Главная · Электробезопасность · Активное сопротивление

Активное сопротивление

Рассмотрим следующую цепь.

Она состоит из источника переменного напряжения, соединительных проводов и некоторой нагрузки. Причем индуктивность нагрузки очень мала, а сопротивление R очень велико. Эту нагрузку мы раньше называли сопротивлением. Теперь будем называть её активным сопротивлением.

Активное сопротивление

Сопротивление R называют активным, так как если в цепи будет нагрузка с таким сопротивлением, цепь будет поглощать энергию, поступающую от генератора. Будем считать, что напряжение на зажимах цепи подчиняется гармоническому закону:

U = Um*cos(ω*t).

Мгновенное значение силы тока можем вычислить по закону Ома, оно будет пропорционально мгновенному значению напряжения.

I = u/R = Um*cos(ω*t)/R = Im*cos(ω*t).

Сделаем вывод: в проводнике с активным сопротивлением разность фаз между колебаниями напряжения и силы тока отсутствует.

Действующее значение силы тока

Амплитуда силы тока определяется по следующей формуле:

Среднее значение квадрата силы тока за период вычисляется по следующей формуле:

Здесь Im есть амплитуда колебания силы тока. Если мы теперь вычислим квадратный корень из среднего значения квадрата силы тока, то получим величину, которая называется действующим значением силы переменного тока.

Для обозначения действующего значения силы тока используется буква I. То есть в виде формулы это будет выглядеть следующим образом:

I = √(i^2) = Im/√2.

Действующее значение силы переменного тока будет равно силе такого постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени в рассматриваемом проводнике будет выделяться столько же теплоты, сколько и при переменном токе. Для определения действующего значения напряжения используется следующая формула.

U = √(u^2) = Um/√2.

Теперь подставим действующие значения силы тока и напряжения, в выражение Im = Um/R. Получим:

Данное выражение является законом Ома для участка цепи с резистором, по которому течет переменный ток. Как и в случае механических колебаний, в переменном токе нас мало будут интересовать значения силы тока, напряжении в какой-то отдельный момент времени. Гораздо важнее будет знать общие характеристики колебаний - такие, как амплитуда, частота, период, действующие значения силы тока и напряжения.

Кстати, стоит отметить, что вольтметры и амперметры, предназначенные для переменного тока, регистрируют именно действующие значения напряжения и силы тока.

Еще одним преимуществом действующих значений перед мгновенными является то, что их можно сразу использовать для вычисления значения средней мощности P переменного тока.

а) Активное сопротивление R, r – это идеализированный элемент цепи, в котором происходят необратимые превращения электрической энергии в тепловую:


А.

б) Индуктивность L – идеализированный элемент цепи, который характеризуется способностью накапливать энергию магнитного поля. Индуктивность численно равна отношению потокосцепления к току, которым это потокосцепление обусловлено:


, (3.6)

где

- поток сцепления катушки индуктивности,

N –число витков катушки,

Ф – магнитныйпоток.


.

в) Емкость C– идеализированный элемент электрической цепи, который характеризуетсяспособностью накапливать энергию электрического поля.


, (3.7)

где – заряд на обкладках или пластинах конденсатора,

– разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Емкость С – не зависит от , а определяется размерами, формой конденсатора, а также диэлектрическими свойствами среды, находящейся между обкладками конденсатора.


.

Действующее значение переменного тока

Колебания, возникающие под воздействием внешней периодически изменяющейся ЭДС, называются вынужденными электромагнитными колебаниями. Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание переменного тока в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор.

На рис. 3.5 представлен график переменного синусоидального тока.

Рис. 3.5. График переменного тока

Действующее значение переменного тока равно такому значению постоянного тока, которое за время, равное периоду переменного тока, выделяет в том же сопротивлении такое же количество теплоты, что и данный ток. Определяется по формуле 3.8.


. (3.8)

Активное, реактивное и полное сопротивление в цепях переменного тока

Ток в активном сопротивлении


, (3.9)

где I r , U r - действующие значения тока и напряжения на активном сопротивлении R.

Сдвиг фаз между током и напряжением на резисторе равен нулю (см. рис. 3.6).

Рис. 3.6. Векторная диаграмма тока и напряжения на резисторе

Ток в индуктивности


, (3.10)

где I L , U L - действующие значения тока и напряжения на индуктивном сопротивлении х L .


