

Sumber:

• aljabar kelas 8
• selesaikan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui secara online
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan mewakili sebuah koleksi notasi matematika, yang masing-masing berisi sejumlah variabel. Ada beberapa cara untuk mengatasinya.

Anda akan perlu

• -Penggaris dan pensil;
• -Kalkulator.

instruksi

Perhatikan barisan penyelesaian sistem yang terdiri dari persamaan linear berbentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Dimana x dan y adalah variabel yang tidak diketahui, dan b,c adalah suku bebas. Saat menerapkan metode ini, setiap sistem mewakili koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan setiap persamaan. Untuk memulainya, dalam setiap kasus, ekspresikan satu variabel ke dalam variabel lain. Kemudian atur variabel x ke sejumlah nilai berapa pun. Dua sudah cukup. Substitusikan ke dalam persamaan dan temukan y. Bangunlah sistem koordinat, tandai titik-titik yang dihasilkan di atasnya dan tarik garis melaluinya. Perhitungan serupa harus dilakukan untuk bagian lain dari sistem.

Sistem mempunyai solusi unik jika garis-garis yang dibangun berpotongan dan mempunyai satu titik yang sama. Tidak kompatibel jika sejajar satu sama lain. Dan ia memiliki banyak solusi yang tak terhingga ketika garis-garisnya bergabung satu sama lain.

Cara ini dinilai sangat visual. Kerugian utama adalah bahwa perhitungan yang tidak diketahui mempunyai nilai perkiraan. Hasil yang lebih akurat diberikan melalui apa yang disebut metode aljabar.

Solusi apa pun terhadap sistem persamaan patut untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang dihasilkan dengan variabel. Anda juga dapat menemukan solusinya menggunakan beberapa metode. Jika solusi sistemnya benar, maka semua orang akan mendapatkan hasil yang sama.

Seringkali ada persamaan yang salah satu sukunya tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan, Anda perlu mengingat dan melakukan serangkaian tindakan tertentu dengan angka-angka ini.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena atau pensil.

instruksi

Bayangkan ada 8 ekor kelinci di depan Anda, dan Anda hanya memiliki 5 wortel. Coba pikirkan, Anda masih perlu membeli lebih banyak wortel agar setiap kelinci mendapat satu.

Mari kita nyatakan soal ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita substitusikan angka 3 ke tempat x. Memang, 5 + 3 = 8.

Saat Anda mensubstitusi suatu bilangan dengan x, Anda melakukan hal yang sama seperti saat Anda mengurangkan 5 dari 8. Jadi, untuk mencari tidak dikenal suku, kurangi suku yang diketahui dari jumlah tersebut.

Misalkan Anda mempunyai 20 ekor kelinci dan hanya 5 wortel. Mari kita berbaikan. Persamaan adalah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai-nilai tertentu dari huruf-huruf yang ada di dalamnya. Huruf-huruf yang perlu dicari maknanya disebut . Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, sebut saja x. Saat menyelesaikan soal kelinci, kita mendapatkan persamaan berikut: 5 + x = 20.

Mari kita cari selisih antara 20 dan 5. Saat mengurangkan, bilangan yang dikurangi adalah bilangan yang dikurangi. Bilangan yang dikurangkan disebut , dan hasil akhir disebut perbedaan. Jadi x = 20 – 5; x = 15. Kamu perlu membeli 15 wortel untuk kelincinya.

Periksa: 5 + 15 = 20. Persamaan terselesaikan dengan benar. Tentu saja, jika menyangkut hal sederhana seperti itu, pemeriksaan tidak perlu dilakukan. Namun, ketika Anda memiliki persamaan dengan angka tiga digit, empat digit, dan seterusnya, Anda pasti perlu memeriksanya untuk benar-benar yakin dengan hasil pekerjaan Anda.

Video tentang topik tersebut

Saran yang bermanfaat

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurang pada selisihnya.

Untuk mencari pengurang yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangkan selisihnya dari minuend.

