Напряжение конденсаторе цепи переменного тока

Цель работы. Исследование зависимости проводимости конденсатора от частоты синусоидального тока. Определение емкости конденсатора и диэлектрической проницаемости вещества, заполняющего конденсатор.

Приборы и оборудование. Плоский конденсатор, диэлектрическая пластина, генератор синусоидального напряжения, два цифровых вольтметра.

Обычно они противодействуют рассмотренным ранее индукторам. Изменение переменного напряжения, подаваемого на конденсатор, заряд на конденсаторе, и ток, протекающий через конденсатор, представлены на рисунке. Токовый поток в цепи, содержащей емкость, зависит от скорости изменения напряжения. В этих точках напряжение изменяется с максимальной скоростью. Рисунок 1 Напряжение, заряд и ток в конденсаторе.

На рисунке 1 показан ток, ведущий приложенное напряжение на 90 °. В любой чисто емкостной цепи ток приводит к напряжению на 90 °. Емкостное реактивное сопротивление является противодействием конденсатора или емкостной схемы к потоку тока. Ток, протекающий в емкостной схеме, прямо пропорционален емкости и скорости изменения приложенного напряжения. Скорость изменения приложенного напряжения определяется частотой подачи; поэтому, если частота емкости данной схемы увеличивается, ток будет увеличиваться.

Теоретическая часть

В работе исследуется плоский конденсатор, который представляет собой две плоские проводящие пластины (обкладки), расположенные параллельно друг другу, причем заряд одной пластины q , а другой пластины (-q ). Расстояние между пластинами d предполагается малым по сравнению с линейными размерами пластин. В этом случае электрическое поле между пластинами можно считать однородным (рис.1), а распределение зарядов по пластинам равномерным:

Можно также сказать, что если частота или емкость увеличиваются, сопротивление текущему потоку уменьшается; поэтому емкостное реактивное сопротивление, которое является противодействием току, обратно пропорционально частоте и емкости. Уравнение представляет собой математическое представление емкостного реактивного сопротивления.

Уравнение представляет собой математическое представление емкостного реактивного сопротивления, когда емкость выражена в микрофарадах. Найдите емкостное сопротивление и ток, протекающий в цепи. Рисунок 2 Схема и диаграмма фазора.

Нет цепи без какого-либо сопротивления, желательно или нет. Полное противодействие потоку тока в цепи зависит от его сопротивления, его реактивности и фазовых соотношений между ними. Импеданс определяется как полное противодействие потоку тока в цепи.

, , (1)

где - разность потенциалов между пластинами – напряжение на конденсаторе, - поверхностная плотность заряда, S - площадь пластины.

Для напряженности электрического поля в конденсаторе при помощи теоремы Гаусса можно найти

где - диэлектрическая проницаемость вещества между пластинами, - электрическая постоянная, и тогда из формул (1), (2) следует, что заряд конденсатора пропорционален приложенному к нему напряжению

Ток через определенное сопротивление всегда находится в фазе с приложенным напряжением. Сопротивление показано на нулевой оси. Ток через индуктор отстает от приложенного напряжения на 90 ° индуктивного сопротивления, показано вдоль оси 90 °. Ток через конденсатор приводит к приложению напряжения на 90 ° емкостного сопротивления показано вдоль оси -90 °.

Импеданс представляет собой векторную сумму сопротивления и чистого реактивного сопротивления в цепи, как показано на рисунке. Угол Θ представляет собой фазовый угол и дает фазовое соотношение между приложенным напряжением и током. Фазовый угол Θ дает фазовое соотношение между током и напряжением.

Коэффициент пропорциональности

называют электроемкостью (или просто емкостью) конденсатора.

Заметим, что, строго говоря, поверхностная плотность заряда s не является постоянной по всей поверхности пластины, а увеличивается вблизи ее краев. Вблизи краев нарушается также предположение об однородности электрического поля, поэтому формулы (1), использованные при выводе (4), являются приближенными. Они выполняются тем точнее, чем меньше отношение d к линейным размерам пластин конденсатора.

Импеданс представляет собой полное противодействие потоку тока и выражается в омах. Найдите: токи ветвления, общий ток и импеданс. Любое устройство, использующее магнетизм или магнитные поля для работы, является формой индуктора. Двигатели, генераторы, трансформаторы и катушки являются индукторами. Использование индуктивности в цепи может привести к тому, что ток и напряжение станут несинфазными и неэффективными, если не будут исправлены.