, (3.11)

где ω – циклическая частота, равна нуль, поэтому при постоянном токе катушка индуктивности не имеет сопротивления.

ЛЕКЦИЯ № 3

4.Электрическая цепь с активным и индуктивным элементами.

Цепь состоит из элементов, свойства которых нам уже известны. Проанализируем работу данной цепи.

Пусть ток в цепи изменяется по закону:

i = im sin t .

Тогда напряжение на активном сопротивлении определяется формулой:

uR = uRm sin t,

так как на этом участке ток и напряжение совпадают по фазе. Напряжение на катушке:

uL = uLm sin (t + /2),

поскольку на катушке индуктивности напряжение опережает ток по фазе на угол равный /2 . Построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи. Сначала откладываем вектор тока, затем вектор напряжения на активном сопротивлении, совпадающий по фазе с вектором тока. Вектор напряжения на индуктивном элементе, опережающий вектор тока на угол/2 , приставим к концу вектора напряжения на активном сопротивлении.

Векторы U R ,U L ,U образуют прямоугольный треугольник. Выведем закон Ома для этой цепи. На

основании теоремы Пифагора, для прямоугольного треугольника напряжений имеем:

U = (UR 2 + UL 2 )1/2.

Но U R = IR, а U L = IX L , следовательно

U = (I2 R2 + I2 XL 2 )1/2 =I(R2 + XL 2 )1/2 ,

откуда следует закон Ома для этой цепи

I = U / (R2 + XL 2 )1/2 .

Введем обозначение (R 2 + X L 2 ) 1/2 = Z , где Z - полное сопротивление цепи. Тогда закон Ома приймет вид:

Так как полное сопротивление цепи Z определяется по теореме Пифагора, то ему соответствует треугольник сопротивлений:

Поскольку при последовательном соединении напряжения на участках прямо пропорциональны сопротивлениям, то треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений.

Сдвиг фаз между током и напряжением определяется из треугольника сопротивлений:

tg = XL / R , cos = R / Z.

Для последовательной цепи условимся отсчитывать угол от вектора тока. Поскольку вектор полного падения напряжения сдвинут по фазе относительно вектора тока на угол против часовой стрелки, то этот угол имеет положительное значение.

Суммарное мгновенное напряжение в цепи определяется формулой:

u = um sin (t +),

Средняя или активная мощность для данной цепи характеризует расход энергии на активном сопротивлении и, следовательно

P = UR I.

UR = U cos .

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между катушкой индуктивности и источником электрической энергии:

Q = UL I

Из векторной диаграммы видно, что

UL = U sin .

Понятие полной мощности применяется для оценки предельной мощности электрических машин. Полной мощностью переменного тока является мощность, которая поступает от источника к потребителю и определяется по формуле:

Часть этой мощности в потребителе превращается в полезную - активную мощность, вследствие чего имеем механическое движение, тепло, свет и так далее.

Другая часть полной мощности, которая не идет на полезное действие потребителей, а только возбуждает в них магнитные поля.

Соотношение между величинами полной, активной и реактивной мощностей такое же, как и между полным, активным и реактивным напряжениями. Если все стороны треугольника напряжений умножить на силу тока I , то получим новый треугольник - треугольник мощностей, гипотенуза котрого равна полной мощности, горизонтальный катет - активной мощности, а вертикальный катет - реактивной мощности:

S = (P2 + Q2 )1/2 .

Измеряется полная мощность в вольт-амперах (В А). Мгновенная мощность выражается соотношением:

p = ui = um im sin (t+) sin t = um im (sin t cos + sin cos t) sin t = um im (sin2 t cos + sin sin t cos t) = um im [ cos (1 - cos 2 t)/2 +

sin (sin 2 t)/2 ]= (um im /2) = UI cos - UI cos(2 t +).

Таким образом, мгновенная мощность складывается в этом случае из UI cos - постоянной составляющей, и синусоидальной составляющей двойной частоты. Энергетический процесс в цепи содержащейL иR , складывается из двух рассмотренных энергетических процессов: во-первых, энергия безвозвратно передается из источника в активное сопротивление, где она превращается в другие формы энергии; во-вторых, энергия колеблется между источником и магнитным полем приемника. Чем меньшеcos , тем большую роль играют эти бесполезные колебания энергии.

