Какво е общото между едно дърво, морски бряг, облак или кръвоносните съдове в ръката ни? Има едно свойство на структурата, което е присъщо на всички изброени обекти: те са самоподобни. От клон, както от ствол на дърво, се простират по-малки издънки, от тях още по-малки и т.н., тоест клонът е подобен на цялото дърво. Кръвоносната система е структурирана по подобен начин: артериолите се отклоняват от артериите, а от тях - най-малките капиляри, през които кислородът навлиза в органите и тъканите. Да разгледаме сателитните снимки на морския бряг: ще видим заливи и полуострови; Да го погледнем, но от птичи поглед: ще видим заливи и носове; Сега си представете, че стоим на плажа и гледаме краката си: винаги ще има камъчета, които стърчат по-навътре във водата от останалите. Тоест бреговата линия, когато се увеличи, остава подобна на себе си. Американският (въпреки че е израснал във Франция) математик Беноа Манделброт нарича това свойство на обектите фракталност, а самите такива обекти - фрактали (от лат. fractus - начупен).

Има една интересна история, свързана с бреговата линия, или по-точно с опита за измерване на нейната дължина, която е в основата на научната статия на Манделброт и е описана и в книгата му „Фракталната геометрия на природата“. Говорим за експеримент, извършен от Луис Фрай Ричардсън, много талантлив и ексцентричен математик, физик и метеоролог. Една от посоките на неговите изследвания беше опитът да се намери математическо описание на причините и вероятността от въоръжен конфликт между две държави. Сред параметрите, които той взе предвид, е дължината на общата граница на двете враждуващи страни. Когато събира данни за числени експерименти, той открива, че данните за общата граница на Испания и Португалия се различават значително от различни източници. Това го довежда до следното откритие: дължината на границите на една държава зависи от линийката, с която ги измерваме. Колкото по-малък е мащабът, толкова по-дълга е границата. Това се дължи на факта, че с по-голямо увеличение става възможно да се вземат предвид все повече и повече нови завои на брега, които преди това бяха игнорирани поради грубостта на измерванията. И ако с всяко увеличаване на мащаба се разкриват неотчетени преди това завои на линии, тогава се оказва, че дължината на границите е безкрайна! Вярно е, че това всъщност не се случва - точността на нашите измервания има крайна граница. Този парадокс се нарича ефект на Ричардсън.

Днес теорията за фракталите се използва широко в различни области на човешката дейност. В допълнение към фракталното рисуване, фракталите се използват в теорията на информацията за компресиране на графични данни (свойството на самоподобност на фракталите се използва главно тук - в края на краищата, за да запомните малък фрагмент от картина и трансформациите, с които можете да получите останалите части, необходима е много по-малко памет, отколкото за съхраняване на целия файл). Чрез добавяне на произволни смущения към формулите, които определят фрактала, можете да получите стохастични фрактали, които много правдоподобно предават някои реални обекти - релефни елементи, повърхността на резервоари, някои растения, което се използва успешно във физиката, географията и компютърната графика за постигане на по-големи сходство на симулирани обекти с реални. В радиоелектрониката през последното десетилетие започнаха да се произвеждат антени с фрактална форма. Заемайки малко място, те осигуряват висококачествено приемане на сигнала. Икономистите използват фрактали, за да опишат кривите на колебанията на валутния курс (това свойство е открито от Манделброт преди повече от 30 години).

Най-гениалните открития в науката могат коренно да променят човешкия живот. Изобретената ваксина може да спаси милиони хора, а създаването на оръжия, напротив, отнема тези животи. Съвсем наскоро (в мащаба на човешката еволюция) се научихме да „опитомяваме“ електричеството - и сега не можем да си представим живота без всички тези удобни устройства, които използват електричество. Но има и открития, на които малко хора придават значение, въпреки че те също оказват голямо влияние върху живота ни.

Едно от тези „незабележими“ открития са фракталите. Вероятно вече сте чували тази закачлива дума, но знаете ли какво означава и колко интересна информация се крие в този термин?

Всеки човек има естествено любопитство, желание да разбере света около себе си. И в това начинание човек се опитва да се придържа към логиката в преценките. Анализирайки процесите, протичащи около него, той се опитва да намери логиката на случващото се и да извлече някакъв модел. Най-големите умове на планетата са заети с тази задача. Грубо казано, учените търсят модел там, където не трябва да има такъв. Въпреки това дори в хаоса е възможно да се намерят връзки между събитията. И тази връзка е фрактал.

Нашата малка дъщеричка, на четири години и половина, вече е в онази прекрасна възраст, когато броят на въпросите „Защо?” многократно надхвърля броя на отговорите, които възрастните успяват да дадат. Неотдавна, докато разглеждах клон, повдигнат от земята, дъщеря ми внезапно забеляза, че този клон, с клонките и клоните, сам по себе си прилича на дърво. И, разбира се, последва обичайният въпрос „Защо?“, на който родителите трябваше да потърсят простичко, разбираемо за детето обяснение.

Откритото от дете сходство на един клон с цяло дърво е много точно наблюдение, което още веднъж свидетелства за принципа на рекурсивното самоподобие в природата. Много органични и неорганични форми в природата се образуват по подобен начин. Облаци, морски раковини, „къща“ на охлюв, кората и короната на дърветата, кръвоносната система и така нататък – произволните форми на всички тези обекти могат да бъдат описани с фрактален алгоритъм.

⇡ Беноа Манделброт: баща на фракталната геометрия

Самата дума "фрактал" се появи благодарение на брилянтния учен Беноа Б. Манделброт.

Самият той измисля термина през 70-те години на миналия век, като заема думата fractus от латински, където буквално означава „счупен“ или „смачкан“. Какво е? Днес думата "фрактал" най-често означава графично представяне на структура, която в по-голям мащаб е подобна на себе си.

Математическата основа за възникването на теорията за фракталите е положена много години преди раждането на Беноа Манделброт, но тя може да се развие едва с появата на изчислителните устройства. В началото на научната си кариера Беноа работи в изследователския център на IBM. По това време служителите на центъра работят по предаване на данни на разстояние. По време на изследването учените се сблъскаха с проблема с големите загуби, произтичащи от шумови смущения. Беноа имаше трудна и много важна задача - да разбере как да предвиди появата на шумови смущения в електронните схеми, когато статистическият метод се окаже неефективен.

Преглеждайки резултатите от измерванията на шума, Манделброт забеляза един странен модел - шумовите графики в различни мащаби изглеждаха еднакви. Наблюдава се идентичен модел, независимо дали е шумова графика за един ден, седмица или час. Беше необходимо да се промени мащабът на графиката и картината се повтаряше всеки път.

През живота си Беноа Манделброт многократно е казвал, че не е изучавал формули, а просто си е играл с картинки. Този човек мислеше много образно и преведе всяка алгебрична задача в областта на геометрията, където според него верният отговор винаги е очевиден.

Не е изненадващо, че именно човек с толкова богато пространствено въображение стана бащата на фракталната геометрия. В края на краищата, осъзнаването на същността на фракталите идва точно когато започнете да изучавате рисунките и да мислите за значението на странните вихрови модели.

Фракталният модел няма идентични елементи, но е подобен във всеки мащаб. По-рано беше просто невъзможно да се изгради такова изображение с висока степен на детайлност ръчно; това изискваше огромно количество изчисления. Например френският математик Пиер Жозеф Луи Фату описва този набор повече от седемдесет години преди откритието на Беноа Манделброт. Ако говорим за принципите на самоподобието, те са споменати в произведенията на Лайбниц и Георг Кантор.

Една от първите фрактални рисунки беше графична интерпретация на набора на Манделброт, която се роди благодарение на изследванията на Гастон Морис Юлия.

Гастон Джулия (винаги с маска - нараняване от Първата световна война)

Този френски математик се чудеше как би изглеждал набор, ако беше конструиран от проста формула, повторена чрез обратна връзка. Ако го обясним „на пръсти“, това означава, че за конкретно число намираме нова стойност с помощта на формулата, след което я заместваме отново във формулата и получаваме друга стойност. Резултатът е голяма последователност от числа.

За да получите пълна картина на такъв набор, трябва да направите огромен брой изчисления - стотици, хиляди, милиони. Просто беше невъзможно да се направи това ръчно. Но когато мощните изчислителни устройства станаха достъпни за математиците, те успяха да хвърлят нов поглед върху формулите и изразите, които отдавна представляват интерес. Манделброт е първият, който използва компютър за изчисляване на класически фрактал. След като обработи последователност, състояща се от голям брой стойности, Беноа начерта резултатите върху графика. Това е, което той получи.

Впоследствие това изображение е оцветено (например един от методите за оцветяване е чрез брой итерации) и се превръща в едно от най-популярните изображения, създавани някога от човека.

Както казва древната поговорка, приписвана на Хераклит от Ефес, „Не можете да влезете в една и съща река два пъти“. Той е идеално подходящ за интерпретиране на геометрията на фракталите. Без значение колко подробно разглеждаме фракталното изображение, винаги ще виждаме подобен модел.

Тези, които желаят да видят как би изглеждало изображение на пространството на Манделброт, когато се увеличи многократно, могат да го направят, като изтеглят анимирания GIF.

⇡ Лорън Карпентър: изкуство, създадено от природата

Теорията на фракталите скоро намери практическо приложение. Тъй като е тясно свързано с визуализацията на себеподобни изображения, не е изненадващо, че първите, които възприемат алгоритми и принципи за конструиране на необичайни форми, са художниците.

Бъдещият съосновател на легендарното студио Pixar, Лорен С. Карпентър, започва работа през 1967 г. в Boeing Computer Services, което е едно от подразделенията на известната корпорация, разработваща нови самолети.