Это противодействие индуктивности потоку переменного тока называется индуктивным реактивным сопротивлением. Уравнение представляет собой математическое представление тока, протекающего в цепи, которое содержит только индуктивное сопротивление. Эта скорость изменения зависит от частоты приложенного напряжения. В чисто индуктивной цепи сопротивление незначительно по сравнению с индуктивным сопротивлением.

Схематически поле плоского конденсатора с учетом отмеченных выше краевых эффектов изображено на рис. 2. Как видно из рисунка, линии поля сгущаются вблизи краев конденсатора, что связано с концентрацией заряда у краев пластин. Кроме того, некоторые линии поля начинаются и заканчиваются не на внутренних, а на внешних поверхностях пластин. Это означает, что некоторая часть заряд располагается на внешних поверхностях пластин конденсатора. Заметим, что общее число линий поля на рис.1 и рис.2 одинаково, если одинаковы заряды соответствующих пластин на рис.1 и рис. 2.

Отношения напряжения и тока в индуктивной цепи

Как было сказано ранее, любое изменение тока в катушке вызывает соответствующее изменение магнитного потока вокруг катушки. Поскольку ток изменяется с максимальной скоростью, когда он проходит свое нулевое значение при 90 и 270 °, изменение потока также является наибольшим в это время. Поскольку ток не изменяется в точке, когда он проходит через свое пиковое значение при 0 °, 180 ° и 360 °, изменение потока в это время равно нулю.

Согласно закону Ленцза, индуцированное напряжение всегда выступает против изменения тока. Обратите внимание, что по мере прохождения тока через нулевое значение индуцированное напряжение достигает своего максимального отрицательного значения. Позже, когда ток увеличивается с нуля до его максимального отрицательного значения на 360 °, индуцированное напряжение имеет противоположную полярность в качестве тока и стремится удерживать ток в отрицательном направлении.

Строгий расчет емкости плоского конденсатора с учетом краевых эффектов представляет собой сложную задачу. Приведем без вывода приближенную формулу, учитывающую краевые эффекты для плоского конденсатора с круглыми пластинами:

, (5)

где - емкость конденсатора без учета краевых эффектов, r - радиус пластины (). Второе слагаемое в (5) учитывает оттеснение заряда к краям пластин, третье слагаемое – частичное вытеснение заряда на внешние поверхности пластин.

Если приложенное напряжение представлено вектором, вращающимся в направлении против часовой стрелки, то ток может быть выражен как вектор, который отстает от приложенного напряжения на 90 °. Диаграммы этого типа называются фазовыми диаграммами. Найдите индуктивное сопротивление катушки и ток через контур. Нарисуйте фазовую диаграмму, показывающую фазовое соотношение между током и приложенным напряжением.

Рисунок 9 Схема катушки и фазовая диаграмма. В главах по индуктивности и емкости мы узнали, что оба условия являются реактивными и могут противостоять текущему потоку, но по разным причинам. Поскольку индуктивное сопротивление и емкостная реактивность зависят от частоты, можно привести резонансную цепь, отрегулировав частоту приложенного напряжения.

Если в пространство между обкладками конденсатора параллельно им ввести плоскую пластину толщиной из диэлектрика с проницаемостью , то емкость конденсатора будет равна

, (6)

где C - емкость конденсатора без диэлектрика.

Отметим, что любую пару проводников, независимо от их формы и расположения, можно считать конденсатором. И в этом случае емкостью конденсатора называют коэффициент пропорциональности между зарядом конденсатора (так называют заряд положительной обкладки, заряд другой обкладки конденсатора такой же по величине, но отрицательный) и разностью потенциалов между обкладками. Емкость конденсатора зависит от геометрических размеров обкладок, их взаимного расположения и диэлектрической проницаемости среды.

Уравнение представляет собой математическое представление резонансной частоты. Поскольку индуктивные и емкостные токи реактивности равны и противоположны по фазе, они взаимно компенсируют друг друга при параллельном резонансе. Если конденсатор и индуктор, каждый с незначительным сопротивлением, подключены параллельно, и частота регулируется так, что реактивные сопротивления точно равны, ток будет протекать в индукторе и конденсаторе, но общий ток будет незначительным. Конденсатор будет поочередно заряжаться и разряжаться через индуктор.

