Какому электрическому элементу соответствует векторная диаграмма. Последовательная цепь R, L на переменном токе: векторная диаграмма тока и напряжений, треугольник напряжений. Закон Ома в комплексной форме

В активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе, поэтому векторы напряжения Ū R и тока Ī направлены в одну сторону (рис.2.1). Они могут лежать на одной прямой или на параллельных прямых. При этом связка векторов Ū R и Ī может иметь произвольное направление, но во всех случаях угол между векторами равен нулю.

Примечание. Для того чтобы различные векторы, лежащие на одной прямой, не сливались и были легко отличимые друг от друга, рекомендуем проводить их на некотором, достаточно малом расстоянии друг от друга.

2.2. Индуктивность

В индуктивности ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода. На векторной диаграмме угол между векторами Ū L и Ī составляет 90º. И здесь связка векторов Ū L и Ī может быть сориентирована как угодно, но их взаимное расположение неизменно. При вращении диаграммы против часовой стрелки впереди идет вектор напряжения Ū L , а за ним с отставанием на 90º следует вектор тока Ī (рис.2.2).

2.3. Емкость

В емкости напряжение отстает от тока на четверть периода. Угол между векторами Ū C и Ī также равен 90º, но здесь при вращении диаграммы против часовой стрелки впереди идет вектор тока, за ним вектор напряжения (рис.2.3).

Указанное взаимное расположение векторов на диаграммах имеет место при одинаковых направлениях стрелок напряжения и тока на схеме рассматриваемого элемента.

3. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов

Задача 3.1. Требуется построить векторную диаграмму цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов (рис.3.1.).

Запишем уравнение второго закона Кирхгофа в векторной форме: напряжение, приложенное к цепи, равно сумме напряжений на всех элементах:

Ū = Ū R 1 + Ū L + Ū R 2 + Ū C (3.1)

Сумму напряжений в правой части уравнения записываем в том порядке, в котором при обходе контура от точки а (первого входного зажима) к точке d (второму входному зажиму) встречаются соответствующие элементы. В таком же порядке будем откладывать и векторы. При построении диаграммы контур обходим по направлению тока. Обращаем внимание на то, что направление стрелки напряжения на каждом элементе цепи совпадает с направлением стрелки тока.

Построение диаграммы начинаем с вектора тока, т.к. в последовательной цепи ток является общим для всех элементов (рис.3.2, а).

Первый элемент, который мы встречаем при обходе цепи, –активное сопротивление R 1 . Вектор напряжения на его зажимах Ū R 1 направляем по вектору тока Ī , совместив начала этих двух векторов (рис.3.2, б). Следующий элемент – индуктивность L . Напряжение Ū L на ней согласно уравнению 3.1 мы должны прибавить к напряжению Ū R 1 . Поэтому начало вектора Ū L совмещаем с концом вектора Ū R 1 и в соответствии с п.2.2. направляем его вверх – в сторону опережения тока (рис.3.2, в). К концу вектора Ū L пристраиваем вектор Ū R 2 , направляя его параллельно вектору тока Ī (рис.3.2, г).

Последний вектор – Ū C пристраиваем к концу вектора Ū R 2 , направляя его в сторону отставания от тока, т.е. вниз (рис.3.2, д). Вектор Ū , проведенный из начала вектора Ū R 1 в конец вектора Ū C , и равный сумме всех четырех векторов, определяет входное напряжение цепи (рис.3.2, е).

Результирующая векторная диаграмма позволяет определять напряжения на отдельных участках электрической цепи. Например, напряжение между точками a и b складывается из напряжений на активном сопротивлении R 1 и индуктивности L , поэтому вектор Ū ab , направлен из начала вектора Ū R 1 в конец вектора Ū L (показан пунктиром). Аналогично проведен и вектор Ū bd , равный сумме векторов Ū R 2 и Ū C .

Задача 3.2. По заданной векторной диаграмме (рис.3.3) начертить цепь, для которой она построена.

На диаграмме показан один вектор тока и пять векторов напряжений, которые в сумме дают вектор Ū :

Ū = Ū 1 + Ū 2 + Ū 3 + Ū 4 + Ū 5.

Из этого мы делаем заключение, что электрическая цепь состоит из последовательно соединенных пяти элементов, по которым протекает один и тот же ток.