Tip 4: Cara menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui

Suatu sistem yang terdiri dari tiga persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui mungkin tidak memiliki solusi, meskipun jumlah persamaannya mencukupi. Anda dapat mencoba menyelesaikannya dengan menggunakan metode substitusi atau menggunakan metode Cramer. Metode Cramer, selain menyelesaikan sistem, memungkinkan Anda mengevaluasi apakah sistem dapat dipecahkan sebelum menemukan nilai yang tidak diketahui.

instruksi

Metode substitusi terdiri dari satu hal yang tidak diketahui melalui dua hal lainnya secara berurutan dan mensubstitusi hasil yang dihasilkan ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan pandangan umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Nyatakan x dari persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga, lalu nyatakan y dari persamaan kedua dan substitusikan ke persamaan ketiga. Anda akan memperoleh ekspresi linier untuk z melalui koefisien persamaan sistem. Sekarang lakukan “mundur”: substitusikan z ke persamaan kedua dan cari y, lalu substitusikan z dan y ke persamaan pertama dan selesaikan x. Prosesnya umumnya ditunjukkan pada gambar sebelum menemukan z. Penulisan lebih lanjut dalam bentuk umum akan terlalu rumit; dalam praktiknya, dengan mengganti , Anda dapat dengan mudah menemukan ketiga hal yang tidak diketahui.

Metode Cramer terdiri dari membangun matriks sistem dan menghitung determinan matriks tersebut, serta tiga matriks tambahan lainnya. Matriks sistem terdiri dari koefisien suku-suku persamaan yang tidak diketahui. Kolom berisi angka-angka di ruas kanan persamaan, kolom di ruas kanan. Itu tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan saat menyelesaikan sistem.

Video tentang topik tersebut

catatan

Semua persamaan dalam sistem harus memberikan informasi tambahan yang tidak bergantung pada persamaan lainnya. Jika tidak, sistem akan tidak dapat ditentukan dan solusi yang pasti tidak akan dapat ditemukan.

Saran yang bermanfaat

Setelah menyelesaikan sistem persamaan, substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam sistem asli dan periksa apakah memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaannya dengan tiga tidak dikenal memiliki banyak solusi, sehingga paling sering dilengkapi dengan dua persamaan atau kondisi lagi. Tergantung pada data awalnya, jalannya pengambilan keputusan akan sangat bergantung.

Anda akan perlu

• - sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui.

instruksi

Jika dua dari tiga sistem hanya mempunyai dua dari tiga variabel yang tidak diketahui, cobalah nyatakan beberapa variabel dalam variabel lain dan substitusikan ke dalam persamaannya dengan tiga tidak dikenal. Tujuan Anda dalam hal ini adalah mengubahnya menjadi normal persamaannya dengan orang yang tidak dikenal. Jika ya, solusi selanjutnya cukup sederhana - substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan lain dan temukan semua nilai yang tidak diketahui lainnya.

Beberapa sistem persamaan dapat dikurangkan dari satu persamaan ke persamaan lainnya. Lihat apakah mungkin untuk mengalikan salah satu atau suatu variabel sehingga dua variabel yang tidak diketahui dihilangkan sekaligus. Jika ada peluang seperti itu, manfaatkanlah, kemungkinan besar solusi selanjutnya tidak akan sulit. Jangan lupa bahwa saat mengalikan suatu bilangan, Anda harus mengalikannya dengan sisi kiri, dan yang benar. Begitu pula saat mengurangkan persamaan, perlu diingat hal itu bagian kanan juga harus dikurangi.

Jika metode sebelumnya tidak membantu, gunakan secara umum solusi untuk persamaan apa pun dengan tiga tidak dikenal. Caranya, tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sekarang buatlah matriks koefisien untuk x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks variabel bebas (B). Perlu diketahui bahwa dengan mengalikan matriks koefisien dengan matriks yang tidak diketahui, diperoleh matriks suku bebas, yaitu A*X=B.

Carilah matriks A pangkat (-1) dengan terlebih dahulu mencari , perhatikan bahwa matriks tersebut tidak boleh sama dengan nol. Setelah itu, kalikan matriks yang dihasilkan dengan matriks B, sebagai hasilnya Anda akan mendapatkan matriks X yang diinginkan, yang menunjukkan semua nilai.