През 1977 г. създава презентации с прототипи на летящи модели. Отговорностите на Лорен включват разработване на изображения на проектирания самолет. Той трябваше да създаде снимки на нови модели, показващи бъдещи самолети от различни ъгли. В един момент бъдещият основател на Pixar Animation Studios излезе с творческата идея да използва изображение на планини като фон. Днес всеки ученик може да реши такъв проблем, но в края на седемдесетте години на миналия век компютрите не можеха да се справят с толкова сложни изчисления - нямаше графични редактори, да не говорим за приложения за 3D графика. През 1978 г. Лорън случайно вижда в магазин книгата на Беноа Манделброт „Фрактали: форма, шанс и измерение“. Това, което привлече вниманието му в тази книга, беше, че Беноа даде много примери за фрактални форми в реалния живот и твърди, че те могат да бъдат описани с математически израз.

Тази аналогия не е избрана от математика случайно. Факт е, че веднага след като публикува изследването си, той трябваше да се сблъска с цял порой от критики. Основното нещо, за което колегите му го упрекнаха, беше безполезността на развиваната теория. „Да“, казаха те, „това са красиви снимки, но нищо повече. Теорията на фракталите няма практическа стойност. Имаше и такива, които като цяло вярваха, че фракталните модели са просто страничен продукт от работата на „дяволските машини“, които в края на седемдесетте изглеждаха на мнозина като нещо твърде сложно и неизследвано, за да му се вярва напълно. Манделброт се опита да намери очевидни приложения на теорията на фракталите, но в голямата схема на нещата не му трябваше. През следващите 25 години последователите на Беноа Манделброт доказаха огромните ползи от такова „математическо любопитство“, а Лорън Карпентър беше една от първите, които изпробваха фракталния метод на практика.

След като изучава книгата, бъдещият аниматор сериозно изучава принципите на фракталната геометрия и започва да търси начин да я приложи в компютърната графика. Само за три дни работа Лорън успя да направи реалистично изображение на планинската система на своя компютър. С други думи, той използва формули, за да нарисува напълно разпознаваем планински пейзаж.

Принципът, който Лорън използва, за да постигне целта си, беше много прост. Състоеше се от разделяне на по-голяма геометрична фигура на малки елементи, а те от своя страна бяха разделени на подобни фигури с по-малък размер.

Използвайки по-големи триъгълници, Карпентър ги разделя на четири по-малки и след това повтаря този процес отново и отново, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така успява да стане първият художник, който използва фрактален алгоритъм за конструиране на изображения в компютърната графика. Веднага щом се разчу за работата, ентусиастите по целия свят подхванаха идеята и започнаха да използват фракталния алгоритъм за имитиране на реалистични природни форми.

Една от първите 3D визуализации, използващи фрактален алгоритъм

Само няколко години по-късно Лорън Карпентър успява да приложи своите разработки в много по-голям проект. От тях аниматорът създава двуминутно демо на Vol Libre, което е показано на Siggraph през 1980 г. Това видео шокира всички, които го видяха, а Лорън получи покана от Lucasfilm.

Анимацията беше изобразена на компютър VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактова честота от пет мегахерца и изобразяването на всеки кадър отне около половин час.

Работейки за Lucasfilm Limited, аниматорът създава 3D пейзажи, използвайки същата схема за втория пълнометражен филм от сагата Star Trek. В The Wrath of Khan Карпентър успя да създаде цяла планета, използвайки същия принцип на моделиране на фракталната повърхност.

В момента всички популярни приложения за създаване на 3D пейзажи използват подобен принцип за генериране на природни обекти. Terragen, Bryce, Vue и други 3D редактори разчитат на фрактален алгоритъм за моделиране на повърхности и текстури.

⇡ Фрактални антени: по-малкото е повече

През последния половин век животът бързо започна да се променя. Повечето от нас приемат напредъка на съвременните технологии за даденост. Много бързо свикваш с всичко, което прави живота по-комфортен. Рядко някой си задава въпроса "Откъде дойде това?" и „Как работи?“ Микровълнова печка затопля закуската - страхотно, смартфонът ви дава възможност да говорите с друг човек - страхотно. Това изглежда като очевидна възможност за нас.

Но животът можеше да бъде съвсем различен, ако човек не беше търсил обяснение за случващите се събития. Вземете например мобилните телефони. Помните ли прибиращите се антени на първите модели? Те пречеха, увеличаваха размера на устройството и в крайна сметка често се счупваха. Вярваме, че са потънали в забрава завинаги и част от причината за това са... фракталите.

Фракталните модели очароват със своите модели. Те определено приличат на изображения на космически обекти - мъглявини, галактически купове и т.н. Следователно е съвсем естествено, че когато Манделброт изказва своята теория за фракталите, неговите изследвания предизвикват повишен интерес сред тези, които изучават астрономия. Един от тези аматьори на име Нейтън Коен, след като присъства на лекция на Беноа Манделброт в Будапеща, се вдъхновява от идеята за практическо приложение на придобитите знания. Вярно, той направи това интуитивно и случайността изигра важна роля в неговото откритие. Като радиолюбител Нейтън се стреми да създаде антена с възможно най-висока чувствителност.

Единственият начин да се подобрят параметрите на антената, която беше известна по това време, беше да се увеличат нейните геометрични размери. Собственикът на имота в центъра на Бостън, който Нейтън нае, обаче беше категорично против инсталирането на големи устройства на покрива. Тогава Нейтън започна да експериментира с различни форми на антената, опитвайки се да постигне максимален резултат с минимален размер. Вдъхновен от идеята за фракталните форми, Коен, както се казва, на случаен принцип направи един от най-известните фрактали от тел - „снежинката на Кох“. Шведският математик Хелге фон Кох измисли тази крива през 1904 г. Получава се чрез разделяне на отсечка на три части и замяна на средната отсечка с равностранен триъгълник без страна, съвпадаща с тази отсечка. Определението е малко трудно за разбиране, но на фигурата всичко е ясно и просто.

Има и други варианти на кривата на Кох, но приблизителната форма на кривата остава подобна

Когато Нейтън свърза антената към радиоприемника, той беше много изненадан - чувствителността се увеличи драстично. След поредица от експерименти бъдещият професор в Бостънския университет осъзнава, че антената, направена по фрактален модел, има висока ефективност и покрива много по-широк честотен диапазон в сравнение с класическите решения. В допълнение, формата на антената под формата на фрактална крива позволява значително намаляване на геометричните размери. Нейтън Коен дори излезе с теорема, която доказва, че за да се създаде широколентова антена, е достатъчно да й се придаде формата на самоподобна фрактална крива.

Авторът патентова откритието си и основа компания за разработване и проектиране на фрактални антени Fractal Antenna Systems, с право вярвайки, че в бъдеще, благодарение на неговото откритие, мобилните телефони ще могат да се отърват от обемистите антени и да станат по-компактни.

По принцип така и стана. Вярно е, че до ден днешен Нейтън е ангажиран в съдебна битка с големи корпорации, които незаконно използват откритието му за производство на компактни комуникационни устройства. Някои известни производители на мобилни устройства, като Motorola, вече са постигнали приятелско споразумение с изобретателя на фракталната антена.

⇡ Фрактални измерения: не можете да го разберете с ума си

Беноа заимства този въпрос от известния американски учен Едуард Каснер.

Последният, подобно на много други известни математици, обичаше да общува с деца, да им задава въпроси и да получава неочаквани отговори. Понякога това водеше до изненадващи последици. Например, деветгодишният племенник на Едуард Каснър излезе с вече добре познатата дума „googol“, което означава единица, последвана от сто нули. Но да се върнем на фракталите. Американският математик обичал да задава въпроса колко е дълга бреговата линия на САЩ. След като изслуша мнението на своя събеседник, самият Едуард каза правилния отговор. Ако измервате дължината на карта с помощта на счупени сегменти, резултатът ще бъде неточен, тъй като бреговата линия има голям брой неравности. Какво се случва, ако измерваме възможно най-точно? Ще трябва да вземете под внимание дължината на всяка неравност - ще трябва да измерите всеки нос, всеки залив, скала, дължината на скален ръб, камък върху него, песъчинка, атом и т.н. Тъй като броят на нередностите клони към безкрайност, измерената дължина на бреговата линия ще се увеличава до безкрайност при измерване на всяка нова нередност.

Колкото по-малка е мярката при измерване, толкова по-голяма е измерената дължина

Интересното е, че следвайки указанията на Едуард, децата бяха много по-бързи от възрастните в казването на правилното решение, докато последните имаха проблеми с приемането на такъв невероятен отговор.

Използвайки този проблем като пример, Манделброт предложи да се използва нов подход към измерванията. Тъй като бреговата линия е близо до фрактална крива, това означава, че към нея може да се приложи характеризиращ параметър - така наречената фрактална размерност.

Какво е редовно измерение е ясно на всеки. Ако размерът е равен на едно, получаваме права линия, ако две - плоска фигура, три - обем. Това разбиране на измерението в математиката обаче не работи с фрактални криви, където този параметър има дробна стойност. Фракталното измерение в математиката може условно да се разглежда като „грапавост“. Колкото по-голяма е грапавостта на кривата, толкова по-голяма е нейната фрактална размерност. Крива, която според Манделброт има фрактална размерност, по-висока от нейната топологична размерност, има приблизителна дължина, която не зависи от броя на измеренията.

В момента учените намират все повече и повече области за прилагане на теорията на фракталите. Използвайки фрактали, можете да анализирате колебанията в борсовите цени, да изучавате всякакви естествени процеси, като например колебания в броя на видовете, или да симулирате динамиката на потоците. Фракталните алгоритми могат да се използват за компресиране на данни, като например компресиране на изображения. И между другото, за да получите красив фрактал на екрана на вашия компютър, не е нужно да имате докторска степен.