5.Электрическая цепь с активным и емкостным элементами.

Методика изучения R-C цепи аналогична изучению R-L цепи.

Задаемся током i = i m sin t . Тогда напряжение на активном сопротивлении:

uR = uRm sin t.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на угол / 2:

uC = uCm sin (t - /2).

Построим векторную диаграмму для этой цепи:

Из векторной диаграммы следует, что

U = (UR 2 + UС 2 )1/2.

Но U R = IR, а U С = IX С , следовательно

U = (I2 R2 + I2 XС 2 )1/2 =I(R2 + XС 2 )1/2 ,

I = U / (R2 + XС 2 )1/2 .

Введем обозначение (R 2 + X С 2 ) 1/2 = Z , гдеZ - полное сопротивление цепи. Закон Ома для этой цепи:

Расположение его сторон соответствует расположению сторон треугольника напряжений на векторной диаграмме. Сдвиг фаз в этом случае отрицателен, так как напряжение отстает по фазе от тока:

tg = - XС / R , cos = R / Z.

В энергетическом отношении эта цепь не отличается от цепи с резистивным и индуктивным элементами

Средняя мощность определяется постоянной состовляющей мгновенной мощности:

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между конденсатором и источником электрической энергии:

Q = UС I sin .

Так как < 0 , то реактивная мощностьQ < 0 . Физически это означает, что когда емкость отдает энергию, индуктивность ее потребляет, если они находятся в одной цепи.

Треугольник мощности для рассматриваемой цепи имеет вид:

Соотношение между этими мощностями можно получить из треугольника:

S = (P2 + Q2 )1/2 .

6.Электрическая цепь с активным, индуктивным и емкостными элементами.

Электрическая цепь с последовательным соединением активных, индуктивных и емкостных элементов называется последовательным колебательным контуром.

Ток в цепи:

Напряжение на активном сопротивлении:

Напряжение на катушке индуктивности:

i = im sin t.

uR = uRm sin t.

uL = uLm sin (t + /2).

Напряжение на конденсаторе:

uC = uCm sin (t - /2).

Построим векторную диаграмму при условии, что X L < X C , то есть U L =IX L < U C =IX C .

Вектор результирующего напряжения U замыкает многоугольник векторовU R , U L , U C . Вектор(U L + U C ) определяет напряжение на индуктивности и емкости. Как видно из диаграммы, это напряжение может быть меньше напряжения на индуктивности и емкости. Это объясняется процессом обмена энергией между индуктивностью и емкостью.

Получим закон Ома для рассматриваемой цепи. Модуль вектора (U L +U C ) рассчитывается как разность действующих значений(U L - U C ) , из векторной диаграммы следует, что

U = (UR 2 + (UL - UC )2 )1/2.

Но UR = IR, а UС = IXС и UL = IXL , следовательно

U = I (R2 + (XL - XC )2 )1/2 ,

I = U / (R2 + XС 2 )1/2 .

Введем обозначение (R 2 + (X L - X С ) 2 ) 1/2 = Z , где Z - полное сопротивление цепи. Закон Ома для этой цепи:

Разность между индуктивным и емкостным сопротивлением (X L - X С ) называют реактивным сопротивлением цепи.

Треугольник сопротивлений для этой цепи имеет вид:

При X L > X С реактивное сопротивление положительно и сопротивление носит активно-индуктивный характер. ПриX L < X С реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активноемкостной характер. Знак сдвига фаз между током и напряжением получим автоматически, так как реактивное сопротивление - величина алгебраическая:

Таким образом, при X L X С преобладает или индуктивное или емкостное сопротивление, то есть с энергетической точки зрения цепь сR, L иC сводится к цепи сR, L илиR, C.

Мгновенная мощность:

p = ui = UI cos - UI cos (2 t +).

Знак определяется из tg = X / R . Активная, реактивная и полная мощность такой цепи определяется равенствами:

P = UI cos , Q = U I sin , S = UI = (P2 + Q2 )1/2 .

Треугольник мощности для этой цепи имеет вид:

Коэффициент мощности.