Anda juga dapat menemukan solusi sistem tiga persamaan menggunakan metode Cramer. Untuk melakukannya, cari determinan orde ketiga ∆ yang bersesuaian dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut temukan tiga determinan lagi ∆1, ∆2 dan ∆3, dengan mengganti nilai suku bebas dengan nilai kolom yang bersesuaian. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• solusi persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui

Saat mulai menyelesaikan sistem persamaan, cari tahu jenis persamaannya. Metode penyelesaian persamaan linear telah dipelajari dengan cukup baik. Persamaan nonlinier seringkali tidak terselesaikan. Hanya ada satu kasus khusus, yang masing-masing bersifat individual. Oleh karena itu, pembelajaran teknik penyelesaian harus dimulai dengan persamaan linier. Persamaan seperti itu bahkan dapat diselesaikan secara algoritmik murni.

instruksi

Mulailah proses belajar Anda dengan mempelajari cara menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui X dan Y melalui eliminasi. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Koefisien persamaan ditunjukkan dengan indeks yang menunjukkan lokasinya. Jadi, koefisien a21 menekankan fakta bahwa koefisien tersebut ditulis di tempat pertama pada persamaan kedua. Dalam notasi yang berlaku umum, sistem ditulis dengan persamaan yang terletak satu di bawah yang lain dan dilambangkan dengan tanda kurung kurawal di kanan atau kiri (untuk lebih jelasnya lihat Gambar 1a).

Penomoran persamaan bisa berubah-ubah. Pilihlah yang paling sederhana, misalnya yang salah satu variabelnya diawali dengan koefisien 1 atau paling tidak bilangan bulat. Jika ini adalah persamaan (1), selanjutnya nyatakan, katakanlah, Y yang tidak diketahui dalam bentuk X (kasus tidak termasuk Y). Untuk melakukannya, ubah (1) ke bentuk a12*Y=b1-a11*X (atau a11*X=b1-a12*Y jika tidak termasuk X)), lalu Y=(b1-a11*X)/a12 . Substitusi persamaan terakhir ke persamaan (2) tulis a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Selesaikan persamaan ini untuk X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) atau X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Dengan menggunakan koneksi yang ditemukan antara Y dan X, Anda akhirnya akan mendapatkan Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) kedua yang tidak diketahui.

Jika sistem ditentukan dengan koefisien numerik tertentu, maka perhitungannya tidak akan terlalu rumit. Tetapi solusi umum memungkinkan kita untuk mempertimbangkan fakta bahwa hal-hal yang tidak diketahui yang ditemukan adalah persis sama. Ya, dan pembilangnya menunjukkan beberapa pola dalam konstruksinya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar dari dua, maka metode eliminasi akan menghasilkan perhitungan yang sangat rumit. Untuk menghindarinya, solusi algoritmik murni telah dikembangkan. Yang paling sederhana adalah algoritma Cramer (rumus Cramer). Karena kamu harus mencari tahu sistem umum persamaan dari n persamaan.

Suatu sistem yang terdiri dari n persamaan aljabar linier dengan n persamaan yang tidak diketahui memiliki bentuk (lihat Gambar 1a). Di dalamnya, аij adalah koefisien sistem,
xj – tidak diketahui, bi – suku bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem seperti itu dapat ditulis secara kompak dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A adalah matriks koefisien sistem, X adalah matriks kolom yang tidak diketahui, B adalah matriks kolom suku bebas (lihat Gambar 1b). Menurut metode Cramer, setiap xi yang tidak diketahui =∆i/∆ (i=1,2…,n). Penentu ∆ matriks koefisien disebut matriks utama, dan ∆i disebut matriks bantu. Untuk setiap yang tidak diketahui, determinan bantu dicari dengan mengganti kolom ke-i determinan utama dengan kolom suku bebas. Metode Cramer untuk kasus sistem orde kedua dan ketiga disajikan secara rinci pada Gambar. 2.

Sistem adalah kombinasi dari dua atau lebih persamaan, yang masing-masing berisi dua atau lebih persamaan yang tidak diketahui. Ada dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang digunakan di dalamnya kurikulum sekolah. Salah satunya disebut metode, yang lainnya disebut metode penjumlahan.