Напряжение Ū 1 на первом элементе отстает от тока на 90º, следовательно, это – емкость. Второй элемент – активное сопротивление, так как вектор Ū 2 параллелен вектору тока Ī , совпадает с ним по фазе. Напряжение Ū 3 опережает ток на 90º, следовательно, третий элемент – индуктивность. Четвертый элемент – емкость, т.к. напряжение Ū 4 отстает от тока на 90º (находится в противофазе с напряжением Ū 3). И, наконец, последний элемент – снова активное сопротивление, т.к. напряжение на нем совпадает по фазе с током – векторы Ū 5 и Ī параллельны и направлены в одну сторону. Общий вид схемы показан на рис.3.4.

2.2. Индуктивность

2.3. Емкость

3. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов

Ū = Ū R 1 + Ū L + Ū R 2 + Ū C (3.1)

Задача 3.2. По заданной векторной диаграмме (рис.3.3) начертить цепь, для которой она построена.

На диаграмме показан один вектор тока и пять векторов напряжений, которые в сумме дают вектор Ū :

Ū = Ū 1 + Ū 2 + Ū 3 + Ū 4 + Ū 5.

треугольником напряжений и треугольником сопротивлений ,:

Последовательная цепь R, C на переменном токе: векторная диаграмма тока и напряжений, треугольник напряжений. Закон Ома в комплексной форме.

если в такой ветви течет ток , то падение напряжения будет складываться из:

где ; приведенному выше уравнению можно поставить в соответствие выражение: , которое наглядно демонстрируют векторные диаграммы, называемые соответственно треугольником напряжений и треугольником сопротивлений ,:

Закон Ома в комплексной форме:

Последовательная цепь R, L, C на переменном токе: векторная диаграмма тока и напряжений. Реактивное сопротивление цепи. Резонанс напряжений.

падение напряжения на цепи: , где: , а . В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая:

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке а .

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рисунке б .

Случай резонанса напряжений (рисунок в ).

Условие резонанса напряжений : , при котором . При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

- резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты:

Разветвленные электрические цепи переменного тока: комплексная проводимость последовательной ветви R, L, треугольник проводимостей, эквивалентная параллельная схема с проводимостями.

- полное сопротивление такой цепи: ;

- полная проводимость : ;

При изображении треугольника проводимостей на комплексной площади откладывают активную, индуктивную и полную проводимости: (см. рис.) и

Последовательную схему соединения R и L можно заменить на параллельную преобразовав ток через цепь как сумму активного и реактивного тока:

производить расчеты разветвленных схем удобно, приводя их к эквивалентной параллельной :

Параллельная электрическая цепь из конденсатора и катушки индуктивности: эквивалентная параллельная схема, векторная диаграмма токов. Резонанс токов.

Комплекс общего тока через такую ветвь: ;

Проводимость такой цепи: , а

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке а .

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рисунке б .

И - случай резонанса токов (рисунок в ).

Условие резонанса токов или . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рисунке резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Приведенное условие резонанса справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

Мощность в электрической цепи переменного тока: мгновенная мощность в элементах R, L, C. Реактивная мощность индуктивности и емкости. Треугольник мощностей. Активная, реактивная, полная и комплексная мощности всей цепи.

Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью :

- мгновенное значение мощности в электрической цепи: , приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:

Т.о., мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рисунок), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания.

Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника;

Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью : , [Вт]; Учитывая, что , получим: . Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника . Случай Р=0 , теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.

- мощность на резисторе (идеальном активном сопротивлении) потребляется только активная, т.к. ток и напряжение совпадают по фазе:

- мощность на катушке индуктивности (идеальной индуктивности) не потребляется:

Т.к. ток отстает от напряжения по фазе на , то: ; На участке 1-2 (см. рис.) энергия, запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает. На участке 2-3 - убывает, возвращаясь в источник.

- мощность на конденсаторе (идеальной емкости) также не потребляется:

Ток здесь опережает напряжение, поэтому , и . Т.о., в катушке индуктивности и конденсаторе не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления Х L , а , то комплекс полной мощности:

- треугольник мощностей – отображение комплексных значений мощностей на комплексной плоскости (при имеем следующее отображение).

Для упрощения анализа и расчета цепей переменного тока целесообразно использовать векторы.

В электротехнике векторами изображаются изменяющиеся синусоидально ЭДС, напряжения и токи, но в отличие от векторов, которыми изображались силы и скорости в механике, эти векторы вращаются с постоянной угловой частотой ω и не означают направление действия.

Допустим, что радиус-вектор ОА (рис. 2.3,а), представляющий собой в определенном масштабе амплитудное значение ЭДС Е т, вращается с постоянной угловой частотой ω = 2πf против часовой стрелки. Проекция вектора ОА на вертикальную ось (ось у ) будет равна

О а = ОA sin α.