На современных промышленных предприятиях большинство потребителей электрической энергии переменного тока представляют собой активно-индуктивную нагрузкув виде асинхронных электродвигателей, силовых трансформаторов, сварочных трансформаторов, преобразователей и так далее. В такой нагрузке в результате протекания переменного тока индуктируются э.д.с. самоиндукции, обуславливающие сдвиг по фазе между током и напряжением. Этот сдвиг по фазе обычно увеличивается, аcos уменьшается при малой нагрузке. Например, еслиcos двигателей переменного тока при полной нагрузке составляет 0,75 - 0,8, то при малой нагрузке он уменьшается до

Если мощность потребляемая всеми приемниками в данных цепях, является вполне определенной, то при неизменном напряжении на зажимах приемника их ток:

I = P / (U cos)

С уменьшением cos ток нагрузки электростанций и подстанций будет увеличиваться при одной и той же отдаваемой мощности.

Вместе с тем электрические генераторы, трансформаторы и линии электропередач расчитываются на

определенное напряжение и ток. Увеличение тока потребителя при снижении cos не должно превышать определенных пределов, так как питающие их генераторы расчитываются на определенную номинальную мощность Sном = Uном Iном , вследствие чего они не должны оказаться перегруженными. Для того чтобы ток генератора не превышал номинального значения при сниженииcos потребителя, необходимо снижать его активную мощность. Таким образом, понижениеcos потребителей вызывает неполное использование мощности синхронных генераторов, трансформаторов и линий электропередач. Они бесполезно загружаются засчет индуктивного реактивного тока

cos , характеризующий использование установленной мощности, часто называют коэффициентом мощности.

Коэффициентом мощности называют отношение активной мощности к полной: cos = P/S

Коэффициент мощности показывает, какая часть электрической энергии необратимо преобразуется в другие виды энергии и, в частности, используется на выполнение полезной работы. Нормальным считается cos 0,85 - 0,9. При низком коэффициенте мощности на предприятия, потребляющие электроэнергию, накладывается штраф, при высоком - предприятия премируются.

Для улучшения коэффициента мощности проводится ряд мероприятий:

1.заменяются двигатели переменного тока, нагруженные относительно мало, двигателями меньшей мощности; 2.включаются параллельно приемникам конденсаторы.

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух приемников, подключенных параллельно к зажимам источника синусоидального напряжения

u = um sin t.

В первом приемнике последовательно соединены элементы R1 и L, во втором соответственно R2 и С. Оба приемника находятся под действием одного общего напряжения.

Электрические цепи такого вида называют параллельными колебательными контурами.

Выражения для мгновенных значений токов в первой и второй ветвях рассматриваемой цепи имеют соответственно индуктивный и емкостной характер:

i1 = i1m sin (t-1 ); i2 = i2m sin (t +2 );

Действующее значение тока и угол сдвига фаз между током и напряжением определяется из следующих выражений:

для первой ветви

I1 = U / (R1 2 + XL 2 )1/2 ; cos1 = R1 / (R1 2 + XL 2 )1/2 ;

для второй ветви

I2 = U / (R2 2 + XC 2 )1/2 ; cos2 = R2 / (R2 2 + XC 2 )1/2 ;

Зная токи в ветвях, нельзя определить значение тока в неразветвленной части цепи простым сложением токов i1 и i2 , так как при этом необходимо учитывать их фазовые углы1 и2 . Поэтому ток в неразветвленной части цепи определяют как геометрическую сумму токов в ветвях. Построим соответствующую векторную диаграмму. При построении векторной диаграммы токов принято за начальный вектор принять вектор напряжения. Векторы токов в ветвях направлены с учетом их сдвига по фазе по отношению к вектору напряжения. Векторная диаграмма имеет вид:

Из этой векторной диаграммы определяют величину тока в неразветвленной части цепи и угол сдвига фаз между током и напряжением в неразветвленной части цепи.

Метод векторных диаграмм, как всякий графический метод, не дает возможности получить высокую точность. Эти же величины можно определить и аналитически. Для этого вводят понятия активной и реактивной составляющих тока для ветви при последовательном соединении активных и реактивных элементов. Активная составляющая тока совпадает по фазе с приложенным напряжением. Реактивная составляющая тока сдвинута относительно приложенного напряжения на на угол /2:

Активная состовляющая тока в неразветвленной части цепи равна сумме активных состовляющих токов в каждой ветви:

I a= I 1a+ I 2а.

Где I1a = I1 cos1 , I2a = I2 cos2 .

