İrrasyonel denklemlerin çözümü. İrrasyonel denklemler nasıl çözülür? Örnekler

Cebir çalışırken okul çocukları birçok denklem türüyle karşı karşıya kalır. En basitleri arasında bir bilinmeyen içeren doğrusal olanlardır. Matematiksel ifadedeki bir değişken belirli bir güce yükseltilirse denklem ikinci dereceden, kübik, iki ikinci dereceden vb. olarak adlandırılır. Bu ifadeler rasyonel sayılar içerebilir. Ancak irrasyonel denklemler de var. Bilinmeyenlerin radikal işaretin altında olduğu bir fonksiyonun varlığıyla diğerlerinden farklıdırlar (yani, tamamen harici olarak buradaki değişken, karekök altında yazılmış olarak görülebilir). İrrasyonel denklemleri çözmenin kendine has karakteristik özellikleri vardır. Doğru cevabı elde etmek için bir değişkenin değeri hesaplanırken bunların dikkate alınması gerekir.

"Kelimelerle Anlatılamaz"

Eski matematikçilerin esas olarak rasyonel sayılarla çalıştıkları bir sır değil. Bunlar, bilindiği gibi, belirli bir topluluğun temsilcileri olan sıradan ve ondalık periyodik kesirler aracılığıyla ifade edilen tam sayıları içerir. Ancak Orta ve Yakın Doğu'nun yanı sıra Hindistan'ın trigonometri, astronomi ve cebir geliştiren bilim adamları da irrasyonel denklemleri çözmeyi öğrendiler. Örneğin Yunanlılar benzer nicelikleri biliyorlardı ama bunları sözel hale getirerek “ifade edilemeyen” anlamına gelen “alogos” kavramını kullanmışlardı. Bir süre sonra Avrupalılar onları taklit ederek bu sayıları “sağır” olarak adlandırdılar. Yalnızca sonsuz, periyodik olmayan bir kesir biçiminde temsil edilebilmeleri bakımından diğerlerinden farklıdırlar; bunun nihai sayısal ifadesinin elde edilmesi kesinlikle imkansızdır. Bu nedenle, daha sık olarak sayılar krallığının bu tür temsilcileri, ikinci veya daha yüksek derecenin kökü altında bulunan bir tür ifade olarak sayılar ve işaretler şeklinde yazılır.

Yukarıdakilere dayanarak irrasyonel bir denklem tanımlamaya çalışalım. Bu tür ifadeler, karekök işareti kullanılarak yazılan "ifade edilemeyen sayılar" olarak adlandırılanları içerir. Her türden oldukça karmaşık seçenekler olabilirler, ancak en basit halleriyle aşağıdaki fotoğraftakine benzerler.

İrrasyonel denklemleri çözmeye başlarken öncelikle değişkenin izin verilen değerlerinin aralığını hesaplamak gerekir.

İfade anlamlı mı?

Elde edilen değerlerin kontrol edilmesi ihtiyacı özelliklerden kaynaklanmaktadır.Bilindiği gibi böyle bir ifade ancak belirli koşullar altında kabul edilebilir ve bir anlam taşıyabilir. Çift dereceli kökler durumunda, tüm radikal ifadeler pozitif veya sıfıra eşit olmalıdır. Bu koşul karşılanmazsa sunulan matematiksel gösterim anlamlı kabul edilemez.

İrrasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğine dair özel bir örnek verelim (aşağıdaki resimde).

Bu durumda istenilen değerin kabul ettiği herhangi bir değer için belirtilen koşulların sağlanamayacağı açıktır, çünkü 11 ≤ x ≤ 4 ortaya çıkmaktadır. Bu da yalnızca Ø'nin çözüm olabileceği anlamına gelmektedir.

Analiz yöntemi

Yukarıdakilerden bazı irrasyonel denklem türlerinin nasıl çözüleceği açıkça ortaya çıkıyor. Burada basit bir analiz etkili bir yol olabilir.

Bunu yine net bir şekilde ortaya koyacak birkaç örnek verelim (aşağıdaki resim).

Birinci durumda, ifade dikkatle incelendiğinde bunun doğru olamayacağı son derece açık bir şekilde ortaya çıkar. Aslında eşitliğin sol tarafı pozitif bir sayıyla sonuçlanmalıdır ve bu sayının -1'e eşit olması mümkün değildir.

İkinci durumda, iki pozitif ifadenin toplamı ancak x - 3 = 0 ve x + 3 = 0 aynı anda olduğunda sıfıra eşit kabul edilebilir. Ve bu yine imkansızdır. Bu da cevabın yine Ø yazılması gerektiği anlamına geliyor.

Üçüncü örnek daha önce tartışılana çok benzer. Aslında burada ODZ'nin koşulları şu saçma eşitsizliğin sağlanmasını gerektirir: 5 ≤ x ≤ 2. Ve böyle bir denklemin de aynı şekilde mantıklı çözümleri olamaz.