Bentuk standar sistem dua persamaan

Penyelesaian sistem menggunakan metode penjumlahan

Misalnya, suatu sistem yang terdiri dari dua persamaan diberikan. Yang pertama berbentuk 2x+4y=8, yang kedua berbentuk 6x+2y=6. Salah satu opsi untuk menyelesaikan tugas adalah dengan mengalikan persamaan kedua dengan koefisien -2, yang akan menghasilkan bentuk -12x-4y=-12. Pilihan yang tepat koefisien adalah salah satu tugas utama dalam proses penyelesaian suatu sistem dengan penjumlahan, karena menentukan keseluruhan langkah lebih lanjut prosedur untuk menemukan hal yang tidak diketahui.

Sekarang kita perlu menambahkan dua persamaan sistem. Jelasnya, saling pemusnahan variabel-variabel yang koefisiennya sama nilainya tetapi berlawanan tanda akan menghasilkan bentuk -10x=-4. Setelah itu, persamaan sederhana ini perlu diselesaikan, yang dengan jelas menyatakan bahwa x = 0,4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian adalah mensubstitusi nilai yang ditemukan dari salah satu variabel ke dalam persamaan asli yang tersedia dalam sistem. Misalnya, dengan mensubstitusi x=0,4 ke dalam persamaan pertama, Anda akan memperoleh persamaan 2*0,4+4y=8, yang menghasilkan y=1,8. Jadi, x=0,4 dan y=1,8 adalah akar-akar sistem contoh.

Untuk memastikan bahwa akar-akarnya ditemukan dengan benar, ada baiknya untuk memeriksa dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam persamaan kedua sistem. Misalnya, dalam kasus ini kita mendapatkan persamaan bentuk 0.4*6+1.8*2=6, yang mana benar.

Video tentang topik tersebut

Kita sudah familiar dengan konsep persamaan linear dalam dua hal yang tidak diketahui. Persamaan dapat hadir dalam satu soal baik secara individual atau beberapa persamaan sekaligus. Dalam kasus seperti itu, persamaan digabungkan menjadi sistem persamaan.

Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear

Sistem persamaan- ini adalah dua atau lebih persamaan yang semua solusi umumnya perlu dicari. Biasanya, untuk menulis sistem persamaan, ditulis dalam kolom dan digambar satu tanda kurung kurawal. Rekaman sistem persamaan linear disajikan di bawah ini.

( 4x + 3 tahun = 6
( 2x + kamu = 4

Entri ini berarti bahwa sistem dua persamaan dengan dua variabel diberikan. Jika ada tiga persamaan dalam sistem, maka yang kita bicarakan adalah sistem tiga persamaan. Dan seterusnya untuk sejumlah persamaan.

Jika semua persamaan yang ada dalam suatu sistem adalah linier, maka dikatakan sistem persamaan linier tersebut diberikan. Pada contoh di atas, disajikan sistem dua persamaan linier. Seperti disebutkan di atas, sistem mungkin memiliki solusi umum. Kita akan membahas istilah “solusi umum” di bawah ini.

Apa solusinya?

Penyelesaian sistem dua persamaan yang dua variabelnya tidak diketahui adalah sepasang bilangan (x,y) sehingga jika bilangan-bilangan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, maka masing-masing persamaan sistem tersebut menjadi persamaan sejati.

Misalnya, kita mempunyai sistem dua persamaan linear. Penyelesaian persamaan pertama adalah semua pasangan bilangan yang memenuhi persamaan tersebut.

Untuk persamaan kedua, solusinya adalah pasangan bilangan yang memenuhi persamaan tersebut. Jika terdapat pasangan bilangan yang memenuhi persamaan pertama dan kedua, maka pasangan bilangan tersebut merupakan penyelesaian sistem dua persamaan linier dalam dua bilangan yang tidak diketahui.

Solusi grafis

Secara grafis, penyelesaian persamaan linier adalah semua titik pada suatu garis pada bidang.

Untuk sistem persamaan linier, kita akan mempunyai beberapa garis lurus (sesuai dengan banyaknya persamaan). Dan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah titik perpotongan SEMUA garis. Jika tidak ada titik seperti itu, maka sistem tidak akan mempunyai solusi. Titik perpotongan semua garis adalah milik masing-masing garis tersebut, oleh karena itu penyelesaiannya disebut umum.

Omong-omong, buat grafik persamaan sistem dan temukan mereka poin umum, ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan. Metode ini disebut grafis.

Cara lain untuk menyelesaikan persamaan linear

Ada cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui.