Реактивная составляющая тока в пер вой ветви отстает по фазе от напряжения на /2 , а реактивная составляющая тока второй ветви

опережает напряжение на /2. Таким образом, реактивная составляющая тока в неразветвленной части цепи равна разности реактивных токов в первой и второй ветвях, то есть

Iр = I1р - I2р .

Где I1р = I1 sin1 , I2a = I2 sin2 .

Выражение полного тока в неразветвленной части цепи имеет вид

I = (Ia 2 + Iр 2 ) 1/2 .

Угол сдвига фаз, как следует из векторной диаграммы, определяется соотношением:

tg = Iр / Ia

В общем случае, когда параллельно соединяют n электроприемников:

I aI Rn, I pI LnI Cn.

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

В электротехнике под резонансным режимом работы цепей переменного тока понимают режим, при котором сопротивление цепи является чисто активным. По отношению к источнику питания элементы цепи ведут себя в резонансном режиме как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение в неразветвленной части цепи совпадают по фазе.

Реактивная мощность цепи при этом равна нулю.

Возможны два основных случая резонанса: при последовательном соединении реактивных элементов контура с источником возможен резонанс напряжений, а при параллельном соединении - резонанс токов.

Резонанс напряжений. Резонансом напряжений называют явление в цепи с последовательным соединением элементов, когда ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

Найдем условия резонанса напряжений. Для того чтобы ток в цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивное сопротивление должно равняться нулю, так как

tg = X / R = (XL - XC ) / R.

Таким образом, условием резонанса напряжений является равенство реактивного сопротивления цепи нулю, или

XL = XC .

Но X L = L , аX C = 1 / С , где - частота источника питания. В результате можно записать:

Решая это урвнение относительно находим:

1 / (LC)1/2 =0 .

При резонансе напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний контура. Резонансу напряжений соответствует векторная диаграмма:

На основании этой диаграммы и закона Ома для этой цепи сформулируем признаки резонанса напряжений.

1.Полное сопротивление цепи минимально и чисто активное.

2.Ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения. 3.Напряжение на катушке индуктивности равно напряжению на конденсаторе и каждое в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажимах всей цепи (в 10 раз). Поэтому резонанс при последовательном соединении элементов называют резонансом напряжений.

Режим резонанса напряжений может быть получен изменением частоты напряжения источника при неизменных параметрах элементов колебательного контура или изменением параметров элементов колебательного контура.

В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев резонанс напряжений - явление нежелательное, связанное с неожиданным возникновением перенапряжений, то есть напряжений в несколько раз превышающих рабочее напряжение установки, причем плавкие предохранители не защищают от возникновения этих перенапряжений.

Резонанс токов. В электрической цепи при параллельном соединении двух ветвей, когда в одной ветви включены элементыR 1 иL, а в другойR 2 иC , может устанавливаться режим резонанса токов, при котором ток в неразветвленной части цепи будет совпадать по фазе с напряжением.

Резонансная частота определяется выражением:

0 = (1 / LC)1/2 ((L/C - R1 2 )/(L/C - R2 2 ))1/2 .

Отсюда следует, что состояние резонанса токов в цепи можно получить изменением частоты источника или изменением параметров цепи L, C, R 1 , R 2 . Векторная диаграмма соответствующая резонансу токов имеет вид:

При резонансе токов реактивный ток замыкается в кольце, образуемом индуктивностью и емкостью, а провода, соединяющие колебательный контур с источником энергии, и самый источник полностью разгружается от реактивного тока.

В режиме резонанса токов рассматриваемая цепь ведет себя по отношению к источнику питания так, как будто она состоит только из элементов с активной проводимостью. В действительности же в параллельных ветвях с реактивными элементами могут протекать токи, даже превышающие полный ток, протекающий в источнике питания. Но эти токи всегда противоположны по фазе друг другу. Это означает, что через каждую четверть периода происходит обмен энергиями между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, который поддерживается напряжением источника питания.

При резонансе токов токи в ветвях могут превосходить ток в неразветвленной части цепи не только при резонансе, но и с приближением к нему. Поэтому резонанс при параллельном соединении элементов называют резонансом токов.

Резонанс токов в отличие от резонанса напряжений - явление, безопасное для электрических установок. Большие токи в ветвях при резонансе токов возникают лишь в том случае, если созданы большие реактивные проводимости ветвей - установлены большие батареи конденсаторов, мощные реактивные катушки.