Sınırsız yakınlaştırma

İrrasyonelliğin doğası en açık ve tam olarak ancak sonsuz ondalık sayılar dizisi aracılığıyla açıklanabilir ve bilinebilir. Bu ailenin üyelerinin spesifik ve çarpıcı bir örneği pi'dir. Bu matematiksel sabitin eski çağlardan beri bilinmesi, bir dairenin çevresinin ve alanının hesaplanmasında kullanılması sebepsiz değildir. Ancak Avrupalılar arasında ilk kez İngiliz William Jones ve İsviçreli Leonard Euler tarafından uygulamaya konuldu.

Bu sabit şu şekilde ortaya çıkar. Farklı çevrelerdeki daireleri karşılaştırırsak, uzunluklarının ve çaplarının oranının mutlaka aynı sayıya eşit olması gerekir. Bu pi'dir. Sıradan bir kesirle ifade edersek yaklaşık olarak 22/7 elde ederiz. Bu ilk olarak yukarıdaki şekilde portresi gösterilen büyük Arşimet tarafından yapılmıştır. Bu yüzden böyle bir sayı onun adını aldı. Ancak bu açık bir değer değil, belki de sayıların en şaşırtıcısının yaklaşık değeridir. Parlak bir bilim adamı istenen değeri 0,02 doğrulukla buldu, ancak aslında bu sabitin gerçek bir anlamı yok ve şu şekilde ifade ediliyor: 3.1415926535... Bu, bazı efsanevi değere sonsuza kadar yaklaşan sonsuz bir sayı dizisidir.

Kare alma

Ama irrasyonel denklemlere dönelim. Bu durumda bilinmeyeni bulmak için genellikle basit bir yönteme başvurulur: mevcut eşitliğin her iki tarafının karesi alınır. Bu yöntem genellikle iyi sonuçlar verir. Ancak irrasyonel miktarların sinsiliği dikkate alınmalıdır. Bunun sonucunda elde edilen tüm köklerin uygun olmayabileceği için kontrol edilmesi gerekir.

Ancak örneklere bakmaya devam edelim ve yeni önerilen yöntemi kullanarak değişkenleri bulmaya çalışalım.

Vieta teoremini kullanarak, belirli işlemler sonucunda ikinci dereceden bir denklem oluşturduktan sonra istenilen miktar değerlerini bulmak hiç de zor değil. Burada kökler arasında 2 ve -19 olacağı ortaya çıkıyor. Ancak kontrol ederken, ortaya çıkan değerleri orijinal ifadeye yerleştirirken, bu köklerin hiçbirinin uygun olmadığından emin olabilirsiniz. Bu irrasyonel denklemlerde sık karşılaşılan bir durumdur. Bu, ikilemimizin yine hiçbir çözümü olmadığı ve cevabın boş bir kümeyi göstermesi gerektiği anlamına gelir.

Daha karmaşık örnekler

Bazı durumlarda bir ifadenin her iki tarafının karesini bir kez değil birkaç kez almak gerekir. Bunun gerekli olduğu örneklere bakalım. Aşağıda görülebilirler.

Kökleri aldıktan sonra onları kontrol etmeyi unutmayın çünkü fazladan olanlar görünebilir. Bunun neden mümkün olduğu açıklanmalıdır. Bu yöntemi uygularken denklem bir miktar rasyonelleştirilir. Ancak bizi aritmetik işlemler yapmaktan alıkoyan hoşlanmadığımız köklerden kurtularak, (anlaşılabileceği gibi) sonuçlarla dolu olan mevcut anlam yelpazesini genişletiyor gibiyiz. Bunu öngörerek bir kontrol yapıyoruz. Bu durumda köklerden yalnızca birinin uygun olduğundan emin olma şansı vardır: x = 0.

Sistemler

İrrasyonel denklem sistemlerini çözmemiz gerektiği ve elimizde bir değil iki bilinmeyenin olduğu durumlarda ne yapmalıyız? Burada sıradan durumlarda olduğu gibi hareket ediyoruz ancak bu matematiksel ifadelerin yukarıdaki özelliklerini dikkate alıyoruz. Ve her yeni görevde elbette yaratıcı bir yaklaşım kullanmalısınız. Ancak yine de, aşağıda sunulan spesifik örneği kullanarak her şeyi düşünmek daha iyidir. Burada sadece x ve y değişkenlerini bulmanız değil, aynı zamanda cevapta bunların toplamını da belirtmeniz gerekir. Yani irrasyonel miktarları içeren bir sistem var (aşağıdaki fotoğrafa bakın).

Gördüğünüz gibi böyle bir görev doğaüstü derecede zor bir şeyi temsil etmiyor. Sadece akıllı olmanız ve ilk denklemin sol tarafının toplamın karesi olduğunu tahmin etmeniz gerekiyor. Benzer görevler Birleşik Devlet Sınavında da bulunur.