⇡ Фрактал в браузъра

Може би един от най-лесните начини да получите фрактален модел е да използвате онлайн векторен редактор от младия талантлив програмист Тоби Шахман. Инструментите на този прост графичен редактор се основават на същия принцип на самоподобие.

На ваше разположение има само две най-прости форми - четириъгълник и кръг. Можете да ги добавите към платното, да ги мащабирате (за да мащабирате по една от осите, задръжте натиснат клавиша Shift) и да ги завъртите. Припокривайки се според принципа на булевите операции на добавяне, тези най-прости елементи образуват нови, по-малко тривиални форми. След това тези нови форми могат да бъдат добавени към проекта и програмата ще повтаря генерирането на тези изображения ad infinitum. На всеки етап от работата върху фрактал можете да се върнете към всеки компонент от сложна форма и да редактирате неговата позиция и геометрия. Забавна дейност, особено като имате предвид, че единственият инструмент, който трябва да създадете, е браузър. Ако не разбирате принципа на работа с този рекурсивен векторен редактор, съветваме ви да гледате видеоклипа на официалния уебсайт на проекта, който показва подробно целия процес на създаване на фрактал.

⇡ XaoS: фрактали за всеки вкус

Много графични редактори имат вградени инструменти за създаване на фрактални модели. Тези инструменти обаче обикновено са вторични и не позволяват фина настройка на генерирания фрактален модел. В случаите, когато е необходимо да се изгради математически точен фрактал, кросплатформеният редактор XaoS ще дойде на помощ. Тази програма дава възможност не само за изграждане на самоподобно изображение, но и за извършване на различни манипулации с него. Например, в реално време можете да направите „разходка“ по фрактал, като промените неговия мащаб. Анимирано движение по фрактал може да бъде запазено като XAF файл и след това възпроизведено в самата програма.

XaoS може да зарежда произволен набор от параметри, а също така да използва различни филтри за последваща обработка на изображения - добавяне на ефект на замъглено движение, изглаждане на резки преходи между фрактални точки, симулиране на 3D изображение и т.н.

⇡ Fractal Zoomer: компактен генератор на фрактали

В сравнение с други генератори на фрактални изображения, той има няколко предимства. Първо, той е много малък по размер и не изисква инсталация. На второ място, той реализира възможността за определяне на цветовата палитра на картината. Можете да изберете нюанси в цветови модели RGB, CMYK, HVS и HSL.

Също така е много удобно да използвате опцията за произволен избор на цветови нюанси и функцията за обръщане на всички цветове в картината. За да регулирате цвета, има функция за цикличен избор на нюанси - когато включите съответния режим, програмата анимира изображението, като циклично променя цветовете върху него.

Fractal Zoomer може да визуализира 85 различни фрактални функции, а формулите са ясно показани в менюто на програмата. В програмата има филтри за последваща обработка на изображения, макар и в малки количества. Всеки зададен филтър може да бъде отменен по всяко време.

⇡ Mandelbulb3D: 3D фрактален редактор

Когато се използва терминът "фрактал", той най-често се отнася до плоско, двуизмерно изображение. Фракталната геометрия обаче надхвърля 2D измерението. В природата можете да намерите както примери за плоски фрактални форми, да речем, геометрията на светкавицата, така и триизмерни обемни фигури. Фракталните повърхности могат да бъдат триизмерни и една много ясна илюстрация на 3D фракталите в ежедневието е глава зеле. Може би най-добрият начин да видите фрактали е в сорта Романеско, хибрид на карфиол и броколи.

Можете също да ядете този фрактал

Програмата Mandelbulb3D може да създава триизмерни обекти с подобна форма. За да се получи 3D повърхност с помощта на фрактален алгоритъм, авторите на това приложение, Даниел Уайт и Пол Найландер, преобразуваха набора на Манделброт в сферични координати. Създадената от тях програма Mandelbulb3D е истински триизмерен редактор, който моделира фрактални повърхности с различни форми. Тъй като често наблюдаваме фрактални модели в природата, изкуствено създаден фрактален триизмерен обект изглежда невероятно реалистичен и дори „жив“.

Може да прилича на растение, може да прилича на странно животно, планета или нещо друго. Този ефект е подобрен от усъвършенстван алгоритъм за изобразяване, който прави възможно получаването на реалистични отражения, изчисляване на прозрачност и сенки, симулиране на ефекта на дълбочината на полето и т.н. Mandelbulb3D има огромен брой настройки и опции за изобразяване. Можете да контролирате нюансите на източниците на светлина, да изберете фона и нивото на детайлност на симулирания обект.

Редакторът на фрактали Incendia поддържа изглаждане на двойно изображение, съдържа библиотека от петдесет различни триизмерни фрактала и има отделен модул за редактиране на основни форми.

Приложението използва фрактален скрипт, с който можете независимо да описвате нови видове фрактален дизайн. Incendia разполага с редактори на текстури и материали, а механизмът за изобразяване ви позволява да използвате обемни ефекти на мъгла и различни шейдъри. Програмата реализира опцията за запазване на буфер по време на дългосрочно изобразяване и поддържа създаването на анимация.

Incendia ви позволява да експортирате фрактален модел в популярни 3D графични формати - OBJ и STL. Incendia включва малка помощна програма, наречена Geometrica, специален инструмент за настройка на експортирането на фрактална повърхност към 3D модел. С помощта на тази помощна програма можете да определите разделителната способност на 3D повърхност и да посочите броя на фракталните итерации. Експортираните модели могат да се използват в 3D проекти при работа с 3D редактори като Blender, 3ds max и други.

Напоследък работата по проекта Incendia се забави донякъде. В момента авторът търси спонсори, които да му помогнат в развитието на програмата.

Ако нямате достатъчно въображение, за да нарисувате красив триизмерен фрактал в тази програма, няма значение. Използвайте библиотеката с параметри, която се намира в папката INCENDIA_EX\parameters. Използвайки PAR файлове, можете бързо да намерите най-необичайните фрактални форми, включително анимирани.

⇡ Аурал: как пеят фракталите

Обикновено не говорим за проекти, върху които току-що се работи, но в този случай трябва да направим изключение, тъй като това е много необичайно приложение. Проектът, наречен Aural, е измислен от същия човек, който създава Incendia. Този път обаче програмата не визуализира фракталния комплект, а го озвучава, превръщайки го в електронна музика. Идеята е много интересна, особено като се имат предвид необичайните свойства на фракталите. Aural е аудио редактор, който генерира мелодии с помощта на фрактални алгоритми, т.е. по същество това е аудио синтезатор-секвенсор.

Последователността от звуци, произведени от тази програма, е необичайна и... красива. Може да е полезно за писане на съвременни ритми и, както ни се струва, е особено подходящ за създаване на саундтраци за скрийнсейвъри на телевизионни и радио програми, както и „цикли“ на фонова музика за компютърни игри. Рамиро все още не е предоставил демонстрация на своята програма, но обещава, че когато го направи, за да работите с Aural, няма да е необходимо да изучавате фракталната теория - просто ще трябва да си поиграете с параметрите на алгоритъма за генериране на последователност от бележки. Чуйте как звучат фракталите и.

Фрактали: музикална пауза

Всъщност фракталите могат да ви помогнат да пишете музика дори без софтуер. Но това може да направи само някой, който наистина е проникнат от идеята за естествена хармония и който не се е превърнал в нещастен „маниак“. Има смисъл да вземем пример от музикант на име Джонатан Култън, който освен всичко друго пише композиции за списание Popular Science. И за разлика от други изпълнители, Колтън публикува всичките си произведения под лиценз Creative Commons Attribution-Noncommercial, който (когато се използва за некомерсиални цели) предоставя безплатно копиране, разпространение, прехвърляне на произведението на други, както и неговото модифициране ( създаване на производни произведения), така че да го адаптирате към вашите задачи.

Джонатан Колтън, разбира се, има песен за фракталите.

⇡ Заключение

Във всичко, което ни заобикаля, често виждаме хаос, но всъщност това не е случайност, а идеална форма, която фракталите ни помагат да различим. Природата е най-добрият архитект, идеалният строител и инженер. Тя е структурирана много логично и ако някъде не видим модел, това означава, че трябва да го търсим в различен мащаб. Хората разбират това все по-добре и по-добре, опитвайки се да имитират естествените форми по много начини. Инженерите проектират високоговорителни системи с форма на черупка, създават антени с форма на снежинка и т.н. Сигурни сме, че фракталите все още крият много тайни и много от тях все още не са открити от хората.

Често брилянтните открития, направени в науката, могат коренно да променят живота ни. Например изобретяването на ваксина може да спаси много хора, но създаването на нови оръжия води до убийства. Буквално вчера (в мащабите на историята) човекът е „опитомил” електричеството, а днес вече не може да си представи живота си без него. Има обаче и открития, които, както се казва, остават в сянка, въпреки факта, че също имат едно или друго влияние върху живота ни. Едно от тези открития беше фракталът. Повечето хора дори не са чували за това понятие и няма да могат да обяснят значението му. В тази статия ще се опитаме да разберем въпроса какво е фрактал и да разгледаме значението на този термин от гледна точка на науката и природата.