Sistem persamaan banyak digunakan di sektor ekonomi untuk pemodelan matematika berbagai proses. Misalnya dalam memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, jalur logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah untuk menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linier adalah dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang memerlukan penyelesaian bersama. Suatu barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan yang benar atau membuktikan bahwa barisan tersebut tidak ada.

Persamaan linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang belum diketahui yang harus dicari nilainya, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan tersebut.
Menyelesaikan persamaan dengan memplotnya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya merupakan solusi polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Contoh paling sederhana adalah sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, dimana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Selesaikan sistem persamaan - ini berarti menemukan nilai (x, y) di mana sistem berubah menjadi persamaan yang benar atau menetapkan bahwa nilai x dan y yang sesuai tidak ada.

Sepasang nilai (x, y) yang ditulis sebagai koordinat suatu titik disebut penyelesaian sistem persamaan linier.

Jika sistem mempunyai satu solusi yang sama atau tidak ada solusi, maka sistem tersebut disebut ekuivalen.

Sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika ruas kanan setelah tanda sama dengan mempunyai nilai atau dinyatakan dengan fungsi, maka sistem tersebut heterogen.

Jumlah variabelnya bisa lebih dari dua, maka kita harus membicarakan contoh sistem persamaan linear dengan tiga variabel atau lebih.

Ketika dihadapkan pada sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, namun kenyataannya tidak demikian. Banyaknya persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabelnya, bisa sebanyak yang diinginkan.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada metode analitik umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu; semua metode didasarkan pada solusi numerik. DI DALAM kursus sekolah matematika, metode seperti permutasi, penjumlahan aljabar, substitusi, serta grafik dan metode matriks, solusi dengan metode Gaussian.

Tugas utama ketika mengajarkan metode solusi adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritma solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi memahami prinsip-prinsip penggunaan metode tertentu

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear program kelas 7 sekolah Menengah cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat rinci. Dalam buku teks matematika mana pun, bagian ini mendapat perhatian yang cukup. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari lebih detail pada tahun-tahun pertama pendidikan tinggi.

Sistem penyelesaiannya menggunakan metode substitusi

Tindakan metode substitusi bertujuan untuk menyatakan nilai suatu variabel dalam variabel kedua. Ekspresi tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk dengan satu variabel. Tindakan ini diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita berikan penyelesaian contoh sistem persamaan linear kelas 7 dengan menggunakan metode substitusi:

Seperti dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu memperoleh satu variabel Y di persamaan ke-2 . Larutan contoh ini tidak menimbulkan kesulitan dan memungkinkan Anda memperoleh nilai Y. Langkah terakhir Ini adalah pemeriksaan nilai yang diterima.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan substitusi. Persamaannya bisa jadi rumit dan menyatakan variabel dalam bentuk variabel kedua yang tidak diketahui akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Jika terdapat lebih dari 3 hal yang tidak diketahui dalam sistem, penyelesaian dengan substitusi juga tidak tepat.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaiannya menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem menggunakan metode penjumlahan, persamaan dijumlahkan suku demi suku dan dikalikan dengan berbagai bilangan. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dalam satu variabel.

Penerapan metode ini memerlukan latihan dan observasi. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode penjumlahan jika terdapat 3 variabel atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar mudah digunakan jika persamaan mengandung pecahan dan desimal.

Algoritma solusi:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan angka tertentu. Sebagai hasil dari operasi aritmatika, salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
2. Tambahkan ekspresi yang dihasilkan suku demi suku dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
3. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 sistem untuk mencari variabel yang tersisa.

Metode penyelesaian dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem memerlukan penyelesaian tidak lebih dari dua persamaan; jumlah persamaan yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode tersebut digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan untuk variabel yang tidak diketahui, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Contoh menunjukkan bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi trinomial kuadrat standar. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Kita perlu mencari nilai diskriminan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah faktor polinomial. Pada contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan lebih kecil dari nol, maka ada satu solusi: x = -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penjumlahan.

Metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk 3 sistem persamaan. Metodenya terdiri dari membuat grafik setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva dan adalah keputusan umum sistem.

Metode grafis memiliki sejumlah nuansa. Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear secara visual.