Matematikte irrasyonellik

Bazı denklemleri çözmek için yeterli “boşluğa” sahip olmayan insanlık arasında her defasında yeni sayı türleri yaratma ihtiyacı ortaya çıktı. İrrasyonel sayılar bir istisna değildir. Tarihin gerçeklerinin de gösterdiği gibi, büyük bilgeler buna ilk kez çağımızdan önce, 7. yüzyılda dikkat çekmişlerdir. Bu, Hindistan'dan Manava olarak bilinen bir matematikçi tarafından yapıldı. Bazı doğal sayılardan kök çıkarmanın imkansız olduğunu açıkça anlamıştı. Örneğin bunlar arasında 2; 17 veya 61 ve diğerleri.

Pisagorculardan Hippasus adlı düşünür, pentagramın kenarlarının sayısal ifadelerini kullanarak hesaplamalar yapmaya çalışarak aynı sonuca vardı. Sayısal değerlerle ifade edilemeyen ve sıradan sayıların özelliklerine sahip olmayan matematiksel unsurları keşfederek meslektaşlarını o kadar kızdırdı ki, gemiden denize atıldı. Gerçek şu ki, diğer Pisagorcular onun akıl yürütmesini evrenin yasalarına karşı bir isyan olarak görüyorlardı.

Radikalin İşareti: Evrim

"Sağır" sayıların sayısal değerini ifade eden kök işareti, irrasyonel eşitsizliklerin ve denklemlerin çözümünde hemen kullanılmaya başlanmadı. Avrupalı, özellikle de İtalyan matematikçiler radikal hakkında ilk kez 13. yüzyılda düşünmeye başladılar. Aynı zamanda, Latin R'yi atama için kullanma fikri ortaya çıktı, ancak Alman matematikçiler çalışmalarında farklı davrandılar. V harfini daha çok sevdiler.Almanya'da, 2, 3 vb.'nin karekökünü ifade etmesi amaçlanan V(2), V(3) tanımı kısa sürede yayıldı. Daha sonra Hollandalılar müdahale ederek radikalin burcunu değiştirdi. Ve Rene Descartes, karekök işaretini modern mükemmelliğe taşıyarak evrimi tamamladı.

Mantıksız olandan kurtulmak

İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler yalnızca karekök işaretinin altında bir değişken içeremez. Herhangi bir derecede olabilir. Bundan kurtulmanın en yaygın yolu denklemin her iki tarafını da uygun kuvvete yükseltmektir. Bu, irrasyonel operasyonlarda yardımcı olan ana eylemdir. Çift sayılı durumlardaki eylemler daha önce tartıştığımız eylemlerden özellikle farklı değildir. Burada radikal ifadenin negatif olmama koşulları dikkate alınmalı ve çözümün sonunda, daha önce ele alınan örneklerde gösterildiği gibi değişkenlerin yabancı değerlerinin filtrelenmesi gerekir. .

Doğru cevabı bulmaya yardımcı olan ek dönüşümler arasında sıklıkla ifadenin eşleniğiyle çarpılması kullanılır ve ayrıca çözümü kolaylaştıran yeni bir değişkenin tanıtılması da sıklıkla gerekli olur. Bazı durumlarda bilinmeyenlerin değerini bulmak için grafiklerin kullanılması tavsiye edilir.

Ders özeti

"İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri"

11. sınıf fizik ve matematik profili.

Tataristan Cumhuriyeti'nin Zelenodolsk belediye bölgesi"

Valieva S.Z.

Ders konusu: İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri

Dersin amacı: 1. İrrasyonel denklemleri çözmenin farklı yollarını inceleyin.

1. 
   İrrasyonel denklemleri çözmek için genelleme ve doğru yöntemleri seçme yeteneğini geliştirin.
2. 
   Bağımsızlığı geliştirin, konuşma okuryazarlığını geliştirin

Ders türü: seminer.
Ders planı:

1. 
   Zamanı organize etmek
2. 
   Yeni materyal öğrenme
3. 
   Konsolidasyon
4. 
   Ev ödevi
5. 
   Ders özeti

Dersler sırasında
BEN. Organizasyon zamanı: dersin konusunun mesajı, dersin amacı.

Önceki derste, karekök içeren irrasyonel denklemlerin karelerini alarak çözmeye baktık. Bu durumda bazen yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olan bir sonuç denklemi elde ederiz. Ve sonra denklemi çözmenin zorunlu bir kısmı kökleri kontrol etmektir. Ayrıca karekök tanımını kullanarak denklem çözmeye de baktık. Bu durumda kontrol yapılamayabilir. Bununla birlikte, denklemleri çözerken, denklemi çözmek için algoritmaları her zaman hemen "körü körüne" uygulamaya başlamamalısınız. Birleşik Devlet Sınavının görevlerinde oldukça fazla sayıda denklem vardır; bunları çözerken, denklemleri daha kolay ve daha hızlı çözmenize olanak tanıyan bir çözüm yöntemi seçmeniz gerekir. Bu nedenle irrasyonel denklemlerin çözümü için bugün tanışacağımız diğer yöntemleri bilmek gerekir. Daha önce sınıf 8 yaratıcı gruba ayrılmıştı ve belirli bir yöntemin özünü ortaya çıkarmak için onlara belirli örnekler veriliyordu. Onlara söz veriyoruz.