Ред в хаоса

За да разберем какво е фрактал, трябва да започнем разбора от позицията на математиката, но преди да се задълбочим в нея, ще пофилософстваме малко. Всеки човек има естествено любопитство, благодарение на което опознава света около себе си. Често в стремежа си към знания той се опитва да използва логиката в своите преценки. По този начин, анализирайки процесите, които се случват около него, той се опитва да изчисли връзки и да изведе определени модели. Най-великите умове на планетата са заети с решаването на тези проблеми. Грубо казано, нашите учени търсят модели там, където ги няма и не трябва да има. И все пак, дори в хаоса има връзка между определени събития. Тази връзка е това, което е фракталът. Като пример, помислете за счупен клон, който лежи на пътя. Ако се вгледаме в нея, ще видим, че с всичките си клони и клонки самата тя прилича на дърво. Това сходство на отделна част с едно цяло показва така наречения принцип на рекурсивно самоподобие. Фракталите могат да бъдат намерени навсякъде в природата, защото много неорганични и органични форми се образуват по подобен начин. Това са облаци, морски черупки, черупки от охлюви, корони на дървета и дори кръвоносната система. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези произволни форми лесно се описват чрез фрактален алгоритъм. Сега стигнахме до разглеждането на това какво е фрактал от гледна точка на точните науки.

Малко сухи факти

Самата дума „фрактал“ се превежда от латински като „частичен“, „разделен“, „фрагментиран“, а що се отнася до съдържанието на този термин, няма формулировка като такава. Обикновено се интерпретира като самоподобно множество, част от цялото, което повтаря неговата структура на микрониво. Този термин е измислен през седемдесетте години на двадесети век от Беноа Манделброт, който е признат за баща.Днес концепцията за фрактал означава графично изображение на определена структура, която, когато се увеличи, ще бъде подобна на себе си. Математическата основа за създаването на тази теория обаче е поставена още преди раждането на самия Манделброт, но тя не може да се развие, докато не се появят електронни компютри.

Исторически фон или как започна всичко

В началото на 19-ти и 20-ти век изследването на природата на фракталите беше спорадично. Това се обяснява с факта, че математиците предпочитат да изучават обекти, които могат да бъдат изследвани въз основа на общи теории и методи. През 1872 г. немският математик К. Вайерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която не е диференцируема никъде. Тази конструкция обаче се оказва напълно абстрактна и трудна за възприемане. След това идва шведът Хелге фон Кох, който през 1904 г. конструира непрекъсната крива, която няма никъде допирателна. Сравнително лесно е за рисуване и се оказва, че има фрактални свойства. Един от вариантите на тази крива е кръстен на нейния автор - „снежинката на Кох“. Освен това идеята за самоподобност на фигурите е разработена от бъдещия наставник на Б. Манделброт, французина Пол Леви. През 1938 г. той публикува статията „Равнинни и пространствени криви и повърхнини, състоящи се от части, подобни на цялото“. В него той описва нов тип - C-кривата на Lewy. Всички горни фигури условно се класифицират като геометрични фрактали.

Динамични или алгебрични фрактали

Наборът на Манделброт принадлежи към този клас. Първите изследователи в тази насока са френските математици Пиер Фату и Гастон Юлия. През 1918 г. Джулия публикува статия, базирана на изследването на итерации на рационални комплексни функции. Тук той описва семейство от фрактали, които са тясно свързани с множеството на Манделброт. Въпреки факта, че тази работа прослави автора сред математиците, тя бързо беше забравена. И само половин век по-късно, благодарение на компютрите, работата на Джулия получи втори живот. Компютрите направиха възможно да се направи видима за всеки човек красотата и богатството на света на фракталите, които математиците можеха да „видят“, като ги показват чрез функции. Манделброт е първият, който използва компютър за извършване на изчисления (такъв обем не може да се направи ръчно), което позволява да се изгради изображение на тези фигури.

Човек с пространствено въображение

Манделброт започва научната си кариера в изследователския център на IBM. Докато изучаваха възможностите за предаване на данни на дълги разстояния, учените бяха изправени пред факта на големи загуби, възникнали поради шумови смущения. Беноа търсеше начини за решаване на този проблем. Преглеждайки резултатите от измерванията, той забеляза странен модел, а именно: шумовите графики изглеждаха еднакви в различни времеви мащаби.

Подобна картина се наблюдава както за период от един ден, така и за седем дни или за един час. Самият Беноа Манделброт често повтаряше, че не работи с формули, а си играе с картини. Този учен се отличаваше с въображаемо мислене, той преведе всеки алгебричен проблем в геометричната област, където правилният отговор е очевиден. Така че не е изненадващо, че той се отличава с богатството си и става баща на фракталната геометрия. В крайна сметка осъзнаването на тази фигура може да дойде само когато изучавате рисунките и мислите за значението на тези странни вихри, които образуват модела. Фракталните модели нямат идентични елементи, но са подобни във всеки мащаб.

Джулия - Манделброт

Една от първите рисунки на тази фигура беше графична интерпретация на комплекта, която се роди от работата на Гастон Юлия и беше доразвита от Манделброт. Гастон се опита да си представи как би изглеждал набор въз основа на проста формула, която беше повторена чрез обратна връзка. Нека се опитаме да обясним казаното на човешки език, така да се каже, на пръсти. За конкретна числова стойност намираме нова стойност с помощта на формула. Заместваме го във формулата и намираме следното. Резултатът е голям.За да се представи такова множество, е необходимо тази операция да се извърши огромен брой пъти: стотици, хиляди, милиони. Това направи Беноа. Той обработи последователността и прехвърли резултатите в графична форма. Впоследствие той оцвети получената фигура (всеки цвят отговаря на определен брой повторения). Това графично изображение е наречено "фрактал на Манделброт".

Л. Карпентър: изкуство, създадено от природата

Теорията на фракталите бързо намери практическо приложение. Тъй като е много тясно свързано с визуализацията на себеподобни образи, художниците са първите, които възприемат принципите и алгоритмите за конструиране на тези необичайни форми. Първият от тях беше бъдещият основател на Pixar, Лорън Карпентър. Докато работи върху презентация на прототипи на самолети, той излезе с идеята да използва изображение на планини като фон. Днес почти всеки потребител на компютър може да се справи с подобна задача, но през седемдесетте години на миналия век компютрите не можеха да изпълняват такива процеси, тъй като по това време нямаше графични редактори или приложения за триизмерна графика. И тогава Лорен попадна на книгата на Манделброт „Фрактали: форма, произволност и измерение“. В него Беноа дава много примери, показващи, че фракталите съществуват в природата (fyva), той описва техните разнообразни форми и доказва, че те лесно се описват с математически изрази. Математикът цитира тази аналогия като аргумент за полезността на теорията, която развива, в отговор на порой от критики от колегите си. Те твърдяха, че фракталът е просто красива картина, няма стойност и е страничен продукт от работата на електронните машини. Карпентър реши да изпробва този метод на практика. След като внимателно проучи книгата, бъдещият аниматор започна да търси начин за прилагане на фракталната геометрия в компютърната графика. Отне му само три дни, за да направи напълно реалистично изображение на планинския пейзаж на своя компютър. И днес този принцип се използва широко. Както се оказва, създаването на фрактали не отнема много време и усилия.

Дърводелско решение

Принципът, който използва Лорън, беше прост. Състои се от разделяне на по-големите на малки елементи, а тези на подобни по-малки и т.н. Карпентър, използвайки големи триъгълници, ги раздели на 4 малки и така нататък, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така той става първият художник, който използва фрактален алгоритъм в компютърната графика, за да конструира необходимото изображение. Днес този принцип се използва за имитиране на различни реалистични природни форми.

Първата 3D визуализация с помощта на фрактален алгоритъм

Няколко години по-късно Лорън прилага разработките си в мащабен проект - анимационното видео Vol Libre, показано на Siggraph през 1980 г. Това видео шокира мнозина и създателят му беше поканен да работи в Lucasfilm. Тук аниматорът успя да реализира пълния си потенциал, той създаде триизмерни пейзажи (цяла планета) за игралния филм "Стар Трек". Всяка съвременна програма (“Fractals”) или приложение за създаване на 3D графики (Terragen, Vue, Bryce) използва същия алгоритъм за моделиране на текстури и повърхности.

Том Бедард

Бивш лазерен физик, а сега дигитален художник и артист, Бедард създава редица много интригуващи геометрични фигури, които нарича фрактали на Фаберже. Външно те приличат на декоративни яйца от руски бижутер, имат същия блестящ, сложен модел. Бедард използва шаблонен метод, за да създаде своите цифрови изображения на моделите. Получените продукти удивляват с красотата си. Въпреки че мнозина отказват да сравняват ръчно изработен продукт с компютърна програма, трябва да се признае, че получените форми са изключително красиви. Акцентът е, че всеки може да изгради такъв фрактал, използвайки софтуерната библиотека WebGL. Тя ви позволява да изследвате различни фрактални структури в реално време.

Фрактали в природата

Малко хора обръщат внимание, но тези удивителни фигури присъстват навсякъде. Природата е създадена от себеподобни фигури, ние просто не го забелязваме. Достатъчно е да погледнем през лупа нашата кожа или лист от дърво и ще видим фрактали. Или вземете например ананас или дори опашка на паун - те се състоят от подобни фигури. А сортът броколи Romanescu като цяло е поразителен с външния си вид, защото наистина може да се нарече чудо на природата.

Музикална пауза

Оказва се, че фракталите не са само геометрични фигури, те могат да бъдат и звуци. Така музикантът Джонатан Колтън пише музика, използвайки фрактални алгоритми. Претендира, че отговаря на естествената хармония. Композиторът публикува всичките си произведения под лиценз CreativeCommons Attribution-Noncommercial, който предоставя безплатно разпространение, копиране и прехвърляне на произведения на други.