Terlihat dari contoh, untuk setiap garis dibangun dua titik, nilai variabel x dipilih secara sembarang: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, ditemukan nilai y: 3 dan 0. Titik-titik yang koordinatnya (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan sebuah garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulangi untuk persamaan kedua. Titik potong garis tersebut merupakan penyelesaian sistem.

Contoh berikut memerlukan temuan solusi grafis sistem persamaan linear: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti dapat dilihat dari contoh, sistem tidak mempunyai solusi karena grafik-grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang keseluruhannya.

Sistem dari contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun menjadi jelas bahwa solusinya berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah suatu sistem mempunyai solusi atau tidak; selalu perlu untuk membuat grafik.

Matriks dan ragamnya

Matriks digunakan untuk catatan pendek sistem persamaan linear. Matriks adalah tabel tipe khusus diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks berbentuk persegi jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks yang mempunyai satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Matriks yang mempunyai elemen nol pada salah satu diagonalnya dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks invers adalah matriks yang jika dikalikan matriks aslinya berubah menjadi matriks satuan; matriks seperti itu hanya ada untuk matriks persegi aslinya.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Sehubungan dengan sistem persamaan, koefisien dan suku bebas persamaan ditulis sebagai bilangan matriks; satu persamaan adalah satu baris matriks.

Suatu baris matriks dikatakan bukan nol jika paling sedikit salah satu elemen baris tersebut tidak nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabelnya berbeda, maka nol harus dimasukkan sebagai pengganti variabel yang tidak diketahui.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Artinya koefisien variabel x hanya dapat ditulis pada satu kolom, misalnya kolom pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya pada kolom kedua.

Saat mengalikan suatu matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan suatu bilangan.

Pilihan untuk mencari matriks invers

Rumus mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, dimana K -1 - matriks terbalik, dan |K| adalah determinan matriks. |K| tidak boleh sama dengan nol, maka sistem mempunyai solusi.

Penentunya mudah dihitung untuk matriks dua-dua; Anda hanya perlu mengalikan elemen diagonalnya dengan satu sama lain. Untuk pilihan “tiga kali tiga” terdapat rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom agar jumlah kolom dan baris elemen tidak terulang dalam pekerjaan.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan Anda mengurangi entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan jumlah besar variabel dan persamaan.

Pada contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriksnya adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian

DI DALAM matematika yang lebih tinggi Metode Gaussian dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses pencarian solusi sistem disebut metode solusi Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel sistem dengan jumlah persamaan linier yang banyak.

Metode Gauss sangat mirip dengan penyelesaian dengan substitusi dan penjumlahan aljabar, namun lebih sistematis. Dalam pembelajaran sekolah, penyelesaian dengan metode Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk mereduksi sistem menjadi bentuk trapesium terbalik. Melalui transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 variabel yang tidak diketahui, sedangkan 3 dan 4 masing-masing memiliki 3 dan 4 variabel.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel-variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah kelas 7, contoh penyelesaian dengan metode Gauss dijelaskan sebagai berikut:

Seperti terlihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan: 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Menyelesaikan salah satu persamaan akan memungkinkan Anda menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5 yang disebutkan dalam teks menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan persamaan ekuivalen, maka sistem yang dihasilkan juga ekuivalen dengan persamaan aslinya.

Metode Gauss sulit dipahami siswa sekolah menengah atas, tapi merupakan salah satu yang paling banyak cara yang menarik untuk mengembangkan kecerdikan anak yang mengikuti program studi lanjutan pada kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan pencatatan, perhitungan biasanya dilakukan sebagai berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, dimana setiap baris matriks tersebut sesuai dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka romawi menunjukkan banyaknya persamaan dalam sistem.

Pertama, tuliskan matriks yang akan dikerjakan, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan operasi aljabar yang diperlukan dilanjutkan hingga hasilnya tercapai.

Hasilnya harus berupa matriks yang salah satu diagonalnya sama dengan 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi bentuk satuan. Kita tidak boleh lupa melakukan perhitungan dengan angka di kedua sisi persamaan.

Metode pencatatan ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan membuat daftar banyak hal yang tidak diketahui.

Penggunaan metode solusi apa pun secara gratis akan memerlukan kehati-hatian dan pengalaman. Tidak semua metode bersifat terapan. Beberapa metode untuk menemukan solusi lebih disukai dalam bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pendidikan.