Her gruptan 1 öğrenci çocuklara irrasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini anlatır. Bütün sınıf hikayeyi dinler ve not alır.

1 yol. Yeni bir değişkenin tanıtılması.

Denklemi çözün: (2x + 3) 2 - 3

4x2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 – 2x – 6 = t2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 – 2x – 15 =0

x 2 – 2x – 6 =9;

Cevap: -3; 5.

Yöntem 2. DL araştırması.

Denklemi çözün

ODZ:


x = 2. Kontrol ederek x = 2'nin denklemin kökü olduğuna ikna olduk.

3 yollu. Denklemin her iki tarafının eşlenik faktörle çarpılması.

+
(her iki tarafı - ile çarpın)
)

x + 3 – x – 8 = 5(-)

2=4, dolayısıyla x=1. Kontrol ederek bu denklemin kökü x = 1 olduğuna ikna olduk.

Denklemi çözün

= u olsun,
=v.

Sistemi alıyoruz:

Yerine koyma yöntemiyle çözelim. u = 2, v = 2 elde ederiz. Bu şu anlama gelir:

x = 1 elde ederiz.

Cevap: x = 1.

5 yollu. Tam bir kare seçme.

Denklemi çözün

Modülleri genişletelim. Çünkü -1≤сos0,5x≤1, ardından -4≤сos0,5x-3≤-2, yani . Aynı şekilde,

Sonra denklemi elde ederiz

x = 4πn, nZ.

Cevap: 4πn, nZ.

6 yollu. Evrim metodu

Denklemi çözün

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, tanım gereği sağ taraf -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0'dır

aldık
onlar. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Denklemi çarpanlara ayırarak çözersek, x = 2, x = -2 elde ederiz.

Yöntem 7: Fonksiyonların monotonluk özelliklerinin kullanılması.

Denklemi çözün. Fonksiyonlar kesinlikle artıyor. Artan fonksiyonların toplamı artmaktadır ve bu denklemin en fazla bir kökü vardır. Seçim yaparak x = 1'i buluruz.

8 yollu. Vektörlerin kullanılması.

Denklemi çözün. ODZ: -1≤х≤3.

vektör olsun
. Vektörlerin skaler çarpımı sol taraftadır. Uzunluklarının çarpımını bulalım. Bu sağ taraf. Var
yani a ve b vektörleri eşdoğrusaldır. Buradan
. Her iki tarafın karesini alalım. Denklemi çözerek x = 1 ve x = elde ederiz
.

1. 
   Konsolidasyon.(her öğrenciye çalışma sayfaları verilir)

Denklemleri çözmek için bir fikir bulun (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3.x2 – 3x +
(yenisiyle değiştirme)

4. (tam kareyi seçme)

5.
(Bir değişken ekleyerek bir denklemin sisteme indirgenmesi.)

6.
(eşlenik ifadeyle çarpılarak)

7.
Çünkü
. O halde bu denklemin kökleri yoktur.

8. Çünkü Her terim negatif değil, onları sıfıra eşitleyip sistemi çözüyoruz.

9. 3

10. Denklemin kökünü (veya birden fazla varsa köklerin çarpımını) bulun.

Yazılı bağımsız çalışma ve ardından test etme

11,13,17,19 numaralı denklemleri çöz

12. (x + 6) 2 -

14.

1. 
   Bu yöntemlerden hangileri diğer denklem türlerini çözmek için kullanılır?
2. 
   Bu yöntemlerden hangisini en çok beğendiniz ve neden?

1. 
   Ödev: Kalan denklemleri çözün.

1. 
   Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı: ders kitabı. 11. sınıf için Genel Eğitim kurumlar / S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V.Shevkin. M: Prsveshchenie, 2009

1. 
   Cebir üzerine didaktik materyaller ve 11. sınıf / B.M. için analizin başlangıcı. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – M.: Eğitim, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Cebir ve analizin başlangıcı. 10 – 11. Sınıflar: Genel eğitim için problem kitabı. kurumlar. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. 10-11. Sınıflar için cebir ve analizin başlangıcı üzerine bağımsız ve test çalışması. – M.: Ilexa, 2004
4. 
   KIM Birleşik Devlet Sınavı 2002 - 2010

Zaten bilindiği gibi (Bölüm II, § 2), denklem

Bilinmeyenlerin irrasyonel bir fonksiyonu varsa irrasyonel olarak adlandırılır.