Фрактален индикатор

Тази техника намери много неочаквано приложение. На негова основа беше създаден инструмент за анализ на борсовия пазар и в резултат на това започна да се използва на Форекс пазара. В днешно време фракталният индикатор се намира на всички платформи за търговия и се използва в търговска техника, наречена ценови пробив. Тази техника е разработена от Бил Уилямс. Както авторът коментира своето изобретение, този алгоритъм е комбинация от няколко „свещи“, в които централната отразява максималната или, обратно, минималната крайна точка.

Накрая

Така че разгледахме какво е фрактал. Оказва се, че в хаоса, който ни заобикаля, наистина съществуват идеални форми. Природата е най-добрият архитект, идеалният строител и инженер. Тя е подредена много логично и ако не можем да намерим модел, това не означава, че не съществува. Може би трябва да погледнем в различен мащаб. Можем да кажем с увереност, че фракталите все още крият много тайни, които предстои да открием.

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

автори:
Бекбулатова Алина,
Гетманова София

лидери:
Могутова Татяна Михайловна,
Дерюшкина Оксана Валериевна

Въведение.

Теоретична част на проекта:

• История на развитието на фракталната геометрия.
• Концепцията за фрактал.
• Видове фрактали:

а) геометрични фрактали, примери за геометрични фрактали;
б) алгебрични фрактали, примери за алгебрични фрактали;
в) стохастични фрактали, примери.

• Естествени фрактали.
• Практическо приложение на фракталите:
• в литературата;
• в телекомуникациите;
• в медицината;
• в архитектурата;
• в дизайна;
• по икономика;
• в игрите, киното, музиката
• в природните науки
• по физика;
• по биология
• фрактали за домакини
• модерна живопис – фрактална графика.
• Фрактална графика.
• Ролята на фракталната геометрия в живота е химн на фракталите!

Практическата част на проекта

• Създаване на научна работа „Пътуване в света на фракталите“
• Публикуване в Интернет.
• Участие в олимпиади и състезания.
• Създайте свои собствени фрактали.
• Създаване на брошура „Удивителният свят на фракталите“
• Провеждането на фестивала „Невероятният свят на фракталите.

Въведение

Геометрията често се описва като студена и суха. Една от причините е неспособността му да опише всичко, което ни заобикаля: формата на облак, планина, дърво или морски бряг. Облаците не са сфери, планините не са конуси, бреговете не са кръгове, кората не е гладка и светкавицата не се движи по права линия. С голяма радост за нас научихме, че в съвременния свят има нова геометрия – геометрията на фракталите.

Откриването на фракталите революционизира не само геометрията, но и физиката, химията, биологията и всички области на живота ни.

Уместност на проекта:

• Ролята на фракталите в съвременния свят е доста голяма
• Убедителни аргументи в полза на уместността на изучаването на фракталите е широчината на тяхното приложение

Изследователска хипотеза:

Фракталната геометрия е модерна, много интересна област на човешкото познание. Появата на фракталната геометрия е доказателство за продължаващата еволюция на човека и разширяването на неговите начини за разбиране на света.

Цел на проекта:

Изучете теорията на фракталите, за да създадете научна работа „Удивителният свят на фракталите“ и да разработите и внедрите на компютър алгоритми за рисуване на фрактали върху равнина.

Цели на проекта:

• Запознайте се с историята на възникването и развитието на фракталната геометрия;
• Изучаване на видовете фрактали и тяхното приложение в съвременния свят.
• Изпълнявайте програми за създаване на фрактали на езиците за програмиране Pascal и Logo
• Създайте научен труд за фракталите и го публикувайте в Интернет.
• Създайте брошура „Удивителният свят на фракталите“
• Проведете фестивал „Невероятният свят на фракталите“, за да запознаете учениците с резултатите от нашата работа.

По проекта работихме 4 месеца.

Основните етапи от нашата работа:

• Събиране на необходимата информация: използване на интернет, книги, публикации по тази тема. (Две седмици)
• Сортиране на информация по теми: систематизиране и определяне на реда на писане на работата. Работата отне 2 седмици.
• Подготовка на текстова работа: писане на текст, частична подготовка на систематизирана информация. Отне един месец.
• Създаване на презентация: компресиране на систематизирана информация, определяне на структурата на презентацията, нейното създаване и дизайн, и се проведе в продължение на един месец.
• Изучаване на програма за създаване на фрактали и създаване на ваши собствени фрактали на езиците за програмиране Pascal и Logo (до днес)

Теоретична част на проекта

Проучихме историята на създаването на фракталната геометрия.

Интересът към фракталните обекти се възражда в средата на 70-те години на 20 век.

Раждането на фракталната геометрия обикновено се свързва с публикуването на книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата” през 1977 г. В неговите трудове са използвани научните резултати на други учени, работили в периода 1875-1925 г. в същата област (Поанкаре, Фату, Джулия, Кантор, Хаусдорф Но едва в наше време е възможно да се комбинира тяхната работа в една система.

И така, какво е фрактал?

фрактал -геометрична фигура, съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура.

Малка част от фрактал съдържа информация за целия фрактал.Днес думата "фрактал" най-често означава графично представяне на структура, която е подобна на себе си в по-голям мащаб.

Фракталите се делят на геометрични, геометрични и стохастични.

Геометричните фрактали се наричат ​​още класически. Те са най-визуалните, тъй като имат така нареченото твърдо самоподобие, което не се променя при промяна на мащаба. Това означава, че колкото и близо да приближавате фрактала, все още виждате същия модел.

Нека дадем най-известните примери за геометрични фрактали.

Снежинка Кох.

Изобретен през 1904 г. от немския математик Хелге фон Кох.

За да се конструира, се взема един сегмент, разделен на три равни части и средната връзка се заменя с равностранен триъгълник без тази връзка. В следващата стъпка повтаряме операцията за всеки от четирите получени сегмента. В резултат на безкрайно повтаряне на тази процедура се получава фрактална крива.

Петоъгълник на Дюрер.

Фракталът изглежда като куп петоъгълници, притиснати един към друг. Всъщност той се образува чрез използване на петоъгълник като инициатор и равнобедрени триъгълници, съотношението на по-голямата страна към по-малката страна е точно равно на така нареченото златно сечение.Тези триъгълници се изрязват от средата на всеки петоъгълник, което води до фигура, подобна на 5 малки петоъгълника, залепени към един голям.

Салфетка на Сиерпински.

През 1915 г. полският математик Вацлав Серпински измисля интересен обект.

За да го конструирате, вземете плътен равностранен триъгълник. В първата стъпка обърнат равностранен триъгълник се отстранява от центъра. Втората стъпка премахва три обърнати триъгълника от останалите три триъгълника и т.н.

Драконова крива.

Изобретен от италианския математик Джузепе Пеано.

Килим Сиерпински.

Взима се квадрат, разделя се на девет равни квадрата, средният се изхвърля и същата операция се повтаря ad infinitum с останалите.

Вторият тип фрактали са алгебричните фрактали.

Те са получили името си, защото са изградени на базата на алгебрични формули. В резултат на математическата обработка на тази формула на екрана се показва точка с определен цвят. Резултатът е странна фигура, в която правите линии се превръщат в криви и ефектите на самоподобие се появяват на различни мащабни нива. Почти всяка точка на екрана на компютъра е като отделен фрактал.

Примери за най-известните алгебрични фрактали.

Комплект Манделброт.

Наборите на Манделброт са най-често срещаните сред алгебричните фрактали. Може да се намери в много научни списания, корици на книги, пощенски картички и компютърни скрийнсейвъри. Този фрактал прилича на машина за кардиране с горящи дървовидни и кръгли области, прикрепени към нея.

Много Джулия.

Наборът Julia е изобретен от френския математик Gaston Julia. Също толкова известен алгебричен фрактал.

Нютонови басейни.

Стохастични фрактали.

Фракталите, по време на изграждането на които в итеративна система някои параметри се променят произволно, се наричат ​​стохастични. Терминът "стохастичност" идва от гръцката дума, която означава "предположение".

В този случай получените обекти са много подобни на естествените - асиметрични дървета, насечени брегове и др. Двумерните стохастични фрактали се използват при моделиране на терен и морски повърхности.

Тези фрактали се използват при моделиране на терен и морски повърхности, както и при процеса на електролиза. Тази група фрактали стана широко разпространена благодарение на работата на Майкъл Барнсли от Технологичния институт на Джорджия.
Типичен представител на този клас фрактали е "Плазмата".

Най-разбираеми за нас са така наречените естествени фрактали.

„Великата книга на природата е написана на езика на геометрията“ (Галилео Галилей).

Естествени фрактали.

• В дивата природа:
• Морски звезди и таралежи
• Цветя и растения (броколи, зеле)
• Корони на дървета и листа от растения
• Плодове (ананас)
• Кръвоносна система и бронхи на хора и животни
• В неживата природа:
• Граници на географски обекти (държави, региони, градове)
• Мразовити шарки върху прозоречно стъкло
• Сталактити, сталагмити, хеликтити.

Почти всички природни образувания: корони на дървета, облаци, планини, брегови линии имат фрактална структура.
Какво означава?

Ако погледнете един фрактален обект като цяло, след това част от него в увеличен мащаб, след това част от тази част, не е трудно да видите, че изглеждат еднакви.

Морски фрактали.

Октоподът е дънно морско животно от разред главоноги.

Неговите тела и смукала на всичките осем пипала на това животно имат фрактална структура.

Друг типичен представител на фракталния подводен свят е коралът.

В природата са известни над 3500 вида корали.

Зелен фрактал – листа от папрат.

Листата на папрата имат формата на фрактална фигура - те са самоподобни.

Лукът е фрактал, който те кара да плачеш.Разбира се, това е обикновен фрактал: обикновени кръгове с различни диаметри, може дори да се каже примитивен фрактал.