Рассмотрим теперь случай, когда конденсатор включен в цепь переменного тока. Одно из направлений тока примем за положительное (оно обозначено на рис.3 стрелкой). Обозначим через заряд той из обкладок конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с положительным направлением тока. Напряжение между точками а и b обозначим через u . Тогда

Как заряжается конденсатор

Что вы узнаете в модуле 2. Электроны начинают течь от отрицательной клеммы аккумулятора и, по-видимому, течет по цепи. Конечно, они не могут быть связаны с тем, что конденсатор имеет слой изоляции между его пластинами, поэтому электроны с отрицательной клеммы аккумулятора толпились на правой пластине конденсатора, создавая все более сильный отрицательный заряд. Очень тонкий изолирующий слой между пластинами способный эффективно переносить этот отрицательный заряд от электронов, и этот заряд отталкивает то же количество электронов от левой пластины конденсатора.

и, следовательно,

Если сила тока в цепи изменяется по закону

( - амплитуда тока, - циклическая частота), то заряд конденсатора равен

Постоянная интегрирования q 0 обозначает произвольный постоянный заряд конденсатора, не связанный с колебаниями тока, и поэтому мы положим . Следовательно,

Рис. 1 Заряд и разряд

Эти смещенные электроны с левой пластины притягиваются к положительной клемме батареи, создавая впечатление тока, протекающего по всей цепи. Однако через короткое время большое количество электронов собралось на правой пластине конденсатора, создавая растущий отрицательный заряд, из-за чего становится все труднее, когда электроны, текущие с отрицательной клеммы аккумулятора, достигают пластины конденсатора из-за отталкивания от растет количество отрицательных электронов.

В конце концов отталкивание от электронов на правой пластине конденсатора приблизительно равно силе от отрицательной клеммы аккумулятора, и ток прекращается. Как только напряжения батареи и конденсатора равны, можно сказать, что конденсатор достиг максимального заряда.

. (8)

Сравнивая (7) и (8), видим, что при синусоидальных колебаниях тока в цепи колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний тока на p/2. Изменения тока и напряжения во времени изображены графически на рис.4.

Формула (8) показывает, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна

Если аккумулятор отключен, открыв переключатель, конденсатор останется в заряженном состоянии с напряжением, равным напряжению батареи, и при условии, что ток не течет, он должен оставаться заряженным на неопределенный срок. На практике на диэлектрике будет протекать очень небольшой ток утечки, и конденсатор в конечном итоге разрядится. Однако этот процесс может занять несколько секунд, часов, дней, недель или месяцев, в зависимости от индивидуальных обстоятельств.

Электроны будут теперь обтекать цепь через резистор, поскольку заряд на конденсаторе действует как источник тока. Заряд на конденсаторе будет истощаться по мере протекания тока. Скорость, с которой напряжение конденсатора уменьшается до нуля, будет зависеть от количества протекающего тока и, следовательно, от значения сопротивления в цепи, на рис. 1 это сопротивление представлено лампой.

Сравнивая это выражение с законом Ома для участка цепи с постоянным током (), видим, что величина

играет роль сопротивления участка цепи, она получила название емкостного сопротивления. Емкостное сопротивление зависит от частоты w, поэтому при очень высоких частотах даже малые емкости могут представлять совсем небольшое сопротивление для переменного тока. Важно отметить, что емкостное сопротивление определяет связь между амплитудными , а не мгновенными значениями тока и напряжения.

В цепях переменного тока обычно измеряют не амплитудные, а эффективные значения тока и напряжения:

, .

где - частота. Это соотношение проверяется в работе экспериментально.