Gerçek sayılar alanındaki irrasyonel denklemleri ve irrasyonel denklemleri içeren sistemleri çözerken, yalnızca çift dereceli tüm köklerin radikal ifadelerinin değerlerinin negatif olmadığı gerçek değer sistemleri kabul edilebilir olarak kabul edilir. bilinmeyenlerin değer sistemleri; Çift dereceli köklerin değerleriyle aritmetik değerlerini, tek dereceli köklerin değerleriyle ise bu köklerin gerçek değerlerini kastediyoruz. İrrasyonel denklemleri çözmek için cebirsel yöntemleri ele alalım.

1. İrrasyonel bir denklemin her iki parçasını da aynı güce yükselterek radikallerden kurtarmak. İrrasyonel bir denklemi bu şekilde çözerken, kural olarak, bir radikal sırayla izole edilir (yani seçilen radikal bir kısımda bırakılır ve denklemin diğer tüm terimleri başka bir kısma aktarılır) ve ardından denklemin her iki kısmı da üssü izole edilmiş radikalin göstergesine eşit olan bir kuvvete yükseltilir. En karmaşık radikal genellikle her seferinde izole edilir. Bu durum tamamen radikallerden arınıncaya kadar devam eder. Sonuç olarak, verilen irrasyonel denklemin bir sonucu olan cebirsel bir denklem elde edilir. Daha sonra ortaya çıkan cebirsel denklem çözülür.

Bazı durumlarda (aşağıdaki örnek 4'e bakınız), radikallerden hızlı bir şekilde kurtulmak için, bir değil iki radikalin aynı anda ayrılması tavsiye edilir.

İrrasyonel denklemleri bu şekilde çözerken denklemin tanım alanı genişleyebilir, çünkü değerleri bilinmeyen bazı sistemler için

Belirli bir denklemin içerdiği bazı radikaller reel sayılar alanında anlam ifade etmeyebilir ancak değeri bilinmeyen bu sistemler, ortaya çıkan cebirsel denklem için geçerli olabilir. Bilindiği gibi, bir denklemin tanım alanının genişletilmesi, belirli bir denklemin tanım alanına ait olmayan yabancı çözümlerin ortaya çıkmasına neden olabilir (aşağıdaki örnek 2'ye bakınız).

Ayrıca denklemin her iki tarafının da eşit kuvvete yükseltilmesi, verilen denklemin tanım alanına ait yabancı çözümlerin ortaya çıkmasına da yol açabilir. Bu yabancı çözümlerin ortaya çıkışı, bu denklemin tanım alanının genişlemesinden değil, farklı nitelikteki nedenlerden kaynaklanacaktır (aşağıdaki örnek 3'e bakınız).

Bu nedenle, belirli bir irrasyonel denklemden elde edilen bir cebirsel denklemin çözümlerini bulduktan sonra, bunların her birini verilen denklemde değiştirerek hangisinin onu karşıladığını ve hangilerinin ona yabancı olduğunu kontrol etmek gerekir.

Örnekler. 1. Denklemi çözün

Çözüm. Radikalini seçelim yani denklemin sol tarafında bırakalım ve radikali sağ tarafa taşıyalım. Şunu elde edeceğiz: veya basitleştirmelerden sonra: 2'ye indirgeyip radikali tekrar ayırdığımızda:

Bu denklemin her iki tarafının karesini alırsak şunu elde ederiz:

Bu denklemin çözümleri verilen denklemin yerine konulmasıdır ve bu çözümlerin her birinin denklemi karşıladığından emin oluruz.

2. Denklemi çözün

Çözüm. V'yi denklemin sağ tarafına kaydırırsak:

Bu denklemin her iki tarafının karesini alırız:

Ortaya çıkan denklemin her iki tarafının karesini alarak şunu elde ederiz: veya basitleştirmelerden sonra:

Dolayısıyla bu denklemin çözümleri şunlardır:

Bu çözümlerden ikincisi verilen denklemi karşılamaktadır ve birincisi ona yabancıdır.

Yabancı bir çözümün ortaya çıkması, denklemin tanım alanının genişlemesinden kaynaklanır. Aslında 0 sayısı verilen denklemin tanım alanına dahil değildir ancak denklemin tanım alanına dahildir. Bir değer, verilen bir denklemin çözüm kümesine ait olmadığı için çözüm olamaz.

3. Denklemi çözün

Çözüm. Denklemin her iki tarafının karesini alırsak:

Bu denklemin çözümleri şunlardır: Bu çözümlerden birincisi verilen denklemi sağlar, ikincisi ise ona yabancıdır.

Yabancı bir çözümün ortaya çıkması, belirli bir denklemin tanım alanının genişlemesinden değil, denklemin orijinaline eşdeğer olmamasından, ancak yalnızca

bundan çıkarılabilir. Bu sadece verilen denklemin değil aynı zamanda denklemin de bir sonucudur.

Çözüm denklemi sağlıyor. Bu denklemin çözümü konu dışıdır.