Ярък пример за фрактал в природата е „Романеску“, известен още като „романско броколи“ или „коралов карфиол“.

Карфиол- типичен фрактал.

Нека да разгледаме структурата на карфиола.

Ако отрежете едно от цветята, очевидно е, че същият карфиол остава в ръцете ви, само по-малък по размер. Можем да продължим да режем отново и отново, дори под микроскоп - но всичко, което получаваме, са малки копия на карфиола.

Матрьошка - сувенирна играчка- типичен фрактал. Принципът на фракталността е очевиден, когато всички фигури на дървена играчка са подредени в редица, а не вложени една в друга.

Човекът е фрактал.

Детето се ражда и расте и този процес е придружен от принципа на „самоподобието“, фракталността.

Обхватът на фракталите е широк.

Фракталите в литературата

Сред литературните произведения има такива, които имат текстов, структурен или фрактален характер. В литературните фрактали елементите на текста се повтарят безкрайно:

Свещеникът имаше куче
той я обичаше.
Тя изяде парче месо
той я уби.
Заровени в земята
Caption написа:
Свещеникът имаше куче...

„Ето я къщата.
Което Джак построи.
А ето и житото.

В къщата,
Което Джак построи
И ето една весела птица синигер,
Която умело краде житото,
Което се съхранява в тъмен килер
В къщата,
Което Джак построи..." .

Фрактали в телекомуникациите.

За предаване на данни на разстояние се използват антени с фрактални форми, което значително намалява техния размер и тегло.

Фрактали в медицината.

В момента фракталите се използват широко в медицината. Самото човешко тяло се състои от множество фрактални структури: кръвоносна система, мускули, бронхи, бронхиални пътища в белите дробове, артерии.

Теорията на фракталите се използва за анализ на електрокардиограми.

Оценяването на величината и ритмите на фракталното измерение позволява на по-ранен етап и с по-голяма точност и информация да се съди за нарушенията в хомеостазата и развитието на конкретни сърдечни заболявания.

Рентгеновите изображения, обработени с помощта на фрактални алгоритми, осигуряват по-качествена картина и съответно по-добра диагностика!!

Друга област на активно използване на фракталите е гастроентерологията.

Нов метод за изследване в медицината, електрогастроентерографията е метод за изследване, който ви позволява да оцените биоелектричната активност на стомаха, дванадесетопръстника и други части на стомашно-чревния тракт.

Фрактали в архитектурата.

Фракталният принцип на развитие на естествени и геометрични обекти прониква дълбоко в архитектурата както като образ на външното решение на обекта, така и като вътрешен принцип на формиране на архитектурната форма.

Започнаха дизайнери от цял ​​святизползвайте в работата си забележителни фрактални структури, едва наскоро описани от видни математици.

Използването на фрактали изведе почти всички области на съвременния дизайн на ново ниво.

Въвеждането на фрактални структури увеличи както визуалните, така и функционалните компоненти на дизайна в много случаи.

Дизайнерът Такеши Миякава мечтаеше да стане математик като дете.

Как иначе можем да си обясним тази мебел: нощното шкафче Fractal 23 съдържа 23 чекмеджета с различни размери и пропорции, които по някакъв начин успяват да съжителстват едно с друго в кубичното тяло, запълвайки почти цялото им пространство.

Фрактали в икономиката.

Напоследък фракталите станаха популярни сред икономистите за анализ на борсови курсове, валутни и пазари за търговия.
Фракталите се появяват на пазара доста често.

Фрактали в игрите.

Днес много игри (може би най-яркият пример за Minecraft), където присъстват различни видове природни пейзажи, използват фрактални алгоритми по един или друг начин. Създадени са голям брой програми за генериране на пейзажи и пейзажи, базирани на фрактални алгоритми.

Фрактали в киното.

В киното фрактален алгоритъм се използва за създаване на различни фантастични пейзажи. Фракталната геометрия позволява на артистите със специални ефекти лесно да създават обекти като облаци, дим, пламъци, звездно небе и др. Какво тогава можем да кажем за фракталната анимация, това е наистина невероятна гледка.

Електронна музика.

Спектакълът на фракталната анимация се използва успешно от VJ. Такива видео инсталации се използват особено често на концерти на изпълнители на електронна музика.

Естествени науки.

Фракталите често се използват в геологията и геофизиката. Не е тайна, че бреговете на островите и континентите имат определено фрактално измерение, знаейки което, можете много точно да изчислите дължините на бреговете.

Изследването на тектониката на разломите и сеизмичността понякога също се изучава с помощта на фрактални алгоритми.

Геофизиката използва фрактали и фрактален анализ за изследване на аномалии на магнитното поле, за изследване на разпространението на вълни и трептения в еластична среда, за изследване на климата и много други неща.

Фрактали във физиката.

Във физиката фракталите се използват много широко. Във физиката на твърдото тяло фракталните алгоритми правят възможно точното описание и прогнозиране на свойствата на твърди, порести, гъбести тела и аерогелове. Това помага при създаването на нови материали с необичайни и полезни свойства.
Пример за твърдо вещество са кристалите.

Изследването на турбулентността в потоците се адаптира много добре към фракталите.

Преходът към фрактално представяне улеснява работата на инженерите и физиците, като им позволява да разбират по-добре динамиката на сложните системи.
С помощта на фрактали можете също да симулирате пламъци.

Фрактали в биологията.

В биологията те се използват за моделиране на популации и за описание на системи от вътрешни органи (системата на кръвоносните съдове). След създаването на кривата на Кох беше предложено да се използва при изчисляване на дължината на бреговата линия.

Фрактали за домакини.

Лесно е да пренесете теорията за фракталите в дома, включително в кухнята.

Резултатът от приложението може да бъде всичко: фрактални обеци, фрактален вкусен дроб и много други. Трябва само да използвате знания и изобретателност!

Фракталната графика се използва широко в съвременния свят. Картините са популярни - резултат от фрактална графика.

И това не е случайно. Възхищавайте се на красотата на фракталната графика!

Практическа част на проекта

• Създава научна работа „Пътуване в света на фракталите“
• Изучавахме програми за създаване на фрактали на езиците за програмиране Pascal и Logo.
• Създадохте свои собствени фрактали.
• Направихме наши собствени „Салфетка на Серпински“ и „Килим на Серпински“
• Изработени “Фрактални обеци”
• Създава серия от картини „Чудесата на фракталната графика“
• Публикува работата си „Пътуване в света на фракталите“ в Интернет.
• Участвахме с разработката „Пътешествие в света на фракталите” в VII Всеруска олимпиада за ученици и студенти „Наука 2.0” по учебния предмет „Математика”. Взехме първо място.
• Участвахме във Всеруския конкурс „Велики открития и изобретения“ с работата „Пътешествие в света на фракталите“. Взехме първо място.
• Участвахме с разработката „Пътешествие в света на фракталите” в VIII Всеруска олимпиада за ученици и студенти „Аз съм изследовател” по учебния предмет Математика. Взехме първо място.
• Създадоха презентация „Удивителният свят на фракталите“
• Създадени брошури „Използване на фрактали“ и „Фрактали около нас“
• Проведохме фестивала „Невероятният свят на фракталите“ за ученици от 8-ми до 11-ти клас.“

Така че можем да кажем с пълна увереност за огромното практическо приложение на фракталите и фракталните алгоритми днес.

Обхватът на областите, в които се използват фракталите, е много обширен и разнообразен.

И със сигурност в близко бъдеще фракталите, фракталната геометрия, ще станат близки и разбираеми за всеки от нас. Не можем да живеем без тях в живота си!

Да се ​​надяваме, че появата на фракталната геометрия е доказателство за продължаващата еволюция на човека и разширяването на неговите начини за познание и разбиране на света. Може би нашите деца също така лесно и смислено ще оперират с концепциите за фрактали и нелинейна динамика, както ние оперираме с концепциите на класическата физика и евклидовата геометрия.

Резултати от проекта

• Запознахме се с историята на възникването и развитието на фракталната геометрия;
• Разгледахме видовете фрактали и тяхното приложение в съвременния свят.
• Създадохме собствени фрактали на езиците за програмиране Pascal и Logo
• Създава научна статия за фракталите.
• Създадени брошури „Фракталите около нас” и „Използване на фракталите”
• Проведохме фестивала „Невероятният свят на фракталите” за ученици от 8-11 клас.

Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

публикувано на http://www.allbest.ru/

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Предмет: Фрактали- специаленобектиживИнеживмир

Хабаровск TOGU 2015

• Съдържание
• фрактална геометрична фрактална графика
• История на фракталите
• Класификация на фракталите
• Геометрични фрактали
• Алгебрични фрактали
• Приложение на фрактали
• Фракталите и светът около нас
• Фрактална графика
• Приложение на фрактали
• Естествени науки
• Радиотехника
• Информатика
• Икономика и финанси

История на фракталите

Много често срещаме специални обекти, но малко хора знаят, че това са фрактали. Фракталите са уникални обекти, генерирани от непредсказуемите движения на хаотичния свят. Те се намират както в малки обекти, като клетъчната мембрана, така и в големи, като Слънчевата система и Галактиката. В ежедневието можем да видим фрактали в тапети, върху плат, на десктоп скрийнсейвър на компютър, а в природата - това са растения, морски животни и природни феномени.

Учените са били очаровани от фракталите от древни времена, а програмистите и специалистите по компютърна графика също обичат тези обекти. Откриването на фракталите беше революция в човешкото възприемане на света и откриването на нова естетика на изкуството и науката.

И така, какво представляват фракталите? фрактал- геометрична фигура, която има свойството на самоподобие, тоест съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло.