Положим теперь, что участок цепи содержит конденсатор емкости C , причем сопротивлением и индуктивностью участка можно пренебречь, и посмотрим, по какому закону будет изменяться напряжение на концах участка в этом случае. Обозначим напряжение между точками а и b через u и будем считать заряд конденсатора q и силу тока i положительными, если они соответствуют рис.4. Тогда

и, следовательно,

, (1)

то заряд конденсатора равен

Постоянная интегрирования q 0 здесь обозначает произвольный постоянный заряд конденсатора, не связанный с колебаниями тока, и поэтому мы положим

. Следовательно,

. (2)

Рис.4. Конденсатор в цепи переменного тока

Рис.5. Зависимости тока через конденсатор и напряжения от времени

Сравнивая (1) и (2), мы видим, что при синусоидальных колебаниях тока в цепи напряжение на конденсаторе изменяется также по закону косинуса. Однако колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний тока на /2. Изменения тока и напряжения во времени изображены графически на рис.5. Полученный результат имеет простой физический смысл. Напряжение на конденсаторе в какой-либо момент времени определяется существующим зарядом конденсатора. Но этот заряд был образован током, протекавшим предварительно в более ранней стадии колебаний. Поэтому и колебания напряжения запаздывают относительно колебаний тока.

Формула (2) показывает, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна

Сравнивая это выражение с законом Ома для участка цепи с постоянным током (

), мы видим, что величина

играет роль сопротивления участка цепи, она получила название емкостного сопротивления. Емкостное сопротивление зависит от частоты и при высоких частотах даже малые емкости могут представлять совсем небольшое сопротивление для переменного тока. Важно отметить, что емкостное сопротивление определяет связь между амплитудными, а не мгновенными значениями тока и напряжения.

меняется со временем по синусоидальному закону с удвоенной частотой. В течение времени от 0 до T /4 мощность положительна, а в следующую четверть периода ток и напряжение имеют противоположные знаки и мощность становится отрицательной. Поскольку среднее значение за период колебаний величины

равно нулю, то средняя мощность переменного тока на конденсаторе

.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Рассмотрим, наконец, третий частный случай, когда участок цепи содержит только индуктивность. Обозначим по-прежнему через U напряжение между точками а и б и будем считать ток I положительным, если он направлен от а к б (рис.6). При наличии переменного тока в катушке индуктивности возникнет ЭДС самоиндукции, и поэтому мы должны применить закон Ома для участка цепи, содержащего эту ЭДС:

В нашем случае R = 0, а ЭДС самоиндукции

. (3)

Если сила тока в цепи изменяется по закону

Рис.6. Катушка индуктивности в цепи

переменного тока

Рис.7. Зависимости тока через катушку

индуктивности и напряжения от времени

Видно, что колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания тока на /2. Когда сила тока, возрастая, проходит через нуль, напряжение уже достигает максимума, после чего начинает уменьшаться; когда сила тока становится максимальной, напряжение проходит через нуль, и т.д. (рис.7).

Из (4) следует, что амплитуда напряжения равна

и, следовательно, величина

играет ту же роль, что сопротивление участка цепи. Поэтому

называют индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление пропорционально частоте переменного тока, и поэтому при очень больших частотах даже малые индуктивности могут представлять значительное сопротивление для переменных токов.

Мгновенная мощность переменного тока

также, как и в случае идеальной емкости, меняется со временем по синусоидальному закону с удвоенной частотой. Очевидно, что средняя за период мощность равна нулю.

Таким образом, при протекании переменного тока через идеальные емкость и индуктивность обнаруживается ряд общих закономерностей:

Колебания тока и напряжения происходят в различных фазах - сдвиг по фазе между этими колебаниями равен /2.

Амплитуда переменного напряжения на емкости (индуктивности) пропорциональна амплитуде протекающего через этот элемент переменного тока

где X - реактивное (емкостное или индуктивное сопротивление). Важно иметь в виду, что это сопротивление связывает между собой не мгновенные значения тока и напряжения, а только их максимальные значения. Реактивное сопротивление отличается от омического (резистивного) сопротивления еще и тем, что оно зависит от частоты переменного тока.

На реактивном сопротивлении не рассеивается мощность (в среднем за период колебаний), это означает, что, например, через конденсатор может протекать переменный ток очень большой амплитуды, но тепловыделение на конденсаторе будет отсутствовать. Это является следствием фазового сдвига между колебаниями тока и напряжения на реактивных элементах цепи (индуктивности и емкости).

Резистивный элемент, который описывается в рассматриваемом частотном диапазоне законом Ома для мгновенных токов и напряжений

называют омическим или активным сопротивлением. На активных сопротивлениях происходит выделение мощности.