4. Denklemi çözün

Çözüm. Radikalleri bir parçaya taşıyalım

Bu denklemin her iki tarafının karesini alırsak şunu elde ederiz:

veya basitleştirmelerden sonra:

Test, verilen denklemi karşıladığını gösterir.

2. İrrasyonel bir denklemi yeni bilinmeyenler ekleyerek karma rasyonel sisteme indirgemek.

Formdaki bir veya daha fazla denklemden oluşan bir dizi

ve formdaki bir veya daha fazla eşitsizlik

Bilinmeyenlerin hangi değer sistemlerinin tüm bu denklemleri ve eşitsizlikleri aynı anda karşıladığını tespit etmek gerekiyorsa karma sistem denir. Karma bir sistemin tüm denklemlerini ve eşitsizliklerini karşılayan bilinmeyenlerin değerler sistemine, karma sistemin çözümü denir. Karma bir sistemi çözmek, çözümlerinin olup olmadığını belirlemek ve varsa hepsini bulmak anlamına gelir.

Teorem. Herhangi bir irrasyonel denklem

(taramayı görüntülemek için tıklayın)

Denklem (1)'de kabul edilebilir herhangi bir bilinmeyen değer sistemi için, çift dereceli radikal kökün aritmetik değerini ve tek dereceli kökün tek gerçek değerini gösterdiğinden, yardımcı bilinmeyenler yalnızca gerçek değerleri alabilir ve buna ek olarak,

Eşitsizlikleri (2) sistemine ekleyelim. Karma rasyonel bir sistem elde ediyoruz

(bkz: tarama)

Şimdi irrasyonel denklemin (1) çözümünün karma rasyonel sistemin (3) çözümüne indirgendiğini kanıtlayalım.

Gerçekten de (1) numaralı denklemin bir çözümü varsa, o zaman

karma sistemin bir çözümü vardır (3).

Aksine, eğer gerçek sayılar sistemi karma sistemin (3) bir çözümü ise, o zaman

Üstelik bu, kuvvetinin kökünün aritmetik değeri olduğundan

Benzer şekilde, gerçek sayı, yani kuvvetinin kökünün tek gerçek değeridir.

(4), (5) ve (6) numaralı bağıntılardan şu sonuç çıkar:

ve dolayısıyla sayı sistemi denklem (1)'in bir çözümüdür.

Yukarıdakilerden, denklem (1)'i çözmek için karma sistemin (3) tüm çözümlerini bulmanın yeterli olduğu anlaşılmaktadır. Sistem (3)'ün bulunan çözümlerinde yer alan bilinmeyen değerli sistemler, denklem (1)'in çözümleri olacak ve denklem (1)'in tüm çözümlerini tüketmektedir. Karma sistemin (3) tutarsız olduğu ortaya çıkarsa, denklem (1)'in çözümü yoktur. Ele alınan durumda, irrasyonel denklem şunları içerir:

yalnızca basit radikaller dahil edildi. İrrasyonel bir denklemin sol tarafı radikaller içeriyorsa, bunların radikal ifadeleri de radikaller içeriyorsa, ancak kökü çıkarma işlemi sonlu sayıda gerçekleştiriliyorsa, o zaman yardımcı bilinmeyenlerin art arda eklenmesiyle böyle bir denklemin çözümü şöyle olur: aynı zamanda karma rasyonel sistemin çözümüne de indirgenmiştir.

Örnekler. 1. Denklemi çözün:

Çözüm. Bunu varsayarak

karma rasyonel bir sistem oluşturmak

Bunun yerine ikinci denklemi yerine koyarak (7) sistemine eşdeğer bir sistem elde ederiz:

Sistemin (8) ikinci denkleminden, tamsayı katsayılı bir denklem veren üçüncü denklemi parçalar halinde çıkarıyoruz:

Doğrudan doğrulama, serbest terimin bölen 2'sinin denklemi sağladığını, yani denklem (9)'un bir çözümü olduğunu gösterir.Bu nedenle denklem (9) aşağıdaki gibi yazılabilir:

ve bu nedenle

Denklemin (10) çözümleri ve Bu nedenle gerçel sayılar alanındaki denklem (9)'un tek bir çözümü vardır.Bu çözüm eşitsizliği karşılar

Değeri denklemlerde değiştirerek değerleri buluruz:

Böylece karma rasyonel sistemin (7) tek bir çözümü vardır ve verilen irrasyonel denklemin reel sayılar alanında da tek bir çözümü vardır.