Терминът фрактал е предложен през 1975 г. Беноа Манделброт, за да обозначи неправилните, себеподобни структури, с които се занимава. Раждането на фракталната геометрия е публикуването на книгата му „Фракталната геометрия на природата“ през 1977 г. Работата му се основава на трудовете на учените Поанкаре, Фату, Джулия, Кантор и Хаусдорф, които работят през 1875 г.? 1925 г. в същата местност. Но едва в наше време те успяха да обединят работата си в една система.

Концепцията за „фрактал“ произлиза от латинското „fractus“? състоящ се от фрагменти. Едно от определенията е: "Фракталът е структура, състояща се от части, които в известен смисъл са подобни на цялото."

Беноа Манделброт в своите произведения даде ярки примери за използването на фрактали за обяснение на някои природни явления. Той обърна голямо внимание на едно интересно свойство, което притежават много фрактали. Факт е, че често един фрактал може да бъде разделен на произволно малки части, така че всяка част да се окаже просто намалено копие на цялото. С други думи, ако погледнем фрактал през микроскоп, ще се изненадаме да видим същата картина като без микроскоп. Това свойство на самоподобие рязко отличава фракталите от обектите на класическата геометрия.

За съвременните учени, изучаващи фрактали? не просто нова област на знанието. Това е откритието на нов тип геометрия, която описва света около нас и която може да се види не само в учебниците, но и в природата и в безграничната Вселена. Сега Манделброт и други учени разшириха полето на фракталната геометрия, така че да може да се прилага към почти всичко в света, от прогнозиране на цените на фондовия пазар до нови открития в теоретичната физика.

Класификация на фракталите

Има различни класификации на фракталите.

Основната класификация на фракталите е разделението на геометрични и алгебрични.

Геометричните фрактали имат точно самоподобие, а алгебричните фрактали имат приблизително самоподобие.

Съществува и разделение на природни и създадени от човека фрактали.

Създадените от човека фрактали включват тези, които са изобретени от учени; те имат фрактални свойства във всякакъв мащаб. Естествените фрактали подлежат на ограничение в областта на съществуване - тоест максималния и минималния размер, при който даден обект проявява фрактални свойства.

Най-простите фрактали са геометричните фрактали.

Геометрични фрактали

Геометричните фрактали се наричат ​​още класически, детерминистични или линейни. Те са най-визуалните, тъй като имат така нареченото твърдо самоподобие, което не се променя при промяна на мащаба. Това означава, че колкото и близо да приближавате фрактала, все още виждате същия модел.

В двумерния случай такива фрактали могат да бъдат получени чрез определяне на някаква прекъсната линия, наречена генератор. В една стъпка от алгоритъма всеки от сегментите на дадена полилиния (инициатор) се заменя с генерираща полилиния в съответния мащаб. В резултат на безкрайно повтаряне на тази процедура се получава фрактална крива. Въпреки привидната сложност на тази крива, нейната форма се определя само от формата на генератора.

Най-известните геометрични фрактали: крива на Кох, крива на Минковски, крива на Леви, крива на дракон, салфетка и килим на Сиерпински, петоъгълник на Дюрер.

Конструиране на някои геометрични фрактали

1). Крива на Кох.

Изобретен е през 1904 г. от немски математик на име Хелге фон Кох. За да се конструира, се взема един сегмент, разделен на три равни части и средната връзка се заменя с равностранен триъгълник без тази връзка. В следващата стъпка повтаряме операцията за всеки от четирите получени сегмента. В резултат на безкрайно повтаряне на тази процедура се получава фрактална крива.

2). Салфетка на Сиерпински.

През 1915 г. полският математик Вацлав Серпински измисля интересен обект. За да го конструирате, вземете плътен равностранен триъгълник. В първата стъпка обърнат равностранен триъгълник се отстранява от центъра. Втората стъпка премахва три обърнати триъгълника от останалите три триъгълника и т.н. Според теорията този процес няма да има край и в триъгълника няма да остане жизнено пространство, но и той няма да се разпадне - резултатът ще бъде обект, състоящ се само от дупки.

3). Драконът на Хартър-Хатуей.

Драконът на Хартър, известен още като дракона на Хартър-Хейтауей, е изследван за първи път от физици на НАСА? Джон Хейтауей, Уилям Хартър и Брус Банкс. Описано е през 1967 г. от Мартин Гарднър в колоната "Математически игри" на Scientific American.

В следващата стъпка всеки от сегментите се заменя с два сегмента, които образуват страничните страни на равнобедрен правоъгълен триъгълник, за който първоначалният сегмент би бил хипотенузата. В резултат на това сегментът изглежда се огъва под прав ъгъл. Посоката на отклонение се редува. Първият сегмент се огъва надясно (като се движи отляво надясно), вторият - наляво, третият - отново надясно и т.н.

Примери за геометрични фрактали

ИзвивкаКохСалфеткаСерпински

ДраконътХартър-Хатауей

Втората голяма група фрактали са алгебричните. Те са получили името си, защото са изградени на базата на алгебрични формули.

Алгебрични фрактали

Сложни (алгебрични) фрактали не могат да бъдат създадени без помощта на компютър. За да получите цветни резултати, този компютър трябва да има мощен математически копроцесор и монитор с висока разделителна способност. Те са получили името си, защото са изградени на базата на алгебрични формули. В резултат на математическата обработка на тази формула на екрана се показва точка с определен цвят. Резултатът е странна фигура, в която правите линии се превръщат в криви, а ефектите на самоподобие се появяват на различни мащабни нива, макар и не без деформации. Почти всяка точка на екрана на компютъра е като отделен фрактал.

Най-известните алгебрични фрактали: множества на Манделброт и Юлия, пулове на Нютон.

Алгебричните фрактали имат приблизително самоподобие. Всъщност, ако увеличите малка област от всеки сложен фрактал и след това направите същото върху малка част от тази област, двете увеличения ще се различават значително едно от друго. Двете изображения ще си приличат много в детайли, но няма да са напълно идентични.

АЛГЕБРИКА ФРАКТАЛНИ

Манделбротов набор приближения

Фракталите намират все повече приложения в науката. Основната причина е, че те описват реалния свят по-добре от традиционната физика и математика.

Приложение на фрактали

1). Теория на хаоса: Фракталите винаги се свързват с думата хаос. Теорията на хаоса се определя като изследване на сложни нелинейни динамични системи. Хаосът е липсата на предвидимост. Това се случва в динамични системи, когато при две много близки начални стойности системата се държи напълно различно. Пример за хаотична динамична система е времето. Примери за такива системи са турбулентни потоци, биологични популации, общество и неговите подсистеми: икономически, политически и други социални системи. Една от централните концепции в тази теория е невъзможността за точно прогнозиране на състоянието на дадена система. Теорията на хаоса се фокусира не върху разстройството на системата (наследствената непредсказуемост на системата), а върху реда, който тя наследява (общото поведение на подобни системи). Така науката за хаоса е система от идеи за различни форми на ред, където случайността става организиращ принцип.

2). Икономика: анализ на пазара на ценни книжа.

3). Астрофизика: описание на процесите на групиране на галактики във Вселената.

4). Геология: изследване на грапавостта на минералите;

5). Картография: изследване на формите на бреговата линия; проучване на широка мрежа от речни канали.

6). Механика на течности и газове, физика на повърхности:

- динамика и турбулентност на сложни течения.

- моделиране на пламъци;

7). Биология и медицина:

- моделиране на животински популации и миграция на птици;

- моделиране на епидемии;

- анализ на структурата на кръвоносната система;

- разглеждане на сложни повърхности на клетъчни мембрани;

- описание на процесите в тялото, например сърдечен ритъм.

8). Фрактални антени: Използването на фрактална геометрия при проектирането на антенни устройства е използвано за първи път от американския инженер Нейтън Коен, който тогава е живял в центъра на Бостън, където е забранено инсталирането на външни антени върху сгради. Той изряза форма на крива на Кох от алуминиево фолио и я залепи върху лист хартия, след което я прикрепи към приемника. Оказа се, че такава антена работи не по-лошо от обикновената. И въпреки че физическите принципи на работа на такава антена все още не са проучени, това не попречи на Коен да основе собствена компания и да започне серийното им производство.

9). Компресия на изображения: предимствата на алгоритмите за фрактална компресия на изображения са много малък пакетиран размер на файла и кратко време за възстановяване на изображението. Друго предимство на фракталната компресия е, че когато изображението се увеличи, няма ефект на пикселизация (увеличаване на размера на точките до размери, които изкривяват изображението). При фрактална компресия, след уголемяване, картината често изглежда дори по-добре от преди.

10). Компютърна графика: Днес компютърната графика преминава през период на интензивно развитие. Тя успя да пресъздаде безкрайно разнообразие от фрактални форми и пейзажи на екрана на монитора, потапяйки зрителя в невероятно виртуално пространство. В днешно време с помощта на сравнително прости алгоритми е станало възможно да се създават триизмерни изображения на фантастични пейзажи и форми, които с времето могат да се трансформират в още по-вълнуващи картини. Тенденцията на фракталите да приличат на планини, цветя и дървета се използва от някои графични редактори (например фрактални облаци от 3D студио MAX, фрактални планини в World Builder). Фракталните модели днес се използват широко в компютърните игри, създавайки среда в тях, която трудно се разграничава от реалността.

Краят на двадесети век е белязан не само от откриването на удивително красиви и безкрайно разнообразни структури, наречени фрактали, но и от осъзнаването на фракталната природа на природата. Светът около нас е много разнообразен и неговите обекти не се вписват в твърдата рамка на евклидовите линии и повърхности.