Выразив ОА через амплитудное значение ЭДС Е т и α через ωt , получим выражение мгновенного значения ЭДС, изменяющейся синусоидально:

е = Е т sin ωt.

График мгновенных значений ЭДС изображен на рис. 2.3,б. За начало отсчета выбран момент времени, когда радиус-вектор совпадает с горизонтальной осью (ось х).

Рис. 2.3. Вращающиеся векторы (а) и график мгновенных значений синусоидальной ЭДС (б)

Если в момент t =0 радиус-вектор ОА совпадает с линией, расположенной под углом ψ к оси х, то проекция Оа" и, следовательно, ЭДС будут соответственно равны

Оа" = ОА" sin (ωt + ψ), е = E m sin (ωt + ψ).

Аналогично можно представить в виде векторов, вращающихся против часовой стрелки с постоянной угловой частотой ω, напряжение и ток.

Расчет цепей синусоидального тока производят в действующих значениях ЭДС, напряжений и токов. При этом суммирование Е, U, I проще осуществить с помощью вращающихся векторов, вместо того чтобы, сложив мгновенные значения е , и , i , определить действующие значения результирующих Е , U , I интегрированием гармонических функций. Адекватность этих действий можно обосновать так.

Допустим, что в каком-то узле цепи переменного тока (рис. 2.4, а) известны значения токов i 1 и i 2:

i 1 = I 1m sin (ωt + ψ 1);

i 2 = I 2 m sin (ωt + ψ 2).

Требуется определить ток i.

На основании первого закона Кирхгофа мгновенное значение тока

i = i 1 + i 2 ,

i = I 1m sin (ωt + ψ 1) + I 2m sin (ωt + ψ 2).

Ток i можно определить аналитически путем тригонометрических преобразований или графически сложением графиков мгновенных значений токов i 1 и i 2 , как это сделано на рис. 2.4, б. Результирующий ток также изменяется синусоидально и в соответствии с рис. 2.4, б

Рис. 2.4. Сложение синусоидальных токов с помощью векторов (а): графики мгновенных значений токов (б)

i = I m sin (ωt + ψ).

Значительно проще произвести сложение токов i 1 и i 2 , если изобразить амплитуды токов в виде векторов и сложить их по правилу параллелограмма. На рис. 2.4, а амплитуды токов I 1 m и I 2 m изображены в виде векторов под углами начальных фаз ψ 1 и ψ 2 относительно оси х. По прошествии времени t векторы повернутся на угол α = ωt. Проекции амплитуд на ось у составят

i 1 = I 1 m sin (ωt + ψ 1);

i 2 = I 2 m sin (ωt + ψ 2).

Сложив векторы I 1 m и I 2 m по правилу параллелограмма (см. рис. 2,4, а), получим амплитуду результирующего тока I m . Сумма проекций токов I 1 m и I 2 m равна проекции результирующего тока I m:

i = i1 + i2.

Полученное выражение соответствует первому закону Кирхгофа для рассматриваемого узла цепи (см. рис. 2.4, а). Из рис. 2.4. а видно, что взаимное расположение векторов I 1 m , I 2 m и I m в любой момент времени остается неизменным, так как они вращаются с постоянной угловой частотой ω. Аналогично можно определить сумму нескольких изменяющихся синусоидально с одинаковой частотой напряжений или ЭДС Например, в последовательной цепи переменного тока действуют три напряжения:

u 1 = U 1 m sin (ωt + ψ 1);

u 2 = U 2 m sin (ωt + ψ 2);

u 3 = U 3m sin (ωt + ψ 3).

Сумму u = u 1 + u 2 + u 3 напряжений можно определить путем сложения векторов их амплитуд (рис. 2.5)

Рис 2.5. Векторная диаграмма напряжений

Ū m = Ū 1m + Ū 2m + Ū 3m

и последующей записи результирующего напряжения u = U m sin (ωt + ψ).

Совокупность нескольких вращающихся векторов, соответствующих уравнениям электрической цепи, называется векторной диаграммой.

Обычно векторные диаграммы строят не для амплитудных, а для действующих значений. Векторы действующих значений отличаются от векторов амплитудных значений только масштабами, так как

I = I m / .

При построении векторных диаграмм обычно один из исходных векторов располагают на плоскости произвольно, остальные же векторы - под соответствующими углами к исходному. При этом в подавляющем большинстве случаев можно обойтись без нанесения осей координат х и у .