2. Denklemi çözün

Çözüm. Koyarak

karma rasyonel bir sistem yaratalım

İlk denklemi göreceli olarak çözüp, bulunan değeri üçüncü denklemde yerine koyarak (11) sistemine eşdeğer bir karma sistem elde ederiz:

İkinci ve dördüncü denklemlerdeki değerleri üçüncü denklemde (12) değiştirerek, sisteme (12) eşdeğer bir sistem elde ederiz:

(13) sisteminin üçüncü denkleminin her iki tarafının karesini alarak, (13) sisteminin sonucu olan bir sistem elde ederiz:

Bu sistemin son üç denkleminden şunu elde ederiz: veya basitleştirmelerden sonra:

Açıkçası, verilen bir denklemin çözümü ne olabilir, çünkü hiçbir değer sistemi sistemin üçüncü denklemini verilen denklemi karşılayamaz. Sonuç olarak, verilen irrasyonel denklemin gerçel sayılar alanında benzersiz bir çözümü vardır.

Bazen irrasyonel bir denklemi çözerken, yeni bilinmeyenler ekleme yöntemini denklemin her iki tarafını da bir kuvvete yükseltme yöntemiyle birleştirmek tavsiye edilir.

Örnek. Denklemi çözün

Çözüm. Aşağıdakilere sahip olduğumuzu varsayalım:

Denklem (15)'i karma bir sistemle değiştiriyoruz

Sistemin (16) ikinci denklemindeki radikali ayırıp denklemin her iki tarafının karesini alırsak şunu elde ederiz: veya basitleştirmelerden sonra:

Dolayısıyla, bu çözümlerin her ikisi de denklemi ve eşitsizliği karşılar.Değerleri sistemin (16) ilk denkleminde yerine koyarak aşağıdaki iki denklemi elde ederiz:

Bu nedenle karma sistemin (16) dört çözümü vardır:

ve dolayısıyla denklem (15)'in de dört çözümü vardır:

Yapay teknikler.İrrasyonel denklemleri çözme pratiğinde, bireysel, sözde yapay teknikler bazen başarıyla kullanılır. Bunlardan bazılarına örneklerle bakalım.

a) Denklemi çözün

Çözüm. Denklemin her iki tarafını sol tarafındaki faktör eşleniğiyle çarpalım. Sahip olacaklar:

veya dönüşümlerden sonra:

Denklemleri (17) ve (18) kısım kısım ekleyerek şunu elde ederiz:

Her iki çözüm de verilen denklemi sağlar ve bunlar denklemde değiştirilerek kolayca doğrulanabilir,

b) Denklemi çözün

Çözüm. Kimliği alalım

ve şu şekilde yazın:

Eşitlik (20), herhangi bir değer için, özellikle de denklemi (19) karşılayan değerler için sağlanır. Dolayısıyla denklemin (19) sol tarafı olan özdeşliğin (20) sol tarafındaki ikinci faktörünü ifadesi ile değiştirirsek, denklemi elde ederiz.

bu denklem (19)'un tüm çözümleri tarafından karşılanacaktır.

Denklem (21) bu nedenle denklem (19)'un bir sonucudur ve bu nedenle denklem (19)'un çözümleri, denklem (21)'in çözümleri arasında aranmalıdır. Denklem (21)’i şu şekilde yazıyoruz:

Bu, denklem (21)'in iki denkleme ayrıldığını gösterir:

Yukarıdan, denklem (19)'un çözümlerinin, denklem (22)'nin çözümleri ve denklem (23)'ün çözümleri arasında aranması gerektiği sonucu çıkmaktadır. Denklemin (22) çözümü şudur: Bu çözüm aynı zamanda verilen denklemi (19) da karşılar. Denklem (19)'a başka çözümler bulmak için denklem (19) ve (23)'ün kısımlarını toplarız. Denklemi elde ederiz

çözümden farklı olarak denklem (19)'un tüm çözümleri tarafından karşılanacak

Kök işareti altında bir değişkenin yer aldığı denklemlere irrasyonel denir.

İrrasyonel denklemleri çözme yöntemleri genellikle irrasyonel bir denklemi (bazı dönüşümlerin yardımıyla) orijinal irrasyonel denkleme eşdeğer veya onun bir sonucu olan rasyonel bir denklemle değiştirme olasılığına dayanır. Çoğu zaman denklemin her iki tarafı da aynı kuvvete yükseltilir. Bu, orijinalinin sonucu olan bir denklem üretir.

İrrasyonel denklemleri çözerken aşağıdakiler dikkate alınmalıdır:

1) radikal üs çift sayı ise, radikal ifade negatif olmamalıdır; bu durumda kökün değeri de negatif değildir (çift üslü bir kökün tanımı);

2) eğer radikal üs tek bir sayı ise, o zaman radikal ifade herhangi bir gerçek sayı olabilir; bu durumda kökün işareti köklü ifadenin işaretiyle çakışır.

Örnek 1. Denklemi çözün

Denklemin her iki tarafının karesini alalım.
x2 - 3 = 1;
Denklemin sol tarafından sağa doğru -3'ü taşıyıp benzer terimlerin azaltılmasını yapalım.
x2 = 4;
Ortaya çıkan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin -2 ve 2 olmak üzere iki kökü vardır.