Фракталите и светът около нас

« Красотата винаги е относителна... Не трябва да приемаме, че бреговете на океана са наистина безформени само защото формата им е различна от правилната форма на кейовете, които сме изградили; формата на планините не може да се счита за неправилна въз основа на това, че те не са правилни конуси или пирамиди; само защото разстоянията между звездите са неравни, това не означава, че те са били разпръснати по небето от неумела ръка. Тези грешки съществуват само в нашето въображение , всъщност те не са такива и по никакъв начин не пречат на истинските прояви на живота на Земята, нито в царството на растенията и животните, нито сред хората.” Тези думи на английския учен от 17 век. Ричард Бентли посочва, че идеята за комбиниране на формите на брегове, планини и небесни обекти и контрастирането им с евклидови конструкции възниква в съзнанието на хората от много дълго време.

Галилео Галилей каза, че „великата книга на природата е написана на езика на геометрията“. Сега можем уверено да кажем, че е написана на езика на фракталната геометрия.

Това, което наблюдаваме в природата, често ни заинтригува с безкрайното повтаряне на един и същ модел, увеличен или намален толкова пъти, колкото желаем. Причудливи форми на брегови линии и сложни завои на реки, счупени повърхности на планински вериги и очертания на облаци, разперени клони на дървета и коралови рифове, плахо трептене на свещ и пенливи потоци на планински реки - всичко това са фрактали. Някои от тях, като облаци или бурни потоци, постоянно променят формата си, други, като дървета или планински вериги, запазват структурата си непроменена. Общото за всички видове фрактални структури е тяхното самоподобие - основното свойство, което осигурява изпълнението на основния закон във фракталите - законът за единство в многообразието на Вселената.

Човешките системи и органи също са фрактални структури. Например кръвоносните съдове се разклоняват многократно, т.е. имат фрактален характер. Електрическата активност на сърцето е фрактален процес. Кардиолозите са открили, че спектралните характеристики на сърдечните удари се подчиняват на фрактални закони, точно както земетресенията и икономическите явления. В тъканите на храносмилателния тракт една вълнообразна повърхност е вградена в друга. Белите дробове също представляват пример за голяма площ, която се притиска в малко пространство. Всъщност цялата структура на човешкото тяло е фрактална по природа; това вече е признато от учените. Принципът на един прост, определящ разнообразен комплекс, е вграден в човешкия геном, когато една клетка от жив организъм съдържа информация за целия организъм като цяло.

Фрактални структури в природата

Ето няколко примерни снимки:

Както биологът Джон Халдейн каза: „Светът е не само по-странен, отколкото си мислим, но и по-странен, отколкото можем да си представим.“ Фракталите не са изобретения на Манделброт. Те съществуват обективно. В природните форми и процеси, в науката и изкуството, които отразяват и разбират този свят. Беноа Манделброт беше удостоен с почетната награда Волф по физика през 1993 г. „заради това, че промени нашия възглед за света благодарение на идеите на фракталната геометрия“.

В момента фракталните картини са много популярни. Те правят абсолютно фантастично впечатление. Много тънки линии, образуващи едно цяло, или необичайни елементи, преплетени в една картина. Проблясъци на ярка светлина и умерени гладки линии. Фракталът изглежда жив. Той гори, свети, привлича и не можете да откъснете очи от него, изучавайки дори най-малките и незначителни детайли.

Фрактална графика

Фрактални картини в интериора

Приложение на фрактали

Естествени науки

Във физиката фракталите естествено възникват при моделиране на нелинейни процеси, като турбулентен флуиден поток, сложни процеси на дифузия-адсорбция, пламъци, облаци и други подобни. Фракталите се използват при моделиране на порести материали, например в нефтохимикалите. В биологията те се използват за моделиране на популации и за описание на системи от вътрешни органи (системата на кръвоносните съдове). След създаването на кривата на Кох беше предложено да се използва при изчисляване на дължината на бреговата линия.

Радиотехника

Използването на фрактална геометрия при проектирането на антенни устройства е използвано за първи път от американския инженер Нейтън Коен, който тогава е живял в центъра на Бостън, където е забранено инсталирането на външни антени върху сгради. Нейтън изряза форма на крива на Кох от алуминиево фолио и я залепи върху лист хартия, след което я прикрепи към приемника. Коен основава собствена компания и започва серийното им производство.

Информатика

Компресия на изображението

Фрактално дърво

Има алгоритми за компресиране на изображения, използващи фрактали. Те се основават на идеята, че вместо самото изображение, може да се съхранява карта на компресия, за която това изображение (или някое близко) е фиксирана точка. Един от вариантите на този алгоритъм беше използван от Microsoft при публикуването на своята енциклопедия, но тези алгоритми не бяха широко използвани.

Компютърна графика

Фракталите се използват широко в компютърната графика за изграждане на изображения на природни обекти, като дървета, храсти, планински пейзажи, морски повърхности и т.н. Има много налични програми за генериране на фрактални изображения.

Децентрализиранамрежи

Системата за присвояване на IP адреси в мрежата Netsukuku (тази мрежа е проект за създаване на разпределена самоорганизираща се peer-to-peer мрежа, способна да осигури взаимодействието на огромен брой възли с минимално натоварване на централния процесор и памет) използва принципът на фракталното компресиране на информация за компактно съхраняване на информация за мрежовите възли. Всеки възел в мрежата Netsukuku съхранява само 4 KB информация за състоянието на съседните възли, докато всеки нов възел се свързва към общата мрежа без необходимост от централно регулиране на разпределението на IP адресите, което например е типично за Интернет. По този начин принципът на фракталното компресиране на информация гарантира напълно децентрализирана и следователно най-стабилна работа на цялата мрежа.

Икономика и финанси

А. А. Алмазов в книгата си „Теория на фракталите. Как да промените представата си за пазарите” предложи начин за използване на фрактали при анализиране на борсовите котировки, по-специално на Форекс пазара.

Всеки път, когато гледате фрактали, си мислите колко красиви са реалният свят и светът на математиката и че математиката наистина е език, който може да опише почти всичко, което съществува във Вселената.

Библиография

1. Манделброт Б. Фрактална геометрия на природата. М.: "Институт за компютърни изследвания", 2002. 656 с.

2. Морозов A.D. Въведение в теорията на фракталите. Н. Новгород: Издателство Нижни Новгород. университет, 1999, 140 с.

3. Peitgen H.-O., Richter P. H. Красотата на фракталите. М.: "Мир", 1993. - 176 с.

4. Тихоплав В.Ю., Тихоплав Т.С. Хармония на хаоса или фрактална реалност. Санкт Петербург: Издателство "Вес", 2003. 340 с.

5. Федер Е. Фрактали. М: “Мир”, 1991. 254 с.

6. Шрьодер М. Фрактали, хаос, силови закони. Миниатюри от безкрайния рай. Ижевск: “RKhD”, 2001. 528 с.

Списък на сайтове за фрактали

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Публикувано на Allbest.ru

Подобни документи

Разглеждане на фракталната размерност като една от характеристиките на инженерната повърхност. Описание на природните фрактали. Измерване на дължина на негладка (прекъсната) линия. Сходство и мащабиране, самоподобие и самоафинитет. Връзка периметър-площ.

тест, добавен на 23.12.2015 г


Историята на възникването на теорията за фракталите. Фракталът е самоподобна структура, чието изображение не зависи от мащаба. Това е рекурсивен модел, всяка част от който повтаря в развитието си развитието на целия модел като цяло. Практическо приложение на теорията на фракталите.

научна работа, добавена на 05/12/2010


Класически фрактали. Самоподобие. Снежинка Кох. Килим Сиерпински. L-системи. Хаотична динамика. Лоренцов атрактор. Комплекти Манделброт и Юлия. Приложение на фракталите в компютърните технологии.

курсова работа, добавена на 26.05.2006 г


Характеристики на някои четириъгълници. Внедряване на модели на геометрични ситуации в динамични геометрични среди. Характеристики на динамичната среда "Жива геометрия", особености на конструирането на модели на успоредник, ромб, правоъгълник и квадрат в нея.

курсова работа, добавена на 28.05.2013 г


Геометрична картина на света и предпоставки за възникване на теорията за фракталите. Елементи на детерминирана L-система: азбука, инициализираща дума и набор от правила за генериране. Фрактални свойства на социалните процеси: синергетика и хаотична динамика.

курсова работа, добавена на 22.03.2014 г


Изучаване на проявленията на геометричните закони в живата природа и използването им в учебната практическа дейност. Описание на геометричните закони и същността на геометричните конструкции. Графичното образование и неговото място в съвременния свят.

дисертация, добавена на 24.06.2010 г


Дефиниране на понятието модел, необходимостта от приложението им в науката и ежедневието. Характеристики на материала и идеални методи за моделиране. Класификация на математическите модели (детерминирани, стохастични), етапи на процеса на тяхното изграждане.

резюме, добавено на 20.08.2015 г


Изучаване на понятията симетрия, пропорционалност, пропорционалност и равномерност в подреждането на частите. Характеристики на симетричните свойства на геометричните фигури. Описания на ролята на симетрията в архитектурата, природата и технологиите, при решаване на логически задачи.

презентация, добавена на 12/06/2011


История на математизацията на науката. Основни методи на математизация. Граници и проблеми на математизацията. Проблемите на прилагането на математическите методи в различни науки са свързани със самата математика (математическото изследване на моделите), с областта на моделирането.

резюме, добавено на 24.05.2005 г


Концепцията и историята на изследването на златното сечение. Характеристики на неговото отражение в математиката, природата, архитектурата и живописта. Редът и принципите на изграждане, структурата и областите на практическо приложение на златното сечение, математическа обосновка и значение.