X değişkeninin değerlerini orijinal denklemde yerine koyarak elde edilen kökleri kontrol edelim.
Muayene.
x 1 = -2 - doğru olduğunda:
x 2 = -2- doğru olduğunda.
Buradan orijinal irrasyonel denklemin -2 ve 2 olmak üzere iki kökü olduğu sonucu çıkar.

Örnek 2. Denklemi çözün .

Bu denklem ilk örnekteki yöntemin aynısı kullanılarak çözülebilir, ancak biz bunu farklı şekilde yapacağız.

Bu denklemin ODZ'sini bulalım. Karekök tanımından, bu denklemde iki koşulun aynı anda karşılanması gerektiği sonucu çıkar:

Bu seviyenin ODZ'si: x.

Cevap: Kök yok.

Örnek 3. Denklemi çözün =+ 2.

Bu denklemde ODZ'yi bulmak oldukça zor bir iştir. Denklemin her iki tarafının karesini alalım:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x1 =1; x 2 =0.
Kontrol ettikten sonra x 2 =0'ın ekstra bir kök olduğunu tespit ederiz.
Cevap: x 1 =1.

Örnek 4. x = denklemini çözün.

Bu örnekte ODZ'yi bulmak kolaydır. Bu denklemin ODZ'si: x[-1;).

Bu denklemin her iki tarafının karesini alalım ve sonuç olarak x 2 = x + 1 denklemini elde edelim. Bu denklemin kökleri:

Bulunan kökleri doğrulamak zordur. Ancak her iki kök de ODZ'ye ait olmasına rağmen her iki kökün de orijinal denklemin kökleri olduğunu iddia etmek imkansızdır. Bu bir hatayla sonuçlanacaktır. Bu durumda irrasyonel denklem iki eşitsizliğin ve bir denklemin birleşimine eşdeğerdir:

x+10 Ve x0 Ve x 2 = x + 1, bundan irrasyonel denklemin negatif kökünün konu dışı olduğu ve atılması gerektiği sonucu çıkar.

Örnek 5. Denklemi çözün += 7.

Denklemin her iki tarafının karesini alıp benzer terimlerin indirgenmesini yapalım, denklemin bir tarafındaki terimleri diğer tarafa aktaralım ve her iki tarafı da 0,5 ile çarpalım. Sonuç olarak denklemi elde ederiz
= 12, (*) bu orijinalin bir sonucudur. Denklemin her iki tarafının karesini tekrar alalım. Orijinal denklemin bir sonucu olan (x + 5)(20 - x) = 144 denklemini elde ederiz. Ortaya çıkan denklem x 2 - 15x + 44 =0 formuna indirgenir.

Bu denklemin (aynı zamanda orijinal denklemin bir sonucu) kökleri x 1 = 4, x 2 = 11'dir. Doğrulamanın gösterdiği gibi, her iki kök de orijinal denklemi karşılar.

Temsilci x 1 = 4, x 2 = 11.

Yorum. Denklemlerin karesini alırken öğrenciler genellikle denklemlerdeki (*) gibi köklü ifadeleri çarparlar, yani denklem = 12 yerine denklemi yazarlar = 12. Denklemler denklemlerin sonuçları olduğundan bu durum hataya yol açmaz. Bununla birlikte, genel durumda radikal ifadelerin bu şekilde çoğaltılmasının eşit olmayan denklemler verdiği akılda tutulmalıdır.

Yukarıda tartışılan örneklerde, öncelikle radikallerden biri denklemin sağ tarafına taşınabilir. O zaman denklemin sol tarafında bir radikal sol olacak ve denklemin her iki tarafının karesi alındıktan sonra denklemin sol tarafında rasyonel bir fonksiyon elde edilecektir. Bu teknik (radikalin izolasyonu) irrasyonel denklemleri çözerken oldukça sık kullanılır.

Örnek 6. Denklemi çöz-= 3.

İlk radikali izole ederek denklemi elde ederiz
=+ 3, orijinaline eşdeğer.

Bu denklemin her iki tarafının karesini alarak denklemi elde ederiz.

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, denklemin eşdeğeri

4x - 5 = 3(*). Bu denklem orijinal denklemin bir sonucudur. Denklemin her iki tarafının karesini alarak denkleme ulaşırız
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), veya

7x2 - 13x - 2 = 0.

Bu denklem, (*) denkleminin (ve dolayısıyla orijinal denklemin) bir sonucudur ve kökleri vardır. İlk kök x 1 = 2 orijinal denklemi karşılar, ancak ikinci kök x 2 = sağlamaz.

Cevap: x = 2.

Köklerden birini ayırmadan, orijinal denklemin her iki tarafının karesini hemen alırsak, oldukça zahmetli dönüşümler yapmak zorunda kalacağımızı unutmayın.

İrrasyonel denklemleri çözerken radikallerin izolasyonuna ek olarak başka yöntemler de kullanılır. Bilinmeyeni değiştirme yöntemini (yardımcı değişken ekleme yöntemi) kullanmanın bir örneğini ele alalım.